KIẾN THỨC bổ SUNG tài LIỆU rèn LUYỆN và NÂNG CAO DÀNH CHO học SINH GIỎI 8,9

KIẾN THỨC BỔ SUNG TÀI LIỆU RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO DÀNH
CHO HỌC SINH GIỎI
Biên soạn: Nguyễn Tấn Cường – Khoa sư phạm Toán Tin Trường Đại học Đồng Tháp

Một số kĩ thuật (Hướng giải) Phân tích đa thức thành nhân tử
Phương pháp 1,2,3,4,5,6 SGK
Phương pháp 7 : Đặt biến phụ (đổi biến)
Hướng giải : Khi ta gặp biểu thức trong đề bài xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức
ấy làm biến phụ từ đó đưa về dạng đơn giản hơn ta phân tích dạng đơn giản này
thành nhân tử rồi thay biến cũ vào và tiếp tục giải cho đến kết quả
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức A = .
Hướng suy nghĩ để giải: Ta dễ dàng thấy rằng được lặp lại nhiều lần ta đặt , ta có
A==.
Ta giải như sau:
A= =
Cuối cùng ta thế biến củ vào biểu thức
A=
Đa thức trên vẫn chưa triệt để là nhân tử, ta tiếp tục phân tích đa thức bằng phương
pháp tách hạng tử, ta nhận được kết quả sau:
A=
Chú ý một số dạng điển hình như sau:
Phân tích đa thức dạng: . Ta đặt .
Phân tích đa thức dạng: . Ta đặt .
Phân tích đa thức dạng: trong đó . Ta đặt .
Phân tích đa thức dạng: . Ta đặt .
Phân tích đa thức thành nhân tử dạng: , trong đó ad=bc. Ta đặt .
Phương pháp 8 : Dùng định lý Bezout (Bơdu)
Cho đa thức . Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước số của hạng tử
độc lập . Khi đã tìm được nghiệm x = a, ta chỉ việc chia f( x) cho (x − a) để tìm
thương g(x) và việc phân tích đa thức lại tiếp tục nếu có thể.
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức A = .

Hướng giải: Ta nhận thấy đây là đa thức có hệ số tự do là 24. Các ước của 24 là 1,
-1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12, 24, -24. Chịu khó lần lượt thế các ước của 24
vào đa thức và dễ dàng nhận thấy f(-2) = 0. Vậy f(x) chia hết cho (x – 2). Thực
hiện chia f(x) cho (x – 2). Sau đó vận dụng công thức đa thức bị chia = đa thức
chia nhân với đa thức thương công đa thức dư ta được A =. Lại tiếp tục phân tích
thành nhân tử theo quy tắc trên, ta được .
Phương pháp 9 : Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa
Phương pháp này chỉ sử dụng được cho các đa thức có dạng như , là những đa thức
có dạng . Tuy nhiên khi tìm cách giảm dần số số mũ của lũy thừa, ta cần chú ý đến

Mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ thầy cô qua số điện thoại 01889217270


các biểu thức dạng , là những biểu thức chia hết cho .
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử A = .
Hướng giải: Ta có:
A = (tức là các lũy thừa giảm dần 2 đơn vị)
= (tức là nhóm các hạng tử sao cho xuất hiện nhân tử chung ).
Mà . Tương tự ta tính các nhóm còn lại.
Đáp án: A =
=.
Phương pháp 10: Dùng tính đối xứng của biểu thức đối với các chữ:
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức:
A=
Hướng giải: Đây là một biểu thức đối xứng đối với a, b, c. Ta nhận thấy khi a = b
thì biểu thức bằng 0. Coi A là một biểu thức bậc ba của a thì như vậy khi a = b thí
A =0, tức là đa thức chia hết cho a – b.
Vì tính đối xứng của biểu thức đối với a ,b, c nên ta thấy A cũng chia hết(b − c) và
(c − a), tức là A = (a −b )(b − c)(c − a). f(x) (1) , trong đó f ( x) là đa thức bậc nhất
của a. Vì vai trò tương tự giữa a b, c nên f(x) cũng là đa thức bậc nhất đối với b và

c tức là f(x ) =ma + nb+pc.
Nhưng vì đa thức đối xứng đối với a,b,c nên m=n=p .Do đó:
A= (2)
Để tính m, ta chỉ việc lấy 3 giá trị khác nhau bất kì của a,b,c rồi thay vào (2).
Chọn a = 0, b = 1, c= 2, ta có A = m(2.4 + 2. (−1)) =m (−1)(−1).2.3 ⇔ 6m = 6 ⇔m
=1.
Vậy A =.
Phương pháp 11: Xét giá trị riêng:
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức A = .
Hướng giải: Nếu a=b thì A=0. Nên A chia hết cho a – b.
Do vai trò của a, b, c như nhau trong đa thức nên A chia hết chia (a − b)(b − c)(c − c).

Trong phép chia đó, đa thức bị chia A có bậc ba đối vơi tập hợp các biến nên
thương là hằng số K. Trong đẳng thức ab(a −b ) + bc(b − c) + ca(c −a )
= K(a −b)(b −c)(c−a) ta cho các biến nhân giá trị riêng a= 2, b = 1, c = 0 ta được 2.1.1 + 0
+ 0 = K.1.1.(−2) do đó: 2K = −2 , suy ra K= −1

Vậy A = −(a −b )(b − c)(c− a) = (a −b )(b − c)(a − c).
Phương pháp 12 : Hệ số bất định (đồng nhất thức):
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức
Hướng giải: Giả sử đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì có dạng
Đồng nhất hai vế ta có:. Giải hệ ta được a=3, b=-3, c =6.
Thỏa mãn điều kiện trên. Vậy .
Mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ thầy cô qua số điện thoại 01889217270


Hết

Mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ thầy cô qua số điện thoại 01889217270