đổi vai trò của ẩn và tham số để giải PT

ĐỔI VAI TRÒ CỦA ẨN VÀ THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Trần Văn Đoàn
(Trường THCS Nghóa Đồng – Nghóa Hưng- Nam đònh)
Phương trình bậc cao có chứa tham sô ùthường là khó. Để giải quyết loại
phương trình này ta tìm cách hạ bậc của phương trình, đưa về dạng
phương trình quen thuộc như phương trình bậc hai…. , bằng cách đặt ẩn
phụ,hoặc đưa về phương trình tích…..Trong bài viết này tôi giới thiệu
cùng bạn đọc tham khảo việc đổi vai trò của ẩn và tham số để giải quyết
phương trình bậc cao.Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.
Bài 1: Cho phương trình:
x
4
+ x
3
– 2x
2
– 6ax – 4a
2
= 0 (1)
Tìm a để phương trình có nghiệm.
Giải :
x
4
+ x
3
– 2x
2
– 6ax – 4a
2
= 0

⇔
4a
2
+ 6ax – x
4
– x
3
+ 2x
2
=0 (*)
Tạm thời coi a là ẩn, còn x là tham số khi đó phương trình (*) là phương
trình bậc hai ẩn a, có biệt số:

′
∆
= 9x
2
– 4(– x
4
– x
3
+ 2x
2
)
= 9x
2
+ 4x
4
+ 4x

3
– 8x
2
= 4x
4
+ 4x
3
+ x
2
= x
2
(4x
2
+ 4x + 1)
= x
2
(2x + 1)
2

≥
0
=>
2
2
2
2
2
x x
a
x x

a

− −
=


−

=



⇔

2
2
2 2 0(2)
2 0(3)
x x a
x x a

+ + =

− − =


Phöông trình (1) coù nghieäm khi (2) hoaëc (3) coù nghieäm

2
3

0
0
′
∆ ≥


′
∆ ≥


⇔

2
1 2 0
1 8 0
a
a
− ≥


+ ≥


⇔

1
2
1
8
a

a

≤



≥−


Vậy a
1
2
≤
hoặc a
1
8
≥ −
thì
phương trình (1) có nghiệm
Bài 2: Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
a
3
x
4
+ 2a
2
x
2
+ x + a + 1 = 0 (1)
Giải:

Nhận xét : Ta thấy tham số a có bậc cao nhất là 3 , nên nếu đổi vai
trò của ẩn và tham số ngay thì cũng chưa đưa được về phương trình bậc
hai.
Cách giải như sau:
+)Với a = 0 phương trình (1) luôn có nghiệm x = -1
3
+)Với a
≠
0 , nhân hai vế của phương trình với a ta
được:
a
4
x
4
+ 2a
3
x
2
+ ax + a
2
+ a = 0
Đặt ax = t ta có:
t
4
+ 2at
2
+ t + a
2
+ a = 0
Coi a là ẩn ta có phương trình bậc hai:

a
2
+ (2t
2
+ 1)a + t
4
+ t = 0
Có biệt số :
∆
= (2t
2
+ 1)
2
- 4(t
4
+ t)
= 4t
4
+ 4t
2
+ 1 – 4t
4
– 4t
= 4t
2
– 4t + 1
= (2t – 1)
2

≥

0
4
=>
2
2
2 1 2 1
2 1 2 1
a t t
a t t

= − − + −

= − − − +



⇔

2
2
2 2 2 0........(2)
2 2 0..............(3)
t t a
t t a

− + − =

+ + =



Phöông trình (1) coù nghieäm
⇔
(2) hoaëc (3) coù
nghieäm

⇔
2
3
5 2 0
1 2 0
a
a
′
∆ = − ≥


′
∆ = − ≥


5
⇔

5
2
1
2
a
a


≤



≤


Bài 3: Giải phương trình:
x
4
– 10x
3
– 2(a – 11)x
2
+ 2(5a + 6)x + 2a + a
2
= 0 ( a > -6)
Giải:
x
4
– 10x
3
– 2(a – 11)x
2
+ 2(5a + 6)x + 2a + a
2
= 0

⇔
a

2
- 2(x
2
- 5x – 1)a + (x
4
– 10x
3
+ 22x
2

+ 12x) = 0 (*)
Xem phương trình (*) là phương trình bậc hai với ẩn số là a , có biệt số:

′
∆
= (x
2
- 5x – 1)
2
- (x
4
– 10x
3
+ 22x
2
+
12x)
= x
4
+ 25x

2
+ 1 – 10x
3
– 2x
2
+ 10x – x
4
+ 10x
3
– 22x
2
– 12x
6
= x
2
2x + 1 = (x 1)
2


0
Suy ra:

2 2
2 2
( 5 1) ( 1) 4 2
( 5 1) ( 1) 6
a x x x x x
a x x x x

= + =

= =





2
2
4 2 0
6 0
x x a
x x a

=

=





2 6
3 9
x a
x a

= +

= +

(a > - 6)
Vaọy phửụng trỡnh ủaừ cho coự nghieọm laứ:
7
x = 2
6 a
+
, x = 3
9a
+
( a > - 6)
Baứi 4: Giaỷi phửụng trỡnh:
x
6
7x
2
+
6
= 0
Giaỷi:
ẹaởt a =
6
, phửụng trỡnh ủaừ cho trụỷ thaứnh:
8