Xác suất thống kê_ Nghiên cứu tình trạng cận thị của sinh viên Đại học Thương Mại.

Lời mở đầu
Trong những năm gần đây, cận thị đã trở thành bệnh thường gặp là nguyên nhân
gây giảm thị lực, đứng hàng thứ hai gây tình trạng mù lịa và trở thành nỗi lo lắng của
nhiều gia đình. Cận thị là một tật khúc xạ gây rối loạn chức năng thị giác và chiếm tỷ
lệ cao trong nhóm các tật về thị giác và thường gặp ở mọi lứa tuổi. Cận thị làm giảm
sức nhìn làm ảnh hưởng tới khả năng học tập gây cản trở, khó khăn trong công việc
hằng ngày. Trên Thế giới, cận thị học đường chiếm tỷ lệ cao ở các quốc gia, nhất là ở
Châu Á. Tỷ lệ cận thị ở một số nước như Singapore, Hồng Kông, Đài Loan, tỷ lệ lên
tới 80 - 90% ở tuổi 17 -18 Cân thị sẽ ảnh hưởng tới sự phát triển của trí tuệ nếu để
bệnh biến chứng nặng có thể thối hóa võng mạc dẫn tới mù lịa thậm chí di truyền
sang thế hệ sau.
Tại Việt Nam cận thị học đường đang rất phổ biến đặc biệt là các khu vực thành
thị tỷ lệ học sịnh cận thị là 30% cao gấp hai lần so với ở học sinh ở ngoại tỉnh. Các
yếu tố nguy cơ dẫn đến cận thị học đường bao gồm thời gian nhìn gần kéo dài như
cường độ học tập cao, đọc truyện, chơi điện tử, kết hợp với điều kiện vệ sinh học tập
không đảm bảo như tư thế ngồi học, ánh sáng không đảm bảo quy định, bàn ghế
không hợp vệ sinh, kích thước lớp học, diện tích lớp học khơng đúng tiêu chuẩn.
Khơng những thế cận thị cịn gây ảnh hưởng về mặt kinh tế xã hội do chi phí bỏ ra cao
theo ước tính chi phí cho việc điều trị các bệnh mắt hiện nay trên toàn thế giới hàng
năm lên đến 28 tỷ đô la. Đây thực sự là một gánh nặng cho xã hội. Mặc dù vậy trong
những năm gần đây tại trường đại học Thương Mại có rất ít nghiên cứu, khảo sát về
cận thị học đường chính vf vậy chúng tơi đã chọn đề tài: tình trạng cận Nghiên cứu thị
của sinh viên Đại học Thương Mại.
Nội Dung
I)

Cơ sở lý thuyết

§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
1.1 Ước lượng điểm
Giả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên một đám đơng nào đó.

• Ta lấy mẫu ngẫu nhiên W=(X1, X2,…,Xn)
• Tùy thuộc vào θ ta XDTK: θ* = f(X1,X2,…,Xn).


• Khi n khá lớn với mẫu cụ thể w = (x1,x2,…,xn), tính tốn
θ* tn = f (x1,x2,…,xn)
Ta lấy θ ≈ θ* tn làm ước lượng điểm cho tham số θ.
1.2 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.
1.2.1 Ước lượng không chệch.
Thống kê θ* được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu
E(θ*) = θ
Ngược lại, ta nói θ* được gọi là ước lượng chệch của θ .
1.3 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.
1.3.1 Ước lượng khơng chệch.
Ta có: là ước lượng khơng chệch của µ.
S’ 2 là ước lượng không chệch của σ2.
Nếu θ* là ước lượng chệch của θ và được gọi là ước lượng tiệm cận không chệch nếu
lim ┬ x →+∞ E(θ↑∗ ) = θ X
1.3.2 Ước lượng vững.
Thống kê θ* được gọi là ước lượng vững của θ nếu với mọi ε > 0 ta có:
| θ*- θ |<ε)=1
1.4 Các tiêu chuẩn đánh giá bản chất tốt của ước lượng.
1.4.1 Ước lượng hiệu quả.
Thống kê θ* được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu nó là ước lượng khơng chệch
và có phương sai nhỏ nhất so với các ước lượng không chệch khác trên cùng một mẫu.
• là ước lượng hiệu quả của µ.
• f là ước lượng hiệu quả của p.


1.2.2 Ước lượng đủ.

Thống kê θ* được gọi là ước lượng đủ của θ nếu nó chứa tồn bộ thơng tin từ mẫu.
Trung bình mẫu, phương sai mẫu … là các ước lượng đủ
Chú ý :
Tuy ước lượng điểm đơn giản nhưng có hạn chế là khơng biết sai số cũng như có
thể gặp sai số rất lớn nếu kích thước mẫu nhỏ.
§2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY
2.1 Khái niệm.
Giả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên đám đơng.
• Chọn mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2, …, Xn),
• Từ ước lượng điểm tốt nhất của θ xây dựng thống kê:
G = f(X1,X2, …, Xn, θ)
sao cho G có quy luật xác định và có biểu thức chứa θ.

Với γ = 1- α cho trước, xác định α1 ≥ 0, α2 ≥ 0 thỏa mãn α1+ α2 = α.
Từ đó xác định các phân vị g1- α1 và gα2:
P(g1−α↓1 < G < gα↓2 ) = 1- α1 - α2 = 1- α
P(θ* 1 < θ < θ* 2 ) = 1- α
2.2 Ước lượng kỳ vọng tốn của ĐLNN.
Giả sử ĐLNN X trên đám đơng có E(X) = µ và Var(X) = σ2 trong đó µ chưa biết.
2.2.1 ĐLNN X có phân phối chuẩn, phương sai đã biết.
Vì X ~ N(µ;σ2) nên


2.2.2 Chưa biết quy luật phân phối của ĐLNN X, n > 30. Vì n > 30 nên
X ≃ N(µ;σ↑2 /n ) → U = X −µ/σ/√n ≃ N(0;1)
Từ đó các bài tốn được giải quyết tương tự trường hợp X có phân phối chuẩn.
2.3 Ước lượng tỷ lệ.
Giả sử cần nghiên cứu một đám đơng kích thước N có M phần tử mang dấu hiệu A.
Khi đó p = M/N là tỉ lệ các phần tử mang dấu hiệu trên đám đông. Từ đám đơng lấy
mẫu kích thước n và f = nA/n là tần suất mẫu. Khi n khá lớn ta có: (với q = 1 - p)

f ≃N(p;pq /n )→ U = f−p/√pq /n   ≃ N(0;1)
2.4 Ước lượng phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn.
Vì X ~ N(µ; σ2), XDTK X2= ~ X2(n-1)
§1. KHÁI NIỆM VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
1.1 Giả Thuyết Thống Kê.
Định nghĩa: • Giả thuyết về quy luật phân phối xác suất của ĐLNN, về giá trị của
tham số của ĐLNN, hoặc về tính độc lập của các ĐLNN được gọi là giả thuyết thống
kê.
• Giả thuyết được đưa ra kiểm định được gọi là giả thuyết gốc. Kí hiệu là H0
• Một giả thuyết khác H0 được gọi là đối thuyết, kí hiệu là H1.
• H0 và H1 lập thành cặp GTTK và được lựa chọn theo nguyên tắc: Nếu chấp nhận H 0
thì phải bác bỏ H1 và ngược lại.
• Ví dụ: ĐLNN X với tham số θ chưa biết. Từ cơ sở nào đó ta tìm được θ= θ0 nhưng
nghi ngờ về điều này. Ta có các bài tốn

Bài tốn 1 :

Bài tốn 2:


Bài tốn 3 :
• Cơng việc tiến hành theo quy tắc hay thủ tục nào đó để từ mẫu cụ thể cho phép ta
quyết định chấp nhận H0 hay bác bỏ H0 được gọi là công việc kiểm định

1.2 Phương pháp kiểm định một giả thuyết thống kê.
• Nguyên lý xác suất nhỏ: “ Một biến cố có xác suất khá bé thì trong thực hành ta có
thể coi nó không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.”
1.2.1 Tiêu chuẩn kiểm định
• Giả sử ta có cặp GTTK H0: θ=θ0 / H1.
• Với mẫu W=(X1,X2,…Xn) XDTK:

G = f(X1,X2,…Xn ,θ0 )
Sao cho nếu H0 đúng thì G có quy luật phân phối hoàn toàn xác định. G được gọi là
Tiêu chuẩn kiểm định
1.2.2 Miền bác bỏ, quy tắc kiểm định
• Giả sử H0 đúng, khi đó G có quy luật phân phối xác suất xác định, với xác suất α khá
bé cho trước ta có thể tìm được miền Wα :
P(G∈Wα / H0 ) =α
Wα : miền bác bỏ
α : mức ý nghĩa
Thật vậy: Theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có thể coi biến cố ( G ∈ Wα/ H0) không
xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.
Do đó với mẫu cụ thể w = (x1,x2,…xn) ta tìm được:
gtn = f(x1,x2,…xn,θ0) mà gtn ∈ Wα thì giả thuyết H0 tỏ ra khơng đúng, ta có cơ sở bác
bỏ H0


+Quy tắc kiểm định:
• Tính tốn: gtn = f(x1,x2,…xn,θ0) Wα gtn ∉ Wα g
• Nếu: ta có c tn ∈ ơ sở bác bỏ H0, chấp nhận H1
• Nếu: ta chấp nhận H0, bác bỏ H1
1.2.3 Các loại sai lầm
Sai lầm loại 1: là sai lầm bác bỏ H 0 khi bản thân H0 đúng. Khả năng mắc phải sai lầm
loại 1
. P(G∈Wα / H0 ) =α
Sai lầm loại 2: là sai lầm chấp nhận H 0 khi bản thân H0 sai. Khả năng mắc phải sai lầm
loại 2
P(G∉Wα / H1) = β
Nhận xét:
+ Xác suất 1-β được gọi là lực kiểm định.
+ Với kích thước mẫu xác định sai lầm loại 1 và 2 thay đổi nghịch chiều nhau

§2. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ CÁC THAM SỐ CỦA ĐLNN
2.1 Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng toán của một LNN
ã Gi s LNN X cú E(X)=à, Var(X)=2 vi cha µ biết. Với mức ý nghĩa α ta kiểm
định giả thuyt H0: à=à0
ã Ly mu W=(X1,X2,Xn ) ta cú:

2.1.1 LNN X có phân phối chuẩn với σ2 đã biết
• Do X có phân phối chuẩn với σ2 đã biết nên ta có:


Nếu H0 đúng thì U~N(0,1)
2.2 Kiểm định giả thuyết về phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn
• Giả sử ĐLNN X có E(X)=µ, Var(X)=σ 2 với chưa σ2 chưa biết. Với mức ý nghĩa α ta
cần kiểm định giả thuyết H0: σ2 = σ0 2
• Lấy mẫu W=(X1,X2,…Xn ) từ đó ta tìm được

• Do X có phân phối chuẩn nên XDTCKĐ:

Nếu H0 đúng thì X2~X2(n-1)
GIẢI BÀI TỐN

II)



Bài Tốn 1

Khảo sát tỷ lệ cận thị của sinh viên trường ĐHTM
- Từ đám đơng là tồn bộ sinh viên trường ĐHTM, ta đi khảo sát ngẫu nhiên 127 sinh
viên trong trường để điều tra=> kích thước mẫu n=127.

- Từ bảng khảo sát ta đưa ra một số nhận xét sau:
-Tỷ lệ cận thị sinh viên ĐHTM là: p= *100%=69,291%
Trong số 88 sinh viên bị cận thị điều tra thấy có 53 sinh viên có ý định chữa mắt=> tỷ
lệ sinh viên bị cận thị và có ý định chữa mắt là: p=*100%=60,227%
-Khoảng thời gian cận thị khám mắt định kỳ trung bình trong khoảng 6 tháng đến 1
năm.
Ta có bảng phân phối thực nghiệm về độ cận của sinh viên ĐHTM:
xi(độ
cận)
ni
-

0

0,5 0,75 1,25 1,5 1,75 2

2,5 3

3,5 3,75 4

39 2
3
4
12 5
7 4
12 8
Xét trên mẫu n=127 ta có:
Độ cận trung bình của sinh viên ĐHTM là: ≈ 1,81
Phương sai mẫu: s2 = ≈ 4,676

2

4,5 5

11 3

8

5,5 6
4

2

6,
5
1


-

Phương sai mẫu điều chỉnh: s’2= ≈ 4,713
Độ lệch tiêu chuẩn mẫu: s≈ 2,16
Độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh: s’≈ 2,17

Bài toán 1:
Khảo sát ngẫu nhiên 127 sinh viên trường ĐHTM thấy độ cận trung bình của
mỗi sinh viên là 1,81 độ. Biết độ cận của sinh viên có phân phối chuẩn với độ
lệch tiêu chuẩn là 2,16 độ.
1. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng độ cận trung bình của sinh viên ĐHTM.
2. Để đảm bảo khi ước lượng đạt độ tin cậy 99% và sai số khơng vượt q 0,1

thì cần điều tra bao nhiêu sinh viên?
3. Những sinh viên có độ cận từ 0,5-> 1,5 được gọi là cận nhẹ. Với độ tin cậy
99% hãy ước lượng tỷ lệ tối thiểu sinh viên ĐHTM bị cận nhẹ.
Bài làm:
1. Tóm tắt: n=127, =1,81; X N(µ;), γ=95%, µ=?
Gọi X là độ cận của mỗi sinh viên ĐHTM
là độ cận trung bình của sinh viên ĐHTM xét trên mẫu
µ là độ cận trung bình của sinh viên ĐHTM xét trên đám đơng
Vì n=127>30 và X N(µ;) => N(µ;)
Do đó: U=
Ta có thể tìm u sao cho: P(= 1-α= γ
P(< )= 1-α= γ  P( <µ<( )= 1-α= γ
Mà: γ=95%=0,95 =>α=1-γ=0.05=>u0,025=1,96
Xét trên mẫu cụ thể ta có:
=1,81-1,96*= 1,4343
=1,81+1,96*= 2,1857
=> Khoảng tin cậy của µ là : µ=(1,4343;2,1857)
 Kết luận: Với độ tin cậy 95% ta có thể nói rằng độ cận trung bình của sinh viên

ĐHTM là từ 1,4343 độ đến 2,1857 độ.
2. Ta có: γ=99%=0,99 => α=1-γ=0.01 => =u0,005=2,575

Mặt khác: ε=  n= = ≈ 3093,58
 Kết luận: Để đảm bảo khi ước lượng đạt độ tin cậy 99% và sai số khơng vượt q
0,1 thì cần điều tra ít nhất 3094 sinh viên.
3.
Tỷ lệ sinh viên cận nhẹ là: f = ≈ 0,1654
Vì n=127 khá lớn nên: fN(p,) => U = N(0,1)
Khi đó ta tìm được uα sao cho:
P(U< uα)

P
P
Vì chưa biết p, n lớn ta lấy p ≈ f ≈ 0,1654 và q ≈ 1 – p = 0,8346
Xét trên mẫu cụ thể ta có:
Khoảng tin cậy phải của p là:
Kết luận: với độ tin cậy 99% tỷ lệ tối thiểu sinh viên ĐH Thương Mại bị cận nhẹ là
9%


Bai Tốn 2

Cơng ty văn phịng phẩm Hồng Hà tổ chức tuyển dụng nhân viên văn phòng vào các
vị trí: nhân viên kinh doanh, kế tốn tổng hợp, quản lý nhân lực. Ngồi các u cầu về
chun mơn, bằng cấp, kinh nghiệm. Cơng ty u cầu các thí sinh đến ứng tuyển phải
có thị lực tốt. Tiến hành khảo sát tỷ lệ cận thị của sinh viên trường đại học Thương
Mại. Để tìm hiểu về mức độ đáp ứng nhu cầu tuyển dụng của công ty.
Thống kê khoảng thời gian giữa 2 lần khám liên tiếp của sinh viên trường đại học
Thương mại khi bị cận thị
xi(tháng) 3
ni
1
-

6
34

12
40

18
3

24
5

60
1

Xét trên mẫu n=127 ta có:
+ Khoảng thời gian trung bình giữa 2 lần khám liên tiếp là:
+ Độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh: : s’≈ 5,7

Bài toán 2: Thống kê khoảng thời gian giữa 2 lần khám liên tiếp của sinh viên trường
đại học Thương Mại khi bị cận thị và tính được khoảng thời gian trung bình giữa 2 lần
khám liên tiếp là 11 tháng, độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh là 5,7.
1. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể nói rằng khoảng thời gian giữa 2 lần khám liên

tiếp của sinh viên trường ĐHTM là lớn hơn 10 tháng hay không?
2. Tỉ lệ cận thị của sinh viên ĐHTM là 70%. Có ý kiến cho rằng tỉ lệ này

khơng chính xác. Tiến hành điều tra 127 sinh viên thấy có 84 sinh viên bị
cận thị. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho ý kiến trên đúng hay sai.
Bài giải:
1. Gọi X là khoảng thời gian giữa 2 lần khám liên tiếp


là khoảng thời gian trung bình giữa 2 lần khám liên tiếp trên mẫu
µ là khoảng thời gian trung bình giữa 2 lần khám liên tiếp trên đám đông

Với mức ý nghĩa 0,05 ta cần kiểm định
Vì X N(µ;) => N( µ;)
TCKĐ: U =
Khi đúng , U
Với

α= 0.05 → Uα/2= U0.025= 1.96

P (| U | > Uα/2 ) = α
→ Miền bác bỏ Wα= { Utn: | Utn | > Uα/2}
+) Với mẫu cụ thể có: Utn= = = 1.61
| 1.61 | < 1.96 → Utn € Wα
→ Chưa có cơ sở để bác bỏ Ho
→ Kết luận: Với mức ý nghĩa 0.05 có thể nói rằng khoảng thời gian giữa hai
lần khám liên tiếp của sinh viên trường Thương Mại lớn hơn 10 tháng.
2. Gọi là tỷ lệ sinh viên bị cận thị của trường đại học Thương Mại

F là tỷ lệ sinh viên bị cận thị của trường đại học Thương Mại trong 127 sinh
viên với mức ý nghĩa α= 0.05 ta cần kiểm định: { Ho: P= Po (Po= 0.66; H1: P
> P0)
Vì X ∼ N (P; δ2) → f ∼ N (P, )
→ TCRĐ: U= Khi Ho đúng → U ∼ N (0.1)
Với α= 0.05 ta cần xác định Uα sao cho:
P ( U < -Uα)= α
Vì α nhỏ, theo ngun lý xác suất nhỏ có
Wα= { Utn: Utn < -Uα}
Utn= 3,443
Uα= U0,05 = 1,96
ð Utn ¢ Wα => Chưa có cơ sở để bác bỏ Ho

Kết luận: Với mức ý nghĩa 0,05 có thể tỉ lệ cận thị của sinh viên ĐHTM là
70% là không chính xác.
III)

Khảo sát thực tế tỷ lệ cận thị trường Đại Học Ngoại Thương:


Trường Đại Học Ngoại Thương hiện có 2000 sinh viên bị cận do nhiều nguyên
nhân. Đáng báo động, qua sàng lọc trong số đó chỉ có 50% tương đương với
khoảng 1000 em được đeo kính. Chính điều đó dẫn tới tình trạng cận thị ở
Trường Đại Học Ngoại Thương ngày càng gia tăng.
Qua điều tra, hiện nay tồn trường có hiện có 2000 người kém thị lực, 1000
người đeo kính, 1000 người bị bệnh đục thủy tinh thể. Hàng năm, có trên 100
người bị mắc mới. Đặc biệt, một trong những căn bệnh gây mù đó là tật khúc xạ
học đường lại đang có xu hướng tăng nhanh . Hiện con số này đang ở mức cao
từ 7%- 30%, trung bình là 15%. Ước tính tồn trường có 3000 học sinh bị tật
khúc xạ, nhưng trong đó chỉ có khoảng 1000 sinh viên đã và đang được đeo
kính. Sinh viên bây giờ dễ mắc tật khúc xạ bởi xem tivi, ngồi trước máy tính
quá nhiều và gần. Tư thế ngồi và ánh sáng khi các em ngồi học không đúng quy
chuẩn…

IV)

Cách đây khoảng 10 năm, trẻ em bắt đầu bị cận ở lứa tuổi 10 trở lên thì nay ở
lứa tuổi nhỏ hơn rất nhiều, từ 6 - 8 tuổi. Và điều đáng báo động là ở lứa tuổi này
các em chưa tự nhận biết được những dấu hiệu của cận thị và ít bậc phụ huynh
để ý phát hiện cận thị cho con mình ở lứa tuổi này. Chính vì thế mà các em khi
được phát hiện đã bị cận nặng. Hiện nay, chưa có thuốc chữa bệnh cận thị.
Phương pháp điều trị là phẫu thuật, tuy nhiên, việc phẫu thuật lại phụ thuộc vào
nhiều yếu tố đó là phải ở tuổi trưởng thành trên 20 tuổi, độ cận thị ổn định trong

1 năm mới có thể phẫu thuật được. Vì vậy việc phịng và hạn chế cận thị là
phương pháp tối ưu nhất. Quá trình học tập và giải trí thiếu khoa học ở tuổi học
sinh có thể ảnh hưởng xấu tới khả năng điều tiết của đôi mắt, dẫn tới cận thị học
đường. Tật cận thị có 2 biểu hiện chính: độ hội tụ của mắt tăng và trục trước sau
của mắt dài quá giới hạn bình thường. Hậu quả là thị lực giảm, mắt khơng nhìn
rõ vật ở xa, chỉ thấy vật ở gần. Vì vậy, bệnh cận thị hồn tồn có thể phịng
được nếu có sự phối hợp tích cực giữa sinh viên, gia đình và nhà trường.
Kết Luận