Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------

TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC


2

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------

TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 62.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU
2. PGS. TS. TRẦN VUI

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015


3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Trương Thị Khánh Phương


4

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn:


Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, người đã luôn động viên nhắc nhở,
hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi về mọi mặt để tôi hoàn thành



luận án này;
Phó giáo sư Tiến sĩ Trần Vui, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên
cứu khoa học, luôn động viên khích lệ để tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong



suốt quá trình thực hiện luận án này;
Các Thầy, Cô trong tổ Toán-Tin trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã
nhiệt tình giảng dạy và chia sẻ những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi trong
suốt thời gian theo học Nghiên cứu sinh.

Tôi xin chân thành cám ơn:


Ban giám hiệu trường ĐH Y Dược Huế, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ
bản và các đồng nghiệp trong bộ môn Toán-Tin trường ĐH Y Dược Huế,
Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học
trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi



cho tôi trong suốt quá trình theo học Nghiên cứu sinh và bảo vệ luận án;
Các giáo viên Toán và học sinh ở các trường THPT Phong Điền, THPT
Quốc Học, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao Thắng, THPT Nguyễn Trường
Tộ, THPT Hai Bà Trưng (Huế) và THPT Lê Lợi (Quảng Trị), THPT Lê Lợi
(Gia Lai) đã giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong quá trình tiến hành thực nghiệm cho
nghiên cứu này.

Cuối cùng, xin tỏ lòng biết ơn đến những người thân trong gia đình và những người
bạn đã luôn quan tâm, nâng đỡ và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong suốt thời gian
qua.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2015
Trương Thị Khánh Phương
MỤC LỤC


5

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt
BDTQ
GV
HS
KTM
nnk
SGK
THPT
tr.

Viết đầy đủ
biểu diễn trực quan
giáo viên
học sinh
kết thúc mở
những người khác
sách giáo khoa
trung học phổ thông

trang


6

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH
Glossary in English
Abductive reasoning
Inductive reasoning
Deductive reasoning
Selective abduction
Creative abduction
Visual abduction
Manipulative abduction
Visual representation
Dynamic visual representation
Visualization
Mathematical pattern
Open ended problem
Dragging scheme
National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM)
Programme for International Student
Assessment (PISA)
Organization for Economic Cooperation and Development (OECD)

Nghĩa tiếng Việt
Suy luận ngoại suy
Suy luận quy nạp
Suy luận diễn dịch

Ngoại suy chọn lựa
Ngoại suy sáng tạo
Ngoại suy trực quan
Ngoại suy thao tác
Biểu diễn trực quan
Biểu diễn trực quan động
Trực quan hóa
Dạng mẫu toán
Bài toán kết thúc mở
Phương thức kéo rê
Hội đồng giáo viên toán quốc gia
Chương trình đánh giá học sinh quốc tế
Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế


7

DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH


8

DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU


9

Chương 1

MỞ ĐẦU

1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu
Trong vòng 20 năm trở lại đây hoặc lâu hơn nữa, một mô tả chung nhất và đặc
trưng nhất về toán được hầu hết các nhà toán học chấp nhận, đó là: Toán học là
khoa học của các dạng mẫu (Devlin, 1994, [30]; Resnik, 1999, [74]).
Báo cáo “Mọi người đếm” – một báo cáo về tương lai của giáo dục toán cho các
quốc gia (1989, [55]) chỉ rõ: “Toán học là một khoa học nhằm thấu hiểu các dạng
mẫu phát sinh từ thế giới xung quanh ta và cả bên trong quá trình làm việc trí óc của
con người. HS cần học các quy tắc toán, nhưng quan trọng hơn là làm thế nào để có
thể mô tả các sự vật hiện tượng theo ngôn ngữ của toán học”. Một trong những cách
để mô tả các dạng mẫu là chỉ ra quy luật của nó thông qua các mối quan hệ và hàm
số. Việc khám phá quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là một kĩ năng cần thiết
với HS trong xu hướng dạy học toán gắn liền với thực tiễn, bởi các nhiệm vụ toán
không còn bó hẹp trong các bài toán chứng minh mà trở nên đa dạng hơn với các
mẫu dữ liệu của các kết quả đo đạc và quan sát, các mô hình toán của các hiện
tượng tự nhiên, của hành vi con người và của hệ thống xã hội. Bodner (1986, [21])
khẳng định “... người học kiến tạo sự hiểu biết. Họ không chỉ đơn giản phản chiếu
lại những gì được dạy và những gì họ đọc được. Người học tìm kiếm ý nghĩa và cố
gắng để tìm ra quy luật và trật tự của các dạng mẫu trong thế giới khách quan cho
dù thiếu những thông tin đầy đủ...”.
Có thể thấy hoạt động tìm kiếm quy luật toán trong các dạng mẫu là một khía cạnh
quan trọng của việc học. Chẳng hạn, lúc học phép cộng các số nguyên, một HS lớp
6 chú ý đến dạng mẫu:

3 + (−4) = (−4) + 3, 5 + 8 = 8 + 5, (−6) + (−9) = (−9) + ( −6)

và

nhận thấy rằng trật tự của hai số hạng trong phép cộng là không quan trọng. Từ đó,
HS đề xuất giả thuyết

a + b = b + a, ∀a, b ∈ ¢

. Như vậy là HS đã tổng quát hóa quy


10

luật toán mà các em phát hiện từ các dạng mẫu quan sát được. Không chỉ có số
học, tìm kiếm quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là hoạt động thường xuyên
diễn ra trong các lĩnh vực khác như đại số, hình học mà kết quả của nó là công thức,
các định lý (Mason, 1996, [50]).
Đặc biệt, quá trình tìm kiếm quy luật toán liên quan đến sự vận hành của hai loại
suy luận có lí là suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp. Hội đồng giáo viên toán
quốc gia của Mỹ NCTM (2000, [57]) xác định: suy luận - chứng minh là một trong
số mười tiêu chuẩn cho toán học nhà trường. NCTM cho rằng khả năng suy luận là
bản chất của việc hiểu toán và đó nên là mục tiêu đầu tiên của giáo dục toán: “Bằng
việc phát triển các ý tưởng, khám phá các hiện tượng, xác minh các kết quả và sử
dụng suy luận toán học trong tất cả các lĩnh vực, ở tất cả các lớp học, HS có thể
nhìn thấy và tin tưởng rằng toán học là có ý nghĩa…”. NCTM (2000, [57]) cũng
khẳng định: “Khả năng suy luận phát triển khi HS được cổ vũ để đưa ra các dự
đoán, được cho thời gian tìm kiếm các bằng chứng nhằm ủng hộ hay bác bỏ chúng,
được mong chờ việc giải thích các ý tưởng… Nếu khả năng suy luận không được
phát triển cho HS thì toán học chỉ là một tập hợp các công thức, thuật toán, quy tắc
và các ví dụ mang tính biểu diễn mà không hiểu tại sao chúng có ý nghĩa”.
Bên cạnh đó, suy luận và biểu diễn cũng là hai trong số tám năng lực được chọn để
đánh giá trong Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, một chương trình do
Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD khởi xướng và chỉ đạo, nhằm tìm kiếm
các chỉ số đánh giá tính hiệu quả, chất lượng của hệ thống giáo dục của mỗi nước
tham gia, qua đó rút ra các bài học về chính sách đối với giáo dục phổ thông. Biểu
diễn trực quan (BDTQ), một dạng của biểu diễn toán, không chỉ đóng vai trò minh

họa cho các kết quả bằng biểu diễn kí hiệu mà còn được thừa nhận là công cụ hiệu
quả cho việc học toán (Arcavi, 2003, [13]).
Trong bối cảnh chung đó, chúng tôi mong muốn được thực hiện một đề tài nghiên
cứu nhằm phát triển khả năng suy luận quy nạp và ngoại suy để tìm kiếm các quy
luật toán của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan.


11

1.2. Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu
Toán học được coi như là môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó mới chỉ là một
khía cạnh của nó. Bạn cần dự đoán một định lý toán học trước khi chứng minh nó.
Bạn phải phỏng đoán về ý tưởng của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh
chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương
tự. Kết quả công việc sáng tạo của nhà toán học là suy luận diễn dịch, nhưng người
ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán (Polya, 1954, [66]). Do
đó, nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế
nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lí. Suy
luận quy nạp và suy luận ngoại suy, với những ý nghĩa của nó trong việc giúp HS
khám phá tri thức toán thông qua việc phát hiện ra quy luật trong các dạng mẫu là
một nội dung cần được quan tâm phát triển nhiều hơn trong giáo dục toán.
Mặt khác, bước sang những năm đầu của thế kỷ 21, xu hướng thực hành áp dụng
toán học vào hầu hết các vấn đề mà HS gặp phải trong cuộc sống đời thường được
nhiều nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu một cách toàn cầu hóa. Người ta nhận thấy
rằng, trong những tình huống thông thường, con người vận dụng toán học theo hai
cách khác nhau: sử dụng các công thức hay quy trình đã biết để giải các bài toán
mẫu mực, hay đối mặt với các vấn đề không quen thuộc và phức tạp hơn thông qua
các phương án toán học tiêu biểu như đưa ra giả thuyết mới bằng phép ngoại suy;
tổng quát hóa quy luật bằng phép quy nạp; suy luận bằng tương tự hóa; đặc biệt
hóa... Rất hiếm khi con người sử dụng suy luận diễn dịch bởi những tiêu chuẩn chặt

chẽ nghiêm ngặt mà nó đòi hỏi. Một lần nữa, suy luận ngoại suy và suy nạp trở
thành một công cụ hiệu quả để HS sử dụng khi đối mặt với các vấn đề thực tế.
Đối với giáo dục toán ở nước ta, đối tượng mà chúng tôi quan tâm trong nghiên cứu
này là những HS mười lăm tuổi, lứa tuổi vừa hoàn thành chương trình phổ cập giáo
dục chính thức và có quyền lựa chọn giữa việc tiếp tục theo đuổi chương trình trung
học phổ thông (THPT) hay trở thành một công dân độc lập với một nghề nghiệp cho


12

tương lai ngay từ lúc này. Chúng tôi cho rằng đây là giai đoạn chuyển tiếp có ý
nghĩa quan trọng khi mà những năng lực toán học đã được HS tích lũy sẽ có ảnh
hưởng lớn đến thành công của các em trong những năm học tiếp theo và cuộc sống
nghề nghiệp sau này. Nếu tiếp tục chương trình THPT, tính chất và mức độ học tập
được yêu cầu đối với HS ở giai đoạn này sẽ phức tạp và cao hơn hẳn so với tuổi
thiếu niên, đòi hỏi HS phải biết cách vận dụng tri thức một cách sáng tạo. Nhà
trường lúc này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng vì nội dung học tập không chỉ nhằm
trang bị và hoàn chỉnh tri thức mà còn có tác dụng hình thành thế giới quan và nhân
sinh quan cho các em. Hoạt động tư duy của HS lứa tuổi mười lăm cũng phát triển
mạnh. Năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa phát triển cao giúp cho
các em có thể lĩnh hội mọi khái niệm phức tạp và trừu tượng trong toán học. HS
thích tìm hiểu những quy luật và nguyên tắc chung của các hiện tượng hàng ngày và
của những tri thức phải tiếp thu... Một số câu hỏi mà chúng tôi đặt ra dành cho đối
tượng HS này là: “Làm thế nào để các em tiếp cận được với một tri thức toán mới
có tính quy luật?”; “Khi bắt gặp một vấn đề toán học có liên quan đến mối quan hệ
giữa các đối tượng thì quá trình thu thập thông tin và suy luận để phát hiện ra các
quy luật toán diễn ra trong đầu các em như thế nào?”; “Liệu các em có mang trong
mình tư tưởng khám phá quy luật toán trong các dạng mẫu quan sát được để hỗ trợ
giải quyết các vấn đề thực tế?”
Mặt khác, HS mười lăm tuổi cũng là đối tượng của chương trình đánh giá HS quốc

tế PISA, một chương trình đánh giá giáo dục được tổ chức định kì 3 năm một lần
với quy mô gần 70 quốc gia trên thế giới tham dự, trong đó có Việt Nam. Một trong
bốn lĩnh vực được PISA chọn để đánh giá là hiểu biết toán, liên quan đến ba khía
cạnh: Nội dung toán học, quá trình toán học và bối cảnh trong đó toán học được sử
dụng. Trong đó, nội dung toán học được xác định chủ yếu theo bốn “ý tưởng bao
quát”: đại lượng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ, tính không chắc
chắn. Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA nhận thấy rằng: các quy luật về đại
lượng, các quy luật về không gian và hình, các quy luật về những thay đổi và các
mối quan hệ tạo nên các khái niệm trung tâm cho các mô tả về toán học và tạo nên


13

“trái tim” của bất kỳ một chương trình toán nào ở trung học, cao đẳng hay đại học.
PISA còn cho thấy các quy luật toán có thể được sử dụng để giải quyết rất nhiều
vấn đề thực tế: “Các cấu trúc sống đang thay đổi khi chúng phát triển, chu trình các
mùa, thủy triều lên và xuống, các chu trình thất nghiệp, thay đổi thời tiết và các chỉ
số chứng khoán, một trong số các quá trình thay đổi này có thể được mô tả hay
được mô hình hóa bởi những hàm số bậc nhất, hàm số mũ hay hàm số tuần hoàn, có
thể là rời rạc hay liên tục” (OECD, 2003, [60, tr. 37]). Với ý thức về tầm quan trọng
của quy luật toán đối với HS ở lứa tuổi mười lăm này, PISA kiểm tra các em về khả
năng mô tả những thay đổi trong thế giới dưới dạng có thể nhận thức được để nhận
ra sự xuất hiện của các quy luật, đồng thời biết vận dụng các kiến thức và kĩ thuật
sẵn có nhằm đem lại lợi ích lớn nhất cho cuộc sống (OECD, 2003, [60]).
Có thể thấy, năng lực phát hiện, mô tả và sử dụng các quy luật toán để giải quyết
vấn đề trong toán học và thực tế cũng là một trong những nội dung được PISA quan
tâm đối với HS mười lăm tuổi. Trong xu hướng đó, với mong muốn thu hút sự quan
tâm của giáo dục toán Việt Nam vào những đóng góp tích cực của suy luận ngoại
suy và quy nạp trong việc giúp HS mười lăm tuổi phát triển khả năng tìm kiếm các
quy luật toán, chúng tôi chọn: “Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy

nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật
toán” làm đề tài nghiên cứu của luận án.
1.3. Phạm vi nghiên cứu
Luận án quan tâm đến việc sử dụng suy luận quy nạp và ngoại suy của HS mười
lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm các quy luật toán với sự hỗ trợ của các biểu diễn
trực quan. HS mười lăm tuổi theo quy định của PISA là các HS trong độ tuổi từ
mười lăm năm ba tháng đến mười sáu năm hai tháng. Trong luận án này, để thuận
lợi cho việc thiết kế và phân tích các kết quả thực nghiệm, đối tượng HS mười lăm
tuổi sẽ mang ý nghĩa tương đương với các HS đang bắt đầu theo học chương trình
lớp 10 ở Việt Nam. Với đặc thù của chương trình toán ở nước ta hiện nay, chúng tôi
chọn sử dụng một số nội dung toán thuộc hai lĩnh vực Đại số và Hình học mà HS đã


14

được học ở cấp trung học cơ sở cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khai thác. Cụ thể,
các quy luật toán mà chúng tôi muốn tập trung phân tích trong lĩnh vực Đại số là
các quy luật có liên quan đến khái niệm “dãy số”. Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến
thức kĩ năng môn toán THPT của Bộ giáo dục và đào tạo (2006, [6]) cho thấy: chủ
đề Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân đã xuất hiện ngầm ẩn trong chương trình toán
ở các lớp từ lớp 2 đến lớp 8, cuối cùng chính thức xuất hiện trong chương trình Đại
số và Giải tích 11. Cho đến thời điểm HS được mười lăm tuổi, các em đã được học
về các khái niệm: “biểu thức đại số”, “hàm số bậc nhất”, “hàm số bậc hai”, tức là
các em có đủ các tri thức cần thiết để khám phá các dãy số tuân theo quy luật hàm
số bậc nhất và hàm số bậc hai. Việc HS chưa chính thức học các khái niệm về cấp
số cộng, cấp số nhân sẽ là một yếu tố thuận lợi giúp chúng tôi đánh giá khách quan
hơn những ảnh hưởng của BDTQ đến quá trình suy luận để khám phá quy luật dãy
số của các em. Hơn thế, đây là một trong những nội dung khá thú vị khi phân tích
sự xuất hiện đồng thời của cả hai loại suy luận ngoại suy và quy nạp trong quá trình
khám phá và tổng quát hóa quy luật của HS.

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng quan tâm đến năng lực khám phá các quy luật toán của
HS trong lĩnh vực Hình học. Với đối tượng HS mười lăm tuổi, chúng tôi chọn các
kiến thức hình học phẳng liên quan đến các chủ đề quan hệ song song, quan hệ
vuông góc, đa giác và đường tròn mà HS đã được học trong chương trình Hình học
ở các lớp 8, 9 cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khảo sát. Mặt khác, chúng tôi cũng
muốn xem xét các dạng BDTQ được tạo ra trong môi trường học tập có sử dụng
máy tính và các phần mềm hình học động. Các BDTQ động này khác với BDTQ
trong môi trường giấy bút ở khả năng chuyển động và biến đổi. Liệu sự khác biệt đó
có đem lại điều gì thú vị trong cách suy luận của HS để khám phá các quy luật
toán? Để tạo cơ hội cho HS khám phá các quy luật toán trong lĩnh vực Hình học với
sự hỗ trợ của các BDTQ động, chúng tôi chọn các bài toán hình học kết thúc mở
làm đối tượng để khai thác và phân tích trong thực nghiệm của luận án này.


15

1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu
•

Tìm hiểu lý thuyết về suy luận ngoại suy và quy nạp, vai trò và vị trí của hai

•

loại suy luận này trong quá trình khám phá các quy luật toán.
Xây dựng quy trình lý thuyết để khám phá quy luật dãy số bằng suy luận

•

ngoại suy và quy nạp.
Khảo sát các phương án ngoại suy mà HS sử dụng để khám phá quy luật dãy

•

số. Xây dựng thang mức đánh giá các mức độ ngoại suy mà HS thể hiện.
Phân tích những ảnh hưởng của các BDTQ đến quá trình suy luận của HS

•

trong khám phá quy luật dãy số.
Phân tích những thể hiện của suy luận ngoại suy và quy nạp qua quá trình
HS tiến hành các thao tác lên BDTQ động để khám phá các bài toán hình học

•

kết thúc mở.
Đề xuất một số cách thiết kế các bài toán kết thúc mở nhằm thúc đẩy việc
phát triển năng lực suy luận ngoại suy và quy nạp cho HS ở trường phổ
thông.

1.5. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã được đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với bốn câu
hỏi nghiên cứu sau:
•

Câu hỏi nghiên cứu 1: Những loại suy luận nào được sử dụng trong quá trình

•

khám phá quy luật dãy số và chúng có mối quan hệ với nhau như thế nào?
Câu hỏi nghiên cứu 2: Các biểu diễn trực quan mô tả dãy số có ảnh hưởng

•

như thế nào đến quá trình suy luận của HS để đưa ra một quy tắc tổng quát?
Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động như thế nào để hỗ
trợ quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy khi khám phá quy luật trong các

•

bài toán hình học kết thúc mở?
Câu hỏi nghiên cứu 4: Làm thế nào để phát triển khả năng khám phá quy luật
toán của HS thông qua suy luận quy nạp và ngoại suy?

1.6. Các thuật ngữ


16

•

Suy luận: Sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để
suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận

•

khác (English, L. D., 2004, [33]).
Suy luận diễn dịch: Suy luận dựa trên các quy tắc logic toán nhằm đưa ra một

•

kết luận (chắc chắn đúng) từ một tập hợp các tiên đề đúng cho trước.
Suy luận quy nạp: Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng quát
(không chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho

•

một số trường hợp cụ thể.
Suy luận ngoại suy: Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết có lí (nhưng không

•

chắc chắn đúng) để giải thích cho một kết quả ngạc nhiên quan sát được.
Biểu diễn toán: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn toán. Nhìn chung
các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài,
trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm
như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ, ký hiệu… và biểu diễn trong

•

là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ.
Trực quan hóa: Quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và
phản ánh dựa trên các hình vẽ (hay hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng…) ở
trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ. Trực
quan hóa nhằm mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các

•

ý tưởng chưa biết để đi đến việc hiểu toán (Arcavi, 2003, [13]).
Biểu diễn trực quan: Công cụ để trực quan hoá nhằm hiểu được các đối tượng
toán học trừu tượng. Các biểu diễn trực quan thường được sử dụng là các hình

•

vẽ, hình ảnh, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng...
Biểu diễn trực quan động: Các biểu diễn trực quan được xây dựng trên màn
hình máy tính với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học động, cho phép HS
thực hiện các thao tác (kéo rê, ẩn/hiện, tạo vết, tịnh tiến, quay, đo đạc, tính
toán, sắp xếp dữ liệu, thay đổi giá trị các tham số…) lên các đối tượng được

•

biểu diễn.
Dạng mẫu toán: Mô hình hình học hoặc dãy (số hay đại số) mà ta có thể dự
đoán được quy luật do một vài tính chất của nó được lặp lại.
- Ví dụ cho dạng mẫu về các con số: Dãy các số lẻ: 1, 3, 5, 7...
- Ví dụ cho dạng mẫu về các hình hình học:
Tổng các góc trong của một tam giác bất kì:


17

600 + 600 + 600
-

450 + 900 + 450

1200 + 350 + 250

Ví dụ cho dạng mẫu về các kí hiệu toán học: Phép nhân của lũy thừa cơ
23.25 = 28 ; 22.29 = 211 ;25.

•

300 + 700 + 800

1
= 23
2
2

số 2:
.
Quy luật toán học: Mối quan hệ toán học giữa các đối tượng toán học (các số,
các hình, các kí hiệu toán học, các phép biến hình, các hàm, các tập hợp...) có
thể được phát hiện trong các dạng mẫu toán. Các mối quan hệ này có thể được
mô tả thông qua các quy tắc, các công thức, các tính chất, các định lý...
(Dörfler, 2008, [30]).
Trở lại với ví dụ về dạng mẫu toán ở trên: một quy luật toán được phát hiện
trong dạng mẫu về dãy các số lẻ là: số hạng ở vị trí thứ n trong dãy số trên sẽ
có giá trị bằng

2n + 1

; một quy luật toán được phát hiện trong dạng mẫu về

tổng các góc trong của tam giác là: tổng các góc trong của một tam giác luôn
bằng 180 độ; một quy luật toán được phát hiện trong dạng mẫu về phép nhân
2a.2b = 2a +b ∀a, b ∈ ¢

•

lũy thừa cơ số 2 là:
.
Quy luật dãy số: Quy luật toán học cho trường hợp cụ thể là dãy số, chỉ mối
quan hệ giữa các số hạng với nhau và với vị trí của nó trong một dãy số. Mối
quan hệ này có thể được mô tả bằng biểu thức đại số giúp xác định giá trị một
số hạng bất kì khi biết vị trí của nó trong dãy số. Trong luận án này, chúng tôi
tập trung vào các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất (có quy tắc tổng
quát là

an + b

, n là vị trí của số hạng trong dãy số) và dãy số tuân theo quy


18

luật hàm số bậc hai (có quy tắc tổng quát là
•

an 2 + bn + c

, n là vị trí của số

hạng trong dãy số).
Tìm kiếm quy luật dãy số: Theo Stacey (1989, [80]), có hai loại nhiệm vụ liên
quan đến tìm kiếm quy luật dãy số:
- Tổng quát hóa gần: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng không hẳn phải
liền kề ngay sau các số hạng đã cho nhưng vị trí của nó trong dãy số đủ
gần để HS có thể thực hiện việc tìm kiếm từng bước tuần tự và có được

câu trả lời.
Tổng quát hóa xa: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng ở vị trí xa hơn

-

nhiều so với các số hạng đã được cho sẵn khiến cho việc tìm kiếm từng
bước tuần tự trở nên không còn khả thi.
Phương án ngoại suy trong khám phá quy luật dãy số: Cách suy luận

•

ngoại suy nhằm đưa ra giả thuyết để giải thích việc các số hạng cho sẵn
•

của dãy số xuất hiện theo một quy luật xác định.
Bài toán kết thúc mở: Bài toán có nhiều câu trả lời đúng và nhiều phương án

•

giải khác nhau để đi đến các câu trả lời này (Becker & Shimada, 1997, [16]).
Bài toán hình học kết thúc mở: Là bài toán kết thúc mở trong hình học, có thể
được nhận ra bởi một vài đặc điểm sau (Mogetta và nnk., 1999, tr. 91-92,
[52]):
-

Phát biểu bài toán thường chỉ là những mô tả rất ngắn gọn về các bước
dựng hình theo trình tự và không đề nghị bất cứ một phương pháp giải
cụ thể nào.

-

Khác với dạng câu hỏi đóng truyền thống như “Chứng minh rằng…”,
các bài toán hình học kết thúc mở thường yêu cầu HS tự đề xuất giả
thuyết. Các câu hỏi của bài toán thường được diễn đạt dưới dạng: “Em
tìm thấy mối quan hệ nào giữa…”, “Trong điều kiện nào thì…?”, “Hình
… có thể trở thành những hình dạng nào…?”

•

Quy luật hình học: Quy luật toán học cho các đối tượng hình học, chỉ mối
quan hệ toán học không đổi giữa các đối tượng hình học như điểm, đường


19

thẳng, đường tròn... Các quy luật này thường được mô tả qua các tính chất, các
định lý, các công thức... trong hình học.
Ví dụ: Sau đây là một số quy luật hình học (liên quan đến độ dài các cạnh a, b,

Aˆ , Bˆ , Cˆ
c và số đo các góc
) trong một tam giác ABC bất kì:
Aˆ
Bˆ
Cˆ
=
=
sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ
1)

.

a = b + c − 2bc cos A; b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
2

2)
3)
4)
5)

2

2

b−c < a < b+c ; a−c < b < a+c ; a −b < c < a +b

.

.

Tổng các góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng 1800.
Trong hai cạnh của một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn có độ dài
lớn hơn, góc đối diện với cạnh lớn hơn có số đo lớn hơn.

1.7. Cấu trúc luận án
Ngoài phần Mục lục, Danh mục các chữ viết tắt, Danh mục các thuật ngữ tiếng
Anh, Danh sách các hình ảnh, Danh sách các bảng biểu, Tài liệu tham khảo và Phụ
lục, nội dung chính của luận án được trình bày trong năm chương:
Chương 1. Mở đầu.
Chương 2. Các kết quả nghiên cứu liên quan.

Chương 3. Thiết kế nghiên cứu.
Chương 4. Biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy.
Chương 5. Phát triển khả năng khám phá quy luật toán của học sinh bằng suy luận
quy nạp và ngoại suy.
Chương 1 mở đầu bằng việc giới thiệu tổng quan xu hướng phát triển chung của
giáo dục toán gắn liền với các khía cạnh mà chúng tôi quan tâm như quy luật toán,
khám phá quy luật toán, suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp, biểu diễn toán,
đồng thời cho thấy đề tài nghiên cứu liên quan đến các khía cạnh này là một chủ đề
hấp dẫn để khai thác và có ý nghĩa thực tiễn trong bối cảnh giáo dục toán ở Việt


20

Nam hiện nay. Tuy nhiên, để triển khai luận án trước hết cần có một cái nhìn tổng
quan về các kết quả đã có từ các nghiên cứu liên quan. Cụ thể, trong Chương 2,
chúng tôi tiến hành khảo cứu tài liệu để xây dựng khung lý thuyết chính dành riêng
cho nghiên cứu này: lý thuyết về suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, các quan
điểm về biểu diễn toán, biểu diễn trực quan và biểu diễn trực quan động. Chúng tôi
cũng tìm hiểu các nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến chủ đề khám phá
quy luật toán trong phạm vi quan tâm của luận án: khám phá quy luật dãy số và
khám phá quy luật trong các bài toán hình học kết thúc mở. Sau khi tổng hợp, phân
tích các kết quả có được của các nghiên cứu này, chúng tôi chỉ ra những “khe hở”
về mặt lý thuyết chưa được làm rõ, đồng thời đề xuất các vấn đề liên quan đến
phạm vi nghiên cứu của luận án có thể được kế thừa và phát triển từ các nghiên cứu
đã có theo những khía cạnh sâu rộng hơn. Từ đó, chúng tôi quay trở lại Chương 1
để xác định mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, xây dựng các câu hỏi nghiên cứu.
Dựa trên các kết quả nghiên cứu về mặt lí luận, chúng tôi trình bày câu trả lời cho
Câu hỏi nghiên cứu 1 ngay trong Chương 2 nhằm làm cơ sở lý thuyết trực tiếp nhất
cho việc phân tích các kết quả thực nghiệm sau này.
Kết thúc Chương 1 và Chương 2, một thiết kế nghiên cứu thực nghiệm được định

hình trong giai đoạn tiếp theo để có dữ liệu nhằm trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 2
và Câu hỏi nghiên cứu 3 của luận án. Các đối tượng HS, GV và trường phổ thông
tham gia thực nghiệm, các tiêu chuẩn để xây dựng và đánh giá bộ công cụ sử dụng
trong thực nghiệm, quy trình tiến hành tiền thực nghiệm và thực nghiệm, cách thức
thu thập dữ liệu và phân tích dữ liệu cũng như các hạn chế của quá trình thực
nghiệm sẽ được trình bày chi tiết trong Chương 3.
Tiếp nối ngay sau Chương 3, Chương 4 trình bày kết quả có được từ thống kê và
quan sát dữ liệu thực nghiệm cùng với những phân tích tương ứng để trả lời Câu hỏi
nghiên cứu 2 và 3. Cụ thể, chúng tôi chỉ ra những bằng chứng cho việc các BDTQ
có ảnh hưởng hay không đến quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy của HS khi
khám phá các quy luật dãy số và khám phá các bài toán hình học kết thúc mở.
Chúng tôi cũng đánh giá mức độ ảnh hưởng của các BDTQ đến quá trình suy luận


21

khi khám phá quy luật dãy số. Với các nhiệm vụ khám phá bài toán hình học kết
thúc mở, chúng tôi cho thấy một trong những cách để thao tác trên BDTQ động
nhằm hỗ trợ việc khám phá và kiểm chứng các quy luật hình học, đó là sử dụng các
phương thức kéo rê mà chúng tôi đã phân loại theo một cách phù hợp.
Các kết quả phân tích trong Chương 4 một lần nữa khẳng định tầm quan trọng của
các hoạt động khám phá quy luật toán đối với HS mười lăm tuổi cùng với việc nảy
sinh nhu cầu phát triển năng lực suy luận quy nạp và ngoại suy cho HS ngay từ khi
còn học ở nhà trường phổ thông. Do đó, chúng tôi mong muốn dành riêng Chương
5 của luận án cho những thảo luận nhằm phát triển năng lực suy luận có lí trong quá
trình khám phá quy luật toán của HS thông qua một loại nhiệm vụ toán đặc trưng:
bài toán kết thúc mở. Chương này cũng đề xuất một số giải pháp cơ bản mang tính
định hướng nhằm giúp GV bước đầu có cơ sở để chuyển đổi các tình huống ở SGK
và lớp học thành các bài toán kết thúc mở nhằm tạo cơ hội cho HS được phát triển
khả năng suy luận ngoại suy và quy nạp.

22

Chương 2
CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN
Chương 2 trình bày kết quả của các nghiên cứu có liên quan và được sử dụng trong
nghiên cứu của chúng tôi. Trước hết là các nghiên cứu về hai loại suy luận có lí là
suy luận quy nạp và ngoại suy. Tiếp theo là các quan điểm về biểu diễn toán, biểu
diễn trực quan và biểu diễn trực quan động. Cuối cùng là các nghiên cứu liên quan
trực tiếp đến hai loại nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số và khám phá bài toán hình
học kết thúc mở. Đặc biệt, từ các kết quả khảo cứu tài liệu, một vấn đề lý thuyết nảy
sinh và trở thành Câu hỏi nghiên cứu 1 của luận án: “Những suy luận nào được sử
dụng trong quá trình tìm kiếm quy luật dãy số và chúng có mối quan hệ với nhau
như thế nào?” Việc trả lời câu hỏi này sẽ được giải quyết ngay trong Chương 2 trên
cơ sở phân tích và phát triển các kết quả nghiên cứu lí thuyết đã có.
2.1. Toán học và những suy luận có lí
Suy luận là sự kết nối những kinh nghiệm và kiến thức đã có để đưa ra các kết luận
hợp lý từ các thông tin được cho sẵn. Suy luận làm nền tảng cho sự thăm dò và
khám phá các ý tưởng mới, đồng thời đóng một vai trò trung tâm trong chứng minh.
Polya (1887-1985) là một trong những nhà nghiên cứu giáo dục Toán nổi tiếng có
nhiều đóng góp cho giáo dục. Polya đặc biệt quan tâm đến con đường để mỗi HS có
thể tiếp cận một bài toán hơn là kết quả mà HS đó đưa ra. Khi HS hình thành được
con đường này, các em sẽ cảm thấy thích thú với toán học, hiểu lí do tại sao các ý
tưởng được vận hành, phát triển một chuỗi kiến thức được kết nối và đầy sức mạnh.
Polya (1954, [66]) cho rằng toán học tồn tại hai kiểu suy luận: suy luận diễn dịch và
suy luận có lí. Chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận diễn dịch nhưng ủng
hộ các giả thuyết bằng các suy luận có lí. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau,
cụ thể là:
•

Suy luận diễn dịch là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát,
còn suy luận có lí là suy luận không chắc chắn và có thể gây tranh cãi.


23

•

Suy luận diễn dịch không có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản mới về
thế giới xung quanh. Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều

•

có liên hệ với suy luận có lí.
Suy luận diễn dịch có những tiêu chuẩn chặt chẽ và nhất quán, được ghi lại
thành quy tắc và được giải thích bằng logic. Những tiêu chuẩn của các suy
luận có lí rất linh động.

Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn mà trái lại
bổ sung cho nhau. Polya nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa suy luận diễn dịch và
suy luận có lí như sau: “Toán học được xem là một môn khoa học chứng minh, tuy
nhiên đó chỉ là một khía cạnh của nó... Chúng ta cần phải dự đoán về một định lí
toán học trước khi chứng minh nó, phải dự đoán về đường lối và tư tưởng chủ đạo
của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu các kết quả quan sát được
và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lại nhiều lần... Nếu việc
dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong
việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lí” (Polya, 1954, [66,
tr. 158-160]). Trong nghiên cứu này, chúng tôi đề cập đến hai loại suy luận có lí là
suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy.

2.1.1. Suy luận quy nạp
2.1.1.1. Định nghĩa
Có nhiều định nghĩa khác nhau về suy luận quy nạp, nhưng chúng đều có chung bản
chất, đó là suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng quát (không chắc
chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho một số trường hợp
cụ thể (Polya, 1968, [68]; Cañadas & Castro, 2007, [23]; Christu & Papageorgiu,
2007, [27]). Ví dụ như khi quan sát thấy tổng ba góc trong của một vài tam giác cụ
thể luôn bằng 180 độ, người học có thể tổng quát hóa kết quả này để đưa ra một giả
thuyết bằng suy luận quy nạp: Tổng ba góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng
180 độ. Giả thuyết này đã được chứng minh là đúng và trở thành một định lý cơ bản
trong hình học.


24

2.1.1.2. Mô hình suy luận quy nạp
Mô hình suy luận quy nạp được Polya đề xuất lần đầu gồm bốn bước (Polya, 1968,
[68]):
Quan sát những trường hợp đặc biệt;
Hình thành giả thuyết dựa trên những trường hợp đã quan sát;
Tổng quát hóa;
Xác minh giả thuyết với các trường hợp đặc biệt mới.
Reid (2002, [72]) mô tả mô hình này cụ thể hơn gồm năm bước qua những kinh
1)
2)
3)
4)

nghiệm của ông khi tiến hành quy nạp với một số trường hợp hữu hạn:
1) Thực hành với các trường hợp đặc biệt;

2)

Quan sát quy luật;

3)

Dự đoán rằng quy luật đó có thể áp dụng cho trường hợp tổng quát;

4)

Kiểm tra dự đoán;

5)

Tổng quát hóa dự đoán.

Trên cơ sở đó, một nghiên cứu thuộc dự án Quốc gia của Tây Ban Nha về “Nghiên
cứu, phân tích và cải cách giáo dục” được tiến hành trên 359 HS lớp 9 và lớp 10
thuộc bốn trường công lập ở Tây Ban Nha (94% các em trong độ tuổi từ 14 đến 16
tuổi). Nghiên cứu được tiến hành trong nhiều năm và dựa trên những gì HS thể
hiện, Cañadas và Castro (2009, [24]) đưa ra mô hình gồm bảy bước cho quá trình
giải quyết các bài toán liên quan đến khám phá dãy số:
1)

Quan sát các trường hợp đặc biệt: Quan sát, thu thập dữ liệu từ các trường
hợp đặc biệt.

2)

Sắp xếp các trường hợp đặc biệt một cách hệ thống: Sử dụng các phương án

khác nhau để sắp xếp, hệ thống hóa các dữ liệu thu thập được, phổ biến nhất là
sử dụng bảng, sơ đồ hay danh sách các dữ liệu.

3)

Tìm kiếm và dự đoán quy luật: Quy luật được phát hiện dựa trên việc lặp lại
một cách có quy tắc của các dữ liệu. Ở bước này quy luật có thể chỉ dành cho
những trường hợp được quan sát chứ không hẳn phải áp dụng được cho tất cả


25

các trường hợp. Bước này được nhận ra bởi khả năng dự đoán về một trường
hợp chưa biết dựa trên việc phân tích các đặc trưng của các trường hợp đã biết.
4)

Hình thành giả thuyết: Phát biểu một giả thuyết từ việc nhận ra quy luật trong
các trường hợp cho sẵn.

5)

Kiểm chứng giả thuyết (với các trường hợp đặc biệt): Khi HS hình thành một
giả thuyết với sự nghi ngờ, giả thuyết được kiểm chứng trước tiên đối với
những trường hợp cụ thể đã biết.

6)

Tổng quát hóa giả thuyết: Dựa trên việc khẳng định một giả thuyết là đúng với
một vài trường hợp đặc biệt, có thể giả định rằng giả thuyết đó cũng đúng cho
nhiều trường hợp hơn. Tổng quát hóa được Polya xem như một trong những

nhân tố cơ bản của suy luận quy nạp.

7)

Xác minh giả thuyết tổng quát: Để khẳng định hay loại bỏ một giả thuyết tổng
quát thì đầu tiên phải xác minh xem giả thuyết đó có đúng với những trường
hợp đặc biệt khác hay không, hơn nữa cần đưa ra những lí do để thuyết phục
người khác về tính đúng đắn của giả thuyết tổng quát này.

Mô hình này là hữu ích cho việc phân tích suy luận quy nạp của HS, nhưng không
phải tất cả các bước đều nhất thiết phải xảy ra và tuân theo thứ tự trên. Trong luận
án này, chúng tôi sẽ sử dụng mô hình suy luận quy nạp của Cañadas và Castro để
phân tích các kết quả nghiên cứu lý thuyết nhằm trả lời Câu hỏi nghiên cứu 1.
2.1.2. Suy luận ngoại suy
Ngoại suy là loại suy luận trung tâm của tất cả các lĩnh vực như triết học, khoa học
máy móc, trí tuệ nhân tạo, khảo cổ học, luật, khoa học tội phạm… Nói một cách
đơn giản thì ngoại suy là suy luận để giải thích cho một quan sát. Ví dụ về ngoại
suy trong chẩn đoán bệnh: một bác sĩ quan sát các triệu chứng của một bệnh nhân
và đưa ra giả thuyết về các nguyên nhân có thể dựa trên các kiến thức y học về mối
quan hệ nhân quả giữa bệnh và triệu chứng. Ngoại suy cũng xuất hiện nhiều trong
các tình huống khoa học và đời sống. Chẳng hạn, nhà bác học Newton đưa ra giả