Bài giảng 7 thể tích khối chóp phần 6

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P6
Thầy Đặng Việt Hùng
DANG 3. KHỐI CHÓP ĐỀU (tiếp theo)

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của
SA, SB, CD. Chứng minh MN ⊥ SP . Tính thể tích của khối tư diện AMNP

 SP ⊥ CD
Ta có 

→ SP ⊥ MN
 MN // CD

S

1
1
Lại có VAMNP = VP. AMN = VP. ASB = SO.S ∆ABP
4
4

M
N
A

=

D

a3 6
48

P

O
B

C

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng
của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc
với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b. Tính thể tích của hình chóp đó
và khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE theo a, b.
Hướng dẫn giải:
Tâm O của lục giác đều ABCDEF là trung điểm của các đường chéo AD, BE, CF. SO ⊥(ABCDEF). Các tam
giác OAB, OBC, OCD, ODE,OEF, OFA là các tam giac đều bằng nhau cạnh b.
3 3 3b 2
2
Diện tích đáy S d = 6 S ∆OAB = 6b
=
(đvdt)
4
2
b 2 3(a 2 − b 2 )
1

Chiều cao h = SO = SA − OA = a − b ⇒ Thể tích V = S dáy h =
3
2
Xác định được d(SA, BE) = d(O, (SAF)) = OJ. Chứng minh OJ ⊥(SAF)
2

2

Trong ∆SOJ vuông tại O ta có OJ=

2

2

OI .SO
OI 2 + SO 2

=b

3(a 2 − b 2 )
4a 2 − b 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a. Gọi H là chân đường cao của tứ
diện hạ từ đỉnh S và H cách đều các đỉnh A, B, C. Khoảng cách từ H đến (SBC) bằng

a
.
2

a) Chứng minh S.ABC là khối chóp đều.
b) Tính VS.ABC
Hướng dẫn giải:

a) Do H cách đều các đỉnh nên ta dễ dàng có được ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC ⇒ SA = SB = SC ⇒ khối chóp đã
cho là khối chóp tam giác đều.
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a
a 10
a 3 30
b) Gọi I là trung điểm của BC. Hạ HK ⊥ SI ⇒ HK = d ( H ; SBC ) = 
→ SH =

→V =
2
5
60

Bài 2: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có AB = a , góc giữa SC với mặt đáy bằng 600.
a) Tính VS . ABCD
b) Tính khoảng giữa BD và SC.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có SA = a 3 , góc giữa (SCD) với mặt đáy bằng 600.
a) Tính VS . ABCD
b) Tính khoảng giữa SA và CD.

Bài 4: [ĐVH]. Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh bằng a. Dựng đường cao SH.
a) Chứng minh SA ⊥ BC .
b) Tính thể tích khối chóp và diện tích toàn phần của tứ diện.
c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung
điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh SA vuông góc với BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
Bài 6: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích
khối chóp S.ABC theo a.

Đ/s: V =

a3 3
4

Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a.

Đ/s: V =

4a 3
3

Bài 8: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo với mặt đáy
góc 600. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể
tích khối chóp S.ABMN theo a.
Hướng dẫn giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm cúa AB và CD; G là trọng tâm ∆SAC

∆SIJ đều cạnh a nên G cũng là trọng tâm ∆SIJ.
IG cắt SJ tại K là trung điểm cúa SJ; M, N là trung điểm cúa SC, SD

Ta có IK =

3a
1
3 3a 2
; S ABMN = ( AB + MN ) IK =
2
2
8

Ta có SK ⊥ ( ABMN ); SK =

a
1
3a 3
⇒ VSABMN = S ABMN .SK =
.
2
3
16

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!