các dạng bài tập về phương trình đường tròn

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc giải một bài tốn hình học phẳng lớp 10 bằng phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng không phải lúc nào cũng thuận lợi. Có một số bài tốn chỉ
cần dựa vào lý thuyết là có thể làm được, xong cũng có một số bài tốn địi
hỏi phải tư duy vận dụng một cách linh hoạt kết hợp với những kiến thức cũ.
Chính vì thế cần phải tư duy xác định mối liên hệ giữa chúng để làm sao giải
được bài toán một cách thuận lợi hơn.
Sau mỗi bài lý thuyết mới chúng ta cần vận dụng để làm bài tập đúc kết
ra các dạng toán rồi hệ thống lại các dạng bài tập trong bài học. Đây coi như
là củng cố bài học để nắm kiến thức dễ dàng hơn. Đó chính là một cách học
hiệu quả đặc biệt đối với môn toán rất hữu dụng.
Với những lý do trên em đã lựa chọn đề tài: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN”
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp cho học sinh lớp 10 (lớp đầu cấp) một phương pháp hiệu quả
đối với việc học toán. Bên cạnh giúp cho học sinh tiếp cận với tốn học hiện
đại thì đây cịn là bước nền giúp học sinh tiến đến việc giải những bài tập hình
học khơng gian theo phương pháp khoa học.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Khách thể: Học sinh lớp 10 trường THPT Trần Quốc Tuấn
- Đối tượng: Các dạng bài tốn về phương trình đường trịn trong
chương trình lớp 10.
- Phạm vi nghiên cứu: Phương trình đường trịn
4.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống lại kiến thức


- Xác định được các dạng bài tập và hướng dẫn học sinh giải một số bài
toán mẫu.
- Bài tập tốn mẫu

5. Phương pháp nghiên cứu chính
- Nghiên cứu lý luận: Phân tích nội dung chương trình SGK và định
hướng cho học sinh
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Phương pháp điều tra.


B- NỘI DUNG
CHƯƠNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa đường tròn
Hệ tọa độ Đêcac trong mặt phẳng: “Tập hợp những điểm I cách đều
cho trước một khoảng khơng đổi R là đường trịn tâm I bán kính R”
Kí hiệu (I,R) hoặc gọn hơn (I)
2. Các dạng phương trình cuẩ đường trịn.
a) Phương trình chính tắc của đường trịn.
Gọi C là đường trịn tâm I (a;b), bán kính R. Ta có phương trình chính
2
2
2
tắc của đường trịn dạng: (C ) : ( x − a) + ( y − b) = R

Chú ý: Ta có:
2
2
2
• Đường trịn tâm O bán kính R có phương trình: x + y = R
2
2
• Đường trịn đơn vị có phương trình: x + y = 1

b) Phương trình tổng quát của đường trịn
Trong mặt phẳng Oxy, đường cong (C) có phương trình
(C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với a 2 + b 2 − c > 0

(2)

Là phương trình của đường trịn tâm I (a;b) và bán kính R = a 2 + b 2 − c
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
a. Định nghĩa tiếp tuyến đường tròn
Đường thẳng đi qua tiếp điểm của đường trịn và vn góc với bán kính
tại tiếp điểm đó thì đường thẳng có được gọi là tiếp tuyến của đường trịn
b. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
2
2
2
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − a) + ( y − b) = R .

Khi đó, tiếp tuyến (d) tại điểm M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có phương trình:
(d ) : ( x0 − a )( x − a) + ( y0 − b) = 0
Chú ý: Trong trường hợp tổng quát, Đường thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp
tuyến) với đường trịn có tâm I bán kính R khi và chỉ khi: d ( I ,(d ) ) = R


CHƯƠNG II: HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG TRỊN
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Phương pháp chung: Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu về dạng:
(C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0

(1)

Bước 2: Để (1) là phương trình đường trịn điều kiện là: a 2 + b 2 − c > 0
Bước 3: Khi đó (C) có tâm I(a;b) bán kính R = a 2 + b 2 − c
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Xác định phương trình đường trịn, chỉ rõ tâm và bán kính.
2
2
a. x + y − 2 xy − 4 y − 4 = 0

2
2
c. − x − y − 2 x − y − 1 = 0

2
2
2
b. x + y − 4 xy + 6 y + 14 + m = 0

2
2
d. x − 2 y − x − y − 1 = 0

Giải
a. Ta có: a 2 + b 2 − c = 1 + 4 + 4 = 9 > 0 do đó phương trình đã cho là
phương trình của đường trịn có: tâm I (1, 2) và bán kính R = 3
2
2
Nhận xét: trong các phương trình dạng: x + y − 2ax − 2by + c = 0 sẽ

ln là phương trình của một đường trịn khi x < 0
b. Ta có a 2 + b 2 − c = 4 + 9 − 14 − m 2 = −1 − m 2 < 0 do đó phương trình đã
cho khơng phải là phương trình đường trịn.
2
2
c. Viết lại phương trình dưới dạng: x + y + 2 x + y + 1 = 0

Ta có: a 2 + b 2 − c = 1 +

1
1
− 1 = > 0 . Do đó phương trình đã cho là phương
4
4

1
1

trình đường trịn có tâm I  −1; − ÷, bán kính R =
2
2

2
d. Ta có hệ số của x 2 và y khác nhau do đó phương trình đã cho khơng

phải là phương trình đường trịn.


2

2
Ví dụ 2: Cho họ hệ đường cong (Cm ) : x + y − 2mx − 2( m + 1) y + 2m − 1 = 0

a. Tìm m để (Cm) là phương trình đường trịn (Cm)
b. Tìm tập hợp tâm cá đường trịn (Cm)
c. Tìm đường trịn có bán kính nhỏ nhất trong họ (Cm)
Giải
2
2
2
2
2
a. Ta có: a + b − c = m + (m + 1) − 2m + 1 = 2m + 2 > 0 ln đúng

Vậy với mọi m, phương trình đã cho là phương trình đường trịn tâm
I m (m; m + 1) , bán kính R = 2m 2 + 2
Nhận xét: Để đường cong (Cm) là phương trình đường trịn thỏa mãn 3
điều kiện:
2
- Hệ số x 2 = Hệ số y

- Không tồn tại hệ số chéo yx
- Điều kiện: a 2 + b 2 − c > 0
x = m
b. Ta có: I m : 
(I) khử m từ hệ (I) ta được: x − y + 1 = 0
y
=
m
+

1

Vậy tâm Im của họ (Cm) đường trịn (C0 có bán kính nhỏ nhất bằng

2

Ví dụ 3:
2
2
Cho họ đường con: (Cm ) : x + y − 2(m + 2) x − 2(m + 4) y + 4m + 2 = 0

a. CMR: với mọi m ln có (Cm) là phương trình đường trịn.
b. Tìm tập hợp tâm các đường trịn (Cm)
c. Tìm đường trịn có bán kính nhỏ nhất trong họ (Cm)
Giải:
a. ∀m (Cm ) là đường tròn
b. Tâm Im của họ (Cm) thuộc đường thẳng (d): x − y + 2 = 0
c. Trong họ (Cm) đường tròn (C-2) có bán kính nhỏ nhất bằng 10


DẠNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
Phương pháp chung:
Gọi (C) là đường tròn thỏa mãn điều kiện đầu bài. Chúng ta lựa chọn
phương trình dạng tổng qt haowtj dạng chính tắc.
* Muốn có phương trình dạng tổng qt, ta lập hệ 3 phương trình với
ba ẩn a, b, c điều kiện a 2 + b 2 − c < 0
* Muốn có phương trình dạng chính tắc, ta lập ba phương trình với 3 ẩn
a, b, R, điều kiện R > 0
Chú ý: 1. cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kĩ càng để lựa
chọn dạng phương trình thích hợp.

2. Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta có sử dụng phương pháp
quĩ tích để xác định phương trình đường trịn.
Các ví dụ
Ví dụ 1: Lập phương trình đường trịn trong các trường hợp sau:
a. Tâm I (1, -3) bán kính R = 1
b. Đường kính AB với A (11); B (3,5)
c. Đi qua điểm M (1,2); N (3,1) và tâm I nằm trên (d ) : 7 x + 3 y + 1 = 0
Giải:
a. Đường trịn (C) có tâm I (1,3), bán kính R = 1 có phương trình:
(C ) : ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 1
b. Cách 1: Gọi trung điểm I của AB là tâm của đường trịn ⇒ I (2,3),
bán kính E =

AB
= 5.
2

2
2
Vậy đường trịn (C) có phương trình: (C ) : ( x − 2) + ( y − 3) = 5

Cách 2: Dùng phương pháp quĩ tích. Ta có:
uuur uuur
M ( x, y ) ∈ MA ⊥ MB ⇔ MA.MB = 0


⇔ (1 − x;1 − y )(3 − x;5 − y ) = 0 ⇔ (1 − x)(3 − x) + (1 − y )(5 − y ) = 0
⇔ x2 + y2 − 2x − 6 y + 8 = 0
c. Giả sử phương trình (C) có dạng:

x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với

a 2 + b2 − c > 0
Điểm A(1,2) ∈ (C ) nên 5 − 2a − 4b + c = 0

(1)

Điểm B (3,1) ∈ (C ) nên 10 − 6a − 2b + c = 0

(2)

Tâm I (a, b) ∈ ( d ) nên 7a + 3b + 1 = 0

(3)

Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), (3), ta được:
1
3
a = , b = − , c = −10
2
2
2
2
Vậy phương trình đường trịn (C ) : x + y − x + 3 y − 1 = 0

Ví dụ 2: Lập phương trình đường trịn đi qua 3 điểm M(1,2); N (5,2); P(1,-3)
Giải
Cách 1:Phương trình đường trịn (C) có dạng:
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 , điều kiện: a 2 + b 2 − c > 0
M (1;2) ∈ (C ) ⇒ 1 + 4 − 2a − 4b + c = 0

(1)

N (5;2) ∈ (C ) ⇒ 25 + 4 − 10a − 4b + c = 0

(2)

P (1;3) ∈ (C ) ⇒ 1 + 9 − 2a + 6b + c = 0

(3)

1
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) ta được a = 3, b = − , c = −1
2
2
2
Vậy phương trình đường trịn (C ) : x + y − 6 x + y − 1 = 0

Cách 2: Đường tròn đi qua 3 điểm phân biệt nghĩa là đường tròn ngoại
tiếp tam giác ⇒ tâm I cách đều 3 đỉnh của tam giác
 IM 2 = IN 2
Gọi I (a;b) là tâm của đường tròn ⇒ I M = IN = IP = R ⇒  2
2
 IM = IP


a = 3
(1 − a) 2 + (2 − b) 2 = (5 − a) 2 + (2 − b) 2

⇒

⇔
1
2
2
2
2
(1 − a) + (2 − b) = (1 − a ) + ( −3 − b)
b = − 2
2

41
1
41
⇒ phương trình của đường trịn: ( x − 3) 2 +  y + ÷ =
R − IM =
4
2
4

2

2

Cách 3: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của hai đường
trung trực. (học sinh tự làm)
Ví dụ 3: Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có phương trình ba
cạnh sau:
( AB ) : x − 5 y − 2 = 0,

( BC ) : x − y + 2 = 0,

( AC ) : x + y − 8 = 0

Giải
Cách 1: Tìm tọa độ điểm A, B, C
+) AB ∩ AC = A(7,1)
BC ∩ BA = B(−3, −1)
CA ∩ CB = C (3,5)
+) Giả sử đường trịn (C) ngoại tiếp ∆ABC có dạng:
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 , với a 2 + b 2 − c > 0
Điểm A, B, C ∈ (C ) , ta được
14a + 2b + −c = 50
a = 2


6a + 2b + c = −10 ⇔ b = 0 , Thỏa mãn điều kiện.
6a + 10b − c = 34
c = −22


2
2
Vậy phương trình đường trịn (C ) : x + y − 4 x − 22 = 0

Cách 2: Nhận thấy rằng: BC ⊥ AC ⇔ ∆ABC vuông tại C
Do đó:
(C ) có tâm I trung điểm AB, bán kính R =

AB
2

Tương tự như cách 1 ta có: A(7,1) và B (−3, −1)


a(2,0
(
C
)
⇔ (C ) :( x − 2) 2 + y 2 = 26
Vậy ta được:

 R = 26
Ví dụ 4: Cho hai điểm: A(4,0); B(0;3) . Lập phương trình đường tròn nội tiếp
∆OAB
Giải
Cách 1: Tâm I là giao của hai đường phân giác trong của góc AOB và
góc BAO.
+) Phương trình phân giác trong của góc AOB là: x-y =0
x y
PT (AB) được cho bởi: ( AB ) : + = 1 ⇔ 3 x + 4 y − 12 = 0
4 3
+) Phương trình các đường phân giác của góc BAO được cho bởi:
(∆ ) : 3 x − y − 12 = 0
3 x + 4 y − 12
y
=±
⇔ 1
9 + 16
1
(∆ 2 ) : 3x + 9 y − 12 = 0

Trong đó (∆ 2 ) là đường phân giác trong của BAO
x − y = 0
⇒ I (1;1)
Khi đó tọa độ tâm I là nghiệm của hệ: 
3 x + 9 y − 12 = 0
Bán kính r = d ( I ; OA) = 1
2
2
Vậy phương trình đường trịn (C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 1

Cách 2: Nhận xét rằng:
• Tâm I(a;b) thuộc góc phần tư thứ nhất, suy ra a > 0; b > 0
• (C) tiếp xúc vơi )A, OB. Vậy a = b = r
Ta có: S∆ABC = p.r

Trong đó:

1
A∆ABC = .OA.OB = 6
2
1
p = (OA + OB + AB ) = 6
2

Thay (2) , (3) ta được: r = 1

(1)
(2)
(3)

2
2
Vậy phương trình đường trịn (C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 1

 Nhận xét: Để lập phương trình đường trịn nội tiếp tam giác, ta cần lựa
chọn 1 trong 2 hướng sau:
Hướng 1: Tổng quát, ta có thể lựa chọn một trong hai cách để thể hiện:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước
Bước 1: Viết phương trình hai phân giác trong của góc A và góc B
Bước 2: Tâm I là tọa độ giao điểm của hai đường phân giác trên
Bước 3: Tính khoảng cách từ I tới một cạnh của tam giac, ta được bán kính
Bước 4: Thiết lập phương trình đường tròn.
Cách 2: Ta thực hiện theo các bước sau
Bước 2: Tính diện tích S của ∆ABC và các cạnh; từ đó suy ra bán kính r
bới cơng thức: r =

S
p

Bước 2: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC ; khi đó từ điều
kiện khoảng cách từ I tới ba canh bằng, r, ta có được hệ theo hai ẩn a, b ⇒ tọa
dộ của I.
Bước 3: Thiết lập phương trình đường trịn.
Hướng 2: Dựa trên dạng đặc biệt của ∆ABC , tức là:
1. Nếu ∆ABC đều, canh bằng a thì (C) có tâm I là trọng tâm ∆ABC ,
bán kính R =

a 3
6

2. Nếu ∆ABC cân tại A, ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Gọi E là trung điểm của BC. Lập phương trình của tham số của (AE)
uu
r
IA
BA
Bước 2: Tâm I ∈ ( AE ) và thỏa mãn uur = −
BE
IE
Bước 2: Thiếp lập phương trình đường trịn (C) với tâm I, bán kính r = (IE)


Ví dụ: Lập phương trình đường trịn (C) có tâm I (5,6) và tiếp xúc với
 x = 2 + 4t
, (t ∈ R)
đường thẳng (d) có phương trình (d ) : 
 y = 3t
Giải:
Cách 1:
Đường tròn (C) tâm I(5,6), bán kính R có dạng:
(C ) : ( x − 5) 2 + ( y − 6) 2 = R 2

(1)

Thay x,y từ phương trình tham số của (d) vào (C), ta được:
25t 2 − 60t + 45 − R 2 = 0

(2)

(C) tiếp xúc với (d) ⇔ phương trình (2) có nghiệm kép
6
⇔ ∆ = 0 ⇔ R 2 = 9 (khi đó ta được t = )
5
2
2
Vậy phương trình đường trịn (C ) : ( x − 5) + ( y − 6) = 9

Cách 2:: Chuyển phương trình (d) về dạng tổng quát ta được:
(d ) : 3 x − 4 y − 6) = 0
Gọi R là bán kính đường trịn (C)
3.5 − 4.6 − 6

(C) tiếp xúc với (d) ⇔ R = d ( I ,(d ) ) =

9 + 16

=3

2
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : ( x − 5) + ( y − 6) = 9

Ví dụ: Cho hai đường thẳng có phương trình:
(d1 ) : 2 x + y − 1 = 0,

(d 2 ) : 2 x − y + 2 = 0

Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với hai đường thẳng (d1 ) , (d 2 ) .
Suy ra tâm I thuộc đường phân giác của của góc tạo bởi (d1). (d2).

Các đường phân giác của góc tạo bởi (d1), (d2) có phương trình:
(∆ ) : 2 y − 3 = 0
2x + y − 1
2x − y + 2
=±
⇔ 1
4 +1
1+ 4
(∆ 2 ) : 4 x + 1 = 0


* Nếu I (a, b) ∈ ( ∆1 ) được: 2b − 3 = 0 (2)
5
3
Giải hai phương trình(1), (2) ta được: a = ; b =
2
2
5 3
2. + − 1
11
Khi đó bán kính
2 2
R = d ( I ,(d1 ) ) =
=
4 +1
2 5
2

2

5 
3  121

Vậy phương trình đường trịn (C1 ) :  x − ÷ +  y − ÷ =
2 
2
20

Tương tự với I (a, b) ∈ ( ∆ 2 ) ta được phương trình đường tròn
2

2

1 
5  121

(C2 ) :  x + ÷ +  y + ÷ =
Vậy tồn tại hai đường tròn (C 1) và (C2) thỏa
4 
4
80

mãn điều kiện đầu bài.
DẠNG 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
Phương pháp chung
Ta thực hiện theo các bước
Bước 1: Xác định định phương tính của M đối với đường tròn (C) là PM /( C ) .
Bước 2: Kết luận:
 Nếu PM /( C ) < 0 ⇔ M nằm trong đường tròn
 Nếu PM /( C ) < 0 ⇔ M nằm trên đường tròn

 Nếu PM /( C ) < 0 ⇔ M nằm ngồi đường trịn
Chú ý: Ta có các kết quả sau:


Nếu M nằng trong (C) ⇒ không tồn tại tiếp tuyến của (C) đi qua M

nhưng khi đó mọi đường thẳng qua M đều đặt (C) tại hai điểm phân biệt.


Nếu M nằm trên (C) ⇒ tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (C) đi qua



Nếu M nằm ngoài (C) ⇒ tồn tại hai tiếp tuyến của (C) đi qua M

M
Ví dụ: Cho điểm M(5;2) và đường trịn (C) có phương trình:


(C ) : x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 21 = 0
a. Chứng tỏ rằng điểm M nằm trong (C)
b. Lập phương trình đường thẳng (d1) đi qua M và cắt đường tròn (C)
tại hai điểm E, F sao cho M là trung điểm EF.
c. Lập phương trình đường thẳng (d2) đi qua M và cắt đường tròn (C)
tại hai điểm A, B sao cho AB = 4
Giải.
Đường trịn (C) có tâm I(4,3) và bán kính R = 2
a. Ta có: PM /( c ) = −2 < 0 ⇔ M nằm trong đường trịn
b. Vì M là trung điểm EF, do đó:
qua M (5;2)

uuur
(d1 ) : 
⇔ ( d1 ) :1.( x − 5) − 1( y − 2) = 0 ⇒ ( d1 ) : x − y − 3 = 0
vtpt
IM
(1;
−
1)

c. Vì (d2) qua M và cắt đường trịn (C) tại hai điểm AB sao cho AB = 4 = 2R
qua M (5;2)
x −5 y −2
⇔ (d 2 ) : 
⇔ (d2 ) :
=
⇔ (d 2 ) : x + y − 7 = 0
4−2 3−2
qua I (4;3)
DẠNG 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp chung:
Ta lựa chọn một trong ba cách sau:
Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tới (d), rồi so sánh với bán kính R của
đường trịn, ta được:
 Nếu h > R ⇔ (d ) ∩ (C ) = φ
 Nếu h > R ⇔ (d ) tiếp xúc với (C)
 Nếu h < R ⇔ (d ) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B
Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C) và (d), khi đó số nghiệm của
phương trình bằng số giao điểm của (d) và (C)
Cách 3: Sử dụng phương pháp tham số của đường tròn

Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường trịn (C) và đường tahwngr (d) có phương trình:
(C ) : x 2 + y 2 − 1 = 0,

(d ) : x + y − 1 = 0

a. Chứng tỏ rằng (d) cắt (C) tại hai điểm A, B
b. Lập phương trình đường trịn đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc
đường thẳng (∆) : 2 x − y − 2 = 0
Giải:
Đường trịn (C) có tâm O(0,0) và bán kính R=1
Ta có: d ( O,( d ) ) =

−1
1+1

=

1
2

Vậy (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b. Giả sử phương trình đường trịn (S) có dạng
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với a 2 + b 2 − c > 0
Điểm A(0,1) ∈ ( S ) nên 1 − 2b + c = 0

(1)

Điểm A(0,1) ∈ ( S ) nên 1 - 2a + c = 0
Tâm I(1,b) ∈ (∆) nên 2a - b – 2 = 0
Giải hệ phương trình tạo bởi (1),(2), (3) ta được: a= b = 2, c = 3.
2
2
Vậy phương trình đường trịn ( S ) : x + y − 4 x − 4 y + 3 = 0

Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi đường thẳng (d m ) : mx + 2 y − m = 0
2
2
ln cắt đường trịn (C ) : x + y − 2 x − y − 8 = 0 tại hai điểm phân biệt

Giải
Ta nhận rằng


(d m ) luôn đi qua điểm cố định M (1,0)



Pm /( C ) = 9 < 0 ⇒ M ở trong (C)
Vậy họ (dm) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

DẠNG 5. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN


Phương pháp chung:
I. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn.
Để lập phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C) tâm I(a,b), bán kính

R thỏa mãn điều kiệnK ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử được đường thẳng (d) có
phương trình: Ax + By + C = 0 .
Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C ) ⇔ d ( I ,(d ) ) = R
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)
Chú ý: Điều kiện K thường gặp:
1. Tiếp tuyến đi qua M cho trước, khi đó:
a. Nếu M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) ( tức là PM /( C ) = 0 ), ta có ngay
qua M ( x0 , y0 )
uuur
(d ) : 
⇔ ( d ) : ( x0 − a)( x − x0 ) + ( y0 − b)( y − y0 ) = 0
vtpt IM ( x0 − a; y − b)
b. Nếu M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) (tức là PM /( C ) ≠ 0 ta giả sử:
c. (d ) : A( x − x0 ) + B(( y − y0 ) = 0 ⇔ (d ) : Ax + By0 = 0
2. Tiếp tuyên song song với đường thẳng (∆) : Ax + By + C = 0 khi đó:
(d ) : Ax + By + D = 0
3. Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (∆)Ax + By + C = 0 khi đó:
(d ) : Bx − Ay + D = 0
4. Tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó: (d ) y = kx + m ⇔ (d ) : kx − y + m = 0
5. Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng (d) một góc α , khi đó ta sử dụng một
trong hai công thức sau:
rr
a.b
r r
cos α = r r với a, b thứ tự và vtcp của (d), ( ∆) .
a.a


tgα =

k1 = k2
với k1, k2 lần lượt là hệ số góc của (d), ( ∆)
1 + k1.k2

Các ví dụ.
Ví

dụ.

Lập

phương

trình

tiếp

tuyến

của

đường

trịn

(C ) : ( x − 1) 2 + ( y − 4) 2 = 25 đi qua điểm M(5,1); N(-4,-6)
Giải:
Nhận xét rằng: PM /( C ) = 0 ⇔ M ∈ (C ) ⇒ (C ) có duy nhất 1 tiếp tuyến tại
M.

PM /( C ) > 0 ⇔ M nằm ngoài (C) ⇒ tồn tại hai tiếp tuyến với (C) qua N.
Đường trịn (C ) có tâm I(1,4) bán kính R = 5
• Phương trình tiếp tuyến của đường trịn tại M(5,1) có dạng:
(5 − 1)( x − 5) + (1 − 4)( y − 1) = 0 ⇔ 4 x − 3 y − 17 = 0
• Đường thẳng (d) đi qua N(-4-6) có dạng:
A( x + 4) + B( y + 6) = 0(d ) ⇔ Ax + By + 4A +6B= 0

(d)

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ d ( I ,(d ) ) = R
A + 4B + 4 A + 6B
A +B
2

2

= 5 ⇔ A + 2 B = A2 + B 2

B = 0
⇔ 3B + 4 AB = 0 ⇔ 
4A
B = −
3

2

- Với B = 0 ta được tiếp tuyến (d1 ) : A( x + 4) = 0 ⇔ (d1 ) : x + 4 = 0
Với B =

−4 A

ta được tiếp tuyến
3

(d 2 ) : A( x + 4) −

4A
( y + 6) = 0 ⇔ (d 2 ) : 3 x − 4 y − 12 = 0
3

Vậy qua Ma kẻ được hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới đường tròn (C)


Ví

dụ

2:

Lập

phương

trình

(C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 vng

tiếp
góc

tuyến

của

với

đường

đường

trịn
thẳng

(∆) : 3 x − 4 y = 12 = 0
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(1,3), bám kính R =1
Tiếp tuyến (d ) ⊥ (∆) có phương trình 4 x + 3 y + C = 0
Đường

thẳng

4.1 + 3.3 + C
16 + 9

(d)

là

tiếp

tuyến

của

(d)

(C ) ⇔ d ( I ,(d ) ) = R

c = −18
=1⇔ 
c = −18

• Với c= - 18 ta được tiếp tuyến (d1 ) : 4 x + 3 y − 18 = 0
• Với c = -18 ta được tiếp tuyến (d 2 ) : 4 x + 3 y − 8 = 0
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới (C) thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Ví

dụ

3:

Lập

phương

trình

tiếp

tuyến

của

đường

trịn

(C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 20 có số hệ góc bằng 2.
Giải:
Đường thẳng (d) với hsg k = 2 có dạng: y = 2 x + m ⇔ 2 x − y + m = 0
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C ) ⇔ d ( I ,(d ) ) = R
m = 7
= 2 5 ⇔ m + 3 = 10 ⇔ 
4 +1
 m = −13

4 −1+ m

- Với m = 7 thay vào (1) được tiếp tuyến (d1 ) : 2 x − y + 7 = 0
- Với m = -13 thay vào (1) được tiếp tuyến (d 2 ) : 2 x − y − 13 = 0
Vậy có hai tiếp tuyến (d1), (d2) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

(1)


Ví

dụ

4:

Lập phương trình

(C ) : ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 10

( ∆ ) : 2x + y − 4 = 0

tiếp

tuyến

của

đường tròn

biết tiết tiếp tuyến tạo với đường thẳng

một gics bằng 450.
Giải:

Đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và bán kính R = 10
Cách 1: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến (d) và đường
thẳng ( ∆ )
Ta có: k2 = −2 theo giả thiết:
 k1 = 3
k
−
k
−
k
−

2
tg 450 = 1 2 ⇔ 1
=1⇔ 
 k1 = − 1
1 + k1.k2
1 − 2k1
3

a. Với k1 = 3 , ta được: (d1 ) : y = 3 x + m ⇔ (d1 ) : 3 x − y + m = 0

(1)

Đường thẳng (d1) là tiếp tuyến của (C)
⇔ d ( I ,(d1 ) ) = R ⇔

m = 6
= 10 ⇔ m + 4 = 10 ⇔ 
9 +1
 m = −14

3 +1+ m

 Với m = 6, thay vào (1) được tiếp tuyến (d1.1 ) : 3 x − y + 6 = 0
 Với m = -14, thay vào (1) được tiếp tuyến (d1.2 ) : 3 x − y − 14 = 0
1
1
b. Với k1 = − , ta được: (d 2 ) : y = − x + n ⇔ (d 2 ) : x + 3 y − 3n = 0 (2)
3
3
Đường thẳng (d 2 ) là tiếp tuyến của (C)

⇔ d ( I ,(d 2 ) ) = R ⇔

a − 3 − 3n
1+ 9

 n = −4
= 10 ⇔ 3n + 2 = 10 ⇔ 
8
n =
3


 Với n = - 4, thay vào (2) được tiếp tuyến (d 2.1 ) : x + 3 y + 12 = 0
8
 Với n = , thay vào (2) được tiếp tuyến (d 2.1 ) : x + 3 y − 8 = 0
3


Vậy tồn tại bốn tiếp tuyến (d1.1 ),( d1.2 ),(d 2.1 ),(d 2.2 ) tới (C) thỏa mãn điều
kiện đầu bài.
Cách 2: Giả sử tiếp tuyến (d) có phương trình: Ax + By + C = 0
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)
⇔ d ( I ,(d ) ) = R ⇔

A− B+C
A2 + B 2

= 10

(2)

0
0
Đường thẳng (d) tạo với ( ∆ ) một góc 45 ⇔ cos 45 =

2A + B
4 + 1. A2 + B 2

 A = −3B
2A + B
2
2
2
=
⇔ 3 A + 8 AB − 3B = 0 ⇔ 
B
2
2
A =
2
5( A + B )
3

 Với A = -3B thay vào (2) ta được:
C = 14 B
=
10
⇔
C
−

4
B
=
10
B
⇔
C = −6 B
2

( −3B ) + B 2

−3B − B + C

+)

Với

C = 14 B

thay

vào

(1)

ta

được

tiếp

tuyến

( ∆ ) : −3Bx + By + 14 B = 0
1

⇔ ( ∆1 ) : 3 x − y − 14 = 0
+) Với C = −6 B , thay vào (1) ta được tiếp tuyến

( ∆ ) : −3Bx + By − 6 B = 0
2

⇔ (∆ 2 ) : 3x − y + 6 = 0
 Tương tự với A =

B
ta được hai tiếp tuyến:
3

( ∆ ) : x − 3y − 8 = 0
3

( ∆ ) : x + 3 y + 12 = 0
4

II. Tiếp tuyến trung của hai đường trịn.
Phương pháp chung:
Để lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1 ) và (C2) ta
thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Giả sử đường thẳng (d ) : Ax + By + C = 0 với A2 + B 2 > 0 là
tiếp tuyến chung của đường tròn (C1 ) và (C2)
d ( I1 ,(d ) ) = R1
Bước 2: Thiết lập điều kiện tiế xúc của (d) với (C1) và (C2): 
d ( I 2 ,(d ) ) = R2
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến chung (d)
Ví

dụ:

Cho

hai

đường

trịn

(C1 ) : ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 1 và

(C1 ) L( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 = 4
Lập phương trình tiếp tuyến chúng của hai đường trịn trên
Giải
• Đường trịn (C1) có tâm I1(1,1) và bán kính R1 = 1
Đường trịn (C2) có tâm I2 (2,-1) và bán kính R2 = 2
• Giả sử tiếp tuyến chung (d) có phương trìnhL Ax + By + C = 0 với
A2 + B 2 > 0
d ( I1 (d ) ) = R1
⇔

• Điều kiện (d) tiếp xúc với (C1) và (C2)

d ( I 2 (d ) ) = R2
 A + B + C = A2 + B 2
 A+ B +C
=1

2
2

 A2 + B 2
 A + B + C = A + B

C = −3B
⇔
⇔

1
 2A − B + C = 2
 2 A − B + C = 2 A + B + C
 
 A2 + B 2
 C = − 3 (4 A + B )
C = −3B




2
2


 A + B − 3B = A + B
C = −3B & B = 0

1
⇔  C = − (4 A + B )
⇔
3B
C = −3B & A =
 
3

4

1
  A + B − 4 A + B = A2 + B 2
3
 
Khi đó ta được hai tiếp tuyến chung:
(d1 ) : Ax = 0 ⇔ (d1 ) : x = 0


(d 2 ) :

3B
x + By − 3B = 0 ⇔ ( d 2 ) : 3 x + 4 y − 12 = 0
4

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến chung (d1 ),(d 2 ) của (C1 ) và (C2 ) .

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Xác định phương trình đường trịn, chỉ rõ tâm và bán kính.

(

a. x − 2

)

2

+ ( y − 3) = 6

2
2
2
c. 2 x + 2 y − 5 x − 4 y + m + 1 = 0

2

2
2
b. x + y − 4 x + 8 y − 5 = 0

2
2
d. 16 x + 16 y + 16 x − 8 y = 32

2
2

Bài 2: Cho họ đường cong: (Cm ) : x + y − 2(m + 2) x − 2(m + 4) y + 4m + 2 = 0

a. Tìm m để (Cm) là phương trình đường trịn.
b. Tìm tập hợp tâm các đường trịn.
c. Tìm các điểm cố định mà mọi đường tròn của họ (Cm) đều đi qua
Bài 3: Lập phương trình đường trịn trong các trường hợp sau
a. Tâm I(2;1), bán kính R = 5
b. Đường kính AB với A(1;2), B(2:- 1)
c. Đi qua điểm A(3;1), B (5;5) và tâm nằm trên trục tung.
Bài 4. Hai đường thẳng (d1 ) : x + 2 y + 3 = 0 và (d 2 ) : x + 2 y + 9 = 0
Lập phương trình đường trịn có tâm I thuộc đường thẳng
(d ) : x + y + 1 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1 ),(d 2 ) .
2
ĐS: (C ) : ( x − 4) + ( y + 5) =
2

9
5

Bài 5. Lập phương trình đường trịn đi qua A(2:-1) và tiếp xúc với OX, OY.
Bài 6: Lập phương trình đường trịn (C) đi qua điểm A (-1;-2) và tiếp xúc với
đường thẳng (d): 7x – y – 5 = 0 tại điểm M(;1;2)
2
2
Bài 7: Lập phương trình tiếp tuyến của đường trịn (C ) : x + y − 4 x − 2 y = 0


Biết tiếp tuyến đi qua A(3,2)
2
2

Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : x + y − 6 x + 2 y = 0

Biết tiếp tuyến vng góc (song song) với đường
Bài 9: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường trịn:
(C1 ) x 2 + y 2 − 6 x + 5 = 0 và (C2 ) x 2 + y 2 − 12 x − 6 y + 44 = 0
2
2
Bài 10: Cho đường tròn (C )( x + 1) + ( y − 2) = 9 và điemr M (2, -1)

a. Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến với (C). Hãy viết
phương trình của hai tiếp tuyế đó.
b. Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến với (C).
Hãy viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua M1 và M2.
Hướng dẫn:
a. M ∈ (C ) ⇒ xác định được hai tiếp tuyến với (C).
Qua M (2,1) ta vẽ được hai tiếp tuyến với (C) đó là: (d1 ) : y + 1 = 0
(d 2 ) : x − 2 = 0
b. (d1) tiếp xúc với (C) tại M1 (-1,1)
d2 tiếp xúc với (C) tại M2 (-2,2)
Phương trình của đường thẳng (d) đi qua M1 và M2 là: x – y = 0


CHƯƠNG III. KẾT LUẬN
Hiện nay trong trường THPT học sinh nói chung có nhận thức tốt, ham
hiểu biết có tư duy sáng tạo nhanh nhưng chưa có hệ thống logic. Việc cung
cấp bồi dưỡng cho học sinh những phương pháp học hiệu quả là rất hữu ích,
đó cũng chính là mục tiêu mà giáo viên mong muốn.
Đối với phương trình đường tròn cần cho học sinh nắm được những
kiến thức cơ bản và những kiến thức liên quan như: Các dạng phương trình
đường thẳng, điều kiện tiếp xúc,.... từ đó học sinh có thể biết vận dụng vào

giải các bài toán.
Một số quan điểm quan trọng khi giải bài tập về phương trình đường trịn:
- Định hướng cho học sinh làm bài tập
- Hướng dẫn học sinh biết cách phân tích đề
- Xác định các dạng tốn của phương trình đường tròn
- Sử dụng các điều kiện liên qua đến đường tròn như: Điều kiện tiếp
xúc, xác định được vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong các trường hợp:
Vng góc, song song, tạo bởi góc α ...
Do vậy, cần tạo điều kiện và thường xuyên nhắc nhở để học sinh tạo
được cơ hội củng cố kiến thức và ôn tập tốt hơn.
Vì là sinh viên thực tập lần đầu tiên đứng trên bục giảng vốn kinh
nghiệm chưa có nhiều nên em khơng có tham vọng gì hơn ngồi việc giới
thiệu cho học sinh các hệ thống kiến thức bài học.


Do điều kiện thời gian còn hạn hẹp nên đề tài nghiên cứu chắc chắn
khơng tránh những thiếu xót, bản thân em rất mong sự đóng góp của các thầy
cơ và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Ngọc Hóa và các thầy cô giáo
trong tổ chuyên môn của nhà trường đã tận tình giúp đỡ em hồn thành đề tài
nghiên cứu khoa học này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK hình học + BT hình học lớp 10
2. Hướng dẫn giải bài tập hình học 10, Phan Thanh Quang (Chủ biên)
3. Hình học giải tích trong mặt phẳng, Lê Hồng Đức (Chủ biên)
4. Tuyển tập bài tập toán lớp 10, Đậu Thế Cấp, Nguyễn Việt Dũng
5. Toán bồi dưỡng học sinh PTTH: Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải.


MỤC LỤC

A. PHẦN MỞ ĐẦU
B. PHẦN NỘI DUNG
Chương I: Một số kiến thức cơ bản
Chương II: Hệ thống các dạng bài toán
Chương III: Kết luận
TÀI LIỆU THAM KHẢO