Đề 35 - Đề thi thử môn toán Quốc Gia (có đáp án) năm 2016

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016-LẦN 3
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y  x 3  3 x 2  2
Câu 2 (1,0 điểm).Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : f  x  

2x 1
trên đoạn 3;5
x 1

Câu 3 (1,0 điểm).
1
3
b) Giải phương trình : sin 2 x  2sin 2 x  sin x  cos x

2




a) Cho    ;   và sin   . Tính giá trị biểu thức P  sin 2  cos 2
4

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân sau : I   2 x  2 x 2  ln  x 2  9   dx
0

Câu 5 (1,0 điểm).
a) Giải bất phương trình : log 2  3 x  2   log 2  6  5 x   0 .
b) Cho tập hợp E  1; 2;3; 4;5; 6 và M là tập hợp tất cả các số gồm hai chữ số phân biệt lập từ
E . Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M . Tính xác suất để tổng hai chữ số của số đó lớn hơn 7 .
Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz  , cho các điểm M 1; 2; 0  , N  3; 4; 2  và

 P  : 2 x  2 y  z  7  0 . Viết phương trình đường thẳng
trung điểm của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng  P  .

mặt phẳng

MN và tính khoảng cách từ

Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Gọi I là trung điểm
cạnh AB .Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI , góc
giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABC và khoảng
cách từ điểm H đến mặt phẳng  SBC  .
Câu 8 (1,0 điểm)..
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 :3 x  4 y  8  0 , d 2 :4 x  3 y  19  0 .
Viết phương trình đường tròn  C  tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d 2 , đồng thời cắt đường
thẳng  :2 x  y  2  0 tại hai điểm A, B sao cho AB  2 5 .
Câu 9 (1,0 điểm).
Giải bất phương trình :

x22
6  x2  2 x  4  2  x  2



1

2

Câu 10 (1,0 điểm).
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x  y  2016 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  5 x 2  xy  3 y 2  3 x 2  xy  5 y 2  x 2  xy  2 y 2  2 x 2  xy  y 2

--------Hết------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THPT QUỐC GIA LẦN 3
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: TOÁN ( Gồm 5 trang)

Câu

Đáp án

Điểm
1,0

Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y  x 3  3 x 2  2
Tập xác định: D   .
x  0
Ta có y'  3 x 2  6 x. ; y'  0  
x  2
1 (1,0 đ)

0,25

- Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;0) và (2;  ) ; nghịch biến trên khoảng (0; 2) .
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0, yCD  2 ; đạt cực tiểu tại x  2, yCT  2
- Giới hạn: lim y  , lim y  
x 

0,25

x 

Bảng biến thiên:
x
y'
y

0
0



+



2
0

-

+



2

0.25

-2



Đồ thị:
y

f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2

5

x
-8

-6

-4

-2

2

4

6

0,25

8

-5

Câu2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : f  x  
Hàm số xác định và liên tục trên D  3;5
2 (1,0 đ)

Ta có f   x   

3

 x  1

2

 0, x   3;5

Do đó hàm số này nghịch biến trên đoạn  3;5

2x 1
trên đoạn  3;5
x 1

1,0
0,25
0,25
0,25


11
7
; min f  x   f  5  
x

3;5


2
4
1
và sin   . Tính giá trị biểu thức P  sin 2  cos 2
3

Suy ra max f  x   f  3  

0,25

 
Câu 3a. Cho    ;  
2 

0,5

x 3;5

3.(1,0đ)

2 2
 
Vì    ;   nên cos   0 , suy ra cos    1  sin 2   
3
2 
2
Do đó P  sin 2  cos 2  2sin  cos   1  2sin 
2
1  2 2
74 2
1
 P  2    

1

2


  
3 
3 
9
3
Câu 3b) Giải phương trình : sin 2 x  2sin 2 x  sin x  cos x

0,25

0,25

0,5

Phương trình đã cho  2sin x  sin x  cos x   sin x  cos x
sin x  cos x  0 1

 2
 2sin x  1

0,25



1  tan x  1  x  



 2   sin x 


4

 k ,  k   

1

5
 x   k 2  x 

 k 2 ,  k   
6
6
2

Vậy phương trình có ba họ nghiệm x  


4

 k , x 


6

0,25

 k 2 , x 

5
 k 2 với k  
6

4

Câu 4. Tính tích phân sau : I   2 x  2 x 2  ln  x 2  9   dx

1,0

0

4

4

I  4  x3dx   2 x ln  x 2  9 dx  I1  I 2
4



0,25

0

0

4

I1  4  x3dx  x 4  256

0,25

0

0

4 .(1,0 đ)

2x
u  ln  x 2  9   du  2

dx
I 2   2 x ln  x  9 dx . Đặt 

x 9
2
0

 dv  2 xdx
v  x  9
4



2

4

4

4

2 4

0

0

 I 2   x  9  ln  x  9    2 xdx   x  9  ln  x  9   x
2

2

0

2

0

2

0,25

 I 2  25ln 25  9 ln 9  16  50 ln 5  18ln 3  16

5 (1,0 đ)

Vậy I  I1  I 2  240  50 ln 5  18ln 3

0,25

Câu 5 a) Giải bất phương trình : log 2  3 x  2   log 2  6  5 x   0 .

0,5

3 x  2  0

Bất phương trình đã cho  log 2  3 x  2   log 2  6  5 x   6  5 x  0
3 x  2  6  5 x

2


x  3

6
6
6

  x   1  x  . Vậy nghiệm của bất phương trình là : 1  x 
5
5
5

x  1


Câu 5 b) Cho tập hợp E  1; 2;3; 4;5; 6 và M là tập hợp tất cả các số gồm hai chữ số

0,25

0,25


phân biệt thuộc E . Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M . Tính xác suất để tổng hai chữ số
của số đó lớn hơn 7 .
 Số phần tử của tập M là A62  30


Các số có tổng hai chữ số lớn hơn 7 gồm 26, 62,35, 53,36, 63, 45,54, 46, 64,56, 65
12 2
Có 12 số như vậy . Suy ra xác suất cần tìm là P 


30 5

0,25
0,25

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz  , cho các điểm M 1; 2; 0  , N  3; 4; 2 
và mặt phẳng

 P : 2x  2 y  z  7  0 .

Viết phương trình đường thẳng MN và tính

khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng  P  .


Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương MN   4;6;2  hay u   2;3;1

0,25

6 .(1,0 đ) Phương trình đường thẳng MN : x  1  y  2  z ( có thể viết dưới dạng pt tham số)
3
1
2
Trung điểm của đoạn thẳng MN là I  1;1;1
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng

 P

1,0

0,25
0,25

là :

d  I ,  P  

2  2  1  7

0,25

2

4  4 1
Câu 7. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Gọi I là trung
điểmcạnh AB .Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của
CI , góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp

1,0

S. ABC và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng  SBC  .
S
A

I
H
B

I'

A' H' K

C

0,25
E
A

C
H

7. (1,0 đ)

K
H'

I

B

a 3
2
a 7
a 21
Do đó AH  AI 2  IH 2 
, suy ra SH  AH .tan 600 
.
4
4

1
a3 7
Vậy VS . ABC  SH .S ABC 
16
3
Gọi A ', H ', I ' lần lượt là hình chiếu của A, H , I trên BC; E là hình chiếu của H trên SH'

Ta có CI  AC 2  AI 2 

thì HE  ( SBC )  d  H ;( SBC )   HE . Ta có HH ' 

1
a 3
1
II '  AA ' 
2
4
8

0,25

0,25


a 21
a 21
1
1
1
. Vậy d  H ; (SBC )  

, suy ra HE 
.


2
2
2
HE
HS
HH '
4 29
4 29
Câu8.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 :3 x  4 y  8  0 ,

Từ

d 2 :4 x  3 y  19  0 .Viết phương trình đường tròn  C  tiếp xúc với hai đường thẳng d1

0,25

1,0

và d 2 , đồng thời cắt đường thẳng  :2 x  y  2  0 tại hai điểm A, B sao cho AB  2 5
Gọi I  a ; b  là tọa độ tâm và R là bán kính đường tròn  C  .
Do đường thẳng  cắt đường tròn  C  tại hai điểm A, B sao cho AB  2 5 nên ta có

d  I ,    R2  5 
8 .(1,0 đ)

2a  b  2

5

0,25

 2 R 2  5  *

 d  I , d1   R
Đường tròn  C  tiếp xúc với d1 , d 2 khi : 
 d  I , d 2   R
 b  7 a  27
 3a  4b  8


3
a

4
b

8

R

R

 R  5a  20
5




5
 4a  3b  19  R
 4a  3b  19    3a  4b  8
  a  7b  11

  R  5b  5

5


b  7a  27
-Với 
thay vào * ta được
 R  5a  20
Vậy phương trình đường tròn là
2

 C  :  x  3   y  6 

2

5 a 5 

2

2

2

2

5 3b  4 

 5b  5

2

2

 5  a  3 a 

9
2

5  b  2 b 

3
2

2

0,25

9 
9
25

 25 hoặc  C  :  x     y   
2 
2

4


a  7b  11
-Với 
thay vào * ta được
 R  5b  5
Vậy phương trình đường tròn là

 C  :  x  3   y  2 

 5a  20 

0,25

2

0,25

3
25
1 

 25 hoặc  C  :  x     y   
2 
2
4


Câu 9. Giải bất phương trình :

x22
6  x  2 x  4  2  x  2
2



1
2

1,0

Điều kiện : x  2
Ta có

6  x  2 x  4   2  x  2 

2  x2  2x  4

2

Do đó bất phương trình  2



6  x  2 x  4  2  x  2

0,25



x  2  2  6  x2  2x  4  2  x  2

 2 x  2  2 x  12  x  2   6 x 2
9 .(1,0 đ)

 0, x  2

2

1

0,25

Nhận xét x  2 không là nghiệm của bất phương trình
Khi x  2 chia hai vế bất phương trinh 1 cho

x

 x 
 12  6  
2  2

x2
 x2 

2

 2  . Đặt t 

x  2  0 ta được
x
thì bất phương trình  2  được
x2

 2  2t  0
t  1

t2
2  2t  12  6t 2  

2
2
2
2  t  2   0
 4  8t  4t  12  6t

0,25


x  0
x
2 2
 x  2  2 3 . Bất phương trình có nghiệm duy
x2
x  4x  8  0

0,25

nhất x  2  2 3 . (Chú ý bài này có nhiều cách giải khác như dùng véc tơ, dùng bất

đẳng thức ,dùng phép biến đổi tương đương)
Câu 10.Cho x, y  0 thỏa mãn điều kiện x  y  2016 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1,0

t2

P  5 x 2  xy  3 y 2  3x 2  xy  5 y 2  x 2  xy  2 y 2  2 x 2  xy  y 2
P  A B .

Trong đó A  5 x 2  xy  3 y 2  3 x 2  xy  5 y 2

và

0,25

B  x 2  xy  2 y 2  2 x 2  xy  y 2
10.(1,0đ)

6 A  180 x 2  36 xy  108 y 2  108 x 2  36 xy  180 y 2
2

2

2

2

11x  7 y   59  x  y   11y  7 x   59  y  x 
 11x  7 y   11 y  7 x   18  x  y 

 A  3  x  y   3  2016  6048  * dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi


0,25

x  y  1008

4 B  16 x 2  16 xy  32 y 2  32 x 2  16 xy  16 y 2
2

2

2

2

 3x  5 y   7  x  y    3 y  5 x   7  y  x 
  3x  5 y    3 y  5 x   8  x  y 
 B  2  x  y   2  2016  4032  ** dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi


0,25

x  y  1008

Từ * và ** ta đươc P  A  B  6048  4032  10080 , dấu đẳng thức xẩy ra khi và
chỉ khi x  y  1008 . Vậy Pmin  10080  x  y  1008

0,25

Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm
nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải câu 7 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.