Khảo sát về sự bất đối xứng trong tương tác lepton hạt nhân có năng lượng cao

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo
Th.S. Hoàng Phúc Huấn, người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp
đỡ em, người đã đưa ra những ý tưởng khoa học và định hướng nghiên cứu
cho em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý,
cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể các bạn sinh viên lớp K34B – Vật lý
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, ủng hộ và giúp đỡ em trong
suốt bốn năm học qua.
Tuy nhiên do thời gian có hạn và đây là bước đầu làm quen với công tác
nghiên cứu khoa học, bởi vậy có thể có những sai sót. Vì vậy, em rất mong
được sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Nông Thị Lệ Mai

Nông Thị Lệ Mai

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận này là sự nỗ lực của bản thân cùng sự giúp
đỡ tận tình của thầy giáo Th.S. Hoàng Phúc Huấn.
Kết quả nghiên cứu là trung thực, khóa luận này không có sự trùng lặp
với kết quả nghiên cứu của các đề tài khác và chưa được công bố trong bất kỳ
nghiên cứu nào.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Nông Thị Lệ Mai

Nông Thị Lệ Mai

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN……………………………………………………………….
LỜI CAM ĐOAN……………………………………………………………
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………. 1
1.Lý do chọn đề tài…………………………………………………………. ..1
2.Mục đích nghiên cứu………………………………………………………..1
3.Đối tượng phạm vi nghiên cứu……………………………………………...2
4. Giả thuyết khoa học………………………………………………………...2
5.Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………………………………….2
6. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………...2

7.Cấu trúc luận văn……………………………………………………………2
NỘI DUNG CHÍNH
Chương 1.Tiết diện tán xạ và độ rộng phân rã……………………………4
1.1.Sử dụng mô hình…………………………………………………….4
1.2. Tiết diện tán xạ vi phân……………………………………………..5
1.3.Tiết diện tán xạ của một quá trình…………………………………...6
1.3.1.Tiết diện tán xạ………………………………………………….6
1.3.2.xác suất chuyển dời và tiết diện tán xạ …………………………7
1.3.3.Ví dụ…………………………………………………………….9
1.4.Độ rộng phân rã của một quá trình…………………………………12
1.4.1.Độ rộng phân rã………………………………………………..12
1.4.2.Chú ý…………………………………………………………..13
1.4.3.Phương pháp tính tích phân theo các xung lượng của hạt cuối..13
1.4.4.Ví dụ…………………………………………………………...15
Chương 2.Tán xạ đàn hồi và tán xạ không đàn hồi……………………...17

Nông Thị Lệ Mai

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

2.1.Biên độ tán xạ lepton-hạt nhân……………......................................17
2.2.Một số các kết quả………………………………………………….18
2.2.1.Khai triển đa cực cho tiết diện tán xạ …………………………18
2.2.2.Các dạng song tuyến…………………………………………..21
2.3.Tán xạ đàn hồi……………………………………………………...23

2.3.1.Hạt nhân spin J=1/2……………………………………………23
2.3.2.Hạt nhân spin J=1……………………………………………...23
2.3.3.Hạt nhân spin J=3/2……………………………………………24
2.4.Tán xạ đàn hồi……………………………………………………...26
Chương 3:Hiệu ứng bất đối xứng trong tán xạ electron phân cực lên hạt
nhân định hướng và không định hướng ………………………………….29
3.1.Hiệu ứng bất đối xứng trong tán xạ electron phân cực lên hạt nhân
không định hướng …………………………………………………………...29
3.2.Hiệu ứng bất đối xứng trong tán xạ electron phân cực lên hạt nhân có
định hướng …………………………………………………………………..30
3.3.Hiệu ứng bất đối xứng trong một vài trường hợp đặc biệt ………...30
3.3.1.Bất đối xứng trong tán xạ electron lên hạt nhân spin 0………..30
3.3.2.Bất đối xứng khi năng lượng tán xạ electron lên hạt nhân có
N=Z………………………………………………………………………….31
3.3.3.Bất đối xứng trong tán xạ electron lên hạt nhân

16
8

o trong

chuyển dời 0+ → 0− …………………………………………………………..32
KẾT LUẬN ………………………………………………………………...33
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………34

Nông Thị Lệ Mai

K34B-Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Nghiên cứu cấu trúc hạt nhân bằng tán xạ electron đã đạt được những kết
quả rất tốt đẹp trong suốt các thập kỉ 50 – 70 của thế kỷ XX và cho phép xây
dựng được hình ảnh khá chi tiết về cấu trúc của hạt nhân, mà thực chất là cấu
trúc điện từ. Khi mô hình chuẩn ra đời, một khả năng mới về nghiên cứu cấu
trúc hạt nhân đã mở ra: Nghiên cứu cấu trúc động lực của hạt nhân bằng tán
xạ lepton–hạt nhân, ở đây vai trò của hạt tán xạ là lepton, có thể giới hạn ở
electron và neutrino.
Tác giả trước đây đã nêu ra phương pháp khai triển đa cực cho dòng
chuyển dời trong các quá trình này, nhờ vậy việc xác định góp phần của các
số hạng đa cực riêng rẽ cũng như việc đưa vào xét cùng hiệu ứng định hướng
đã làm cho việc nghiên cứu cấu trúc hạt nhân năng lượng cao trở nên thuận
tiện hơn. Do có mặt tương tác yếu, tán xạ của electron lên hadron sẽ trở nên
bất đối xứng đối với electron quay phải và quay trái, tức là độ bất đối xứng
ARL khác 0. Trong phạm vi mô hình chuẩn, tương tác lepton-nucleon đã
được xác định. Điều này cho phép trên nguyên tắc có thể khảo sát cấu trúc hạt
nhân dựa trên tương tác của lepton với hệ các nucleon. Như đã biết, tương tác
điện từ của quá trình electron-nucleon đã cho phép tìm hiểu được cấu trúc
của hạt nhân, xác định được nhiều đặc trưng của hạt nhân với độ chính xác
khá cao. Có thể dự đoán rằng tương tác leptonnucleon xét trong khuôn khổ
mô hình chuẩn mở ra khả năng mới, nâng cao hơn hiệu quả nghiên cứu cấu
trúc hạt nhân so với phương pháp điện từ. Mặt khác, việc nghiên cứu cấu trúc
hạt nhân bằng tán xạ lepton-hạt nhân cũng cho ta đánh giá mô hình chuẩn.
Chính vì lý do trên , nên tôi chọn đề tài : “Khảo sát về sự bất đối xứng trong
tương tác lepton-hạt nhân có năng lượng cao” làm luận văn tốt nghiệp của

mình.

Nông Thị Lệ Mai

1

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

2. Mục đích nghiên cứu:
Trong những năm gần đây việc nghiên cứu cấu trúc hạt nhân bằng mô
hình chuẩn và dựa trên tán xạ lepton-hạt nhân ngày càng được chú ý nhiều.
Điều này liên quan đến yêu cầu đánh giá mô hình chuẩn, việc phát triển các
phương pháp tính toán về cấu trúc hạt nhân cũng như khả năng nâng cao
năng lượng của các lepton tán xạ, mà nhiều phòng thí nghiệm trên thế giới đã
gia tốc electron đến năng lượng cỡ 100 GeV. Ngoài ra, việc tạo ra các thiết
bị làm định hướng hạt nhân và lepton đã cho phép tìm kiếm được thông tin bổ
sung về cấu trúc hạt nhân, trước hết là việc xác định được trên thực nghiệm
bản thân các biên độ tán xạ riêng phần (còn gọi là thừa số dạng riêng phần
hay thừa số dạng đa cực), chứ không phải chỉ là một số biểu thứ tổng các bình
phương môđun các đại lượng ấy như trong các thí nghiệm với các hạt không
định hướng. Tính cấp thiết của đề tài là những đòi hỏi phải làm sáng tỏ cơ
chế tương tác của hạt nhân ở năng lượng cao, bổ sung vào các hiểu biết đã có
về cấu trúc hạt nhân năng lượng thấp đã biết. Từ trước đến nay bài toán cấu
trúc hạt nhân được xét một cách hệ thống với tương tác điện từ, còn tương
tác mạnh và tương tác yếu được đưa vào chủ yếu theo phương pháp hiện

tượng luận. Các nghiên cứu ở năng lượng cao hơn chứng tỏ rằng phải tính
đến các bậc tự do quark và gluon trong hadron và trong hạt nhân. Theo quan
niệm hiện nay, ở vùng năng lượng siêu cao, khoảng 10-16GeV trở lên, các
hạt cơ bản có cấu trúc dạng dây, hay nếu xét trong khung cảnh lý thuyết hợp
nhất, chúng là các siêu dây hoặc siêu màng. Khi tăng năng lượng tán xạ lên
đến mức siêu cao, cần phải tính đến các yếu tố này.
Mục đích của đề tài là áp dụng mô hình chuẩn cho bài toán tán xạ lepton–
nucleon và lepton–hạt nhân năng lượng cao, xác định biểu thức của độ bất
đối xứng trong quá trình năng lượng cao và khảo sát cơ chế của hiện tượng
này.

Nông Thị Lệ Mai

2

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu :
- Khai triển đa cực cho tiết diện tán xạ
- Xác định các dạng song tuyến trong tiết diện tán xạ
- Xét tán xạ đàn hồi cho hạt nhân spin J = 1/2, 1 và 3/2
- Xét tán xạ không đàn hồi trong chuyển dời 3/2
4. Giả thuyết khoa học:
- Dựa vào mô hình chuẩn và ứng dụng của nó để xét bài toán tán xạ
Lepton – hạt nhân để từ đó nghiên cứu cấu trúc hạt nhân.

- Nghiên cứu về bức xạ điện từ yếu thể hiện ở mức năng lượng hàng
GeV
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khảo sát độ bất đối xứng của tán xạ electron-hạt nhân.
6. Phương pháp nghiên cứu :
Sử dụng lý thuyết trường lượng tử để tính các tiết diện tán xạ và khai triển các đại
lượng theo các biên độ đa cực, cũng như để phân tích các tính chất đối xứng (và bất đối
xứng) của các quá trình hạt nhân và của bản thân cấu trúc hạt nhân. Việc biểu thị tiết diện
tán xạ cũng như độ bất đối xứng qua các thừa số dạng là tiện lợi trên hai phương diện:
một mặt nó làm rõ sự phụ thuộc của các đại lượng vật lý có thể đo được vào các số hạng
thành phần có mômen xung lượng xác định, mặt khác các đại lượng thành phần này lại
có thể tính được theo các mẫu cấu trúc hạt nhân. Chính điều này làm ta có thêm thông tin
về cấu trúc hạt nhân.
7. Cấu trúc luận văn:
Phần 1: Mở đầu.
Phần 2: Nội dung khóa luận gồm 3 chương.
Chương 1: Tiết diện tán xạ và độ rộng phân rã.
Chương 2: Tán xạ đàn hồi và tán xạ không đàn hồi.

Nông Thị Lệ Mai

3

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

Chương 3: Hiệu ứng bất đối xứng trong tán xạ electron phân cực lên
hạt nhân định hướng và không định hướng.
Phần 3: kết luận

Nông Thị Lệ Mai

4

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội
CHƯƠNG I

TIẾT DIỆN TÁN XẠ VÀ ĐỘ RỘNG PHÂN RÃ
1.1.Sử dụng mô hình:

s fi =δfi −ieεi ∫ dx 4 ϕf Α
/ ( x )ϕi ( x )
s fi = δ fi − ieε i ∫ dx 4ϕ f ( x ) Α
/ ( x )ϕi ( x )

ϕi ( x ) ≅ ϕ i ( x ) =

ϕ ( x) =

(1.1)

m
u ( pi , si )e − ipi x
Ei v

(1.2a)

m
− ip i
u ( p f , s f )e f
Ef v

(1.2b)

Ze
 A0 ( x) = − 4π x

 A( x) = 0

(1.3)

Tính tiết diện tán xạ
2

s fi =iZe
4π v

m2
d 4 x i ( p f − pi ) x
u ( p f , s f )γ 0u ( pi , Si ) ∫
e

E f Ei
x

(f

≠ i)

(1.4)

Trong biểu thức trên, tích phân theo thời gian sẽ cho 2πδ ( E f − ei )
d 3 x −iqx 4π
Còn tích phân theo không gian ∫ x e = 2
q

Nông Thị Lệ Mai

5

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp
iZe 2
s fi =
V

Trường ĐHSP Hà Nội
0
m 2 u ( p f , S f )λ u ( pi , Si )
.2πδ ( E f − Ei )

2
E f Ei
q

(f

≠ i)

(1.5)

Xác suất chuyển rời trạng thái của mỗi hạt
S .dN

dW = dN f = Sfi

2

Vd 3 p f
(2π )3
2

0
d3 pf
2
Z 2 (4πα ) 2 m 2 u ( p f , S f )γ u ( pi , Si )
=
.
.
.  2πδ ( E f − Ei ) 
4

3
EiV
(2π ) E f
p
2

 2πδ ( E f − Ei )  = 2π T δ ( E f − Ei )
R=

(1.6)

(1.7)

dW
T
2

0
3
4 Z 2α2 m 2 u ( p f , S f )γ u ( pi , Si ) d p f
=
.
.
.δ ( E f − Ei )
4
EiV
Ef
p

(1.8)

Tiết diện tán xạ được định nghĩa là xác suất chuyển dời R chia cho thông
lượng hạt tới,
a
J inc
= ϕ ( x )γ a .ϕi ( x)

Nông Thị Lệ Mai

6

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

a
J inc
= ϕ ( x ).γ a .ϕi ( x ) =

=

m
m
u ( pi , si )e ipi x .γ a .
u ( pi , si )e ipi x
E,V
E ,V

m
u ( pi , si ).γ a .u ( pi , si )
EiV

m Ei + m
(1 0
EiV 2m

m Ei + m
(1 0
EiV 2m

pi
E+m

pi
E+m

0 0

0 0
0) 
1 0

 0 −1

 1 

÷

 0 ÷
0)γ 0γ 3  pi ÷

÷
 Ei + m ÷
 0 ÷



 1 
1 0 
÷
÷ 0 ÷
0 −1÷
v
p
 pi ÷ = i = i
0 0 ÷
÷ EiV V
÷ Ei + m ÷
0 0 
÷
 0 

1.2.Tiết diện tán xạ vi phân.
Ta tính được tiết diện tán xạ vi phân
2

0
3

R 4Z 2α 2 m 2 u ( p f , S f )γ u ( pi , Si ) d p f
pσ =
.
.γ ( E f − Ei )
4
J inc vi Ei
Ef
p

(1.9)

Như vậy, tiết diện tán xạ vi phân trên một đơn vị góc khối là
2

0
3
dσ
4 Z 2α 2 m 2 u ( p f , S f )γ u ( pi , Si ) d p f
= ∫ ∆pf
.
.δ ( E f − Ei )
4
dΩ f
υi Ei
Ef
p
2

∫

∆pf

0
2
4Z 2α 2 m 2 u ( p f , S f )γ u ( pi , Si ) p f d p f
.
.δ ( E f − Ei )
4
vi Ei
Ef
p

(1.10)

p f dp f = E f dE f

Thay vào (1.10) ta có:

Nông Thị Lệ Mai

7

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

p f E f dE f

2
dσ
4 Z 2α 2 m 2
0
=
u
(
p
,
S
)
γ
u
(
p
,
S
)
4
f
f
i
i
∫ ∆pf v E E .δ ( E f − Ei )
dΩ f
p
i
i
f
(1.11)

Mà:
pf
vi Ei

=

pi
v
= i =1
vi Ei vi

Nên:
2
dσ
4 Z 2α 2 m 2
=
u ( p f , S f )γ 0u ( pi , Si ) ∫ ∆pf δ ( E f − Ei )
4
dΩ f
p

(1.12)

2
dσ
4Z 2α 2 m 2
⇔
=
u ( p f , S f )γ 0u ( pi , Si )
4

dΩ f
p

Trong giới hạn phi tương đối tính, ta có
1

0
u ( p f , S f )γ 0u ( pi , Si ) = 1 0 0 0 
0

0

0
1
0
0

0
0
1
0

2

0
÷
0÷
=1
0÷
÷

1

Như vậy khi tiết diện tán xạ vi phân trên một đơn vị góc khối là:
dσ
4Z 2α 2 m 2
=
4
dΩ f
q

(1.13)

Công thức trên chính là tiết diện tán xạ Rutherford trong giới hạn phi
tương đối tính.
1.3.Tiết diện tán xạ của một quá trình
1.3.1.Tiết diện tán xạ:
* Giả sử có một hạt bia ở trong miền không gian A.Xác suất P của tán xạ tỷ lệ
nghịch với A
p=

Nông Thị Lệ Mai

σ
A

8

(1.14)

K34B-Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

Thì σ được gọi là tiết diện tán xạ của quá trình đó (bằng sác xuất tán xạ trong
một đơn vị thể tích), nó không phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn (vì cả P và
A không phụ thuộc vào hệ quy chiếu).
* Giả sử có nhiều hạt tán xạ tới nhiều hạt bia. Ta định nghĩa:
+ Tốc độ tán xạ R (the rate of cattering)
R = F . A.N t .P = F .N t .σ

(1.15)

Trong đó: F là luồng các hạt tới (số hạt tới trong một đơn vị thể tích và trong
một đơn vị thời gian).
N là số các hạt bia.
Nếu gọi mật độ các hạt tới là n thì:
F=n.v

(1.16)

V là vận tốc tương đối giữa các hạt tới.
⇒ R = ni .N t .Verl .σ

(1.17)

Chý ý rằng trong nhiều bài toán, chúng ta quan tâm tới tán xạ trong một
góc khối ∆Ω và "hy vọng" tiết diện tán xạ riêng phần tương ứng tỷ lệ với ∆Ω .

dσ
.
dΩ

Khi đó tiết diện tán xạ vi phân là
phân

Không giống như σ, tiết diện tán xạ vi

dσ
phụ thuộc vào hệ quy chiếu.
dΩ

1.3.2.xác suất chuyển dời và tiết diện tán xạ.
Từ biểu thức của ma trận tán xạ

s = Te ∫

i dxLint ( x )

= Te ∫

−i d 4 xH1 ( x )

(1.18)

H1 ( x) :Phần tương tác

Khi tương tác,yếu tố ma trận liên hệ trạng thái đầu i với trạng thái cuối f
được viết dưới dạng

S fi = f S i

Nông Thị Lệ Mai

(1.19)

9

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

Khi có tương tác, ( Lint ( X ) ≠ 0) , S ma trận có thể viết được dưới dạng:
S = I + i.ω

(1.20a)

S fi = δ fi + i (2π ) 4 δ 4 ( pi − p f ).M fi = δ fi + i.ω fi

(1.20b)

+ Xác suất chuyển dời từ trạng thái i đến trạng thái f (I ≠ f) được tính bằng:
2

2

ω fi = (2π )8 δ 4 ( pi − p f . M fi

2

(1.21)

r
δ (r ) = δ (x).δ ( y ).δ ( z )

Chú ý rằng:

δ (x) = δ (x).δ ( y ).δ ( z ).δ (t )

δ ( x − x′) =

1
2π

+∞

∫ dk .e

ik ( x − x ′ )

−∞

(2π ) 4 δ 4 ( pi − p f ) = ∫ d 4 x.eix ( p − p ) = Lim ∫ d 4 x.e ix ( p − p )
V ,T


= (2π ) 4 δ 4 ( pi − p f ) Lim ∫ d 4 x.e 0


V ,T →∞
⇒
2
ix ( p − p
8
4
4 4
d 4 x.e
(2π ) δ ( pi − p f ) = (2π ) δ ( pi − p f ).VLim
∫
,T →∞
V ,T


= (2π ) 4 δ 4 ( pi − p f ). LimV .T
V ,T →∞

i

f

i

f

i

f

)

+ Tốc độ chuyển dời là xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian
Rate fi =

ω fi

2

V .T

= (2π ) 4 δ 4 ( pi − p f ). Lim V . M fi

2

V ,T →∞

(1.22) Công thức tổng quát với n hạt ở trạng thái cuối
uur
3
2 n d p
k
Rrate fi = (2π ) 4 ∫ δ ( pi − p f ) M fi ∏
V n+1
∑
3
Trangthaicuoi
k =1 (2π )
= ni. N t .ν rel .σ fi =

1
.ν relσ fi
V

uur
3
2 n d p
V n+ 2
k
⇒ σ fi =
(2π ) 4 ∫ δ ( pi − pf ). M fi ∏
3
ν rel
k =1 (2π )

uur
2 n
(2π ) 4
d 3 pk
=
δ ( pi − p f ). M fi ∏
3
ν rel .4 Ea .Eb ∫
k =1 (2π ) .2 Ek

Nông Thị Lệ Mai

10

(1.23)

(1.24)
(1.25)

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

a, b là các hạt tới
ν rel = ν ab = ν a −ν b

uur
2
M fi
2 n
(2π ) 4
d 3 pk
dσ fi =
δ ( pi − p f ). M fi ∏
=
dφ f
3
4F
4F
k −1 (2π ) .2 Ek
uur
3
n

d
pk
4
Trong đó: dφ f = (2π ) δ ( pi − p f )∏
3
k =1 (2π ) .2 Ek

(1.26)

uur
 pa .mb
Trong hÖ quy chiÕu phßng thÝ nghiÖm

F = Ea .Eb .Vrel =  uur
 pa .( Ea + Eb ) Trong hÖ quy chiÕu khèi t©m

Tổng quát: Trong trường hợp số hạt đồng nhất của từng loại lớn hơn 1
M fi

dσ =

4F

2

dφ .s =

M fi
4F

2

dφ f .∏
a

1

(1.27)

l a!

Với l a là số hạt đồng nhất loại a
s=∏
n

1
1a !

1.3.3.Ví dụ:
Xét trường hợp 2 hạt tới → 2 hạt ra:
( p1µ , m1 ) + ( p2µ , m2 ) → ( p3µ , m3 ) + ( p4µ , m4 )
uur r
+ Sử dụng hệ quy chiếu phòng thí nghiệm (PTN/lab): p2 = 0
uu
r
ur
'
µ
E
,

P
p1 = ( E1 , p)
3
r
ur
p2µ = (m, 0)
u
r
,E
1P
p3µ = ( E3 , p)
uur
p4µ = ( E4 , p4

(

()

uu
r
′
p
 dσ 
.
.
u
r

÷ =
2

 d Ω lab 64π m2 p
M fi

Nông Thị Lệ Mai

2

1
ur
p
E1 + m2 − uu
r E3 .cos θlab
p′

11

)

θtab

(

uu
r
E4 , P4

)

K34B-Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

+ Sử dụng hệ quy chiếu khối tâm(KT/Cm):
uu
r uu
r r
p1 + p2 = 0
uu
r uu
r r
p3 + p4 = 0
u
r
p1µ = ( E1 , p)
u
r
p2µ = ( E2 , − p )
uu
r
p3µ = ( E3 , p′)
uu
r
p4µ = ( E4 , − p′)

uu
r

( E ,P )
'

1

ur
1,EP

()
θCm

uu
r
′
p
M
d
σ
fi


. u
r

÷ =
2
 d Ω lab 64π s p

(

2

uu
r
E1 , − P '

)

(

ur
E1 , − P

)

Với s = ( E1 + E2 )2
* Xét trường hợp với bài toán cụ thể: có hai hạt tới có khối lượng ma , mb và
xung lượng là pa , pb .
- Trạng thái cuối có n hạt: (m1 , p1 ).....(mn , pn ) .
- Coi hạt có spin bằng không.
Khai triển Taylo hàm S(ma trận)
s = 11 + i ( T ∫ d 4 .xH1 ( x) ) = 1 + iω
s fi = f 11 + iω i = f i + i f ω i

= δ fi + i f ω i

f≠ i: trạng thái đầu và trạng thái cuối
Trạng thái đầu

φi ≡ ∫ d 3 pa ∫ d 3 pb′ . f ( pa′ ) f ( pb′ ). p′a , pb′

d3 p =

Do:

d3 p
(2π )3 2 E p

+ Điều kiện chuẩn hóa
α ′ p′ α p = (2π )3 2 E pδ ( p′ − p )δ α ′α

∫d

3

p α p α p =1

+ Mật độ dòng xác suất
Nông Thị Lệ Mai

12

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội
sur
2
J M = if ∗ ( x)∂ µ f ( x ) ≈ 2 pM f ( x)

+ Số hạt trong không gian
 ∂φ ∂φ ∗ 
ρ = i φ ∗
−
φ÷
∂t 
 ∂t

Do:

N = 2 E p ∫ dx f ( x)

2

f ( x) = F ( x)e −ipx

Do:

2

f ( x ) = F ( x)

Mật độ hạt: = 2 E p f ( x)

2

2

2

ω fi = f − ∫ H .d 4 x φi
= (2π ) 4 δ 4 ( pi − p f ) f M i

2

∫d

4

2

2

x f a ( x) f b ( x)

2

+ Tốc độ tán xạ
R=

ω fi
V .T

2

(2π )8 δ 4 ( pi − p j ) = (2π ) 4 δ 4 ( pi − p j ) ∫ d 4 x.C

ix ( pi − p j )

= V .T .(2π ) 4 δ 4 ( pi − p j )

+ Tốc độ chuyển dời
R = (2π ) 4 δ 4 ( pi − p j ) M ji f a ( x )

Vậy:
Do:

δ=

2

f b ( x)

R
Vi N tν rel

niν rel = Va − Vb 2 Ea f a ( x)
N t = 2 Eb f b ( x)
dδ =

2

M fi

2

2

2

4 Ea Ebν rel

dφ f ς

Nếu có hạt trùng nhau ở trạng thái cuối thì

Nông Thị Lệ Mai

13

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

ς =∏
n

n
1
d 3 pk
4 4
∏ l dφ f = (2π ) δ ( pi − p j ) = ∏
3
k =1 (2π ) 2 Ek
α

d δ fi =

M ji
4F

2

dφ f

T

Xét quá trình phân rã tương tác:
G µ
J ( x) J µ ( x)
2
µ
µ
J µ ( x) = J Lep
( x) + J had
( x)

H int =

π−

K

(e)

J µ ( x) = ψ ( x )γ µ (1 − γ 5 ).ψ ((x−)ve )

− iT dϕ xH int( x )
ς fi = f e ∫
i

e

−

θ lab

∂%
e

q

≈ f i + f − iT ∫ d ϕ xH int( x ) i
=−

iG
f
2

=−

iG ϕ
µ
d xT f J lep
( x ) 0 0 J µHad ( x) i
∫
2

=−

(e) µ
iG 4 −
( −ν e )
%
d
x
e
(
p
)
−
ν
(
q
)
ψ
0 0 J µhad ( x) i
( x )γ (1 − γ 5 )ψ ( x )
∫
2

=−

∫d

ϕ

µ
xJ lep
( x) J µhad ( x) i

r
iG
(2π ) 4 δ ( p + q − k )U (( per ), s )γ µ (1 − γ 5 )ν ((qr−,νre) ) . fπ k µ
2

Đặt
=−

r
iG
(2π ) 4 δ ( p + q − k )U (( per ), s )γ µ (1 − γ 5 )ν ((qr−,νre) ) . fπ k µ
2

M fi =
2

G r (e) µ
U ( pr ,s )γ (1 − γ 5 )ν ((qr−,νλe)) . fπ k µ
2

M fi =

G 2 fπ2−
2

Nông Thị Lệ Mai

r
( p + q ) 2 U (( epr ), s )γ µ (1 − γ 5 )ν ((qr−.νλe))

14

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp
M fi =

Trường ĐHSP Hà Nội

G r (e ) µ
U ( pr ,s ) γ (1 − γ 5 )ν ((qr−.νλe)) . fπ kµ U γ µ (1 + γ 5 )ν  νγ 0γ µ+ (1 − γ 5 )γ 0+ u 
2

ν + = νγ 0
2

Tính M fi =

G 2 fπ2−
2

r
( p + q )2 U (( epr ),s )γ µ (1 − γ 5 )ν ((qr−.νλe))

= (Hệ số) × U γ µ (1 + γ 5 )ν  U γ µ (1 − γ 5 )ν 

+

µ
+
+
= (Hệ số) × U γ (1 + γ 5 )ν  νγ 0γ µ (1 − γ 5 )γ 0 u 

Chú ý:ν + = νγ 0
1.4. Độ rộng phân rã của một quá trình
1.4.1 Độ rộng phân rã
Biểu thức vi phân của độ rộng phân rã ta tim được là
d Γ( p → p1 + p2 + ... + pn ) =

M fi

2

2E p

(1.28)

dφ f .s

Với E p và M là năng lượng và khối lượng của hạt bị phân rã.
Trong trường hợp phân rã 1 hạt thành 2 hạt ta có:
d Γ( p → p1 + p2 ) =

r
p2

dΩ
32π 2 M 2
M fi

2

(1.29)

Trong đó: p 2 = M 2

{

}

1
r
 M 2 − (m1 + m2   M 2 − ( m1 − m2 ) 2 
p =
2M

Một đại lượng mà thực nghiệm rất quan tâm là số hiện tượng (number of
events) có liên hệ với tiết diện tán xạ như sau:
N fi = σ fi .L.T

(1.30)

L là độ trưng(luminosity) phụ thuộc vào các máy : 1031 cm −2 s −1
T là thời gian (time) chạy máy 1 năm : 107 s
1.4.2.Chú ý: Phương pháp lấy tổng các yếu tố ma trận theo các trạng
thái (phân cực) spin khi tính tiết diện tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử.

Nông Thị Lệ Mai

15

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

Ban đầu người ta tính cho các quá trình mà hạt phân cực(có hình chiếu
spin xác định)ở trạng thái đầu và trạng thái cuối. Tuy nhiên các hạt tới thường
không phân cực, còn các hạt ra cũng không đo được phân cực. Trong trường
hợp này ta thu được tiết diện tán xạ rộng hơn bằng cách lấy tổng xác suất
chuyển dời theo trạng thái cuối và lấy trung bình các trạng thái đầu. Lúc đó
2

người tat hay M fi bởi.
2
1
Σ Σ M fi = M fi
(1 + 2 sa ).(1 + 2sb ) sa , sb s f

2

(1.31)

1.4.3. Phương pháp tính tích phân theo các xung lượng của hạt cuối

uu
r uur
d 3 p1.d 3 p2
.δ ( p1 + p2 − p )
a/ Tính: I1 = ∫
2 p10 .2 p20

Trong đó:

(1.32)

r r
p1, p2 là xung lượng của hạt cuối
uur
pi2 + mi2

pi0 =

δ (x − x )

i
Chú ý tính chất của hàm δ: δ ( f ( x) ) = Σi f ' ( x ) với Χ i là nghiệm phương trình:
i

f ( x) = 0
uur
uur
1
δ ( p 0 − p 2 + m 2 ) + δ ( p 0 + p 2 + m2 ) 
uur



2 p 2 + m2 
uur
1
δ ( p 0 − p 2 + m 2 ) 
=
uur


2 p 2 + m2 

⇒ δ ( p 2 − m2 ) =

uur

Vì phương trình: p 2 − m 2 = 0 ⇔ ( p 0 )2 − p 2 − m 2 = 0 có nghiệm
uur
p0 = ± p 2 + m2
uur

Và với quy ước là năng lượng >0 thì chọn δ ( p 0 + p 2 + m2 ) = 0
d4p
⇒ ∫ d p.δ ( p − m ) = ∫ uur
2 p 2 + m2
4

Nông Thị Lệ Mai

2

2

ur
uur
d3 p
δ ( p 0 − p 2 + m 2  = ∫
uur


2 p 2 + m2

16

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

ur
ur
d3 p
d3 p
= ∫ uur
=∫ 0
2p
2 p 2 + m2
uu

r uur
d 3 p1.d 3 p2
.δ ( p1 + p2 − p )
Thay vào I ta có: I1 = ∫
2 p10 .2 p20
uu
r uur
d 4 p1.d 3 p2
=∫
.δ ( p1 + p2 − p )δ ( p12 − m12 )
0
2 p2
uur

uur 2

uur

Chú ý: d 3 p2 = p2 .d p2 .d Ω2
ur

uur

ur

0
0
Mặt khác: ( p 0 )2 = p 2 + m2 ⇔ ( p )dp = p .d p

uur uur

d p 2 = p 2 . p20 .dp20 .d Ω2
3

Nên

d 4 p1.dp20 d Ω 2 uur
p2 δ ( p1 + p2 − p ).δ ( p12 − m12 )
Và I1 = ∫
2

Lấy tích phân theo p ta được:
I1 = ∫
=∫

dp20 .d Ω 2 uur
p2 δ  ( p − p2 ) 2 − m12 
2

dp20 .d Ω 2 uur
π λ ( s, m12 , m22
p2 δ  p 2 − 2 p2 p + p22 − m12 
2
2
s

Trong đó: d Ω2 = dϕ .d cos θ

⇒ ϕ

2π

0

π

.sin 0 π2 = 2π .2 = 4π
2

s = p2

λ ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy − 2 xz − 2 yz
uu
r uur uur
d 3 p1.d 3 p2 .d 3 p3
δ ( p1 + p2 + p3 − p )
b/Tính: I 2 = ∫
2 p10 .2 p20 .2 p30
2 ( s − m3 ) 2

π 
= ÷
2

∫

( m1 + m2 )

ds2 .
2

λ ( s2 , m12 , m22 λ ( s, s2 , m32

.
s2
s

Với s = p 2
s2 = ( p − p2 ) 2

Nông Thị Lệ Mai

17

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

uu
r uur uur uur
d 3 . p1.d 3 p2 .d 3 p3 .d 3 p4
.δ ( p1 + p2 + p3 + p4 − p )
c/Tính: I 3 = ∫
2 p10 .2 p20 .2 p30 .2 p40
3 ( s − m3 − m4 ) 2

π 
= ÷
2

∫

( m1 + m2 ) 2

ds2 .

λ ( s3 , s2 , m32 λ ( s, s3 , m42
λ ( s2 , m12 , m22
ds3
.
s2
s3
s

s = p2
s2 = ( p − p2 ) 2

Với

s3 = ( p − p4 ) 2
α
β
1.4.4.Ví dụ Xét phân rã mức cây q%i → q%j + H k

Yếu tố ma trận tương ứng là:

K1

r
r

M (qiα → q βj H k = i (Gkα )ij
0

M

0 2

K2

K3

α
q%
i

2
r
r
(qiα → q βj ) = M 0 M 0* = (Gkα )

ij

Hk

Thay vào công thức tính độ rộng phân rã ta có:
uu
r
uu
r
d k3

1
d k2
Γ(k ) =
∫
(2π ) 4 δ ( k1 + k2 − k3 ) M 0
3
3
2mi (2π ) 2 E2 (2π ) 2 E3

β
q%
j

2

uu
r uu
r
uu
r uu
r ur
d k 2 d k3
=
∫
δ ( E2 + E3 − E1 )δ (k2 + k3 − k1 )
8miπ
4 E2 E3
(Gkα )

2

ij
2

Trước hết ta đi tính tích phân:
r
uu
r uu
uu
r uu
r
uu
r uu
r ur
d k 2 d k3
d k 2 d k2
I =∫
δ (k2 + k3 − k1 ) = ∫
δ ( E2 + E3 − E1 )δ (k2 + k3 − k1 )
4 E2 E3
4 E2 E3
ur r
uu
r u
r
µu
2
2
Chọn hệ quy chiếu sao cho: k1 = 0 → k2 = k3 = E2 − m j
uu

r

r

Vì k22 − m 2j = 0 → (k20 )2 − k22 − m 2j = 0 ⇒ k2 = (k02 )2 − m 2j = E22 − m 2j
uu
r2

r

Mặt khác: (k30 )2 − k32 − mH2 = 0 → k30 = E3 = k3 + mH2 = E22 − m 2j + mH2
uu
r r

r

r

Ta lại có: ∫ d k3δ (k2 + k3 − k1 ) = 1
r

2

r

Và dk2 = 4π k2 d k2 = 4π ( E22 − m 2j )d E22 − m 2j ) = 4π E22 − m 2j .E2 dE2
Thay vào I ta được:
Nông Thị Lệ Mai

18

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp
I =π ∫

Trường ĐHSP Hà Nội

E22 − m 2j
E22 − m 2j + mH2
E22 − m 2j

=π ∫

E −m +m
2
2

2
j

2
H

δ ( E2 + E3 − E1.dE2

δ ( E2 + E22 − m 2j + mH2 − mi ).dE2
g ( x)

Vận dụng công thức: ∫ g ( x)dxδ ( f ( x)) = f ′( x)

x = x0

Kết hợp giải
E2 + E − m + m − m = 0 ⇒ E2 =
2
2

2
j

2
H

2
j

Với ( E2 + E − m + m − m = 1 +
2
2

⇒ I =π

⇒I=
=

2
j

2
H

2
j

mi2 + m 2j − mH2
2mi
E2
E22 − m 2j + mH2

=

E22 − m 2j + mH2 + E2
E22 − m 2j + mH2

E22 − m 2j
E22 − m 2j + mH2 + E2

E2 =

mi2 + m 2j − mH2
2 mi

1
π
4
4
4
2 2

2
2
2 2 2
m
+
m
+
m
−
2
m
m
−
2
m
m
−
2
m
m
{ i H j i j H j i H}
2mi2

1
π
4
4
4
2 2
2

2
2 2
2
m
+
m
+
m
−
2
m
m
−
2
m
m
−
2
m
m
Hk
j
i
j
Hk
j
i
Hk }
2 { i
2mi

1

2
4
2
2
Đặt: λ (mq2%, mq2% , mHk
) = { mi4 + mHk
+ m 4j − 2mi2 m 2j − 2mHk
m 2j − 2mi2 mHk
}2
i

j

2

Từ đó ta tính được độ rộng phân rã là: Γ =

Nông Thị Lệ Mai

19

2
(Gkα )ij λ ( mq2%i , mq2%j , mHk

16mi3π

K34B-Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội

CHƯƠNG 2
TÁN XẠ ĐÀN HỒI VÀ TÁN XẠ KHÔNG ĐÀN HỒI
2.1.Biên độ tán xạ lepton-hạt nhân:
Sau đây là phương pháp tổng quát tính tiết diện tán xạ trong lý thuyết
trường và áp dụng trong lý thuyết hợp nhất điện từ- yếu mà tác giả đã sử dụng
trong các công trình trước đây. Biên độ tán xạ lepton-hạt nhân có dạng:
M fi =

4πα
u ′γ a J Fα ( Q ) + λ u ′γ a ( gV + g Aγ 5 ) uJ Zα ( Q ) 
2 

Q

(2.1)

Trong đó J αF (Q) và J αz (Q) là các dòng điện từ và dòng yếu của hạt nhân,
Q= K − K ′ =( ω ,q) là xung lượng truyền,K=( ε ,k) và K ′ =( ε ′ , k ′ ) là các xung
lượng 4 chiều của lepton trước và sau tán xạ, m z là khối lượng của boson Z 0
và

Nông Thị Lệ Mai

20

K34B-Vật Lý


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội
g 2Q 2

λ =−

16πα( m z2 − Q 2 ) cos 2 θw

′

(2.2)

g là hằng số tương tác yếu còn θ w là góc Weinberg.
Ta sẽ xét trường hợp đủ cao, từ hàng GeV trở lên, và bỏ qua khối lượng
electron so với năng lượng của nó. Tiết diện tán xạ của quá trình có dạng :
2
4me2ε ′ −−−
σ=
M fi
∑
ηε if

(2.3)

−−−

Trong đó kí hiệu

∑
if

chỉ lấy trung bình theo các định hướng ban đầu và

tổng theo các định hướng cuối, η là thừa số giật lùi.
Ở năng lượng cao, phân cực của electron là dọc và đặc trưng bằng hình
chiếu của vectơ phân cực lên phương chuyển động ξ = ξ .k/k và ξ ′ = ξ ′. k/k.
về định hướng của hạt nhân, ta xét trường hợp đối xứng trục và khi đó trạng
thái định hướng có thể biểu thị bằng các tham số Fano α v :

αν =

1
J −M
( −1) pM CνJMJ0 − M
∑
2J + 1 M

(2.4)

ở đây p M là trọng thống kê của trạng thái hạt nhân có hình chiếu spin M,Các
JM

lượng C J M J M là các hệ số Clebsch-Gordan.
1

1 2

2

Trong [ 21] dòng điện từ của hạt nhân được khai triển thành các thành đa
cực như sau:

ρ F ( q ) = ∑ 4π ( 2 L + 1) D0Lm* ( γ , β ,0 ) FLmC ( q )
Lmp

J F ( q ) = ∑ 4π ( 2 L + 1) D

L*
0m

Lmp

( γ , β ,0 ) F ( q ) e
P
Lm

*
p

(2.5)

Trong khai triển ta đã dung hệ tọa độ trong đó xung lượng truyền q
hướng dọc theo trục Z và e p (p=0, ± 1) là các vectơ đơn vị của chu trình trong
L
hệ đó, D pm ( γ , β ,0) là các hàm wigner trong đó các góc λ và β biểu thị

Nông Thị Lệ Mai

21

K34B-Vật Lý