Khái quát về trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục

LỜI CẢM ƠN
Lần đầu tiên được làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em
không tránh khỏi sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên dưới sự giúp
đỡ, động viên nhiệt tình của thầy, cô giáo trong khoa em đã hoàn thành được
đề tài của mình.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo hướng dẫn
ThS. Nguyễn Minh Vương người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo em trong
suốt quá trình hoàn thành đề tài này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Vật lý đã giúp đỡ
em rất nhiều trong quá trình làm việc và nghiên cứu khoa học.
Cuối cùng em muốn gửi lời cảm ơn tới những người thân của mình đã
luôn luôn bên cạnh động viên em trong quá trình học tập, tìm hiểu, nghiên
cứu khoa học.

Sinh viên thực hiện

NGUYỄN THỊ NHUNG

1


A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành
một trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà
khoa học. Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá
mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán,
thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản.
Claude Shannon đặt nền móng về lý thuyết thông tin năm 1948. Cuốn
sách của ông “A Maththemathical Theroy of Communication ” (Một lý
thuyết toán học của sự truyền thông tin) được xuất bản trong Tạp chí Bell

System Technical là cơ sở cho sự phát triển toàn bộ viễn thông đã diễn ra
trong suốt năm thập kỷ qua. Lý thuyết thông tin cổ điển do Claude Shanon
phát minh ra cách đây hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những
nhánh sai quả và đẹp nhất của ngành toán học. Hiện nay, nó thật sự là một lý
thuyết không thể thiếu trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu mà
thông tin được lưu trữ và xử lý. Mặc dù đã có những thành công không thể
nào phủ nhận được song thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do
nó chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển. Chính vì vậy, việc nghiên cứu
và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà
khoa học,và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc. Kể từ
năm 1990, Khi Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ
điện từ phát ra từ các vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích những kết quả
thực nghiệm về bức xạ nhiệt của vật đen thì vật lý học lượng tử đã ra đời. Sự
xuất hiện của vật lý lượng tử và thuyết tương đối lả cuộc cách mạng của
ngành vật lý học vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của
nhiều ngành.

2


Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc
xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và gần đây, nó đã mang lại
nhiều thành công đáng kinh ngạc.
Vì thế, việc tìm hiểu và nghiên cứu về khoa học thông tin lượng tử là
một việc làm rất hợp thời đại. Đó cũng là lý do để tôi chọn đề tài “ Khái quát
về trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục”. Nó sẽ giúp bản thân
em có cái nhìn sâu sắc hơn về vật lý lượng tử.
2. Mục đích nghiên cứu
Khái quát về trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu cơ sở của lý thuyết thông tin lượng tử
4. Đối tượng nghiên cứu
Cơ sở của lý thuyết thông tin lượng tử
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc và nghiên cứu tài liệu
Các phương pháp của vật lý lý thuyết
6. Cấu trúc đề tài
Chương 1: Khái quát về thông tin lượng tử
1.1. Giới thiệu
1.2. Các khái niệm cơ bản
1.2.1. Bit lượng tử
1.2.2. Rối lượng tử
Chương 2: Trạng thái lượng tử rời rạc và các biến số liên tục
2.1. Giới thiệu
2.2. Hệ thống lượng tử hữu hạn chiều
2.2.1. Trạng thái lượng tử
2.2.2. Hoạt động lượng tử

3


2.3. Các biến số liên tục
2.3.1. Giai đoạn không gian
2.3.2. Trạng thái Gaussian
2.3.3. Gaussian unitaries
2.3.4. Kênh Gaussian
2.3.5. Các phép đo Gaussian
2.3.6. Hoạt động không Gaussian
TÀI LIỆU THAM KHẢO

4


B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THÔNG TIN
LƯỢNG TỬ
1.1. Giới thiệu
Những nghiên cứu mới về cơ học lượng tử trong thời gian gần đây đã
và đang hướng đến một lĩnh vực mới. Khoa học thông tin lượng tử. Việc áp
dụng vật lý lượng tử và công nghệ thông tin có thể làm thay đổi hẳn cách
chúng ta giao tiếp và xử lý thông tin. Điều mấu chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này
là sự tách biệt rõ ràng giữa dấu hiệu hàng ngày của thông tin cổ điển và bản
đối ứng lượng tử kém trực giác của nó. Thông tin cổ điển có thể bị đọc và sao
chép lại y nguyên mà không hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và sao
chép đó. Trong khi đó, thông tin lượng tử không thể nào sao chép được
nguyên vẹn và bất cứ một sự đọc trộm nào đều có thể bị phát hiện. Đây là một
đặc điểm rất quan trọng của cơ học lượng tử mà có thể được tận dụng để trao
đổi thông tin một cách hoàn toàn tuyệt mật. Các trạng thái rối lượng tử còn có
thể tạo ra một mức độ song song trong tính toán cao hơn hẳn một máy tính có
kích thước bằng cả vũ trụ. Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàn
toàn mới, gọi là tính toán lượng tử.
Năm 1985, David Deutsch đã giới thiệu về máy tính lượng tử và cho
thấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực hiện công việc
nhanh hơn rất nhiều. Trong khi các máy tính số ngày nay xử lý thông tin cổ
điển được mã hoá theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử lý thông tin lượng
tử theo các qubit. Máy tính lượng tử có thể được sử dụng để thực thi những
nhiệm vụ rất khó thực hiện đối với máy tính số thông thường. Ví dụ, các siêu
máy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ của vũ trụ để

5


có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên lớn có khoảng
vài trăm chữ số, trong khí đó các máy tính lượng tử có thể thực hiện nhiệm vụ
này trong khoảng chưa đầy một giây.
Những phát triển gần đây của lý thuyết thông tin lượng tử đã đem lại
rất nhiều sự tiến bộ trong sự hiểu biết cơ học lượng tử và khả năng ứng dụng
rộng rãi vào công nghệ tương lai.Những ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát
từ việc cho rằng các máy tính thực chất là các hệ vật lý và các quá trình tính
toán là các quá trình vật lý. Đến một thời điểm nào đó thì việc áp dụng các
quy luật cơ học lượng tử để xử lý thông tin trong tính toán là không thể tránh
khỏi.
1.2. Các khái niệm cơ bản
1.2.1. Bit lượng tử
Đơn vị cơ bản của thông tin cổ điển là bit. Một bit có thể nhận hai giá
trị hoặc là 0 hoặc 1 và chứa lượng thông tin nhỏ nhất. Một bit có thể được
hiện thực hoá trong một hệ vật lý đơn giản ví dụ như một tín hiệu điện “tắt’
hoặc “mở”. Quá trình sử lý thông tin cổ điển liên quan đến việc làm thế nào
để lập mã, giải mã, lưu trữ, truyền và bảo mật thông tin cổ điển mà trong đó
nó được mô tả bởi các bit theo những cách có hiệu quả. Shannon, trong công
trình đầu tiên của mình, đã giải quyết vấn đề làm sao để giải nén và truyền
một cách đáng tin cậy thông tin cổ điển. Về nguyên tắc, thông tin mã hoá bởi
các bit có thể đọc trộm mà không ai biết hoặc sao chép ra bao nhiêu bản cũng
được mà không hề để lại dấu vết gì trên nguyên bản.
Cơ học lượng tử sử dụng hai công cụ chủ yếu để mô tả tự nhiên: các đại
lượng vật lý quan sát được và các véctơ trạng thái. Mỗi đại lượng vật lý ứng
với một toán tử Hermitic. Giá trị đo được của đại lượng vật lý tuỳ thuộc vào
việc nó được đo trong véctơ trạng thái nào. Khác với vật lý cổ điển, vật lý
lượng tử cho phép một sự chồng chập tuyến tính (hay tổ hợp tuyến tính) của

6


nhiều trạng thái khả dĩ khác nhau. Chúng ta hãy xét một hạt lượng tử A và giả
sử rằng x1 biểu diễn trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x 1, x 2 biểu diễn
trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x2. Ví dụ, chúng ta có thể giả sử hai
giếng thế hệ riêng biệt như hình được vẽ ở hình 1.1. Trong đó, các trạng thái
x1 và x 2 có thể được xem là các bó sóng Gauss.
Trong khi một hạt cổ điển chỉ có thể ở trong giếng thế này hoặc giếng
thế kia thì một hạt lượng tử có thể ở trong trạng thái chồng chập của hai trạng
thái cho đến lúc một phép đo được thực hiện để tìm ra vị trí của nó. Một trong
các trạng thái chồng chập tuyến tính nơi mà hạt A có thể ở đó là
1
( x 1 + e iφ x 2 ,
2

(1.2)

trong đó 1 / 2 là thừa số chuẩn hoá và φ là thừa số pha. Mỗi lần chúng ta đo
toạ độ của hạt A thì xem thật sự nó ở đâu thì trạng thái (1.2) sẽ xẹp xuống và
hạt A sẽ được tìm thấy xung quanh x1 hoặc x2 với xác suất bằn nhau và bằng
1/2.

7


Hình 1.1: Sơ đồ về sự chồng chập tuyến tính của hai bó sóng Gauss trong
một giếng thế kép. Một hạt cổ điển phải ở một trong hai giếng thế vào một
thời điểm nào đó nhưng một hạt lượng tử thì có thể ở trong một sự chồng

chập của hai trạng thái khác nhau giống như (c).
Một trong những điểm đáng chú ý của trạng thái chồng chập (1.2) là sự
giao thoa giữa các trạng thái x1 và x 2 có thể ảnh hưởng đến sự phân bố
xác suất của phép đo toạ độ lên trạng thái (1.2). Mức độ giao thoa thay đổi tuỳ
theo giá trị của φ . Biểu thức (1.2) không có nghĩa rằng hạt A hoặc là ở xung
quanh x1 hoặc là ở xung quanh x2 và xác suất của chúng là bằng nhau như một
trường hợp của hỗn hợp thống kê: Một trạng thái tương ứng với một trạng
thái trộn của x1 và x 2 với các xác suất bằng nhau được mô tả bởi một toán

8


tử mật độ 1/2 ( x1 x1 + x 2 x 2 ) , hạt A cũng không ở một nơi nào đó giữa x 1
và x2. Cũng thật nguy hiểm khi nói rằng hạt A đồng thời ở cả xung quanh x 1
và x2 tại cùng một thời điểm. Nó thật rộng bởi vì chẳng ai có thể xác minh
được nó nếu không tiến hành một phép đo trực tiếp. Đã có một số ví dụ
nghịch lý để minh hoạ tính chất kỳ lạ này. Nghịch lý con mèo của
Schrödinger cho thấy sự mô tả của cơ học lượng tử về tự nhiên kỳ lạ như thế
nào khi nó được áp dụng vào các hệ vât lý vĩ mô. Thí nghiệm hai khe hẹp giải
thích hiệu ứng giao thoa của một hạt lượng tử đơn trong một trạng thái chồng
chập. Nghịch lý của Hardy minh hoạ cách mà một sự chồng chập lượng tử tạo
ra một kết quả vô nghĩa khi kể đến sự tương tác giữa vật chất và phản vật
chất. Những ví dụ này đều cho thấy làm thế nào mà một sự chồng chập lượng
tử của hai trạng thái A và B có thể dẫn đến một kết quả thực nghiệm thứ
ba do sự giao thoa lượng tử mà không bao giowd thu được từ A , B giống
như từ hỗn hợp cổ điển của A và B . Những hiệu ứng này (ví dụ như vân
giao thoa trong thí nghiệm hai khe hẹp) biến mất khi bất kỳ một phép đo nào
được thực hiện để theo dõi tiến trình của một hiện tượng lượng tử. Vẫn còn
rất nhiều tranh luận về nguồn gốc của sự kỳ lạ này bao gồm cả những nỗ lực
thực nghiệm để chấm dứt những tranh luận này.

Nguyên tắc chủ yếu của vật lý lượng tử gợi mở việc đưa ra một khái
niệm mới về đơn vị của thông tin lượng tử, gọi là bit lượng tử (tức “quantum
bit” hay viết tắt là qubit). Một qubit được định nghĩa như là một chồng chập
của hai trạng thái giá trị, một cho giá trị 0 và một cho giá trị 1. Nó không phải
là một trường hợp của một hỗn hợp thống kê của 0 và 1, cũng không phải là
một giá trị trung gian của cả hai trạng thái này. Qubit được định nghĩa trong
một không gian Hilbert hai chiều H có véctơ cơ sở trực chuẩn:

{ 0 ,1} ,

i j = δij .

9

(1.3)


Một trạng thái qubit được biểu diễn như sau
Ψ =a 0 +b1

(1.4)

là sự chồng chập tuyến tính của hai trạng thái cơ bản với các số phức a và b
bất kỳ.

Hình 1.2: Sơ đồ về các bit và bit lượng tử. Trong khi một bit chỉ chiếm
một trong hai cực tương ứng với 0 hoặc 1 thì một bit lượng tử lại có thể ở bất
kỳ điểm nào trên bề mặt quả cầu Bloch vì nó có thể ở trong trạng thái chồng
chập khác nhau. Nói chung, một bit lượng tử có thể được đặt bất cứ một điểm
nào ở bên trong quả cầu nếu như nó ở trong một trạng thái hỗn hợp.

2

2

2

2

Thoả mãn điều kiện chuẩn hoá, a + b = 1 , trong đó a ( b ) tương ứng
với xác suất mà qubit đo được có giá trị “0” (“1”). Chú ý rằng các trạng thái cơ sở
có thể được chọn một cách tuỳ ý. Ví dụ như ( 0 + 1 ) / 2 và ( 0 − 1 ) / 2 cũng
có thể là một hệ cơ sở trực chuẩn khác. Dạng tổng quát của một ma trận mật độ
của một qubit là
r ur
1
ρqubit = (I + r + σ)
2

10

(1.5)


ur
r
trong đó r là vectơ thực, σ = (σ x , σ y , σ z ) là các toán tử Pauli là ma trận đơn vị.
Điều kiện dương của toán tử mật độ ρqubit ≥ 0 dẫn đến bất đẳng thức
r
r
r ≤ 1 . Một qubit có thể được biểu diễn bởi r trong một quả cầu tưởng tượng

với bán kính đơn vị (xem hình 1.2), gọi là quả cầu Bloch. Nếu một qubit ở
trong một trạng thái sạch thì điểm tương ứng của nó luôn luôn nằm trên mặt
cầu.
Người ta có thể nghĩ rằng người này hay người kia nhận được nhiều
thông tin từ một bit lượng tử hơn là một bit bởi vì một qubit có thể tồn tại như
là một số vô hạn trong các trạng thái chồng chập khác nhau. Nhưng thật ra,
không có nhiều thông tin hơn có thể thu được từ một qubit bởi vì kết quả đọc
ra của một qubit là một quá trình đo cơ học lượng tử. Nói chung, cơ học
lượng tử không cho phép người ta đo một trạng thái lượng tử mà không phá
huỷ nó. Vì vậy, nói chung, một qubit không thể bị đọc mà không biến mất
trong khi một bit thì lại có thể. Một quá trình đọc ra của một qubit ψ sẽ làm
cho trạng thái qubit xẹp xuống là 0 hoặc 1 tuỳ thuộc vào kết quả đo. Cùng
lý do đó mà một qubit bất kỳ không thể được nhân bản một cách hoàn hảo, đó
là nội dung của định lý “không nhân bản” được tìm ra năm 1982 và là một
định lý đóng vai trò quan trọng trong xử lý thông tin lượng tử.
Đã có một số đề xuất hiện thực hoá các qubit đối với quá trình xử lý
thông tin lượng tử trong các hệ vật lý như nguyên tử, các hệ vật chất ngưng tụ
và quang học. Theo nguyên tắc, bất kỳ một hệ lượng tử hai chiều nào đều có
thể được xem như là một hệ qubit. Một hạt Spin -1/2, một nguyên tử hai mức,
một trạng thái photon phân cực… là những ví dụ quen thuộc. Tuy nhiên, để
tìm ra một hệ qubit thích hợp cho quá trình xử lý thông tin lượng tử lại là một
chuyện khác, hệ qubit đó phải có thể nhập vào, kiểm soát, đo đạt và có thể

11


đọc được trước khi nó bị phá vỡ bởi tương tác với môi trường xung quanh. Có
hai loại qubit đó là: qubit quang học (không có khối lượng) rất tốt cho truyền
tin và qubit vật thật (có khối lượng) rất tốt cho tính toán lượng tử. Việc
chuyển hoá thông tin lượng tử từ các qubit quang học sang các qubit vật chất

và ngược lại là cần thiết và đã được nghiên cứu khá kỹ.
1.2.2. Rối lượng tử
Rối lượng tử là một trong những điều thú vị nhất của cơ học lượng tử.
Cái tên rối lần đầu tiên được đưa ra bởi Shrödinger bằng tiếng Đức là
“verschrankung” (tiếng Anh là “entanglement”). Khi hai hệ tương tác với
nhau và sau khoảng thời gian ảnh hưởng lẫn nhau các hệ tách riêng ra trở lại
thì lúc đó chúng không còn được mô tả theo cách như trước đây nữa. Đây là
nét đặc trưng của cơ học lượng tử. Do đã tương tác với nhau mà hai hệ trở
nên rối với nhau, dù sau đó chúng có ở cách xa nhau bao nhiêu cũng được
(hình 1.3).
Gần đây, các nghịch lý đã được thảo luận trong chương trước lại xuất
hiện và đóng góp vào rối của các hệ vật lý hơn là giải thích cũ dựa trên
nguyên lý bất định Heisenberg. Như đã được giải thích bởi Shrödinger, các
trạng thái rối có thể sinh ra do tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khi
hai hạt được tạo ra một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xung
lượng phải được bảo toàn. Tuy nhiên, một trạng thái rối có thể mất rối do
tương tác với môi trường. Rối đóng vai trò không thể thay thế như là nguồn
tài nguyên trong các quá tình xử lý thông tin lượng tử bao gồm viễn chuyển
lượng tử, mật mã lượng tử và tính toán lượng tử. Giả sử một trạng thái hai hệ
1 và 2 được định nghĩa trong một không gian Hilbert H1 ⊗ H2 như sau:
ψ

12

= (a 0 1 1 2 + b 1 1 0 2 ,

12

2

2

a + b =1

(1.6)


Có thể thấy rằng trạng thái này không thể được biểu diễn như là một
'
tích hợp trực tiếp của hai trạng thái bất kỳ ψ 1 ⊗ ψ 2 . Khi đó (1.6) được gọi

là một trạng thái rối. Khi a ≠ b ta có trạng thái rối một phần. Trạng thái rối
cực đại ứng với trường hợp a = b . Bốn trạng thái rối cực đại trong không
gian H1 ⊗ H2 tạo thành một hệ đủ trực chuẩn là
φ± =

1
( 0 0 ± 1 1 ),
2

(1.7)

ψ± =

1
(0 1 ± 1 0 )
2

(1.8)

được gọi là các trạng thái Bell hay các cặp EPR. Một cách tổng quát, chúng ta
nói rằng trạng thái ψ

12

là rối trong

H1 ⊗ H2 khi nó không thể được biểu

diễn như là một tích trực tiếp của hai trạng thái bất kỳ
ψ
'
với ψ 1 ψ

2

12

≠ ψ 1 ⊗ ψ'

2

(1.9)

là vectơ trạng thái của hệ 1 (2).

Sự rối không phải chỉ xảy ra giữa hai hệ lượng tử mà cũng có thể xảy ra
giữa nhiều hệ lượng tử khác nhau. Khi đó ta có rối đa hệ. Rối đa hệ rất quan
trọng đối với các giao thức lượng tử đa nhân trong một mạng lưới lượng tử.
Các trạng thái rối cực đại là những kênh lượng tử rất tốt trong xử lý thông tin

lượng tử. Ví dụ, trong viễn chuyển nếu một kênh lượng tử sử dụng không
phải là rối cực đại thì xác suất thành công sẽ luôn bé hơn xác suất thành công
của việc sử dụng rối cực đại. Để tạo được một trạng thái lượng tử rối cực đại
là một việc làm không dễ. Tuy nhiên, các giao thức cũng đã phát triển để chắt
lọc ra một số ít các trạng thái rối cực đại từ một số lớn các trạng thải rối
không cực đại bằng cách sử dụng các tác dụng định xứ và các giao tiếp cổ
điển. Những sơ đồ này được gọi là chiết hay sự chắt lọc rối.

13


14


Hình 1.3: (a) hai hệ vật lý tách riêng A và B không rối với nhau; (b) A và
B tương tác với nhau; (c) A và B trở nên rối; (d) A và B tương tác với môi
trường C và giảm độ rối hoặc mất rối hoàn toàn.

CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ RỜI RẠC
VÀ CÁC BIẾN SỐ LIÊN TỤC
2.1. Giới Thiệu
Phần lớn các lý thuyết của khoa học thông tin lượng tử ban đầu đã được
phát triển trong lĩnh vực của các bit lượng tử và trits, như vậy cho hệ thống
lượng tử hữu hạn chiều. Tín hiệu tương tự gần nhất với các bít cổ điển là
trạng thái của hai hệ lượng tử, và thực sự, khá nhiều trực giác của lý thuyết
thông tin cổ điển tiến hành trên lĩnh vực lượng tử [1, 2]. Tuy nhiên, cần phải
nói, rất nhiều hệ lượng tử không thuộc thể loại này là hữu hạn chiều, quen
thuộc đơn giản cơ học lượng tử dao động điều hòa là một ví dụ. Dao động có
thể được nhận thấy như một lĩnh vực chế độ của ánh sáng hoặc như mức độ
rung động tự do của một ion trong một cái bẫy. Ngoài ra, spin chung của mẫu

nguyên tử có thể để một phép tính xấp xỉ hay được mô tả như một hệ thống

15


lượng tử dạng này. Trước đây không phải rất lâu hệ thống lượng tử vô hạn
chiều trở nên rõ ràng là như vậy cũng rất hấp dẫn để xử lý thông tin lượng tử,
cả hai từ một lý thuyết và từ một quan điểm thực nghiệm [3-6].
Chương này sớm được chủ yếu là nhằm "thiết lập tọa độ", giới thiệu
khái niệm cơ bản về trạng thái và hoạt động. Một thời gian ngắn chúng ta sẽ
có một cái nhìn cụ thể trong trường hợp hữu hạn chiều. Sau đó chúng ta sẽ
chuyển sang một mô tả về trạng thái và hoạt động trong trường hợp hệ thống
lượng tử vô hạn chiều. Các câu hỏi về sự rối hoặc các giao thức như phân bố
khóa lượng tử được cố tình bỏ qua và sẽ được đề cập cụ thể trong chương
sau.
Như vậy hệ thống lượng tử vô hạn chiều (boson) có tọa độ kinh điển
tương ứng với vị trí và động lực. Những quan sát không có giá trị riêng,
nhưng là một phổ liên tục; do đó thuật ngữ "liên tục thay đổi hệ thống" đã
được đặt ra để mô tả tình trạng. Lúc đầu, ta có thể dẫn đến suy nghĩ rằng các
cuộc thảo luận về các trạng thái, các hoạt động học lượng tử và xử lý thông
tin lượng tử như vậy là quá tải với các kỹ thuật của không gian Hilbert vô hạn
chiều. Thật vậy, một số điểm tinh tế xa lạ với các thiết lập hữu hạn chiều xuất
hiện: ví dụ, không có thêm một ràng buộc, entropy và mức độ về sự rối cho
rằng vấn đề thông thường hầu hết ở khắp mọi nơi vô hạn. Hầu hết các thuật
ngữ chuyên môn có thể được thuần hóa, với sự giúp đỡ của các ràng buộc
(hạn chế) tự nhiên với năng lượng trung bình hoặc hạn chế tuyến tính khác
[7, 8].
Một số lượng lớn các giao thức và các thuộc tính về trạng thái lượng tử
và thao tác họ, tuy nhiên, có thể được nắm vững về thuật ngữ tránh những
thuật ngữ chuyên môn: điều này là do thực tế rằng có nhiều trạng thái xảy ra

trong bối cảnh của khoa học thông tin lượng tử có thể được mô tả một cách
đơn giản về các thời điểm của họ. Các trạng thái Gaussian hoặc quasifree sẽ

16


hoàn toàn ở trung tâm của sự chú ý trong phần phụ sau của chương này. Cuối
cùng, chúng ta sẽ thấy rằng điều này ngôn ngữ thậm chí có một cái gì đó để
nói khi chúng ta không phải xử lý với trạng thái Gaussian nhưng với một lớp
của trạng thái không-Gaussian đóng một vai trò trung tâm trong hệ thống
quang học lượng tử.
2.2. Hệ thống lượng tử hữu hạn chiều
2.2.1. Trạng thái lượng tử
Trạng thái thể hiện tất cả các thông tin về quá trình chuẩn bị của một hệ
lượng tử có hệ quả tiềm tàng cho các phép đo sau thống kê. Trạng thái tương
ứng với mật độ ρ hoạt động thỏa mãn [2, 3]
ρ ≥ 0,

tr[ρ] = 1,

ρ = ρ† .

Hệ thống lượng tử hữu hạn chiều như hai cấp độ hoặc các hệ thống spin
được trang bị với một hữu hạn chiều không gian Hilbert H.
Trong một cơ sở {| 0,. . . , | d}, bất kỳ trạng thái ρ có thể được biểu diễn là:

ρ=

d
ρ i, j i

i, j = 1

j.

Các thiết lập của tất cả các hoạt động mật độ thường được gọi là không gian
trạng thái.
Không gian trạng thái của một qubit duy nhất đặc biệt là trong suốt: nó
có thể được biểu diễn là các hình cầu đơn vị trong R3, quả cầu Bloch. Các
không gian Hilbert của qubit được kéo dài bởi {| 0 | 1}. Trong điều kiện của
cơ sở này, một trạng thái có thể được viết là:

ρ=

1
( I 2 + x1 X + x2Y + x3Z )
2

trong đó X, Y, Z biểu thị các ma trận Pauli
0
X =
1

1
0

0
Y =
i

−i

0

17

1
Z =
0

0
−1


Vì vậy, trạng thái của qubit duy nhất được đặc trưng bởi vectơ (x1, x2,
x3)∈ R3 được lấy từ các đơn vị hình cầu, bởi véctơ Bloch.
Nói chung, không gian trạng thái của một hệ lượng tử d-chiều (d2 -1)
chiều lồi thiết lập: nếu ρ1 và ρ2 là hợp lệ trạng thái lượng tử , sau đó sự kết
hợp mặt lồi λρ1 + (1 -λ) ρ2 với bước sóng λ ∈ [0, 1] cũng là một trạng thái
lượng tử. Một thủ thuật phản ánh sự pha trộn của 2 trạng thái lượng tử. Tập
hợp các mặt lồi có điểm đặc biệt, phần tử đó là sự kết hợp không lồi của hai
phần tử khác nhau của tập hợp này. Các điểm đặc biệt của không gian trạng
thái là trạng thái lượng tử thuần túy.
Hãy để chúng tôi kết thúc phần này với một nhận xét về thành phần của hệ
thống lượng tử, mà có liên quan quan trọng khi nói về sự rối. Các thành phần
của hệ thống lượng tử được kết hợp trong các khái niệm trạng thái thông qua
các sản phẩm tensor: không gian Hilbert của một hỗn hợp hệ thống bao gồm
các bộ phận với không gian Hilbert H1 và H2 được xác định là H = H1 ⊗ H2.
Các cơ sở của H có thể sau đó được xác định là:
{|i ⊗ |j

: i = 1, . . . , d1; j = 1, . . . , d2},

trong đó {| 1... | d1} và {| 1... , | d2} là cơ sở của H1 và H2, tương ứng.
2.2.2. Hoạt động lượng tử
Một hoạt động học lượng tử hoặc một kênh lượng tử phản ánh bất kỳ
xử lý của thông tin lượng tử, hoặc bất kỳ cách nào một trạng thái có thể
được thao tác bằng một thiết bị vật lý thực tế. Khi nắm bắt khái niệm của một
hoạt động học lượng tử, hai cách tiếp cận xuất hiện để được đặc biệt tự nhiên:
trên một mặt, có thể liệt kê các hoạt động cơ bản mà được biết đến từ bất kỳ
cuốn sách giáo trình về cơ học lượng tử, và tưởng tượng được một hoạt động
học lượng tử nói chung như một chuỗi nối tiếp của những thành phần này.
Mặt khác, trong một cách tiếp cận tiên đề có thể xây dựng các yêu cầu tối
thiểu hoạt động học lượng tử có ý nghĩa để thực hiện phù hợp với khung
18


thống kê giải thích của cơ học lượng tử. May mắn thay, hai cách tiếp cận phù
hợp trong ý nghĩa họ cung cấp cho tăng cùng một khái niệm của một hoạt
động học lượng tử. Chúng tôi chỉ đề cập vấn đề này, vì điều này sẽ được thảo
luận rất chi tiết trong chương trên các kênh lượng tử. Để bắt đầu với cách tiếp
cận trước đây, bất kỳ hoạt động học lượng tử
ρ → T (ρ)
có thể được coi là một hệ quả của việc áp dụng các hoạt động cơ bản sau đây:
• Unita động lực học: Thời gian tiến hóa theo Schodinger động lực
đưa đến một nhất thể hoạt động
ρ → U ρU †.
• Thành phần của hệ thống: Đối với các trạng thái ω, đây là
ρ → ρ ⊗ ω.
Đây là thành phần với một hệ thống bổ sung không tương quan.
• Một phần dấu vết: điều này để
ρ → trE[ρ]

trong một hệ thống lượng tử phức hợp.
• Đo Von-Neumann: Đây là một phép đo liên quan với một tập hợp
các trực giao dự đoán, π1,. . . , Πk.
Bây giờ, để đề cập đến cách tiếp cận thứ hai T phù hợp bất kỳ hoạt
động học lượng tử với việc giải thích thống kê cơ học lượng tử phải chắc
chắn tuyến tính và tích cực mật độ toán tử phải được ánh xạ vào các toán tử
mật độ. Theo dõi giữ gìn các bản đồ kết hợp các dấu vết của toán tử mật độ
vẫn còn để được đưa ra bởi sự thống nhất.
2.3. Các biến số liên tục
Vì vậy, nhiều hệ thống lượng tử hữu hạn chiều. Những gì chúng tôi có
thể nói bây giờ nếu hệ thống là hệ thống lượng tử vô hạn chiều [4-6], chẳng
hạn như một hệ thống bao gồm các lĩnh vực chế độ của ánh sáng [9-12] hoặc

19


tập quay số bậc tự do [13, 14]? Như đã đề cập trước đây, thuật ngữ " Hệ
thống lượng tử vô hạn chiều " đề cập đến một thực tế mà cơ bản không gian
Hilbert H vô hạn chiều. Ví dụ nguyên mẫu của hệ thống như vậy là một chế
độ duy nhất, vì vậy gọi là một lượng tử dao động điều hòa duy nhất. Tọa độ
kinh điển của vị trí và động lực

X = ( a + a †) /

2

,

P = − i ( a − a †) /

2

Một cơ sở của không gian Hilbert đó là dày đặc được cho bởi các thiết
lập của trạng thái các vectơ
{|n : n ∈ N} .
Đối với các hệ thống vô hạn chiều với một số hữu hạn bậc tự do, khái
niệm trạng thái của các nhà khai thác mật độ là chỉ tương tự như trước, ngoại
trừ chúng ta phải yêu cầu rằng các toán tử mật độ của lớp dấu vết.
Không cần phải nói, các sóng mang của một trạng thái không phải là
hữu hạn. Ví dụ, trạng thái kết hợp quen thuộc quan trọng trong quang học
lượng tử có trạng thái vector

α =e- α 2 2

∞
n=0

αn

n,

(2.1)

n!
α ∈ C, thỏa mãn a|α = α|α .
2.3.1. Giai đoạn không gian
Vật lý của N kinh điển (boson) bậc tự do ─ hoặc các phương thức cho
rằng vấn đề ─ N dao động điều hòa. Như một hệ lượng tử được mô tả trong
một không gian pha. Các không gian pha của một hệ thống N mức độ tự do
là R2N , được trang bị với một hình thức kháng đối xứng song tuyến tính [3,

6, 15, 16]. Sau đó bắt nguồn từ các mạch đảo kinh điển mối quan hệ giữa các
tọa độ kinh điển. Viết tọa độ kinh điển là (R1, . . . , R2N ) = (X1, P1, . . . ,
XN, PN ), mối quan hệ mạch đảo kinh điển có thể được thể hiện

20


[Rk, Rl] = iσk,lI ,
góc nghiêng đối xứng 2N × 2N-ma trận σ được cho bởi

σ=

 0 1

÷
i = 1  −1 0 
N

Ma trận này là block chéo, như quan sát mức độ khác nhau tự do chắc
chắn đi lại với nhau. Ở đây, đơn vị đã được chọn sao cho bằng 1.
Một công cụ thuận tiện cho một mô tả của các trạng thái giai đoạn
trong không gian là các nhà điều hành dịch chuyển ─ hoặc, tùy thuộc vào
giới khoa học, nhà điều hành Weyl. Định nghĩa là:
Wξ = eiξTσR
Cho ξ ∈ R2N, nó là đơn giản để thấy rằng nhà điều hành này thực sự
tạo ra các bản dịch trong không gian pha.
Đối với một mức độ tự do duy nhất của toán tử dịch chuyển này sẽ trở
W(x,p) = eixP1−ipX1.

thành:

Các mối quan hệ đảo mạch kinh điển thể hiện mình cho các nhà điều
hành Weyl:

WξWη = e−iξTσηWξ+η.

Tương đương với đề cập đến một trạng thái, là một toán tử mật độ người ta
có thể xác định trạng thái của một hệ thống với các tọa độ kinh điển bằng
phương tiện của một chức năng thích hợp trong không gian pha. Trong các tài
liệu tìm thấy rất nhiều các chức năng không gian pha, mỗi trong số đó được
trang bị với một giải thích vật lý nhất định. Một trong số đó là hàm đặc trưng
[6, 17, 18]. Nó được định nghĩa là giá trị kỳ vọng của các nhà điều hành
Weyl, do đó:

χ(ξ) = tr[Wξ ρ].

Điều này nói chung là một hàm phức, có giá trị trong không gian pha.
Nó duy nhất xác định các trạng thái lượng tử, mà có thể thu được thông qua
ρ = d2N ξχ(ξ)Wξ†/(2π)N. Các hàm đặc trưng là biến đổi Fourier của hàm
Wigner, quen thuộc trong quang học lượng tử:

21


Wρ ( ξ ) =

1

( 2π ) N d

2 N η eiξ T σηχ ( η )

Hàm Wigner là một hàm thực sự giá trị trong không gian pha. Nó là
chuẩn hóa, trong một chế độ duy nhất tích hợp trên không gian pha cung cấp
giá trị 1. Tuy nhiên, nói chung không phải là một phân bố xác suất, và nó có
thể mất giá trị âm.
Một trong những tính chất hữu ích được gọi là thuộc tính trùng lặp [17,
18].
Nếu chúng ta định nghĩa hàm Wigner của các nhà điều hành A1 và A2
như Fourier biến đổi của ξ →tr [A1Wξ] và ξ → tr [A2Wξ], tương ứng,và
ký hiệu với WA1 và WA2, chúng ta có:
tr[A1A2] = (2π)Nd2N ξWA1(ξ)WA2(ξ).
Điều này thẳng thắn có thể được sử dụng để xác định những khoảnh
khắc của các tọa độ kinh điển. Ví dụ, giả sử rằng chúng ta biết được hàm
Wigner. Làm thế nào chúng ta có thể xác định từ giây phút đầu tiên quan sát
được vị trí? Điều này có thể dễ dàng tìm thấy là:

Xρ=

∞
dxdp xWρ ( x, p ) .
−∞

Tương tự như vậy, giá trị kỳ vọng của toán tử động lực thu được là:
∞

Ρ ρ = dxdp p Wρ ( x, p )
−∞

Không cần phải nói, những từ tương tự có thể được tìm thấy để tích

hợp theo bất kỳ hướng nào trong không gian pha.
Thông thường, nó cũng thuận tiện để mô tả trạng thái về khoảnh khắc
của họ [3, 6]. Những khoảnh khắc đầu tiên là giá trị kỳ vọng của các tọa độ
kinh điển, để dk = Rkρ = tr [Rkρ]. Những khoảnh khắc thứ hai, lần lượt, có

22


thể được thể hiện trong thực tế đối xứng 2N × 2N - ma trận γ. Các mục trong
đó được cho bởi:
γj,k
j, k

= 2Re (Rj – dj)(Rk − dk) ρ,

= 1, . . . , N . Ma trận này thường được gọi là ma trận hiệp biến của

trạng thái. Tương tự như vậy, những khoảnh khắc cao hơn có thể được xác
định.
2.3.2. Trạng thái Gaussian
Như đã đề cập trước đây, trạng thái Gaussian đóng một vai trò quan
trọng trong các hệ thống biến liên tục, như vậy trong các hệ thống lượng tử
có tọa độ kinh điển. Trạng thái lượng tử của một hệ thống gồm N bậc tự do
được gọi là Gaussian (hoặc cũng gần như tự do) nếu hàm đặc trưng của nó là
một hàm Gaussian trong giai đoạn không gian [3, 5, 6, 16], có nghĩa là, nếu χ
có dạng:
χ(ρ) = exp

iξTσd − ξTσTγσξ/4

Như Gaussians được xác định bởi những khoảnh khắc đầu tiên và thứ
hai, như vậy là trạng thái Gaussian. Véctơ d và ma trận γ sau đó có thể được
xác định dịch chuyển và ma trận hiệp biến theo ý nghĩa trên.
Bây giờ trạng thái Gaussian có ý nghĩa như thế nào? Trạng thái kết
hợp với véctơ trạng thái như trong Eq. (2.1) tạo thành ví dụ quan trọng của
trạng thái Gaussian, có một ma trận hiệp biến γ = I2: trạng thái kết hợp là gì
nhưng trạng thái chân không, di dời trong không gian pha. Ma trận hiệp biến
của một trạng thái chân không ép được cho bởi γ = diag (d, 1 / d) cho d ˃ 0
(và quay chúng ), − log d là tham số nén của nó. Trạng thái nhiệt hoặc Gibbs
cũng là trạng thái Gaussian, có thể trong cơ sở thể hiện như:

ρ=

∞
n=0

1
+1

23

−
+1

n

n n,


Nơi ¯ = (eβ − 1) −1 là số photon trung bình của trạng thái nhiệt của

nhiệt độ nghịch đảo β> 0. Các trạng thái là hỗn hợp, với ma trận hiệp biến
γ = (2¯n + 1)I2.
2.3.3. Gaussian unitaries
Tầm quan trọng của các trạng thái Gaussian, Không cần phải nói, bắt
nguồn một phần từ ý nghĩa của các hoạt động Gaussian. Gaussian unita được
tạo ra bởi Hamiltonians là bậc nhất trong các tọa độ kinh điển: chẳng hạn
Hamiltonians, chưa được phổ biến trong vật lý [6]. Vì vậy, một toán tử unita
Gauss có dạng:
W
W
ρ → U ρU †, U = exp W i
H k ,l Rk Rl W,
2 k,l
H là thực và đối xứng, tương ứng với một boson Hamilton bậc hai. Unitaries
này tương ứng với một đại diện của các Symplectic nhóm Sp(2N, R). Nó
được hình thành bởi những ma trận thực sự mà:
SσST= σ.
Trong đó, kết nối từ S Hamilton được xác định bởi S = eHσ. Đó là
thuận lợi để theo dõi các hành động của unitaries Gaussian mức độ của những
khoảnh khắc thứ hai [5, 6, 15, 16], tức là, ma trận hiệp biến, như:
γ → SγST.
Những unitaries Gaussian được năng lượng bảo toàn thường được gọi
là thụ động. Trong bối cảnh quang học, unitaries như bảo vệ tổng số photon.
Chùm bộ chia của một số chuyển đổi và những thay đổi pha, ví dụ, có thuộc
tính này. Chúng tương ứng trong quy ước được chọn trong chương này:
−

S BS =

tI 2

− 1 − tI 2

to

1 −tI 2
tI 2
24

t ∈ [0,1],


S PS =

cos ( ϕ )
− sin ( ϕ )

sin ( ϕ )
cos ( ϕ )

ϕ ∈ [0,2π ).

Cho dù chuyển đổi là thụ động hoặc không có thể dễ dàng được đọc từ
các ma trận S: các ma trận S tương ứng với hoạt động thụ động là chính xác
những trực giao, S

∈ SO ( N ). Những biến đổi này một lần nữa tạo thành

một nhóm, Sp (2N, R) ∩ O (2N). Nhóm này là một đại diện của U (N), đây là
một thuộc tính mà thuận tiện có thể được khai thác khi đánh giá nhiệm vụ

thông tin lượng tử có thể truy cập sử dụng quang học thụ động (xem, ví dụ.,
Tài liệu tham khảo [10]).
Chuyển đổi hoạt động, ngược lại, không bảo toàn tổng số photon. Hoạt
động gây ép trong các hệ thống quang học chuyển đổi như vậy đang hoạt
động. Ví dụ nổi bật nhất là một unita ép các trạng thái lượng tử của một chế
độ duy nhất, U = expx (a2 − (a†)2) , số lượng x > 0 mô tả cường độ của sự đè
ép.
Chúng ta thấy rằng: S = diag (e−x, ex) ;
ma trận này sẽ xác định chuyển đổi vào mức độ của các ma trận hiệp biến.
Có vẻ như một thời điểm thích hợp để có được trở lại để hạn chế bất kỳ
ma trận hiệp biến thực sự để thỏa mãn. Bất kỳ thực sự đối xứng 2N × 2N-ma
trận là một ma trận hiệp biến hợp pháp? Câu trả lời chỉ có thể là "không";
nguyên lý bất định Heisenberg hạn chế những khoảnh khắc thứ hai của bất kỳ
trạng thái lượng tử. Các nguyên tắc Heisenberg bất định có thể được diễn tả
như hạn chế:

γ + iσ ≥ 0.

( 2 .2 )

Đổi lại, đối với bất kỳ ma trận đối xứng thực sự có tồn tại một trạng
thái ρ có những khoảnh khắc thứ hai [3,6].
Đó thực sự là gì, nhưng nguyên lý bất định Heisenberg quen thuộc có

25