Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh hưng yên năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THCS
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: Toán lớp 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2 điểm).
Cho x  1  3 2  3 4 . Tính giá trị biểu thức: A  x 3  3x 2  3x  2016 .
Câu 2 (5 điểm).
a) Cho đường thẳng (d) có phương trình y  mx  1  m (m  0) . Tìm m để khoảng cách
từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
b) Tìm các số có 2 chữ số ab (a  b) sao cho số n  ab  ba là một số chính phương.
Câu 3 (2 điểm).
Giải phương trình: x 2  3 x. 3 3 x  2  12 

1

x

x 8
x

Câu 4 (3 điểm).

2 x 2  y 2  3 xy  4 x  3y  2  0
Giải hệ phương trình: 

2
 x  y  3  y  x  1  2
Câu 5 (6 điểm).
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Lấy điểm M bất kỳ
trên cung nhỏ BC. Đường thẳng qua A và vuông góc với CM tại H cắt tia BM tại K.
a) Chứng minh H là trung điểm của AK.
b) Chứng minh điểm K luôn nằm trên một đường tròn cố định khi M thay đổi. Tính
bán kính đường tròn đó khi R  3 3 .
c) Gọi D là giao điểm của AM với BC. Tìm vị trí điểm M sao cho tích hai bán kính
đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác MBD, MCD đạt giá trị lớn nhất.
Câu 6 (2 điểm).
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a3
b3
c3
P


 3abc
3a  ab  ac  2bc 3b  ba  bc  2 ac 3c  ca  cb  2 ab
--------------------Hết------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ..................................................; Số báo danh: .....................................


HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1 (2 điểm).





Ta có x  1  3 2  3 4  2  3 2 1  3 2  3 4  3 2.x

  x  1  2x 3  x 3  3x 2  3x  1  A  2017
3

Câu 2 (5 điểm).

Cách 2:

y
B

M
H

1

O

1

x

A

Ta có đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định M(1;1) do đó khoảng cách OH lớn

nhất là khoảng cách từ O đến M là

2 khi đó ta có

m2  1

 m  1

2



1
 m  1
2


Câu 3 (2 điểm).

x 2  3 x. 3 3 x  2  12 

Câu 4 (3 điểm).

1

x

x 8
x

Câu 5 (6 điểm).

A

O
D
B
H
F

C

M
G

K


Câu 6 (2 điểm).
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a3
b3
c3


 3abc
3a  ab  ac  2bc 3b  ba  bc  2 ac 3c  ca  cb  2 ab
Ta có a  b  c  3 nên 3a  ab  ac  2bc   a  b  c  a  ab  ac  2bc  a 2  2bc

P

Tương tự 3b  ba  bc  2ac  b 2  2ac ; 3c  ca  cb  2ab  c 2  2ab
Do đó :