Tóm tắt xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian

A. Mở ĐầU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các
phép biến đổi. Nói một cách khác, ngời ta cho rằng đó là môn học về " Hình và Số"
theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tợng định
nghĩa từ các tiền đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các
quan điểm khác của nó đợc miêu tả trong tiết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng
rãi trong nhiều khoa học, toán học đợc mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Hình học là một phần của toán học, hình học là ngành toán học nghiên cứu liên
hệ không gian. Trong hình học ngời ta chia ra nhiều nhánh khác nhau trong đó có
hình học vi phân.
Hình học vi phân là một nhánh của hình học sử dụng các công cụ và phơng
pháp của phép tính vi phân và tích phân cũng nh đại số tuyến tính và đại số đa tuyến
tính để nghiên cứu các vấn đề của hình học.
Hình học vi phân đợc phát triển mạnh mẽ từ đầu thế kỷ XIX. Gauss là một
trong những nhà toán học tiên phong trong lĩnh vực này. Cuối thế kỷ XIX tất cả
những nghiên cứu đợc tập hợp và hệ thống hoá lại bởi các nhà toán học Jran Gastan
Dar boux và Luigi Bian chi.
Lý thuyết về các đờng cong trong mặt phẳng không gian cũng nh về các mặt
cong trong không gian Euclid ba chiều đã trở thành cơ sở cho sự phát triển hình học
vi phân. Việc xây dựng hệ thống bài tập của môn học này sẽ giúp em hiểu rõ hơn bản
chất của hình học vi phân.
Trong khuôn khổ có hạn của một khóa luận tốt nghiệp, em chỉ dừng lại ở việc
"Xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian E 3 ".
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu việc xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số
trong không gian E 3 . Trên cơ sở đó xây dựng đợc hệ thống bài tập một cách khoa
học, rõ ràng và chính xác qua đó thấy đợc ý nghĩa của việc học tập môn học này, hiểu
sâu và nắm vững kiến thức của nh lý thuyết trong quá trình giải bài tập.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
a. Trình những lý thuyết cơ sở về lý thuyết mảnh tham số.

1


b. Trình bày những ví dụ dể hiểu lý thuyết.
c. Trình bày hệ thống các bài tập từ dễ đến khó về lý thuyết mảnh tham số trong
không gian E 3 .
4. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu
- Về khách thể nghiên cứu: Do trong khuôn của một khóa luận cho phép em chỉ
nghiên cứu lý thuyết và bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian E 3 .
- Về đối tợng nghiên cứu
+ Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh thanh số trong không gian E 3 .
+ Nghiên cứu hệ thống bài tập từ dễ đến khó lý thuyết trên.
5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài " Xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không
gian E 3 " giúp em hiểu thêm về hình học vi phân và biết cách áp dụng giải bài tập và
có cái nhìn đúng đắn về môn học này.
6. Phơng pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu sách giáo trình, tài liệu tham số và các tạp chí toán học, các bài
giảng chuyên đề, các giáo trình hình học, các tài liệu liên quan tới nội dung nghiên
cứu, kiến thức thực hành và đặc biệt là sự nhiệt tình giúp đỡ và góp ý của thầy giảng
viên hớng dẫn.

b. nội dung
Chơng 1: các kiến thức chuẩn bị.
1.đại cơng lý thuyết mảnh tham số trong không gian e 3.
1.1.định nghĩa mảnh tham số trong không gian e 3.
Giả sử U là một tập mở khác của R2, ánh xạ r từ tập mở U vào không gian
Euclid 3 chiều E3 :
r : U E3
(u,v) a r(u,v)

Là một mảnh tham số trong E3 ( r : khả vi đến lớp cần thiết )
tập U gọi là miền tham số hay miền xác định của mảnh.
1.2. định nghĩa đờng toạ độ, trờng véc tơ tiếp xúc.
2


Với mỗi điểm (u0,v0) U thì các tập hợp A = { u | (u, v0 ) U } ,

B = { v | (u 0 , v ) U }

là những tập mở của R. do đó ánh xạ :
r1 : A E 3
u a r1(u) = r(u,v0)
r1 : B E 3
v a r2(v) = r(u0,v)
Là những cung tham số của E3, cung tham số u a r(u,v0) trong E3 (u thay đổi
một khoảng J R nào đó, u0 J) gọi là đờng toạ độ v = v0; cungtham số v a r2(v) =
r(u0,v) trong E3 gọi là đờng toạ độ u = u0.theo định nghĩa đạo hàm thì ru : u
ru(u, v0 ) là một trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r 1 ; v rv(u0 , v ) là một trờng véc

tơ tiếp xúc dọc theo cung r2.
1.3 định nghĩa điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh tham số chính quy.
Cho mảnh tham số :
r : U E3
(u,v) a r(u,v)
Điểm (u0,v0) U ( hay điểm r(u0,v0) E3) gọi là điểm chính quy của r nếu hai
véc tơ ru(u0 , v0 ) và rv(u0 , v0 ) độc lập tuyến tính. điểm không chính quy của r gọi là
điểm kì dị của r. nếu mọi điểm của U đều là điểm chính quy thì r gọi là mảnh chính
quy.
1.4 định nghĩa tiếp diện của mảnh tham số r tại điểm, phơng trình tiếp diện của r

tại điểm, pháp tuyến của mảnh.
Tại điểm chính quy (u0,v0) của mảnh tham số r, gọi 2 - phẳng trong E3 đi qua


r(u0,v0) với không gian véc tơ chỉ phơng ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 ) là mặt phẳng tiếp xúc hay

tiếp diện của r tại điểm ( u0,v0) ; đờng thẳng qua r(u0,v0) thẳng góc với tiết diện tại
(u0,v0) là pháp tuyến của r tại (u0,v0).
Trong toạ độ afin ( x,y, z) của E3 viết :
r( u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)).
(trong đó (u,v) a x(u,v), y(u,v), z(u,v) là những hàm số trên U) thì phơng trình
tiếp diện của r tại (u0,v0) là :

3


X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 )
xu (u0 , v0 )
yu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) = 0 .
xv (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 )
Và khi toạ độ đó là descartes vuông góc thì phơng pháp tuyến của r tại (u0,v0)
là :
X x(u0 , v0 )
Y y (u0 , v0 )
Z z (u0 , v0 )
=
=

yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 )
xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 )

1.5 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.
Cho hai mảnh tham số trong E3 :
r : U E3 và r% : U% E 3
Nếu có một vi phôi :U U% ( là một ánh xạ đồng phôi khả vi và ánh xạ ngợc 1 :U% U cũng khả vi) sao cho r = r%. thì ta nói r tơng đơng với r% và gọi là một
phép tham số giữa U và U% ( hay từ r sang r% ). nếu có phép đổi tham số nh trên thì từ
U% = (U ) , r = r% o ta có r (U ) = r% (U% ).

sơ đồ:



U

U%

r

r%
r (U ) r% (U% )

Giả sử r : U E 3
(u,v) a r(u,v)
Ta đặt (u, v) = (u% (u, v), v% (u, v)) U% thì u% : U R , v% : U R là hai hàm khả vi và

định thức :
u%
u
=
v%
u

u%
v
0
v%
v

Nếu > 0 tại mọi (u,v) U ta nói r tơng đơng bảo hớng với r% .
Nếu < 0 tại mọi (u,v) U ta nói r tơng đơng đảo hớng với r% .
4


* ta suy ra các tính chất từ hai mảnh tham số tơng đơng :
1. quan hệ tơng đơng giữa các mảnh tham số trong E 3 là quan hệ tơng đơng
theo nghĩa thông thờng.
2. mỗi lớp tơng đơng gọi là một mảnh. Vậy để cho một mảnh ta chỉ cần cho
một mảnh tham số đại diện cho nó trong E3 và r gọi là một tham số hoá của mảnh.
3. quan hệ tơng đơng bảo tồn hớng giữa các mảnh tham số trong E 3 (định thức
> 0 ) cũng là quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng.

4. mỗi lớp tơng đơng theo quan hệ ấy gọi là một mảnh định hớng. để cho một
mảnh định hớng ta cũng chỉ cần cho một mảnh tham số đại diện cho nó.
1.6 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.
2

Cho U là một tập mở trong mặt phẳng R = {( xi , x j ), i j} . Giả sử trong E3 cho

một hệ toạ độ afin dạng (x1, x2, x3). Khi đó mảnh tham số :
r : U E3 có biểu thức dạng r ( xi , x j ) = ( f1 ( xi , x j ),......, xi ,......, f3 ( xi , x j )) nghĩa là
r ( xi , x j ) = ( f1 ( xi , x j ),......., f 3 ( xi , x j )) trong đó f i ( xi , x j ) = xi , f j ( xi , x j ) = x j , đợc gọi là một

mảnh tham số kiểu đồ thị ( hai toạ độ xi, x j đợc lấy làm hai tham số).
1.7 : Ví dụ cho phần lý thuyết ( các hệ toạ độ trong E 3 dùng ở đây đều là hệ toạ độ
trực chuẩn):
ur

ur

Ví dụ 1.1: trong không gian E3 cho 2 vectơ và , điểm O E3, ánh xạ :
r : R2 E3
ur

ur

(u,v) a r(u,v) = O + u. + v.
Là một mảnh tham số.
ur ur

Khi hệ vectơ { , } độc lập tuyến tính thì r là một mảnh tham số chính quy và
ảnh của r là một 2 - phẳng trong E3.
ur ur

Khi hệ vectơ { , } phụ thuộc tuyến tính thì mọi điểm cua mảnh đều là điểm kì dị.
Ví dụ 1.2 : ánh xạ r : R 2 E 3
(u,v) a r (u,v) = (a.cos u, b.sin u, v) ( a > 0, b > 0 ).

Là một mảnh tham số chính quy, ảnh của nó là mặt trụ eliptic

5

x2 y2
+
= 1 . Cung
a 2 b2


x2 y2
toạ độ v = v0 có ảnh là vĩ tuyến elip { 2 + 2 = 1, z = v0 } . Cung toạ độ u = u0 có ảnh là
a

b

kinh tuyến thẳng {x = a.cos u0 , y = b.sin u0 , z = v} .
Ví dụ 1.3 : ánh xạ :
r : R 2 E 3 , (u,v) a

(a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a sin v) ( a > 0 ) là một mảnh

tham số tại các điểm (u,v) mà u


+ k . ảnh của nó là mặt cầu tâm O bán kính a.
2

cung toạ độ r1 (v = v0 ) có ảnh là kinh tuyến tròn lớn {x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , y = (tan v0 ) x} trừ đi
cực bắc (0, 0 ,1) và cực nam (0 , 0 ,-1). Cung toạ độ r2 (u = u0 ) có ảnh là vĩ tuyến tròn

{x 2 + y 2 = a.cos 2 u0 , z = a.sin u0 }.

Ví dụ 1.4 : cho ánh xạ :
r : R 2 E 3 , (u,v) a ( u, v, u 2 + v 2 ) là mảnh tham số chính quy. ảnh của nó
là mặt parabolôit tròn xoay z = x 2 + y 2 . Cung toạ độ v = v0 có ảnh là parabol
{ y = v0 , z = x 2 + v0 2 } . Cung toạ độ u = u0 có ảnh là parabol {x = u0 , z = y 2 + u0 2 } .

Vì ru(u0 , v0 ) = (1, 0, 2u0 ) và rv(u0 , v0 ) = (0,1, 2v0 ) nên pháp vectơ của mảnh tại p
= r (u0 , v0 ) có thể lấy là:
r ur
ur
n = ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) = (2u0 , 2v0 ,1).

Vậy tiếp diện của mảnh tại p có phơng trình :
2u0 ( x u0 ) + 2v0 ( y v0 ) ( z u0 2 v0 2 ) = 0 .

Hay là 2u0 x + 2v0 y z (u0 2 + v0 2 ) = 0.
Pháp tuyến l của mảnh tại p có phơng trình :
x u0 y v0 z (u02 + v02 )
=
=
.
2u0
2v0
1

Ví dụ 1.5 : Mảnh tham số r : R 2 E 3 , (x, y) a r ( x, y ) = ( x, y, ax 2 + by 2 + c) là một mảnh
tham số kiểu đồ thị. ảnh r ( R 2 ) là mặt phẳng.

Chơng 2: hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số

6


trong không gian E3.

Dạng 1: Viết phơng trình tham số của các mặt trong không gian E3.
Bài 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) của các mặt tròn xoay sau
đây trong E3:
a) Mặt elipxôit tròn xoay.
b) Mặt hypebôlôit một tầng tròn xoay.
c) Mặt hypebôlôit hai tầng tròn xoay.
d) Mặt parabôlôit tròn xoay.
Bài 1.2 : Trong E 3 cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz, một đờng cong
nằm trong mặt phẳng Oxy và thuộc về một phía của trục Ox. Giả sử khi quay quanh
Oz thì quét thành một mặt tròn xoay (S).
a) Cho biết phơng trình tổng quát của , hãy viết phơng trình tổng quát của (S)
b) Cho biết phơng trình tham số của , hãy viết phơng trình tham số của (S).
Bài 1.3 : Trong mặt phẳng E 3 cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz. Viết phơng trình tham số của mặt tròn xoay S trục quay Oz, do đờng sau đây quay quanh
Oz tạo thành :
u


a) Đờng dây xích ( u ) = a.ch , 0, u ữ


a

b) Đờng truy tích ( u ) = a.sin u, 0, a. ln tan + cos u ữữ




u
2



c) Đờng tròn không cắt Oz ( u ) = ( a + b.cos u, 0, b.sin u ) (0 < b < a)
Bài 1.4 : Giả sử S là một mặt trong E 3 tạo bởi một đờng thẳng vừa quay
xung quanh trục Oz vừa tịnh tiến theo phơng trục Oz của hệ toạ độ đề các vuông góc
Oxyz. Viết phơng trình tham số của mặt S trong những trờng hợp sau :
a) Tốc độ quay là , tốc độ tịnh tiến là k . ( k > 0 ) , đờng thẳng cắt vuông
góc với trục Oz. Mặt S tạo thành gọi là mặt đinh ốc ( tổng quát).
b) Tốc độ quay là , tốc độ tịnh tiến là k . ( k > 0 ) , đờng thẳng cắt vuông
góc với trục Oz. Mặt S tạo thành gọi là mặt đinh ốc đứng.
c) Tốc độ quay là , quãng đờng tịnh tiến là một hàm của góc quay, đờng
7


thẳng cắt vuông góc với trục Oz. mặt S tạo thành gọi là mặt cônôit đứng.
Dạng 2 : xác định ảnh của các mảnh tham số có phơng trình cho trớc.
Bài 1.5 : Xác định ảnh của các mảnh tham số : r : U E 3 , ( u, v ) a r ( u , v ) có

phơng trình tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz nh sau:
2
2
a) r ( u, v ) = ( u , u.v, v )

b) r(u,v) = ( u + v, u v.u.v )
c) r ( u, v ) = ( u + sin v, u + cos v, u + a ) (a = const )
d) r ( u, v ) = ( x0 + a.cos u.cos v, y0 + b.cos u.sin v, z0 + c.sin u )
e) ( x0 , y0 , z0 , a, b, c là hằng số , abc 0 )

f) r ( u, v ) =

u
v
1
, 2 2 , 2 2 ữ ( với u 2 + v 2 0 ).
2
u +v u +v u +v
2

uv + 1 u v uv 1
, b.
, c.
g) r ( u, v ) = a.
ữ ( với abc 0, u + v 0 ).


u +v

u v

u +v

Bài 1.6 : Cho tập mở liên thông cung V của R 2 và mảnh tham số chính quy r :
V E 3 .chứng minh rằng nếu mọi pháp tuyến của mảnh đều đi qua một điểm cố định

C thì ảnh của r(V) của mảnh nằm trên một mặt cầu tâm C.
Dạng 3 : bài toán liên quan tới mặt tịnh tiến.
ur

uur

ur

Bài 1.7 : Trong không gian E 3 , cho hai hàm vectơ : A : J E 3 , u a A ( u ) và
uur
ur
ur
ur
ur
B : I E 3 , v a B ( v ) ; điểm O E 3 , Giả sử A ( u ) B ( v ) 0 . xét mảnh tham số r ( u, v )
ur
ur
= O + A ( u ) + B ( v ) . ảnh của mảnh này gọi là mặt tịnh tiến.

a) Chứng minh rằng hai đờng toạ độ cùng họ của mặt tịnh tiến, chẳng hạn đờng
u = u1 và đờng u = u2 , là ảnh của nhau qua phép tịnh tiến.

b) Chứng minh rằng mặt parabôlôit eliptic hay mặt parabôlôit hypebôlic là
những mặt tịnh tiến.

c) Chứng minh rằng quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì
nằm trên hai cung cho trớc trong E 3 nếu là một mặt thì nó là mặt tịnh tiến.
Bài 1.8 : Trong không gian E 3 cho mặt đinh ốc đứng có phơng trình tham số
trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz :
8


r ( u, v ) = ( u.cos v, u.sin v, k .v )

( k = const )

Chứng minh rằng với một số a > 0 , tập điểm P = { r ( u , v ) | a < u < a, v R} là một
mặt tịnh tiến.
Dạng 4 : bài toán liên quan đến điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh chính quy.
ur

uur

ur

Bài 1.9 : Cho cung chính quy : J E 3 và hàm vectơ A : J E 3 mà A ( u ) 0
với mọi u J . Giả sử V là một tập hợp của R 2 với mỗi u J thì tập hợp
ur
I = { v | ( u , v ) V } là một khoảng của R. xét r: V E 3 , r ( u, v ) = ( u ) + v. A ( u ) . Tập r ( V )

đợc gọi là một mặt kẻ xác định bởi mảnh tham số r. cung gọi là một đờng chuẩn
ur

của mặt kẻ r ( V ) . Mỗi đờng thẳng r ( u0 , v ) = ( u0 ) + v. A ( u0 ) gọi là một đờng sinh thẳng
của mặt kẻ r ( V ) .

a) Chứng minh rằng điểm ( u, v ) là chính quy của r khi và chỉ khi hai vectơ
uur
uur
ur
( u ) + v. A ( u ) và A ( u ) độc lập tuyến tính.

b) Khi r chính quy, mặt kẻ r ( V ) sẽ đợc gọi là một mặt kẻ khả triển nếu dọc
theo một đờng sinh thẳng bất kì các tiếp diện của r(V) trùng nhau. Chứng minh rằng
ur

uur

mặt kẻ r(V) là khả triển khi và chỉ khi r chính quy và ( u ) , A ( u ) , A ( u ) phụ thuộc
tuyến tính.
c) Mặt kẻ r(V) gọi là mặt trụ nếu các đờng sinh thẳng của nó song song với
ur

uur

nhau. Chứng minh rằng r(V) là mặt trụ khi và chỉ khi A ( u ) và A ( u ) phụ thuộc tuyến
tính.
d) Mặt kẻ r(V) gọi là mặt nón nếu các đờng sinh thẳng của nó nằm trên những
đờng thẳng đồng quy tại một điểm I nào đó. điểm I gọi là đỉnh nón. Mặt kẻ r(V) gọi
là mặt tiếp tuyến nếu các đờng sinh thẳng của nó đều nằm trên những tiếp tuyến của
đờng chuẩn.
e) Chứng minh rằng nếu r là một mảnh chính quy và r(V) là mặt trụ, hay mặt
nón, hay mặt tiếp tuyến thì r(V) là mặt khả triển.
f) Giả sử r(V) là mọt mặt khả triển mà không phải là mặt trụ và u J . Chứng
ur

uur

minh rằng luôn luôn có thể viết ( u ) = ( u ) . A ( u ) + ( u ) . A ( u ) .
g) Chứng minh rằng nếu tại một lân cận J 0 của u0 ta có ( u ) = ( u ) ( u J 0 )
9


thì có một lân cận P của r ( u0 , v0 ) trong E 3 để P r ( V ) là một mặt nón với mỗi v0 thoả
mãn ( u0 , v0 ) V .
h) Chứng minh rằng nếu ( u0 ) ( u0 ) thì có một lân cận Q của r ( u0 , v0 ) trong
E 3 để Q r ( V ) là một mặt tiếp tuyến, với mỗi v0 thoả mãn ( u0 , v0 ) V .

Bài 1.10 : Giả sử ( u, v ) r ( u, v ) là một mảnh tham số trong E 3 và ( u0 , v0 ) là
một điểm không kì dị của nó. kí hiệu là tiếp diện của mảnh r tại điểm ( u0 , v0 ) ( nh
vậy theo định nghĩa thì là 2 - phẳng đi qua điểm r ( u0 , v0 ) mà có phơng là không
gian vectơ 2 chiều ( ru ( u0 , v0 ) , rv ( u0 , v0 ) ) ).
uuuuuur

a) Chứng minh rằng phơng của cũng đợc xác định bởi T( u ,v ) r .
0

0

b) Chứng minh rằng cũng đợc tạo bởi các tiếp tuyến tại t 0 của các cung tham
số t ( t ) = r ( u ( t ) , v ( t ) ) , trong đó t a u ( t ) và t a v ( t ) là hai hàm số xác định trên
một khoảng nào đó chứa t0 , u ( t0 ) = u0 , v ( t0 ) = v0 ,

( ( u(t ))
0

2

+ ( v ( t0 ) )

2

) 0.
ur

Bài 3.11 : Cho tham số hoá r : U E 3 , ( u, v ) a r ( u , v ) = ( u ) + v. A ( u ) của một
uur

ur

mảnh mặt kẻ trong E 3 ( : J E 3 là cung chính quy và hàm vectơ A : J E 3 thoả
ur

r

mãn điều kiện A ( u ) 0 với mọi u J ).
ur

uur

ur

uur

uur

Chứng minh rằng nếu { A ( u ) , A ( u ) } độc lập tuyến tính và { A ( u ) , A ( u ) , ( u ) }
phụ thuộc tuyến tính với mọi u J thì có duy nhất các hàm số f và g trên J để cho
uur
ur
uur
( u ) = f ( u ) . A ( u ) + g ( u ) . A ( u ) với mọi u J .

Chứng minh rằng nếu f g 0 thì mặt kẻ đã cho là mặt nón, còn nếu f g
không triệt tiêu tại u nào thì mặt kẻ đã cho là mặt tiếp tuyến.
Bài 1.12 : Cho mảnh tham số trong E3 xác định bởi (u,v) a r(u,v) E3 và giả
r

sử nó không có điểm kì dị, rồi xét mảnh tham số xác định bởi (u, v) a r% (u, v) + l.n(u, v)
trong đó l là một hằng số và :
ur ur
r
ru rv
n(u , v ) = ur ur (u , v) .
ru rv

a) Chứng minh rằng nếu (u,v) là điểm không kì dị của r thì các tiếp diện của r
10


và r% tại (u,v) là hai mặt phẳng song song.
b) Tìm các điểm kì dị của r% và xét ảnh của r% khi :
r

r

c) r : R 2 \ A E 3 , r (u , v) = 0 + R.cos v. (u ) + R.sin v.k trong đó R là hằng số dơng,
r
r
r rr r
ur
(u ) = cos u.i + sin v. j , {i, j, k} là cơ sở trực chuẩn của E 3 , 0 E 3 , A là tập hợp các điểm


2

có dạng (u, + k ) ( k nguyên tuỳ ý) của R2.
Bài 1.13 : Chứng minh rằng các pháp tuyến tại các điểm không kì dị của mặt
tiếp tuyến của đờng đinh ốc tròn trục trong E3 hợp với một góc không đổi.
Bài 1.14: Trong E3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số :
r : R2 E 3
(u, v) a r (u , v) = (u.cos v, u sin v, u ) với mọi (u,v) R 2 .

a) Hãy tìm các điểm kì dị của r.
b) Hãy chỉ ra rằng pháp tuyến của r tại điểm (1,0) vuông góc với trục oy.
Bài 1.15 : Hãy tìm các điểm kì dị của mặt xác định bởi phơng trình ẩn theo hệ
trục toạ độ đêcac (x,y,z) trong E3 nh sau :
a) F ( x, y, z ) = ( x 2 + y 2 ) 2 3z 2 1 = 0 .
b) G ( x, y, z ) = ( x 2 + y 2 ) 2 xz a = 0 (a = const)
c) H ( x, y, z ) = 0 trng đó H là một đa thức bậc hai của x, y, z .
Bài 1.17 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mặt :
x2 y 2
S = {( x, y, z ) E : 2 + 2 = 1} ( a > 0, b > 0 ) .
a
b
3

a) Hãy tìm một tham số hoá của (S).
b) Chứng minh rằng tham số hoá tìm đợc ở phần a) là một mảnh tham số chính
quy.
Bài 1.18 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ
r : R 2 E 3 , ( u, v ) a r ( u , v ) = ( a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a.sin u ) ( a > 0 )
Chứng minh rằng ánh xạ r là một mảnh tham số chính quy tại các điểm (u,v) mà
u


+ k .
2

Bài 1.19 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số
11


r : R 2 E 3 , ( u , v ) a r ( u , v ) = ( u , v, u 2 + v 2 ) chứng minh rằng r là một mảnh tham số chính

quy.
3
Bài 3.20 : Cho P = { ( x, y, z ) E : x y = 0} và ánh xạ r : R 2 E 3 , (u,v)

r ( u, v ) = ( u + v, u + v, u.v ) ( u > v) hãy chứng minh rằng r là một tham số hoá của P.
3
2
2
Bài 1.21 : Chứng minh rằng tập S = { ( x, y, z ) E : z = x y } là một mảnh tham

số chính quy và kiểm tra các ánh xạ sau có là một tham số hoá của S hay không.?

a) r ( u, v ) = ( u + v, u v, 4.u.v )
2
b) r ( u, v ) = ( u.cos v, u.sin v, u ) ( u 0 )

Bài 1.22 : Trong không gian E 3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ
r : R2 E 3
r ( u, v ) = ( a.sin u.cos v, b.sin u.sin v, cos u ) với 0 < u < , 0 < v < 2
a , b, c > 0 .

a) Chứng minh rằng r là một tham số hoá của mặt elipxôit :
x2 y 2 z 2
+
+ = 1.
a 2 b2 c 2

b) ánh xạ r có là mảnh tham số chính quy không? vì sao?

C. kết luận
Việc xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian
E 3 giúp chúng ta hiểu rõ hơn về lý thuyết cũng nh ý nghĩa của môn học này, nó là

công cụ để chúng ta phát triển thành một lĩnh vực mới nghiên cứu những cấu trúc
12


hình học tổng quát trên các đa tạp khả vi, và là khía cạnh để nghiên cứu hình học của
lĩnh vực phơng trình vi phân . Cụ thể, em đã cố gắng xây dựng các dạng bài tập cơ
bản và phơng pháp giải cụ thể đối với từng dạng, một số chú ý, kết quả rút ra từ đó.
Từ các dạng đó chúng ta có phơng pháp giải và tự xây dựng hệ thống và bài tập cũng
nh phơng pháp cho mình.

Mặc dù bản thân đã hết sức cố gắng xong do còn hạn chế về trình độ chuyên
môn và tính gấp rút thời gian nên chắc chắn khoá luận khoong tránh khỏi những
khuyết điểm và sai sót, em rất kính mong quý thầy cô cùng các bạn sinh viên đóng
góp ý kiến để khoá luận hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !

D. tài liệu tham khảo
1. Đỗ Ngọc Diệp - Nông Quốc Chinh (2010) : Giáo trình hình học vi phân, NXB
ĐHQG Hà Nội.
2. Phạm Bình Đô (2010) : Hình học vi phân, NXB ĐHSP Hà Nội.
13


3. §oµn ThÕ HiÕu (2006) : “ Bµi tËp h×nh vi ph©n”, §HSP HuÕ.
4. §oµn Quúnh (2009) : “ H×nh häc vi ph©n”, NXB §HSP Hµ Néi.
5. §oµn Quúnh (1993) : “ Bµi tËp h×nh häc vi ph©n”, NXB §HSP Hµ Néi.

14