Đề 50 - Đề thi thử môn toán Quốc Gia (có đáp án) năm 2016

TRNG I HC VINH
TRNG THPT CHUYấN

THI TH THPT QUC GIA NM 2016 LN 1
Mụn: TON
Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt

Cõu 1 (1,0 im). Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s y = x 3 - 6x 2 + 9x - 1.
Cõu 2 (1,0 im). Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y =
song song vi ng thng d : 3x + 4y - 2 = 0.

2x + 1
, bit rng tip tuyn
x -1

Cõu 3 (1,0 im).
a) Gii bt phng trỡnh 21+

x +3

b) Cho log3 5 = a. Tớnh log

45

+ 21-

x +3

75 theo a.

Cõu 4 (1,0 im). Tớnh tớch phõn I =

1

< 5.

x + ln(2x + 1)

dx .
(x + 1)2
Cõu 5 (1,0 im). Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P ) : x + y + z - 7 = 0 v

ũ
0

x -3 y +8
z
=
=
. Tỡm ta giao im ca d vi (P ) v lp phng trỡnh mt
-2
4
-1
phng (Q ) cha d ng thi vuụng gúc vi (P ).
ng thng d :

Cõu 6 (1,0 im).
a) Gii phng trỡnh cos x + sin 2x = sin x + sin 2x cot x .

b) Nhõn dp k nim ngy Nh giỏo Vit Nam, trng THPT X tuyn chn c 24 tit mc vn
ngh tiờu biu, trong s ú lp 11A cú 2 tit mc cụng din trong ton trng. Ban t chc cho

bc thm ngu nhiờn chia thnh hai bui cụng din, mi bui 12 tit mc. Tớnh xỏc sut 2
tit mc ca lp 11A c biu din trong cựng mt bui.
Cõu 7 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S .ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht tõm O, SD vuụng
ã = 1200 , gúc gia hai mt phng (SBC ) v (ABCD )
gúc vi mt phng (ABCD ), AD = a, AOB
bng 450. Tớnh theo a th tớch khi chúp S .ABCD v khong cỏch gia hai ng thng
AC , SB.
Cõu 8 (1,0 im). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú phng trỡnh cỏc ng
thng cha trung tuyn v ng cao k t C ln lt l y + 2 = 0 v 3x - 2y + 8 = 0. ng thng
ã bit rng im A cú tung õm v thuc
cha trung tuyn k t A i qua K (-18; 3). Tớnh ABC
ng thng d : x + 2y + 2 = 0.
Cõu 9 (1,0 im). Gii bt phng trỡnh x 2 + 4 x + 2 Ê x + 2 ổỗ 1 + x 2 + 3 ửữ .
ố
ứ
Cõu 10 (1,0 im). Gi s x , y, z l cỏc s thc khụng õm tha món xy + yz + zx = 2. Tỡm giỏ tr
ln nht ca biu thc P =

2x

2 + x2

+

2y

2 + y2

+

z2

2 + z2

.

------------------ Ht ------------------


TRNG I HC VINH
TRNG THPT CHUYấN

Cõu

P N THI TH THPT QUC GIA NM 2016 LN 1
Mụn: TON; Thi gian lm bi: 180 phỳt
ỏp ỏn

im

1 . Tp xỏc nh: D = Ă.
2o. S bin thiờn:
* Chiu bin thiờn: Ta cú y  = 3x 2 - 12x + 9, x ẻ Ă.
o

Cõu 1.
(1,0
im)

ộx = 1

ộx < 1
y = 0 ờ
; y > 0 ờ
; y  < 0 1 < x < 3.
ờởx = 3
ờởx > 3
Suy ra hm s ng bin trờn mi khong (-Ơ; 1) v (3; + Ơ); hm s nghch bin trờn
khong (1; 3).

0,5

* Cc tr: Hm s t cc i ti x = 1, yC = y(1) = 3 ;
hm s t cc tiu ti x = 3, yCT = y(3) = -1.
* Gii hn ti vụ cc:
ổ
ổ
6 9
1 ử
6 9
1 ử
lim y = lim x 3 ỗ 1 - + 2 - 3 ữ = -Ơ; lim y = lim x 3 ỗ 1 - + 2 - 3 ữ = +Ơ.
x đ-Ơ
x đ-Ơ
x đ+Ơ
x đ+Ơ
x x
x x
x ứ
x ứ
ố

ố
* Bng bin thiờn:
3
x -Ơ
+Ơ
1
y'

+

0



0

+Ơ

3

y

y

+

3

-1

-Ơ

0,5

3o. th:

O

1

3

x

-1

Cõu 2.
(1,0
im)

3
3
H s gúc ca d l k = - . Suy ra h s gúc ca tip tuyn cng l - .
4
4
3
Ta cú y ' = , x ạ 1.
2
x -1

(

)

Honh tip im ca tip tuyn vi th l nghim ca phng trỡnh
ộx = -1
3
3
3
2
y' = - x
=

(
1)
=
4

ờ
4
4
(x - 1)2
ờởx = 3
1
3
1
3
1
* Vi x = -1 ta cú y = . Suy ra tip tuyn l y = - (x + 1) + , hay y = - x - .
2

4
2
4
4
7
3
7
3
23
* Vi x = 3 ta cú y = . Suy ra tip tuyn l y = - (x - 3) + , hay y = - x + .
2
4
2
4
4
3
1
3
23
Vy cú hai tip tuyn cn tỡm l y = - x - v y = - x + .
4
4
4
4
1

0,5

0,5

a) iu kin: x -3.
Cõu 3.
(1,0
im)

x +3

= t > 0, bt phng trỡnh ó cho tr thnh
2
1
2t + < 5 2t 2 - 5t + 2 < 0, (vỡ t > 0 ) < t < 2
t
2
-1
x +3
2 <2
< 2 -1 < x + 3 < 1 -3 Ê x < -2.
Vy bt phng trỡnh ó cho cú nghim -3 Ê x < -2.

t 2

b) Ta cú log
Cõu 4.
(1,0
im)

45

75 = 2 log45 75 = 2

log3 75

=2

log3 45

log3 (3.52 )
2

log3 (3 .5)

=2

1 + 2 log3 5
2 + log 3 5

0,5

=

2 + 4a
.
2 +a

ổ
2 ử
1
.
Suy

ra
d
u
=
1
+
.
ỗ
ữ dx , v = 2
x +1
2x + 1 ứ
(x + 1)
ố
Theo cụng thc tớch phõn tng phn ta cú
dx

t u = x + ln(2x + 1), dv =

I =-

x + ln(2x + 1)
x +1

1
0

1

0,5

0,5

ổ 1
ử
2
+ ũỗ
+
ữdx
x + 1 (2x + 1)(x + 1) ứ
0ố

1
1
ổ 1
ổ 4
1
4
2 ử
1
1 ử
= - (1 + ln 3) + ũ ỗ
+
d
x
=
(1
+
ln
3)
+

ữ
ỗ
ữdx
ũ
2
x
+
1
2
x
+
1
x
+
1
2
2
x
+
1
x
+
1
ứ
ứ
0ố
0ố

1
= - (1 + ln 3) + 2 ln(2x + 1) - ln(x + 1)

2

(

Cõu 6.
(1,0
im)

0

1
= - (1 + ln 3) + 2 ln 3 - ln 2
2

0,5

3
1 1
ln 3 - ln 2 - = 3 ln 3 - 2 ln 2 - 1 .
2
2 2
Gi M = d ầ (P ). Vỡ M ẻ d nờn M (-2t + 3; 4t - 8; - t ).

(

=

Cõu 5.
(1,0
im)

)

1

)

Suy ra M ẻ (P ) (-2t + 3) + (4t - 8) + (-t ) - 7 = 0 t = 12, hay M (-21; 40; - 12).
uur
ỡùu = (-2; 4; - 1)
d
Mt phng (Q ) cha d v vuụng gúc vi (P ) nờn (Q ) cú cp vtcp ớ uur
ùợnP = (1; 1; 1)
uur
uur uur
Suy ra nQ = ộud , nP ự = (5; 1; - 6). Ly N (3; - 8; 0) ẻ d nờn N ẻ (Q ).
ở
ỷ
Suy ra phng trỡnh (Q ) : 5x + y - 6z - 7 = 0.
a) iu kin: sin x ạ 0.
Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi

(

)

(

0,5

0,5

)

cos x - sin x + sin 2x 1 - cot x = 0 cos x - sin x + 2 cos x sin x - cos x = 0

ộ
p
ộcos x = sin x
x = + kp
ờ
4
(k ẻ Â).
cos x - sin x 1 - 2 cos x = 0 ờ
ờ
ờcos x = 1
p
ờ
x = + k 2p
ờở
2
ờở
3
b) Gi hai bui cụng din l I , II . S cỏch chia 24 tit mc thnh hai bui cụng din

(

)(

0,5

)

12
chớnh l s cỏch chn 12 tit mc cho bui I , ú l C 24
.
Gi A l bin c 2 tit mc ca lp 11A c biu din trong cựng mt bui.
Nu 2 tit mc ca lp 11A cựng biu din trong bui I thỡ s cỏch chn 10 tit mc cũn
10
li cho bui I l C 22
. Hai tit mc ca lp 11A cng cú th cựng biu din trong bui II .
10
Vỡ vy, s cỏch chia bin c A xy ra l 2.C 22
.

Do ú P (A) =

10
2.C 22
12
C 24

=

0,5

11
ằ 0, 4783.
23

Ghi chỳ. Xỏc sut cng cú th c tớnh theo cụng thc P (A) =
2

2
2.C 12
2
C 24

=

11
.
23


ỡùSD ^ (ABCD )
Vỡ ớ
nờn SC ^ BC .
ùợDC ^ BC
ã = (ã
Suy ra SCD
SBC ), (ABCD ) = 450

S

Cõu 7.
(1,0
im)

(

H

D

a
A

45

ã < 900 ).
(do DSCD vuụng ti D nờn SCD
C Vỡ ABCD l hỡnh ch nht nờn OA = OD,
ã = 1800 - AOB
ã = 600. Suy
kt hp vi AOD
ra DOAD u.
ã = 600.
Do ú OA = OD = a, ADO

0

O
B

K

x

)

0,5

Suy ra AB = AD. tan 600 = a 3.

Suy ra SABCD = AB.AD = a 2 3 v SD = CD. tan 450 = a 3.

1
SD.SABCD = a 3 .
3
K Bx // AC ị mp (S , Bx ) // AC
1
ị d (AC , SB ) = d O, (S , Bx ) = d D, (S , Bx ) .
2
H DK ^ Bx , DH ^ SK . Vỡ Bx ^ (SDK ) nờn Bx ^ DH ị DH ^ (S , Bx ).
Suy ra VS .ABCD =

(

)

(

)

(1)
(2)

ã = DOA
ã = 600 (ng v) nờn DK = BD sin 600 = a 3.

Vỡ BD = 2DO = 2a v DBK

SK SD 2 a 6
Suy ra DSDK vuụng cõn ti D ị DH =
=
=
.
2
2
2
1
a 6
Kt hp (1), (2) v (3) ta suy ra d(AC , SB ) = DH =
.
2
4

Cõu 8.
(1,0
im)

C

N

H

B

(3)

ỡùy + 2 = 0
T h ớ
ị C (-4; - 2).
ùợ3x - 2y + 8 = 0
Gi M , N l trung im AB, BC .
Ta cú
A ẻ d : x + 2y + 2 = 0 ị A(-2a - 2; a ) (a < 0)

K
A

M

0,5

M ẻ CM : y + 2 = 0 ị M (m; - 2).

0,5

ổ
-a - 6 ử
M M l trung im AB nờn B(2a + 2m + 2; - a - 4) ị N ỗ a + m - 1;
ữ.
2 ứ
ố
uuuur uuuur
Vỡ CH ^ AB nờn uCH .AM = 0 2(2a + m + 2) + 3(-a - 2) = 0 a = -2m + 2. (1)
uuuur ổ
uuur

-a - 12 ử
Ta cú KA = (-2a + 16; a - 3) v KN = ỗ a + m + 17;
ữ.
2 ứ
ố
uuur
uuuur
Vỡ A, N , K thng hng nờn KA cựng phng KN . Do ú
(-2a + 16)(-a - 12) = 2(a - 3)(a + m + 17).

ộ
5
m = ị a = -3 (tm)
Thay (1) vo (2) ta c 2m + 21m - 65 = 0 ờ
2
ờ
m
=
13 ị a = 28 (ktm)
ờở
Suy ra A(4; - 3), B(1; - 1).
uuur
uuur
uuur uuur
3(-5) + (-2)(-1)
1
Ta cú BA = (3; - 2), BC = (-5; - 1) ị cos BA, BC =
=.
9 + 4. 25 + 1
2

uuur uuur
ã = BA, BC = 1350.
Suy ra ABC
2

(

)

(

3

)

(2)
0,5


Cõu 9.
(1,0
im)

iu kin: x -2.
x 2 + 3 = u, x + 2 = v, bt phng trỡnh ó cho tr thnh

t

(

)

u 2 - 3 + 4v Ê v 2 + 2u u 2 - v 2 + u + v - 3 u - v + 1 Ê 0

(u - v + 1)(u + v - 3) Ê 0

ổỗ x 2 + 3 - x + 2 + 1 ửữ ổỗ x 2 + 3 + x + 2 - 3 ửữ Ê 0.
ố
ứố
ứ

Ta cú

x2 - x + 1

2

x + 3 - x +2 +1 =

x2 + 3 + x + 2

(1)

0,5

+ 1 > 0.

x2 + 3 + x + 2 - 3 Ê 0
ỡ3 - x + 2 0
ù

x2 + 3 Ê 3 - x + 2 ớ 2
ùợx + 3 Ê 9 - 6 x + 2 + x + 2
2
ỡ
ỡùx Ê 7
ù-2 Ê x Ê 7, 8 + x - x 0
ớ
ớ
2
2
6 x + 2 Ê 8 + x - x2
ù36 x + 2 Ê 8 + x - x
ợù
ợ
ỡ
1 + 33
ộ -2 Ê x Ê 2 - 2 3
ù-2 Ê x Ê
2
ớ
ờ
ờởx = -1
ù x + 1 2 x 2 - 4x - 8 0
ợ

Do ú (1) tng ng vi

) (

(

(

Cõu 10.
(1,0
im)

)(

)

0,5

)

Vy bt phng trỡnh ó cho cú nghim x = -1 v -2 Ê x Ê 2 - 2 3.
A
B
C
t x = 2 tan , y = 2 tan , z = 2 tan , vi 0 Ê A, B, C < p .
2
2
2
A
B
B
C
C
A
T gi thit ta cú tan tan + tan tan + tan tan = 1.

2
2
2
2
2
2
B
C
1 - tan tan
A
2
2 = cot B + C = tan ổ p - B + C ử .
Khi ú tan =
ỗ
ữ
2
2
2 ứ
B
C
ố2
tan + tan
2
2
A p B +C
Suy ra
= + k p , k ẻ Â. Hay A + B + C = p + k 2p .
2
2
2

T (1) suy ra k = 0. Do ú A + B + C = p . Khi ú
A+B
A-B
C
1
1
1
C
=
cos
+ 1 - cos2
.2 sin
P =
sin A +
sin B + sin2
2
2
2
2
2
2
2

(1)

0,5

2

Cử

3 ổ 1
C
C
3
- cos ữ Ê .
Ê 2 cos - cos2 + 1 = - ỗ
2 ố 2
2ứ
2
2
2
ỡ
p
ỡ C
1
ỡ
C =
ùcos =
ùù
ùx = y = 2 - 2
2
Du ng thc xy ra khi ớ


2
ớ
ớ
2
ùA = B
ùA = B = p

ùz = 2.
ợ
ợ
ùợ
4
3
Vy giỏ tr ln nht ca P bng .
2

4

0,5