Đề cương ôn tập có lời giải môn CAE

Câu 1: Phân tích chức năng của sản phẩm và các phương pháp
đưa ra ý tưởng trong thiết kế sản phẩm?
Phân tích chức năng của sản phẩm
 Trong thực tế mỗi loại sản phẩm lại có một chức
năng riêng
 Trên thực tế người ta luôn muốn một sản phẩm đảm
nhiệm nhiều chức năng để nó có thể đảm nhiệm
nhiều công việc khác nhau

Nhưng chính vì lý do đó mà cũng khiến các nhà
thiết kế rất đau đầu họ phải chung hòa các chức
năng trong sản phẩm của mình vừa phải tối ưu hóa
thiết kế sao cho sản phẩm dù đa năng những vẫn
có kích thước nhỏ gọn
 VD: chiếc điện thoại thông minh nó tích hợp rất
nhiều chức năng nhưng lại rất nhỏ gọn
 Việc tạo ra các sản phẩm tích hợp nhiều chức năng
là mục đích hàng đầu của bất kỳ người thiết kế nào
những sản phẩm như vậy rất được mọi người ưa
chuộng vào ngày nay
 Chức năng của sản phẩm:
 Sản phẩm là trung tâm của mọi thể loại sản xuất. Khi nói đến
doanh nghiệp chúng ta nghĩ ngay đến sản phẩm của họ. Ví dụ
như: nói đến Microsoft, chúng ta nghĩ ngay đến Windows,
Office,……
 Hoạt động của doanh nghiệp xoay quanh sản phẩm:Mọi hoạt
động của doanh nghiệp đều xoay quanh sản phẩm, bất kể doanh
nghiệp thuộc thể loại gì : doanh nghiệp sản xuất hay kinh
doanh.
 Sản phầm là then chốt: Sản phẩm quyết định đến thành
bại của doanh nghiệp. Sản phẩm thành công thì

doanh nghiệp phát triển và ngược lại.Ví dụ mới nhất là
năm 2013 là các dòng điện thoại chủa BlackBerry đã khiến
hãng này đứng trên bờ vực.
Phương pháp đưa ra ý tưởng trong thiết kế sản phẩm


Trong nội bộ doanh nghiệp: từ các nhân viên, nhà quản lý.
Từ bên ngoài: từ nhượng quyền kinh doanh, mua lại tổ chức tạo
ra sản phẩm mới, khách hàng, đối thủ cạnh tranh hoặc từ các
trường, viện nghiên cứu.
Doanh nghiệp có càng nhiều ý tưởng thì khả năng chọn được ý
tưởng tốt càng cao. Doanh nghiệp nhỏ nên chủ động khai thác
nguồn ý tưởng từ nội bộ do nguồn này dễ tác động, ít tốn kém
về tiền và thời gian để khai thác. Vả lại các ý tưởng thường khả
thi, sát với thực tế hơn bởi vì các ý tưởng từ nội bộ thường nảy
sinh do va chạm với thực tế, tiếp xúc với khách hàng, quan sát
đổi thủ cạnh tranh.

Xây dựng đội ngũ thiết kế đa dạng: kỹ sư, chuyên gia các
ngành khác nhau.Vấn đề nảy sinh là cần tổ chức họ như thế
nào , trong cách tổ chức này thì các cá nhân liên kết với nhau
ra sao ?
Việc tổ chức này được gọi là xây dựng đội ngũ (team
information). Nó ảnh hưởng đến kết quả cộng tác và hiệu suất
làm việc của các cá nhân cũng như toàn nhóm thiết kế.
Tùy từng dự án mà có các kiểu liên kết giữa các cá nhân khác
nhau, nghĩa là có cách tổ chức khác nhau
Đào tạo đội ngũ nhân viên có các khả năng và phẩm chất sau
• Kỹ năng
• Sáng tạo

• Cảm thụ
• Tạo mẫu
• Tổng hợp
• Gia công
• Truyền đạt
• …..
• …..


• Quy trình
• Xác định cơ hội
• lên ý tưởng
• Hiểu khách hàng
• Tạo và chọn mẫu
• Thử nghiệm
• Thiết kế chi tiết
• Sản xuất thử
• …….
• Kiến thức
• Toán học
• Lý học
• Cơ học
• Vật liệu
• Điện, điện tử
• Tin học
• ……
• Thông tin
• Tiêu chuẩn
• Sổ tay
• Catalog

• Dữ liệu sản phẩm
• Sản phẩm cạnh tranh
• Dữ liệu kinh tế
• Khảo sát
• …….


Câu 2: Trình bày khái niệm về sự chọn lọc ý tưởng trong thiết kế
phát triển sản phẩm?
*,Khái niệm về sự chọn lọc ý tưởng trong thiết kế phát triển sản
phẩm
Không phải mọi ý tưởng đều có thể thực hiện được, nên
doanh nghiệp cần có công đoạn sàng lọc ý tưởng khả thi. Về cơ
bản, các ý tưởng được chọn nên tương hợp với nguồn lực của
doanh nghiệp, từ đó nó sẽ hỗ trợ cho chiến lược kinh doanh của
doanh nghiệp.
-mục đích: loại bỏ sớm các ý tưởng tồi
-loại bỏ các ý tưởng có độ rủi ro cao
+rủi ro mang tính chiến lược: sản phẩm mới không phủ
hợp với ý đồ chiến lược kinh doanh của doanh nghiệp
+rủi ro thị trường :sản phẩm không đáp ưng được nhu
cầu cảu khách hàng theo cách tạo sự khác biệt và gia
tăng giá trị
+ rủi ro nội bộ: sản phẩm mới không thể phát triển được
với khung thời gian đã đề ra
Sau khi sàng lọc được những ý tưởng ‘hoa khôi’, doanh
nghiệp có thể tổ chức một ban phản biện các ý tưởng này, ban
này nên có nhiều thành phần để có được nhiều cách đánh giá
và phản biện cho ý tưởng.
Thông qua quá trình phân tích và đánh giá, ý tưởng sẽ được

mổ xẻ dưới nhiều góc cạnh, quan trọng hơn là làm cho ý tưởng
đó được rõ ràng, cụ thể hơn và hạn chế được những thử nghiệm
không cần thiết hoặc tránh bớt những sai phạm không đáng có.
Như vậy, sau bước này ý tưởng về sản phẩm mới sẽ đầy đủ về
các yếu tố như tính năng chính của nó, cách thức thiết kế, các
giá trị gia tăng và quan trọng hơn hết là xác định được vai trò, ý
nghĩa và mục đích muốn nhắm tới khi phát triển sản phẩm này.


Là giai đoạn đánh giá ý tưởng, giai đoạn này có mục tiêu loại
bỏ những ý tưởng không phù hợp, vì vậy tổ chức , công ti phải
thành lập ra đội ngũ đánh giá nghiên cứu sâu về các ý tưởng.
Qua đó tìm ra ý tưởng mới, đột phá, xem xét đánh giá các ý
tưởng đó, khả năng thực hiện ra ngoài môi trường thực tế, kinh
phí tổ chức sản xuất và lợi nhuận thu được. Đó là tiêu chí để
đánh giá và chọn lọc ý tưởng trong thiết kế sản phẩm
Nhóm thiết kế cần xem xét, đánh giá tính năng, thông số kỹ
thuật của các sản phẩm đổi thủ để từ đó đặt thông số của sản
phẩm của mình nhằm đảm bảo tính cạnh tranh tốt nhất.

Câu 3: Phân tích tầm quan trọng của việc thiết kế sản phẩm?
Các công ty ngày càng ý thức được sự cần thiết và tính ưu
việt của việc thường xuyên phát triển các sản phẩm mới và
dịch vụ mới. Những sản phẩm mới đã ở vào giai đoạn sung mãn
và suy thoái cần được thay thế bằng những sản phẩm mới.
Nâng cao chất lượng sản phẩm là biện pháp hữu ích nhất để
có thể cạnh tranh thu hút khách hàng. Công việc này không
những có vai trò quan trọng đối với các doanh nghiệp mà còn
quan trọng đối với toàn bộ nền kinh tế quốc dân.
Vì vậy để có một sản phẩm tốt đưa ra ngoài thị trường , đòi

hỏi phải đáp ứng đúng nhu cầu của thị trường, về chất lượng ,
hình dáng và việc gia công chi phí chế tạo phải rất quan trọng
và việc xây dựng thiết kế sản phẩm có vai trò then chốt tạo ra
thế mạnh cho sản phẩm để cạnh tranh thu hút khách hàng


Cần có “quá trình” vạch ra chi tiết, cụ thể để đảm bảo chất
lượng của đầu ra như mong đợi với một tập hợp đầu vào cho
trước.
- Thiết kế sản phẩm là bước đầu tiên để doanh nghiệp
xâm nhập thị trường và chiếm lĩnh thị trường hoạc củng
cố vị trí và thị phần của mình.
*Vai trò then chốt của thiết kế sản phẩm tương tự như
sản phẩm khi thiết kế có vai trò quyết dịnh đến thành
công hay thất bại của doanh nghiệp..vd như blakblery ko
có các sản phẩm mới ra thị trường đã bị các dòng khách
chèn ép và dần đã mất hẳn khỏi thị trường
* thiết kế làm nên bản sắc doanh nghiệp: thiết kế sản
phẩm tốt xây dựng doanh nghiệp trở thành biểu tượng
trên thị trường.
* thiết kế sản phẩm xác định các thông số kỹ thuật từ
đó xác định sản phẩm sẽ được chế tạo như thế nào.
Câu 4: Phân tích các tiêu chí đánh giá sự thành công của quá
trình phát triển sản phẩm?
1 một sản phẩm có sự khác biệt ưu việt ,đọc đáo về đặc
điểm , lợi ích, chất lượng và giá trị
2: một quy trình phát triển sản phẩm mới chú trọng tới
khách hàng và định hướng theo thị trường
3: có những hoạt động sơ bộ truocs khi bắt đầu quy
trình phát triển sản phẩm chính thúc

4: một định nghĩa sớm và rõ rang về sản phẩm
5: một cơ cấu tổ chúc nội bộ phù hợp
6: một sản phẩm giống với những sản phẩm hiện tại và
thị trường hiên tại của doanh nghiệp
7: một quy trình phát triển sản phẩm mới kế thừa những
thành công của những sản phẩm trước đó.
8: kiểm soát quy trình phát triển sản phẩm mới nhằm
đảm bảo việc triển khai thục hiên đúng
9: triển khai đúng chứ không phải nhanh.
Chất lượng: sản phẩm cần có chất lượng tốt hoạt động
ổn định, chiế thị phần cao, khiến khách hàng tin dùng
Chi phí sản xuất; chi phí sản xuất sản phẩm được tính
toán để đạt mức thấp nhất nhằm đảm bảo lợi nhuận, hạ
giá thành
Chi phí thiết kế: là chi phí cho khâu thiết kế cần giữ ở
mức hợp lý sao cho thấp nhất có thể


Tiến độ; thời gia đưa sản phẩm ra thị trường cần phải
nhanh nhất
Cần có sự kế thừa: các thiết kế có tính kế thừa có thể sử
dụng kết quả phụ vụ dự án
Phát triển sản phẩm mới là quá trình đưa một sản
phẩm mới vào thị trường.

Doanh nghiệp của bạn có

thể phải liên quan đến quá trình này do sự thay đổi về sở
thích của người tiêu dùng, sự gia tăng tính cạnh tranh và
sự tiến bộ của công nghệ.

Những doanh nghiệp sáng tạo phát triển mạnh mẽ do
hiểu biết những điều thị trường muốn, cải tiến những
sản phẩm thông minh và phát triển sản phẩm mới đáp
ứng và vượt qua mong đợi của khách hàng
Một sản phẩm thành công là sản phẩm có đầy đủ các
yếu tố sau:
-Sự hài lòng của khách hàng. Là một yếu tố mạnh mẽ thể
hiện sự thu hút của sản phẩm đối với thị trường
- Doanh số bán hàng: thông số thực tế cho thấy sức tiêu
thụ của sản phẩm
- chi phí sản xuất: vốn đầu tư ban đầu vào sản phẩm
- giả cả hợp lý : là giá trị của sản phẩm mà doanh nghiệp
và khách hàng xác định cho sản phẩm để hài hòa lợi
nhuận và mục đích sử dụng
- mở rộng thị phần : một trong những tác động
Marketing nhằm mở rộng phạm vi thị trường cũng như
phạm vi hoạt động kinh doanh của doanh nghiệp.
- thu hút khách hàng mới tiềm năng : chiến lược lâu dài
và yếu tố quan trọng của một doanh nghiệp phát triển.
Bên cạnh đó để một sản phẩm thành công luôn phải có
sự đổi mới công nghệ. Phù hợp với xu thế thị trường,


quảng cáo rộng rãi để được khách hàng biết đến và có
những chương trình tri ân khách hàng...
Câu 5: Phân tích quá trình phát triển ý tưởng cho sản phẩm?
- Các công ty không có nguồn lực phát triển và phải dựa vào
các nhà thiết kế của họ để thực hiện thông qua phát triển các
phần của quá trình thiết kế, đặc tả, tạo mẫu, trang bị và sản
xuất. Công việc này lúc nào cũng đòi hỏi phải làm việc với các

bản vẽ 3D CAD quan trọng, mở rộng sang cả tạo mẫu và thử
nghiệm trước khi sản xuất.
- Các ý tưởng mới cho các sản phẩm cung cấp những lợi thế
quan trọng cho cả khách hàng lẫn nhà sản xuất. Thông thường
sản phẩm của quá trình này là các bản phác thảo (sketche)
hoặc là các mô hình được thống nhất về nguyên tắc (POP proof of principle), hoặc là các bản vẽ CAD. Sản phẩm của quá
trình này tùy thuộc vào bản chất công việc và mức độ ngắn gọn
của bản mô tả. Thường thì đây là các phiên họp với mục đích
cao nhất là đưa ra các ý tưởng chính , thường liên quan đến các
nhân sự chính từ phía khách hàng.
* Tìm hiểu nhu cầu của khách hàng
* Yêu cầu về sản phẩm và chức năng của sản phẩm
* Tìm kiếm cơ hôi : là việc xách định xem thị trường cần
gì mình đáp ứng những gì hoặc cần nghiên cứu j thêm để
có thể làm cho nhu cầu và khả năng gặp nhau.
* Phát triển ý tưởng sản phẩm
-Diễn ra khi nào : sau khi khoanh vùng được cơ hội
chúng ta bắt tay vào việc lên ý tưởng sản phẩm, đôi khi
từ ý tưởng lại phát sinh cơ hội
-Càng nhiều càng tốt : đội ngũ thiết kế sản phẩm bắt
đầu bằng việc tạo ra nhiều ý tưởng . càng nhiều càng
tốt. có nhiều phương pháp tạo ý tưởng, nổi bật và dễ áp
dụng là phương pháp brainstorming
-Sang lọc lấy ý tưởng tốt :sau khi có nhiều ý tưởng rồi
đội ngũ thiết kế bắt đầu tiến hành sang lọc để cho ra ý


tưởng tốt nhất, phát triển ,hoàn chỉnh ý tưởng đó để đi
tiếp.
* Khả thi hóa ý tưởng , lập kế hoạch

- Bản chất là lập kế hoạch :nhóm thiết kế lên kế hoạch ,
lịch trình ,nhân sự và nội dung chi tiết cho các dự án
thiết kế
- Mục đich : xác định xem ý tưởng có khả thi hay ko
,phân bố nguồn lực ra sao ,nhân sự dự án thế nào ,các
dòng sản phẩm ,các phân khúc khách hang
- Lập kế hoạch: đầu ra của khâu này là bản kế hoạch chỉ
rõ các chi tiết trên đây là khâu quan trọng là xuất phát
điểm cho quá trình thiết kế thực sự diễn ra sau khâu
này. Nó có tác dụng như kim chỉ nam cho nhóm thiết kế
Câu 6: Phân tích các kiểu dự án phát triển sản phẩm và quy
trình thực hiện?
• quy trình thực hiện:
•

Chiến lược tiếp thị

•

Để tăng khả năng thành công của sản phẩm mới trên thị
trường, doanh nghiệp cần thiết nghĩ đến việc thương mại
hoá nó sẽ như thế nào thông qua việc phác thảo bản kế
hoạch tiếp thị ngắn ngọn. Trong đó có phân tích các yếu tố
tác động chính từ môi trường kinh doanh, năng lực của
doanh nghiệp về các mặt như nhân sự, tài chính, trang
thiết bị. Đồng thời bản kế hoạch sơ thảo này cần dự báo
được doanh thu, lợi nhuận, thị phần trong ngắn hạn và dài
hạn.

•

Xây dựng kế hoạch tiếp thị sơ lược nhằm hai lý do. Một là
tránh phát triển những sản phẩm mới ít có thị thường tiềm
năng, hạn chế việc tổn thất về thời gian, sức lực. Hai là
định hướng được mẫu mã, kiểu dáng, tính năng, hoặc đặc
tính cần thiết của sản phẩm để việc phát triển nó có định
hướng rõ ràng sát với đòi hỏi của khách hàng.

•

+ Phân tích kinh doanh

•

Phân tích kinh doanh đánh giá kỹ hơn về mục tiêu lợi
nhuận, các lợi ích của sản phẩm đem lại. Bên cạnh đó, nó


đánh giá chi tiết hơn các mục tiêu của sản phẩm, những
dự báo cho thị trường và tác động của sản phẩm mới này
với các sản phẩm hiện có. Điều đó có nghĩa là, đánh giả
sản phẩm mới này có gây ảnh hưởng xấu đến các sản
phẩm hiện có hay không?
•

+: Phát triển sản phẩm

•

Bước này liên quan đến phát triển mặt vật lý, kỹ thuật,

hoặc thành phẩm cụ thể. Doanh nghiệp cần làm mẫu, đầu
tư chế tạo thử nghiệm. Để giảm thời gian phát triển sản
phẩm, và chi phí nghiên cứu, các cán bộ nghiên cứu nên
chú trọng việc tìm kiếm thông tin, thu thập các nghiên cứu
có sẵn hoặc liên quan để tránh mất thời gian làm lại
những gì đã có.

•

+ Kiểm nghiệm thị trường

•

Để cận thận hơn, doanh nghiệp có thể thực hiện việc kiểm
nghiệm thị trường bằng cách cho triển khai ở những vùng
thị trường nhỏ. Công việc này nhằm mục đích chính là
đánh giá các yếu tố liên quan đến chức năng tiếp thị như
giá cả, kênh phân phối, thị trường, thông điệp quảng cáo
hoặc định vị sản phẩm.

•

+ Thương mại hoá sản phẩm

•

Thương mại hoá sản phẩm là việc tung sản phẩm thực sự
vào thị trường doanh nghiệp sẽ phải xác định thị trường
triển khai, cách thức triển khai, các bộ phận tác nghiệp
liên quan như bán hàng, quảng cáo, kế toán, chăm sóc

khách hàng, hoặc giao nhận.

Câu 7. Phân tích các quy trình lập kế hoạch cho quá trình phát
triển sản phẩm?
1.Xác định rõ ý tưởng kinh doanh của bạn và có thể nói một
cách ngắn gọn, rõ ràng về ý tưởng này. Bạn phải nắm chắc
được nhiệm vụ của mình.
2. Kiểm chứng lại động cơ của bạn. Hãy đảm bảo là bạn có một
đam mê đối với việc sở hữu một doanh nghiệp và đặc biệt là


doanh nghiệp trong lĩnh vực mà bạn đang có ý định đặt chân
vào.
3. Sẵn sàng bỏ thời gian, kỷ luật, tiếp tục học hỏi và có sự sốt
sắng trong việc xây dựng và sở hữu doanh nghiệp.
4. Tiến hành nghiên cứu thị trường, đối thủ cạnh tranh, bao
gồm sản phẩm, giá cả, các chương trình khuyến mại, quảng
cáo, kênh phân phối, chất lượng, dịch vụ và đánh giá các tác
động bên ngoài có thể ảnh hưởng tới doanh nghiệp của bạn.
5. Tìm kiếm sự trợ giúp từ các doanh nghiệp nhỏ khác, các nhà
cung cấp, các chuyên gia, các cơ quan nhà nước, các nhà tuyển
dụng, các tổ chức thương mại và các triển lãm thương mại. Hãy
luôn cập nhật thông tin, luôn đưa ra các câu hỏi và tìm kiếm
thật nhiều thông tin càng tốt.
 Tìm kiếm cơ hội kinh doanh
Cơ hội = nhu cầu+khả năng đáp ứng
- Xác định xem thị trường cần gì hoạc vần nghiên cứu gì
thêm để làm cho nhu cầu và khả năng có 1 điểm chung.
- Phát triển ý tưởng sản phẩm:
+Sau khi khoanh vùng trong cơ hội, ngay lập tức bắt tay vào

việc đưa ra ý tưởng
- Đội khi ý tưởng được phát sinh trong các cơ hội
+tạo ra càng nhiều ý tưởng càng tốt
- khả thi hóa ý tưởng, lập kế hoạch
+lên kế hoạch lịch trình, tình hình nhân sự, các nội dung chi
tiết cho các dự án được thiết kế
+các dòng sản phẩm cần được phát triển
+các phân khúc khách hàng
+đầu ra của khâu này là các bản kế hoạch,chỉ rõ ra các tiêu
chí chỉ tiêu đã nêu rõ ra trên
+đây là các tài liệu quan trọng
-Thiết kế sản phẩm:cụ thể hóa hình hài, chức năng của sản
phẩm
+yêu cầu sản phẩm :xác lập thông sô kĩ thuật cho sản phẩm,
so sánh với đối thủ cạnh tranh
-Sản xuất đại trà:
-Sản xuất thử:


+nhằm thử nghiệm dây chuyền sản xuất đã ổn định chưa,
còn gì cần khắc phục, có cần phải thay đổi thiết kế để tối ưu
hóa hay không.
+đàm tạo kĩ sư và công nhân vận hành điều hành dây
chuyền, phát hiện sai sót
-Sản xuất đại trà:
+sản phẩm được sản xuất với quy mô lớn
+đưa sản phẩm đến các nơi tiêu thụ
-Quá trình thu hồi, tái chế và tiêu hủy: sau khi sản phẩm đã
đi hết vòng đời thì có thể được thu hồi, tái chế hoặc tiêu hủy.

Câu 8 . Trình bày ma trận ứng suất, hệ tọa độ quay trong
CAD/CAE?
1

ĐẠI SỐ MA TRẬN

Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các công cụ cơ
bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng như sau:
a11 x1 + a12 x2 +  a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 +  a2 n xn = b2

an1 x1 + an 2 x2 +  ann xn = bn

(2.1)
trong đó, x1, x2, …, xn là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có thể được biểu
diễn ở dạng thu gọn:
Ax = b
(2.2)
trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n× n), và x và b là các véctơ (n×1), được
biển diễn như sau:
r = { 2 − 2 12 6}
 a11
a
A =  21


 a n1

a12
a 22


an2

 a1n 
 a 2 n 
 

 a nn 

 x1 
x 
 
x =  2
 
 xn 

b1 
b 
 
b =  2
 
bn 

1.1. Véctơ

Một ma trận có kích thước (1 × n) được gọi là véctơ hàng, ma trận có kích thước
(n × 1) được gọi là véctơ cột. Ví dụ một véctơ hàng (1 × 4):
và véctơ cột (3 × 1):

11
 
c=2
34
 
1.2. Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính bằng
1, ví dụ:
1 0 0


I = 0 1 0
0 0 1


1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.

Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m× n). Tổng của chúng là 1 ma trận
C = A + B và được định nghĩa như sau:
cij = aij + bij
(2.3)
Ví dụ:
3 2  − 8 5  − 5 7 
5 − 1 +  − 1 − 2 =  4 − 3

 
 


phép trừ được định nghĩa tương tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số

Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:
cA=[caij]
Ví dụ:

(2.4)

3 2  300 200 
10 2 
=

5 − 1 500 − 100
1.5. Nhân hai ma trận

Tích của ma trận A kích thước (m× n) với ma trận B kích thước (n× p) là 1 ma trận
C kích thước (m× p), được định nghĩa như sau:
A

×

B

=

C

(2.5)

(m× n)
(n× p)
(m× p)
trong đó, phần tử thứ (ij) của C là (cij) được tính theo biểu thức:
n

cij = ∑ aik bkj
k =1

Ví dụ:

(2.6)


4 5
2 8 5 
 54 70
3 1 4 × 2 5 = 38 36

  6 4 




Chú ý:
- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận A×B là số cột của ma trận A phải
bằng số hàng của ma trận B.
- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận A×B và B×A, thì
tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là A×B ≠ B×A.
1.6. Chuyển vị ma trận

Chuyển vị của ma trận A = [aij] kích thước (m× n) là 1 ma trận, ký hiệu là AT có
kích thước là (n× m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A
thành cột của ma trận AT. Khi đó, (AT)T = A.
Chuyển vị của một tích các ma trận là tích các chuyển vị của ma trận thành phần
theo thứ tự đảo ngược, có nghĩa là:
(A×B×C)T=CT×BT× AT.

(2.7)

1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận

Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng số,
chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:
 x + 2 y 5 x 2 − xy 


A =  2+ x
y 
 6x
x + 4 y 


Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay tích phân. Phép
đạo hàm (hay phép tích phân) của 1 ma trận, đơn giản là lấy đạo hàm (hay lấy tích
phân) đối với mỗi phần tử của ma trận:
 da ( x ) 
d
A( x) =  ij 
dx

 dx 

∫ Adxdy = [∫ a dxdy ]
ij

(2.8)

(2.9)

Chúng ta sẽ sử dụng thường xuyên biểu thức (2.8) để xây dựng hệ phương trình
PTHH trong các chương sau. Xét ma trận vuông A, kích thước (n× n) với các hệ số
hằng, véctơ cột x = {x1 x2 ... xn}T chứa các biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến xp
sẽ là:


d
( Ax) = a p
dx p

(2.10)

trong đó, ap là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.
1.8. Định thức của ma trận

Cho ma trận vuông A = [aij], kích thước (n× n). Định thức của ma trận A được
định nghĩa như sau:
det( A) = a11 det( A11 ) − a12 det( A12 ) + L ( −1)

n +1

n

a1n det( A1n ) = ∑ ( −1)

i+ j

j =1

aij det( Aij )
(2.11)

trong đó, Aij là ma trận kích thước (n-1× n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j
của ma trận A.

Ví dụ:
 a11
a
A =  21


 an1

a12  a1n 
a22  a2 n 
⇒
  

an 2  ann 

 a22

a
A11 =  32


 an 2

a23  a2 n 
a33  a3 n 
  

an 3  ann 

Công thức (2.11) là công thức tổng quát. Theo công thức này, định thức của ma trận
vuông có kích thước (n× n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các
ma trận có kích thước (n-1× n-1). Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1× 1) có:
det(apq) = apq
(2.12)
1.9. Nghịch đảo ma trận

Cho ma trận vuông A, nếu det(A) ≠ 0, thì A có ma trận nghịch đảo và ký hiệu là A1
. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:
A-1×A = A×A-1 = I
(2.13)
Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu
det(A) ≠ 0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A được xác định
như sau:
A−1 =

adjA
det A

(2.14)
a ij = ( − 1)

Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử
trận thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i.

i+ j

det( Aji )

và Aji là ma


Ví dụ:
Nghịch đảo của ma trận A kích thước (2× 2) là:

a
A =  11
a 21
−1

a12 
a 22 

−1

=

1  a22

det A − a21

− a12 
a11 

1.10. Ma trận đường chéo

Một ma trận vuông có các phần tử bằng không ngoại trừ các phần tử trên đường
chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Ví dụ:
2 0 0


D = 0 3 0 
0 0 5 


1.11. Ma trận đối xứng

Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện:
aij = aji hay: A = AT
(2.15)
Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính.
1.12. Ma trận tam giác

Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng là
các ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằng
không.
Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác trên A
và ma trận tam giác dưới B:
2 − 3 11 

A = 0 4
0 
0 0 − 9

2 0 0
B = − 3 4 0 
 11 0 − 9


Hệ tọa độ quay:


Câu 9. Trình bày phương trình cân bằng trong phân tích ứng suất?
o Bài toán không gian:


o Bài toán phẳng:


Câu 10. Trình bày ma trận biến dạng trong CAD/CAE?
*Ten-xơ biến dạng hữu hạn viết trong hệ tọa độ Đề các : Grin và
Anmăngxi:

Trong phương pháp phần tử hữu hạn kí hiệu:
+Các thành phần chuyển vị : u , v , w
+Các thành phần của ten-xơ biến dạng ε x; ε y ; ε z ; γ
yz với :

xy

;γ

xz

;γ


Trường hợp biến dạng nhỏ :( t.là khi bỏ qua VCB bậc
cao – là các thành phần phi tuyến trong (1.5) và (1.6) )) khi đó
hai ten xơ này xấp xỉ bằng nhau và các thành phần của tenxơ
biến dạng nhỏ sẽ có dạng:


Câu 11. Phân tích mối quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng?
 Phương trình đàn hồi biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất
và biến dạng:
 Bài toán không gian:

 Bài toán ứng suất phẳng:


 Bài toán biến dạng phẳng: