phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (136.02 KB, 3 trang )
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ ĐƠN GIẢN
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa
n
g ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x)
→ n.t n −1 = g '( x)dx
Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx.
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =
∫
xdx
4x + 1
∫
b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx
∫
c) I 3 =
x 2 dx
1− x
Lời giải:
2tdt = 4dx
2
a) Đặt t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1
→
→ I1 =
t 2 − 1
x
=
4
3
1 t3
1 (4 x + 1)
= −t+C =
− 4 x + 1 + C.
8 3
8
3
∫
t 2 − 1 tdt
.
xdx
4
2 = 1 (t 2 − 1)dt
=
t
8
4x + 1
∫
∫
b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2
→ x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt
→ x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt
(
)
(
5
)
3
x2 + 2
2 x2 + 2
t5
t3
2
3
2
4
2
Khi đó I 2 =
x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C =
−
+C
5
3
5
3
2
dx = −2tdt
1 − t 2 .tdt
x 2 dx
2
2
c) Đặt t = 1 − x ⇔ t = 1 − x ⇔ x = 1 − t
→ 2
→ I3 =
= −2
2
2
t
1− x
x = 1 − t
(1 − x)5 2 (1 − x)3
2
t 5 2t 3
= −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2 −
+ t + C = −2
−
+ 1− x + C
3
5
3
5
∫ (
∫
)
∫(
)
(
∫(
)
Khi đó I 2 =
∫
∫(
∫
)
∫
(
)
)
∫ (
)
x 2 + 2 .x 3 dx = t. t 2 − 2 tdt =
∫ (t
4
− 2t 2
)
t5
t3
dt = − 2. + C =
5
3
(x
2
+2
)
5
−
5
2
(x
2
3
+2
)
3
+ C.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I 4 =
∫
ln x dx
x 1 + ln x
b) I 5 =
∫
ln 2 x dx
x 3 2 − ln x
c) I 6 =
∫
ln x 3 + 2ln x dx
x
Lời giải:
(
)
ln x = t − 1
t 2 − 1 .2tdt
ln x dx
→ dx
→ I4 =
=
a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t 2 = 1 + ln x
t
1 + ln x x
= 2tdt
x
(1 + ln x)3
t3
2 (1 + ln x)3
= 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2 − t + C = 2
− 1 + ln x + C
→ I4 =
− 2 1 + ln x + C .
3
3
3
2
∫
∫
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
ln x = 2 − t 3
ln 2 x
(2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt
dx
.
b) Đặt t = 3 2 − ln x ⇔ t 3 = 2 − ln x
→ dx
→
I
=
=
5
2
3
t
2 − ln x x
= 3t dt
x
3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5
t 8 4t 5
= 3∫ ( t 7 − 4t 4 + 4t ) dt = 3 −
+ 2t 2 + C = 3
−
+ 2 3 (2 − ln x)2 + C
5
8
5
8
t2 − 3
ln
x
=
2
c) Đặt t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x
→
2dx = 2tdt
x
∫
Từ đó ta có I 6 =
∫
∫
t2 − 3
ln x 3 + 2ln x dx
dx
1
= ln x 3 + 2ln x .
=
.t.tdt =
x
x
2
2
∫
1 t5
t5 t3
= − t3 + C = − + C =
2 5
10 2
∫
( 3 + 2 ln x )5
10
( 3 + 2ln x )3
−
2
∫ (t
4
)
− 3t 2 dt
( 3 + 2ln x )5
+ C
→ I6 =
10
( 3 + 2ln x )3
−
2
+ C.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I 7 =
dx
∫
b) I8 =
e −1
x
e 2 x dx
∫
(e
x
)
+1
∫x
c) I 9 =
3
dx
d) I10 =
x +4
2
∫x
dx
x4 + 1
Lời giải:
e x = t 2 − 1
x
2
e
=
t
−
1
→ x
←
→
a) Đặt t = e x − 1 ⇔ t 2 = e x − 1
2tdt
e dx = 2tdt
dx = 2
t −1
dx
2tdt
2dt
2dt
(t + 1) − (t − 1)
dt
dt
Khi đó I 7 =
=
= 2
=
=
dt =
−
2
x
(
t
−
1)(
t
+
1)
(
t
−
1)(
t
+
1)
t
−
1
t
+1
t.(t − 1)
t −1
e −1
∫
∫
∫
= ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln
∫
t −1
+ C = ln
t +1
ex −1 −1
ex − 1 + 1
∫
=
∫
(t
2
)
− 1 .2tdt
t3
=2
∫
ex −1 − 1
+ C
→ I 7 = ln
e x = t 2 − 1
b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1
→ x
→ I8 =
e dx = 2tdt
2
x
∫
x
∫
ex −1 + 1
e 2 x dx
(e
x
)
+1
3
=
∫
∫
+ C.
e x .e x dx
(e
x
)
+1
3
=
∫
(t
2
)
− 1 .2tdt
t3
x
t2 −1
dt
1
1
dt
=
2
dt
−
=
2
t
+
+
C
=
2
e
+
1
+
+ C .
t2
t2
t
ex + 1
∫
∫
x2 = t 2 − 4
x 2 = t 2 − 4
→
←
→ dx xdx
c) Đặt t = x + 4 ⇔ t = x + 4
tdt
2 xdx = 2tdt
= 2 = 2
x
t −4
x
dx
1
dx
1 tdt
dt
1 (t + 2) − (t − 2)
1 dt
dt
Khi đó, I 9 =
=
= . 2
= 2
=
dt =
−
2
2
t t −4
4 t −2
t +2
t − 4 4 (t + 2)(t − 2)
x x +4
x +4 x
2
∫
=
2
2
∫
∫
1
1 t−2
1
ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = ln
+ C = ln
(
4
4 t+2
4
∫
∫
x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2
∫
+ C
→ I9 =
1
ln
4
x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2
∫
+ C.
x4 = t 2 − 1
4
2
x
=
t
−
1
d) Đặt t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1
→ 3
←
→ dx x3 dx
tdt
4 x dx = 2tdt
= 4 =
x
2(t 2 − 1)
x
dx
1
dx
1 tdt
1 dt
1 (t + 1) − (t − 1)
Khi đó, I10 =
=
. = . 2
=
=
dt
2
4
4
t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1)
x x +1
x +1 x
∫
∫
∫
∫
∫
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
1 dt
dt 1
1 t −1
1
=
−
+ C = ln
= ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln
4 t −1
t +1 4
4 t +1
4
∫
Facebook: LyHung95
x4 + 1 − 1
∫
x4 + 1 + 1
+ C.
Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I11 =
dx
2 − 5x
∫1+
c) I13 = ∫
b) I12 =
x 3 dx
d) I14 =
4 + x2
3
x dx
∫1−
2 + x2
1 + 4ln 2 x ln x
dx
x
∫
Lời giải:
2tdt
5
dx
2 t dt
2 1+ t −1
2
1
2
Khi đó, I11 =
=−
=−
dt = − 1 −
dt = − ( t − ln t + 1 ) + C
5 1+ t
5 1+ t
5 1+ t
5
1 + 2 − 5x
2
→ I11 = −
2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C .
5
a) Đặt t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx
→ dx = −
∫
∫
∫
(
∫
)
b) Đặt t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx
→ xdx = tdt
x dx
t dt
1 − (1 − t )
d (1 − t )
1
Khi đó, I12 =
=
=
dt =
− 1 dt = −
− dt = − ln 1 − t − t + C
2
1− t
1− t
1− t
1− t
1− 2 + x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
→ I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C .
x2 = t3 − 4
2
3
x
=
t
−
4
3
c) Đặt t = 3 4 + x 2 ⇔ t 3 = 4 + x 2
→ 2
←
→
→ x3 dx = t 3 − 4 t 2 dt
3t 2 dt
2
xdx =
3t dt = 2 xdx
2
(
→ I13 = ∫
3
2
3 ( t − 4 ) t dt 3 4
= ∫
= ∫ ( t − 4t ) dt =
t
2
4 + x2 2
x 3 dx
3
3
3 t5
2
−
2
t
+
C
=
2 5
d) Đặt t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ←
→ 2tdt = 4.2ln x.
→ I14 =
∫
∫
(4 + x )
2 5
10
−
33 ( 4 + x2 )
4
2
+ C.
dx
ln x dx tdt
→
=
x
x
4
ln x dx
tdt 1 2
t3
1 + 4ln 2 x
= t.
=
t dt = + C =
x
4 4
12
∫
3
)
(1 + 4 ln x )
3
2
12
+ C.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
4 − 3x
dx
x +1
1) I1 = ∫
x +1
dx
x
xdx
5) I 7 = ∫
1 + 2x −1
7) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx
3) I 3 = ∫
9) I 9 = ∫
x 3 dx
3
11) I11 = ∫
4) I 4 =
∫1+
2
x3 x 2 + 4
e 2 x dx
1+ e −1
x
dx
1 + 3x
6) I 6 = ∫ x 3 1 − x 2 dx
8) I 8 = ∫ x 2 3 − 2 x dx
10) I10 = ∫
1+ x
dx
13) I13 = ∫
xdx
2x + 1
2) I 2 = ∫
dx
x x3 + 1
1 + 3ln x ln x
12) I12 =
dx
x
∫
14) I14 = ∫
(
dx
x 1+ x
)
2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
