Bài giảng 7 thể tích khối chóp phần 8

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P8
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 4. PP TỈ SỐ THỂ TÍCH (tiếp theo)
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là
trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện
MNABCD biết SA = AB = a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mặt phẳng (ABCD) bằng 300.
3
5
5 3a 3
Đ/s: VMNABCD = VS . ABCD − VS . ABMN = V − V = V =
.
8
8
24

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho khối tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
BC = 4BM, BD = 2BN và AC = 3AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần. Tính tỉ số thể
tích giữa hai phần đó.
7
13
Đ/s: Tỉ số thể tích cần tìm là
hoặc .
13
7
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với BAD = 1200 , BD = a > 0. Cạnh bên
SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuông
góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp.

Hướng dẫn giải:
Gọi V, V1 và V2 là thể tích của hình chóp S.ABCD, K.BCD và phần còn lại của hình chóp S.ABCD.
V S ABCD .SA
SA
Ta có
=
= 2.
= 13 .
V1 S BCD .HK
HK
V V1 + V2
V
V
Suy ra
=
= 1 + 2 = 13 ⇔ 2 = 12
V1
V1
V1
V1
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600. Gọi M là

điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính
tỉ số thể tích của hai phần đó.

Hướng dẫn giải:
Gọi P = MN ∩ SD, Q = BM ∩ AD ⇒ P là trọng tâm ∆SCM, Q là trung điểm của MB.
VMDPQ MD MP MQ 1 2 1 1
5

•
=
.
.
= . . = ⇒ VDPQCNB = VMCNB
VMCNB MC MN MB 2 3 2 6
6

• Vì D là trung điểm của MC nên d ( M ,(CNB)) = 2d ( D,(CNB))
1
⇒ VMCNB = 2VDCNB = VDCSB = VS . ABCD
2

⇒ VDPQCNB =

V
5
7
7
VS. ABCD ⇒ VSABNPQ = VS . ABCD ⇒ SABNPQ = ⇒ ⇒.
12
12
VDPQCNB 5

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, ABC = 600 , chiều cao SO của
hình chóp bằng

a 3
, trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của AD,
2

mặt phẳng (P) chứa BM và song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp K.BCDM.

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Hướng dẫn giải:
Gọi N = BM ∩ AC ⇒ N là trọng tâm của ∆ABD.
1
Kẻ NK // SA (K ∈ SC). Kẻ KI // SO (I ∈ AC) ⇒ KI ⊥ (ABCD). Vậy VK .BCDM = KI .S BCDM
3
KI CK
CK CN
=
(1),
∆KNC ~ ∆SAC ⇒
=
(2)
Ta có: ∆SOC ~ ∆KIC ⇒
SO CS
CS CA
1
CO + CO
KI CN CO + ON
2
2

a 3
3
Từ (1) và (2) ⇒
=
=
=
= ⇒ KI = SO =
SO CA
2CO
2CO
3
3
3
a 3
1
3 3 2
Ta có: ∆ADC đều ⇒ CM ⊥ AD và CM =
⇒ S BCDM = ( DM + BC ).CM =
a
2
2
8
1
a3
⇒ VK .BCDM = KI .S BCDM =
3
8

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp.

Cho AB = a; SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) và tính
thể tích hình chóp OAHK.

Đ/s:

a3 2
27

Bài 2: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.
Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

Đ/s:

3 3a 3
50

Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông
góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =

a
. Mặt
3

phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.

Đ/s:

a 310 3
27

Bài 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 3 , SA = 2a và SA
⊥ ABCD. Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. Hãy tính thể tích
khối chóp S.AHIK theo a.

Bài 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = 2a. Gọi B’, D’ là
hình chiếu của A trên SB, SD.Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S. AB’C’D’.

Bài 6: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Tính
tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B; SA = a 3 vuông góc với (ABC). Biết AB
= BC = a. Kẻ AH ⊥ SB và AK ⊥ SC.
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp S.ABC là các tam giác vuông
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
c) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK)
d) Tính VS.AHK
Bài 8: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc
60o ; gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và SD tại F.

a) Chứng minh rằng AM ⊥ EF.
b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
c) Tính chiều cao của hình chóp S.AEMF.

Bài 9: [ĐVH]. Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27a3 .Lấy A ' trên SA sao cho SA = 3SA ' . Mặt phẳng
qua A ' và song song với đáy hình chóp cắt SB, SC, SD lần lượt tại B ', C ', D '. Tính thể tích hình chóp

SAB ' C ' D ' .

Đ/s: V = a3
Bài 10: [ĐVH]. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm
SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB, (SDF) tại M và P. Tính thể tích khối chóp
SAMNP.
a2h
Đ/s: V =
9

Bài 11: [ĐVH]. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho
Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.

Đ/s: x =

5 −1
2

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

SM
= x.
SA