Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán (TT)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------

TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 62.14.01.11

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015


LUẬN ÁN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu
2. PGS. TS. Trần Vui

Phản biện 1: PGS.TS Vương Dương Minh
Đại học Sư phạm Hà Nội
Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Thị Kim Thoa
Đại học Sư phạm Huế
Phản biện 3: TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường, tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Vào hồi: . . . . giờ, ngày . . . . tháng . . . . năm 2016

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Khoa học tổng hợp Tp. Hồ Chí Minh
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh


NHỮNG CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ
LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG CỦA LUẬN ÁN
1.

Trương Thị Khánh Phương (2011), “Sử dụng biểu diễn trực quan động
hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh trong quá trình
khám phá toán học”, Tạp chí Khoa học - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội, ISSN 0868-3719, 05(56), tr. 109-116.

2.

Trương Thị Khánh Phương (2011), “Tiềm năng của các bài toán kết
thúc mở trong việc hỗ trợ học sinh phát triển năng lực suy luận ngoại
suy”, Tạp chí Giáo dục, Bộ Giáo dục, ISSN 21896 0866 7476, Số 276
(kì 2, tháng 12-2011), tr. 34-36, 2011.

3.

Trương Thị Khánh Phương (2012), “Phản ánh của suy luận ngoại suy
và quy nạp qua thao tác kéo rê trong môi trường hình học động”, Tạp
chí Khoa học – trường Đại học sư phạm Tp Hồ Chí Minh, ISSN 18593100, 33 (67), tr. 28-35.

4.

Trương Thị Khánh Phương (2014), “Using open-ended problems to
enhance students’ abductive reasoning in mathematics classroom”, In
Bulletin: Multilingual education and philology of foreign languages.
Almaty (Kazakhstan), ISSN 2307-7891, No. 2(6), pp. 84-91.

5.

Trương Thị Khánh Phương (2014), “Creating open-ended problems to
improve students’ abductive reasoning in mathematics classroom”,
Journal of Sciences - Hue University, ISSN 1859-1388, Vol. 99,
No.11, pp. 49-59.

6.

Trương Thị Khánh Phương (2015), “Suy luận ngoại suy và quy nạp
trong khám phá quy luật dãy số - Những phân tích lý thuyết và thực
nghiệm”, Tạp chí Khoa học – trường Đại học sư phạm Tp Hồ Chí
Minh, ISSN 1859-3100, 9 (75), tr. 16-28.


1
Chương 1. GIỚI THIỆU
1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu
Một mô tả chung nhất và đặc trưng nhất về toán được hầu hết các nhà
toán học chấp nhận, đó là: Toán học là khoa học của các dạng mẫu.
Một trong những cách để mô tả các dạng mẫu là chỉ ra quy luật của
nó thông qua các mối quan hệ và hàm số. Đặc biệt, quá trình tìm
kiếm quy luật toán liên quan đến sự vận hành của hai loại suy luận có

lí là suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp. Suy luận và biểu diễn
cũng là hai trong số tám năng lực được chọn để đánh giá trong
Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA.
1.2. Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu
Suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, với những ý nghĩa của nó
trong việc giúp HS khám phá tri thức toán thông qua việc phát hiện
ra quy luật trong các dạng mẫu là một nội dung cần được quan tâm
phát triển nhiều hơn trong giáo dục toán. Bước sang những năm đầu
của thế kỷ 21, xu hướng thực hành áp dụng toán học vào hầu hết các
vấn đề mà HS gặp phải trong cuộc sống được nhiều nhà giáo dục
quan tâm nghiên cứu một cách toàn cầu hóa. Rất hiếm khi con người
sử dụng suy luận diễn dịch bởi những tiêu chuẩn chặt chẽ nghiêm
ngặt mà nó đòi hỏi. Một lần nữa, suy luận có lí là ngoại suy và suy
nạp trở thành công cụ hiệu quả để HS sử dụng khi đối mặt với các
vấn đề thực tế. Đối với giáo dục toán ở nước ta, đối tượng mà chúng
tôi quan tâm trong nghiên cứu này là những HS mười lăm tuổi, lứa
tuổi vừa hoàn thành chương trình phổ cập giáo dục chính thức và có
quyền lựa chọn giữa việc tiếp tục theo đuổi chương trình trung học
phổ thông (THPT) hay trở thành một công dân độc lập với một nghề
nghiệp cho tương lai ngay từ lúc này. Đây là giai đoạn chuyển tiếp có
ý nghĩa quan trọng khi mà những năng lực toán học đã được HS tích


2
lũy sẽ có ảnh hưởng lớn đến thành công của các em trong những năm
học tiếp theo và cuộc sống nghề nghiệp sau này. Mặt khác, HS mười
lăm tuổi cũng là đối tượng của chương trình đánh giá HS quốc tế
PISA, một chương trình đánh giá giáo dục được tổ chức định kì 3
năm một lần với quy mô gần 70 quốc gia trên thế giới tham dự, trong
đó có Việt Nam. Trong xu hướng đó, chúng tôi chọn: “Sử dụng biểu

diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh
mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán” làm đề tài
nghiên cứu của luận án.
1.3. Phạm vi nghiên cứu
Trong luận án này, đối tượng HS mười lăm tuổi sẽ mang ý nghĩa
tương đương với các HS đang bắt đầu theo học chương trình lớp 10 ở
Việt Nam. Cụ thể, các quy luật toán mà chúng tôi muốn tập trung
phân tích trong lĩnh vực Đại số là các quy luật có liên quan đến khái
niệm “dãy số”. Cho đến thời điểm HS được mười lăm tuổi, các em đã
được học về các khái niệm: “biểu thức đại số”, “hàm số bậc nhất”,
“hàm số bậc hai”, tức là các em có đủ các tri thức cần thiết để khám
phá các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.
Việc HS chưa chính thức học các khái niệm về cấp số cộng, cấp số
nhân sẽ là một yếu tố thuận lợi giúp chúng tôi đánh giá khách quan
hơn những ảnh hưởng của BDTQ đến quá trình suy luận để khám phá
quy luật dãy số của các em. Hơn thế, đây là một trong những nội
dung khá thú vị khi phân tích sự xuất hiện đồng thời của cả hai loại
suy luận ngoại suy và quy nạp trong quá trình khám phá và tổng quát
hóa quy luật của HS. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng quan tâm đến năng
lực khám phá các quy luật toán của HS trong lĩnh vực Hình học. Với
đối tượng HS mười lăm tuổi, chúng tôi chọn các kiến thức hình học
phẳng liên quan đến các chủ đề quan hệ song song, quan hệ vuông


3
góc, đa giác và đường tròn mà HS đã được học trong chương trình
Hình học ở các lớp 8, 9 cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khảo sát.
Mặt khác, chúng tôi cũng muốn xem xét các dạng BDTQ được tạo ra
trong môi trường học tập có sử dụng máy tính và các phần mềm hình
học động. Để tạo cơ hội cho HS khám phá các quy luật toán trong

lĩnh vực Hình học với sự hỗ trợ của các BDTQ động, chúng tôi chọn
các bài toán hình học kết thúc mở làm đối tượng để khai thác và phân
tích trong thực nghiệm của luận án này.
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu
1.5. Câu hỏi nghiên cứu
• Câu hỏi nghiên cứu 1: Những loại suy luận nào được sử dụng
trong quá trình khám phá quy luật dãy số và chúng có mối quan
hệ với nhau như thế nào?
• Câu hỏi nghiên cứu 2: Các biểu diễn trực quan mô tả dãy số có
ảnh hưởng như thế nào đến quá trình suy luận của HS để đưa ra
một quy tắc tổng quát?
• Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động như thế
nào để hỗ trợ quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy khi khám
phá quy luật trong các bài toán hình học kết thúc mở?
• Câu hỏi nghiên cứu 4: Làm thế nào để phát triển khả năng khám
phá quy luật toán của HS bằng suy luận quy nạp và ngoại suy?
1.6. Các thuật ngữ
1.7. Cấu trúc luận án
Chương 2. CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN
2.1. Toán học và những suy luận có lí
2.1.1. Suy luận quy nạp
2.1.1.1. Định nghĩa


4
Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng quát (không
chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho
một số trường hợp cụ thể (Polya, 1968, [68]; Cañadas & Castro,
2007, [23]; Christu & Papageorgiu, 2007, [27]).
2.1.1.2. Quá trình suy luận quy nạp

Cañadas và Castro (2009, [24]) đưa ra mô hình bảy bước cho quá
trình suy luận quy nạp: (1) Quan sát các trường hợp đặc biệt; (2) Sắp
xếp các trường hợp đặc biệt một cách hệ thống; (3) Tìm kiếm và dự
đoán quy luật; (4) Hình thành giả thuyết; (5) Kiểm chứng giả thuyết;
(6) Tổng quát hóa giả thuyết ; (7) Xác minh giả thuyết tổng quát.
2.1.2. Suy luận ngoại suy
2.1.2.1. Ngoại suy theo quan điểm logic học và triết học của Peirce
Nhà toán học, triết học và logic học người Mỹ Charles Sanders
Peirce là người đã phát triển khái niệm ngoại suy và đưa nó vào trong
hệ thống các loại suy luận. Mô hình ngoại suy của Peirce: Một sự thật
C được quan sát; Nếu A đúng, C hiển nhiên cũng sẽ đúng; Vì thế, là
hợp lí khi giả thuyết rằng A đúng. (Peirce, [65, 5.189])
2.1.2.2. Ngoại suy theo quan điểm của J. Josephson và S. Josephson
J. Josephson và S. Josephson (1996, [39]) kế thừa định nghĩa ngoại suy
của Peirce và bổ sung vào mô hình ngoại suy của ông thêm một giai
đoạn: đánh giá giả thuyết nào là tốt nhất. Mô hình mới như sau:
D là một tập các dữ liệu (sự kiện, quan sát, cái đã cho);
H giải thích D (nếu H đúng, sẽ giải thích D);
Không có giả thuyết khác có thể giải thích D tốt hơn H;
Như vậy, H có lẽ là đúng.
2.1.2.3. Ngoại suy theo quan điểm giải quyết vấn đề của Cifarelli
2.1.2.4. Các cách phân loại ngoại suy
•

Phân loại theo Eco


5
•

Phân loại theo Magnani

•

Phân loại theo Patokorpi

Patokorpi (2006, [62]) đưa ra bốn loại suy luận ngoại suy sau:
1) Ngoại suy chọn lựa: Chọn trong số các Quy tắc có sẵn một Quy
tắc có thể lý giải cho Kết luận.
2) Ngoại suy sáng tạo: Khi các Quy tắc có sẵn không lý giải được,
cần sáng tạo ra một Quy tắc mới để lý giải cho Kết luận.
3) Ngoại suy trực quan: Tư duy ngay trong quá trình quan sát để
đưa ra giả thuyết là một Trường hợp nhằm lý giải cho Kết luận.
4) Ngoại suy thao tác: Tiến hành các thao tác thích hợp nhằm thu
thập thêm dữ liệu để tìm thấy Trường hợp lý giải cho Kết luận.
2.1.2.5. Mô hình suy luận ngoại suy
2.1.3. Phân biệt diễn dịch, quy nạp và ngoại suy trong toán học
2.1.3.1. Xét về điều kiện để xảy ra và kết quả của ba loại suy luận
2.1.3.2. Xét về mục đích tiến hành mỗi loại suy luận
2.1.3.3. Xét về khía cạnh khám phá toán và tính chắc chắn của kết quả
Tính chắc chắn của những kết luận được tạo ra bởi các loại suy luận
này giảm dần từ diễn dịch đến quy nạp và cuối cùng là ngoại suy.
Tuy nhiên, xét về khía cạnh khám phá tri thức mới, những tri thức có
được từ suy luận diễn dịch có thể xem như những hệ quả logic được
suy ra từ những tiên đề đúng đã biết trước, do đó chúng không thể
mở rộng vốn tri thức sẵn có của con người. Với quy nạp, tri thức mới
thu được dưới dạng tổng quát hóa, là mở rộng phạm vi của những tri
thức đã biết theo các xu hướng có thể đoán trước được. Với ngoại
suy, khi những tri thức có sẵn không giải thích được cho quan sát, tri
thức mới được hình thành. Vì thế, ngoại suy giúp cung cấp các ý

tưởng mới và mở rộng tri thức của chúng ta.


6
2.2. Biểu diễn toán
2.2.1. Phân loại biểu diễn toán
2.2.2. Biểu diễn trực quan
2.2.2.1. Trực quan hóa
2.2.2.2. Biểu diễn trực quan mô tả quy luật dãy số
2.2.2.3. Biểu diễn trực quan động
2.3. Khám phá quy luật dãy số
2.3.1. Nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số
2.3.2. Các mức độ nhận thức trong khám phá quy luật dãy số
2.3.3. Các phương án khám phá quy luật dãy số
2.3.4. Suy luận trong khám phá quy luật dãy số
Khi đề cập đến những suy luận xảy ra dựa trên việc quan sát một số
trường hợp cụ thể tương tự nhau đến một kết quả tổng quát, người ta
thường nghĩ đến suy luận quy nạp. Khái niệm ngoại suy cũng không
hề được nhắc đến trong những phân tích của các tác giả Reid (2002,
[72]), Canadas & Castro (2007, [23]; 2009, [24]) về quá trình suy
luận của HS khi thực hiện các nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số.
Tuy nhiên, việc đồng nhất nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số với
hành động kiểm chứng và tổng quát hóa một quy luật từ các trường
hợp cho sẵn của dãy số dường như đã phớt lờ đi yếu tố sáng tạo trong
quá trình này, yếu tố mà Peirce đã chỉ ra như một đặc trưng của ngoại
suy. Trong khi đó, Canadas và Castro ([23]) đã khẳng định rằng giai
đoạn hình thành giả thuyết (Bước 4) là quan trọng và xuất hiện
thường xuyên nhất trong bài làm của HS. Đây rõ ràng là một nhiệm
vụ của suy luận ngoại suy. Một số câu hỏi được chúng tôi đặt ra:
Liệu ngoại suy có tham gia vào quá trình khám phá các quy luật dãy

số? Nếu có thì nó nằm ở giai đoạn nào? Quay trở lại tìm hiểu các
nghiên cứu về suy luận ngoại suy của Peirce đặc biệt là ở giai đoạn


7
thứ 2 (từ năm 1878 trở về sau), Peirce bắt đầu sử dụng thuật ngữ
“ngoại suy” nhằm chỉ đến “sự khởi động đầu tiên nhất để đưa ra một
giả thuyết” (Peirce, [65, 6.525]). “Ngoại suy chỉ đơn thuần là bước
khởi đầu. Nó là bước đầu tiên của suy luận trong khoa học, trong khi
quy nạp là bước kết luận sau cùng” (Peirce, [65, 7.218]). Chúng tôi
cũng rút ra một số điểm khác biệt sau đây giữa ngoại suy và quy nạp
qua quá trình khảo cứu các tài liệu liên quan:
• Hoffmann’s (1999, [38, tr. 272]) khẳng định: “Quy nạp không
thể đưa ra một quy tắc từ một tập hợp các dữ liệu mà chỉ giúp
quyết định về mặt định lượng những gì đã được đề xuất bởi
ngoại suy”. Nói cách khác, mục đích của ngoại suy là đưa ra
một giả thuyết để giải thích, còn mục đích của quy nạp nhằm
đánh giá phạm vi mở rộng của giả thuyết đã được đề xuất.
• Quy nạp “cho thấy sự tồn tại của một hiện tượng mà chúng ta đã
quan sát trong những trường hợp tương tự trước đó” (Abe, 2003,
[11, tr. 234]), trong khi ngoại suy “đề xuất một điều gì đó mà
thường là chúng ta không thể quan sát một cách trực tiếp”
(Peirce, [65, 2.640]).
• Quy nạp chỉ ra sự phát triển của xu hướng được dự đoán cho
những quan sát xa hơn, ngoại suy không (trực tiếp) quan tâm
đến những quan sát xa hơn sau đó mà chỉ hướng đến mục đích lý
giải cho chính trường hợp đang xảy ra.
Như vậy, ngoại suy xảy ra ở giai đoạn đầu tiên khi một giả thuyết về
các dữ liệu có sẵn được đề xuất. Quy nạp xuất hiện sau đó khi có
nhiều trường hợp hơn được kiểm tra để xác định xem liệu giả thuyết

đó có còn đúng hay không và tiến hành tổng quát hóa.
2.3.5. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 1


8
Trên cơ sở quy trình khám phá các quy luật hàm số bậc nhất bằng
suy luận ngoại suy-quy nạp được đề xuất bởi Becker và Rivera
(2007, [19]) và mô hình suy luận quy nạp gồm bảy bước của Canãdas
& Castro (2007, [24]), cùng với các kết quả nghiên cứu trong nước
liên quan đến thực tế của học sinh mười lăm tuổi (Phương, 2009,
[4]), chúng tôi xây dựng quy trình lý thuyết để khám phá quy luật dãy
số gồm năm bước ở Hình 2.13.

Hình 2.13. Quy trình khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại
suy-quy nạp
2.4. Khám phá bài toán hình học kết thúc mở
2.4.1. Bài toán kết thúc mở
2.4.2. Bài toán hình học kết thúc mở
2.4.3. Khám phá toán theo tiếp cận “toán học thực nghiệm”
2.4.4. Các phương thức kéo rê trong môi trường hình học động
Arzarello và nnk (1998, [14]) chỉ ra sự phát triển của bảy phương
thức kéo rê trong quá trình HS thiết lập các dự đoán và phát triển các
chứng minh khi giải quyết các bài toán hình học kết thúc mở trong
môi trường hình học động với sự hỗ trợ của phần mềm Cabri. Dựa
trên sự tương tự về mặt bản chất của hai phần mềm hình học động


9
Cabri và GSP, chúng tôi tập trung vào bốn phương thức kéo rê cơ
bản (được xây dựng từ bảy phương thức kéo rê đã có) được dùng để

thao tác lên BDTQ động trên trang hình GSP: Kéo rê ngẫu nhiên,
Kéo rê duy trì, Kéo rê về các trường hợp đặc biệt, Kéo rê liên kết.
2.5. Các nghiên cứu trong nước liên quan đến đề tài
2.6. Tiểu kết chương 2
Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU
Để trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 2 và 3, chúng tôi tiến hành hai
nghiên cứu sau:
Nghiên cứu 1: Khảo sát những ảnh hưởng của các BDTQ đến quá
trình suy luận ngoại suy và quy nạp của HS trong khám phá quy luật
dãy số. Cụ thể, chúng tôi muốn làm rõ những vấn đề sau: (1) BDTQ
ảnh hưởng như thế nào đến các phương án ngoại suy mà HS sử
dụng?; (2) HS có sử dụng BDTQ để kiểm chứng và tổng quát hóa giả
thuyết bằng suy luận quy nạp?; (3) Mức độ suy luận ngoại suy-quy
nạp mà HS đạt được theo cách phân loại mà chúng tôi đề nghị.
Nghiên cứu 2: Khảo sát những ảnh hưởng của các BDTQ động đến
quá trình suy luận ngoại suy và quy nạp khi HS khám phá các bài
toán hình học kết thúc mở trong môi trường hình học động GSP. Cụ
thể, chúng tôi muốn làm rõ những vấn đề sau: (1) Trong quá trình
khám phá các bài toán hình học kết thúc mở, suy luận ngoại suy và
quy nạp được thực hiện trong môi trường giấy bút có gì khác so với
thực hiện trong môi trường hình học động GSP?; (2) Suy luận ngoại
suy và quy nạp để khám phá bài toán hình học kết thúc mở được
phản ánh như thế nào qua các phương thức kéo rê mà HS thao tác lên
BDTQ động?
3.1. Thiết kế nghiên cứu


10
Thiết kế nghiên cứu khảo sát được sử dụng cho Nghiên cứu 1 vì nó
phù hợp cho việc thu thập thông tin từ số lượng lớn các trường hợp.

Thiết kế nghiên cứu trường hợp cụ thể được sử dụng cho Nghiên cứu
2 vì nó phù hợp cho câu hỏi nghiên cứu “cái gì?” và “như thế nào?”,
kết hợp với phương pháp phỏng vấn điều trị.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Với Nghiên cứu 1: Một nghiên cứu thử nghiệm được tiến hành trên
78 HS thuộc hai lớp 10 của trường THPT Lê Lợi, tỉnh Gia Lai và
trường THPT Phong Điền, thành phố Huế. Thực nghiệm chính thức
được được tiến hành trên 326 HS thuộc tám lớp 10 của năm trường
THPT trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế.
Nghiên cứu 2: Chúng tôi chọn tám HS lớp 10 T2 trường THPT Quốc
Học cùng với hai GV đang giảng dạy môn Toán cho lớp này làm đối
tượng thực nghiệm. Các HS sẽ được chia thành từng cặp cùng làm
việc trên một máy tính. Hai GV sẽ theo dõi quá trình làm việc của hai
nhóm HS đồng thời tiến hành phỏng vấn khi cần thiết.
3.3. Công cụ nghiên cứu
Với Nghiên cứu 1: Một công cụ nghiên cứu đặc biệt dành riêng cho
nghiên cứu này là Bộ câu hỏi gồm các nhiệm vụ liên quan đến khám
phá quy luật dãy số được chúng tôi thiết kế với một số tiêu chí sau:
(1) Số lượng các nhiệm vụ trong mỗi Tập câu hỏi: Bộ câu hỏi sẽ có
sáu nhiệm vụ được chia thành hai Tập câu hỏi, mỗi Tập câu hỏi
có ba nhiệm vụ và được hoàn thành trong thời gian 30 phút.
(2) Loại quy luật: Bộ câu hỏi sẽ có hai nhiệm vụ liên quan đến dãy
số theo quy luật hàm số bậc nhất và bốn nhiệm vụ còn lại liên
quan đến các dãy số theo quy luật hàm số bậc hai.


11
(3) BDTQ mô tả dãy số: Để có sự thống nhất trong các nhiệm vụ
của Bộ câu hỏi, chúng tôi sử dụng một dạng BDTQ duy nhất là
các hình vuông tượng trưng cho các tấm bìa (hay các viên gạch).

(4) Bối cảnh: Chúng tôi cố gắng cung cấp một bối cảnh thực tế để
nhiệm vụ trở nên có ý nghĩa đối với HS.
(5) Cặp nhiệm vụ quy luật bậc nhất - bậc hai: mỗi nhiệm vụ liên
quan đến dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất sẽ có tương ứng
một nhiệm vụ liên quan đến dãy số theo quy luật hàm số bậc hai.
(6) Cấu trúc mỗi nhiệm vụ: Với tất cả các nhiệm vụ trong Bộ câu
hỏi, HS cần thực hiện hai yêu cầu: (1) đề xuất quy tắc trong
trường hợp tổng quát và (2) mô tả làm thế nào để tìm ra quy tắc
đó. Điều này giúp các em tự do thể hiện các tiếp cận khác nhau
với nhiệm vụ và chúng tôi cũng có cơ hội kiểm tra xem liệu HS
có thực hiện theo quy trình Khám phá quy luật dãy số bằng suy
luận ngoại suy-quy nạp được xây dựng trong Hình 2.13.
Với Nghiên cứu 2: Trong buổi thực hành tiền thực nghiệm, GV giới
thiệu với HS bốn phương thức kéo rê và thao tác trên máy tính để HS
quan sát. Sau đó HS có thời gian để thực hành với các phương thức
kéo rê qua việc giải quyết bài toán sau:
Bài toán. Cho tứ giác ABCD. Gọi H, K, L, M là giao điểm của các
đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Tứ giác HKLM có thể trở thành những hình đặc biệt nào
trong những trường hợp nào?
b) Tứ giác HKML có thể suy biến thành một điểm không? Giả
thuyết nào đối với tứ giác ABCD để tình huống này xảy ra?
Ở phần thực nghiệm chính thức, chúng tôi sử dụng công cụ nghiên
cứu là hai bài toán hình học kết thúc mở sau đây:


12
Bài toán 1. Cho tứ giác ABCD. Về phía ngoài của tứ giác, dựng các
hình vuông nhận AB, BC, CD, DA tương ứng làm cạnh của nó. Gọi
M, N, P, Q lần lượt là tâm của các hình vuông này. Trong trường hợp

tổng quát, có nhận xét gì về tứ giác MNPQ?
Bài toán 2. Cho ba điểm A, M, K tùy ý. B là điểm đối xứng với A qua
M, C là điểm đối xứng với A qua K. D là điểm đối xứng với B qua K.
Kéo rê điểm M và đưa ra dự đoán về các hình dạng có thể của tứ giác
ABCD. Trong điều kiện nào thì ABCD là một hình chữ nhật?
3.4. Thu thập dữ liệu
3.5. Phân tích dữ liệu
Với Nghiên cứu 1: Để thống kê các phương án ngoại suy mà HS sử
dụng, chúng tôi tiến hành lập bảng mã.
Bảng 3.3. Bảng mã các phương án ngoại suy
Phạm

Mã

Mô tả

Trù
Số học

Hình
học

11

So sánh

12

Cộng dồn

13

Giải phương trình

14

Đoán và thử

15

So sánh đơn vị với tổng thể

21

Ghép hình rời

22

Ghép hình chồng

23

Sắp xếp hình

24

Làm tròn hình

2123
Không

xác định

31

Ghép hình rời-Sắp xếp hình
Các quy tắc hàm số đúng nhưng sử dụng phương
án không xác định được.


13
90

Các quy tắc hàm số sai

99

Bỏ trống

Chúng tôi cũng đưa ra một Thang đánh các mức độ ngoại suy-quy
nạp dựa trên tính “có lí” và tính “tốt nhất” của giả thuyết:
• Mức độ 1: Các giả thuyết cho thấy HS hoàn toàn chưa nhận ra
được đặc điểm nào tương tự nhau giữa các BDTQ hay trong các
dữ liệu thu thập được.
• Mức độ 2: Các giả thuyết chưa thể hiện sự liên kết giữa số tấm
bìa (số ghế) của mỗi hình với kích cỡ (độ rộng) tương ứng mà
chỉ cho thấy có một số yếu tố của các số hạng cho sẵn có sự phát
triển theo quy luật, nhưng các yếu tố này chưa đủ để mô tả một
cách trọn vẹn quy luật của dãy số.
• Mức độ 3: Các giả thuyết mới chỉ lý giải cho quy luật được tìm
thấy giữa các trường hợp cụ thể cho sẵn nhưng chưa thể hiện

rằng giả thuyết này sẽ được tổng quát hóa cho toàn bộ dãy số.
• Mức độ 4: Các giả thuyết cho thấy HS đã nhận ra quy luật với lí
giải hợp lý tuy vẫn chưa đáp ứng một cách tối ưu yêu cầu của
bài toán (chẳng hạn quy tắc đệ quy không thực sự hiệu quả khi
cần tính toán giá trị số hạng ở một vị trí bất kì của dãy số).
• Mức độ 5: Các giả thuyết hội đủ hai yếu tố: “có lí” (được giải
thích đầy đủ rõ ràng) và “tốt nhất” (có thể phát triển thành một
quy tắc tổng quát hóa dưới dạng hàm số).
Trên cơ sở năm mức độ trên, sau khi có dữ liệu từ thực nghiệm,
chúng tôi sẽ tiến hành phân loại các câu trả lời của HS vào các mức
độ tương ứng đồng thời đưa ra những mô tả cụ thể hơn về các bài
làm được xếp vào các mức độ này.


14
Với Nghiên cứu 2: Dựa trên các nội dung trao đổi được ghi lại bởi
phần mềm quay phim màn hình, chúng tôi phân tích những suy luận
tương ứng với các phương thức kéo rê mà HS thao tác trên BDTQ
động. Chúng tôi cũng chọn một số đoạn trao đổi phỏng vấn của GV
với hai cặp HS ở hai nhóm để minh họa các phân tích trong luận án.
3.6. Hạn chế
Chương 4. BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN
QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
4.1. Ảnh hưởng của biểu diễn trực quan đến quá trình suy luận
quy nạp và ngoại suy trong khám phá các quy luật dãy số
4.1.1. Các phương án ngoại suy để khám phá quy luật dãy số
4.1.2. Đánh giá các mức độ ngoại suy-quy nạp trong khám phá quy
luật dãy số
4.1.3. Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 1
Một số vấn đề được nhận thấy qua khảo sát các bài làm của HS:

• Vấn đề thứ nhất: HS chưa thật sự hiểu ý nghĩa của biến số n (đại
diện cho vị trí của số hạng trong dãy số), dẫn đến các quy tắc sai
mặc dù chúng có thể trích xuất ra đúng dãy số của bài toán. Đặc
biệt, hầu hết những hiểu nhầm về ý nghĩa của biến n đều xuất
hiện trong các phương án ngoại suy thuộc phạm trù Số học.
Trong khi đó, những nhầm lẫn về việc sử dụng các biến số đối
với các phương án ngoại suy thuộc phạm trù Hình học thường là
việc chọn biến số không đúng với yêu cầu của bài toán hoặc sử
dụng nhiều hơn một biến số mà bài toán yêu cầu, tuy nhiên ý
nghĩa của các biến số trong công thức vẫn được đảm bảo.
• Vấn đề thứ hai: Khi chuyển từ việc khám phá dãy số theo quy
luật hàm số bậc nhất sang quy luật hàm số bậc hai, HS có xu
hướng tiếp tục sử dụng phương án đệ quy nếu trước đó phương


15
án này đã giúp khám phá thành công dãy số theo quy luật hàm
số bậc nhất. Tuy nhiên, gần như tất cả HS đều không thể sử
dụng phương án đệ quy để đi đến một quy tắc tổng quát cho dãy
số theo quy luật hàm số bậc hai. Có vẻ như chính tiếp cận này đã
cản trở HS nghĩ đến các phương án khác.
• Vấn đề thứ ba: Khi sử dụng các phương án thuộc phạm trù Số
học như Giải phương trình, Đoán và Thử, HS không đưa ra lí
giải tại sao lựa chọn quy tắc tổng quát mô tả quy luật dãy số là
hàm số bậc nhất hay hàm số bậc hai.
• Vấn đề thứ tư: Nhiều HS không nhận được những lợi ích đầy đủ
từ các BDTQ. Phần lớn HS gặp các trở ngại sau:
- Khi chỉ quan tâm đến dãy dữ liệu bằng số, HS có xu hướng
nghĩ đến phương án ngoại suy theo quy tắc đệ quy hơn là
quy tắc hàm số. Điều này đặc biệt gây bất lợi cho HS khi

phải đối mặt với các dãy số theo quy luật hàm số bậc hai.
- Phương án ngoại suy phổ biến nhất thuộc phạm trù Số học
mà HS sử dụng là Đoán và Thử. Theo Radford (2008, [71]),
phương án này không thúc đẩy tư duy đại số.
- Khi chuyển một dãy số được mô tả bằng BDTQ sang một
dãy số được cho trong bối cảnh hoàn toàn Số học, HS sẽ
không có cơ sở để kiểm chứng giả thuyết cho các trường
hợp chưa biết.
4.2.

Biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại
suy trong khám phá các bài toán hình học kết thúc mở

4.2.1. Suy luận quy nạp và ngoại suy trong môi trường hình học động
4.2.1.1. Những hỗ trợ của biểu diễn trực quan động đến suy luận quy
nạp và ngoại suy trong môi trường hình học động
4.2.1.2. Phản ánh của quy nạp và ngoại suy qua các phương thức kéo rê


16
4.2.2. Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 2
Dựa trên kết quả thực nghiệm, chúng tôi tổng kết lại một quy trình sử
dụng các phương thức kéo rê khác nhau để đề xuất, kiểm chứng và
tổng quát hóa giả thuyết bằng suy luận ngoại suy và quy nạp khi
khám phá hai bài toán hình học kết thúc mở đã nêu trong môi trường
hình học động sử dụng phần mềm GSP.
 Giai đoạn 1. Khám phá ngẫu nhiên
Ở giai đoạn này, HS sử dụng phối hợp kéo rê ngẫu nhiên và kéo rê
về các trường hợp đặc biệt nhằm khám phá các tính chất thú vị có thể
xảy ra khi quan sát vô số các thể hiện khác nhau của BDTQ động.

 Giai đoạn 2. Phát hiện bất biến
Phát hiện thấy một tính chất T nào đó. Trong thực nghiệm của luận
án này có hai trường hợp xảy ra:
a) T luôn thỏa mãn với những tất cả các hình dạng khác nhau của
hình. T được phát hiện nhờ kéo rê ngẫu nhiên, nhưng đôi khi HS
phát hiện ra T trước tiên nhờ kéo rê về các trường hợp đặc biệt.
b) T chỉ xuất hiện trong một số trường hợp nào đó chưa được xác
định, trong trường hợp này T thường được gợi ý từ yêu cầu bài
toán hoặc là một kết quả gây ngạc nhiên mà HS quan sát được và
muốn khám phá xa hơn. HS sử dụng các phương thức kéo rê ngẫu
nhiên, kéo rê về các trường hợp đặc biệt để nhận thấy có một số
trường hợp cụ thể nào đó thì tính chất T sẽ được duy trì.
 Giai đoạn 3. Đề xuất giả thuyết bằng suy luận ngoại suy
- Với trường hợp a): Giả thuyết được phát biểu dưới dạng: “Trong
điều kiện của bài toán thì tính chất T luôn xảy ra”.
- Với trường hợp b): HS sử dụng kéo rê duy trì để khẳng định có
một tập hợp các điểm D sao cho khi kéo rê một điểm trên BDTQ
động trùng với một trong các điểm của tập hợp này thì tính chất T


17
được duy trì. Sử dụng kết hợp kéo rê duy trì với việc kích hoạt
chức năng tạo vết để đánh dấu tập D. Tập hợp này có thể được
nhận ra dưới dạng một quỹ tích hình học Q. HS phát biểu giả
thuyết: “Nếu điểm D nằm trên quỹ tích Q thì tính chất T thỏa
mãn”.
 Giai đoạn 4. Kiểm chứng/bác bỏ giả thuyết bằng thực nghiệm
nhờ suy luận quy nạp
- Với trường hợp a): HS sử dụng kéo rê ngẫu nhiên kết hợp với việc
sử dụng các công cụ đo đạc, tính toán của GSP để kiểm chứng lại

giả thuyết bằng thực nghiệm.
- Với trường hợp b): HS sử dụng kéo rê liên kết để liên kết điểm D
vào quỹ tích Q nhằm xác nhận lại giả thuyết.
4.3. Tiểu kết chương 4
4.3.1. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 2
Kết quả thực nghiệm cho thấy tỉ lệ HS đưa ra được một quy tắc hàm
số đúng cho các dãy số còn khá thấp (11,95%-22,16% đối với quy tắc
là hàm số bậc hai và 54,5%-61,64% đối với quy tắc là hàm số bậc
nhất). Phân tích những thể hiện trên bài làm của HS cho thấy có bốn
vấn đề ảnh hưởng đến kết quả mà các em đạt được đó là: (1) HS hiểu
sai ý nghĩa của biến n; (2) HS có xu hướng sử dụng phương án đệ
quy mà không quan tâm đến các phương án khác; (3) HS chỉ sử dụng
BDTQ ở giai đoạn thu thập dữ liệu cho các trường hợp cho sẵn mà
không quan tâm đến cấu trúc quy luật chứa đựng trong các BDTQ
này; (4) HS không kiểm chứng giả thuyết cho những số hạng chưa
được mô tả sẵn trong dãy số trước khi tổng quát hóa. Bốn vấn đề này
dẫn đến các hệ quả là: (1) HS đưa ra các quy tắc hàm số sai ngay cả
khi các em đã hiểu được sự phát triển mang tính quy luật của dãy số,
(2) HS đưa ra các quy tắc “có vẻ đúng” khi chúng trích xuất được


18
đúng dãy số mà bài toán đề cập nhưng không được chấp nhận do
những sai lầm về ý nghĩa của biến số trong công thức; (3) HS nhanh
chóng từ bỏ việc tiếp tục khám phá (đặc biệt là đối với các dãy số
theo quy tắc hàm số bậc hai) khi phương án đưa ra quy tắc đệ quy
gặp thất bại; (4) HS đưa ra các quy tắc “có vẻ đúng” khi chúng trích
xuất được đúng các số hạng đầu tiên cho sẵn của dãy số nhưng đó là
quy tắc sai khi các số hạng tiếp theo của dãy số không thỏa mãn quy
tắc này. Những phân tích từ kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng việc

quan tâm đến cấu trúc mang tính quy luật của các BDTQ có thể giúp
HS tránh được bốn vấn đề đã nêu, từ đó giảm bớt sai lầm trong các
kết quả. Ngoài ra, sự chênh lệch về số lượng các quy tắc hàm số
tương đương được tạo ra từ các phương án thuộc phạm trù Số học và
Hình học trong cả sáu nhiệm vụ của Bộ câu hỏi còn là một bằng
chứng rõ ràng cho thấy việc quan tâm đến các BDTQ trong quá trình
khám phá giúp HS có nhiều cách nhìn khác nhau về quy luật hơn, đặc
biệt là các dãy số theo quy luật hàm số bậc hai. Một khía cạnh quan
trọng nữa mà chúng tôi nhận thấy qua thực nghiệm là những HS sử
dụng các BDTQ trong quá trình khám phá thường thể hiện rằng các
em có một cơ sở về tính có lí của giả thuyết được ngoại suy thông
qua các lý giải rõ ràng trên cấu trúc của các BDTQ. HS cũng có cơ sở
để kiểm chứng giả thuyết bằng suy luận quy nạp dựa trên việc mô tả
được các số hạng tiếp theo của dãy số hay thậm chí là số hạng tổng
quát của dãy số thông qua việc xây dựng các BDTQ tương ứng. Do
đó, chúng tôi cho rằng việc quan tâm đến các BDTQ là một trong
những cách để giảm bớt các câu trả lời đang ở mức độ thấp (mức độ
1, 2) và đưa chúng lên các mức độ cao hơn trong thang mức đánh giá
các mức độ ngoại suy-quy nạp mà chúng tôi đã thiết lập.
4.3.2.

Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 3


19
Kết quả thực nghiệm từ hai nhóm HS trong nghiên cứu này cho thấy
có mối liên hệ giữa các phương thức kéo rê mà HS thao tác lên
BDTQ của bài toán với hình thức suy luận tương ứng.
Chương 5. PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG KHÁM PHÁ QUY
LUẬT TOÁN CHO HỌC SINH BẰNG SUY LUẬN QUY NẠP

VÀ NGOẠI SUY
5.1. Suy luận ngoại suy và quy nạp trong các hoạt động toán học
nhà trường
5.2. Nhiệm vụ toán giúp phát triển suy luận ngoại suy và quy nạp
Qua khảo sát các nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số và khám phá
bài toán hình học kết thúc mở trong hai thực nghiệm của nghiên cứu
này, chúng tôi nhận thấy chúng là các nhiệm vụ thúc đẩy HS sử dụng
suy luận ngoại suy và quy nạp với hai đặc điểm chung. Thứ nhất, các
nhiệm vụ này không hề cung cấp một kết luận chắc chắn đúng như
trong các bài toán chứng minh truyền thống. Thứ hai, chúng là những
nhiệm vụ toán không quen thuộc với HS và không có một quy trình
rõ ràng nào đảm bảo đi đến ngay lời giải. Đó là những đặc trưng cơ
bản của một bài toán KTM.
Qua việc phát triển một bài toán đóng thành các bài toán KTM,
chúng ta có thể đem đến cho HS nhiều cơ hội sử dụng suy luận có lí
hơn bởi những lí do sau:
• Việc giải quyết các bài toán KTM đòi hỏi HS phải đề xuất một
phương án giải phù hợp, chọn lựa các giả thiết vừa đủ cần và
loại bỏ những giả thiết thừa, chọn lựa kiến thức nào hay quy tắc
nào có thể được sử dụng cùng với việc đưa ra lí do cho sự lựa
chọn đó. Đó là những nhiệm vụ của ngoại suy.
• Ủng hộ quan điểm của Foong (2002, [36]) rằng các bài toán
KTM “thiếu những thông tin rõ ràng, thiếu một quy trình cố


20
định để đảm bảo đi đến một lời giải đúng, và thiếu một tiêu
chuẩn để đánh giá lời giải đạt được”, chúng ta có thể tạo cơ hội
cho HS khám phá các tùy chọn khác nhau có thể xảy ra trong
một tình huống, tổng quát hóa kết quả tìm thấy bằng suy luận

quy nạp, hay lựa chọn một câu trả lời tốt nhất dựa trên nền tảng
kiến thức có sẵn và sự lí giải của của riêng mỗi cá nhân.
• Một số bài toán KTM không cung cấp đủ các dữ liệu cần thiết.
Điều này gây khó khăn cho HS khi muốn sử dụng diễn dịch để
áp dụng những công thức hay quy trình đã biết. Ngược lại, HS
được đòi hỏi mở rộng những kiến thức có sẵn của mình bằng
cách đưa ra giả thuyết dựa trên nền tảng dữ liệu không hoàn
chỉnh, hoặc bổ sung thêm dữ liệu để tạo ra các bài toán mới.
• Các bài toán KTM khi có sự hỗ trợ của các phần mềm hình học
động (như GSP, Cabri…) sẽ tạo ra môi trường thực nghiệm trực
quan động giúp việc khám phá, đặt giả thuyết và kiểm chứng
hay bác bỏ giả thuyết trở nên thuận lợi hơn.
5.3. Xây dựng bài toán KTM hỗ trợ HS phát triển khả năng
khám phá toán bằng suy luận ngoại suy và quy nạp
5.3.1. Đặt vấn đề
5.3.2. Khảo sát vấn đề
5.3.3. Các bài toán dẫn đến sự hình thành các khái niệm, quy tắc mới
5.3.4. Dự đoán một định lý hay tính chất toán học từ hình vẽ
5.3.5. Các bài toán chứa đựng hoạt động tìm kiếm quy luật
5.3.6. Thay đổi các yêu cầu quen thuộc trong SGK
5.3.7. Các vấn đề thực tế
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN
1. Kết quả đạt được của luận án
Về mặt lý luận


21
• Phân biệt ba loại suy luận: diễn dịch, quy nạp và ngoại suy trong
bối cảnh toán học, từ đó lập luận để cho thấy hai loại suy luận
được sử dụng phối hợp trong quá trình khám phá quy luật dãy số

là quy nạp và ngoại suy.
• Đề xuất quy trình lý thuyết để khám phá và tổng quát hóa quy
luật dãy số bằng suy luận quy nạp và ngoại suy.
• Đề xuất một Thang đánh giá các mức độ ngoại suy-quy nạp phù
hợp với những thể hiện của HS qua phần thực nghiệm của
nghiên cứu này.
• Chỉ ra những bằng chứng cho thấy các BDTQ là một công cụ hỗ
trợ hiệu quả cho HS trong quá trình khám phá và tổng quát hóa
các quy luật dãy số bằng suy luận quy nạp và ngoại suy.
• Chỉ ra sự khác biệt khi thực hiện suy luận quy nạp và ngoại suy
trong môi trường hình học động so với môi trường giấy bút.
• Phân tích những thể hiện của quy nạp và ngoại suy trong mối
liên hệ với việc sử dụng các phương thức kéo rê và các công cụ
hỗ trợ của phần mềm hình học động GSP khi khám phá các bài
toán hình học kết thúc mở.
• Tổng kết một quy trình sử dụng các phương thức kéo rê để khám
phá các bài toán hình học kết thúc mở bằng suy luận quy nạp và
ngoại suy từ thực nghiệm của nghiên cứu này.
Về mặt thực tiễn
• Hệ thống các ví dụ trong luận án có thể làm tài liệu tham khảo
cho GV và HS thực hành suy luận quy nạp và ngoại suy để
khám phá toán.
• Đề xuất các cách thiết kế bài toán KTM từ các bài toán trong
sách giáo khoa là một hướng dẫn cơ bản và tổng quát cho GV


22
nhằm đổi mới dạy học theo hướng phát triển năng lực suy luận
quy nạp và ngoại suy của HS.
2. Lưu ý sư phạm dành cho giáo viên

Từ kết quả thực nghiệm của Nghiên cứu 1, chúng tôi đưa ra một số
lưu ý về mặt sư phạm dành cho GV khi có điều kiện thực hành các
nhiệm vụ này trong lớp học:
• Cùng một quy luật cho một dãy số, có thể có nhiều phương án
ngoại suy khác nhau để giải thích. GV nên giới thiệu đến HS các
phương án khác ngoài những phương án mà HS đã sử dụng.
• GV cần chỉ ra cho HS thấy rằng ngay cả khi các em đưa ra được
một giả thuyết để giải thích cho các trường hợp cho sẵn thì cũng
cần kiểm chứng giả thuyết này cho các trường hợp khác trước
khi tổng quát hóa giả thuyết bằng suy luận quy nạp.
• Nghiên cứu đưa ra những bằng chứng thuyết phục cho thấy
những lợi thế của các phương án ngoại suy thuộc phạm trù Hình
học so với các phương án ngoại suy thuộc phạm trù Số học trong
việc thiết lập quy tắc tổng quát cho các dãy số theo quy luật hàm
số bậc hai. Do đó, việc giới thiệu đến HS các phương án ngoại
suy thuộc phạm trù Hình học là cần thiết. Đồng thời, GV cần
cung cấp các bài toán để khuyến khích HS sử dụng các BDTQ
như một công cụ để khám phá quy luật dãy số và nhận ra ý
nghĩa hình học của biến số trong quy tắc được tìm thấy.
Quá trình thực nghiệm Nghiên cứu 2 cũng có một số lưu ý đối với GV:
• Khi sử dụng hoặc thiết kế các tình huống hình học kết thúc mở
để tạo cho HS cơ hội được khám phá toán, GV nên chọn các tình
huống đòi hỏi HS phải phối hợp cả ngoại suy trực quan và
ngoại suy thao tác để đưa ra giả thuyết.