Giáo án phụ đạo toán 12 học kì 2

Trường THPT Lê Quý Đôn
+Ngày soạn: ................

GV: Nguyễn Thị Nghị

PPCT:..........

Tuần: ..........

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM
I.
Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
ΙΙΙĐịnh nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)
⇔ F / ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a; b )
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
1
1. ∫ 1.dx = x + c
.dx = tgx + c
6.
x ∝ +1
+ c( ∝≠ −1)
2. ∫ x .dx =
∝ +1
1
3. ∫ .dx = ln x + c
x
4. ∫ Cosx.dx = Sinx + c
∝

1 ( ax + b )
α

∫ ( ax + b) .dx =

∝ +1

∝ +1

a

2

∫ . Sin

2

1

x

dx = −Cotgx + c
x
x
x
8. ∫ e .dx = e + c

7.

ax
+c
9. ∫ a .dx =
ln a

x

5. ∫ Sinx.dx = −Cosx + c
Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
1.

∫ Cos

+c

5.

1
1
.dx = . ln ax + b + c
2. ∫
ax + b
a
1
3. ∫ Cos( ax + b ) .dx = .Sin( ax + b ) + c
a
1
4. ∫ Sin( ax + b ) .dx = − .Cos( ax + b ) + c
a

1

1

∫ Cos ( ax + b ) .dx = a .tg( ax + b ) + c

2

6.

1

1

∫ Sin ( ax + b ) .dx = − a .Cotg( ax + b ) + c
2

1
.dx = .e ax + b + c
a
1 a mx + n
mx + n
+c
8. ∫ a .dx = .
m ln a

7.

∫e

ax + b

II. BÀI TẬP
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x2 – 3x +

1
x

2x 4 + 3
2. f(x) =
x2
x −1
. f(x) = 2
x
( x 2 − 1) 2
4. f(x) =
x2

5. f(x) = x + 3 x + 4 x
6. f(x) =

1

−3

x 3 3x 2
−
+ ln x + C
3
2
2x3 3
− +C
ĐS. F(x) =
3
x

1
ĐS. F(x) = lnx + + C
x
3
x
1
− 2x + + C
ĐS. F(x) =
3
x

ĐS. F(x) =

3

5
4

ĐS. F(x) = 2 x + 3x + 4 x + C
3

2

4

5

ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C

x

x
( x − 1) 2
7. f(x) =
x
x −1

8. f(x) =

4
3

3
2

ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C
5

2

ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C

x

1


Trường THPT Lê Quý Đôn
9. f(x) = 2 sin 2

GV: Nguyễn Thị Nghị

x
2

ĐS. F(x) = x – sinx + C

10. f(x) = tan2x

ĐS. F(x) = tanx – x + C

11. f(x) = cos2x

ĐS. F(x) =

12. f(x) = (tanx – cotx)2

ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C

1
sin x. cos 2 x
cos 2 x
14. f(x) =
2
sin x. cos 2 x

13. f(x) =

ĐS. F(x) = tanx - cotx + C

2

ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
1
3
1
ĐS. F(x) = − cos 5 x − cos x + C
5
1 2x
ĐS. F(x) = e − e x + C
2

ĐS. F(x) = − cos 3x + C

15. f(x) = sin3x
16. f(x) = 2sin3xcos2x
17. f(x) = ex(ex – 1)
18. f(x) = ex(2 +
x

19. f(x) = 2a + 3

e−x
)
cos 2 x

ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
2a x 3 x
+
+C
ĐS. F(x) =

ln a ln 3
1
ĐS. F(x) = e 3 x +1 + C
3

x

20. f(x) = e3x+1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5

ĐS. f(x) = x2 + x + 3
x3
ĐS. f(x) = 2 x − + 1
3
8 x x x 2 40
−
−
ĐS. f(x) =
3
2
3
2
x
1
3
+ + 2x −
ĐS. f(x) =
2 x
2

2

2. f’(x) = 2 – x và f(2) = 7/3
3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0
4. f’(x) = x -

1
1
x + sin 2 x + C
2
4

1
+ 2 và f(1) = 2
x2

5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3

ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3

b
6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = 2
x
III. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

x2 1 5
+ +
ĐS. f(x) =
2 x 2

...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

Ngày soạn: ................

PPCT: ......

Tuần: ...............

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM
I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
2


Trường THPT Lê Quý Đôn
GV: Nguyễn Thị Nghị
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx
 I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx

Hay

∫ udv = uv − ∫ vdu

( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

II. BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx

2. ∫ (3 − 2 x) 5

1. ∫ (5 x − 1)dx
5.
9.

∫ (2 x

+ 1) 7 xdx

2

3x 2

∫

dx

∫ (x

6.
10.

3

+ 5) 4 x 2 dx

x (1 + x )
sin x
4
13. ∫ sin x cos xdx 14. ∫ 5 dx
cos x
dx
dx
17. ∫
18. ∫
sin x
cos x
5 + 2x3

e x dx

21.

∫

25.

∫x

29.

∫ cos

e −3
2

3

2

15.

dx
26. ∫
1+ x2

1 − x .dx

2

x sin 2 xdx

∫x

30.

∫ x sin 2 xdx

6.

9.

∫ x ln xdx

10.

13.

∫ cos x dx
∫ e . cos xdx
∫ x lg xdx

17.
21.

x

2

14.

x

22.

∫ x cos 2 xdx
∫ ln

2

∫ xtg

2

18.

∫x e
3

23.

∫

∫ (x

x2

dx

∫ 2 x ln(1 + x)dx

2

∫ x.e dx
ln xdx
11. ∫
x

∫

23.

32.

∫x

)dx

ln(1 + x)
dx
x2

x

x
dx

dx

4 − x2

∫x

2

dx
+ x +1

x 2 + 1.dx

3

∫ ln xdx

8.

12.

∫e

x

dx

∫ ln( x + 1)dx
20. ∫ 2 xdx
24. ∫ x cos 2 xdx
2

16.
2

e

2
4 ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx

x

∫ sin x dx
19. ∫ x ln(1 + x

∫

∫

28.

2

dx

tgxdx
2
x

24.

x 2 dx

+ 5) sin xdx

7.

15.

1 − x 2 .dx

x 2 +1

∫ cos
20.

1− x
dx
31. ∫ x
e +1

xdx

xdx

16.

∫ tgxdx

∫

∫ x.e

12.

19.

x − 1.dx

2x −1
x
dx
8. ∫ 2
x +5

x 2 + 1.xdx

∫ cot gxdx

27.

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. ∫ x. sin xdx
2. ∫ x cos xdx
3.
5.

∫

dx

∫

4.

ln 3 x
dx
11. ∫
x

e tgx
22. ∫ 2 dx
cos x

x

5 − 2 x dx

7.

dx

∫

∫

3.

x

2

III. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
3


Trường THPT Lê Quý Đôn
GV: Nguyễn Thị Nghị
...........................................................................................................................................

Ngày soạn: ................

PPCT: ...........

Tuần: ........

CHỦ ĐỀ: TÍCH

4

PHÂN


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị

A. Lý thuyết
Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
9.

1 ( ax + b )
α
∫ ( ax + b) .dx =
a

∝ +1

+c

∝ +1

1
1
.dx = . ln ax + b + c
ax + b
a
1
11. ∫ Cos( ax + b ) .dx = .Sin( ax + b ) + c
a
1
12. ∫ Sin( ax + b ) .dx = − .Cos( ax + b ) + c
a
1
1
.dx = .tg( ax + b ) + c
13. ∫
2
Cos ( ax + b )
a
1
1
.dx = − .Cotg( ax + b ) + c
14. ∫ 2
Sin ( ax + b )
a
1
15. ∫ e ax + b .dx = .e ax + b + c
a
1 a mx + n
mx + n
16. ∫ a .dx = .

+c
m ln a

10. ∫

B. Bài tập
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1

e

1. ∫ ( x + x + 1)dx

2. ∫ ( x +

3

0

1
2

3

2.

∫ x − 2 dx

3.

1
π
2

∫

1 1
+ + x 2 )dx
x x2

x + 1dx

1

4. ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx
π
3
1

1

x
5. ∫ (e + x )dx
0

2

3
6. ∫ ( x + x x )dx

7. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx

0

1

π
2

1
8. ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx
x
π

1

x
2
9. ∫ (e + x + 1)dx
0

3
2

2

2
3
10. ∫ ( x + x x + x )dx

11. ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx

1

1

3

2

12. ∫ ( x + 1).dx
3

13.

−1

e2

5

7x − 2 x − 5
dx
14. ∫
x
1
Ngày soạn: ................

x.dx
∫ x2 + 2

-1

15.

∫
2

PPCT: ...........

dx
x+2 + x−2

Tuần: ............

CHỦ ĐỀ: TÍCH
5

PHÂN


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị

A.Lý thuyết

Phương pháp đổi biến số :
b

A = ∫ f [ ϕ( x ) ].ϕ / ( x ) .d ( x )

a

P.Pháp:
Đặt : t = ϕ( x )

⇒ dt = ϕ / ( x ) .d ( x )
 x = b ⇒ t = ϕ( b )
Đổi cận: 
 x = a ⇒ t = ϕ( a )

Do đó: A =

ϕ( b )

∫( ) f ( t ) .dt = [ F ( t ) ]

ϕ a

ϕ( b )
ϕ( a )

Các dạng đặc biệt cơ bản:
dx
2
0 a + x
a

1. I = ∫

2

P.Pháp:
• Đặt: x = a.tgt
⇒ dx =

 π π
 − 〈t 〈 
 2 2

a
.dt = a(1 + tg 2 t ).dt
2
Cos t

• Đổi cận:
a

2
2
2.Tính J = ∫ a − x .dx
0

P.Pháp:
π
 π
≤t≤ 
2
 2
⇒ dx = a.Cost.dt

• Đặt x = a.S int  −
• Đổi cận

B. BÀI TẬP
π
2

3
2
1. ∫ sin xcos xdx

3.

π
3
π
2

sin x

∫ 1 + 3cosx dx

π
2

2
3
2. ∫ sin xcos xdx

3.

0

5.

π
6
1

6.

∫x

∫

1 + 4sin xcosxdx

1

x + 1dx
2

7.

3
2
∫ x x + 1dx

∫x

1 − x 2 dx

1

x2

0

1

0

π
6

0

0

8.

∫ tan xdx
0

π
4

4. ∫ cot gxdx

π

3
π
4

9.

∫

x3 + 1

0

6

dx


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị

1

10.

3
2
∫ x 1 − x dx
0
1

12.

1

∫ 1+ x

2

dx

0
1

14.

x +1
2

0
π
2

dx

sin x
16. ∫ e cosxdx

π
4

1

x
18. ∫ e

2

+2

π
2

sin x
20. ∫ e cosxdx

π
4

x
22. ∫ e

2

+2

dx
x3 + 1
1
1
dx

13. ∫ 2
x
+
2
x
+
2
−1
1

15.

0
π
2

π
4
π
2
π
3
π
2

cosx
21. ∫ e sin xdx

π
4

π
2

25.

π
3

27. ∫ cot gxdx

0

π
6

π
6

1

∫

1 + 4sin xcosxdx

29.

1

2
30. ∫ x 1 − x dx

x

∫

31.

2

dx

1

∫x

33.

x +1
sin(ln x)
dx
36. ∫
x
1

35.

1

3

1 − x 2 dx

e

1 + ln x
dx
x

∫
e

37.

∫
1

1 + 3ln x ln x
dx
x

e2

2ln x +1

x

∫x
1

e

e

x 2 + 1dx

0

dx

3

1

3

1

x +1

0

∫x
0

2

3

x 2 + 1dx

1

0
1

∫x
0

0

∫

sin x

∫ 1 + 3cosx dx

π
4

26. tgxdx
∫

38.

π
2

0

π

4

e

dx

π
3

2
3
24. ∫ sin xcos xdx

34.

)

cosx
17. ∫ e sin xdx

π
2

32.

2 2

23. ∫ sin 3 xcos 2 xdx

xdx

0

28.

1

∫ (1 + 3x

3
2
19. ∫ sin xcos xdx

xdx

0

1

1

∫x
1

1

∫

2

11.

dx

1 + ln 2 x
dx
39. ∫
x ln x
e

e2

1
dx
40. ∫
2
cos
(1
+
ln
x
)
e

2

41.

∫ 1+
1

7

x
dx
x −1


Trường THPT Lê Quý Đôn
1

42.

x
dx
2x +1

∫
0
1

44.

1
dx
x +1 + x

∫
0

3

46.

x +1
dx
x

∫
1
e

47.

sin(ln x)
dx
x
1

∫

e

49.

∫

e

1

43.

dx

1

45.

∫

0

e

1

e

48.

( sin 4 x + 1) cos xdx

1 + ln 2 x
dx
50. ∫
x
ln
x
e

52.

∫

x 2 x 3 + 5dx

0

54.

∫

4 − x 2 dx

0

1

4 − x 2 dx

57. ∫ e

56.

dx
2
1
+
x
0

∫
1

2 x +3

dx

x

59. ∫ (2x + 1)3 dx
0
1

61. ∫ x 1 − xdx
0
1

2x − 5
63. ∫ x2 − 4x + 4dx
0
π
6

65. ∫ (sin6 x + cos6 x)dx
0

π
4

67. ∫ 1 + sin2 2xdx
cos x

0

1 + 3ln x ln x
dx
x

∫
1

0

−1
1

1 + ln x
dx
x

4

∫
0

∫

46.

0
4

55.

1
dx
x +1 − x

∫

1

1
dx
51. ∫
2
cos (1 + ln x)
e

53.

x + 1dx

0

e2

π
2

∫x

e2

2ln x +1

x

1

GV: Nguyễn Thị Nghị

π
2

1 + sin 2x + cos 2x
dx
69. ∫
sin x + cos x
π

−x
58. ∫ e dx
0
1

60.

x

dx
2x + 1

∫
0
1

4x + 11

62. ∫ x2 + 5x + 6dx
0
3

x3
64. ∫ x2 + 2x + 1dx
0
π
2

3
66. ∫ 4sin x dx

1 + cos x

0

π
2

68. ∫ cos4 2xdx

0
1

1

70. ∫ ex + 1dx .
0

6

π
4

71. ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx
0

π
4

72. ∫ cos 2 x dx
0

8

1 + 2 sin 2 x


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị

π
2

π
2

73. ∫ sin 3x dx
0 2 cos 3 x + 1
0
2x + 2
dx
75. ∫ 2
x
+
2
x
−
3
−2

cos x
dx
0 5 − 2 sin x
1
dx
76. ∫ 2
−1 x + 2x + 5

74. ∫

π
2

77. ∫ cos3 x sin 2 xdx

78.

0

π
4

π
2

∫ cos

5

xdx

0

79. ∫ sin 4x2 dx
1 + cos x
0
III. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

1

3
2
80. ∫ x 1 − x dx
0

...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

Ngày soạn: ................

PPCT: ........
Tuần: ............
TÍCH PHÂN

I. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

9


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị
b

b

Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx
b

a

a

Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
sin ax 


@ Dạng 1
∫α f ( x) cosax dx
e ax 
u = f ( x)
du = f '( x)dx


sin ax 
sin ax 




 ⇒


 dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx


e ax 
eax 



β

β

∫ f ( x) ln(ax)dx

@ Dạng 2:

α

dx

u = ln(ax )
du = x
⇒
Đặt 
 dv = f ( x)dx v = f ( x)dx
 ∫
β
ax sin ax 
@ Dạng 3: ∫ e . 
dx
cosax 
α
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
u = x 2 e x
1
x 2e x


dx đặt 
a/ ∫
dx
2
( x + 1)
0
 dv = ( x + 1) 2

1

1

u = x 5
x dx

b/ ∫ 4
x3 dx
3 đặt 
(
x
−
1)
dv
=
2

( x 4 − 1)3

3

1

8

1

dx
1 + x2 − x2
dx
x 2 dx
=
dx
=
−
= I1 − I 2
c/ ∫
2 2
2 2
2
2 2
∫
∫
∫
(1
+
x
)
(1
+
x

)
1
+
x
(1
+
x
)
0
0
0
0
1

dx
bằng phương pháp đổi biến số
1 + x2
0

Tính I1 = ∫
1

x 2 dx
Tính I2 = ∫
bằng phương pháp từng phần : đặt
(1 + x 2 )2
0

II. Bài tập
e

ln 3 x
1. ∫ 3 dx
x
1

e

2.

1
e

1

3.

∫ x ln( x
0
e

5.

2

+ 1)dx

4.

∫x

2

ln xdx

1
e

3

ln x
dx
x3
1

∫

∫ x ln xdx

6.

∫ x ln xdx
1

10

u = x

x


dv
=
dx

(1 + x 2 ) 2



Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị

1

7.

∫ x ln( x

e

+ 1)dx

2

8.

0

∫x
e

9. ( x + cosx) s inxdx
∫

1

π
3

2

∫ ln( x

2

+ x )dx

∫ x tan

12.

1

14.

∫ x cos xdx

0
π
2

1

∫

xdx

π
2

ln x
dx
5
x

∫

13.

2

π
4

1

2

1

∫ ( x + x ) ln xdx

10.

0

15.

ln xdx

1

π
2

11.

2

xe x dx

16.

0

∫

e x cos xdx

0

Tính các tích phân sau
1

3x
1) ∫ x.e dx

2)

0

π
2

∫ (1 − x

6)

1

∫ (x

2

+ 1).e .dx

10)

ln x
∫1 x5 dx

2

1
2

25)

ln(1 + x)
dx
x2
1

∫

ln x

∫ ( x + 1)
1
e

e

29) ∫

1

11)

∫x

ln x

2

dx

2

π
3

x
18) ∫ x + sin
dx
2
cos
x
0

π

16) ∫ sin xdx
0

π
4

20) ∫ x(2 cos2 x − 1)dx

0

0

0

1

2 2x
2
22) ∫ (x + 1) e dx 23) ∫ (x ln x) dx

π
2

π
2

24) ∫ cos x.ln(1 + cos x)dx

1

0

1

2x
27) ∫ ( x − 2)e dx

2
28) ∫ x ln(1 + x )dx

2

3

0

2

dx 30) ( x + cos 3 x ) sin xdx
∫
x
0

0

0

31) ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 32) ∫ ln( x 2 − x)dx

II. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
5

2x −1
dx
1. ∫ 2
x
−
3
x

+
2
3

+ 2 x). sin x.dx

2

2

2

e

0

∫ (x

19) ∫ x sin x cos xdx

1

).dx

0

0

1

2
26) ∫ xtg xdx

π
2

12)

. cos x.dx

x
15) ∫ e sin xdx
π

2

0

0

0

17) ∫ x ln xdx

e

π
2

1

14) ∫ x cos2 xdx

∫ x. ln(3 + x

8)

1

∫ x. cos x.dx

π
2

2

e

∫ 4 x. ln x.dx

7)

). ln x.dx

0

1

13)

2

π

x

0

1

3

1

2

4) ∫ x. sin 2 xdx

0

e

∫ x ln xdx

π
2

∫ (2 − x) sin 3xdx

0

5)

21)

3)

∫ ( x − 1) cos xdx

e

9)

π
6

b

2.

1

∫ ( x + a)( x + b) dx
a

11


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị

1

1

x3 + x + 1
dx
3. ∫
x
+
1
0

x3 + x + 1
dx
4. ∫
2
x
+
1
0

1

1

x2
dx
5. ∫

3
0 (3 x + 1)
2

6.

∫ ( x + 2)
0

0

1− x
dx
7. ∫
2008
x
(
1
+
x
)
1

2x 3 − 6x 2 + 9x + 9
dx
8. ∫
2
x
−
3

x
+
2
−1

2008

x 2 n −3
dx
10. ∫
2 n
0 (1 + x )
1

3

x4
dx
9. ∫ 2
2
2 ( x − 1)
2

2

x2 − 3
dx
11. ∫
4
2

1 x ( x + 3 x + 2)
2

13.

1

∫4+ x

12.

1
1

2

1

14.
16.
18.

x

∫ (1 + x

2 3

)

dx

3x 2 + 3 x + 3
∫2 x 3 − 3x + 2 dx
1

1− x2
∫1 1 + x 4 dx

20.

1

∫1+ x

3

dx

0

1

1

x6 + x5 + x4 + 2
dx
21. ∫
x6 + 1
0

2 − x4
dx
22. ∫
2
0 1+ x
1

1

4
23. 1 + x dx
∫0 1 + x 6

0

dx

3

2

∫

)

dx

4

0

1
dx
17. ∫ 3
2
2 x − 2x + x

1

4

0

4

25.

x

0

dx

1
dx
15. ∫ 2
0 x − 2x + 2

19.

1

∫ x(1 + x
∫1+ x

2

1
dx
( x + 3) 2

2

24.

∫
0

dx
x2 + x + 1

3

26.

4 x + 11
dx
2
x + 5x + 6

x+2

∫ x − 1 dx
2

1

 2x − 2

− 3 dx
27. ∫ 
x +1

0

0

 x−2

− 2 x + 1dx
2x − 1

−1

28. ∫ 

2

1

 3x − 1

− x − 1dx
29. ∫ 
x+2

0

x 2 + 2x + 3
dx
30. ∫
x+3
0

 x2 + x +1

− 2 x + 1dx
31. ∫ 
x −1

−1

 2x 2 + x − 2

− x + 1dx
32. ∫ 
x +1

0

0

1

33.

∫x
0

2

1

dx
+ 4x + 3

IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
π
2

1. sin 2 x cos 4 xdx
∫
0

π
2

2. sin 2 x cos 3 xdx
∫

0

12


Trường THPT Lê Quý Đôn
π
2

3. sin 4 x cos 5 xdx
∫
0

GV: Nguyễn Thị Nghị
π
2

4. (sin 3 x + cos 3 ) dx
∫
0

π
2

π
2

0

0

5. cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x) dx
∫
∫
π
2

π
2

1
dx
7. ∫
π sin x

8. (sin 10 x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx
∫
0

3

9.

π
2

dx

10.

∫ 2 − cos x
0

11.

13.

sin 3 x
∫0 1 + cos 2 x dx

∫ sin
0

15.

17.

π
2

π
3

12.

cos x

dx
x. cos x

16.

14.

0

π
2

0

18.

2

0

20.

−

22.

0

4
23. ∫ tg xdx

24.

∫

∫ cot g
π

3

xdx

π
4

1

∫ 1 + tgx dx
0

dx

π
0 cos x cos( x +
)
4

2π

2

6

π
3

∫

sin x − cos x + 1

∫π sin x + 2 cos x + 3 dx

π
4

21. tg 3 xdx
∫

π
4
π
4

1

∫ sin x + cos x + 1 dx
π
2

cos xdx

∫
π (1 − cos x )

cos x

∫ 1 + cos x dx

sin x

π
2

cos 3 x
∫0 1 + cos x dx

π
2
0

π
2

∫ 2 + sin x dx

π
4

27.

4

6

3

25.

∫
π sin

dx
x + 2 sin x cos x − cos 2 x

∫ 2 − cos x dx

π
2

19.

2

1

∫ 2 + sin x dx
0

π
2

π
4

π
2

1 + sin x dx

0

26.

π
2

sin x + 7 cos x + 6

∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx
0

28.

π
4

dx

∫ 2 sin x + 3 cos x +
0

29
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:

13

13


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị

b

∫ R( x, f ( x))dx

Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:

a

π
a−x
) §Æt x = a cos2t, t ∈ [0; ]
2
a+x
a 2 − x 2 ) §Æt x = a sin t hoÆc x = a cos t

+) R(x,
+) R(x,
+) R(x,

n

ax + b
) §Æt t =
cx + d

+) R(x, f(x)) =

n

ax + b
cx + d

1
(ax + b) αx 2 + β x + γ

Víi ( αx 2 + βx + γ )’ = k(ax+b)

Khi ®ã ®Æt t = αx 2 + βx + γ , hoÆc ®Æt t =
π π

1
ax + b

+) R(x, a 2 + x 2 ) §Æt x = a tgt , t ∈ [− ; ]
2 2
+) R(x,
+) R
2 3

∫

1.

5

ni

)

dx
4 x 2 + 12 x + 5

4.

x 2 + 2008dx

x3 + 1

6.

dx

∫

x 2 + 2008

1

7. ∫ x 1 + x dx
2

2

1

8.

0

3

∫x
1

x2 +1
2

1

x +1
2

dx

dx

∫

(1 + x 2 ) 3

0

∫

∫

1 + x 2 dx

(1 − x 2 ) 3 dx

0

2
2

10.

∫
0

2
2

12.

∫

2
2

14.

∫

0

1+ x
dx
1− x
dx
(1 − x 2 ) 3

0

1

13.

dx

∫x
1

1

11.

x x2 −1

2

1

9.

2

dx

2

∫

cos x

x 2 dx
1− x2

0

VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
3

1.

∫x

−3

2

2

− 1dx

π
2

, t ∈ [0; π ] \ { }

3

2

5.

∫

2.

x x2 + 4

1
2

a

x ; x ;...; x Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni)
§Æt x = tk
2

∫ (2 x + 3)

−

n2

dx

1
2

3.

(

n1

x 2 − a 2 ) §Æt x =

2.

∫x

2

0

14

− 4 x + 3 dx


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị
π
2

1

3. ∫ x x − m dx

4.

0

−

π

5.

∫π sin x dx

∫π

1 − sin x dx

2

π
3

6.

−

∫
π

tg 2 x + cot g 2 x − 2dx

6
3π
4

7. ∫ sin 2 x dx
π
4
5

9. ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx
−2

2π

8.

∫

1 + cos x dx

0

3

x
10. ∫ 2 − 4 dx
0

III. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

15


Trường THPT Lê Quý Đôn
Ngày soạn: ................

GV: Nguyễn Thị Nghị

PPCT: ..........

Tuần: ..........

CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b:
P.Pháp:  DTHP cần tìm là:
b

S = ∫ f ( x ) .dx

(a < b)

a

•Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0
ΣNếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [ a; b] thì:
S=

b

∫ f ( x ).dx
a

ΣNếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn [ a; b] . Giả sử x = α , x = β thì
α

β

b

a

α

β

S = ∫ f ( x ) .dx + ∫ f ( x ) .dx + ∫ f ( x ) .dx
S=

α

β

b

a

α

β

∫ f ( x ).dx + ∫ f ( x ).dx + ∫ f ( x ).dx

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y =f(x) và trục hoành:
P.Pháp:

x = a

♦ HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 ⇔ 
x = b
b

S = ∫ f ( x ) .dx =
a

b

∫ f ( x ).dx
a

3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
(c 1 ): y = f(x) và(c 2 ): y = g(x) và hai đường
x = a; x = b:
P.Pháp
b

• DTHP cần tìm là: S = ∫ f ( x ) − g( x ) .dx
a

• HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0
Lập luận giống phần số 1
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
16

Trng THPT Lờ Quý ụn
GV: Nguyn Th Ngh
a/ th hm s y = x + x -1 , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x
=1
b/ th hm s y = ex +1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x =
1
c/ th hm s y = x3 - 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x
=4
d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2
Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2. Tìm m để diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích
ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau
x x 3

Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi y = o x 1
y = 0


Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi
phần

x 2 + 2ax + 3a 2
y
=

1+ a4
Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

Tìm a để
2
a

ax
y =

1+ a4

diện tích lớn nhất
Bài 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau:

x2
y = 4

4
1) (H1):
2
y = x

4 2
2
y = x
2
x = y

4) (H4):

7)

ln x

y
=

2 x

(H7): y = 0
x = e

x = 1

y = x 2 4x + 3
2) (H2) :
y = x + 3
y = x
2
y = 2 x

y2 + x 5 = 0

5) (H5):

6) (H6):

2
y = x 2x
8) (H8) :
2
y = x + 4x

3
3

2
y = x + x
2
2
9) (H9):
y = x


(C ) : y = x
y 2y + x = 0

10) (H10):
11) (d ) : y = 2 x
x + y = 0
(Ox)

2

y 2 = 2x + 1
13)
y = x 1

3x 1

y = x 1

3) (H3): y = 0
x = 0



y = 4 x 2
14) 2
x + 3 y = 0

17

x + y 3 = 0

(C ) : y = e x

12) (d ) : y = 2
() : x = 1


15)

y = x

x + y 2 = 0
y = 0



Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị


x2
y
=

 y 2 = 2x
2
16 
17 
18)
 y = x, y = 0, y = 3
y = 1

1+ x2
1
1

 y = sin 2 x ; y = cos 2 x
19. 
20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp
π
π
x = ; x =

6
3
 y = x − 4x + 5


21)  y = −2 x + 4
 y = 4 x − 11

2

 y = / x 2 − 1/
24) 
 y = / x /+ 5
y = x + 2
27) 
y = 4 − x
2

y = x3

30)  y = 0
 x = −2; x = 1

 y = x + 2x
33) 
y = x + 2
2

 y = −x + 6x − 5

22)  y = − x 2 + 4 x − 3
 y = 3 x − 15

2

 y = x 3
25)  2
 y = x

 y = ln x, y = 0

1

 x = e , x = e

tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)

y = x

 y = 1
23) 
x
y = 0

 x = e
 y = −3 x 2 − / x / + 2
y = 0

26) 

 y = x 2 − 2x + 2

28)  y = x 2 + 4 x + 5
y = 1


 y = sin x − 2 cos x
31)  y = 3
 x = 0; x = π

 y = 2x 2 − 2x

34)  y = x 2 + 3x − 6
 x = 0; x = 4


 y = / x 2 − 1 /
29) 
 y = − x 2 + 7
2

y = x + 3 +
32) 
x
 y = 0
 y = / x 2 − 5x + 6 /
35) 
y = 6

 y = 2x 2

 y = / x 2 − 3x + 2 /
36)  y = x 2 − 2 x − 1
37) 
y = 2
y = 2


III. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

18


Trường THPT Lê Quý Đôn
Ngày soạn: ................

GV: Nguyễn Thị Nghị

PPCT: ............

Tuần: .........

CHỦ ĐỀ:HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục
r r rOx, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc
O. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục
như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
rr rr r r
r r
r
Chú ý: i 2 = j 2 = k 2 = 1 và i. j = i.k = k . j = 0 .
2. Tọa độ của vectơ:

r
r
r r r
a) Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk
r

r

b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k ∈ R
r

r

• a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
r
• ka = (ka1; ka2 ; ka3 )
 a1 = b1
r r

• a = b ⇔ a2 = b2
a = b
3
 3
r
r
r
r
• 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0r; 0), j = (0;1; 0), k = (r0; 0;1r)
r
r r

• a cùng phương b (b ≠ 0)
⇔ a = kb (k ∈ R)

rr

• a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
r

• a 2 = a12 + a22 + a32

rr
a.b
r r
• cos(a , b ) = ar . br =

 a1 = kb1
a
a a

⇔  a2 = kb2
⇔ 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ≠ 0)
b1 b2 b3
 a = kb
3
 3
r r
a
• ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0
r
• a = a12 + a22 + a22

a1b1 + a2 b2 + a3b3

a12

+ a22

+ a32 .

b12

+ b22

r r

+ b32

r

(với a, b ≠ 0 )

3. Tọa độ của điểm:
uuur
a) Định nghĩa: M ( x; y; z) ⇔ OM = ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( xB ; yB ; zB )
uuu
r

• AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − zA )

• AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 + (zB − zA )2

 x A − kxB y A − kyB z A − kzB 
;
;
÷
1− k
1− k 
 1− k
x +x y +y z +z 
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M  A B ; A B ; A B ÷

2
2
2 

• Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M 

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
 x + xB + xC y A + yB + yC zA + zB + zC 
G A
;
;
÷
3
3
3



19


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị

• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
 x + xB + xC + xD y A + yB + yC + yD zA + zB + zC + zC 
G A
;
;
÷

4
4
4


4. Tích có hướng của hai
trình nâng cao)
r vectơ: (Chương
r
a) Định nghĩa: Cho a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1, b2 , b3 ) .
r

r

 a2

a3

 b2

b3

[ ar, b ] = ar ∧ b = 

;

a3

a1

b3

b1

;

a1 a2 
÷= ( a2 b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2 b1 )
b1 b2 ÷


Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là
một số.
b) Tính chất:
r r

r
r r
r
r
r r r
r r
r r
r
 j , k  = i ;
[ k,i ] = j
[a, b] ⊥ b
• i , j  = k ;
• [a, b] ⊥ a;
r r

r r

r r

r r

r r

r

• [a, b] = a . b .sin ( a, b )
• a, b cùng phương ⇔ [a, b] = 0
c) Ứng dụng của tích có hướng:
r r
r r r

r
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng ⇔ [a, b].c = 0

• Thể tích khối hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ :

uuu
r uuur
SY ABCD =  AB, AD 
r uuur
1 uuu
S∆ ABC =  AB, AC 
2
uuu
r uuur uuu
r
VABCD. A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD ]. AA '

• Thể tích tứ diện ABCD:

VABCD =

• Diện tích hình bình hành ABCD:

• Diện tích tam giác ABC:

r uuur uuur
1 uuu
[ AB, AC ]. AD
6

Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường
thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính
thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng –
không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
r r
rr
a ⊥ br⇔ a.b = 0
r
r r r
[
a vaø
b
cuø
n
g
phöông
⇔
a
,b ] = 0
r r r
r r r
a , b , c ñoàng phaúng ⇔ [ a , b ] .c = 0

5. Phương trình mặt cầu:
• Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
( x − a )2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = R 2

• Phương trình x 2 + y 2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a 2 + b2 + c 2 − d > 0 là phương

20


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị

trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .
II. BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
Viết tọa độ
của các vectơ sau đây:
r r
r
r
r r
r
r
a = −2 i + j ;
b = 7i − 8k ;
c = −9k ;
r r r
Viết dưới dạng xi + yj + zk mỗi vectơ sau đây:

r
r
r
r

d = 3i − 4 j + 5k

r  1 1 
r

1 
r  1
r 4
a =  0;
; 2 ÷; b = (4; −5; 0) ;
c =  ; 0;
d
= π; ;
÷;
÷
2 
3

3
 3 5
r
r
r
r
Cho: a = ( 2; −5; 3) , b = ( 0; 2; −1) , c = ( 1; 7; 2 ) . Tìm toạ độ của các vectơ u với:
r 2r
r
r
r 1r r
r

a) u = 4a − b + 3c
b) ur = ar − 4b − 2cr
c) u = −4b + c
2
3
r
r 1r 4r
r
r r 3r 2r
d) ur = 3ar − b + 5cr
e) u = a − b − 2c
f) u = a − b − c
2
3
4
3
r
x
Tìm tọa độ của vectơ , biết rằng:
r
r
r
r r
r
a) ar + xr = 0 với a = ( 1; −2;1)
b) a + x = 4a với a = ( 0; −2;1)
r
r
r
c) ar + 2 xr = b với a = ( 5; 4; −1) , b = ( 2; −5; 3)

r
Cho a = (1; −3; 4) .
r
r
a) Tìm y và z để b = (2; y; z) cùng phương với a .
r
r
r
r
r
b) Tìm toạ độ của vectơ c , biết rằng a vaø c ngược hướng và c = 2 a .
r
r
r
Cho ba vectơ a = ( 1; −1;1) , b = ( 4; 0; −1) , c = ( 3; 2; −1) . Tìm:
r r
r
rr r
a) ( a.b ) c
b) ar 2 ( b .cr )
c) ar 2 b + b 2cr + cr 2 ar
r r
r
r
d) 3ar − 2 ( ar .b ) b + cr 2 b
e) 4ar.cr + b 2 − 5cr 2
r
r
Tính góc giữa hai vectơ a và b :
r

r
r
r
a) a = ( 4; 3;1) , b = ( −1; 2; 3)
b) a = ( 2; 5; 4 ) , b = ( 6; 0; −3)
r
r
c) ar = (2;1; −2), b = (0; − 2; 2 )
d) ar = (3; 2; 2 3 ), b = ( 3; 2 3; −1)
r
r
r
e) ar = (−4; 2; 4), b = (2 2; −2 2; 0)
f) a = (3; −2;1), b = (2;1; −1)
r
Tìm vectơ u , biết rằng:
r
r
r
r
r
r
 a = (2; −1; 3), b = (r1; −3; 2), c = (3; 2; −4)
 a = (2; 3; −1), b = (1; r−2; 3), c = (2; −1;1)
r
rr
r
rr
a) ar.ur = −5,
b) ur ⊥ ar ,

u .b = −11,
u .c = 20
u ⊥ b,
u .c = −6


r
r
r
r
r
r
 a = (2; 3;1), b = (r1; −2; −1), c = (−2; 4; 3)
 a = (5; −3; 2), b =r (1; 4; −3), c = (−3; 2; 4)
r
rr
r
rr
c) ar.ur = 3,
d) ar.ur = 16,
b .u = 4,
c .u = 2
b .u = 9,
c .u = −4


r
r
r
 a = (7; 2; 3), b = r(4; 3; −5), c = (1;1; −1)

r
r r
e) ar.ur = −5,
b .u = −7,
c ⊥u

r r
Cho hai vectơ a , b . Tìm m để:

21


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị
r
r
r
 ar = (2;1; −2), b = (0; − 2; 2 )
 a = (3; −2;1r), b = (2;1; −1) r
r
r
a)  r r
b) ur = mar − 3b vaø vr = 3ar + 2mb vuoâng goùc
r
r

u = 2a + 3mb vaø v = ma − b vuoâng goùc
r
r

 a = (3; −2;1), b = (2;1; −1)
c) ur = mar − 3br vaø vr = 3ar + 2mbr cuøng phöông

r r
Cho hai vectơ a , b . Tính X, Y khi biết:
r
r
r
 ar = 4, b = 6
 ar = (2; −1; −2), b = 6, ar − b = 4
a) 
b) 
r r
r r
X = a − b
Y = a + b
r
r
r
r
 ar = 4, b = 6, ( ar , b ) = 1200
 ar = (2; −1; −2), b = 6, ( ar , b ) = 600
c) 
d) 
r r
r r
r r
r r
X = a − b , Y = a + b
 X = a − b ,Y = a + b

r r r
r r r
Cho ba vectơ a , b , c . Tìm m, n để c = [ a, b ] :
r
r
r
a) a = ( 3; −1; −2 ) , b = ( 1; 2; m ) , c = ( 5;1; 7 )
r
r
r
b) a = ( 6; −2; m ) , b = ( 5; n; −3) , c = ( 6; 33;10 )
r
r
r
c) a = ( 2; 3;1) , b = ( 5; 6; 4 ) , c = ( m; n;1)
r r r
Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a , b , c trong mỗi trường hợp sau đây:
r
r
r
r
r
r
a) a = ( 1; −1;1) , b = ( 0;1; 2 ) , c = ( 4; 2; 3)
b) a = ( 4; 3; 4 ) , b = ( 2; −1; 2 ) , c = ( 1; 2;1)
r
r
r
r
r

r
c) a = ( −3;1; −2 ) , b = ( 1;1;1) , c = ( −2; 2;1)
d) a = ( 4; 2; 5 ) , b = ( 3;1; 3) , c = ( 2; 0;1)
r
r
r
r
r
r
e) a = (2; 3;1), b = (1; −2; 0), c = (3; −2; 4)
f) a = (5; 4; −8), b = (−2; 3; 0), c = (1; 7; −7)
r
r
r
r
r
r
g) a = (2; −4; 3), b = (1; 2; −2), c = (3; −2;1)
h) a = (2; −4; 3), b = (−1; 3; −2), c = (3; −2;1)
r r r
Tìm m để 3 vectơ a, b , c đồng phẳng:
r
r
r
a) a = ( 1; m; 2 ) , b = ( m + 1; 2;1) , c = ( 0; m − 2; 2 )
r
r
r
b) a = (2m + 1;1; 2m − 1); b = (m + 1; 2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2)
r

r
r
c) a = ( m + 1; m; m − 2 ) , b = ( m − 1; m + 2; m ) , c = ( 1; 2; 2 )
r
r
r
d) a = ( 1; −3; 2 ) , b = ( m + 1; m − 2;1 − m ) , c = ( 0; m − 2; 2 )
r r r r
r r r
Cho các vectơ a , b , c , u . Chứng minh ba vectơ a , b , c không đồng phẳng. Biểu diễn
r
r r r
vectơ u theo các vectơ a , b , c :
r
r
 ar = ( 2;1; 0 ) , b = ( 1; −1; 2 ) , cr = ( 2; 2; −1)
 ar = ( 1; −7; 9 ) , b = ( 3; −6;1) , cr = ( 2;1; −7 )
a) ur = (3; 7; −7)
b) ur = (−4;13; −6)


r
r
r
 a = ( 1; 0;1) , b = ( 0; −1;1) , c = ( 1;1; 0 )
c) ur = (8; 9; −1)
d)

r
 ar = ( 1; 0; 2 ) , b = ( 2; −3; 0 ) , cr = ( 0; −3; 4 )

r
u = (−1; −6; 22)
r
r
 ar = ( 2; −3;1) , b = ( −1; 2; 5 ) , cr = ( 2; −2; 6 )
 ar = ( 2; −1;1) , b = ( 1; −3; 2 ) , cr = ( −3; 2; −2 )
e) ur = (3;1; 2)
f) ur = (4; 3; −5)


r r r r
Chứng tỏ bốn vectơ a, b , c , d đồng phẳng:
r
r
r
r
a) a = ( −2; −6;1) , b = ( 4; −3; −2 ) , c = ( −4; −2; 2 ) , d = (−2; −11;1)
r
r
r
r
b) a = ( 2; 6; −1) , b = ( 2;1; −1) , c = ( −4; 3; 2 ) , d = (2;11; −1)
r
r r r
Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng và vectơ d . Chứng minh bộ ba vectơ sau
không
đồng phẳng:
r r r
r
r

a) b , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0)

r r r

r

r

b) a, c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0)
22


Trường THPT Lê Quý Đôn

GV: Nguyễn Thị Nghị
r
r r r
r
r r r
r
r
r
r
c) a, b , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0) d) b , c , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0)
r
r r r
r
r
e) a, c , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0)

VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học.
Diện tích – Thể tích.
– Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
– Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
– Tính chất hình học của ucác
điểm đặc biệt:
uu
r uuur
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
r
• A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương ⇔ AB = k AC ⇔  AB, AC  = 0
uuu
r uuur
• ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC
• Cho ∆ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A
uuu
r
r
uuu
r AB uuu
r
AB uuu
EB = −
.EC ,
FB =

.FC
AC uuu
AC
r uuur uuur
• A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB, AC , AD không đồng phẳng
uuu
r uuur uuur
 AB, AC  . AD ≠ 0

của ∆ABC trên BC. Ta có:

⇔

Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
• Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz• Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
a) M(1; 2; 3)
b) M(3; −1; 2)
c) M(−1;1; −3)
d) M(1; 2; −1)
e) M(2; −5; 7)
f) M(22; −15; 7)
g) M(11; −9;10)
h) M(3; 6; 7)
Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M′ đối xứng với điểm M:
• Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua trục Oy
a) M(1; 2; 3)
b) M(3; −1; 2)
c) M(−1;1; −3)
d) M(1; 2; −1)
e) M(2; −5; 7)

f) M(22; −15; 7)
g) M(11; −9;10)
h) M(3; 6; 7)
Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:
a) A(1; 3;1), B(0;1; 2), C(0; 0;1)
b) A(1;1;1), B(−4; 3;1), C (−9; 5;1)
c) A(10; 9;12), B(−20; 3; 4), C(−50; −3; −4)
d) A(−1; 5; −10), B(5; −7; 8), C (2; 2; −7)
Cho ba điểm A, B, C.
• Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.
• Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC.
• Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
• Xác định toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của
góc A của ∆ABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó.
• Tính số đo các góc trong ∆ABC.
• Tính diện tích ∆ABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ∆ABC.
a) A(1; 2; −3), B(0; 3; 7), C (12; 5; 0)
b) A(0;13; 21), B(11; −23;17), C (1; 0;19)
c) A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2), C (1; 2; −3)
d) A(4; 2; 3), B(−2;1; −1), C(3; 8; 7)
e) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1), C(−1;1; −3)
f) A(4;1; 4), B(0; 7; −4), C(3;1; −2)
g) A ( 1; 0; 0 ) , B ( 0; 0;1) , C ( 2;1;1)
h) A(1; −2; 6), B(2; 5;1), C (−1; 8; 4)
Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm:
23


Trường THPT Lê Quý Đôn
GV: Nguyễn Thị Nghị

a) A(3;1; 0) , B(−2; 4;1)
b) A(1; −2;1), B(11; 0; 7)
c) A(4;1; 4), B(0; 7; −4)
d) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1)
e) A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2) f) A(4; 2; 3), B(−2;1; −1)
Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm:
a) A(1;1;1), B(−1;1; 0), C(3;1; −1)
b) A(−3; 2; 4), B(0; 0; 7), C (−5; 3; 3)
c) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1), C(−1;1; −3)
d) A(0;13; 21), B(11; −23;17), C (1; 0;19)
e) A(1; 0; 2), B(−2;1;1), C(1; −3; −2)
f) A(1; −2; 6), B(2; 5;1), C (−1; 8; 4)
Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M.
• Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ?
• Tìm tọa độ điểm M.
a) A ( 2; −1; 7 ) , B ( 4; 5; −2 )
b) A(4; 3; −2), B(2; −1;1)
c) A(10; 9;12), B(−20; 3; 4)
d) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1)
e) A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2) f) A(4; 2; 3), B(−2;1; −1)
Cho bốn điểm A, B, C, D.
• Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
• Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
• Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
• Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
• Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ
A.
a) A(2; 5; −3), B(1; 0; 0), C (3; 0; −2), D(−3; −1; 2) b) A ( 1; 0; 0 ) , B ( 0;1; 0 ) , C ( 0; 0;1) , D ( −2;1; −1)
c) A ( 1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C ( 1; 0; 2 ) , D ( 1;1;1)
d) A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 )

e) A(2; 3;1), B(4;1; −2), C(6; 3; 7), D(−5; −4; 8) f) A(5; 7; −2), B(3;1; −1), C(9; 4; −4), D(1; 5; 0)
g) A(2; 4;1), B(−1; 0;1), C(−1; 4; 2), D(1; −2;1)
h) A(−3; 2; 4), B(2; 5; −2), C(1; −2; 2), D(4; 2; 3)
i) A(3; 4; 8), B(−1; 2;1), C(5; 2; 6), D(−7; 4; 3)
k) A(−3; −2; 6), B(−2; 4; 4), C (9; 9; −1), D(0; 0;1)
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
• Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
• Tính thể tích khối hộp.
a) A ( 1; 0;1) , B ( 2;1; 2 ) , D ( 1; −1;1) , C ' ( 4; 5; −5 ) b) A(2; 5; −3), B(1; 0; 0), C (3; 0; −2), A '(−3; −1; 2)
c) A(0; 2;1), B(1; −1;1), D(0; 0; 0;), A '(−1;1; 0)
d) A(0; 2; 2), B(0;1; 2), C (−1;1;1), C '(1; −2; −1)
Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0).
a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB).
b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều.
c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH.
Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4).
a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB).
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ
diện đều.
c) Vẽ SH ⊥ (ABC). Gọi S′ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S′ABC là
tứ diện đều.
Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG.
Gọi I là tâmuuurcủa
uur uuur
uuurhình
uuur hộp.
a) Phân tích các vectơ OI , AG theo các vectơ OA, OC , OD .
uuu
r uuur uur
uur

b) Phân tích vectơ BI theo các vectơ FE , FG, FI .
Cho hình lập phương ABCD.EFGH.
uuur uuu
r uuur
uuu
r
a) Phân tích vectơ AE theo các vectơ AC , AF , AH .

24


Trường THPT Lê Quý Đôn

uuur uuu
r uuur
uuur
b) Phân tích vectơ AG theo các vectơ AC , AF , AH .

GV: Nguyễn Thị Nghị

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB ′.
Chứng minh rằng MN ⊥ A′C.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB′, CD, A′D′
lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B′M = CN = D′P = x (0 < x < 1). Chứng
minh AC′ vuông góc với mặt phẳng (MNP).
III. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

Ngày soạn: ................

PPCT: ...............

Tuần: ............

25