xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian

A. Mở ĐầU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không
gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, ngời ta cho rằng đó là
môn học về " Hình và Số" theo quan điểm chính thống, nó là môn học
nghiên cứu về các cấu trúc trừu tợng định nghĩa từ các tiền đề, bằng cách
sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của
nó đợc miêu tả trong tiết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong
nhiều khoa học, toán học đợc mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Hình học là một phần của toán học, hình học là ngành toán học
nghiên cứu liên hệ không gian. Trong hình học ngời ta chia ra nhiều
nhánh khác nhau trong đó có hình học vi phân.
Hình học vi phân là một nhánh của hình học sử dụng các công cụ
và phơng pháp của phép tính vi phân và tích phân cũng nh đại số tuyến
tính và đại số đa tuyến tính để nghiên cứu các vấn đề của hình học.
Hình học vi phân đợc phát triển mạnh mẽ từ đầu thế kỷ XIX. Gauss
là một trong những nhà toán học tiên phong trong lĩnh vực này. Cuối thế
kỷ XIX tất cả những nghiên cứu đợc tập hợp và hệ thống hoá lại bởi các
nhà toán học Jran Gastan Dar boux và Luigi Bian chi.
Lý thuyết về các đờng cong trong mặt phẳng không gian cũng nh
về các mặt cong trong không gian Euclid ba chiều đã trở thành cơ sở cho
sự phát triển hình học vi phân. Việc xây dựng hệ thống bài tập của môn
học này sẽ giúp em hiểu rõ hơn bản chất của hình học vi phân.
Trong khuôn khổ có hạn của một khóa luận tốt nghiệp, em chỉ
dừng lại ở việc "Xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số
trong không gian E 3 ".
2. Mục đích nghiên cứu
1


Đề tài nghiên cứu việc xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết

mảnh tham số trong không gian E 3 . Trên cơ sở đó xây dựng đợc hệ
thống bài tập một cách khoa học, rõ ràng và chính xác qua đó thấy đợc ý
nghĩa của việc học tập môn học này, hiểu sâu và nắm vững kiến thức của
nh lý thuyết trong quá trình giải bài tập.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
a. Trình những lý thuyết cơ sở về lý thuyết mảnh tham số.
b. Trình bày những ví dụ dể hiểu lý thuyết.
c. Trình bày hệ thống các bài tập từ dễ đến khó về lý thuyết mảnh
tham số trong không gian E 3 .
4. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu
- Về khách thể nghiên cứu: Do trong khuôn của một khóa luận cho
phép em chỉ nghiên cứu lý thuyết và bài tập cho lý thuyết mảnh tham số
trong không gian E 3 .
- Về đối tợng nghiên cứu
+ Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh thanh số trong không
gian E 3 .
+ Nghiên cứu hệ thống bài tập từ dễ đến khó lý thuyết trên.
5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài "Xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số
trong không gian E 3 " giúp em hiểu thêm về hình học vi phân và biết
cách áp dụng giải bài tập và có cái nhìn đúng đắn về môn học này.
6. Phơng pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu sách giáo trình, tài liệu tham số và các tạp chí toán
học, các bài giảng chuyên đề, các giáo trình hình học, các tài liệu liên
quan tới nội dung nghiên cứu, kiến thức thực hành và đặc biệt là sự nhiệt
tình giúp đỡ và góp ý của thầy giảng viên hớng dẫn.
b. nội dung
2

Chơng 1: các kiến thức chuẩn bị.
1.đại cơng lý thuyết mảnh tham số trong không
gian e3.
1.1.định nghĩa mảnh tham số trong không gian e 3.
Giả sử U là một tập mở khác của R2, ánh xạ r từ tập mở U vào
không gian Euclid 3 chiều E3 :
r : U E3
(u,v) a r(u,v)
là một mảnh tham số trong E3 ( r : khả vi đến lớp cần thiết )
tập U gọi là miền tham số hay miền xác định của mảnh.
1.2. định nghĩa đờng toạ độ, trờng véc tơ tiếp xúc.
Với mỗi điểm (u0,v0) U thì các tập hợp A = { u | (u, v0 ) U } ,
B = { v | (u0 , v) U } là những tập mở của R. do đó ánh xạ :

r1 : A E3
u a r1(u) = r(u,v0)
r1 : B E3
v a r2(v) = r(u0,v)
là những cung tham số của E3, cung tham số u a r(u,v0) trong E3 ( u thay
đổi một khoảng J R nào đó, u0 J) gọi là đờng toạ độ v = v0; cungtham
số v a r2(v) = r(u0,v) trong E3 gọi là đờng toạ độ u = u0.theo định nghĩa
đạo hàm thì ru : u ru(u, v0 ) là một trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung
r1 ; v rv(u0 , v ) là một trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r2.

1.3 định nghĩa điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh tham số chính quy.
Cho mảnh tham số :

3

r : U E3
(u,v) a r(u,v)
điểm (u0,v0) U ( hay điểm r(u0,v0) E3) gọi là điểm chính quy của r
nếu hai véc tơ ru(u0 , v0 ) và rv(u0 , v0 ) độc lập tuyến tính. điểm không
chính quy của r gọi là điểm kì dị của r. nếu mọi điểm của U đều là điểm
chính quy thì r gọi là mảnh chính quy.
1.4 định nghĩa tiếp diện của mảnh tham số r tại điểm, phơng trình tiếp
diện của r tại điểm, pháp tuyến của mảnh.
Tại điểm chính quy (u0,v0) của mảnh tham số r, gọi 2 - phẳng trong


E3 đi qua r(u0,v0) với không gian véc tơ chỉ phơng ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 ) là

mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của r tại điểm ( u 0,v0) ; đờng thẳng qua
r(u0,v0) thẳng góc với tiết diện tại (u0,v0) là pháp tuyến của r tại (u0,v0).
Trong toạ độ afin ( x,y, z) của E3 viết :
r( u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)).
(trong đó (u,v) a x(u,v), y(u,v), z(u,v) là những hàm số trên U) thì phơng trình tiếp diện của r tại (u0,v0) là :

X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 )
xu (u0 , v0 )
yu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) = 0 .
xv (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 )
Và khi toạ độ đó là descartes vuông góc thì phơng pháp tuyến của r tại
(u0,v0) là :
X x(u0 , v0 )
Y y (u0 , v0 )

Z z (u0 , v0 )
=
=
yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 )
xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 )

1.5 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.

4


Cho hai mảnh tham số trong E3 :
r : U E3 và r% : U% E 3
Nếu có một vi phôi :U U% ( là một ánh xạ đồng phôi khả vi
và ánh xạ ngợc 1 :U% U cũng khả vi) sao cho r = r%. thì ta nói r tơng đơng với r% và gọi là một phép tham số giữa U và U% ( hay từ r sang r% ).
nếu có phép đổi tham số nh trên thì từ U% = (U ) , r = r% o ta có
r (U ) = r% (U% ).

sơ đồ:



U

U%

r

r%
r (U ) r% (U% )

Giả sử r : U E 3
(u,v) a r(u,v)
Ta đặt (u, v) = (u% (u, v), v%(u, v)) U% thì u% : U R , v% : U R là hai
hàm khả vi và định thức :
u%
u
=
v%
u

u%
v
0
v%
v

Nếu > 0 tại mọi (u,v) U ta nói r tơng đơng bảo hớng với r% .
Nếu < 0 tại mọi (u,v) U ta nói r tơng đơng đảo hớng với r% .
* Ta suy ra các tính chất từ hai mảnh tham số tơng đơng :
1. Quan hệ tơng đơng giữa các mảnh tham số trong E3 là quan hệ tơng
đơng theo nghĩa thông thờng.

5

2. Mỗi lớp tơng đơng gọi là một mảnh. Vậy để cho một mảnh ta chỉ
cần cho một mảnh tham số đại diện cho nó trong E 3 và r gọi là một tham
số hoá của mảnh.
3. Quan hệ tơng đơng bảo tồn hớng giữa các mảnh tham số trong E 3
(định thức > 0 ) cũng là quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng.
4. Mỗi lớp tơng đơng theo quan hệ ấy gọi là một mảnh định hớng. để
cho một mảnh định hớng ta cũng chỉ cần cho một mảnh tham số đại diện
cho nó.
1.6 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.
2
Cho U là một tập mở trong mặt phẳng R = {( xi , x j ), i j} . Giả sử

trong E3 cho một hệ toạ độ afin dạng (x1, x2, x3). Khi đó mảnh tham số :
r : U E3 có biểu thức dạng r ( xi , x j ) = ( f1 ( xi , x j ),......, xi ,......, f 3 ( xi , x j )) nghĩa
là r ( xi , x j ) = ( f1 ( xi , x j ),......., f 3 ( xi , x j )) trong đó fi ( xi , x j ) = xi , f j ( xi , x j ) = x j , đợc gọi là một mảnh tham số kiểu đồ thị ( hai toạ độ x i, x j đợc lấy làm hai
tham số).
1.7 : Ví dụ cho phần lý thuyết ( các hệ toạ độ trong E 3 dùng ở đây đều
là hệ toạ độ trực chuẩn):
ur

ur

Ví dụ 1.1: trong không gian E3 cho 2 vectơ và , điểm O E3,
ánh xạ
r : R2 E3
ur

ur

(u,v) a r(u,v) = O + u. + v.

là một mảnh tham số.
ur ur

Khi hệ vectơ { , } độc lập tuyến tính thì r là một mảnh tham số
chính quy và ảnh của r là một 2 - phẳng trong E3.
ur ur

Khi hệ vectơ { , } phụ thuộc tuyến tính thì mọi điểm cua mảnh
đều là điểm kì dị.

6


Ví dụ 1.2 : ánh xạ r : R 2 E 3
(u,v) a r (u,v) = (a.cos u, b.sin u, v) ( a > 0, b > 0 ).
Là một mảnh tham số chính quy, ảnh của nó là mặt trụ eliptic
x2 y 2
x2 y 2
=
v
+
=
1
{
+
= 1, z = v0 } .
.
Cung
toạ
độ

v
có
ảnh
là
vĩ
tuyến
elip
0
a 2 b2
a 2 b2

Cung

toạ

độ

u = u0

có

ảnh

là

kinh

tuyến

thẳng

{x = a.cos u0 , y = b.sin u0 , z = v} .

Ví dụ 1.3 : ánh xạ :
r : R 2 E 3 , (u,v) a (a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a sin v) ( a > 0 ) là
một mảnh tham số tại các điểm (u,v) mà u


+ k . ảnh của nó là mặt
2

cầu tâm O bán kính a. cung toạ độ r1 (v = v0 ) có ảnh là kinh tuyến tròn lớn
{x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , y = (tan v0 ) x} trừ đi cực bắc (0, 0 ,1) và cực nam (0 , 0 ,-1).

Cung

toạ

độ

r2 (u = u0 )

có

ảnh

là

vĩ

tuyến

tròn

{x 2 + y 2 = a.cos 2 u0 , z = a.sin u0 }.

Ví dụ 1.4 : cho ánh xạ :
r : R 2 E 3 , (u,v) a ( u, v, u 2 + v 2 ) là mảnh tham số chính quy.
ảnh của nó là mặt parabolôit tròn xoay z = x 2 + y 2 . Cung toạ độ v = v0 có
ảnh là parabol { y = v0 , z = x 2 + v0 2 } . Cung toạ độ u = u0 có ảnh là parabol
{ x = u 0 , z = y 2 + u0 2 } .

Vì ru(u0 , v0 ) = (1, 0, 2u0 ) và rv(u0 , v0 ) = (0,1, 2v0 ) nên pháp vectơ của
mảnh tại p = r (u0 , v0 ) có thể lấy là:
r ur
ur
n = ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) = (2u0 , 2v0 ,1).

Vậy tiếp diện của mảnh tại p có phơng trình :
2u0 ( x u0 ) + 2v0 ( y v0 ) ( z u0 2 v0 2 ) = 0 .

7


Hay là 2u0 x + 2v0 y z (u02 + v0 2 ) = 0.
Pháp tuyến l của mảnh tại p có phơng trình :
x u0 y v0 z (u02 + v02 )
=
=
.

2u0
2v0
1

Ví dụ 1.5 : Mảnh tham số r : R 2 E 3 , (x, y) a r ( x, y ) = ( x, y, ax 2 + by 2 + c)
là một mảnh tham số kiểu đồ thị. ảnh r ( R 2 ) là mặt phẳng.

8


Chơng 2: hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh
tham số trong không gian E3.
Dạng 1: Viết phơng trình tham số của các mặt trong không gian E3.
Bài 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) của các mặt
tròn xoay sau đây trong E3:
a) Mặt elipxôit tròn xoay.
b) Mặt hypebôlôit một tầng tròn xoay.
c) Mặt hypebôlôit hai tầng tròn xoay.
d) Mặt parabôlôit tròn xoay.
Bài giải:
a) Phơng trình tổng quát của mặt elipxôit tròn xoay quanh truc oz
là :
x2 y2 z 2
+
+ =1
a 2 b2 c 2

(1)

tham số hoá phơng trình (1) bằng cách đặt :

x = x ( u , v ) = a.cos u.cos v , y = y ( u , v ) = a.cos u.sin v , z = z ( u, v ) = a.sin u

khi đó phơng trình tham số hoá của mặt bậc hai là :
r (u , v) = ( a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, c.sin u ) .

b) Phơng trình tổng quát của mặt hypebôlôit một tầng tròn xoay
quanh trục Oz là :
x2 y 2 z 2
+
=1
a 2 b2 c 2

tham số hoá phơng trình (2) bằng cách đặt :
eu e u
x = x ( u , v ) = a.
2


ữ.cos v = a.shu.cos v


eu e u
y = y ( u , v ) = a.
ữ.sin v = a.shu.sin v
2

9

(2)

eu e u
z = z ( u, v ) = c.
2


ữ = c.shu


khi đó phơng trình tham số của mặt bậc hai là :
r (u , v) = ( a.shu.cos v, a.shu.sin v, c.shu )

c) Phơng trình tổng quát của mặt hypebôlôit hai tầng tròn xoay quanh
trục Oz là :
z2
x2 y 2

(
+ ) =1
c2
a2 a2

(3)

tham số hoá phơng trình (3) bằng cách đặt :
eu e u
x = x ( u , v ) = a.
ữ.cos v = a.shu.cos v
2
eu e u

y = y ( u , v ) = a.
2


ữ.sin v = a.shu.sin v


eu e u
z = z ( u, v ) = c.
ữ = c.shu
2

khi đó phơng trình tham số của mặt bậc hai là :
r (u , v) = ( a.shu.cos v, a.shu.sin v, c.shu )

d) Phơng trình tổng quát của mặt parabôlôit tròn xoay quay quanh trục
Oz là :
z=

x2 y2
+
a2 a2

(4)

tham số hoá phơng trình (4) bằng cách đặt :
x = x ( u , v ) = a.v.cos u , y = y ( u , v ) = a.v.sin u

khi đó:

z = z ( u, v ) =

a 2 .v 2 .cos2 u a 2 .v 2 .sin 2 u
+
= v2
a2
a2

phơng trình tham số của mặt parabôlôit tròn xoay là :
r ( u, v ) = ( a.v.cos u, a.v.sin u, v 2 ) .

10


Bài 1.2 : Trong E 3 cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz, một đờng cong nằm trong mặt phẳng Oxy và thuộc về một phía của trục Ox.
Giả sử khi quay quanh Oz thì quét thành một mặt tròn xoay (S).
a) Cho biết phơng trình tổng quát của , hãy viết phơng trình tổng
quát của (S)
b) Cho biết phơng trình tham số của , hãy viết phơng trình tham
số của (S).
Bài giải:
Giả sử nằm về phía x 0 thì phơng trình tổng quát của có dạng:
F ( x, y, z ) = 0

y = 0 ( x 0 )

hình vẽ :


z

I
M ( x, y , z )

M0

X

O

y

Y
M1

x

M2

điểm M ( x, y, z ) S khi và chỉ khi có điểm M 0 ( x, 0, z ) quay quanh Oz
tạo thành, tức là khi và chỉ khi có điểm M 0 mà M 0 và M nằm trên
một mặt phẳng song song với Oxy, cắt Oz tại điểm I ( 0, 0, z ) mà
IM = IM 0 . điều này có nghĩa là có điểm M 0 ( x, 0, z ) sao cho :

11


F ( x, 0, z ) = 0

z=Z
( để M 0 , M , M 0 và IM 2 = IM 0 2 )

x2 = X 2 + Y 2


vậy phơng trình của S là : F

(

)

X 2 + Y 2 , 0, Z = 0 .

Nếu nằm về phía x 0 thì phơng trình của (S) là :

)

(

F X 2 + Y 2 , 0, Z = 0 .

b) Giả sử có phơng trình tham số ( t ) = ( x ( t ) , 0, z ( t ) ) với x ( t ) 0 , gọi
M 2 là hình chiếu vuông góc của M 0 lên trục Ox, gọi M 1 là hình chiếu

của M lên trục Oy thì OM 1 = OM 2 = x ( t ) .
uur uuuur

Đặt u = ( Ox, OM ) thì X = OM 1.cos u , Y = OM 1.sin u , Z = z ( t ) . Do đó
M S khi và chỉ khi : X = x ( t ) .cos u, Y = x ( t ) .sin u, Z = z ( t )

( 0 u 2 ) .

Vậy phơng trình tham số của (S) là :
r ( u, t ) = ( x ( t ) .cos u , x ( t ) .sin u , z ( t ) )

( 0 u 2 ) .

Bài 1.3 : Trong mặt phẳng E 3 cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz.
Viết phơng trình tham số của mặt tròn xoay S trục quay Oz, do đờng
sau đây quay quanh Oz tạo thành :


a) Đờng dây xích ( u ) = a.ch , 0, u ữ
u
a











b) Đờng truy tích ( u ) = a.sin u, 0, a. ln tan + cos u ữữ
2
u

c) Đờng tròn không cắt Oz ( u ) = ( a + b.cos u, 0, b.sin u ) (0 < b < a)
Bài giải
áp dụng câu b) bài 1.2 ta có:
a) S có phơng trình tham số :
u
u


r ( u, t ) = a.ch .cos t , a.ch .sin t , u ữ ( 0 u 2 ) .
a
a



12


mặt S gọi là mặt catênôit.
b) Mặt S có phơng trình tham số :

u


r ( u, t ) = a.sin u.cos t , a.sin u.sin t , a. tan + cos u ữữ
2

mặt (S) đợc gọi là mặt giả cầu.
c) Mặt (S) có phơng trình tham số :
r ( u, t ) = ( ( a + b.cos u ) .cos t , ( a + b.cos u ) .sin t , b.sin u )

( 0 u 2 )

mặt (S) gọi là mặt xuyến.
Bài 1.4 : Giả sử S là một mặt trong E 3 tạo bởi một đờng thẳng vừa
quay xung quanh trục Oz vừa tịnh tiến theo phơng trục Oz của hệ toạ độ
đề các vuông góc Oxyz. Viết phơng trình tham số của mặt S trong những
trờng hợp sau :
a) Tốc độ quay là , tốc độ tịnh tiến là k . ( k > 0 ) , đờng thẳng
cắt vuông góc với trục Oz. Mặt S tạo thành gọi là mặt đinh ốc ( tổng
quát).
b) Tốc độ quay là , tốc độ tịnh tiến là k . ( k > 0 ) , đờng thẳng
cắt vuông góc với trục Oz. Mặt S tạo thành gọi là mặt đinh ốc đứng.
c) Tốc độ quay là , quãng đờng tịnh tiến là một hàm của góc
quay, đờng thẳng cắt vuông góc với trục Oz. mặt S tạo thành gọi là mặt
cônôit đứng.
Bài giải :
a) Gọi u là góc quay đợc sau một thời gian t và gọi v là quãng đờng tịnh tiến đợc sau thời gian t thì u = .t , v = ( k . ) t . do đó s = k .u , ta
xem u là góc định hớng thì u, s R .
Giả sử đờng thẳng có phơng trình tham số :
x = x ( v ) = x0 + a.v , y = y ( v ) = y0 + b.v , z = z ( v ) = z0 + c.v
*
điểm M(x, y, z) sau thời gian t quay thành M ( X , Y , Z ) thoả mãn :

13


X = x.cos u y.sin u , Y = x.sin u + y.cos u , Z = z

cũng sau thời gian t điểm M * phảI tịnh tiến thành điểm M ( X , Y , Z + k .u )
quỹ tích các điểm M là mặt S nên phơng trình của mặt S là :
r ( u, v ) = ( x ( v ) .cos u y ( v ) .sin u , s ( v ) .sin u + y ( v ) .cos u, z ( v ) + k .u )

b) Giả sử cắt vuông góc với trục Oz tại O và đặt trong mặt
phẳng Oxz thì phơng trình tham số của có dạng : x = v, y = 0, z = 0
do đó phơng trình của mặt S là :
r ( u, v ) = ( v.cos u , v.sin u , k .u ) .

c) Ta vẫn giả sử cắt vuông góc với trục Oz và đặt trong mặt
phẳng Oxz thì phơng trình tham số của có dạng : x = v, y = 0, z = 0
do đó phơng trình tham số hoá của S là :
r ( u, v ) = ( v.cos u , v.sin u , ( u ) ) .

Dạng 2 : xác định ảnh của các mảnh tham số có phơng trình cho trớc.
Bài 1.5 : Xác định ảnh của các mảnh tham số : r : U E 3 , ( u, v ) a r ( u , v )
có phơng trình tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz nh sau:
2
2
a) r ( u, v ) = ( u , u.v, v )

b) r(u,v) = ( u + v, u v.u.v )
c) r ( u, v ) = ( u + sin v, u + cos v, u + a ) (a = const )
d) r ( u, v ) = ( x0 + a.cos u.cos v, y0 + b.cos u.sin v, z0 + c.sin u )

( x0 , y0 , z0 , a, b, c là hằng số , abc 0 )

e) r ( u, v ) =

u
v
1
, 2 2 , 2 2 ữ ( với u 2 + v 2 0 ).
2
u +v u +v u +v
2

uv + 1 u v uv 1
, b.
, c.
g) r ( u, v ) = a.
ữ ( với abc 0, u + v 0 ).


u+v

u v

u+v

Bài giải :

14

a) Trớc hết ta tiến hành khử u và v :
từ x = u 2 , y = u.v, z = v 2 ta có : y 2 = x.z với x 0 , z 0 , vì y 2 = x.z là phơng
trình thuần nhất bậc hai nên nó xác định một mặt nón (S) đỉnh O. vậy
ảnh r ( U ) nằm trên mặt nón (S).
Ngợc lại, cho điểm M ( x, y, z ) ( S ) thoả mãn x 0, y 0 thì có :
2
2 2
u = x , v = z để x = u 2 , z = v 2 , y = u .v hay là x = u 2 , z = v 2 , y = u.v , suy

ra phần của mặt nón (S) thoả mãn x 0, z 0 nằm trong ảnh r ( U ) .
Vậy ảnh r ( U ) là phần mặt nón (S) : y 2 = x.z với x 0, z 0 .
b) Ta khử tham số u và v :
1
1
từ x = u + v , y = u v , z = u.v ta có : u = .( x + y ) , v = . ( x y ) , u.v = z do đó
2

z=

2

1 2
x y 2 ) suy ra ảnh r ( U ) nằm trên mặt yên ngựa (S) có phơng trình
(
4

1
z = . ( x 2 y 2 ) . Ngợc lại , cho điểm
4

M ( x, y , z ) ( S )

1
2

, u = .( x + y ) ,

1
1
1
2
2
v = . ( x y ) thì x = u + v , y = u v , z = . ( x 2 y 2 ) = . ( u + v ) ( u v ) do


2
4
4
1
đó z = u.v . Suy ra ( S ) r ( U ) . Vậy r ( U ) là mặt yên ngựa z = . ( x 2 y 2 ) .
4

c) Ta tiến hành khử u và v :
x = u + sin v

Ta có : y = u + cos v hay là
z =u+a


Đổi

( x z + a)

toạ

độ

2

x = ( z a ) + sin v
x z + a = sin v

y = ( z a ) + cos v
y z + a = cos v

z =u+a


( y z + a ) = sin 2 v + cos 2 v = 1 .

( x, y , z )

2

sang

toạ

độ

( X ,Y , Z )

bởi

:

X = x z + a, Y = y z + a, Z = z ta đợc X 2 + Y 2 = 1 . Suy ra r ( U ) nằm trên mặt

15


trụ eliptic (S) có phơng trình : ( x z + a ) ( y z + a ) = 1 (tức là X 2 + Y 2 = 1
2

2

).
Ngợc lại, cho điểm M ( x, y, z ) ( S ) thì có v để x z + a = sin v ,
y z + a = cos v , lấy u = z a . Khi đó x = u + sin v, y = u + cos v, z = u + a , suy ra

(S) nằm trong ảnh r(U).
Vậy r(U) là mặt trụ eliptic ( x z + a ) + ( y z + a ) = 1
2

2

d) Ta tiến hành khử u và v :
ta có : x = x0 + a.cos u.cos v , y = y0 + b.cos u.sin v , z = z0 + c.sin u

hay là

x x0
y y0
z z0
= cos u.cos v ,
= cos u.sin v ,
= sin u do đó :
a
b
c
( x x0 ) 2 ( y y0 )
( z z0 ) = sin 2 u suy ra :
+
= cos 2 u ,
2
2
a
b
c2
2

2

( x x0 ) 2 ( y y0 )
( z z0 ) = 1 (S)
+
+
a2
b2

c2
2

2

vậy r ( U ) nằm trên elipxôit (S)
Ngợc lại, cho điểm M ( x, y, z ) ( S ) thì
2

z z0
1 nên tồn tại u để
c

2

z z0
x x0 y y0
2
= sin u . Suy ra
ữ +
ữ = cos u . Nếu cos u 0 ta có
c
a b
2

2

x x0
y y0
x x0 y y0

ữ +
ữ = 1 , do đó có v để a.cos u = cos v, a.cos u = sin v và ta
a.cos u b.cos u

đợc :
x = x0 + a.cos u.cos v

y = y0 + b.cos u.sin v nghĩa là điểm M r ( U ) .
z = z + c.sin u
0

x x0
y y0
= 0,
= 0 hay x = x0 , y = y0 và ta vẫn viết
Nếu cosu = 0 thì
a

b

đợc :
16


x = x0 + a.cos u.cos v

y = y0 + b.cos u.sin v
z = z + c.sin u
0

nghĩa là vẫn có điểm M r ( U ) .

Nh thế ( S ) r ( U ) kết hợp hai phần thuận và đảo ta đợc r ( U ) là
elipxôit nói trên.
e) Trớc hết tiến hành khử tham số u và v.
Ta có : x =

u
v
1
y= 2 2 , z= 2 2 >0
2 ,
u +v
u +v
u +v
2

nên dễ kiểm tra thấy rằng x 2 + y 2 = z > 0 . Suy ra r(V) nằm trên mặt
parabôlôit tròn xoay (S) có phơng trình z = x 2 + y 2 bỏ đi điểm O(0, 0, 0),
điểm này là đỉnh của (S).
Ngợc lại, cho điểm M ( x, y, z ) ( S ) mà M 0 khi đó z 0 ( vì z = 0
x 2 + y 2 = 0 x = 0, y = 0 ).
x
z

y
z

lấy u = , v = . Khi đó từ z = x 2 + y 2 dễ dàng kiểm tra thấy rằng :
u

x= 2 2

u +v

v

y= 2 2

u +v

1

2
2
z = x + y = u 2 + v2


Suy ra M r ( U ) . Vậy r ( U ) là mặt parabôlôit tròn xoay z = x 2 + y 2
bỏ đI điểm O(0,0,0).
g) Khử tham số u và v ta có :
x = a.

( u.v + 1) , y = b. ( u v ) , z = c. u.v 1
u+v

u+v

u+v

17

hay là :


2

2

4.u.v
x u.v + 1 y u v
z u.v 1
x z
=
, =
, =
. Ta nhận thấy rằng ữ ữ =
2
a u+v b u+v
c u+v
a c ( u + v)

( u v ) + 4.u.v
và
2
2
( u + v) ( u + v)
2

=

u 2 + v 2 + 2.u.v

( u + v)

2

2

2

2

x
y
z
= 1 do đó ữ + ữ ữ = 1 (S)
a b c

suy ra r ( U ) nằm trên hypebôlôit một tầng (S).
Ngợc lại, cho điểm M ( x, y, z ) ( S ) . Ta tìm u,v sao cho : x = a.
y = b.

u.v + 1
,
u+v

uv

u.v 1
x u.v + 1
y uv
, z = c.
tức là sao cho =
(1) , =
(2) ,
u+v
u+v
a u+v
b u+v

z u.v 1
=
(3). Rõ dàng cần có điều kiện u + v 0 .
c u+v

Xem u.v và u + v là hai ẩn thì từ (1) và (3) suy ra :
x
a . ( u + v ) u.v = 1
x z
ữ. ( u + v ) = 2 do đó để có u + v thì phải

a c
z . ( u + v ) + u.v = 1
c

có điều kiện c.x a.z 0 và khi đó u + v =
đợc u v =

2.a.c
(4). Thay (4) vào (2) ta
cx a.z

2ac y
.
ữ (5). Từ (4) và (5) rõ ràng luôn tìm đợc u,v với
b cx az

điều kiện c.x a.z 0 và u,v này thoả mãn (1), (2) và (3).
Suy ra điểm M ( x, y, z ) của (S) thuộc vào r(U) khi và chỉ khi
c.x a.z 0 .

Vậy r(U) là mặt hypebôlôit một tầng (S) bỏ đi các điểm nằm trên
mặt phẳng (P) : c.x a.z = 0 , tức là mặt phẳng

x z
x z
= . Thay = vào pha c
a c

ơng trình của (S) ta đợc y 2 = b 2 . Do đó ( P ) ( S ) là hai đờng sinh thẳng:

18


cx az = 0
y=b

( 1 ) :

và

cx az = 0
y = b

( 2 ) :

Vậy r ( U ) = ( S ) \ ( 1 ) ( 2 ) .
Bài 1.6 : Cho tập mở liên thông cung V của R 2 và mảnh tham số chính
quy r : V E 3 .chứng minh rằng nếu mọi pháp tuyến của mảnh đều đi
qua một điểm cố định C thì ảnh của r(V) của mảnh nằm trên một mặt cầu
tâm C.
Bài giải :
Lấy một điểm cố định M = r ( u0 , v0 ) r ( V ) và xét điểm bất kì
M = r ( u, v ) r ( V ) .

Vì U liên thông nên có cung chính quy : [ 0,1] V sao cho
( 0 ) = ( u0 , v0 ) , ( 1) = ( u, v ) . Khi đó r.p: [ 0,1] r ( V ) là một cung tham số

chính quy trên r(V). vectơ tiếp xúc ( r o ) ( t ) của cung r o cũng là vectơ
tiếp xúc của mảnh r . theo giả thiết, pháp tuyến của mảnh đi qua điểm cố
định C nên pháp tuyến tại điểm ( r o ) ( t ) là đờng thẳng nối C với
uuuuuuuuur

( r o ) ( t ) , có vectơ chỉ phơng C ( r o ) ( t ) . Suy ra :
uuuuuuuuur
uuuuuuuuur
uuuuuur uuuur
uuuur2

C ( r o ) ( t ) C ( r o ) ( t ) hay ( r o ) . r o = 0 r o = 0

(

)

(

)

uuuuuuuuur
uuuur2
r o = const C ( r o ) ( t ) = const = a.

Suy ra mọi điểm M của r ( V ) đều nằm trên mặt cầu tâm C bán kính a.
Dạng 3 : bài toán liên quan tới mặt tịnh tiến.

19


uur

ur

ur

Bài 1.7 : Trong không gian E 3 , cho hai hàm vectơ : A : J E 3 , u a A ( u )
ur

uur

ur

ur

ur



và B : I E 3 , v a B ( v ) ; điểm O E 3 , Giả sử A ( u ) B ( v ) 0 . xét mảnh
ur

ur

tham số r ( u, v ) = O + A ( u ) + B ( v ) . ảnh của mảnh này gọi là mặt tịnh tiến.
a) Chứng minh rằng hai đờng toạ độ cùng họ của mặt tịnh tiến,
chẳng hạn đờng u = u1 và đờng u = u2 , là ảnh của nhau qua phép tịnh tiến.
b) Chứng minh rằng mặt parabôlôit eliptic hay mặt parabôlôit
hypebôlic là những mặt tịnh tiến.
c) Chứng minh rằng quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai
điểm bất kì nằm trên hai cung cho trớc trong E 3 nếu là một mặt thì nó là
mặt tịnh tiến.
Bài giải :
ur

ur

a) Đờng u = u1 có phơng trình tham số r ( u1 , v ) = O + A ( u1 ) + B ( v ) . đur

ur

ờng u = u2 có phơng trình tham số r ( u2 , v ) = O + A ( u2 ) + B ( v ) , vectơ nối hai
uuuur ur

ur

điểm M = r ( u1 , v ) và N = r ( u2 , v ) là MN = A ( u2 ) A ( u1 ) = const. do đó tịnh
ur

ur

tiến theo vectơ A ( u2 ) A ( u1 ) thì đơng toạ độ u = u1 biến thành đờng toạ độ
u = u2 .

b) Mặt parabôlôit eliptic hay mặt parabôlôit hypebôlic có phơng
trình dạng:


x2 y2
x2
y2
r ( x, y ) = x, y, 2 2 ữ = x, 0, 2 ữ 0, y, 2 ữ = A ( x ) + B ( y ) .
a
b
a
b



Suy ra mặt r ( x, y ) là mặt tịnh tiến.

ur

ur

c) Cho hai cung bất kì ( u ) = O + A ( u ) và ( v ) = O + B ( v ) . Với hai
điểm M = ( u ) và N = ( v ) của hai cung đó thì trung điểm I của đoạn

[ MN ] xác định bởi :
20


ur
ur
r
A( u ) B ( v)
1 ur
vậy quỹ tích điểm I nếu là
I = O + . ( u ) + (v ) = O +
+
2
2
2

một mặt thì nó là mặt tịnh tiến có phơng trình tham số dới dạng vectơ
ur
ur
A( u ) B ( v)
.
r ( u, v ) = O +
+

2
2

Bài 1.8 : Trong không gian E 3 cho mặt đinh ốc đứng có phơng trình
tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz :
r ( u, v ) = ( u.cos v, u.sin v, k .v )

Chứng

minh

( k = const )
rằng

với

một

a >0,

số

tập

điểm

P = { r ( u , v ) | a < u < a, v R} là một mặt tịnh tiến.

Bài giải :
Ta xét hai tập con của R 2 là :

U = { ( u, v ) | a < u < a, v R}

+


W = ( , ) | 0 <
<
2



Rõ ràng U là một tập mở, đó là một dải của mặt phẳng R 2 nằm
giữa hai đờng thẳng song song u = a và u = a ; còn W là một tập mở, đó
là giao của hai nửa mặt phẳng mở + > 0 và + < 2. .
Lập

ánh

xạ

:W U

theo

quy

tắc :

+

( , ) = ( u, v ) = a.cos
,
ữ
2
2


Ta chứng minh là một vi phôi :
* là đơn ánh. Thật vậy:
giả sử ( , ) = ( 1 , 1 ) thì cos
do đó

+
+ 1 1 1
= cos 1
,
=
2
2
2
2

+ 1 + 1
+ 1 + 1
1 1
=
,
< ) ,
=
( vì 0 <

hay là
2
2
2
2
2
2

+ = 1 + 1 , = 1 1 = 1 , = 1 .

21


* là toàn ánh. Thật vậy :

( + ) 0,
Cho ( u, v ) mà a < u < a thì tồn tại duy nhất giá trị
( )
2

sao cho

+
u

= arccos
= v . Do đó tồn tại
và
2
2

2

( , ) sao cho

( , ) = ( u, v ) .
+

,
* nhìn vào biểu thức ( , ) = a.cos
ữ ta thấy là ánh


2

2



xạ khả vi lớp C .
u
u


1
* biểu thức ( u, v ) = a.cos + v, arccos v ữ chứng tỏ rằng 1 là


2

2

ánh xạ khả vi lớp C .
Vậy là vi phôi, tức là phép đổi tham số của mảnh. Khi đó :
+

+


r ( ( , ) ) = a.cos
.cos
, a.cos
.sin
, k.
ữ
2
2
2
2
2

a

a
= . ( cos + cos ) , . ( sin sin ) , k.
ữ
2
2
2

1
k .
a
= .cos , .sin ,
2
2
2
ur
ur
= O + A( ) + B ( ) .

a
k .
a
ữ+ .cos , .sin ,
ữ
2
2
2

ur
a
k . ur
a
k
a
a
Trong đó A ( ) = .cos , .sin ,
ữ, B ( ) = .cos , .sin , . ữ
2

2

2

2

2



2

Suy ra r ( ( , ) ) có ảnh P là một mặt tịnh tiến.
Dạng 4 : bài toán liên quan đến điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh
chính quy.
ur

uur

Bài 1.9 : Cho cung chính quy : J E 3 và hàm vectơ A : J E 3 mà
ur
A ( u ) 0 với mọi u J . Giả sử V là một tập hợp của R 2 với mỗi u J thì

tập hợp I = { v | ( u, v ) V }

là một khoảng của R. xét r: V E 3 ,

22

ur
r ( u, v ) = ( u ) + v. A ( u ) . Tập r ( V ) đợc gọi là một mặt kẻ xác định bởi mảnh

tham số r. cung gọi là một đờng chuẩn của mặt kẻ r ( V ) . Mỗi đờng
ur

thẳng r ( u0 , v ) = ( u0 ) + v. A ( u0 ) gọi là một đờng sinh thẳng của mặt kẻ
r (V ) .

a) Chứng minh rằng điểm ( u, v ) là chính quy của r khi và chỉ khi
uur

uur

ur

hai vectơ ( u ) + v. A ( u ) và A ( u ) độc lập tuyến tính.
b) Khi r chính quy, mặt kẻ r ( V ) sẽ đợc gọi là một mặt kẻ khả triển
nếu dọc theo một đờng sinh thẳng bất kì các tiếp diện của r(V) trùng
nhau. Chứng minh rằng mặt kẻ r(V) là khả triển khi và chỉ khi r chính
ur

uur

quy và ( u ) , A ( u ) , A ( u ) phụ thuộc tuyến tính.
c) Mặt kẻ r(V) gọi là mặt trụ nếu các đờng sinh thẳng của nó song
ur

song với nhau. Chứng minh rằng r(V) là mặt trụ khi và chỉ khi A ( u ) và

uur
A ( u ) phụ thuộc tuyến tính.

d) Mặt kẻ r(V) gọi là mặt nón nếu các đờng sinh thẳng của nó nằm
trên những đờng thẳng đồng quy tại một điểm I nào đó. điểm I gọi là
đỉnh nón. Mặt kẻ r(V) gọi là mặt tiếp tuyến nếu các đờng sinh thẳng của
nó đều nằm trên những tiếp tuyến của đờng chuẩn.
Chứng minh rằng nếu r là một mảnh chính quy và r(V) là mặt trụ,
hay mặt nón, hay mặt tiếp tuyến thì r(V) là mặt khả triển.
e) Giả sử r(V) là mọt mặt khả triển mà không phải là mặt trụ và
uJ .

Chứng

minh

rằng

luôn

ur
uur
( u ) = ( u ) . A ( u ) + ( u ) . A ( u ) .

23

luôn

có

thể

viết


Chứng minh rằng nếu tại một lân cận J 0 của u0 ta có ( u ) = ( u )

( u J 0 ) thì có một lân cận P của r ( u0 , v0 ) trong

E 3 để P r ( V ) là một

mặt nón với mỗi v0 thoả mãn ( u0 , v0 ) V .
Chứng minh rằng nếu ( u0 ) ( u0 ) thì có một lân cận Q của
r ( u0 , v0 ) trong E 3 để Q r ( V ) là một mặt tiếp tuyến, với mỗi v0 thoả mãn

( u0 , v0 ) V .
Bài giải :
ur

ur

uur

ur ur

a) Từ r ( u, v ) = ( u ) + v. A ( u ) ta có ru = u + v. A ( u ) , rv = A ( u ) . Vậy
uur

ur

điểm ( u, v ) là chính quy khi và chỉ khi { u + v. A ( u ) , A ( u ) } độc lập tuyến
tính.
b) Đờng sinh thẳng của r(V) ứng với u = u0 xác định bởi ham số
ur

hoá r ( u0 , v ) = ( u0 ) + v. A ( u0 ) . Giả sử r chính quy thì tại mỗi điểm r(u,v)
đều tồn tại tiếp diện của r(V).
r

ur

ur

Pháp vectơ tiếp diện tại điểm r(u,v) là n ( u, v ) = ru ( u , v ) rv ( u , v ) . Do
đó dọc theo đờng sinh thẳng u = u0 , pháp vectơ của tiếp diện là:
r
ur
ur
uur
ur
n ( u0 , v ) = ru ( u0 , v ) rv ( u0 , v ) = ( u0 ) + v. A ( u0 ) A ( u0 )
ur
uur
ur
= ( u0 ) A ( u0 ) + v. A ( u0 ) A ( u0 )
uur
ur
r
r
d r

n ( u0 , v ) = A ( u0 ) A ( u0 ) . Khi r chính quy thì n ( u0 , v ) 0 ,
dv
r
v . Suy ra r(V) là mặt khả triển khi và chỉ khi n ( u0 , v ) có phơng không

Do đó

đổi,

hay

r
n ( u0 , v )

và

d r
n ( u0 , v )
dv

r
r
d r
n ( u0 , v ) n ( u 0 , v ) = 0 .
dv

24

phụ

thuộc

tuyến

tính

hay


Ta có
r
uur
ur
uur
ur
r
d r
n ( u0 , v ) n ( u0 , v ) = ( u0 ) A ( u0 ) A ( u0 ) A ( u0 ) = 0
dv
uur
ur
uur
ur
r
( u0 ) A ( u0 ) . A ( u0 ) . A ( u0 ) = 0


uur
ur
uur

( u0 ) A ( u0 ) . A ( u0 ) = 0

(

(

)

)

(

)

uur
ur
uur
( u0 ) , A ( u0 ) , A ( u0 ) phụ thuộc tuyến tính.

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
uur

c) r(V) là mặt trụ khi và chỉ khi A ( u ) có phơng không đổi. Vì
ur
r
uur
A ( u ) 0 , u nên A ( u ) có phơng không đổi khi và chỉ khi và chỉ khi
ur
uur
A ( u ) và A ( u ) phụ thuộc tuyến tính.

d) Giả sử r là mảnh chính quy. Nếu r(V) là mặt trụ thì theo câu c),
ur

uur

hai vectơ A ( u ) và A ( u ) phụ thuộc tuyến tính. Do đó ba vectơ ( u ) ,
ur
uur
A ( u ) , A ( u ) phụ thuộc tuyến tính. Suy ra r(V) là mặt khả triển.
ur
uur
Nếu r(V) là mặt nón thì có thể viết A ( u ) = I ( u ) với I là đỉnh nón.
uur

uur

ur

uur

Do đó A ( u ) = ( u ) . Rõ ràng khi đó { ( u ) = A ( u ) , A ( u ) , A ( u ) } phụ thuộc
tuyến tính. Suy ra r(V) là mặt khả triển.
ur

Nếu r(V) là mặt tiếp tuyến thì có thể viết A ( u ) = ( u ) . Khi đó hiển
ur

uur

nhiên hệ vectơ { ( u ) , A ( u ) , A ( u ) } phụ thuộc tuyến tính. Suy ra r(V) là
mặt khả triển.
ur

uur

e) Vì r(V) không phải là mặt trụ nên A ( u ) và A ( u ) độc lập tuyến
ur

uur

tính. Vì { ( u ) , A ( u ) , A ( u ) } phụ thuộc tuyến tính nên có thể khai triển
ur
uur
( u ) = ( u ) . A ( u ) + ( u ) . A ( u ) khi đó biến đổi
ur
ur
ur
r ( u, v ) = ( u ) + v. A ( u ) = ( u ) ( u ) . A ( u ) + ( v + ( u ) ) . A ( u )
25