Tóm tắt khóa luận mô đun artin

Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

Trờng đại học s phạm Hà nội 2
Khoa: toán
**************

Đỗ thị hằng nga

Mô đun ArTin
Tóm tắt Khoá LuậN tốt NGhiệp đại học
Chuyên ngành: Đại số

Hà nội 2009

Đỗ Thị Hằng Nga

1

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

Trờng đại học s phạm Hà nội 2
Khoa: toán
**************

Đỗ thị hằng nga

Mô đun ArTin
Tóm tắt Khoá LuậN tốt NGhiệp đại học
Chuyên ngành: Đại số

Ngời hớng dẫn khoa học:
Th.S Nguyễn huy hng

Hà nội 2009

Đỗ Thị Hằng Nga

2

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

Mc lc
Trang
Lời nói đầu2
Chơng 1: Những kiến thức bổ trợ4
Bài 1: Lý thuyết vành.4
Bài 2: Mô đun .4
Chơng 2: Mô đun Artin5
Bài 1: Định nghĩa và ví dụ..5

Bài 2: Mô đun Artin với tính hữu hạn sinh.6
Bài 3: Độ dài mô đun..10
Kết luận.......18
Tài liệu tham khảo19

Đỗ Thị Hằng Nga

3

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

LI NóI ĐầU
Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát
triển đều cần tới cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết sâu sắc về các
cấu trúc này. Điều này cũng dễ hiểu vì ta biết rằng hai đặc tính cơ bản nhất
của toán học là tính trừu tợng và tính tổng quát, mà hai đặc tính này lại biểu
hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số. Khoá luận này đợc viết với hai mục
tiêu:
Mục tiêu đầu tiên của khoá luận này là giúp các bạn sinh viên năm cuối
của khoa toán và những ai quan tâm làm quen với một cấu trúc đại số mới:
cấu trúc mô đun, cấu trúc quan trọng nhất của đại số.
Mục tiêu thứ hai là giới thiệu và chứng minh một số kết quả quan trọng
của lý thuyết mô đun Artin.
Do khuôn khổ luận văn nên trong phần nội dung của khoá luận chỉ trình
bày một số khái niệm, các định lý, bổ đề để làm rõ hơn các tính chất của mô

đun Artin.
Để đọc luận văn thuận lợi ngời đọc cần một số kiến thức về cấu trúc về
nhóm, vành, trờng.
Khoá luận gồm 2 chơng:
Chơng 1: tóm tắt những kiến thức cần nhớ.
Chơng 2: nội dung chính của khoá luận: trình bày khái niệm mô
đun Artin và một số kết quả quan trọng.
Do điều kiện thời gian và khả năng còn hạn chế của bản thân nên luận
văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy cô giáo và các
bạn sinh viên nhận xét, đóng góp ý kiến để bản thân rút kinh nghiệm, có hớng
hoàn thiện và phát triển luận văn sau này.

Đỗ Thị Hằng Nga

4

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Huy Hng- giảng viên tổ đại số
khoa toán đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khoá luận này.
Hà Nội, tháng 5, năm 2009
Sinh viên
Đỗ Thị Hằng Nga

Đỗ Thị Hằng Nga

5

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

Chơng 1: Những kiến thức bổ trợ.
Đ 1 : Lý thuyết vành.
1. Các định nghĩa và ví dụ.
- Vành.
- Miền nguyên.
- Trờng.
- Vành con, trờng con.
- Iđêan.
- Đồng cấu vành.

Đ 2: Mô đun
1. Mô đun, mô đun con.
- Định nghĩa mô đun.
- Định nghĩa mô đun con và tính chất.
2. Mô đun thơng và đồng cấu mô đun.
- Định nghĩa mô đun thơng.
- Đồng cấu mô đun:
+ Địng nghĩa.
+ Điều kiện tơng đơng.
+ Tính chất.

- Địng lý cơ bản.
- Định lý cơ bản của R- đồng cấu tổng quát.
- Định lý đẳng cấu 1.
- Định lý đẳng cấu 2.
3. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp.
- Tích trực tiếp.
- Tổng trực tiếp.
- Hạng tử trực tiếp.
Đỗ Thị Hằng Nga

6

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

4. Dãy khớp.
5. Mô đun tự do.

Chơng 2: Mô đun Artin.
Đ 1: Định nghĩa và ví dụ.
1. Các định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1
Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R. Ta nói M là R- mô đun
Noether nếu nó thoả mãn một trong các điều kiện sau:
i) ( Gi ) iN họ các mô đun con của M sao cho: G1 G2 ... Gi Gi +1 ...
đều k N sao cho Gk = Gk +i i N

(điều kiện dãy tăng các mô đun con của M)
ii) Mọi tập con khác rỗng các mô đun con của M đều chứa phần tử cực đại
(theo quan hệ bao hàm)
(điều kiện cực đại các mô đun con của M).
Định nghĩa 2.1.2
Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R. Ta nói M là R- mô đun
Artin nếu nó thoả mãn một trong các điều kiện sau:
i) ( Gi ) iN họ các mô đun con của M sao cho: G1 G2 ... Gi Gi +1 ...
đều k N sao cho Gk = Gk +i i N
(điều kiện dãy giảm các mô đun con của M)
ii) Mọi tập con khác rỗng các mô đun con của M đều chứa phần tử cực tiểu
(theo quan hệ bao hàm)
(điều kiện cực tiểu các mô đun con của M).
Định nghĩa 2.1.4
Giả sử R là vành giao hoán. Ta nói R là vành Noether nếu thoả mãn một
trong các điều kiện sau:
Đỗ Thị Hằng Nga

7

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

i) ( i ) iN - họ các iđêan của R mà I 1 I 2 ... I n I n+1 ... thì luôn k N
sao cho Ik = Ik+i.

i N

ii) Mọi tập con khác rỗng các iđêan của R đều chứa phần tử cực đại (theo
quan hệ bao hàm)
Định nghĩa 2.1.5
Giả sử R là vành giao hoán. Ta nói R là vành Artin nếu thoả mãn một
trong các điều kiện sau:
i) ( i ) iN - họ các iđêan của R mà I 1 I 2 ... I i I i +1 ... thì luôn k N sao
cho Ik=Ik+i i N .
ii) Mọi tập con khác rỗng các iđêan của R đều chứa phần tử cực tiểu(theo
quan hệ bao hàm)

Đ 2: Mô đun Artin với tính hữu hạn sinh.
1. Mệnh đề 2.2.1
Giả sử K là trờng, V là một không gian véc tơ trên trờng K. Những điều
sau tơng đơng:
i)

V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều.

ii)

V là K- mô đun Noether.

iii)

V là K- mô đun Artin.

Chứng minh:
+ ' i ii ' , ' i iii '

Giả sử V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều, vdimV=n.
Gọi L là không gian véc tơ con của V thì L cũng hữu hạn chiều và
vdimL n.
Cũng gọi M là không gian véc tơ con của V thoả mãn L M thì
vdimL vdimM.
Ta có dãy hữu hạn bất kỳ L0 L1 ... Lt 1 Lt các không gian véc
tơ con của V(với quan hệ bao hàm thực sự), với số hạng thứ t +1 thoả mãn

Đỗ Thị Hằng Nga

8

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

t n.
Vì vậy V là một K- mô đun Noether và cũng là một K- mô đun Artin.
+ ' ii i ' , ' iii i'
Giả sử V không hữu hạn chiều. Ta sẽ suy ra V không là một K- mô đun
Noether và cũng không là một K- mô đun Artin.
Do V là vô hạn chiều nên tồn tại dãy vô hạn các phần tử của V: ( wi ) iN .
Với mỗi n N họ

( wi ) in=1 là độc lập tuyến tính.
n

Với mỗi n xét tập Ln = Kwi và M n =
i =1



Kw

i = n +1

i

Ln hữu hạn chiều và vdim Ln=n
Vì L1 L2 ... Ln ... không dừng nên V không là K- mô đun Noether.

M n +1
Tơng tự với mỗi n N có M n+1 M n và wn+1
thì một dãy giảm thực sự
M 1 M 2 ... M n ... không dừng. Vì thế V không là Artin.

Vậy khi V là K- mô đun Noether hoặc là K- mô đun Artin thì V phải hữu hạn
chiều.
2. Mệnh đề 2.2.2
Giả sử R là một mô đun trên vành giao hoán R thì M là Noether khi và
chỉ khi mỗi mô đun con của M đều hữu hạn sinh.
3. Bổ đề 2.2.3
Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R, N là mô đun con
nào đó của M thế thì:
i)

M là mô đun Noether N và M / N là các mô đun Noether.

ii)

M là mô đun Artin N và M / N là các mô đun Artin.

Chứng minh sơ lợc:
Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R, N là mô đun con nào đó của
M.

Đỗ Thị Hằng Nga

9

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

+ Vì mỗi mô đun con của N là một mô đun con của M nên mọi dãy tăng các
mô đun con của N cũng là dãy tăng các mô đun con của M. Vì M là Noether
nên N là Noether.
+ Ta chứng minh đợc mỗi mô đun con của M / N có dạng M / N với P là mô
đun con của M sao cho: N P M thì M / N cũng là môđun Noether.
Trớc hết ta chứng minh: Pi / N Pi +1 / N Pi Pi +1 i = 1, n
Kết hợp với giả thiết M là Noether và Pi là các mô đun con của M ta
suy ra đpcm.
''

N và M / N là các mô đun Noether ta cần chứng minh M là Noether.
Ta chứng minh: M n + N = M n+1 + N = . . . sau đó đi chứng minh:
M i +1 ( M i + N ) = M i + ( M i +1 N )

Do đó ta có
M i +1 = M i +1 ( M i +1 + N ) = M i +1 ( M i + N ) = M i + ( M i +1 N ) = M i + ( M i N ) = Mi
i n . Vậy mọi dãy tăng của M đều dừng. Do đó M là mô đun Noether.

Phần ii chứng minh tơng tự.
4. Hệ quả 2.2.4
f
g
Giả sử R là một vành giao hoán và 0 L
M
N 0 là dãy khớp

ngắn các R- mô đun.
i)

M là Noether L và N là các mô đun Noether.

ii)

M là Artin L và N là các mô đun Artin.

Chứng minh sơ lợc:
i) Giả sử M là Noether. Vì kerg là mô đun con của M nên kerg là mô đun
Noether, mà L kerg nên L là mô đun Noether.
Vì M là Noether và kerg là mô đun con của M nên M/ kerg là mô đun
Noether, mà M/kerg N nên N là mô đun Noether.

Đỗ Thị Hằng Nga

10

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

Giả sử L và N là các mô đun Noether. Vì L kerg và M/kerg N nên kerg
và M/ kerg là các mô đun Noether.
ii)Hoàn toàn tơng tự ta có đpcm.
5. Hệ quả 2.2.5
Giả sử M1, . . . , Mn là các mô đun trên vành giao hoán R.
n

M i là Noether M1, . . . , Mn là các mô đun Noether.
i)Tổng trực tiếp:
i =1
n

M i là Artin M1, . . . , Mn là các mô đun Artin.
ii) Tổng trực tiếp:
i =1

6. Hệ quả 2.2.6
Giả sử R là một vành giao hoán

i) Nếu R là một vành Noether thì mọi R-mô đun hữu hạn sinh đều là mô đun
Noether.
ii) Nếu R là một vành Artin thì mọi R-mô đun hữu hạn sinh đều là mô đun
Artin.
7. Bổ đề 2.2.7
Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R và m M thì có một Rđẳng cấu mô đun f : R /(0 : m)Rm thỏa mãn f (r + (0:m)) = rm . r R
8. Định lý 2.2.8
Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R và G bị triệt tiêu bởi một
tích hữu hạn các idean cực đại của R(không nhất thiết phải khác nhau) nghĩa
là tồn tại n N và M1, . . . , Mn là các idean cực đại của R sao cho M 1...MnG =
0 thì G là R-mô đun Noether G là R-mô đun Artin.
9. Định nghĩa 2.2.9
Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R thì G đợc gọi là mô đun
đơn nếu G 0 và G chỉ có 2 mô đun con là 0 và chính nó.
10. Bổ đề 2.2.10

Đỗ Thị Hằng Nga

11

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R thì G là mô đun đơn G
đẳng cấu với một mô đun có dạng R/ M với M là idêan cực đại nào đó của R.

Đ 3: Độ dài mô đun.
1. Định nghĩa 2.3.1
Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R. Một dãy tăng nghiêm
ngặt gồm hữu hạn các mô đun con của G:
G0 G1 G2 ... Gn 1 Gn thoả mãn G0 = 0 và Gn = G.

Ngời ta gọi độ dài của dãy là số các liên kết của dãy.
(Trong trờng hợp này ta có độ dài của dãy bằng n)
Ta coi mô đun không có độ dài bằng 0.
Một dãy các mô đun con của G cho bởi:
0 = G0 G1 G2 ... Gn 1 Gn = G

đợc gọi là một dãy hợp thành của G nếu G i/ Gi-1 là một R- mô đun đơn

i = 1, n
2. Định lý 2.3.2
Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R và giả sử G có một dãy
hợp thành có độ dài n thì:
i) Không có dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có độ
dài lớn hơn n.
ii) Mọi dãy hợp thành của G có độ dài đúng bằng n.
iii) Mỗi dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có độ dài
n' n .

iv) Mọi dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có độ dài n là
dãy hợp thành của G.
Chứng minh: Giả sử n > 0, với mọi R- mô đun M ta kí hiệu l(M) là độ dài tối
thiểu của dãy hợp thành của M nếu M có một dãy hợp thành và l(M) = nếu
M không có dãy hợp thành.

Đỗ Thị Hằng Nga

12

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

Trớc hết ta chứng minh nếu H là mô đun con thực sự của G thì l(H) < l(G).
Giả sử l(G) = t và 0 = G0 G1 G2 ... Gt 1 Gt = G là một dãy hợp
thành của G có độ dài t.
Với mỗi i = 0, t ta giả sử H i = H Gi
Theo định lý đẳng cấu các mô đun:
1
2
Gi
Gi / Gi 1
Với i = 0, t các R- đồng cấu hợp thành: H i = H Gi

(ánh xạ đầu tiên là đồng cấu, ánh xạ thứ 2 là toàn cấu)
Xét ánh xạ f : H i = H Gi Gi / Gi 1
Có kerf = { x H Gi / f ( x ) = 0}
=

{ x H Gi / x Gi 1}

=

{ x H Gi Gi 1}

= { x H Gi 1}
= H i 1
Khi đó H i / ker f Im f , Im f Gi / Gi 1 hay H i /H i-1 Imf Gi / Gi 1
Ta xét đơn cấu i : H i / H i 1 Gi / Gi 1
h + H i 1 a h + Gi 1

Vì vậy H i / H i 1 đẳng cấu với một mô đun con của Gi / Gi 1 mà Gi / Gi 1 là mô đun
đơn nên H i / H i 1 là mô đun không hoặc là mô đun đơn.
Vì thế ta bỏ đi các số hạng lặp trong dãy :
0 = H 0 H1 ... H t 1 H t = H Gt = H

(ví dụ Hi = Hi-1thì ta bỏ đi Hi) ta sẽ đợc một dãy hợp thành của H.
Vì vậy l(H) l(G). Hơn nữa ta phải có l(H) < l(G) vì giả sử ngợc lại
l(H) = l(G) thì H 0 H1 ... H t 1 H t là một dãy hợp thành của H.
vì thế H0 = 0 = G0 mà H1/ H0 G1/G0 ( H G1 ) / H 0 G1 / G0
H G1 = G1 H1 = G1

Đỗ Thị Hằng Nga

13

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

tơng tự nh thế có H 2 = G2 ,..., H t = Gt
H =G

Nhng theo trên H là mô đun con thực sự của G (mâu thuẫn). Vậy l(H) < l(G).
Cũng từ đây ta suy ra đợc mọi mô đun con của G đều có dãy hợp thành.
i) Giả sử G '0 G '1 G '2 ... G 'r 1 G 'r là một dãy nghiêm ngặt tuỳ ý các mô
đun con của G thoả mãn G '0 = 0 và G 'r = G
Ta có l(0) = 0 và 0 = l (G '0 ) < l (G '1 ) < ... < l (G 'r ) = l (G )
Do G 'r G suy ra r l (G ) , lại vì l(G) tối tiểu nên l(G) n.
r l (G ) n

Mặt khác vì G có một dãy hợp thành có độ dài n và một dãy hợp thành
của G đặc biệt là một dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G nên n l (G ) (vì
một dãy hợp thành là một dãy nghiêm ngặt cực đại)
Do đó n = l(G)
r n nghĩa là không có một dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có thể

có độ dài lớn hơn n.
ii) Giả sử G có một dãy hợp thành có độ dài n1 thì n1 l (G ) = n ( theo phần i),
lại có l(G) n1 theo định nghĩa của l(G) suy ra n1 = n.
Vậy mọi dãy hợp thành của G có độ dài bằng nhau và bằng n.
iii, iv) Từ định nghĩa 2.3.1 và phần I, ii ta thấy một dãy nghiêm ngặt các mô
đun con của G có độ dài n < n = l(G) không thể là một dãy hợp thành của G
vì theo ii mọi dãy hợp thành đều có độ dài n và vì nó có thể kéo dài tới một
dãy nghiêm ngặt có độ dài n+1 bằng cách thêm một phần tử.
Mặt khác một dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có độ dài n phải
là một dãy hợp thành của G vì ngợc lại nó có thể kéo dài tới một dãy nghiêm
ngặt các mô đun con của G có độ dài n+1 mâu thuẫn với phần i.
3. Định nghĩa 2.3.3

Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R.

Đỗ Thị Hằng Nga

14

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

Ta nói G có độ dài hữu hạn khi G có một dãy hợp thành.
Độ dài của G kí hiệu là l(G) hoặc lR(G) (khi cần chỉ rõ trên vành nào)
đợc định nghĩa là độ dài của bất kì dãy hợp thành nào của G.
(Ta đã biết mọi dãy hợp thành của G là có cùng độ dài)
Khi G không có độ dài hữu hạn tức khi đó G không có dãy hợp thành ta
quy ớc l(G) = .
4. Mệnh đề 2.3.4
Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R thì G có độ dài hữu hạn
khi và chỉ khi G vừa là mô đun Noether vừa là mô đun Artin hay G thoả mãn
cả dãy điều kiện tăng cả dãy điều kiện giảm các mô đun con của G.
Chứng minh sơ lợc:
Giả sử G có độ dài hữu hạn l(G) thì theo 2.3.3 mọi dãy tăng bất kì các mô
đun con của G không thể có độ dài lớn hơn l(G) (kể cả dãy nghiêm ngặt) và
phải là dãy dừng. Do đó G là Noether.
Tơng tự bất kì một dãy giảm các mô đun con của G phảilà dãy dừng do đó G
là Artin.
Giả sử G vừa là mô đun Artin vừa là mô đun Noether thế thì G phải thoả

mãn cả dãy điều kiện tăng cả dãy điều kiện giảm các mô đun con của G và
thoả mãn có mô đun con cực đại và mô đun con cực tiểu.
Ta giả sử G không có một dãy hợp thành nào tức l(G) = ta phải chỉ ra
mâu thuẫn.
Đặt = {M/ M là mô đun con của G và l(M) = }
Sử dụng điều kiện cực đại, cực tiểu để suy ra điều mâu thuẫn.
5. Định nghĩa 2.3.5
Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R và G có độ dài hữu hạn.
Giả sử G0 G1 G2 ... Gn 1 Gn là một dãy hợp thành của G.
(Vì vậy 0 = G0 và Gn = G , l(G) = n ) thì ta gọi họ các R- mô đun đơn

Đỗ Thị Hằng Nga

15

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

( Gi / Gi 1 ) i =1 là họ các thừa số hợp thành trên dãy hợp thành ( tất nhiên họ các
n

thừa số hợp thành là khi G = 0)
Bây giờ giả sử G 0 và G '0 G '1 G '2 ... G 'n 1 G 'n là một dãy hợp
thành thứ 2 của G ( chú ý rằng bất kì 2 dãy hợp thành của G là có cùng độ
dài). Ta nói rằng hai dãy hợp thành của G là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một

hoán vị của tập {1, 2, . . . ,n} của n số nguyên dơng đầu tiên sao cho
i = 1, n ta có Gi / Gi 1 G ' ( i ) / G ' (i ) 1

6. Bổ đề 2.3.6
Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R và H, H là các mô đun con
của G thoả mãn H H ' và G/ H và G/ H' là đơn thì
G / H H '/( H H ') và G / H ' H /( H H ')

7. Định lý 2.3.7 (định lý Jordan- Holder)
Giả sử G là một mô đun khác 0 có độ dài hữu hạn trên vành giao hoán R
thì mọi dãy hợp thành của G là đẳng cấu với nhau.
Chứng minh sơ lợc:
Vì G 0 đặt l(G) = n 1.
Ta chứng minh bằng quy nạp.
Rõ ràng đúng với n = 1.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với 1 < k< n.
Ta giả sử G0 G1 G2 ... Gn 1 Gn và G '0 G '1 G '2 ... G 'n 1 G 'n là hai
dãy hợp thành của G. Ta xét hai trờng hợp:
- Trờng hợp 1: Gn-1 = Gn-1 thì Gn / Gn 1 = G 'n / G 'n 1 và G0 G1 G2 ... Gn 1 (1)
G '0 G '1 G '2 ... G 'n 1 (2) là các dãy hợp thành của Gn-1 = Gn-1

Vì l(Gn-1)= n-1 theo giả thiết quy nạp ta có (1) và (2) đẳng cấu với nhau
và do Gn = Gn nên G0 G1 G2 ... Gn1 Gn (1)
và G '0 G '1 G '2 ... G 'n 1 G 'n (2) là đẳng cấu với nhau.

Đỗ Thị Hằng Nga

16

K31E- Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

- Trờng hợp 2: Gn-1 Gn-1
Xét H = Gn-1 Gn-1
Theo bổ đề 2.3.6 có Gn / Gn 1 G 'n 1/ H và G 'n / G 'n 1 Gn 1 / H
Vì vậy chúng là các mô đun đơn.
+ Nếu H = 0 thì Gn-1 và Gn-1là đơn và n = 2.
Ta có hai dãy 0 Gn 1 Gn (*) và 0 G 'n 1 G 'n (**) có Gn / Gn1 G 'n1 và
G 'n / G 'n 1 Gn 1 mà Gn-1 và Gn-1là đơn suy ra G 'n 1 Gn 1 suy ra
Gn / Gn 1 G 'n / G 'n1 suy ra dãy (*) đẳng cấu với(**)

+ Nếu H 0 0 H Gn 1 Gn là một dãy nghiêm ngặt các mô đun con của
G = Gn và Gn / Gn 1 , G 'n / G 'n 1 là các mô đun đơn (a)
Ta thêm các số hạng để có đợc một dãy hợp thành của G, vì l(G) = n nên l(H)
= n-2.
Ta lấy dãy H 0 H1 H 2 ... H n 2 là một dãy hợp thành của H
Từ đây ta có H 0 H1 H 2 ... H n 2 Gn 1 Gn và
H 0 H1 H 2 ... H n 2 G 'n 1 G 'n là các dãy hợp thành của G và đẳng cấu

với nhau.
Nhng cũng có G0 G1 G2 ... Gn 1 Gn và
H 0 H1 H 2 ... H n 2 Gn 1 Gn của G là đẳng cấu với nhau.

Tơng tự H 0 H1 H 2 ... H n 2 G 'n 1 G 'n và
G '0 G '1 G '2 ... G 'n 1 G 'n là đẳng cấu với nhau.

Do đó hai dãy G0 G1 G2 ... Gn 1 Gn và G '0 G '1 G '2 ... G 'n 1 G 'n là
đẳng cấu với nhau.
8. Định lý 2.3.8
f
g
Giả sử R là một vành giao hoán và 0 L
M
N 0 là một dãy khớp

ngắn của các R- mô đun và các R- đồng cấu:
a. R- mô đun M có độ dài hữu hạn L và N có độ dài hữu hạn.

Đỗ Thị Hằng Nga

17

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

b. Khi L, M, N có độ dài hữu hạn thì l(M) = l(L) + l(N).
Chứng minh:
i) Vì R- mô đun M có độ dài hữu hạn nó vừa là mô đun Noether vừa là mô
đun Artin L và N vừa là mô đun Noether vừa là mô đun Artin L và N có
độ dài hữu hạn.
Do đó R- mô đun M có độ dài hữu hạn L và N có độ dài hữu hạn.
Để ý L Im f = ker g và theo định lý đẳng cấu thứ nhất về mô đun ta có

M / ker g N vì vậy ta có kerg và M/ kerg có độ dài hữu hạn. Điều này cho

thấy nếu G là mô đun con của M (với M có độ dài hữu hạn ) thì
l(M) = l(G) + l(M/ G). Thật vậy:
Kết quả đợc trực tiếp suy ra khi G = 0 hoặc G = M.
Bây giờ ta giả sử 0 G M ta có thể thêm vào dãy trên các mô đun con
của m để đợc một dãy hợp thành của M M 0 M 1 M 2 ... M n 1 M n
(M0 = 0, Mn = M và l(M) = n)
Giả sử Mt = G thì M 0 M 1 M 2 ... M t 1 M t là một dãy hợp thành của G và
M t / G M t +1 / G ... M n / G là một dãy hợp thành của M/ G

Vì vậy l(G) + l(M/ G) = t + (n-t) = n = l(M).
9. Mệnh đề 2.3.9
Giả sử V là một không gian véc tơ trên trờng K thì V là K- không gian
hữu hạn chiều nó là một K- mô đun hữu hạn chiều và trong trờng hợp này
ta có vdimKV = l(V).
Chứng minh sơ lợc:
Ta chứng minh theo quy nạp:
Đặt n = vdimKV
- Khi n = 0, n = 1 (đúng)
- Giả sử kết quả đúng với 1< k < n.
Giả sử v V , v 0 đặt U = Kv là một không gian con một chiều của V.

Đỗ Thị Hằng Nga

18

K31E- Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

i
f
Xét dãy khớp ngắn: 0 U
V
V / U 0 của K- không gian

và K- ánh xạ tuyến tính trong đó I là ánh xạ bao hàm, f là toàn cấu.
U và V/ U là các không gian có số chiều hữu hạn
vdimKV = vdimK(kerf) + vdimK(V/ U) vdimK(V/ U) = vdimKV - vdimK(kerf)
mà kerf = Imi = U vdimK(kerf) = 1
vdimK(V/ U) = n-1

Theo giả thiết quy nạp thì l(V/ U) = vdimK(V/ U) = n-1 mà vdimKU = l(U)
vdimKV = vdimKU + vdimK(V/ U) = l(U) + l(V/ U) = 1 + n-1 =n (đpcm)

Đỗ Thị Hằng Nga

19

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

Kết luận
Trên đây là bảng tó tắt toàn bộ nội dung đề tài: Mô đun Artin
Trớc tiên ngời đọc đa ra một hệ thống lý thuyết về các định nghĩa, định
lý, bổ đề, mệnh đề làm cơ sở cho việc nghiên cứu những tính chất của mô đun
Artin.
Sau đó là nghiên cứu mô đun Artin với các tính chất riêng của nó và
trong mối quan hệ của nó với một số mô đun đặc biệt dựa trên các tính chất
độc đáo thể hiện mối liên quan giữa chúng.
Hi vọng rằng tài liệu này sẽ góp ích đợc một phần nào đó đối với các
bạn sinh viên quan tâm đến đại số nói riêng, đến toán học nói chung.
Chắc chắn rằng cuốn khoá luận không thể tránh khỏi những sai xót, rất
mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến chân thành của các thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 5, năm 2009
Sing viên
Đỗ Thị Hằng Nga

Đỗ Thị Hằng Nga

20

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Mô đun Artin

Tài liệu tham khảo
1.
2. Nguyễn Hữu Việt Hng, Đại số đại cơng, NXB GD 1999;

3. Ngô Thúc Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), NXB GD 1982;

Đỗ Thị Hằng Nga

21

K31E- Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Hằng Nga

Mô đun Artin

22

K31E- Toán