Tuyển tập các bài tập phương pháp tọa độ trong không gian

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Năm 2012


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong không gian
TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng
(P): x –3y + 2 z – 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng (P).
r
r
r uuur
· (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT n = éë nP , AB ùû = (0; -8; -12) ¹ 0
Þ (Q) : 2 y + 3z - 11 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( P ) : x + 2 y + 3z + 3 = 0 .
ĐS: (Q) : x - 2 y + z - 2 = 0

Câu 1.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

ì x = -1 + t
ï
A(2;1;3), B(1; -2;1) và song song với đường thẳng d : í y = 2t
.
ïî z = -3 - 2t
uur
r
· Ta có BA = (1;3;2) , d có VTCP u = (1;2; -2) .
uur
ìnr ^ BA
r
r uur r
Gọi n là VTPT của (P) Þ í r r Þ chọn n = éë BA, u ùû = (-10; 4; -1)
în ^ u
Þ Phương trình của (P): 10 x - 4 y + z - 19 = 0 .

Câu 2.

Câu 3.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d1 ) và (d2 ) có phương trình:

x -1 y +1 z - 2
x - 4 y -1 z - 3
=
=
, (d2 ) :
=
=
. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa

2
3
1
6
9
3
(d 1 ) và (d2 ) .
(d1 );

· Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0
Câu 4.
2

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,
2

cho mặt cầu (S) có phương trình:

2

x + y + z - 2 x + 6 y - 4 z - 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
r
véc tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (a ) : x + 4 y + z - 11 = 0 và tiếp xúc với (S).
r
· (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của (a ) là n = (1; 4;1) .
r
r r
Þ VTPT của (P) là: nP = [ n, v ] = (2; -1;2) Þ PT của (P) có dạng: 2 x - y + 2 z + m = 0 .
é m = -21
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,(P )) = 4 Û ê

.
ëm = 3
Vậy: (P): 2 x - y + 2 z + 3 = 0 hoặc (P): 2 x - y + 2 z - 21 = 0 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng
x y +1 z
x y -1 z - 4
(d1 ) : =
=
và (d2 ) : =
=
. Chứng minh rằng điểm M , d1, d2 cùng
1
-2
-3
1
2
5
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
r
r
· d1 qua M1(0; -1;0) và có u1 = (1; -2; -3) , d2 qua M2 (0;1; 4) và có u2 = (1;2;5) .
r uuuuuur
r r uuuuuur
r r
éëu1; u2 ùû = (-4; -8; 4) ¹ 0 , M1M2 = (0;2; 4) Þ éëu1; u2 ùû .M1M2 = 0 Þ d1, d2 đồng phẳng.
r
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1, d2 Þ (P) có VTPT n = (1;2; -1) và đi qua M1 nên có

Câu 5.

phương trình x + 2 y - z + 2 = 0 . Kiểm tra thấy điểm M(1; –1;1) Î (P).
Trang 1


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
PP toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
Câu 6.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:

x -3 y -3 z
=
= và mặt cầu
2
2
1

(S): x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 2 y - 4 z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).
r
· (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u = (2;2;1) .
r r r
(P) // d, Ox Þ (P) có VTPT n = [ u , i ] = (0;1; -2) Þ PT của (P) có dạng: y - 2 z + D = 0 .
(P) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,( P )) = R Û

Þ (P): y - 2 z + 3 + 2 5 = 0

hoặc

1- 4 + D
12 + 22

éD = 3 + 2 5
= 2 Û D -3 = 2 5 Û ê
ëD = 3 - 2 5

(P): y - 2 z + 3 - 2 5 = 0 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 + 2 x - 4 y - 4 = 0 và
mặt phẳng (P): x + z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; -1)
vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
r
· (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT nP = (1; 0;1) .

Câu 7.

PT (Q) đi qua M có dạng: A( x - 3) + B( y - 1) + C (z + 1) = 0, A2 + B 2 + C 2 ¹ 0
(Q) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,(Q)) = R Û -4 A + B + C = 3 A2 + B2 + C 2
r r
(Q) ^ ( P ) Û nQ .nP = 0 Û A + C = 0 Û C = - A
(**)

(*)

Từ (*), (**) Þ B - 5 A = 3 2 A2 + B 2 Û 8B 2 - 7 A2 + 10 AB = 0 Û A = 2 B Ú 7 A = -4 B
· Với A = 2B . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): 2 x + y - 2 z - 9 = 0

· Với 7 A = -4 B . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): 4 x - 7 y - 4 z - 9 = 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 , (P ) : 2 x + y - 6 z + 5 = 0, M (1;1;2) .
ĐS: (Q) : 2 x + 2 y + z - 6 = 0 hoặc (Q) :11x - 10 y + 2z - 5 = 0 .
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 – 2 x + 4 y + 2z – 3 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có
bán kính r = 3 .
· (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0) Þ (P): y – 2z = 0.

Câu 8.

Câu 9.

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 + 2 x - 2 y + 2 z –1 = 0

ìx - y - 2 = 0
và đường thẳng d : í
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu
î2 x - z - 6 = 0
(S) theo một đường tròn có bán kính r = 1 .
· (S) có tâm I(-1;1; -1) , bán kính R = 2.
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c 2 ¹ 0) .
Chọn M (2;0; -2), N (3;1;0) Î d .

Trang 2


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/

Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong không gian

ì M Î (P)
é a = b,2c = -(a + b), d = -3a - b
(1)
Ta có: ïí N Î (P )
Û ê
ë17a = -7b,2c = -(a + b), d = -3a - b (2)
2
2
ï
îd ( I ,(P )) = R - r
+ Với (1) Þ (P): x + y - z - 4 = 0

+ Với (2) Þ (P): 7 x - 17y + 5z - 4 = 0

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1 :

x y -1 z
=
= ,
2
-1 1

x -1 y z
và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 – 2 x + 2 y + 4 z – 3 = 0 . Viết phương trình
= =
-1 1 -1

tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D1 và D1.

D2 :

· (P): y + z + 3 + 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3 - 3 2 = 0
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 6 z - 11 = 0 và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi bằng 6p.
· Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (b) là h =
Do đó

2.1 + 2(-2) - 3 + D

R 2 - r 2 = 52 - 32 = 4

é D = -7
= 4 Û -5 + D = 12 Û ê
ë D = 17 (loaïi)

22 + 22 + (-1)2
Vậy (b) có phương trình 2x + 2y – z – 7 = 0.

Trang 3


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/

PP toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông

góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng

· PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = 0 (với A2 + B 2 + C 2 ¹ 0 ).
· Vì (P) ^ (Q) nên: 1. A + 1.B + 1.C = 0 Û C = - A - B (1)
A + 2B - C
· d ( M ,( P )) = 2 Û
= 2 Û ( A + 2 B - C )2 = 2( A2 + B 2 + C 2 )
A2 + B2 + C 2
éB = 0
(3)
Từ (1) và (2) ta được: 8 AB + 5B 2 = 0 Û ê
ë8 A + 5B = 0 (4)
· Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x - z = 0
· Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): 5x - 8y + 3z = 0 .

2.

(2)

x -1 y - 3 z
=
= và
1

1
4
điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường
thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D :

· Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = 0 ( a2 + b2 + c2 ¹ 0 )
r
D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u = (1;1;4)
ì a + b + 4c = 0
ï
ìD P ( P )
ì a = 4c
a + 5b
.
Ta có: í
Ûí
Û í
=
4
(
;(
))
=
a
=
2
c
d

A
P
d
î
î
ï 2
2
2
î a +b +c
· Với a = 4c . Chọn a = 4, c = 1 Þ b = -8 Þ Phương trình (P): 4 x - 8y + z - 16 = 0 .
· Với a = -2c . Chọn a = 2, c = -1 Þ b = 2 Þ Phương trình (P): 2 x + 2 y - z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
x y z -1
a) Với D : = =
; M (0;3; -2), d = 3 .
1 1
4
ĐS: ( P ) : 2 x + 2 y - z - 8 = 0 hoặc ( P ) : 4 x - 8y + z + 26 = 0 .
ìx = t
ï

Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : í y = -1 + 2t và điểm

ïî z = 1
A(-1;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.
r
r
· (d) đi qua điểm M(0; -1;1) và có VTCT u = (1;2;0) . Gọi n = (a; b; c) với a2 + b2 + c2 ¹ 0
là VTPT của (P) .

PT mặt phẳng (P): a( x - 0) + b( y + 1) + c( z - 1) = 0 Û ax + by + cz + b - c = 0 (1).
rr
Do (P) chứa (d) nên: u.n = 0 Û a + 2b = 0 Û a = -2b (2)
- a + 3b + 2c
5b + 2c
d ( A,(P ) ) = 3 Û
=3Û
= 3 Û 5b + 2c = 3 5b2 + c2
2
2
2
2
2
a +b +c
5b + c
2

Û 4b2 - 4bc + c2 = 0 Û ( 2b - c ) = 0 Û c = 2b

(3)

Từ (2) và (3), chọn b = -1 Þ a = 2, c = -2 Þ PT mặt phẳng (P): 2 x - y - 2 z + 1 = 0 .
Trang 4


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
Trn S Tựng

PP to trong khụng gian

Cõu 15. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im M (-1;1; 0), N (0; 0; -2), I (1;1;1) . Vit

phng trỡnh mt phng (P) qua A v B, ng thi khong cỏch t I n (P) bng

3.

ã PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ạ 0) .
ỡ M ẻ (P)
ộ a = - b,2c = a - b, d = a - b (1)
ù
Ta cú: ớ N ẻ (P )
ờ
.
ở5a = 7b,2c = a - b, d = a - b (2)
ùợd ( I ,(P )) = 3
+ Vi (1) ị PT mt phng (P): x - y + z + 2 = 0
+ Vi (2) ị PT mt phng (P): 7 x + 5y + z + 2 = 0 .
Cõu 16. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD vi A(1; -1;2) , B(1;3;0) ,

C(-3; 4;1) , D(1;2;1) . Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B sao cho khong cỏch t C
n (P) bng khong cỏch t D n (P).

ã PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c 2 ạ 0) .
ỡ A ẻ (P)
ỡa - b + 2c + d = 0
ù
Ta cú: ớ B ẻ (P )
ùùa + 3b + d = 0
ớ -3a + 4b + c + d
ùợd (C ,(P )) = d ( D,(P ))

a + 2b + c + d
=
ù
ùợ a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
ộ b = 2a, c = 4a, d = -7a
ờ
ởc = 2a, b = a, d = -4a
+ Vi b = 2a, c = 4a, d = -7a ị (P): x + 2 y + 4z - 7 = 0 .
+ Vi c = 2a, b = a, d = -4a ị (P): x + y + 2z - 4 = 0 .
Cõu hi tng t:
a) Vi A(1;2;1), B(-2;1;3), C (2; -1;1), D(0;3;1) .
S: ( P ) : 4 x + 2 y + 7z - 15 = 0 hoc ( P ) : 2 x + 3z - 5 = 0 .
Cõu 17. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz , cho cỏc im A(1;2;3) , B(0; -1;2) ,

C(1;1;1) . Vit phng trỡnh mt phng ( P ) i qua A v gc ta O sao cho khong cỏch
t B n ( P ) bng khong cỏch t C n ( P ) .

ã Vỡ O ẻ (P) nờn ( P ) : ax + by + cz = 0 , vi a2 + b2 + c2 ạ 0 .
Do A ẻ (P) ị a + 2b + 3c = 0 (1) v d ( B,( P )) = d (C ,( P )) - b + 2c = a + b + c (2)
T (1) v (2) ị b = 0 hoc c = 0 .
ã Vi b = 0 thỡ a = -3c ị (P ) : 3x - z = 0
ã Vi c = 0 thỡ a = -2b ị ( P ) : 2 x - y = 0
Cõu hi tng t:
a) Vi A(1;2; 0), B(0;4;0), C (0;0;3) .
S: -6 x + 3y + 4 z = 0 hoc 6 x - 3y + 4 z = 0 .
Cõu 18. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1, d2 ln lt cú phng

x -2 y -2 z-3
x -1 y - 2 z -1

=
=
, d2 :
=
=
. Vit phng trỡnh mt phng cỏch
2
1
3
2
-1
4
u hai ng thng d1, d2 .
r
r
ã Ta cú d1 i qua A(2;2;3) , cú ud1 = (2;1;3) , d2 i qua B(1;2;1) v cú ud 2 = (2; -1; 4) .
r
r r
Do (P) cỏch u d1, d2 nờn (P) song song vi d1, d2 ị nP = ộởud1, ud 2 ựỷ = (7; -2; -4)
ị PT mt phng (P) cú dng: 7 x - 2 y - 4z + d = 0
trỡnh d1 :

Trang 5


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
PP toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

Do (P) cách đều d1, d2 suy ra d ( A,( P )) = d (B,(P ))

Û

7.2 - 2.2 - 4.3 + d

=

7.1 - 2.2 - 4.1 + d

Û d - 2 = d -1 Û d =

69
69
Þ Phương trình mặt phẳng (P): 14 x - 4 y - 8z + 3 = 0

3
2

Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A(0; -1;2) , B(1; 0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z + 1)2 = 2 .

· (S) có tâm I(1;2; -1) , bán kính R = 2 .
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c 2 ¹ 0)
ì A Î (P )
ï
é a = - b, c = - a - b, d = 2a + 3b
Ta có: í B Î (P )
Û ê

ë3a = -8b, c = -a - b, d = 2a + 3b
ïîd ( I ,(P )) = R

(1)
(2)

+ Với (1) Þ Phương trình của (P): x - y - 1 = 0
+ Với (2) Þ Phương trình của (P): 8 x - 3y - 5z + 7 = 0
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có

x -1 y z -1
= =
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
2
1
3
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
· Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên (P), ta có AH ³ HI Þ HI lớn nhất khi A º I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A
uuur
và nhận AH làm VTPT Þ (P): 7 x + y - 5z - 77 = 0 .
phương trình:

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số

{ x = -2 + t; y = -2t; z = 2 + 2t . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)

và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa
D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.
· Gọi (P) là mặt phẳng chứa D, thì ( P ) P (d ) hoặc (P ) É (d ) . Gọi H là hình chiếu vuông

góc của I trên (P). Ta luôn có IH £ IA và IH ^ AH .
ìd (d ,(P )) = d ( I ,(P )) = IH
Mặt khác í
îH Î (P)
Trong (P), IH £ IA ; do đó maxIH = IA Û H º A . Lúc này (P) ở vị trí (P0) ^ IA tại A.
r uur
r
Vectơ pháp tuyến của (P0) là n = IA = ( 6; 0; -3) , cùng phương với v = ( 2;0; -1) .
Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2( x - 4) - 1.( z + 1) = 2 x - z - 9 = 0 .
x -1 y z - 2
= =
và điểm
2
1
2
A(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
nhất.

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) .
r
r
(P) có VTPT n = (a; b; c) , d đi qua điểm M(1; 0;2) và có VTCP u = (2;1;2) .
ì M Î (P)
ìa + 2c + d = 0
ì2c = -(2a + b)
Vì (P) É d nên í r r
Þí
Þí

. Xét 2 trường hợp:
în.u = 0
î2a + b + 2c = 0
îd = a + b
Trang 6


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong không gian

TH1: Nếu b = 0 thì (P): x - z + 1 = 0 . Khi đó: d ( A,( P )) = 0 .
TH2: Nếu b ¹ 0. Chọn b = 1 ta được (P): 2ax + 2 y - (2a + 1)z + 2a + 2 = 0 .
9
9
Khi đó: d ( A,( P )) =
=
£3 2
2
2
8a + 4a + 5
æ
1ö 3
2 ç 2a + ÷ +
è
2ø 2
1
1
Vậy max d ( A,( P )) = 3 2 Û 2a + = 0 Û a = - . Khi đó: (P): x - 4 y + z - 3 = 0 .

2
4
Câu hỏi tương tự:
x -1 y +1 z - 2
a) d :
, A(5;1;6) .
=
=
ĐS: (P ) : 2 x + y - z + 1 = 0
2
1
5
x -1 y + 2 z
b) d :
=
= , A(1; 4;2) .
ĐS: (P ) : 5 x + 13y - 4 z + 21 = 0
-1
1
2
Câu 23. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; -1;2) và N(-1;1;3) . Viết phương

trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0; 0;2) đến mặt phẳng (P)
là lớn nhất.
· PT (P) có dạng: Ax + B( y + 1) + C ( z - 2) = 0 Û Ax + By + Cz + B - 2C = 0
( A2 + B2 + C 2 ¹ 0)
N (-1;1;3) Î ( P ) Û - A + B + 3C + B - 2C = 0 Û A = 2 B + C
Þ (P ) : (2 B + C ) x + By + Cz + B - 2C = 0 ;

d ( K , ( P )) =

B
2

2
4 B + 2C + 4 BC

· Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)
· Nếu B ¹ 0 thì d ( K ,(P )) =

B

=

1

£

1

2
2
æC
ö
2 ç + 1÷ + 2
èB ø
Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x + y – z + 3 = 0 .

4B 2 + 2C 2 + 4BC

Trang 7


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
PP to trong khụng gian

Trn S Tựng

Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc
Cõu 24. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (a) cha ng thng ():

x -1 y
z
v to vi mt phng (P) : 2 x - 2 y - z + 1 = 0 mt gúc 600. Tỡm ta giao
=
=
1
-1 -2
im M ca mt phng (a) vi trc Oz.
ur
r
ã () qua im A(1;0;0) v cú VTCP u = (1; -1; -2) . (P) cú VTPT n = (2; -2; -1) .
uuuur
ur uuur ur
Giao im M(0;0;m) cho AM = (-1; 0; m) . (a) cú VTPT n = ộở AM , u ựỷ = (m; m - 2;1)
(a) v (P): 2 x - 2 y - z + 1 = 0 to thnh gúc 600 nờn :
1
1
1
r r

cos ( n, n ) =
= 2m 2 - 4m + 1 = 0 m = 2 - 2 hay m = 2 + 2
2
2m2 - 4m + 5 2
Kt lun : M(0; 0;2 - 2) hay M(0; 0;2 + 2)
Cõu 25. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai mt phng (P ) : 5 x - 2 y + 5z - 1 = 0 v

(Q) : x - 4 y - 8z + 12 = 0 . Lp phng trỡnh mt phng ( R) i qua im M trựng vi gc ta
O, vuụng gúc vi mt phng (P) v to vi mt phng (Q) mt gúc a = 450 .

ã Gi s PT mt phng (R): ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ạ 0) .
Ta cú: ( R) ^ ( P ) 5a - 2b + 5c = 0
(1);

ã
cos((
R),(Q)) = cos 450

a - 4b - 8c

=

2
(2)
2

9 a2 + b2 + c 2
ộ a = -c
T (1) v (2) ị 7a2 + 6ac - c2 = 0 ờ
ởc = 7a

ã Vi a = -c : chn a = 1, b = 0, c = -1 ị PT mt phng ( R) : x - z = 0
ã Vi c = 7a : chn a = 1, b = 20, c = 7 ị PT mt phng ( R) : x + 20 y + 7z = 0
Cõu hi tng t:
a) Vi ( P ) : x - y - 2 z = 0,(Q) (Oyz), M (2; -3;1),a = 450 .
S: ( R) : x + y + 1 = 0 hoc ( R) : 5 x - 3y + 4 z - 23 = 0
Cõu 26. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(-1;2; -3), B(2; -1; -6) v mt

phng ( P ) : x + 2 y + z - 3 = 0 . Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi mt
phng (P) mt gúc a tho món cos a =

3
.
6

ã PT mt phng (Q) cú dng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ạ 0) .
ỡ A ẻ (Q)
ỡ- a + 2b - 3c + d = 0
ộ a = -4b, c = -3b, d = -15b
ù
Ta cú: ù B ẻ (Q)
ùù2a - b - 6c + d = 0
ờ
ớ
ở a = -b, c = 0, d = - b
ớ
a + 2b + c
3
ùcos a = 3
ù
=

ùợ
6
6
ùợ a2 + b2 + c 2 1 + 4 + 1
ị Phng trỡnh mp(Q): 4 x - y + 3z + 15 = 0 hoc (Q): x - y - 3 = 0 .
Cõu hi tng t:
1
a) A(0;0;1), B(1;1; 0) , (P ) (Oxy),cos a =
.
6
S: (Q): 2 x - y + z - 1 = 0 hoc (Q): x - 2 y - z + 1 = 0 .
Trang 8


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong không gian

ìx + y + z - 3 = 0
. Viết
î2 x + y + z - 4 = 0
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í

a = 600 .
· ĐS: (P ) : 2 x + y + z - 2 - 2 = 0 hoặc (P ) : 2 x - y - z - 2 + 2 = 0
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

D1 :

x -1 y +1 z -1
x
y z
=
=
và D2 : =
= . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D1 và
1
3
1 -2 1
-1

tạo với D2 một góc a = 300 .

· Đáp số: (P): 5x + 11y + 2 z + 4 = 0 hoặc (P): 2 x - y - z - 2 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
x y-2 z
x -2 y -3 z+5
a) Với D1 : =
= , D2 :
=
=
, a = 300 .
1
-1 1
2
1
-1

ĐS: (P): x - 2 y - 2 z + 2 = 0 hoặc (P): x + 2 y + z - 4 = 0
x -1 y z + 1
x y - 2 z +1
b) D1 :
= =
, D2 : =
=
, a = 300 .
1
1
1
1
-2
-1
ĐS: (P): (18 + 114) x + 21y + (15 + 2 114)z - (3 - 114) = 0
hoặc (P): (18 - 114) x + 21y + (15 - 2 114)z - (3 + 114) = 0
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 450 , 30 0 .
r
r
r
· Gọi n = (a; b; c) là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là i = (1;0; 0), j = (0;1; 0) .
ì
2
ïïsin(Ox ,(P )) =
ì
2 Û ía = 2 b
Ta có: í
îc = b

ïsin(Oy,( P )) = 1
ïî
2
PT mặt phẳng (P):

2( x - 1) + ( y - 2) ± ( z - 3) = 0 hoặc - 2( x - 1) + ( y - 2) ± (z - 3) = 0

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2 y - z + 5 = 0 và đường

x +1 y +1 z - 3
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo
2
1
1
với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
thẳng d :

·
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Gọi a = ((
P ),(Q)) .
ì M Î ( P ) ìc = - a - b
Chọn hai điểm M (-1; -1;3), N (1;0; 4) Î d . Ta có: í
Þí
î N Î (P)
îd = 7a + 4b
3
a+b
Þ (P): ax + by + (-2a - b)z + 7a + 4b = 0 Þ cos a =

.
6 5a2 + 4ab + 2b2
TH1: Nếu a = 0 thì cos a =

3
6

.

b
2b2

=

3
Þ a = 300 .
2

Trang 9


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
PP to trong khụng gian

Trn S Tựng

TH2: Nu a ạ 0 thỡ cos a =

3
.

6

1+

b
a

ổbử
b
5 + 4 + 2ỗ ữ
a
ốaứ

2

. t x =

b
v f ( x ) = cos2 a
a

9 x2 + 2x + 1
Xột hm s f ( x ) = .
.
6 5 + 4x + 2x2
Da vo BBT, ta thy min f ( x ) = 0 cos a = 0 a = 900 > 300
Do ú ch cú trng hp 1 tho món, tc a = 0. Khi ú chn b = 1, c = 1, d = 4 .
Vy: (P): y - z + 4 = 0 .
Cõu hi tng t:
x -1 y + 2 z

a) Vi (Q): x + 2 y + 2 z 3 = 0 , d :
.
S: ( P ) : x + 2 y + 5z +3 = 0 .
=
=
1
2
-1
x -1 y + 2 z
b) Vi (Q) (Oxy), d :
=
= .
S: ( P ) : x - y + z - 3 = 0 .
-1
1
2
ỡ x = -t
ù
S: ( P ) : x + y + z - 3 = 0 .
c) Vi (Q) : 2 x - y - z - 2 = 0 , d : ớ y = -1 + 2t .
ùợ z = 2 + t
Cõu 31. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im M (-1; -1;3), N (1; 0; 4) v mt phng

(Q): x + 2 y - z + 5 = 0 . Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua M, N v to vi (Q) mt gúc
nh nht.
ã S: (P ) : y - z + 4 = 0 .
Cõu hi tng t:
a) M (1;2; -1), N (-1;1;2),(Q) (Oxy ) .
S: ( P ) : 6 x + 3y + 5z - 7 = 0 .
ỡx = 1 - t

ù
Cõu 32. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : ớ y = -2 + t . Vit phng
ùợ z = 2t
trỡnh mt phng (P) cha ng thng d v to vi trc Oy mt gúc ln nht.

ã
ã PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ạ 0) . Gi a = ((
P ), Oy ) .
Chn hai im M (1; -2; 0), N (0; -1;2) ẻ d .
a-b
ỡ M ẻ ( P ) ỡ 2c = a - b
Ta cú: ớ
ị (P): ax + by +
z - a + 2b = 0 .
ịớ
2
ợ N ẻ (P )
ợ d = - a + 2b
ị sin a =

2b
5a2 + 5b2 - 2ab

TH1: Nu b = 0 thỡ a = 00 .
TH2: Nu b ạ 0 thỡ sin a =

.

2
2

. t x =

ổaử
a
5ỗ ữ + 5 - 2
b
ốbứ
Xột hm s f ( x ) =

4
2

a
v f ( x ) = sin2 a .
b

. Da vo BBT, ta c max f ( x ) =

5
1
x = ị a > 00 .
6
5

5x - 2 x + 5
a 1
Vy a ln nht khi = . Chn a = 1, b = 5, c = -2, d = 9 ị (P): x + 5y - 2 z + 9 = 0 .
b 5
Trang 10

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong không gian

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x -1 y + 2 z
và
=
=
1
2
-1

x + 2 y -1 z
=
= . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng
2
-1 2
(P) và đường thẳng d2 là lớn nhất.
r
· d1 đi qua M(1; -2; 0) và có VTCP u = (1;2; -1) .Vì d1 Ì (P ) nên M Î ( P ) .
d2 :

PT mặt phẳng (P) có dạng: A( x - 1) + B( y + 2) + Cz = 0 ( A2 + B2 + C 2 ¹ 0)
rr
Ta có: d Ì (P ) Û u.n = 0 Û C = A + 2B .

·
Gọi a = ((
P ), d2 ) Þ sin a =
TH1: Với B = 0 thì sina =
TH2: Với B ¹ 0. Đặt t =
Xét hàm số f (t ) =

1
(4 A + 3B)2
= .
2
2
3. 2 A2 + 4 AB + 5B2 3 2 A + 4 AB + 5B

2 2
3

1
(4t + 3)2
A
, ta được: sina = .
B
3 2t 2 + 4t + 5

(4t + 3)2
2

4 A + 3B

2 t + 4t + 5
5 3
Khi đó sin a = f (-7) =
.
9

. Dựa vào BBT ta có: max f (t ) =

25
A
khi t = -7 Û = -7
7
B

5 3
A
khi = -7 .
9
B
Þ Phương trình mặt phẳng (P) : 7 x - y + 5z -9 = 0 .
So sánh TH1 và TH2 Þ a lớn nhất với sin a =

x +1 y - 2 z +1
=
=
và điểm
1
1
-1
A(2; -1;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng

(Oxy) một góc nhỏ nhất.
· ĐS: (P ) : x + y + 2z - 1 = 0 .

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2 x - y + z + 2 = 0 và điểm

A(1;1; -1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và
tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
· ĐS: (P ) : y + z = 0 hoặc ( P ) : 2 x + 5y + z - 6 = 0 .

Trang 11


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
PP to trong khụng gian

Trn S Tựng

Dng 5: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n tam giỏc
Cõu 36. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho im A(4; 5; 6). Vit phng trỡnh mt

phng (P) qua A, ct cỏc trc ta ln lt ti I, J, K m A l trc tõm ca tam giỏc IJK.
x y z
ã Gi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ị ( P ) : + + = 1
a b c
ỡ4 5 6
uur
uur
ùù a + b + c = 1

77
77
77
IA
JA = (4;5 - b;6)
uur= (4 - a;5;6), uur
ị ớù-5b + 6c = 0 ị a = ; b = ; c =
4
5
6
JK = (0; - b; c),
IK = (-a; 0; c)
ùợ-4a + 6c = 0
Vy phng trỡnh mt phng (P): 4 x + 5y + 6z - 77 = 0 .
Cõu hi tng t:
a) Vi A(1; 1; 1).
S: (P): x - y - z + 3 = 0
Cõu 37. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mt phng (P) thay i

qua AM ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chng minh
rng: b + c =

bc
. T ú, tỡm b, c din tớch tam giỏc ABC nh nht.
2

x y z
1 1 1
bc
ã PT mp (P) cú dng: + + = 1. Vỡ M ẻ ( P ) nờn + + = 1 b + c = .

2 b c
2 b c
2
uuur
uuur
Ta cú AB(-2; b; 0) , AC (-2; 0; c). Khi ú S = b2 + c2 + (b + c)2 .
Vỡ b2 + c2 2bc; (b + c)2 4bc nờn S 6bc .
M bc = 2(b + c) 4 bc ị bc 16 . Do ú S 96 . Du "=" xy ra b = c = 4 .
Vy: min S = 96 khi b = c = 4 .
Cõu 38. Trong khụng gian to Oxyz, cho im A(2;2;4) v mt phng ( P ) : x + y + z + 4 = 0 .

Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P) v (Q) ct hai tia Ox, Oy ti 2 im B,
C sao cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 6.

ã Vỡ (Q) // (P) nờn (Q): x + y + z + d = 0 (d ạ 4) . Gi s B = (Q) ầ Ox , C = (Q) ầ Oy
1 uuur uuur
ị B(-d ;0; 0), C (0; -d ;0) (d < 0) . S ABC = ộở AB, AC ựỷ = 6 d = -2
2
ị (Q) : x + y + z - 2 = 0 .
Cõu 39. Trong khụng gian to Oxyz, cho cỏc im A(3; 0;0), B(1;2;1) . Vit phng trỡnh mt

phng (P) qua A, B v ct trc Oz ti M sao cho tam giỏc ABC cú din tớch bng

ã S: ( P ) : x + 2 y - 2z - 3 = 0 .

Trang 12

9
.
2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong không gian
Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng

Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ
nhất.
· Giá sử A(a;0; 0) Î Ox, B(0; b; 0) Î Oy, C (0; 0; c) Î Oz (a, b, c > 0) .
x y z
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: + + = 1 .
a b c
9 1 1
1
Ta có: M (9;1;1) Î (P ) Þ + + = 1 (1);
VOABC = abc (2)
a b c
6
(1) Û abc = 9bc + ac + ab ≥ 33 9(abc)2 Û (abc)3 ³ 27.9(abc)2 Û abc ³ 243
ìa = 27
ì9bc = ac = ab
ï
x y z
ï
Dấu "=" xảy ra Û í 9 1 1
Û íb = 3 Þ (P):

+ + = 1.
27 3 3
ïîc = 3
ïî a + b + c = 1
Câu hỏi tương tự:
x y z
a) Với M(1;2; 4) .
ĐS: ( P ) : + +
=1
3 6 12

Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức

1

OA

2

+

1

OB

2

+

1

OC 2

có giá trị

nhỏ nhất.
· ĐS: ( P ) : x + 2 y + 3z - 14 = 0 .
Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M(2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ
nhất.
x
y
z
· ĐS: ( P ) :
+
+
=1.
2 + 6 + 10 5 + 10 + 15 3 + 6 + 15

Trang 13


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
PP to trong khụng gian

Trn S Tựng

TKG 02: VIT PHNG TRèNH NG THNG
Dng 1: Vit phng trỡnh ng thng bng cỏch xỏc nh vect ch phng
x +1 y -1 z - 2
=
=
v mt
2
1
3
phng P : x - y - z - 1 = 0 . Vit phng trỡnh ng thng D i qua A(1;1; -2) , song song
vi mt phng ( P ) v vuụng gúc vi ng thng d .
uur uur
x -1 y -1 z + 2
r
r
ã u = ộởud ; nP ựỷ = (2;5; -3) . D nhn u lm VTCP ị D :
=
=
2
5
-3

Cõu 1.

Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d :

Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d) cú phng trỡnh:
{ x = -t ; y = -1 + 2t ; z = 2 + t ( t ẻ R ) v mt phng (P): 2 x - y - 2 z - 3 = 0 .Vit phng
trỡnh tham s ca ng thng D nm trờn (P), ct v vuụng gúc vi (d).
ã Gi A = d ầ (P) ị A(1; -3;1) .

Phng trỡnh mp(Q) qua A v vuụng gúc vi d: - x + 2 y + z + 6 = 0

Cõu 2.

D l giao tuyn ca (P) v (Q) ị D: { x = 1 + t; y = -3; z = 1 + t

Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im M(2; 1; 0) v ng thng D:
x -1 y +1 z
=
=
. Lp phng trỡnh ca ng thng d i qua im M, ct v vuụng gúc
2
1
-1
vi D.
uuuur
r
ã uD = (2;1; -1) . Gi H = d ầ D. Gi s H (1 + 2t; -1 + t; -t ) ị MH = (2t - 1; t - 2; -t ) .
uuuur r
uuuur
2
r
MH ^ uD 2(2t - 1) + (t - 2) - (-t ) = 0 t = ị ud = 3MH = (1; -4; -2)
3
ỡx = 2 + t
ù
ị d: ớ y = 1 - 4t .
ùợ z = 2t

Cõu 3.

Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho mt phng (P): x + 2y 2z + 1 = 0 v hai
im A(1;7; 1), B(4;2;0). Lp phng trỡnh ng thng (D) l hỡnh chiu vuụng gúc ca
ng thng AB trờn (P).
ã Gi (Q) l mt phng qua A, B v vuụng gúc vi (P) ị (Q): 8x + 7x + 11z 46 = 0.
(D) = (P) ầ (Q) suy ra phng trỡnh (D).

Cõu 4.

Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca
ỡ x - 2z = 0
ng thng d : ớ
trờn mt phng P : x - 2 y + z + 5 = 0 .
ợ3x - 2 y + z - 3 = 0

Cõu 5.

ỡ x = 4t
ù
3
r
ã PTTS ca d: ớ y = - + 7t . Mt phng (P) cú VTPT n = (1; -2;1) .
2
ù
z
=
2
t
ợ
ổ 11 ử

ổ
ổ
3 ử
3 ử
Gi A = d ầ (P ) ị A ỗ 4; ;2 ữ . Ta cú B ỗ 0; - ;0 ữ ẻ d , B ỗ 0; - ;0 ữ ẽ (P ) .
ố 2 ứ
ố
2 ứ
ố
2 ứ
ổ 4 7 4ử
Gi H ( x; y; z) l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn (P). Ta tỡm c H ỗ - ; ; - ữ .
ố 3 6 3ứ
Trang 14


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
Trn S Tựng

PP to trong khụng gian

Gi D l hỡnh chiu vuụng gúc ca d trờn (P) ị D i qua A v H
ỡ x = 4 + 16t
uuu
r
ù
11
r
ị D cú VTCP u = 3HA = (16;13;10) ị Phng trỡnh ca D: ớ y = + 13t .
2

ù
z
=
2
+ 10t
ợ
Cõu hi tng t:
ỡ x = 1 + 23m
x +1 y -1 z - 2
ù
a) Vi d :
=
=
, ( P ) : x - 3y + 2 z - 5 = 0 .
S: D : ớ y = 2 + 29m
2
1
3
ùợ z = 5 + 32m
Trong khụng gian vi h ta Oxyz, gi A, B, C ln lt giao im ca mt phng
( P ) : 6 x + 2 y + 3z - 6 = 0 vi Ox, Oy, Oz. Lp phng trỡnh ng thng d i qua tõm
ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ng thi vuụng gúc vi mt phng (P).
ã Ta cú: ( P ) ầ Ox = A(1; 0;0); (P ) ầ Oy = B(0;3;0); (P ) ầ Oz = C (0; 0;2)
Gi D l ng thng vuụng gúc (OAB) ti trung im M ca AB; (a) l mt phng trung
ổ1 3 ử
trc cnh OC; I tõm mt cu ngoi tip t din OABC. Ta cú: I = D ầ (a ) ị I ỗ ; ;1 ữ .
ố2 2 ứ
Gi J tõm ng trũn ngoi tip DABC thỡ IJ ^ (ABC) , nờn d chớnh l ng thng IJ .
ỡ
1

ù x = 2 + 6t
ù
3
ớ
ị Phng trỡnh ng thng d: ù y = + 2t .
2
ù z = 1 + 3t
ợ

Cõu 6.

Trang 15


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
PP to trong khụng gian

Trn S Tựng

Dng 2: Vit phng trỡnh ng thng liờn quan n mt ng thng khỏc
Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2; 1; 0) v ng thng d cú phng
x -1 y +1 z
trỡnh d :
. Vit phng trỡnh ca ng thng D i qua im M, ct v
=
=
2
1
-1
vuụng gúc vi ng thng d v tỡm to im MÂ i xng vi M qua d.

Cõu 7.

ỡ x = 1 + 2t
r
ù
ã PTTS ca d: ớ y = -1 + t . d cú VTCP u = (2;1; -1) .
ùợ z = -t

uuuur
Gi H l hỡnh chiu ca M trờn d ị H (1 + 2t; -1 + t; -t ) ị MH = (2t - 1; -2 + t; -t )
uuuur r
ổ 7 1 2 ử uuuur ổ 1
2
4
2ử
Ta cú MH ^ d MH .u = 0 t = ị H ỗ ; - ; - ữ , MH = ỗ ; - ; - ữ
3
3
3ứ
ố3 3 3ứ
ố3
x - 2 y -1 z
Phng trỡnh ng thng D:
=
=
.
1
-4
-2

ổ8 5 4ử
Gi MÂ l im i xng ca M qua d ị H l trung im ca MMÂ ị M Â ỗ ; - ; - ữ .
ố3 3 3ứ
Cõu 8.

Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng d :

x y -1 z +1
=
=
v hai im A(1;1; -2) ,
1
2
-1

B(-1;0;2) . Vit phng trỡnh ng thng D qua A, vuụng gúc vi d sao cho khong cỏch

t B ti D l nh nht.
r
ã d cú VTCP ud = (1;2; -1) . Gi (P) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi d. Gi H l
hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn (P) khi ú ng thng D i qua A v H tha YCBT.
Ta cú: (P): x + 2 y - z - 5 = 0 . Gi s H ( x; y; z) .
ỡH ẻ (P)
ổ1 8 2ử
Ta cú: ớ uuur r
ị Hỗ ; ; ữ
ố3 3 3ứ
ợ BH , ud cuứng phửụng
uuur
x -1 y -1 z + 2

r
ị uD = 3 AH = (-2;5;8) ị Phng trỡnh D:
=
=
.
5
8
-2
x +1 y z +1
= =
v hai im
2
3
-1
A(1;2; -1), B(3; -1; -5) . Vit phng trỡnh ng thng d i qua im A v ct ng thng
D sao cho khong cỏch t B n ng thng d l ln nht.
uuur
uuur
ã Gi s d ct D ti M ị M (-1 + 2t;3t; -1 - t ) , AM = (-2 + 2t;3t - 2; -t ), AB = (2; -3; -4)

Cõu 9.

Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng D :

Gi H l hỡnh chiu ca B trờn d. Khi ú d ( B, d ) = BH Ê BA . Vy d ( B, d ) ln nht bng BA
uuur uuur
H A AM ^ AB AM . AB = 0 2(-2 + 2t ) - 3(3t - 2) + 4t = 0 t = 2
x -1 y - 2 z +1
ị M(3;6; -3) ị PT ng thng d :
=

=
.
1
2
-1
Cõu 10. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) v ng
x +1 y -1 z
thng D:
=
= . Vit phng trỡnh ng thng d i qua im B v ct ng
2
-1 2

thng D ti im C sao cho din tớch tam giỏc ABC cú giỏ tr nh nht.

Trang 16


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
Trn S Tựng

PP to trong khụng gian

ỡ x = - 1 + 2t
ù
ã Phng trỡnh tham s ca D: ớ y = 1 - t . im C ẻ D nờn C (-1 + 2t;1 - t;2t ) .
ùợ z = 2t
uuur
uuur
uuur uuur

AC = (-2 + 2t; -4 - t;2t ); AB = (2; -2;6) ; ộở AC , AB ựỷ = (-24 - 2t;12 - 8t;12 - 2t )
uuur uuur
1 uuur uuur
ị ộở AC , AB ựỷ = 2 18t 2 - 36t + 216 ị S = ộở AC , AB ựỷ = 18(t - 1)2 + 198 198
2
x -3 y -3 z-6
Vy Min S = 198 khi t = 1 hay C(1; 0; 2) ị Phng trỡnh BC:
=
=
.
-2
-3
-4
x +1 y - 2 z - 2
=
=
v mt
-2
3
2
phng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lp phng trỡnh ng thng D song song vi mt phng
(P), i qua M(2; 2; 4) v ct ng thng (d).

Cõu 11. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d :

ỡ x = -1 + 3t
r
ù
ã ng thng (d) cú PTTS: ớ y = 2 - 2t . Mt phng (P) cú VTPT n = (1; 3; 2)
ùợ z = 2 + 2t

uuuur
Gi s N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) ẻ d ị MN = (3t - 3; -2t;2t - 2)
uuuur r
MN // (P) thỡ MN .n = 0 t = 7 ị N(20; -12; 16)
x -2 y -2 z-4
Phng trỡnh ng thng D:
=
=
9
-7
6
Cõu hi tng t:
x y -1 z - 2
x -1 y - 3
a) d : =
=
, ( P ) : x + 3y + 2 z + 2 = 0 , M(2;2;4) . S: D :
=
=
1
2
1
1
-1
x -2 y z+2
x -1 y - 2
= =
, (P ) : 2 x + y - z + 1 = 0 , M(1;2; 1) . S: D :
=
=

b) d :
1
3
2
2
-9

z-3
1
z +1
-5

Cõu 12. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x + 2 y - z + 5 = 0 , ng

x + 3 y +1 z - 3
=
=
v im A(-2;3;4) . Vit phng trỡnh ng thng D nm
2
1
1
tren (P), i qua giao im ca d v (P), ng thi vuụng gúc vi d. Tỡm im M trờn D sao
cho khong cỏch AM ngn nht.
r
r
ỡuD ^ nP
ỡD è ( P )
ã Gi B = d ầ (P) ị B(-1; 0;4) . Vỡ ớ
nờn ớ r
r .

ợD ^ d
ợuD ^ ud
ỡ x = -1 + t
ù
1 r r
r
Do ú ta cú th chn uD = ộở nP , ud ựỷ = (1; -1; -1) ị PT ca D: ớ y = -t
.
3
ùợ z = 4 - t
thng d :

2

ổ 1 ử 26
26
Gi s M (-1 + t; -t; 4 - t ) ẻ D ị AM = 3t - 2t + 9 = 3 ỗ t - ữ +

3
3
ố 3ứ
ổ 2 1 11 ử
ổ 2 1 11 ử
1
Du "=" xy ra t = M ỗ - ; - ; ữ . Vy AM t GTLN khi M ỗ - ; - ; ữ .
3
ố 3 3 3ứ
ố 3 3 3ứ
2

x - 3 y + 2 z +1
=
=
v mt phng
2
1
-1
(P): x + y + z + 2 = 0 . Gi M l giao im ca d v (P). Vit phng trỡnh ng thng D

Cõu 13. Trong khụng gian to Oxyz, cho ng thng d:

Trang 17


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
PP to trong khụng gian

Trn S Tựng

nm trong mt phng (P), vuụng gúc vi d ng thi khong cỏch t M ti D bng 42 .
ỡ x = 3 + 2t
r
ù
ã PTTS ca d: ớ y = -2 + t ị M(1; -3; 0) . (P) cú VTPT nP = (1;1;1) , d cú VTCP
ùợ z = -1 - t
r
ud = (2;1; -1)
r
r r
Vỡ D nm trong (P) v vuụng gúc vi d nờn VTCP uD = ộởud , nP ựỷ = (2; -3;1)

uuuur
Gi N(x; y; z) l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn D , khi ú MN = ( x - 1; y + 3; z) .
uuuur
ỡ MN ^ ur
ỡx + y + z + 2 = 0
D
ù
ù
ớ2 x - 3y + z - 11 = 0
ị N(5; 2; 5) hoc N(3; 4; 5)
Ta cú ớ N ẻ ( P )
ù MN = 42
ù( x - 1)2 + ( y + 3)2 + z2 = 42
ợ
ợ
x -5 y +2 z+5
=
=
2
-3
1
x +3 y +4 z-5
ã Vi N(3; 4; 5) ị Phng trỡnh ca D :
=
=
.
2
-3
1

ã Vi N(5; 2; 5) ị Phng trỡnh ca D :

Cõu 14. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng ( a ): x + y - z - 1 = 0 , hai ng

x -1 y z
x y z +1
=
= , (DÂ):
= =
. Vit phng trỡnh ng thng (d) nm
-1
-1 1
1 1
3
trong mt phng ( a ) v ct (DÂ); (d) v (D) chộo nhau m khong cỏch gia chỳng bng
thng (D):

6
.
2
r
r
ã (a) cú VTPT n = (1;1; -1) , (D) cú VTCP uD = (-1; -1;1) ị (D) ^ (a).
uuur
Gi A = (DÂ) ầ (a ) ị A(0; 0; -1) ; B = (D) ầ (a ) ị B(1;0; 0) ị AB = (1;0;1)
Vỡ (d) è (a) v (d) ct (DÂ) nờn (d) i qua A v (D) ^ (a) nờn mi ng thng nm trong
(a) v khụng i qua B u chộo vi (D).
r
r r
Gi ud = (a; b; c) l VTCP ca (d) ị ud .n = a + b - c = 0 (1)

uuur
r
v ud khụng cựng phng vi AB (2)
uuur
ộ AB, ur ự
2b2 + (a - c)2
6
6
dỷ
ở
Ta cú: d (d , D) = d (B, d ) ị
=

=
(3)
r
2
2
ud
a2 + b2 + c2
ộa = 0
T (1) v (3) ị ac = 0 ờ
.
ởc = 0
ỡx = 0
ù
r
ã Vi a = 0 . Chn b = c = 1 ị ud = (0;1;1) ị d : ớ y = t
ùợ z = -1 + t
ỡx = t

ù
r
ã Vi c = 0 . Chn a = - b = 1 ị ud = (1; -1;0) ị d : ớ y = -t .
ùợ z = -1

Trang 18


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
Trn S Tựng

PP to trong khụng gian

Dng 3: Vit phng trỡnh ng thng liờn quan n hai ng thng khỏc
Cõu 15. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai

ỡ x = 3 + 7t
x -7 y -3 z-9
ù
=
=
v D2 : ớ y = 1 - 2t .
1
2
-1
ùợ z = 1 - 3t
ỡx = 7 + t '
ù
ã Phng trỡnh tham s ca D1 : ớ y = 3 + 2t '
ùợ z = 9 - t '

Gi M v N ln lt l giao im ca ng vuụng gúc chung vi D1 v D2
ị M(7 + tÂ;3 + 2tÂ;9 tÂ) v N(3
r 7t;1 + 2t;1 + 3t)
r
VTCP ln lt ca D1 v D2 l a = (1; 2; 1) v b = (7;2;3)
uuuur r
uuuur r
ỡù MN ^ a
ỡù MN .a = 0
Ta cú: ớ uuuur r ớ uuuur r
. T õy tỡm c t v t ị To ca M, N.
ùợ MN ^ b
ùợ MN .b = 0
ng vuụng gúc chung D chớnh l ng thng MN.
Cõu hi tng t:
ỡx = 3 + t
ỡ x = -2 + 2 t '
ù
ù
ỡ2 x y + 10z 47 = 0
.
S: D : ớ
a) Vi (D1 ) : ớ y = -1 + 2t , (D2 ) : ớ y = 2 t '
ợ x + 3y 2 z + 6 = 0
ùợ z = 4
ùợ z = 2 + 4t '
ng thng: D1 :

Cõu 16. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh ng thng d i qua im

x - 2 y + 1 z -1
ỡ2 x + 3y + 11 = 0
M ( -4; -5;3) v ct c hai ng thng: d1 : ớ
v d2 :
=
=
.
2
3
-5
ợ y - 2z + 7 = 0
ỡ x = 5 - 3t1
ỡ x = 2 + 2t2
ù
ù
ã Vit li phng trỡnh cỏc ng thng: d1 : ớ y = -7 + 2t1 , d2 : ớ y = -1 + 3t2 .
ùz = t
ù z = 1 - 5t
ợ
ợ
1
2
Gi A = d ầ d1, B = d ầ d2 ị A(5 - 3t1; -7 + 2t1; t1 ) , B(2 + 2t2 ; -1 + 3t2 ;1 - 5t2 ) .
uuur
uuur
MA = (-3t1 + 9;2t1 - 2; t1 - 3) , MB = (2t2 + 6;3t2 + 4; -5t2 - 2)
uuur uuur
ộở MA, MB ựỷ = (-13t t - 8t + 13t + 16; -13t t + 39t ; -13t t - 24t + 31t + 48)
12
1

2
12
2
12
1
2
uuur uuur
uuur uuur
r
ỡt = 2
M, A, B thng hng MA, MB cựng phng ộở MA, MB ựỷ = 0 ớ 1
ợt2 = 0
uuur
ị A(-1; -3;2), B(2; -1;1) ị AB = (3;2; -1)
ỡ x = -4 + 3t
uuur
ù
ng thng d qua M(4; 5; 3) v cú VTCP AB = (3;2; -1) ị d : ớ y = -5 + 2t
ùợ z = 3 - t
Cõu hi tng t:
ỡx = t
x y-2 z
ù
a) M(1;5;0), d1 : =
=
, d2 : ớ y = 4 - t .
S:
1
-3
-3

ùợ z = -1 + 2t
b) M(3; 10; 1) , d1 :

x - 2 y +1 z + 3
x - 3 y - 7 z -1
=
=
, d2 :
=
=
3
1
2
1
-2
-1

Trang 19

ỡ x = 3 + 2t
ù

S: d : ớ y = 10 - 10t
ợù z = 1 - 2t


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
PP toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

ì x = 1+ t
ï
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1 : í y = 1 + 2t , đường thẳng d2
ï z = 1 + 2t
î

là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2 x – y –1 = 0 và (Q): 2 x + y + 2z – 5 = 0 . Gọi I là giao
điểm của d1, d2 . Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai
đường thẳng d1, d2 lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I.

· PTTS của d2 : { x = t '; y = -1 + 2t '; z = 3 - 2t ' . I = d1 Ç d2 Þ I (1;1;1) .
Giả sử: B(1 + t;1 + 2t;1 + 2t ) Î d1,C (t '; -1 + 2t ';3 - 2t ') Î d2 (t ¹ 0, t ' ¹ 1)
ì IB = IC
ìt = 1
DBIC cân đỉnh I Û í uuur uuur ur Û í
Þ Phương trình d3 : { x = 2; y = 3; z = 1 + 2t
ît ' = 2
î[ AB , AC ] = 0
Câu 18. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4 x – 3y + 11z = 0 và hai

x
y -3
z +1 x - 4
y
z-3
=
=
,
=

=
. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo
-1
2
3
1
1
2
nhau. Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đồng thời D cắt cả d1 và d2.
· Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5). Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1)
x+2 y-7 z-5
Phương trình đường thẳng D:
=
=
.
5
-8
-4
đường thẳng d1:

Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương

trình (P): 3 x + 12 y - 3z - 5 = 0 và (Q): 3 x - 4 y + 9 z + 7 = 0 , (d1):

x + 5 y - 3 z +1
=
=
, (d2):
2
-4

3

x - 3 y +1 z - 2
=
=
. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P),
-2
3
4
(Q) và cắt (d1), (d2).
r
r
· (P) có VTPT nP = (1; 4; - 1) , (Q) có pháp vectơ nQ = (3; - 4; 9)
r
r
(d1) có VTCP u1 = (2; - 4; 3) , (d2) có VTCP u2 = (-2; 3; 4)
ì(D1) = ( P ) Ç (Q)
ï(P ) É (d ),(P ) P ( P )
ï
1
1
Gọi: í 1
Þ (D) = (P1) Ç (Q1) và (D) // (D1)
(Q1 ) É (d2 ),(Q1 ) P (Q)
ïr r
ïîu = uD1
r 1 r r
(D) có vectơ chỉ phương u = [nP ; nQ ] = (8; - 3; - 4)
4
r

r
r r
r
(P1) có cặp VTCP u1 và u nên có VTPT: nP1 = [u1; u ] = (25; 32; 26)

Phương trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 Û 25 x + 32 y + 26 z + 55 = 0
r
r
r
r r
(Q1) có cặp VTCP u2 và u nên có VTPT: nQ1 = [u2 ; u ] = (0; 24; - 18)
Phương trình mp (Q1): 0( x - 3) + 24( y + 1) - 18( z - 2) = 0 Û 4 y - 3 x + 10 = 0
ì25x + 32 y + 26 z + 55 = 0
Ta có: (D) = ( P1 ) Ç (Q1 ) Þ phương trình đường thẳng (D) : í
î4 y - 3z + 10 = 0

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x – y + 2 z – 3 = 0 và hai

Trang 20


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong không gian

x - 4 y -1 z
x+3 y+5 z-7
=
=

và
=
=
.
2
2
-1
2
3
-2
Viết phương trình đường thẳng ( D ) song song với mặt phẳng (P), cắt (d1) và (d2 ) tại A và
B sao cho AB = 3.
· A Î (d1) Þ A(4 + 2t;1 + 2t; -t ) ; B Î (d2 ) Þ B(-3 + 2t¢; -5 + 3t¢;7 - 2t¢)
uuur
r
AB = (-7 + 2t¢ - 2t; -6 + 3t¢ - 2t; 7 - 2t¢ + t ) , nP = (2; -1;2) .
uuur
uuur
ì AB.nr = 0
ìt ¢ = 2
P
Từ giả thiết ta có: í
Ûí
Þ A(2; -1;1), AB = (-1;2;2) .
î t = -1
î AB = 3
x - 2 y +1 z -1
Þ Phương trình đường thẳng (D):
=
=

.
-1
2
2
đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có phương trình

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x - y + z + 1 = 0 và hai

x -1 y + 2 z - 3
x +1 y -1 z - 2
=
=
, d2 :
=
=
. Viết phương trình đường
2
1
3
2
3
2
thẳng D song song với (P), vuông góc với d1 và cắt d2 tại điểm E có hoành độ bằng 3.
r
r
r
· d1 có VTCP u1 = (2;1;3) , d2 có VTCP u2 = (2;3;2) , (P) có VTPT n = (2; -1;1) .
r
Giả sử D có VTCP u = (a; b; c) , E Î d2 có x E = 3 Þ E(3; -1;6) .
rr

ìD P ( P )
ìu.n = 0
r
ì2 a - b + c = 0
ì a = -c
Ta có: í
Û ír r
Û í
Ûí
Þ Chọn u = (1;1; -1)
î2a + b + 3c = 0
î b = -c
îu.u1 = 0
îD ^ d1
ìx = 3 + t
ï
Þ PT đường thẳng D: í y = -1 + t .
ïî z = 6 - t
đường thẳng d1 :

Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) và mặt phẳng (P) có phương

x +1 y + 2 z
x - 2 y -1 z -1
=
= , ( d2 ) :
=
=
; ( P ) : x + y - 2 z + 5 = 0 . Lập phương
1

2
1
2
1
1
trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt (d1 ),(d2 ) lần lượt tại A, B sao cho
độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
uuur
· Đặt A(-1 + a; -2 + 2a; a), B(2 + 2b;1 + b;1 + b) Þ AB = (-a + 2b + 3; -2a + b + 3; - a + b + 1)
uuur r
uuur
Do AB // (P) nên: AB ^ nP = (1;1; -2) Û b = a - 4 . Suy ra: AB = (a - 5; - a - 1; -3)
trình: (d1 ) :

AB = (a - 5)2 + (-a - 1)2 + (-3)2 = 2a2 - 8a + 35 = 2(a - 2)2 + 27 ³ 3 3
uuur
ìa = 2
Suy ra: min AB = 3 3 Û í
, A(1;2;2) , AB = (-3; -3; -3) .
î b = -2
x -1 y - 2 z - 2
Vậy d :
=
=
.
1
1
1
Câu 23. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) :

x + 8 y - 6 z - 10
=
=
2
1
-1

ìx = t
ï
và (d2 ) : í y = 2 - t . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1)
ïî z = -4 + 2t
tại A, cắt (d2) tại B. Tính AB.
Trang 21


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
PP to trong khụng gian

Trn S Tựng

ã Gi s: A(-8 + 2t1;6 + t1;10 - t1 ) ẻ d1, B(t2 ;2 - t2 ; -4 + 2t2 ) ẻ d2.
uuur
ị AB = (t2 - 2t1 + 8; -t2 - t1 - 4);2t2 + t1 - 14) .
uuur r
ỡ-t - t - 4 = 0
ỡt = -22
AB, i = (1; 0;0) cựng phng ớ 2 1
ớ1
ợ2t2 + t1 - 14 = 0
ợt2 = 18

ị A(-52; -16;32), B(18; -16;32) .
ị Phng trỡnh ng thng d: { x = -52 + t; y = -16; z = 32 .

ỡ x = -23 + 8t
ù
Cõu 24. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng: (d1): ớ y = -10 + 4t v (d2):
ùợ z = t
x -3 y +2 z
=
= . Vit phng trỡnh ng thng (d) song song vi trc Oz v ct c hai
2
-2
1
ng thng (d1), (d2).
ã Gi s A(-23 + 8t1; -10 + 4t1; t1) ẻ d1, B(3 + 2t2 ; -2 - 2t2 ; t2 ) ẻ d2.
uuur
ị AB = (2t2 - 8t1 + 26; -2t2 - 4t1 + 8; t2 - t1 )
ỡ
17
uuur r
ùt1 = 6
ỡ2t2 - 8t1 + 26 = 0
ổ 1 4 17 ử
ớ
ị Aỗ - ; ; ữ
AB // Oz AB, k cuứng phửụng ớ
ố 3 3 6ứ
ợ-2t2 - 4t1 + 8 = 0
ùt2 = - 5
3

ợ
ỡ
1
4
17
ị Phng trỡnh ng thng AB: ớ x = - ; y = ; z = + t
3
3
6
ợ
Cõu 25. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) v

ỡ6 x - 3 y + 2 z = 0
ng thng (d): ớ
. Vit phng trỡnh ng thng D // (d) v ct cỏc
ợ6 x + 3y + 2 z - 24 = 0
ng thng AB, OC.
ã Phng trỡnh mt phng (a) cha AB v song song d: (a): 6x + 3y + 2z 12 = 0
Phng trỡnh mt phng (b) cha OC v song song d: (b): 3x 3y + z = 0
ỡ6 x + 3y + 2z - 12 = 0
D l giao tuyn ca (a) v (b) ị D: ớ
ợ3 x - 3y + z = 0
Cõu 26. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho bn im A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0);

D(3;0;0). Chng minh cỏc ng thng AB v CD chộo nhau. Vit phng trỡnh ng
thng (D) vuụng gúc vi mt phng Oxy v ct cỏc ng thng AB, CD.
ã Gi (P) l mt phng qua AB v (P) ^ (Oxy) ị (P): 5x 4y = 0
(Q) l mt phng qua CD v (Q) ^ (Oxy) ị (Q): 2x + 3y 6 = 0
Ta cú (D) = (P)ầ(Q) ị Phng trỡnh ca (D)
Cõu 27. Trong khụng gian vi

h to Oxyz, cho

hai ng thng cú phng trỡnh:

ỡ x = -1 - 2t
x y z
ù
d1 : ớ y = t
v d2 :
= = . Xột v trớ tng i ca d1 v d2. Vit phng trỡnh
1 1 2
ùợ z = 1 + t
ng thng d qua M trựng vi gc to O, ct d1 v vuụng gúc vi d2.
uuur
ã ng thng D cn tỡm ct d1 ti A(12t; t; 1+t) ị OA = (12t; t; 1+t)
Trang 22


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
Trn S Tựng

PP to trong khụng gian

ỡx = t
uuur r
ù
d ^ d2 OA.u2 = 0 t = -1 ị A(1; -1; 0) ị PTTS ca d : ớ y = -t
ùợ z = 0
Cõu hi tng t:

ỡ x = -2 + 2t
ù
x + 2 y z -1
.
= =
, (d2 ) : ớ y = -5t
a) Vi M(1;1;1) , (d1 ) :
3
1 -2
ùợ z = 2 + t

S: d :

x -1 y -1 z -1
=
=
3
1
-1

Cõu 28. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho 2 ng thng cú phng trỡnh:

ỡx = t
ỡx = t '
ù
ù
(d1) : ớ y = 4 + t v (d2) : ớ y = 3t ' - 6
ùợ z = 6 + 2t
ùợ z = t ' - 1
Gi K l hỡnh chiu vuụng gúc ca im I(1; 1; 1) trờn (d2). Tỡm phng trỡnh tham s ca

ng thng i qua K vuụng gúc vi (d1) v ct (d1).
r
r
ã (d1) cú VTCP u1 = (1; 1; 2) ;
(d2) cú VTCP u2 = (1; 3; 1)
uur
K ẻ(d2 ) ị K (tÂ; 3t - 6; t - 1) ị IK = (t - 1; 3t - 5; t - 2)
uur r
ổ 18 12 7 ử
18
ị Kỗ ; - ; ữ
IK ^ u2 t - 1 + 9t - 15 + t - 2 = 0 t =
11
ố 11 11 11 ứ
uuur ổ 18
ử
56
59
Gi s (d ) ct (d1) ti H (t; 4 + t; 6 + 2t ), (H ẻ (d1 )) . HK = ỗ - t; - t; - 2t ữ
11
11
ố 11
ứ
uuur r
uuur
18
56
118
26
1

HK ^ u1
-t -t- 4t = 0 t = ị HK = (44; - 30; - 7).
11
11
11
11
11
ỡ
18
12
7
Vy, PTTS ca ng thng (d ): ớ x = + 44l ; y = - - 30l ; z = - 7l
11
11
11
ợ
Cõu 29. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im M(0;1;1) v 2 ng thng (d1), (d2)

x -1 y + 2 z
=
= ; (d2) l giao tuyn ca 2 mt phng (P): x + 1 = 0 v (Q):
3
2
1
x + y - z + 2 = 0 . Vit phng trỡnh ng thng (d) qua M vuụng gúc (d1) v ct (d2).

vi: (d1):

ã Phng trỡnh mt phng (a) i qua M(0;1;1) vuụng gúc vi (d1): 3x + 2 y + z - 3 = 0 .
ỡ3 x + 2 y + z - 3 = 0

ổ
5 8ử
ù
A = (d2) ầ (a) ớ x + 1 = 0
A ỗ -1; ; ữ
3 3ứ
ố
ùợ x + y - z + 2 = 0
x y -1 z -1
ị Phng trỡnh AM:
=
=
-3
2
5
Cõu 30. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): 2 x - y + z - 1 = 0 v hai

x -1 y + 2 z - 3
x +1 y -1 z - 2
=
=
, (d2):
=
=
. Vit phng trỡnh ng
2
1
3
2
3

2
thng (D) song song vi mt phng (P), vuụng gúc vi ng thng (d1) v ct ng thng
(d2) ti im E cú honh bng 3.
r
r
ỡx = 3 + t
ỡa ^ n
ù
r
r r
ã E ẻ (d2) ị E(3; 7; 6). ớ rV rP ị aV = ộở nP , ad1 ựỷ = -4(1;1; -1) ị (D): ớ y = 7 + t .
a
^
a
d1
ợ V
ùợ z = 6 - t
ng thng (d1):

Trang 23


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
PP to trong khụng gian

Trn S Tựng

Cõu 31. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(0; 0;3), B(2; 0;1) v mt

phng (P) cú phng trỡnh: 3 x - 8y + 7z + 1 = 0 . Vit phng trỡnh chớnh tc ng thng d

nm trờn mt phng (P) v d vuụng gúc vi AB ti giao im ca ng thng AB vi (P).
ã Giao im ca ng thng AB v (P) l: C(2;0;1)
uuur r
x - 2 y z -1
ng thng d i qua C v cú VTCP l ộở AB, nP ựỷ ị d:
=
=
2
-1 -2

Cõu 32. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng d1:

x +1 y -1 z -1
=
=
;
2
1
-1

x -1 y - 2 z +1
=
=
v mt phng (P): x - y - 2 z + 3 = 0 . Vit phng trỡnh ng thng
1
1
2
D nm trờn mt phng (P) v ct hai ng thng d1 , d2 .
ã Gi A = d1 ầ D, B = d2 ầ D. Vỡ D è (P) nờn A = d1 ầ (P), B = d2 ầ (P)
ị A(1; 0; 2), B(2; 3; 1)

x -1 y z - 2
ị D chớnh l ng thng AB ị Phng trỡnh D:
= =
.
1
3
-1
d2:

Cõu 33. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh ng thng (d) vuụng gúc vi

mt phng (P): x + y + z - 1 = 0 ng thi ct c hai ng thng (d1 ) :

x -1 y +1 z
=
= v
2
-1 1

ỡ x = -1 + t
ù
(d2 ) : ớ y = -1 , vi t ẻ R .
ùợ z = -t

ã Ly M ẻ ( d1 ) ị M (1 + 2t1; -1 - t1; t1 ) ; N ẻ ( d2 ) ị N ( -1 + t; -1; -t )
uuuur
Suy ra MN = ( t - 2t1 - 2; t1; -t - t1 )
ỡ
4
t=

uuuur
ù
r
ù
5 ị M = ổ 1 ;- 3;- 2 ử
(d ) ^ ( P ) MN = k .n; k ẻ R* t - 2t1 - 2 = t1 = -t - t1 ớ
ỗ
ữ
ố5 5 5ứ
ù t = -2
ùợ 1 5
1
3
2
ị d: x - = y + = z +
5
5
5
Cõu hi tng t:
x -1 y +1 z
x - 2 y z -1
a) Vi (P): 2 x + y + 5z + 3 = 0 , (d1 ) :
=
= , ( d2 ) :
= =
2
1
2
1
1 -2

x +1 y + 2 z + 2
S: d :
=
=
2
1
5
x +1 y -1 z - 2
x-2 y+2 z
b) Vi ( P ) : 2 x y 5z + 1 = 0 , d1 :
=
=
, d2 :
=
=
2
3
1
1
5
-2
S:

x -1 y - 4 z - 3
=
=
2
-1
-5

Cõu 34. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba mt phng: (P): 2 x y + z + 1 = 0 , (Q):

x - 2 y +1 z
=
= . Gi D2 l
-2
1
3
giao tuyn ca (P) v (Q). Vit phng trỡnh ng thng (d) vuụng gúc vi (R) v ct c
x y + 2 z + 3 = 0 , (R): x + 2 y 3z + 1 = 0 v ng thng D1 :

Trang 24