Ôn thi học kỳ 1 toán 12 có đáp án năm học 2016

ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12

GV: Lê Nam

KIẾN THỨC CƠ BẢN GIẢI TÍCH CHƢƠNG I
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Bài tập
A/ Bài tập mẫu :
1/ Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
x2  x  1
a) y= –2x3 +9x2 +24x –7
b/ y 
1 x
Giải:
a) Miền xác định: D=
 x  1
y  6 x 2  18x  24 , cho y  0  
x  4
Bảng biến thiên: x
–
–1
4
+

y
y

–

0

+

–

0

Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (; 1),(4; )
Hàm số đồng biến trong khoảng: (–1;4)
b) Miền xác định: D= \ 1

x  0
, cho y  0  
x  2
1  x 
Bảng biến thiên:
x
0


y 

x2  2x
2

y
y

–

0 +

1

+

2
+

0

–

Hàm số đồng biến trong các khoảng: (0;1) và (1;2)
Hàm số số nghịch biến trong các khoảng: (;0) va (2; )
Ví dụ 2 :
Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến trên
Giải:
Miền xác định: D=
y  = 3x2– 6mx+ m+ 2
Điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên là y’0 x 3x2– 6mx+ m+ 2 0 x
a  0
2
2

 9m2 – 3m– 6 0    m  1 . Vậy   m  1 hàm số đồng biến trên
3
3
  0

GV: Lê Văn Nam

Trang 1


ƠN THI HỌC KỲ 1 TỐN LỚP 12

GV: Lê Nam

B/ BÀI TẬP TỰ GIẢI
1) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = x3+3x2+1.

b) y = 2x2

e) y = x +2sinx trên (- ; ).

- x 4.

c) y =

g) y = 3 x 2 (x  5) .

x3
.
x2

d) y=

h) y = x33x2.

i) y 

x 2  4x  4
.
1 x

x 2  3x  3
.
x 1

j) y= x42x2.
k) y = x + x 2  3x  2
l) y  4 x  x 2
m) y  4  3x  x 2
2) Cho hàm số y = f(x) = x33(m+1)x2+3(m+1)x+1. Định m để hàm số :Ln đồng biến trên khoảng xác định
của nó.Kq:1  m  0
3) Định mZ để hàm số y = f(x) =

mx  1
đồng biến trên các khoảng xác định của nó.
xm

Kq: m = 0

4) Chứng minh rằng : hàm số ln ln tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó :
a) y = x33x2+3x+2.

b) y 

x2  x  1

.
x 1

c) y 

x 1
.
2x  1

x3
 m  1x 2  m  7x Ln ln đồng biến trên khoảng xác định của nó.
3
x 2  2mx  m  2
6) Tìm m để hàm số : y 
ln đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
xm

5) Tìm m để hàm số y 

Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I/Tóm tắt lý thuyết:
 Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trò tại x0 và có đạo hàm tại x0 thì f / (x0)=0
 Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x0 – h; x0 + h) với h > 0.
+Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 hàm số đạt cực đại tại x0,
+Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x0 hàm số đạt cực tiểu tại x0
Qui tắc tìm cực trò = dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Tính : y/ = , tìm nghiệm của ptr y/ = 0 . Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu có)
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Kết luận cực trị ?

Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
/

y (x 0 )  0
3) Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0   /

y (x) đổi dấu qua x0

Dấu hiệu II:
Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x0  (a;b)

y / (x 0 )  0
y / (x 0 )  0
+Nếu 
thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. +Nếu 
thì hàm số đạt cực đại tại x0.
//
//
y (x0 )  0
y (x0 )  0
Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II:
+ MXÐ
+ Đạo hàm : y/ = ?

GV: Lê Văn Nam

Trang 2

ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12

GV: Lê Nam

cho y/ = 0 => các nghiệm x1 , x2 ….. .( nếu có )
+ Tính .. y// = ?. y//(xi), i  1, n
Nếu y//(xi) > 0 thì hàm số đạt CT tại xi .
Nếu y//(xi) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại xi .
Chú ý :
*Dấu hiệu II dùng cho những trường hợp mà y/ khó xét dấu
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
a  0
.
 y '  0

 Để hàm số bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu) y’= 0 có hai nghiệm phân biệt  

 Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm
u ( x)
của mẫu .Tìm cực trị của hàm hữu tỉ : Nếu h/s y 
đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 và giá trị cực trị y(x0)
v( x)
=

u(x 0 )
v'(x 0 )

 Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
 Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành

 Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung

 yCĐ . yCT  0 .
 xCĐ .xCT  0 .

 yCĐ  yCT  0

.
 yCĐ . yCT  0
 yCĐ  yCT  0

.
 yCĐ . yCT  0
 yCĐ . yCT  0 .

 Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
 Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
 Để đồ thị hàm số y  f  x  tiếp xúc với trục hoành
Cách viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Dạng 1: hàm số y  ax3  bx2  cx  d
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Dạng 2: Hàm số y 

ax 2  bx  c
dx  e

Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:

 Áp dụng quy tắc 1
1/ Tìm cực trị của hàm số sau:
Giải:
Miền xác định: D=

GV: Lê Văn Nam

.

 ax
y

2



 bx  c '

 dx  e  '



2a
b
x
d
d

y= –x4+ 2x2– 3

x  0
y  = – 4x + 4x= 4x(–x + 1). Cho y  = 0   x  1
 x  1
3

2

Trang 3


ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12


Bảng biến thiên: x
y
y

GV: Lê Nam
–1
0

+

–

0
0

–2

1
0

+

+
–

–2

–3


Hàm số đạt cực đại tại x = –1 và x = 1; yCĐ= –2 , đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = –3
 Áp dụng quy tắc 2
2/ Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin2x
Miền xác định: D=
y  = 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x



x   k

1
12
k
y  =0  sin2x=  
2
 x  5  k


12
y = – 4cos2x






y   k   4 cos   k 2  = –2 3 <0 Vậy: x   k , k  là những điểm cực đại.
12
 12

6

5
 5

 5

 k , k  là những điểm cực tiểu.
y 
 k    4 cos 
 k 2  = 2 3 >0 Vậy: x 
12
 12

 6

Một số bài toán có tham số
1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu

x 2  2m 2 x  m 2
1) y   m  2 x3  3x 2  mx  m .
2) y 
x 1
Giải
1) y   m  2 x3  3x 2  mx  m
Tập xác định: D 
Đạo hàm: y '  3  m  2  x 2  6 x  m
Hàm số có cực đại và cực tiểu  y '  0 hay g  x   3  m  2  x 2  6 x  m  0 có hai nghiệm phân biệt



m  2
m  2
m  2  0


Vậy giá trị cần tìm là: 3  m  1 và

2

3  m  1

 '  9  3m  m  2   0
3  m  2m  3  0
m  2 .
x 2  2m 2 x  m 2
2) y 
x 1
Tập xác định: D  \ 1

Đạo hàm: y ' 

x 2  2 x  m2

 x  1

2

Hàm số có cực đại và cực tiểu  y '  0 hay g  x   x 2  2 x  m2  0 có hai nghiệm phân biệt khác –1
2

1  m  1
 '  1  m  0


 1  m  1
2
m  1

 g  1  1  m  0
Vậy giá trị cần tìm là: 1  m  1

GV: Lê Văn Nam

Trang 4


ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12

GV: Lê Nam

2. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị
mx 2  x  m
3
2
1) y   m  3 x  2mx  3 .
2) y 
xm
Giải
1) y   m  3 x3  2mx2  3
Tập xác định: D 
Đạo hàm: y '  3  m  3 x 2  4mx

y '  0  3  m  3 x 2  4mx  0 (1)
 Xét m  3 :
y '  0  12 x  0  x  0  y ' đổi dấu khi x đi qua x0  0  Hàm số có cực trị  m  3 không thỏa
 Xét m  3 :
Hàm số không có cực trị  y ' không đổi dấu
m  3  0
m  3

 phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  
m0
2
m  0
  '  4m  0
Vậy giá trị cần tìm là m  0 .
x 2  mx  1
3/Xác định m để hàm số: y 
đạt cực đại tại x=2.

xm
Giải:
*TXĐ: D  R \ m
* y/ 

x 2  2mx  m2  1

 x  m

2

*Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x=2 là: y (2)=0 
/

*Với m=-1  y / 
/

*Với m=-3  y 

m 2  4m  3

2  m

2

 m  1
0
 m  3

x  0

xét dấu y/ (lập bảng biến thiên) m= -1 không là giá trị cần tìm
; y/  
x  2
 x  1
x2  2x
2

x2  6x  8

 x  3

2

x  4
xét dấu y/ (lập bảng biến thiên)  m=-3 là giá trị cần tìm
; y/  
x  2

B/ Bài tập đề nghị:
1. Tìm cực trị của các hàm só.

1 3
x  4x
3

1) y = 2x3 -3x2 + 1

2) y =

5) y = -2x3 + 3x2 + 12x – 5

6) y = x5 – 3x4 - 3x3

9) y = x4 + 2x2 + 2
2
13) y  4  3x  x

17) y = x +2sinx

GV: Lê Văn Nam

x2
x 1
x 2  2x  2
14) y =
x 1

10) y =

4
3

18) y=2sinx sin 3 x

3) y = x3 (1-x)2
7) y = -x3 -3x + 2
11) y = x +
15) y =

1

4) y   x 3  9 x
3
1
8) y =  x 4  x 2
4

2
x 2  3x  2 12) y  4 x  x

x2
x 1

19) y  x  2cosx

16) y = x 20)y = sin2x -

1
x
3 cosx

Trang 5


ễN THI HC K 1 TON LP 12



GV: Lờ Nam

2: ẹũnh m ủeồ y= x 3mx 3 m 1 x m 1 ủaùt cửùc ủaùi taùi x=1.
3

2

2

2

4

3: Cho hm s y=

x
ax 2 b . nh a,b hm s t cc tr bng 2 ti x=1
2

4. Tỡm m hm s:
1) y = x3 3mx2 + (m 1)x + 2 t cc tr ti x = 2
2) y

S : m = 1

1 3
mx (m 2) x 2 (2 m) x 2 t cc tr ti x = -1. S : m = 3
3

3) y = x3 mx2 mx 5 t cc tiu ti x = 1
4) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m 1)x + 1 t cc i ti x = -2
5) y

x 2 2x m
t cc tiu ti x = 1
x2

S : m = 3
S : m = 7/2
S : m = 9

5. Tỡm m cỏc hm s sau cú cc i v cc tiu.
1) y

1 3
x mx 2 (12 m) x 2
3

x 2 mx 2
3) y
x 1

2) y

x 2 2x m
4) y
x2

5) y

6. Tỡm m hm s:
1) y = x4 mx2 + 2 cú 3 cc tr.
2) y = x4 (m + 1)x2 1 cú 1 cc tr
3) y = mx4 + (m 1)x2 + 1 2m cú 3 cc tr
7. Chng minh rng vi mi giỏ tr ca a, hm s y

m 3
x 2 x 2 (3m 1) x 1
3

mx 2 x m
xm

S: m > 0
S : m < - 1
S : 0 < m < 1

x 2 a(1 a) x a3 1
luụn cú cc i v cc tiu.
xa

Bi 3: GI TR LN NHT, GI TR NH NHT
3.1. Phng phỏp tỡm GTLN v GTNN ca h/s trờn [a;b]:
+ o hm : y/ = ? ..
Tỡm nghim ca y/ = 0 thuc (a;b) ( nu cú ) gi s phng trỡnh cú cỏc nghim l x1 , x2
+ Tớnh y(a), y(b), y(x1), y(x2)
+ So sỏnh cỏc giỏ tr va tớnh max y s ln nht, min y s nh nht.
[a;b]

[a;b]

Chỳ ý:
* Nu hm s luụn tng trờn (a;b) v liờn tc trờn [a;b] thỡ max y f (b); min y f (a) .
[a;b]

[a;b]

* Nu hm s luụn gim trờn (a;b) v liờn tc trờn [a;b] thỡ max y f (a); min y f (b) .
[a;b]

[a;b]

3.2. P/phỏp tỡm GTLN hoc GTNN ca h/s trờn (a;b) hoc MXé :
+ Tỡm TXé trong trng hp cha bit TX
+ o hm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 tỡm nghim ca phng trỡnh ( nu cú ) .
+ BBT: cn c bng bin thiờn kt lun giỏ tr ln nht, nh nht
Chỳ ý:
* Nu trờn ton min ang xột h/s ch cú 1 CT thỡ GTNN bng giỏ tr CT

( min y YCT )

* Nu trờn ton min ang xột h/s ch cú 1 C thỡ GTLN bng giỏ tr C

( max y yCD )

D

D

* Nu hm s luụn tng (gim) trờn (a;b) thỡ khụng cú giỏ tr LN, NN trờn (a;b).

GV: Lờ Vn Nam

Trang 6


ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12

GV: Lê Nam

II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Bài 1 :
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y  ln x  x .
Ta có : TXĐ D  (0; )

1
1
1 1 1
1 1 1


(
 ), y  0 
(
 )0x4
x 2 x
x x 2

x x 2
Bảng biến thiên :
x
0
4

+
0
y
y 

y

2ln2 - 2

Vậy : Maxy  y(4)  2 ln 2  2 và hàm số không có giá trị nhỏ nhất
(0;)
Bài 2

 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = 2 cos 2 x  4sin x trên đoạn 0; 
 2

y  2 cos 2 x  4sin x  2 1  2sin 2 x   4sin x

 2 2 sin 2 x  4sin x  2
 
+ Đặt t  sin x ; t   1;1 .Do x  0;  nên t  0;1
 2

 

2
+Hàm số trở thành y  2 2t  4t  2 , t  0;1

2
 0;1 .
2
 4 2.

+ y '  4 2t  4; y '  0  t 
+ y

2


 2 



 2 2 ; y 0   2 ; y 1

So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 2 tại t =

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

y' 

2
2

và

GTNN là

2 tại t =0 .

s inx
; x  0; .
2+cosx

2cosx+1

 2+cosx 

2

y '  0  cosx=-

1
2

 2
y  0   y    0; y 
 3

GV: Lê Văn Nam



x

2
3

3


 3

Trang 7


ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12

Max y 

GV: Lê Nam

3
2
khi x=
3
3

min y  0

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số: y =

khi x=0; x=

4  x2

TXĐ : D =  2; 2
.Tính y/ =

x

4  x2
. y = 0  x = 0 ,y/ kxđ  x  2
.y(0) = 2 ,y(2) = 0, y(-2) = 0
KL đúng GTLN,GTNN
/

ex
Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
trên đoạn [ln2 ; ln4]
x
e e
ex
 0 , x  [ln2 ; ln 4]
Ta có : y 
x
2
(e  e)
2
min y  y(ln2) 
2e
[ln2 ; ln 4]

4
Maxy  y(ln 4) 
4e
[ln2 ; ln 4]

Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x 

2  x2 .

+ Tập xác định: D = [ – 2 ; 2 ]
+

x

f’(x) = 1 –

2  x2
 2  x 2  x
2  x 2  x 2
f’(x) = 0  

x=1
0

x

2


2


x

2


2 x

+

=

2  x2  x

2

+ f(1) = 2, f(– 2 ) = – 2 , f( 2 ) =
GTLN bằng 2, GTNN bằng 2

2

3

2

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2x  3x  12x  2 trên [1; 2 ]

TX§: D 

  1;2 

x  1
y '  6 x 2  6 x  12; y '  0  6 x 2  6 x  12  0  
 x  2   1;2 
f (1)  15; f (1)  5; f (2)  6;
Max y  15
t¹i x  1; Min y  5
t¹i x  1
1;2

1;2

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  24 x  1 trên đoạn 0;1 .

GV: Lê Văn Nam

Trang 8


ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12

GV: Lê Nam

12
 0; x  0;1  Hàm số đồng biến trên đoạn [0; 1]
24 x  1
y(0)  1; y(1)  5
max y  5 tại x = 1; min y  1 tại x = 0

Tính được

y/ 

x0;1

x0;1

Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau

y  x 3

4
trên  4; 1
x

4
x2
y /  0  x 2  4  0  x  2 ( loại) và x= -2
f (4)  2; f (1)  2; f (2)  1
y /  1-

Vậy Maxy  1; Miny  2
-4;-1

Bài 10Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) = x -36x +2 trên đoạn  1;4
f(x) = x 4 - 18x 2 +2 trên đoạn  1;4
4

f ‘(x) = 4 x  36 x = 0
3

f(0) = 2;
Vậy

 4;1

2

 x  0   1;4
  x  3   1;4
 x  3   1;4(loai )

f(3) = -79;

f(-1) = -15;

f(4) = -30

max f ( x)  2 ; min f ( x)  79
1; 4 

1; 4 

Bài 11
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = cos 2x - 1 trên đoạn [0; π].
Giải :
Trên đoạn [0; π], hàm số y = cos2x -1 liên tục và: y’ = -2 sin 2x
y '  0

x

* 
2
x  (0;  )
* y(0) = 0, y(π) = 0, y(


) = -2
2

max y  0  x  0  x   ;
[0; ]

min y  2  x 
[0; ]


2

Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  xe x trên đoạn  0; 2 .

f '( x)  e x  xe x  e x (1  x)

f '( x)  0  x  1 0;2

GV: Lê Văn Nam

Trang 9


ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12

GV: Lê Nam

f (0)  0, f (2)  2e2 , f (1)  e1
Suy ra

maxf(x)=e-1 tại x = 1; min f(x)=0 tại x = 0
x 0;2

x0;2

Bài 13:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1
1
3

a) y= 2x3– 3x2– 12x+ 1 trên  2; 
b/ y= x2 + trong  0; 
2
x
2

Giải:
3

a) Xét x   2;  . y  = 6x2 –6x –12 cho y  = 0  x= –1 ( nhận)
2

3
Ta có: f(–2) = –3, f(–1) = 8 , f( )= –17

Vậy: max f ( x )  8 , min f ( x )  17
 3
 3
2
x 2; 
x 2; 


b) Xét x   0;  . y  = x–

2



2

x 1
1
=
cho y  = 0  x= 1
2
x2
x
3

Bảng biến thiên:
x 0
–
y
y 

1
0


+


3
2

Vậy: min f ( x )  f (1) 
x(0; )

3
. Hàm số không có giá trị lớn nhất trong  0; 
2

B/ Bài tập tự giải:
1) Tìm GTLN và GTNN của hàm số

1 3
x  2 x 2  3x  4 trên đọan [-4 ; 0]
3
d) y = -x4 + 2x2 + 2 trên đọan [0 ; 3]
1
f) y = 1 trên đoạn [1;2]
x
x 2  3x  1
h) y =

trên đọan [1 ; 4]
x 1

a) y = x3 – 3x2 + 5 trên đọan [-1 ; 1]

b) y =

c) y = x4 – 2x2 + 3 trên đọan [-3 ; 2]
x 1
e) y =
trên đọan [2 ; 5]
x 1
1
g) y = x - trên (0 ; 2]
x

2 x 2  5x  4
i) y =
trên đọan [-3 ; 3]
x2

j)


k) f  x   x  2cosx trên đoạn  0;  .


m) y 

2 2 sin x  1

.
cos x  2

p) y  3x  10  x 2
r) y = x +

x2  4 x  3 .

t) y = 100  x 2 trên đọan [-8 ; 6]

GV: Lê Văn Nam

2

f  x  x 

9
x

trên đoạn  2; 4

4
3

l). y=2sinx sin 3 x trên đoạn [0;]
n) y = 3 sinx – 4 cosx.
q) y 

x 4  x

s) y   x  2 

4  x2

u) f (x)  x 2  ln(1  2x) trên đoạn [-2; 0].

Trang 10


ƠN THI HỌC KỲ 1 TỐN LỚP 12

GV: Lê Nam

x 2  4x  4
với x<1.
x 1

v) y = f(x) =

x) y =

x2
x  x2  1
4

2) Đònh m để hàm số y = f(x) = x33(m+1)x2+3(m+1)x+1 đđồng biến trên tập xác định.

Bài 4: TIỆM CẬN
I/ Tóm tắt lý thuyết:
*Tiệm cận đứng : x = x0 là tiệm cận đứng nếu có một trong các giới hạn sau

lim f (x)  ; lim f (x)  ; lim f (x)  ; lim f (x)  

x x 0

x x 0

x x 0

x x 0

Chú ý : Tìm x0 là những điểm hàm số khơng xác định
*Tiệm cận ngang :
y = y0 là tiệm cận ngang nếu có một trong các giới hạn sau: lim

x 

f (x)  y0 ; lim f (x)  y 0
x 

Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử  bậc mẫu thì có tiệm cận
ngang
* Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng có phần này):
Cách 1: + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b +  (x)
lim [f(x) –(ax + b)] = lim (x) = 0  y = ax + b là tiệm cận xiên
x 

x

Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;

a

lim

x 

f (x)

;

b

x

lim f (x)  ax   y = ax + b là tiệm cận xiên
x 

II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số y 

x 1
.
x2

x 1
x 1
  ; lim
   đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của (C).
 x  2

x

2
x 2
x 2
x 1
x 1
 lim
 1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C).
Vì lim
x  x  2
x  x  2
Giải. Vì lim



Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y 
Giải. Vì

2 x2  x  1
.
2x  3

3
2 x2  x  1
2 x2  x  1
  (hoặc lim
  ) nên đường thẳng x  là tiệm cận



2
2x  3
2x  3
3
3
x  
x  
lim

2

2

đứng của đồ thị hàm số đã cho.

2 x2  x  1
2 x2  x  1
 , lim
   đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang
2x  3
2x  3
x 
x 
Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số
lim

GV: Lê Văn Nam

Trang 11

ƠN THI HỌC KỲ 1 TỐN LỚP 12

a. y =

x2 1
x2

b. y =

GV: Lê Nam

x2  1
.
x

Giải:

2x 1
2x 1
2x 1
2x 1
 2, lim
 2, lim
  , lim
 .
x  x  2
x  x  2
x 2 x  2
x 2 x  2

 đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang, đường thẳng x= -2 là tiệm cận đứng.
1
x 1 2
2
x 1
x  lim 1  1  1 đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang
 lim
b/ Ta có lim
x 
x

x 
x
x
x2
1
x 1 2
2
x 1
x   lim 1  1  1  đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang
lim
 lim
x 
x 
x 
x
x
x2
a/ Ta có lim

x2  1
x2  1
 , lim
   đường thẳng x= 0 là tiệm cận đứng.
x 0
x 0
x
x
B/ Bài tập tự giải:
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số :
lim

a) y =

2x 2  1
.
x 2  3x  2

Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2

b) y =

x2  x  1
.
x2

Kết quả: x=-2

2) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số :
a) y = 1+ e

 x2

.

Kết quả: y = 1

b) y =

x2  x  1
.
x

Kết quả: y = 1

Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
5.1 Sơ đồ khảo sát Hàm đa thức:
1. TXĐ
2. Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
Tìm y’, giải phương trình y’= 0 và các bất phương trình y’>0, y’<0  Khoảng đồng biến, nghịch biến
b) Cực trị của hàm số.
c) Giới hạn tại vơ cực
d) BBT
x
Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y/=0
f’(x)
Xét dấu y/
f(x)
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số, giới hạn ở vơ cực

Chú ý : Hàm số bậc 3 có y/ = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép thì y/ ln cùng dấu với a trừ nghiệm kép
3.Đồ thị:
Bảng giá trị. Ghi dòng x gồm hồnh độ cực trị và lấy thêm 2 điểm có hồnh độ lớn hơn cực trị bên phải và nhỏ
hơn cực trị bên phải). Hàm bậc 3 lấy thêm điểm nằm giữa 2 cực trị
Vẽ đồ thị. .
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x3– 9x2+ 12x– 4
Giải:
Miền xác định: D=
y  = 6x2– 18x+ 12

GV: Lê Văn Nam

Trang 12


ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12

GV: Lê Nam

x  1
y  = 0  6x2– 18x+ 12=0  
x  2
x  1
; y < 0  1  x  2
y > 0  
x  2
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:(  ;1) và (2; +  ), nghịch biến trong khoảng: (1;2)
Hàm số đạt cực đại tại x=1; yCĐ=1, cực tiểu tại x=2; yCT=0

lim y =  , lim y  
x 

x 

Bảng biến thiên:

x 
y
y


y = 12x– 18 y = 0  x=
Điểm đặc biệt
x
0
1
y

-4

1

1
+

+

2
0

1

–

0

+
+

0

3
1
3 1
đồ thị có 1 điểm uốn I( ; )
 y=
2
2
2 2

3
2

2

3

1
2

0

5

3 1
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I  ;  làm tâm đối xứng.
2 2
Ví dụ 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= x4– 2x2– 1
Giải:
Miền xác định: D=
x  0
3
3
y  = 4x – 4x cho y  = 0  4x – 4x=0   x  1
 x  1

 1  x  0
 x  1
; y < 0  
y > 0  
x  1
0  x  1
Hàm số đồng biến trong 2 khoảng: (–1;0) và (1;  ), nghịch biến trong 2 khoảng: (  ;–1) và (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ= -1, cực tiểu tại x= ±2; yCT= -2
lim y = lim y  
x 

x 

Bảng biến thiên:

x 
–
y
y 

–1
0 +
–2

Điểm đặc biệt
x
-2
-1
y
7
-2

GV: Lê Văn Nam

0
-1

1
-2

0
0
–1

–

1
0


+


–2

2
7

Trang 13


ƠN THI HỌC KỲ 1 TỐN LỚP 12

GV: Lê Nam

Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
B/ Bài tập tự giải: Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau:
1/ Dạng y = a3 + bx2 + cx +d
1
a/ y = 2x3 - 3x2 + 1 b/ y = x3 – x2 + x -1 c/ y = - x3 – x2 – x -1
d/y = - x3 + 3x + 1
e/y = x3-3x+1
3

1
f/ y = x3+3x4
g/ y = (1-x)3
h/ y = 3x2-x3
i/y = - x3 –2 x2 -4 x +1 j/ y = x3 + x
3
+1
1
k/ y= x3 - x2 - x + 1 l/ y = x 3 - x
m/y= - x3 + 3x2
n/ y = x3 – 3x2 +2
p/ y = x3 – 3x
3
+1
x4
3
4
2
4
2
4
2
2/ Dạng 2 : y = ax + bx + c (a  0)
a/ y= x – 3x +2
b/ y= x + x – 4
c/ y=   x 2 
2
2
4
x

5
 3x 2 
d/ y= 3 - 2x2 – x4
e/y=
f/ y = x4 + 2x2
g/ y = - x4 + 2x2+2
2
2
x4
3
x4
5
x4
1
h/ y = -  x 2 
i/ y = -  x 2 
j/ y =  x 2 
k/ y = x4+x2-2. l/ y=2x2x4-1
2
2
2
2
2
2
4.2.Hàm phân thức : y = ax  b ( c  0; ad  bc  0 )
cx  d

* TXĐ : D =

R\  d 

 c

* . Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên: y/ =

ad  bc
(cx  d ) 2

 Khoảng đồng biến, nghịch biến

b) Cực trị của hàm số. Hàm số khơng có cực trị
c) Giới hạn, tiệm cận:
ax  b
ax  b
 x =  d là tiệm cận đứng vì lim 
 (); lim 
 ()
c
x  ( d / c ) cx  d
x  ( d / c ) cx  d
ax  b
ax  b a
 y = a là tiệm cận ngang vì lim
 lim

x  cx  d
x  cx  d
c
c
d) BBT

x
Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y/=0
f’(x)
Xét dấu y/
f(x)
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số, giới hạn ở vơ cực và tại x = -d/c
+ Vẽ đồ thị :  Vẽ tiệm cận, trục toạ độ, điểm đặc biệt
 Cho 2 điểm về mỗi phía của tiệm cận đứng vẽ từng nhánh một.
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1:khảo sát hàm số y 
TXĐ : D  \ 1
Sự biến thiên :

GV: Lê Văn Nam

x 1
x 1

Trang 14


ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12
+ Chiều biến thiên: y ' 

2

 x  1

2

GV: Lê Nam

> 0 , x  D  Hàm số tăng trong 2 khoảng  ; 1 ;  1;  

+ Giới hạn và tiệm cận :
 lim y  lim y  1  y  1 là tiệm cận ngang
x 


+Bbt
x

x 

lim  y   ; lim  y    x  1 là tiệm cận đứng

x  1

x  1

-

-1

y’

+

+

+
+

y

1
f y = -1

-

1

hx =

Đồ thị :
Điểm đặc biệt
x
-3
-2
y
2
3

8

gx = 1
x-1
x+1

6

-1

0
-1

4

1
0

2

Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I  1;1 làm tâm đối xứng .
 Ví dụ 2 : Khảo sát hàm số y 

x  3
2x  1

-10

-5

5

10

-2

 1
1. TXĐ : D  \  
 2
2. Sự biến thiên :
7
1  1


+ Chiều biến thiên: y ' 
<0 , x  D  Hàm số giảm trong 2 khoảng  ;   ,   ;  
2
2  2


 2 x  1
+ Giới hạn và tiệm cận :
1
1
 lim y  lim y    y   là tiệm cận ngang
x 
x 
2
2
1
lim  y   ; lim  y    x   là tiệm cận đứng

 1
 1
2
x   

x   
-4

-6

-8

f y =

gx =
hx =

 2

-1

8

2

-1
2

-x+3

6

2x+1

4

 2

+Bảng biến thiên:

2

x
y’

1

2

-

-

+
-10

-5

5

10

-2

y



1
2

+

Điểm đặc biệt
x
-2
-1



-

3.Đồ thị :

-4

1
2

-6

-8



GV: Lê Văn Nam

1
2

0

3

Trang 15


ƠN THI HỌC KỲ 1 TỐN LỚP 12
y

5
3

4

3

GV: Lê Nam

0

 1 1
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm I   ;   làm tâm đối xứng .
 2 2
B/ Bài tập tự giải:

x
2x  1
3x  2
2
a/ y 
b/ y=
c/ y=
d/y=
2x  3
3x  2
x 1
x 1
2x  1
x 1
2x
f/y =
g/ y =
h/ y =
x

1
x
2
1 x

e/y =

x 1
2 x  1

MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ:

BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Ví dụ 1:
Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k. biện luận số giao
điểm của (C) và d.
Giải
Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là : x3 -3x +1 = kx + 1 (1)  x3-(3+k)x = 0
x  0
 x(x2-3-k) = 0  
2
 g( x )  x  3  k  0 (2)
ta có  / (2)= 3+k
Nếu 3+k < 0  k<-3 Phương trình (2) vô nghiệm  (1) có 1 nghiệm  (C) và d có 1 giao điểm.
Nếu 3+k = 0  k= -3 Phương trình (2) có nghiệm kép x=0  (1) có 1 nghiệm bội  (C) và d có 1 giao
điểm.
Nếu 3+k > 0  k> -3 . Mặt khác g(0) = 0  -3-k = 0  k = -3 . Vậy k> -3 phương trình (2) có 2 nghiệm
phân biệt khác 0  (1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) và d có 3 giao điểm.
3  2x
Ví dụ 2: Cho hàm số y 
x 1
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân
biệt.
Giài:

3  2x
= mx+ 2 có hai nghiệm phân
x 1

biệt  Phương trình mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1
Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt  Phương trình
m  0
   (m  4) 2  20m  0 
m.12  (m  4).1  5  0


 m  6  2 5

m  0
  6  2 5  m  0
 2
m  0
m  12m  16  0


Ví du 3:
Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C). Dùng đồ thị (C) biện luận số

GV: Lê Văn Nam

Trang 16


ễN THI HC K 1 TON LP 12

GV: Lờ Nam

nghim ca phng trỡnh x3 6x2 + 9x m = 0
Gii:

Phng trỡnh x3 6x2 + 9x m = 0 x3 6x2 + 9x = m
S nghim ca phng trỡnh l s giao im ca th (C) v ng thng d: y=m.
da vo th ta cú:
Nu m > 4 thỡ d v (C) cú 1 giao im phng trỡnh cú 1 nghim.
Nu m = 4 thỡ d v (C) cú 2 giao im phng trỡnh cú 2 nghim.
Nu 0< m <4 thỡ d v (C) cú 3 giao im phng trỡnh cú 3 nghim.
Nu m=0 thỡ d v (C) cú 2 giao im phng trỡnh cú 2 nghim.
Nu m < 0 thỡ d v (C) cú 1 giao im phng trỡnh cú 1 nghim.
Vớ d 4 :
Cho ng cong (C) y = x3.Vit phng trỡnh tip tuyn vi ng cong :
a.Ti im A(-1 ; -1)
b.Ti im cú honh bng 2
c.Ti im cú tung ọ bng 8
d. Bit rng h s gúc ca tip tuyn bng 3.
e.Bit rng tip tuyn i qua im B(2;8) ( chng trỡnh nõng cao)
Gii:
Ta cú y= 3.x2
x 0 1
a/ Tip tuyn ti A(-1;-1) (C ) cú
f(x0)= 3.(-1)2 = 3 phng trỡnh tip tuyn l:
f(x 0 ) 1
y=f(x0)(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1)
f(x 0 ) 8
b/ Ta cú x0= -2
Ph.trỡnh tip tuyn l y = 12(x+2) 8 =12x + 16
f '(x 0 ) 12
3
c/ Ta cú tung bng y0= 8 f(x0)= -8 x 0 =-8 x0= -2 f(x0)=12 Phng trỡnh tip tuyn l:
y= 12(x+2) 8 = 12x + 16
2

d/ H s gúc ca tip tuyn bng 3 f (x0)=3 3. x 0 =3 x0= 1
vi x0=1 f(x0)=1 Phng trỡnh tip tuyn l: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
vi x0=-1 f(x0)= -1 Phng trỡnh tip tuyn l: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
e/Phng trỡnh ng thng d i qua B(2;8) cú h s gúc k l: y = k(x2) + 8
d l tip tuyn ca (C) h phng trỡnh sau cú nghim :
x 3 k(x-2) + 8(1)
x 2

x3 = 3x2(x-2) + 8 2x3- 6x2 + 8 = 0
2
(2)

x 1
3 x k
Vi x=2 k=12 phng trỡnh tip tuyn l y=12(x-2)+8 = 12x -16.
Vi x=-1 k=3 phng trỡnh tip tuyn l y= 3(x-2)+8 = 6x - 4
B/ Bi tp t gii:
1) Bin lun theo m s giao im ca 2 th:
a) (C): y =

x 2 6x 3
v d: y = xm.
x2

b) (H): y

x 1
v d: y= 2x+m.
x 1

2) a.V th (C) hm s y = x3+3x22.
b.Bin lun bng th (C) s nghim ca pt: x3+3x2(m2) = 0
3) Dựng th (C): y = x33x2+1 bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh x33x2 9x+1m = 0.
1
4

4) Vit phng trỡnh cỏc ng thng vuụng gúc vi ng thng y= x+3 v tip xỳc vi th (C) hm s
y= x3+3x24x+2.
5) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C): y=x3+3x2+1 bit tip tuyn i qua gc to O.
2
6). Cho hàm số y 2 x x 1 , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.

GV: Lờ Vn Nam

Trang 17


ƠN THI HỌC KỲ 1 TỐN LỚP 12

GV: Lê Nam

KIẾN THỨC CƠ BẢN GIẢI TÍCH CHƢƠNG II
Bài 1: LŨY THỪA
BÀI TẬP:
Vấn đề 1: Tính Giá trò biểu thức
1
2



 

a) A = 3 5 : 2  : 16 : (5 .2 .3 

 

1
5  2
 4
b) (0, 25)1 ( )2  25 ( )2 : ( )3  : ( ) 3
4
4  3
 3
3
2

Bài 1: Tính

7
4

5
3

1
3

1
4

1
2

Bài 2: a) Cho a = (2  3)1 và b = (2  3)1 .
Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1
b) cho a =
Bài 3: Tính
a) A =

4  10  2 5 và b =

5

b) B =

23 2 2

3

4  10  2 5 . Tính A= a + b

23 3 2
3 2 3

c) C =

3 3 9 27 3

Bài 4: Tính
a/ a

2 2

(

1
2 1

a





c/ ( x + y )

2 +1

)

(KQ: a )

1

(4  xy )

2

3

b/(

a
b

3
3 1

)

3+1

.

a

1

b

3

( KQ: a2)

2

1







(KQ: |x -y |)

 0 , 75

d) A  81

3

 1 3  1 5

  
 125 
 32 

Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức
Bài 1: Giản ước biểu thức sau
2

a) A =

(a  5)4

b) B =

81a 4b2 với b  0

c) C = (a

3

25

)

3

5

(a > 0)

1
1
 12
2
x y
( x  y) 2
 1
d) E = 
1
1

 ( x  y) 2 x 2  y 2


2

 4a  9a 1 a  4  3a 1 
 với 0 < a  1, 3/2
g) J =  1
 1
1
1

 2

a2  a 2 
 2a  3a 2
a b
ab
h) 3

a3b 3a3b


  x  y (x > 0, y > 0)
a 1
a  4 a 14

2
xy
i)
.
.a  1

3
1


a

1
a4  a2
2a x 2  1
1 a
b
 4a4b 2 4a4b
e)F=
với x = 

 (a > 0 ,b> 0)
2
2 b
a
x  x 1
j) a3 . 

a  ab
2ab
ax  ax

f) G =
Với x = 2
và a > 0 , b > 0
2
3
3
b 1

ax  ax

2
2
x 3 .3 x  y
x y
:
k)
2
 x2  xy  3 x x  y y



 



2

5


 .3 a a



BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA

GV: Lê Văn Nam

Trang 18


ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12
Nam

GV: Lê

BÀI TẬP:
Bài 1.Tìm tập xát định của hàm số
a/ y =  x 2  x  2 





1
3

b/ y  2  x 2



3
5

c/ y =(x2 – 1) – 2

 x2  x 
 x2

f/ y = 
g/ y = 


 x 1 
 x2 
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số.
3

a/ y = x

2

b/ y = x



0

d/ y = (2 x  1)

 x2
h/ y = 

 x 1 



3
2

 x2  x  2 
i/ y = 

 x2 

3





1
3

b

 x a
d/ y =     với a, b > 0
b  x

c/ y = ( x 2  x  2)

 x2  x  2 
2
f/ y = 
 g) y  2 x  x  1
 x2 

3

 x2
e/ y = 

 x 1 
 1
3
i) y 
(3x  1) 2
2

a

2
3

2

e/ y = ( x 2  2 x  3) 3

2

h/ y= (x3+x + 1)

3
2

3

4

b/ y  x 2

Bài 3.khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: a) y  x 3



c/ y  x2

Bài 4 so sánh các số.
 13 
b/  
 11 

a/ (3,1)7,2 < (4,3)7, 2

2,3

 13 
 
 11 

3,2

c/ (0,3)0,3 > (0,2 )0,3

Baøi 3: LOGARIT
BÀI TẬP:
Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit
Bài 1 Tính logarit của một số

A = log24

B= log1/44

C = log 5

1
25

F = log 1 3 9

E = log 4 4 8

D = log279

3

 4 
3 3
H= log 1  3  I = log16 (2 3 2)
 5 
3 
27 
2 8
Bài 2 : Tính luỹ thừa của logarit của một số
3

G = log

J=

1
2

A= 4
E= 8

log 2 3

B = 27

1
log 2 10
2

I = (2a)

log

log9 3

C= 9

F = 21log2 70
a

1

J=

1  log8 5

27log3 23log3 5

4
L= 16
Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức
Bài 12: Rút gọn biểu thức
A = log 3 8log 4 81

3

a

3
D=  
2

2

L = log 1 (a 2 5 a3 )

2log 3 5
2

G = 234log8 3
H = 9log3 23log3 5
1  log3 4
log2 3  2
K=.

1
log 2 3  3log8 5
2

2

3

M=

B = log 1 25log 5 9
3

GV: Lê Văn Nam

log

log 20,5 (4)

a

4log

a2

5

C = log 2

1
log 25 3 2
5

Trang 19


ễN THI HC K 1 TON LP 12
Nam
D = log3 6log8 9log6 2

GV: Lờ

E = log3 2.log 4 3.log5 4.log6 5.log8 7

F=

log 2 30
log 4 30

log 5 3
log 2 24 log 2 192
H=
I = log 1 7 2log9 49 log 3 27

log 625 3
log 96 2 log12 2
3
Vn 3: Tớnh logarit ca mt s theo mt s loga rit cho trc:
Bi 1:

a/ Bit log153 = a. Tớnh log2515 theo a?
b/ Biu din log41250 theo a=log25
24
c/ Biu din log 3 50 theo a=log315 v b=log310.
d/Bit lg2 = a, lg3 = b. Tớnh lg
theo a v b
25
e/. Tớnh log 49 32 theo a nu log 2 14 a
f/. Tớnh log 24 72 theo a nu log 6 2 a
g/. Tớnh log 5 6 theo a v b nu log100 3 a v log100 2 b
G=

Baứi 4: HAỉM SO MUế HAỉM SO LOGARIT
II/ BI TP:
Vn 1: tỡm tp xỏc nh ca hm s
Bi 1: tỡm tp xỏc nh ca cỏc hm s sau
3
1 x
a) y = log 2
b) y = log3(2 x)2
c) y = log 2
d) y = log3|x 2|
10 x
1 x

x
g) y = log 1 x 2 4 x 5
2 x 1
2
Vn 2: Tỡm o hm cỏc hm s

Bi 1: tớnh o hm ca cỏc hm s m
a) y = x.ex
b) y = x7.ex
e) y = (2x2 -3x 4)ex
f) y = sin(ex)
f) y =

log 1

2

h) y =

1
log 2 x 1

e)y =

2x 3
log 5 ( x 2)

i) y= lg( x2 +3x +2)

c) y = (x 3)ex
2
g) y = cos( e x 2 x1 )

d) y = ex.sin3x
h) y = 44x 1

x2 1
1
j)
y
=
4x
3x
Bi 2 : Tớnh o hm cỏc hm s sau
i) y = 32x + 5. e-x +

a/ y = ( x + 1)ex
d/ y =

1 x x
e e
2

b/ y = x2

e4 x 1

e/ y = 3x3 + 2x sinx

c/ y =

1 x x
e e
2

g/ y = 3

x 2 1

Bi 3 . Tỡm o hm ca cỏc hm s logarit
a) y = x.lnx

b) y = x2lnx -

e) y = ln2(2x 1)
Bi 4 . Tớnh o hm cỏc hm s sau
a/ y = ( x + 1)lnx

b/ y = x2 lnx2

x2
2

c) ln( x 1 x 2 )

c/ y = x ln

d) y = log3(x2- 1)

1
x 1

ln( x 2 1)
e/ y = 3x3 + sinx . log 2 x
g/ y = log3 ( x 2 1)
x

Vn 3: Tỡm giỏ tr ln nht nh nht ca hm s m v loga:
Bi 1: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca cỏc hm s sau:
d/ y =

GV: Lờ Vn Nam

Trang 20


ƠN THI HỌC KỲ 1 TỐN LỚP 12
Nam

GV: Lê

b/ y= e-xcosx trên  0;  

a/ y= lnx– x

c/ f(x) = x – e2x trên đoạn [1 ; 0]

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x)  x 2  ln(1  2x) trên đoạn [-2; 0].
(Đề thi TN THPT năm 2009)
Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1/ Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ và loga:
a) Dạng cơ bản:
 a f (x) = a g(x)  f(x) = g(x)
 u v(x) = 1  ( u 1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )
 a f (x) = b ( với b > 0 )  f(x) = log a b

f (x)  0 hoặc g(x)  0

 log a f(x) = log a g(x)  
f (x)  g(x)
log f (x)  b
  a
 f(x) = a b
0  a  1

v(x)  0 ; u(x)  0 ; u(x)  1
 log u(x) v(x) = b
 
b

v(x)  u(x)
b) Đặt ẩn phụ :
Dạng 1: . a 2f (x) +. a f (x) +  = 0
;
Đặt : t =
Dạng 2: . a b  f (x) +. a bf (x) +  = 0 ;

Đặt : t =

a
a

Dạng 3: . a f (x) +. bf (x) +  = 0 và a.b = 1; Đặt: t =
Dạng 4: . a 2f (x) +.  a.b 

f (x)

f (x)

f (x)
a

Đk t > 0
Đk t > 0

f (x) 1

; = bf (x)

a
+ . b 2f (x) = 0 ; Đặt t =  
b

t
f (x)

 Logarit hố , mũ hố :
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Bài 1: Giải các phƣơng trình sau:

 
1
a./  
 3 
 

x 2 3x 1

3

b./ 2

x 1

2

x 2

 36

Giải:
a./

 
1
 3 
 
b./

x 2 3x 1
 (x 2 3x 1)

33

GV: Lê Văn Nam



x 1
 3  (x  3x  1)  1  x  3x  2  0  
x  2

1

2

2

Trang 21


ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12
Nam

2

x 1

2

x 2

GV: Lê

2
8.2  2
 36 
 36

4
4
 9.2x  36.4  2x  16  24  x  4

 36  2.2 

x

x

Bài 2: Giải các phƣơng trình sau
a./ 32 x5  5
Giải:
a./

x

x

b./ 5x.22 x1  50

32 x 5  5  2 x  5  log3 5  x 

log3 5  5
2

4x
b./ 5 .2
 50  5 .  50  20 x  100  x  log20 100
2

Bài 3: Giải các phƣơng trình sau
a./ 25x  2.5x  15  0
b./ 34 x - 4.32 x  1  27  0
x

2 x 1

x

c./ 3x  2  32 x  24
Giải:

 

a./ 25 x  2.5x  15  0  5 x

2

 2.5 x  15  0

Đặt t = 5x, t >0 ta có phương trình: t2 – 2t – 15= 0

t  5

 5x  5  x  1
t  3 (loai)

 

b./ 34x -4.32x+1+27=0  32x

2

 12.32 x  27  0

Nêu t=32x ; t>0 ta có : t 2  12t  27  0

1
32 x  3
t  3
2 x  1
x


  2x


2
2

t  9
2 x  2
3  9  3
 x  1

 

2
9
c./ 3x  2  32  x  24  9.3x  x  24  0  9. 3x  24.3x  9  0

3

t  3
 3x  3  x  1
Đặt t  3  0 , ta có 9t  24t  9  0  
1
t   ( loai)
3

x

2

Bài 4: Giải các phương trình sau:
a./ log2 x  log2 ( x  3)  2
Giải:
a./ log2 x  log2 ( x  3)  2

b./ log2 x  log2 x 2  log2 9 x
(1)

x  0
x  0

 x0
x  3  0
 x  3

ĐK: 

GV: Lê Văn Nam

Trang 22


ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 12
Nam

GV: Lê

(1)  log2 x ( x  3)  2  x ( x  3)  22  4
x  1
 x 2  3x  4  0  
 x 1
x


4
(loai)
ï

b./ log2 x  log2 x 2  log2 9 x

(1)

ĐK: x>0

(1)  log2 x  2 log2 x  log2 9  log2 x  2 log2 x  log2 9
1
 log2 x  log2 9  log2 x  log2 3  x  3

2

x=3>0 thỏa điều kiện . Vậy phương trình có nghiệm là x=3
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a./ log22 x  2 log2 x  2  0

b./ 1  log2 ( x  1)  log x 1 4

c./ lg2 x  5 lg x  lg x 3  7

d./ 2. log2 x  log2 16 x  7  0

Giải:

a / log22 x  2 log2 x  2  0

(1) ÑK : x>0

(1)  log22 x  log2 x  2  0
x  2
 log2 x  1
t  1
Ñaët t= log2 x , ta có : t  t  2  0  


 x  22  1
t


2

log
x


2


2

4
Thỏa điều kiện x>0 . Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 và x=1/4
b./ 1  log2 ( x  1)  log x 1 4
(1)
ĐK:
2

x 1  0
x  1


x 1  1
x  2

(*)

(1)  1  log2 ( x  1) 

log2 4
2
 1  log 2 ( x  1) 

log2 ( x  1)
log2 ( x  1)

  log2 ( x  1)  log2 ( x  1)  2  0
2

t  1
Đặt: t  log2 ( x  1) , ta có : t 2  t  2  0  

t  2
x 1  2
x  3
 log2 ( x  1)  1


1  
5 thỏa (*)

log
(
x

1
)


2
x

1


x
 2

4

4

Vậy phương trình có nghiệm là : x = 3 và x = 5/4.
c./ lg2 x  5 lg x  lg x 3  7
ĐK: x>0 (*)

GV: Lê Văn Nam

(1)

Trang 23


ƠN THI HỌC KỲ 1 TỐN LỚP 12
Nam

GV: Lê

(1)  lg2 x  5 lg x  3 lg x  7  lg2 x  8 lg x  7  0
 x  10
t  1
 lg x  1
Đặt: t= lgx , ta có: t 2  8t  7  0  
thỏa (*)



7
t  7

 lg x  7

 x  10

7

Vậy phương trình có nghiệm là: x = 10 và x = 10
d./

2. log2 x  log2 16 x  7  0 (1)
log2 x  0
x  1

 x  1 (*)
x

0
16
x

0



ĐK: 

(1)  2. log2 x  log2 16  log2 x  7  0  log2 x  2 log2 x  3  0

t  1
 log2 x  1  x  2
t  3  0 (loại)

Đặt: t  log2 x  0 , ta có: t 2  2t  3  0  
. Thỏa (*)
Vậy phương trình có nghiệm là x=2.
B/ Bài tập tự giải:
Vấn đề 1: Phương trình mũ
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải ác phương trình sau
x2 6 x 

5
2

a) 2x4  3 4

b) 2

d) 2x

e) 52x + 1 – 3. 52x -1 = 110

2

 x 8

 413 x

c) 32 x3  9x

 16 2

x

g)



5 2 6

x1



 
x



8
0
5
52 6

e) 5 x  53

  10
x

x

 20

 3 x 5

x 5
x 17
1
f) 32 x 7  128 x 3
4
1–x
g) (1,25)
= (0,64) 2(1

f) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 2 : Giải các phương trình
a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12
b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0

5
2
d)    2  
2
5

2

x)

c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0



f) 4  15

  4 
x

15



x

2

i) 7 x  2.71 x  9  0

h)32 x1  9.3x  6  0
1

1

1

j) 22 x2  9.2x  2  0 k/ 6.9x  13.6x  6.4x  0
l/ 9.4 x  5.6 x  4.9 x .
Dạng 3. Logarit hóạ
Bài 3 Giải các phương trình
2
a) 2x - 2 = 3
b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = 5x 7 x 12
d) 2  5
e) 5 .8
Vấn đề 2: Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 5: giải các phương trình
x 2

x 2 5 x  6

GV: Lê Văn Nam

x

x 1
x

 500 f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x

Trang 24


ƠN THI HỌC KỲ 1 TỐN LỚP 12

Nam

GV: Lê

a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46
c) log4x + log2x + 2log16x = 5
e) log3x = log9(4x + 5) + ½
g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)

b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
h) log3  x  2   log3  x  2   log3 5

Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 6: giải phương trình
1
2
a)

1
4  ln x 2  ln x
c) logx + 17 + log9x7 = 0

b) logx2 + log2x = 5/2

e) log1/3x + 5/2 = logx3
g) log 2 2 x  3log 2 x  log 1 x  2

f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

h) lg x2 16  l o g 2 x 64  3

d) log2x + 10log 2 x  6  9

2

KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 KÌ I VÀ BÀI TẬP
BÀI TẬP
1/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a, SA = a và vng góc với đáy.
a) CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vng
b) Mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. CMR: B’D’ // BD
và AB’  SB, AD’  SD.
2/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600 . Gọi O là giao điểm của AC và
3a
BD, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) và SO =
. Gọi E là trung điểm BC, F là trung
4
điểm của BE.
a) CMR: (SOF)  (SBC)
b) Tính khoảng cách từ O và A đến mp (SBC)
3/ Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ADC) nằm trong hai mặt phẳng vng góc nhau. Tam giác
ABC vng tại A có AB = a, AC = b. Tam giác ADC vng tại D có CD = a.
a) CMR: tam giác BAD và BDC là các tam giác vng
b) Gọi I, K là trung điểm của AD và BC. CM: IK là đường vng góc chung của AD và BC.
a 3
4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600 và SA = SB = SD =
2
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD) và độ dài cạnh SC
b) CMR: (SAC)  (ABCD)
c) CMR: SB  BC

d) Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan.
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
II) Bài tập:
A. Bài tốn 1: Thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b
và AA’ tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ .
Giải

GV: Lê Văn Nam

Trang 25