Tóm tắt khóa luận: Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose Einstein

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trên thế giới, vào năm 1995 đã xảy ra một đột biến mới trong công nghệ. Đó
là việc tạo ra ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) - một hiện tượng lượng tử kì lạ,
được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử.
Đầu thế kỉ 20 (1920) khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose
-Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất
cơ bản của nó. Đó là một khối các hạt đồng nhất và có spin nguyên, chúng
đều ở trong cùng trạng thái cơ bản như nhau. Dừng lại ở đó cho tới khi chế
tạo được BEC trong thực tế,một loạt tính chất quan trọng chưa từng biết đến
trước đây đã được phát hiện. Đây là trạng thái của vật chất hoàn toàn mới,
không giống với trạng thái vật chất nào mà con người được biết.
BEC được chế tạo từ các nguyên tử kiềm và từ các nguyên tử Hidro bằng
cách làm lạnh và sau đó giam khối khí loãng nguyên tử trong một bẫy từ
mạnh. Đây là một tập thể các nguyên tử đồng nhất, chúng có một trạng thái
lượng tử, mô tả bằng cùng một hàm sóng, chúng có tính chất đồng bộ như các
photon của một chùm laze. Chính vì thế Gross - Pitaevskii chủ yếu nghiên
cứu trạng thái dừng, dựa trên giả thuyết tất cả các nguyên tử nằm ở trạng thái
cơ bản. Thực tế vẫn có một số lượng các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản
mà nằm ở mức kích thích. Nên để tính được ảnh hưởng của các nguyên tử ở
mức kích thích người ta phải tính tới các dao động bề mặt .Và Bogoliubov đã
nghiên cứu các dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sở
phương pháp lượng tử hóa lần 2.
Hướng đi này đã chế tạo ra BEC từ các nguyên tử Helli ở trạng thái
kích thích và hứa hẹn mang lại nhiều triển vọng ứng dụng trong tương lai.
Xuất phát từ việc tìm hiểu triển vọng ứng dụng BEC tôi lựa chọn đề tài
“Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein”

2. Mục đích của đề tài
Nghiên cứu hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein
nhằm giới thiệu hình thức nghiên cứu của Bogoliubov trong ngưng tụ Bose

-Einstein và những ứng dụng quan trọng của BEC.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản mà nằm ở mức kích thích, xét các
dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sở phương pháp lượng
tử hóa lần 2.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu các nguyên tử ở mức kích thích và xét các dao động bề mặt
của ngưng tụ Bose - Einstein
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học khác
- Đọc và tra cứu tài liệu
6. Bố cục của khóa luận
-Chương 1: Lí thuyết chung về ngưng tụ Bose - Einstein
-Chương 2: Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Eienstein

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN
Trong chương này sẽ giới thiệu về ngưng tụ Bose - Einstein, điều kiện để xuất
hiện ngưng tụ Bose - Einstein, làm lạnh nguyên tử để có được ngưng tụ Bose-
Einstein đối với khí boson lí tưởng và quá trình thực nghiệm hình thành một
ngưng tụ Bose - Einstein.
1.1 Hệ hạt đồng nhất
Ngưng tụ Bose - Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan
sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995 và bây giờ là đề
tài chính trong lí thuyết và thực nghiệm.
Einstein đã tổng quát hóa lí thuyết của Bose thành khí lí tưởng của hệ hạt
đồng nhất nguyên tử hay phân tử, mà số lượng hạt được bảo toàn. Cùng thời
gian đó, dự đoán với nhiệt độ đủ thấp , các hạt sẽ nằm trong cùng trạng thái
lượng tử thấp nhất của hệ. Hiện tượng đó gọi là ngưng tụ Bose - Einstein

(BEC), xảy ra đối với các hạt bốn có tổng số spin nguyên.
Năm 1995, nhóm JILA ở một phòng thí nghiệm đã thu được bằng chứng
thuyết phục cho ngưng tụ Bose-Einstein trong khí loãng nguyên tử. Ở MIT đã
xác minh được tính năng hấp dẫn mà ngưng tụ Bose-Einstein nguyên tử giống
như laser, hay lúc này sóng nguyên tử có tính kết hợp.
Thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với nguyên tử khác, phù hợp
với nguyên lí bất định Heisenberg, vị trí nguyên tử được đánh dấu bởi bước
sóng De Broglie
2
2
2
dB
B
k mT
π
λ
 
=
 ÷
 
h
, k
B
là hằng số Boltzmann, m là khối lượng
nguyên tử, T là nhiệt độ của khí. Ở nhiệt độ phòng, bước sóng DeBroglie nhỏ
hơn rất nhiều lần so với khoảng cách trung bình giữa các nguyên tử. Sóng vật
chất của các nguyên tử riêng lẻ được mô tả bởi thống kê Boltzmann.

Kết quả là ngưng tụ Bose - Einstein là sự chiếm đóng vĩ mô ở trạng thái
cơ bản của khí. Quá trình ngưng tụ không có tương tác là một mô hình quan

trọng của thống kê cơ học lượng tử. Sự phân bố mật độ ngưng tụ được miêu
tả bởi hàm sóng đơn vi mô với biên độ và pha được xác định rõ, như một lĩnh
vực cổ điển.
1.2 Làm lạnh nguyên tử
Ngưng tụ Bose bắt đầu với Hydro, trong thí nghiệm nguyên tử Hydro
đầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành pha loãng, sau đó bị giam giữ bởi
một từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi, cách làm này đã tiến rất gần
tới quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sự tương tác tái tổ hợp của từng
nguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giới hạn bởi tính hiệu quả của việc
phát hiện ngưng tụ.
Các con đường thành công để có ngưng tụ Bose - Einstein là sự kết hợp
hài hòa của sự phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một kim loại
kiềm bốc hơi lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi, làm mát
bằng bay hơi nguyên tử, năng lượng cao thoát ra khỏi mẫu nguyên tử vì vậy
năng lượng trung bình của nguyên tử còn lại giảm. Sự va chạm đàn hồi làm
phân bố năng lượng giữa các nguyên tử thay đổi, phân bố vận tốc của các
nguyên tử này tuân theo hình thức Maxwell - Boltzmann nhưng ở nhiệt độ
thấp hơn, các mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc cường độ và số
lượng các nguyên tử bị giam giữ giảm. Mặt khác đòi hỏi phải có mật độ
nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, yêu cầu tỉ lệ va chạm đàn
hồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không kéo dài tuổi thọ
của các khí bị giam giữ.
Cho bay hơi và làm mát thì nguyên tử mất đi phải được cách li nhiệt từ
môi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh vực điện,
vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phương pháp tốt
nhất cho chất kiềm là giam bằng từ trường. Sau khi nguyên tử bị giam giữ và

làm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và xây dựng xung quanh nguyên
tử một điện thế. Nguyên tử chỉ có thể làm mát bằng bay hơi nếu thời gian cần
thiết là ngắn hơn nhiều so với thời gian sống của một nguyên tử trong bẫy, đòi

hỏi một cái bẫy giam kín chứa mật độ cao. Các thí nghiệm lần đầu tiên quan
sát BEC là sử dụng bẫy cực từ tuyến tính.
1.3 Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boson lí tưởng
Số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ
ε
đến
d
ε ε
+
là

3
2 3
2
( ) ,
2
exp 1
m Vg d
dn
ε ε
ε
ε µ
π
θ
=
−
 
−
 
 

h
(1.1)
vì số hạt toàn phần là N, cho nên ta có phương trình sau đây

3
2 3
0 0
2
( ) .
2
exp 1
m Vg d
N dn
ε ε
ε
ε µ
π
θ
∞ ∞
= =
−
 
−
 
 
∫ ∫
h
(1.2)
Khi nhiệt độ hạ xuống
µ

có thể tăng từ một giá trị âm đến giá trị lớn hơn
(nhưng vẫn âm) và
µ
có thể đạt tới giá trị cực đại bằng không (
µ
= 0), từ
phương trình (1.2)

3 3 2
3 2
0
2 3
2 3
0 0
2
,
2 1
2
exp 1
x
m Vg d m Vg xdx
N
e
ε ε
θ
ε µ
π
π
θ
∞ ∞

= =
−
− 
−
 
 
∫ ∫
h
h
(1.3)
biết rằng

0
2,31.
1
x
xdx
e
∞
=
−
∫
(1.4)

Đối với tất cả các khí boson quen thuộc, nhiệt độ đó là rất nhỏ. Như đối với
4
He
, ngay cả đối với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 120kg/m
3
ta

được T
0
= 2,19 K.
Khi nhiệt độ đó khác không và vì vậy sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độ nào
đó thấp hơn nhiệt độ tới hạn T
0
, nghĩa là

0
0 ,
θ θ
< <
(1.5)
Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên
0
µ
=
. Nhưng khi đó, với
0
θ θ
<
điều
kiện (1.2) chỉ có thể thỏa mãn khi số hạt
N N
′
<
. Thực vậy, với
0
θ θ
<

và
0
µ
=
điều kiện (1.2) có dạng phương trình (1.3), từ đó

3 2
0
.
N
N
θ
θ
 
′
=
 ÷
 
(1.6)
Do số hạt trong hệ được bảo toàn, vì vậy kết quả vừa thu được phải được
chấp nhận. Điều mà
N N
′
<
khi
0
θ θ
<
chỉ ra rằng số hạt toàn phần N chỉ có
một phần số hạt

N
′
có thể phân bố theo mức năng lượng
3 2
3 2
2 3
0
( ) .
(2,31)
2
exp 1 exp 1
m Vg d N d
dn
ε ε ε ε
ε
ε ε
θ
π
θ θ
′
= =
   
− −
   
   
h
(1.7)
Còn các hạt
,N N
′

−
cần phải được phân bố khác đi, chẳng hạn tất cả các số
đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng nằm ở một pha khác
mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.

Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn T
0
một phần các hạt của khí boson sẽ nằm ở
mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được
phân bố trên các mức khác theo định luật

1
.
exp 1
ε
θ
 
−
 
 
(1.8)
Hiện tượng mà chúng ta vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí boson
chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí boson phân bố
khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không
tuyệt đối (T = 0) tất cả các hạt của khí boson sẽ nằm ở mức không.
1.4. Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein
Quá trình ngưng tụ Bose - Einstein là quá trình chuyển pha: từ một hệ không
có dao động nhiệt (chỉ có dao động lượng tử) ở nhiệt độ T
0
> 0K nào đó.

Có thể được diễn tả như sau: Xét một hệ khí boson lý tưởng tức là các hệ có
spin nguyên và không tương tác lẫn nhau. Khi nhiệt độ của hệ khá lớn so với
0K thì tất cả các hạt của hệ đều ở mức năng lượng lớn hơn 0. Giảm dần nhiệt
độ của hệ thì các hạt trong hệ cũng dần ở những mức năng lượng thấp hơn.
Giảm dần nhiệt độ T
0
nào đó thì bắt đầu có những hạt (phải) có năng lượng
bằng 0 tăng dần và khi tới nhiệt độ 0K thì toàn bộ số hạt của hệ đều nằm ở
mức có năng lượng bằng 0. Quá trình này là quá trình chuyển pha từ pha
chuyển động nhiệt về pha không có chuyển động nhiệt. Đó chính là quá trình
ngưng tụ Bose - Einstein
Việc tạo ra ngưng tụ đó được tiến hành cụ thể như sau: Người ta giảm nhiệt
độ bằng cách làm lạnh. Sử dụng cách làm lạnh cho bay hơi các nguyên tử còn
nóng, sau đó cho khối khí loãng nguyên tử này giam trong một bẫy từ mạnh
để các nguyên tử không thể va chạm vào thành bình mà chỉ quanh quẩn ở khu
trung tâm. Để cho các nguyên tử còn nóng có thể bay thoát khỏi bẫy, người ta

dùng một từ trường yếu hoặc một sóng điện từ yếu tác động lên khối các
nguyên tử. Khi đó chỉ còn lại khối các nguyên tử chuyển động rất chậm, tức
là nhiệt độ khối nguyên tử đã hạ xuống rất rất thấp vào khoảng vài chục phần
tỉ kenvil cách 0K. Như thế là ta tạo ra được ngưng tụ Bose - Einstein với khối
khí đó.
CHƯƠNG 2: HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG
NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN
Trong chương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích của
khí khi bị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không.
Các hạt boson tuân theo thống kê Bose - Einstein. Đối với mô hình khí lí
tưởng (không có tương tác giữa các boson). Khi nhiệt độ đạt gần độ không
tuyệt đối thì tất cả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng tử với
năng lượng thấp nhất. Đó chính là ngưng tụ Bose - Einstein. Trong trường

hợp một hệ khí lí tưởng ba chiều tồn tại nhiệt độ chuyển pha mà hệ khí sẽ
ngưng tụ ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ này. Đối với hệ khí boson có tương
tác (mô hình khí thực), theo lí thuyết có tồn tại nhiệt độ chuyển pha mà khí
boson có thể ngưng tụ ngay trong các hệ hai chiều (Bogoliubov -
Pitaevskii).
2.1. Khí boson đồng nhất
2.1.1. Phép biến đổi Bogoliubov
Xét hệ được mô tả bởi Hamilton

0 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ),h a a b b a a ba
ε ε
+ + +
= + + +
(2.1)

với
0
ε
và
1
ε
là những c - số. Các toán tử
ˆ
a
+
và
ˆ

a
lần lượt là toán tử sinh và
hủy boson trong trạng thái với xung lượng p, toán tử
ˆ
b
+
và
ˆ
b
tương ứng
của trạng thái với xung lượng –p
Các toán tử sinh và hủy boson tuân theo các hệ thức giao hoán sau
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, , 1a a b b
+ +
 
 
= =
 
 
,and
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , , 0.a b b a a b a b
+ + + +
       
= = = =
       
(2.2)

Chúng tôi đưa ra các toán tử mới
ˆ
α
và
ˆ
β
theo định nghĩa

ˆ
ˆ
ˆ
ua vb
α
+
= +
,
ˆ
ˆ
ˆ
,ub va
β
+
= +
(2.3)
trong đó u và v là hệ số được xác định. Khi đó các toán tử này tuân theo các
hệ thức giao hoán
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, , 1
α α β β

+ +
 
 
= =
 
 
,
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , , 0
α β β α α β α β
+ + + +
       
= = = =
       
, (2.4)
giá trị của u, v là thực và tùy ý. Bằng cách thay (2.3) vào (2.4) và sử
dụng(2.2) ta thấy u và v phải thỏa mãn điều kiện:
u2 – v2 = 1, (2.5)
việc biến đổi nghịch đảo tương ứng với (2.3) là

ˆ
ˆ
ˆ
a u v
α β
+
= −
,
ˆ

ˆ
ˆ
b u v
β α
+
= −
. (2.6)
Bây giờ chúng ta thế (2.6) vào (2.1) và ta có kết quả


2 2 2
0 1 0 1
2 2
1 0
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2 ( ) 2 ( )
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) 2 ( ).
h v uv u v uv
u v uv
ε ε ε ε α α β β
ε ε αβ β α
+ +
+ +
 
= − + + − +
 

 
+ + − +
 
(2.7)
Thực hiện triệt tiêu số hạng
ˆ ˆ
ˆ ˆ
αβ β α
+ +
+
bằng cách chọn u và v để hệ số của
nó bằng không

2 2
1 0
( ) 2 0.u v uv
ε ε
+ − =
(2.8)
Các tham số của u và v là
u = cosht, v = sinht . (2.9)
Do đó các điều kiện (2.8) được viết là

2 2
1 0
(cosh sinh ) 2 sinh cosh 0,t t t t
ε ε
+ − =
(2.10)
hoặc


1
0
tanh2 .t
ε
ε
=
(2.11)
Từ kết quả này ta thấy

2
0
1
1
1
2
u
ε
ε
 
= +
 ÷
 
và
2
0
1
1
1 ,
2

v
ε
ε
 
= −
 ÷
 
(2.12)

Thực hiện phép tính u2 + v2 và 2uv, sau đó xét tỉ số
1
0
ε
ε
và thay vào (2.7) ta
thu được kết quả

0
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) .h
ε α α β β ε ε
+ +
= + + −
(2.13)
Năng lượng ở trạng thái cơ bản là
0
ε ε
−

, nó có giá trị âm và trạng thái
kích thích tương ứng với việc bổ sung thêm hai loại boson độc lập có năng
lượng
ε
tạo bởi các toán tử
ˆ
α
+
và
ˆ
β
+
, cho
ε
là thực, và
0 1
.
ε ε
>
Nếu
0 1
ε ε
<
, năng lượng kích thích có sự biến đổi, tương ứng với một sự
bất ổn định của hệ.
2.1.2 Các năng lượng kích thích ở trạng thái cơ bản
Ta đưa Hamilton
2
' 0
0

0 0 0 0
( 0)
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )( ) ( )
2
p p p p p p p p p
p p
N U
H n U a a a a n U a a a a
V
ε
+ + + +
− − − −
≠
 
= + + + + +
 
∑
 !"#$% &'(

( )
2
0
0
0 0
( 0) ( 0)
1
ˆ ˆ
2 2

p p p p p
p p p p
N U
H n U
V
ε α α ε ε
+
≠ ≠
= + − + −
∑ ∑
)*"+,-,
p
sp
ε
=
"%$


2
0 0
.
n U
s
m
=

(2.14)
Ở trạng thái kích thích, các toán tử sinh và hủy boson được đưa ra bởi

ˆ

ˆ ˆ
,
p p p p p
u a v a
α
+ +
−
= +
(2.15)
2.1.3. Sự suy giảm của ngưng tụ
./-0123

0
( 0)
ˆ
ˆ ˆ
.
p p
p p
N N a a
+
≠
= +
∑
4$56778
ˆ
p
α
+
9

ˆ
p
α
"$
( ) ( )
2 2 2
0
( 0) ( 0) ( 0)
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
.
p p p p p p p p p p p
p p p p p p
N N v u v u v
α α α α α α
+ + +
− −
≠ ≠ ≠
= + + + − +
∑ ∑ ∑
(2.16)
Về mặt ý nghĩa vật lý của biểu thức này ta có thể nói rằng số hạng đầu tiên
chính là số nguyên tử trong trạng thái ngưng tụ. Số hạng thứ 2 biểu diễn sự
thiếu hụt của ngưng tụ do các tương tác khi không có một kích thích thực
nào.
Điều này cho thấy rằng khi một kích thích có xung lượng p ≠ 0 được thêm
vào hệ , giữ N0 cố định, số hạt thay đổi một lượng

2 2
,

p
p p p
p
u v
ξ
ν
ε
= + =
(2.17)

Sự suy giảm của trạng thái cơ bản ở nhiệt độ không được tính bằng cách
xét số hạng thứ hai trong phương trình (2.16) và thấy số hạt trên mỗi đơn
vị thể tích trong trạng thái kích thích

( )
3
2 2
3
2
( 0)
1 1
,
3
2
ex p p
p p
dp ms
n v v
V
π

π
≠
 
= = =
 ÷
 
∑
∫
n
h
h
(2.18)
là mật độ các hạt không ngưng tụ trong không gian
3
ξ
, với
ξ
là độ dài
tổng hợp. Sự suy giảm này có thể thu được bằng cách sử dụng kết quả
(2.14) với các
2
0
4 a
U
m
π
=
h
và tìm thấy


( )
1/2
3
8
.
3
ex
n
na
n
π
=
(2.19)
Trong việc tìm ra kết quả này, chúng tôi đã giải thích sự suy giảm của
ngưng tụ là nhỏ và biểu thức (2.18) chỉ được tính đến khi khoảng cách giữa
các hạt lớn hơn so với chiều dài tán xạ.
2.1.4 Năng lượng ở trạng thái cơ bản
Việc tính các giá trị bậc cao của năng lượng đòi hỏi phải vượt qua được
gần đúng bậc không, trong đó tương tác hiệu dụng được thay bằng

2
0
4 a
U
m
π
=
h
. Khi đó p2 được tìm bằng cách xét các biểu thức năng lượng
E0 ở trạng thái cơ bản

( )
2
0
0
0 0 0
1
.
2 2
p p
p
N U
E n U
V
ε ε
= − + −
∑
(2.20)
Để tính được giá trị phù hợp của năng lượng ở trạng thái cơ bản người ta
phải sử dụng một tương tác hiệu dụng U(pc), trong đó có tính đến các
trạng thái trung gian với xung lượng lớn hơn pc. Do đó năng lượng ở
trạng thái cơ bản là

( )
2
0
0 0 0
( )
( ) 1
.

2 2
c
c
p p
p p p
N U p
E n U
V
ε ε
<
= − + −
∑
(2.21)
Tương tác hiệu dụng khi cho pc nhỏ và năng lượng bằng không được cho
bởi

2
0
0
0
( )
1
( ) .
2
c
c
p p p
p
U
U p U

V
ε
<
= +
∑
(2.22)

Nếu chúng ta chọn giới hạn trên của xung lượngplà lớn so với ms nhưng lại
nhỏ so với
a
h
, thì kết quả không phụ thuộc vào pc và sử dụng điều kiện
n0≈n, ta tìm thấy

3
2 2
2 3 1/2
0 0 0
2 1/2
8 128
1 ( ) .
2 15 2 15
E n U ms n U
ms na
V
π π
   
= + = +
 ÷
 

   
h
(2.23)
Số hạng đầu tiên chỉ ra thứ tự độ lớn của sự thay đổi năng lượng, là số
lượng của các toán tử với số sóng nhỏ hơn nhiều độ dài kết hợp, đây là kết
quả mong đợi lần đầu tiên thu được từ Lee và Yang.
2.1.5 Các trạng thái với số lượng hạt xác định
Các Hamilton ban đầu

0
0
, ,
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,
2
p p p p q p q p p
p p p q
U
H a a a a a a
V
ε
+ + +
′ ′
+ −
′
= +
∑ ∑
có tổng số hạt được bảo toàn. Giả sử rằng toán tử hủy hạt có giá trị trung
bình khác không được chỉ ra trong phương trình

ˆ ˆ
( ) ( ) ( ).r r r
ψ ψ δψ
= +
Ta đi tìm trạng thái của một chất khí boson chứa một số hạt xác định bằng
cách đưa ra các toán tử


1/2
0 0
ˆ
ˆ ˆ ˆ
( 1)
p p
c a N a
+ −
= +
,
1/2
0 0
ˆ
ˆ ˆ ˆ
( 1)
p p
c a N a
+ + −
= +
,
( 0),p ≠

(2.24)
với

0 0 0
ˆ
ˆ ˆ
,N a a
+
=
Khi toán tử có momen xung lượng bằng không thì một số hạt không bị biến
mất. Ngoài ra các toán tử
ˆ ˆ
p p
c c
+
tương ứng với
ˆ ˆ
p p
a a
+
khi cho p≠0. Chỉ giữ đến
các số hạng bậc hai đối với toán tử
ˆ
p
c
và
ˆ
p
c
+

, chúng ta viết Hamilton cho
trạng thái ngưng tụ với tổng số hạt N đượcxác định là
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1/2 1/2 1/2 1/2
0
0 0 0
0 0 0 0 0
( 0)
ˆ
( 1)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1 2 1 .
2
p p p p p p p p p
p p
N N U N U
H U c c c c N N c c c c N N
V V V
ε
+ + + +
− − − −
≠
 
 
−
 
 
= + + + + + + + + +

  ÷
 
 
 
 
 
∑
:;
Điều này cho thấy việc bổ sung một kích thích ở trạng thái cơ bản với xung
lượng p là tổng hợp của việc bổ sung một hạt có xung lượng p cùng với
việc loại bỏ một hạt từ ngưng tụ và việc loại bỏ một hạt với xung lượng -p
đi bằng cách cho thêm một hạt để ngưng tụ. Vì vậy, đối với N0 lớn,
ˆ
p
d
+
là tỷ
lệ với
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
p p
a a a a
+ +
−
+
, đó chính là đóng góp của ngưng tụ vào
ˆ ˆ
p p p p
a a
+

′ ′ ′
+
∑
tạo

ra sự thăng giáng mật độ. Điều này khẳng định bản chất của phonon khi bị
kích thích có bước sóng dài.
2.2. Sự kích thích của khí bị bẫy
Chúng ta xét các toán tử Hamilton
2
2
0
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
2 2
U
H dr r r V r r r r r r
m
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
+ + + +
 
= − ∇ + +
 
 
∫
h
và biểu thức

ˆ ˆ

( ) ( ) ( ),r r r
ψ ψ δψ
= +
tương ứng với việc thăng giáng khỏi ngưng tụ. Ngoài ra để cho dễ dàng
hơn khi tính đến sự thay đổi số hạt chúng ta sử dụng toán tử
ˆ ˆ ˆ
K H N
µ
= −
.
Trong các biến đổi,
ˆ
K
có thể được viết là
(
2
2
0
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( )
2
K H N E dr r r
m
µ δψ δψ
+
= − = + − ∇
∫
h
[ ]

{ }
2
22
2 * 2
0
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
2
U
V r U r r r r r r r
ψ µ δψ δψ ψ δψ ψ δψ
+ +

 
 
+ + − + +
÷
 
 

(2.26)
Sử dụng toán tử
ˆ
K
để mô tả ngưng tụ Bose - Einstein. Sử dụng kí hiệu ma
trận và bỏ qua c - số, chúng ta có thể viết


1

ˆ ˆ ˆ
,
2
K
+
= Ψ ΜΨ
(2.27)
Chúng ta tìm phép biến đổi chéo hóa M, đó là ma trận Hermit. Giá trị của M
có liên quan chặt chẽ với các nghiệm của các phương trình Bogoliubov, đối
với trường hợp các toán tử là các hàm sóng ngưng tụ, trong ma trận kí
hiệu là

i i z i
MW W
ε σ
=
hoặc
z i i i
MW W
σ ε
=
, (2.28)
trong đó

i
i
i
u
W
v

 
=
 ÷
−
 
(2.29)
và

1 0
,
0 1
z
σ
 
=
 ÷
−
 
(2.30)
là một ma trận Pauli trong biểu diễn đơn giản. Các chỉ số dưới i và tần số ω
được thay bởi
i
ε
h
. Nghiệm của phương trình Bogoliubov là hàm riêng của
toán tử không Hermit
z
M
σ
.


Từ các phương trình Bogoliubov (2.30) ta thấy nếu có một nghiệm có trị
riêng
i
ε
và nghiệm thứ hai với trị riêng là
*
j i
ε ε
= −
và
*
j i
u v=
và
*
j i
v u=
. Ta
rút ra được điều kiện trực giao bằng cách tính đại lượng
*
( )
j i i j
W MW W MW
+ +
−
.
Với các mức có tần số thực, chúng ta sẽ chọn điều kiện chuẩn hóa

* *

, 0
( )
, 0.
ij i
i j i j
ij i
N
dx u u v v
N
δ
δ
>

− =

− <

∫
(2.31)
Các nghiệm của phương trình Bogoliubov có trị riêng thực là
*
j i
ε ε
= −
,
*
j i
u v=
và
*

j i
v u=
liên hợp với các nghiệm ban đầu. Chúng ta sử dụng các
ma trận Hermit M cho một khí bị giam giữ trong trạng thái cơ bản của nó,
đó là ma trận M dương, ta thấy trị riêng của ma trận
z
M
δ
là thực. Vì vậy, ta
kết luận tất cả các trị riêng phải là thực.
Ngoài ra, còn một số nghiệm của phương trình Bogoliubov với trị riêng
bằng không, tương ứng với vecto W(1) có các thành phần là
ψ
và
ψ
−
, u(1)

= v(1) =
.
ψ

Nó thỏa mãn các phương trình Bogoliubov vì
ψ
tuân theo
phương trình Gross-Pitaevskii

2
2
2

0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
2
r V r r U r r r
m
ψ ψ ψ ψ µψ
− ∇ + + =
h
Từ biểu thức (2.46) ta thấy trực tiếp điều kiện chuẩn hóa của nó là bằng
không.
Ngoài các trạng thái riêng của phương trình Bogoliubov, còn có các kích
thích bổ sung hạt vào hệ. Đối với N hạt, hàm sóng Gross-Pitaevskii
( )i N t
e
µ
ψ
−
h
phụ thuộc vào thời gian. Thay đổi số lượng hạt có 2 cách : đầu tiên là thay
đổi
ψ
và thứ hai là thay đổi thời gian. Xét sự thay đổi của hàm sóng ngưng
tụ trong trường hợp này có thể viết

.
d
dN
ψ
δψ
µ

(2.32)
Vì
2
dr N
ψ
=
∫
và
ψ
là thực, ta suy ra

1
.
2
d
dr
dN
ψ
ψ
=
∫
(2.33)

Biểu thức này tương ứng với vecto W(2), có các thành phần
(2) (2)
d
u v
dN
ψ
= − =

và bằng cách tính đại lượng
(2) (2) *
( )
i i
W MW W MW
+ +
−
. Ta
có thể chứng minh rằng W(2) trực giao với tất cả toán tử có năng lượng
i
ε
khác không.
Giả sử tập hợp các vecto đã được chọn là trực giao với nhau. Xét toán tử

,
z
I J
δ
≡
(2.34)
Bây giờ chúng ta biến đổi các Hamilton (2.31) bằng cách viết

1
ˆ ˆ ˆ
2
K IMI
+
= Ψ Ψ
. (2.35)
Kết quả là


2
( 0)
1 1
ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
2 2
i
i i i i i
i
d
K Q
dN
ε
µ
ε α α α α
+ +
>
= + −
∑

2
( 0)
1 1
ˆ
ˆ ˆ
( )
2 2

i
i i i
i
d
Q
dN
ε
µ
ε α α
+
>
= + +
∑
. (2.36)

Với khí boson đồng nhất trong phần này ta không xét trường hợp p = 0. Do
đó, đối với một khí đồng nhất,
1/2
1/2
( ) 1
( ) , ( )
2
N d r
r NV
V dN
ψ
ψ
′
 
= =

 ÷
 
và
( ) 1
( ) .
2
d r
r V
dN
ψ
ψ
′
=
2.3. Nhiệt độ khác không
Ở nhiệt độ không, xuất hiện các kích thích ở trạng thái cơ bản. Tại nhiệt độ
thấp hơn nhiệt độ chuyển pha, số lượng hạt ít và tương tác giữa chúng có
thể bỏ qua. Ở trạng thái cân bằng, các nguồn năng lượng trong ngưng tụ
Bose-Einstein được tính trong gần đúng Bogoliubov. Quan trọng là bổ sung
thêm kích thích không làm thay đổi tổng số hạt và do đó không bị giới hạn
trong hàm phân bố Bose

( )
1
,
exp 1
i
i
f
kT
ε

=
−
(2.37)
Ví dụ đối với một khí boson đồng nhất với năng lượng E(T) đã đóng góp
lượng nhiệt năng là

( )
3
( ) (0)
2
p p
dp
E T E V f
ε
π
− =
∫
h
, (2.38)
và sự suy giảm nhiệt của ngưng tụ được cho bởi


( )
3
( ) (0) ,
2
p
ex ex
p
dp

n T n f
ξ
ε
π
− =
∫
h
(2.39)
Khi nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ đặc trưng
*
T
, ta có

2
* 0
kT ms nU= ≈
, (2.40)
trong giới hạn này, đóng góp của nhiệt năng với năng lượng
sp
ε
=
ở công
thức (2.38) tỷ lệ với T4 . Trong khi trường hợp ngược lại, ở khí không
tương tác, thì tỉ lệ với T5/2.
2.3.1. Gần đúng Hartree - Fock
Với các khí đồng nhất, năng lượng được kích thích từ trạng thái cơ bản
được cho bởi phương trình

0
0

.
p p
nU
ε ε
≈ +
Để hiểu thêm về bản chất vật lí, ta xét khí boson phụ thuộc vào không gian.
Giả sử hàm sóng có dạng là tích của các hàm sóng một hạt, ta có

1 2 1 1 2 2
( , , , ) ( ) ( ) ( ).
N N N N
sym
r r r c r r r
ϕ ϕ ϕ
Ψ =
∑
(2.41)
Để chỉ ra tính chất vật lí, ta xét một tương tác tầm không
( )U r r
′
−
, trong
đó,
r
và
r
′
là tọa độ của hai nguyên tử. Trong biểu thức năng lượng tương

tự với hàm sóng (2.41) có hai điều kiện : đầu tiên là điều kiện trực tiếp và

chúng được viết dưới dạng

2
2
( ) ( ) ( )
Hartree
ij i j
U drdr u r r r r
ϕ ϕ
′ ′ ′
= −
∫
, (2.42)
đó là năng lượng của một cặp hạt ở trạng thái
( ) ( )
i j
r r
ϕ ϕ
′
. Thứ hai là các
điều kiện Fock, có dạng

* *
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
Fock
ij j j i j
U drdr U r r r r r r
ϕ ϕ ϕ ϕ
′ ′ ′ ′
= −

∫
(2.43)
áp dụng để tính toán các yếu tố ma trận trong các toán tử sóng và được
viết dưới dạng (2.40). Khi đó ta có năng lượng tương tác là

1
ˆ ˆ ˆ ˆ
,
2
i j l k
ijkl
U ij U kl a a a a
+ +
=
∑
:;
Đánh giá giá trị trung bình của
ˆ ˆ ˆ ˆ
i j l k
a a a a
+ +
cho ta kết quả năng lượng tương
tác trên. Đối với boson giá trị trung bình của năng lượng tương tác là

1 1
( )
2 2
i j ij i j
ij i j
U ij U ij N N ij U ji N N

δ
<
= − +
∑ ∑

1
( 1) .
2
i i i j
i i j
ii U ii N N ij U ij ij U ji N N
<
= − + +
∑ ∑
(2.45)

Năng lượng
p
ε
của một kích thích với động lượng p thu được, bằng
cách chuyển Np thành Np+1, do đó ta có

0
0 0
.
p
p p
N N
N
U U

V V
ε ε
−
= + +

(2.46)
Số hạng đầu tiên là sự đóng góp Hartree, đại diện cho tương tác trực
tiếp của hạt thêm vào và các hạt trong hệ ban đầu . Số hạng thứ 2 là của
Fock là do các trao đổi và nó tỷ lệ với số lượng các hạt trong trạng thái
khác với hạt được thêm vào.
Bây giờ chúng ta tính năng lượng của một kích thích. Khi trạng thái của
một hạt bị chiếm đóng vĩ mô, trong khi tất cả các hạt khác thì không. Khi đó
xét các số hạng liên quan
1
N
,chúng ta có thể viết

0 0 0 0 0
(2 ) ( 2 )
p ex
n n U n n U
ε
=
= − = +
, (2.47)
khi đó n là tổng số các hạt, n0 là mật độ các hạt trong ngưng tụ và nex = n -
n0 là số hạt ngoài ngưng tụ cho các trạng thái khác có trong

0
0

2 .
p p
nU
ε ε
= +
(2.48)
2.3.2 Gần đúng Popov
#$<#5,
