Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử với toán tử khả vi và ứng dụng

BË GIÁO DƯC VÀ ĐÀO T„O
TRƯÍNG Đ„I HÅC SƯ PH„M HÀ NËI 2
———————————————

THÂN VĂN TÀI

NGHI›M NHỴT CÕA PHƯƠNG TRÌNH Đ„O HÀM RIÊNG
PHI TUY˜N ELLIPTIC F D2u(x), x = 0

LUŠN VĂN TH„C SĨ TỐN
HÅC Chun ngành: TỐN GIƒI
TÍCH
Mã sè: 60.46.01

Ngưíi hưỵng dăn khoa hồc: TS. TrƯn Vn Bơng

H Nởi - 2011


LÍI CƒM ƠN
Trưỵc tiên tơi xin gûi líi c£m ơn sõu sc tợi Tián s TrƯn Vn Bơng ngới thƯy ó hợng dăn, ch bÊo tên tỡnh cho tụi trong st q trình hồn
thành luªn văn này.
Tơi cũng xin đưđc gỷi lới cÊm n chõn thnh án cỏc thƯy, cụ cụng tỏc
v tham gia giÊng dÔy phũng Sau Ôi hồc trớng Ôi hồc S phÔm H
Nởi
2. Cỏc thƯy, cụ ó nhiằt tỡnh giÊng dÔy cng nh tÔo mồi iÃu kiằn thuên
lủi nhĐt cho tụi hon thnh khúa hồc tÔi trớng.
ỗng thới tụi xin ủc by tọ lũng biát n tợi tĐt cÊ bÔn bố, ỗng nghiằp
v ngới thõn ó đëng viên, giúp đï tơi trong st q trình håc têp v viát
luên vn.
Mc dự ó dnh nhiÃu thới gian nghiên cùu và tìm hiºu song b£n luªn

văn khơng tránh khọi nhỳng hÔn chá, thiáu sút. Vỡ vêy tụi rĐt mong nhên
ủc ý kián úng gúp cừa cỏc quý v đëc gi£ đº luªn văn này đưđc hồn
thi»n hơn.
Xin chân thành c£m ơn!

Hà nëi, ngày 10 tháng 12 năm 2011
Håc viên

Thân Văn Tài


LI CAM OAN
Qua quỏ trỡnh nghiờn cựu luên vn vợi à ti "Nghiằm nhợt cừa phng
trỡnh Ôo hm riờng phi tuy¸n Elliptic F D2 u(x), x = 0" đã giúp tụi hiu
sõu hn và bở mụn GiÊi tớch hiằn Ôi, c biằt và bở mụn phng trỡnh Ôo
hm riờng phi tuyán.
Tụi xin cam oan luên vn ủc hon thnh l do sü cè gng, né lüc tìm
hiºu và nghiên cùu cừa bÊn thõn dợi sỹ dợng dăn, ch bÊo nhiằt tỡnh cừa
thƯy giỏo: T.S TrƯn Vn Bơng cng nh cỏc th¦y, cơ trong tê Tốn
gi£i tích cõa trưíng ĐHSP Hà Nởi 2.
Tụi cng xin cam oan kát qừa cừa luên văn khơng trùng l°p vỵi các đ·
tài khác và måi thụng tin trớch dăn trong luên vn ó ủc ch rừ nguỗn
gốc.
H nởi, ngy 10 thỏng 12 nm 2011
Hồc viờn

Thõn Văn Tài

-2-

Möc löc
Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mð đ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1. Cỏc kián thực c s

7

1.1. Thuêt ngú và kí hi»u cơ b£n . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Paraboloids ti¸p xúc và tính kh£ vi c§p hai . . . . . . . . .

8

2. Nghi»m nhỵt cõa phương trình Elliptic, đánh giá Alexandroff
và nguyờn lý cỹc Ôi
13
2.1. Nghiằm nhợt cừa phng trỡnh elliptic . . . . . . . . . . .

14

2.2. ỏnh giỏ Alexandroff v nguyờn lý cỹc Ôi . . . . . . . . .

24

3. B§t đ¯ng thùc Harnack và tính duy nh§t nghi»m

34

3.1. B§t đ¯ng thùc Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2. Tính duy nh§t nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Kát luên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Tài li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

-1-


MÐ Đ†U
1. Lý do chån đ· tài
Như chúng ta đã biát, phng trỡnh Ôo hm riờng núi chung v phng
trỡnh Ôo hm riờng phi tuyán Elliptic F D2 u(x), x = 0 nói riêng có ùng

dưng r§t rëng rãi trong thỹc tá. Cú rĐt nhiÃu lnh vỹc nghiờn cựu hiằn Ôi
m trong ú phng trỡnh Ôo hm riờng úng vai trũ hát sực quan trồng
nh: lý thuyát biu diạn nhúm nhi·u chi·u, lý thuy¸t trưíng lưđng tû, lý
thuy¸t các khơng gian thuƯn nhĐt v vêt lý toỏn.
Mc dự ủc à cêp tứ rĐt lõu vo khoÊng cuối thá k 18 v Ưu thá k
19, nhng lý thuyát cỏc phng trỡnh Ôo hm riờng phi tuyán cho tợi nay
c bÊn văn cha ủc hon thiằn. Tứ Ưu thá k 20 cho tợi nay, do nhu cƯu
nghiờn cựu mởt cỏch cht ch nhỳng phng trỡnh Ôo hm riờng ó kớch
thớch sỹ phỏt triºn các phương pháp nghiên cùu cơ b£n cõa: Gi£i tích thüc,
Gi£i tích hàm và Tơpơ.
Mët bài tốn phương trình Ôo hm riờng náu cú ý ngha thỹc tiạn thỡ
chc chn ph£i có nghi»m. V§n đ· là nghi»m đó hiºu theo ngha no m
thụi. Cú rĐt nhiÃu phng trỡnh Ôo hm riờng, c biằt l phng trỡnh
Ôo hm riờng phi tuy¸n Elliptic F D2 u(x), x = 0 đ·u khơng có nghi»m
cê điºn. V§n đ· đ°t ra là ta ph£i cè gng xây düng lý thuy¸t các nghi»m suy
rëng (nghi»m nhợt) cừa chỳng v c biằt l tớnh duy nhĐt nghiằm.
Vỡ tƯm quan trồng cừa nú trong thỹc tá. Nờn trong qua trình nghiên cùu
luªn văn tơi đã lüa chån à ti "Nghiằm nhợt cừa phng trỡnh Ôo hm
riờng phi tuy¸n Elliptic F D2 u(x), x = 0".
Năm 1979, Krylov và Safonov đã chùng minh b§t đ¯ng thùc Harnack
cho nghi»m cừa cỏc phng trỡnh Ôo hm riờng elliptic cĐp hai cú dÔng
-2-


khơng divergence vỵi các h» sè đo đưđc. Đi·u đó đã mð ra mët cách đº

-2-


phỏt trin lý thuyát chớnh quy cho phng trỡnh Ôo hàm riêng phi tuy¸n

hồn tồn.
Cùng thíi gian đó thì Crandall-Lions [5] và Evans [6, 7] đã giỵi thi»u
mët khái ni»m nghiằm yáu (nghiằm nhợt) cho phng trỡnh Ôo hm riờng
phi tuyán hoc tuyán tớnh cú dÔng khụng divergence, nú thụng nhĐt vợi
nguyờn lý Dirichlet v nghiằm bián phõn trong lý thuyát và phng trỡnh
dÔng divergence.
Trong ti liằu ny, tụi s trình bày lý thuy¸t chính quy cõa nghi»m cõa
phương trình Ôo hm riờng phi tuyán hon ton. ú l phng trỡnh elliptic cú dÔng:
(0.0.1)
D2 u, x = f (x)
F
trong ú D2 là Hessian cõa u. Xem trình bày lý thuy¸t chi tiát trong [3, 4]
cho phng trỡnh cú dÔng:
D2 u, x = 0

(0.0.2)
F
(tng ựng vợi "phng trỡnh thuƯn nhĐt vợi hằ số hơng số" trong trớng
hủp tuyán tớnh). Tứ lý thuy¸t đó, ta có các Cα , C1,α , C2,α va` W2, p đánh giá tiên nghi»m trong mi·n cho nghi»m cõa (0.0.1). Trong tài li»u
này, ta ln gi£ thi¸t (0.0.1) là elliptic đ·u.
Mët trưíng hđp đơn gi£n nh§t là trưíng hđp các phương trình tuy¸n tính,
khi đó ta có th giÊ thiát rơng (0.0.2) chớnh l u = 0. Lỳc ú ta cú th
ỏnh giỏ cỏc Ôo hm cừa hàm đi·u hòa (nghi»m cõa ∆u = 0) trong mi·n
bði dao đë cõa chính hàm đó. Ý tưðng cơ b£n l tớnh chĐt ú văn ỳng ối
vợi cỏc tuyán tớnh nhä cõa Laplac. Cö thº hơn, gi£ sû u là nghiằm cừa
phng trỡnh elliptic Ãu cú dÔng khụng divergence sau:
n

ai, j (x)∂i j u = f (x)

(0.0.3)

i, j=1

Khi đó ta có, vỵi mët nghi»m bà ch°n u cõa (0.0.3) trong hình c¦u đơn và
B1 cõa Rn :
(a) (Đánh giá kiºu Cordes - Nirenberg)
Gi£ sû 0 < α < 1 và ai j − δi j L∞ (B1 ) ≤ δ = δ (α ), vỵi mët α nhä. Khi đó
u ∈ C1,α (B1/2 ) và kukC1,α (B1/2 ) ≤ C(kukL∞ (B 1) + k f kL∞ (B1 ) ).
-3-


(b) (Schauder)
N¸u ai j và f thuëc Cα (B1 ) thì u ∈ C2,α (B1/2 ) va` kuk 2,α
≤
C (B1/2 )
C(kukL∞ (B1 ) + k f kC∞ (B1 ) ).
(c) (Calderón-Zygmund)
N¸u ai j liên tưc trong B1 và f ∈ L1 (B1 ) vỵi 1 < p < ∞ thì u ∈
W2, p (B1/2 ) va` kukW2,
) ≤ C(kukL∞ (B ) + k f kL p (B ) ).
p

(B

1/2

1

1

Trong tài li»u này, tơi mð rëng các k¸t qu£ này cho hồ nghiằm cừa
(0.0.1). Thêm chớ l trong trớng hủp tuyán tớnh, k thuêt õy văn cho ta
nhỳng kát quÊ mợi vỡ mực ở gƯn cừa ai j ối vợi δi j đưđc xác đành bði Ln ∞
chu©n chù khơng phÊi l L - chuân (n l số chđn trong Rn ).
Cụng cử c bÊn trong cỏch tiáp cên mợi này là đánh giá Alexandroff
- Bakelman - Pucci và nguyên lý cỹc Ôi. Tụi s mụ tÊ cỏch sỷ dửng cõa
đánh giá này và hình lªp phương cõa Calderón-Zygmund đèi vỵi:
(1) Đi·u khiºn hàm phân bè cõa 1 nghi»m; đi·u khin ny dăn tợi bĐt ng
thực Harnack v do ú dăn tợi C - chớnh quy.

(2) XĐp x trong L cõa nghi»m bði các hàm affine (tương ùng các
paraboloid); đi·u ny dăn tợi cỏc ỏnh giỏ C1, (tng ựng C2, ).
Do ú, vĐn à cốt lừi l hiu cỏc Ôo hàm riêng cõa mët hàm thơng qua
các x§p x¿ đa thùc cõa nó. Nói mët cách nơm na, phương pháp nêu trên v·
cơ b£n là "phi tuy¸n" theo nghĩa nó khơng düa trên phương trình (0.0.1).
Do vªy, nó có thº áp dưng đèi vỵi các phương trình hồn tồn têng quỏt
(khụng nhĐt thiát trn) nh cỏc phng trỡnh Pucci, Bakelman v Isaasc.
Trong ú tớnh chớnh quy nhên ủc bơng cỏch l§y vi phân cõa phương trình
(0.0.1)
2. Mưc đích nghiên cùu
Nghiên cựu khỏi niằm nghiằm nhợt cho phng trỡnh Ôo hm riêng elliptic phi tuy¸n F D2 u(x), x = 0 v mởt số tớnh chĐt nh tớnh cừa nghiằm
nhợt. c biằt l sỹ tỗn tÔi, tớnh duy nhĐt v sỹ phư thc liên tưc cõa
nghi»m cõa bài tốn liên quan tỵi phương trình đó.


3. Nhi»m vư nghiên cùu
• Tìm hiºu cách xây düng khỏi niằm nghiằm nhợt cho phng trỡnh.

ã a ra cỏc ví dư cư thº minh håa cho các khái ni»m.
• Chựng minh cỏc tớnh chĐt nh tớnh cừa nghiằm nhợt.
4. ối tủng v phÔm vi nghiờn cựu
ã ối tủng nghiờn cựu: Nghiằm nhợt cừa phng trỡnh Ôo hm riờng
phi tuyán.
ã PhÔm vi nghiờn cựu: Lợp phng trỡnh phi tuyán dÔng F D2 u(x), x =
0.
5. Phương pháp nghiên cùu
Nghiên cùu lý thuyán bơng cỏch thu thêp thụng tin, ồc, phõn tích và
têng hđp tài li»u đº có đưđc mët nghiên cựu tờng quan và nghiằm nhợt cừa
phng trỡnh Ôo hm riêng elliptic phi tuy¸n F D2 u(x), x = 0.
6. Bố cửc cừa luên vn
Ngoi phƯn m Ưu v phƯn kát luên, luên vn gỗm ba chng:
ã Chng 1. Cỏc kián thực c s
Trong chng ny tụi:
Giợi thiằu mởt số thuªt ngú và mơ t£ mèi quan h» giúa các tớnh chĐt
khÊ vi cừa hm u v cỏc paraboloids tiáp xỳc vợi ỗ th cừa hm u.
ã Chng 2. Nghiằm nhỵt cõa phương trình elliptic, đánh giá Alexandroff và ngun lý cỹc Ôi
Trong chng ny tụi nghiờn cựu:
Nghiằm nhợt cừa phương trình (0.0.1), đành nghĩa và các tính ch§t
cơ b£n cừa nghiằm nhợt. Khỏi niằm nghiằm "rõt yáu" ny cho chúng ta


xỏc nh lợp cỏc hm chựa tĐt cÊ cỏc nghiằm cê điºn cõa phương trình
elliptic tuy¸n tính và phi tuy¸n vợi cỏc hơng số elliptic cố nh v cỏc
hằ số đo đưđc (xem mưc 2.1.2). Trong mưc 2.1.3 tơi đưa ra mët sè ví
dư quan trång v· các phương trình Ôo hm riờng phi tuyán hon ton.
ỏnh giỏ Alexandroff-Bakelman-Pucci v nguyờn lý cỹc Ôi cho
nghiằm nhợt. Vỡ kát quÊ ny có vai trị chìa khóa trong ngun lý chính
quy sau ny.

ã Chng 3. BĐt ng thực Harnack v tớnh duy nh§t nghi»m
Trong chương này tơi:
Chùng minh b§t đ¯ng thùc Harnack nhí vào đánh giá Alexandroff
và kÿ thuªt cõa Crandall-Zygmund. V· c bÊn chựng minh giống vợi
chựng minh lƯn Ưu phỏt hi»n bði Krylov và Safonov. Mët h» qu£ cõa
b§t đ¯ng thùc Harnack là ta có k¸t qu£ v· Cα - chính quy trong mi·n
đèi vỵi các nghi»m cõa phương trình (0.0.1). Trong mưc 3.1.3 tơi cịn
chùng minh tính Cα - chính quy tồn cưc.
Trình bày nghi»m x§p x¿ Jensen cõa phng trỡnh (0.0.2) ủc giợi
thiằu lƯn Ưu tiờn trong [8] và sû dưng chúng đº chùng minh tính duy
nh§t cho bài tốn Dirichlet đèi vỵi (0.0.2). Các mưc 3.2.3 và 3.2.4
dành cho các ùng dưng khác cõa nghi»m x§p x¿ Jensen. ú l cỏc tớnh
chĐt c bÊn cừa cỏc Ôo hàm riêng c§p 1 và c§p 2 cõa nghi»m cõa
phương trỡnh (0.0.2). Chng hÔn ta chựng minh tớnh C1, - chính quy
trong mi·n các nghi»m cõa phương trình (0.0.2).


Chng 1.

Cỏc kián thực c s
1.1.

Thuêt ngỳ v kớ hiằu cơ b£n

Kí hi»u Rn là khơng gian Euclidear n - chiÃu vợi chuân
q
|x| =
|x1 |2 + |x2 | 2 + · · · + |xn2| ,
|x|∞

= max {|x1 | , |x2 | , ..., |xn |} .

N¸u Br = Br (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < r} là mët hình c¦u (mð) thì
B∂ r (x0 ) cũng đưđc kí hi»u là B∂ r .
Xét hình lªp phương mð
n
o
r
n
∈
|
−
|
Qr (x0 ) = x R : x x0 ∞ <
2
vỵi tâm x0 và bán kính (đë di cÔnh) r.
l miÃn b chn (têp m, liờn thông, bà ch°n) cõa Rn .
λ va` Λ là hai h¬ng sè cè đành sao cho 0 < λ ≤ Λ, đưđc gåi là h¬ng
sè elliptic. Mët h¬ng sè đưđc gåi là phê dưng n¸u nó ch¿ phư thc vào
n, λ va` Λ (n là sè chi·u).
C là h¬ng sè dương, có thº thay đêi trong méi b§t đ¯ng thùc cũng như
các cơng thùc.
|Ω| tương ùng là kí hi»u đưíng kính và đë đo Lebesgue n dim(Ω)
va`
chi·u cõa Ω.
−
Vỵi mët hàm u, ta kí hi»u u+ va` u tương ùng là ph¦n dương và ph¦n
−
âm cõa u, ta có u = u+ − u . Giá cõa u kí hi»u là suppu. Ta kí hi»u:
∂u

= ∂i u = ui
∂ xi


∂ 2u
= ∂i j u = ui j .
∂ xi ∂ x j
D2 u là Hessian cõa u (là ma trên ối xựng vợi cỏc phƯn tỷ l ui j ).
Vỵi mët hàm L trong Rn đưđc gåi là affine n¸u
L(x) = l0 + l(x),
trong đó l0 ∈ R và l là mët hàm tuy¸n tính.
Mët paraboloid P là đa thùc bªc 2 cõa (x1 , x2 , . . . , xn ) v cú th
viát dợi dÔng:
1
P(x) = L(x) + xt Ax,
2
trong đó L là 1 hàm affine và A = D2 P là ma trªn đèi xùng.
∞
Trong tài li»u này, thuªt ngú "trơn" có nghĩa là thc lỵp C
Wk, p (Ω) là khơng gian Sobolev các hàm cú tớnh chĐt: cỏc hm v cỏc
Ôo hm án cĐp k cõa nó thuëc L p (Ω).
Ck,α (Ω) và Ck,α () l khụng gian H oălder ( náu 0 < α < 1) và là
khơng gian Lipschiitz (n¸u α = 1); vợi k N+ . Chuân trong chỳng l
h
i
k
u
=
u
+

k kCk,α ( )
k kC k ( )
Du
Ω
Ω
α ,Ω

trong đó
[v]α ,Ω = sup

x,y∈Ω
x=y

1.2.

|

v(x) − v(y)|
|x − y| α

(1.1.1)

Paraboloids ti¸p xúc và tớnh khÊ vi cĐp hai

Trong phƯn ny tụi dăn ra mởt số tớnh chĐt và tớnh khÊ vi hai lƯn cõa
hàm u tø các ki¸n thùc v· các paraboloid ti¸p xỳc vợi ỗ th cừa hm u.
Cỏc kát quÊ ny s³ đưđc sû dưng trong lý thuy¸t v· tính chính quy ð các
mưc sau.
Ta nói P là mët paraboloid cõa têp m M náu
P(x) = l0 + l(x)

M| | 2
x
2

(1.2.1)

trong đó M là h¬ng sè dương, l0 là h¬ng số v l l hm tuyán tớnh. P l lỗi


khi l§y + trong (1.2.1) và là lõm khi l§y - trong (1.2.1).


Vỵi 2 hàm liên tưc u, v xác đành trong mët tªp mð A và x0 ∈ A, ta nói u
tiáp xỳc phớa trờn vợi v tÔi x0 trong A n¸u
u(x) ≤ v(x) ∀x ∈ A,
u(x0 ) ≤ v(x0 )
Tương tỹ, ta cú khỏi niằm tiáp xỳc dợi.
Cho u l hàm liên tưc trên Ω, A ∈ Ω là tªp mð. Vỵi x0 ∈ A, ta đành nghĩa:
θ (u, A)(x0 )

(1.2.2)

l cên dợi cừa tĐt cÊ cỏc hơng số dng M, nú l mởt paraboloid lỗi cừa
têp m M tiáp xỳc vợi u phớa dợi tÔi x0 trong A. Ta nh ngha (1.2.1) l
náu khụng tỗn tÔi hơng số dng M no . Dạ thĐy (u, A) l mët hàm đo
đưđc trong A.
Sû dưng các paraboloid lõm và ti¸p xúc, ta có khái ni»m
θ (u, A)(x0 ) ∈ [0, ∞] .
Đ°t θ (u, A)(x0 ) = sup θ (u, A)(x0 ), θ (u, A)(x0 ) ≤ ∞.

Vỵi x0 , ta núi u l C1,1 trờn tÔi x0 [tng ựng C1,1 dợi tÔi x0 , C1,1
tÔi x0 ] n¸u θ (u, A)(x0 ) < ∞ [tương ùng θ (u, A)(x0 ) < ∞, θ (u, A)(x0 ) <
∞]
vỵi mët lân cªn A nào đó cõa x0 . M»nh Ã1.2.2 dợi õy cho thĐy tờn gồi
ú l hủp lý.
Náu u l C1,1 tÔi x0 thỡ u khÊ vi tÔi x0 , vỡ u nơm giỳa 2 paraboloid tiáp
xỳc trong mët lân cªn cõa x0 .
Xét t¿ sè sai phân cĐp hai cừa u tÔi x0 .
h2u(x0 ) =

u(x0 + h) + u(x0 − h) − 2u(x0 )
;
|h| 2

(1.2.3)

trong đó h Rn v ta giÊ thiát rơng x0 + h va` x0 − h thuëc Ω. Chú ý
r¬ng
2P ≡ M [tương ùng ∆2 P ≡ −M ] khi P l paraboloid lỗi (tng ựng lừm)
h
h
vợi cừa têp m M.
Do đó, vỵi måi x0 ∈ Ω,
2
− θ (u, B (x ))(x ) ≤ ∆ u(x0 ) ≤ θ (u, B (x0 ))(x0 ) ,

(1.2.4)


|h|

n¸u B|h| (x0 ) ⊂ Ω.

0

0

u

|h|


M»nh đ· 1.2.1. Cho 1 < p ≤ ∞ và u liên töc trong Ω. Gi£ sû ε là mët h¬ng
sè dương và đ°t
θ (u, ε )(x) := θ (u, Ω ∩ Bε (x))(x), x ∈ Ω.

(1.2.5)

Gi£ sû θ (u, ε ) ∈ L p (Ω). Khi đó D2 u ∈ L p (Ω) và
D2 u

L p (Ω)

≤ 2kθ (u, ε )kL p (Ω) .

(1.2.6)

Chùng minh
Do 1 < p ≤ ∞, nên ta ch¿ c¦n chùng minh
kϕ k

(Ω)

Z

0

LP (Ω)

(1.2.7)

uϕi j ≤ 2kθ (u, ε )kLP
Ω
0

∞

vỵi ∀ϕ ∈2 C (Ω)
và ∀i, j. Trong đó p là sè mũ liên hđp cõa p. N¸u có đi·u
đó thì D u ∈ L p (Ω) và thäa mãn (1.2.6).
Ta chùng minh (1.2.7), ta có
1
∂ei +e j ,ei +e j ϕ − ∂ii ϕ − ∂ j j ϕ
2
= 1 2∂vvϕ − ∂ii ϕ − ∂ j jϕ ,
2

∂i j ϕ =

trong đó v =

chùng minh:

(ei +e j )
√
và
2

{ei } là cơ sð chính tc cừa Rn . Vỡ thá ta ch cƯn
k k

()

Z

0

L p (Ω)

uϕii ≤ kθ (u, ε )kLP
Ω

Gi£ sû K ⊂⊂ Ω là giá cõa ϕ . Ta có
Z

Z

uϕii = lim

uϕii =
Ω

Z

K

δ →0

K

u∆2δ eiϕ

Z

= lim

δ →0

K

(∆2δ eiu)ϕ ;

(1.2.8)


xem lÔi (1.2.3) và nh ngha cừa 2 . LĐy δ < ε va` δ < dist(K, Rn \Ω)
thì tø (1.2.4) và (1.2.5) suy ra
2

∆δ ei
và ta có (1.2.8)

u ≤ θ (u, ε ) trong K


M»nh đ· 1.2.2. Cho u ∈ C(Ω) và B là miÃn lỗi sao cho B . LĐy > 0
và đành nghĩa:
θ (u, ε )(x) := θ (u, Ω B (x))(x), x B
GiÊ sỷ tỗn tÔi hơng sè K sao cho θ (u, ε )(x) ≤ K, ∀x ∈ B. Khi đó
u ∈ C1,1 (B) và
|Du(x) − Du(y)| ≤ 2nkθ (u, ε )kL∞ (B) |x − y|

∀x, y B

(1.2.9)

Chỳ ý 1.2.1. Dạ dng ta thĐy náu l lỗi thỡ k (u, )kL () kukC1,1 (Ω)
vỵi θ (u, ε ) trong m»nh đ· 1.2.2.
Chùng minh m»nh đ· 1.2.2
Do θ (u, x) < ∞, ∀x B nờn u l khÊ vi tÔi x B. Theo m»nh đ· 1.1.1
(áp dưng vỵi Ω = B) ta có D2 u ∈ L∞ (B) và D2 u L∞ (B) ≤ 2kθ (u, ε )kL∞ (B) .
∞
Vì ui = ∂i u ∈ W 1, (B) và B là lỗi nờn ui liờn tửc v
Z1

ui (x) ui (y) =
0

=

∑

j

vỵi måi x, y ∈ B. Do D2 u

d
−
i
dt u (t x + (1 t )y)dt
Z1

∂i j u(t x + (1 − t )y)dt (x j − y j ),
0

L∞ (B)

≤ 2kθ (u, ε )kL∞ (B) nên ta có (1.2.9).

M»nh đ· 1.2.2 và k¸t qu£ sau đây đưđc dùng đº chùng minh đánh giá
Alexandroff cho nghi»m nhỵt trong chương 2.
Đành lý 1.2.1. Cho H : Bd ⊂ Rn → Rn l ỏnh xÔ Lipschiitz. Khi ú H l
khÊ vi hƯu khp nơi trong Bd .
Gi£ sû A ⊂ Bd là tªp sao cho |Bd \A| = 0 và H kh£ vi tÔi x A. Khi ú
Z

|H (Bd )|

|det DH |

(1.2.10)

A

trong đó DH là vi phân cõa H .
Kh¯ng đành thù nh§t là đành lý Rademacher. Cịn (1.2.10) là cụng thực
tớnh diằn tớch cừa ỏnh xÔ Lipschiitz.


Đành nghĩa 1.2.1. Hàm u ∈ C(Ω) đưñc gåi là khÊ vi cĐp hai theo ngha
tứng im tÔi x0 náu tỗn tÔi mởt paraboloid P sao cho
u(x) = P(x) + O |x − x0 |2
−2

tùc là |u(x) − P(x)| |x − x0 |
D2 P.

khi x → x0

(1.2.11)

→ 0 khi x → x0 . Khi đó đ°t D2 u(x0 ) =

Ta núi u khÊ vi cĐp hai tÔi x0 náu u khÊ vi trong lõn cên cừa x0 v Du(x)
khÊ vi tÔi x0 . Rừ rng tớnh khÊ vi cĐp hai tÔi x0 kộo theo tớnh khÊ vi cĐp hai
theo ngha tứng im tÔi x0 .
nh lý 1.2.2 sau õy l nh lý Alexandroff-Buselman-Feller. Nú rĐt
cƯn thiát cho chng 3.
nh lý 1.2.2. GiÊ sỷ u lỗi trong Bd . Khi ú u khÊ vi cĐp hai ỳng tÔi hƯu
hát måi điºm x0 ∈ Bd
M»nh đ· 1.2.3. Gi£ sû u liờn tửc trong mởt miÃn lỗi sao cho
(u, )(x) K x

vợi hơng số K no ú. Khi ú
K 2
|x|
2
l lỗi trong . Núi riờng, u khÊ vi cĐp hai ỳng tÔi hƯu hát mồi im x ∈ Ω.
u(x) +

Chùng minh
Đ°t w(x) = u(x) +

K
2

|x . Như trong (1.2.4), ta có vỵi måi h sao cho

2

x0 + h
va`

x0 − h trong Ω,
2
h
∆ w(x0 )
x+y

= ∆2h u(x0 ) + K ≥ 0

1
≤ (w(x) + w(y)) , ∀x, y . Vỡ w liờn tửc nờn w lỗi.

Theo
2
2
nh lý 1.2.2 ta suy ra kh¯ng đành cuèi cõa m»nh đ· 1.2.3

Do đó w


Chương 2.

Nghi»m nhỵt cõa phương trình Elliptic,
đánh giá Alexandroff và nguyờn lý cỹc
Ôi
Trong [5] cừa M.G.Crandall v P.L Lions ó phỏt trin mởt lý thuyát
nghiằm nhợt cho phng trỡnh Ôo hm riờng phi tuyán, theo ú ta cú sỹ
tỗn tÔi nghi»m. Trong chương này ta đưa ra khái ni»m nghi»m nhợt cừa
phng trỡnh Ôo hm riờng cĐp hai phi tuyán hon ton.
Trợc hát ta à cêp tợi ý tng cừa đành nghĩa này đèi vỵi phương trình
Laplace.
Ví dư 1. Xét phương trình uxx = 1 (trong trưíng hđp n = 1).
Dạ thĐy: mởt hm số liờn tửc u xỏc nh trờn khoÊng I cừa R cú dÔng
u(x) = a + bx + x2 /2 vỵi a, b − const (hay u là mët nghi»m cê điºn cõa
phương trình đó) khi và ch¿ khi 2 đi·u ki»n sau thäa mãn:
(1). P(x) là mët parabol (mët đa thùc bªc hai) và u p cú cỹc Ôi a
00
phng tÔi x0 I thì p (x0 ) ≥ 1.
(2). P(x) là mët parabol (mët đa thùc bªc hai) và u − p có cỹc tiu a
00
phng tÔi x0 I thỡ p (x0 ) ≤ 1.
Ví dư 2. Xét phương trình ∆u = 0 (trong trưíng hđp n > 1).

Gi£ sû Ω là mët mi·n trong Rn , ta có thº chùng minh đưđc u là mët hàm
đi·u hịa trong Ω khi và ch¿ khi u liên töc và thäa mãn 2 đi·u kiằn sau:
(1). u cú cỹc Ôi a phng tÔi x0 v C2 () thỡ ∆ϕ (x0 ) ≥ 0.
(2). u − ϕ có cüc tiu a phng tÔi x0 v C2 (Ω) thì ∆ϕ (x0 ) ≤
0.
Vỵi hai ví dư trên, ta s³ l§y 2 đi·u ki»n trên làm đành nghĩa nghi»m nhỵt
cõa phương trình Laplace.


Tương tü, ta s³ đành nghĩa nghi»m nhỵt cho phương trỡnh Ôo hm riờng
phi tuyán cĐp 2. VĐn à mĐu chốt l nguyờn lý cỹc Ôi văn thọa món ối
vợi các phương trình đó nhí thõ tưc tuy¸n tính hóa. Do vêy nh ngha
nghiằm nhợt ũi họi nguyờn lý cỹc Ôi phÊi thọa món khi u "ủc thỷ" vợi
cỏc nghiằm dưỵi và nghi»m trên trơn. Theo cách đó thì tốn tû khơng áp
dưng đưđc vào u nhưng áp dưng đưđc vào các hàm trơn.
Nghi»m cê điºn u cõa phương trình elliptic Ãu vợi vá phÊi bơng 0,
phng trỡnh cú th phi tuyán, cú tớnh chĐt Hessian D2 u cú cỏc giỏ tr riờng
vợi dĐu khỏc nhau v chỳng liờn hằ vợi nhau theo ngha: cỏc giỏ tr nhọ
nhĐt v lợn nhĐt l so sỏnh ủc vợi nhau, tực l chỳng đi·u khiºn nhau
qua các h¬ng sè elliptic. Đi·u đó là rừ rng ối vợi cỏc phng trỡnh tuyán
tớnh dÔng khụng divergence:
i
2
A
ahi j (x)∂i j u(x) = tr (x).D u(x) = 0,

trong đó A(x) = ai j (x) và tr là vát cừa ma trên. Núi nụm na, mởt
phng trỡnh elliptic quy đành đë cong cõa các nghi»m. Trong mưc 2.1.2
tơi đưa ra tốn tû cüc trà Pucci, nó di¹n t£ sü đi·u khiºn đèi vỵi các giá trà
riêng cõa D2 u qua cỏc hơng số elliptic. Têp cỏc nghiằm nhợt cõa các tốn

tû cüc trà Pucci gåi là lỵp S, nó chùa t§t c£ các nghi»m cê điºn cõa các
phương trỡnh elliptic Ãu tuyán tớnh v phi tuyán vợi cỏc hơng số elliptic
cố nh. Mửc
2.1.3 giợi thiằu mởt số vớ dử và phng trỡnh elliptic phi tuyán hon ton.
2.1.

Nghiằm nhợt cõa phương trình elliptic

2.1.1. Nghi»m nhỵt
Xét phương trình
F D2 u(x), x = f (x)

(2.1.1)

Trong đó x ∈ Ω và u, f là hàm xác đành trên mi·n bà ch°n Ω cõa Rn .
F (M, x) là hàm giá trà thüc xác đành trên S × Ω. Trong đó S là cỏc ma trên
ối xựng thỹc cĐp n ì n. Ta gi£ thi¸t F là tốn tû elliptic đ·u.
Đành nghĩa 2.1.1. F l elliptic Ãu náu tỗn tÔi 2 hơng số dương λ ≤ Λ


(ủc gồi l hơng số elliptic) sao cho vợi mồi M ∈ S va` x ∈
S
λ kNk ≤ F (M + N, x) − F (M, x) ≤ Λ kNk

∀N ≥ 0


Ta viát N 0 náu N l ma trên đèi xùng thüc, khơng âm, cịn kMk là
L2 , L2 cõa M (tùc là kM k = sup |Mx|). Do ú kNk l giỏ tr riờng lợn
|x|=1

nhĐt cừa N khi N 0.
Vợi cỏc giÊ thiát trờn thỡ phng trỡnh (2.1.1) đưđc gåi là phương trình
elliptic đ·u c§p hai hồn tồn phi tuy¸n.
N¸u khơng nói gì thì ta ln gi£ sỷ f v F l cỏc hm liờn tửc tÔi x.
Ta nhợ rơng bĐt kỡ N S Ãu cú sỹ phõn tớch duy nhĐt dợi dÔng N =


+
N
N vỵi N + , N ≥ 0 và N + N = 0. Ta d¹ dàng kiºm tra đi·u sau.
Bê đ· 2.1.1. F là elliptic đ·u n¸u và ch¿ n¸u
F (M + N, x) ≤ F (M, x) + Λ N + − λ N

−

∀M, N ∈ S va` ∀x ∈

Ω
Chú ý r¬ng: Tø đi·u ki»n cõa mët elliptic đ·u suy ra F (M, x) là đơn đi»u
tăng và Lipschitz theo M S.
Dạ thĐy, toỏn tỷ tuyán tớnh Lu = ai j (x)∂i j u vỵi ai j là ma trên ối
xựng thỹc cú cỏc giỏ tr lĐy trong [λ , Λ] là elliptic đ·u (theo đành nghĩa
2.1.1) vỵi cỏc hơng số elliptic , n.
Tiáp theo ta a ra nh ngha nghiằm nhợt cừa (2.1.1). Trợc tiờn, cƯn
nhợ lÔi rơng hm v xỏc nh trờn ủc gồi l cú cỹc Ôi a phng tÔi
x0 (x0 ) náu v(x) v(x0 ) vợi mồi x thuởc mởt lân cªn nào đó cõa x0 .
Đành nghĩa 2.1.2. Mët hàm liên tưc u trong Ω đưđc gåi là nghi»m nhỵt
dưỵi (tương ùng, nghi»m nhỵt trên) cõa (2.1.1) trong Ω, khi đi·u ki»n sau
thäa mãn.

N¸u x0 ∈ Ω, ϕ ∈ C2 () va` u cú cỹc Ôi a phng tÔi x0
thỡ
F (D2 (x0 ), x0 ) f (x0 )

(2.1.2)

[N¸u u − ϕ có cüc tiºu đàa phng tÔi x0 thỡ F (D2 (x0 ), x0 ) ≤ f (x0 )].
Ta nói u là nghi»m nhỵt cừa (2.1.1) náu nú vứa l nghiằm nhợt dợi vứa
l nghi»m nhỵt trên cõa phương trình đó.
Ta cũng nói F (D2 u, x) ≥ [tương ùng ≤, =] f (x) theo ngha nhợt trong
náu u l nghiằm nhợt dợi [tương ùng nghi»m nhỵt trên, nghi»m nhỵt]
cõa (2.1.1) trong Ω.
M»nh đ· 2.1.1. Các kh¯ng đành sau đây là tương đương


(1) u là nghi»m nhỵt dưỵi cõa (2.1.1) trong Ω.


(2) Náu x0 , A l 1 lõn cên mð cõa x0 , ϕ ∈ C2 (A),
u ≤ ϕ t rong A

u(x0 ) = ϕ (x0 ).

(2.1.3)

va`
thì F (D2 ϕ (x0 ), x0 ) ≥ f (x0 )
(3) Gièng như (2) nhưng thay ϕ ∈ C2 (A) bði ϕ là mët paraboloid
Chú ý 2.1.1. Theo thuªt ngú trong mưc 2.1.1, ta núi tiáp xỳc trờn vợi u
tÔi x0 , náu tỗn tÔi mởt lõn cên m A cừa x0 sao cho (2.1.3) thäa mãn.

Chùng minh m»nh đ· 2.1.1
Ta th§y (1) ⇒ (2)
(2) ⇒ (3) là hiºn nhiên. Đº chùng minh (3) ⇒
va`
(1), ta gi£ sû ϕ ∈ C2 ()
va`
ừ nhọ, t

u cú cỹc Ôi a phng tÔi x0 . Vợi > 0


1
P(x) = u(x0 ) + Dϕ (x0 )(x − x0 ) + (x − xt0 ) 2ϕ (x0 )(x − x0 ) + |x − x02| .
2
2
D
Ta có P là paraboloid ti¸p xúc trên vợi u tÔi x0 . Do (3) ỳng nờn ta có:
F (D2 ϕ (x0 ) + ε I, x0 ) ≥ f (x0 ). Cho ε → 0, ta có F (D2 ϕ (x0 ), x0 ) ≥ f (x0 )
vì
F (M, x) liên tưc (thªm chí Lipschitz) theo M.
Tương tỹ vợi mằnh à 2.1.1 ta cng cú cỏc kát qu£ tương tü cho nghi»m
trên. Bði vì n¸u u là nghi»m nhỵt trên cõa F D2 u(x), x = f (x) trong Ω thì
u = −v là nghi»m nhỵt dưỵi cõa G D2 u(x), x = − f (x) trong Ω, trong
đó
G(M, x) = −F (−M, x)
chú ý r¬ng G cũng là hàm elliptic đ·u.
Bê đ· 2.1.2. Gi£ sû u là nghi»m nhỵt dưỵi cõa (2.1.1) trong Ω và u khÊ
vi cĐp hai theo ngha tứng im tÔi x0 Ω (xem đành nghĩa 1.2.1). Khi đó
F (D2 u(x0 ), x0 ) ≥ f (x0 ).
Chùng minh

Gi£ sû P là paraboloid thäa mãn (1.2.11). Khi đó P(x) + ε

|x−x0 | 2
2

ti¸p