SỬ DỤNG WEBSITE WOLFRAM ALPHA TRONG VIỆC TÌM HIỂU VỀ MA TRẬN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
--------

RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3
ĐỀ TÀI:

SỬ DỤNG WEBSITE WOLFRAM
ALPHA TRONG VIỆC TÌM HIỂU
VỀ MA TRẬN

Sinh viên lớp 3B thực hiện:
Nguyễn Thị Hải Khánh

Huế, 2013


LỜI NÓI ĐẦU
Wolfram Alpha là một trong những website có những công cụ tiện lợi, đắc lực và
hiệu quả nhất trong việc dạy và học toán.
Wolfram Alpha không chỉ hữu ích cho các bạn học toán và rèn luyện khả năng
tiếng Anh mà còn giúp các giáo viên, giảng viên tìm được nguồn học liệu phong phú
phục vụ cho việc giảng dạy. Chúng có đầy đủ tài nguyên cho người mới bắt đầu đến
người thông thạo nhất, dù trình độ của bạn ở mức nào, bạn sẽ luôn tìm được bài học phù
hợp cho mình.
Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới
Hình học vi phân và Lý thuyết biểu diễn nhóm, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật,…. Vì thế,
nó đã trở thành một môn học cơ sở cho việc đào tạo các giáo viên trung học, các giáo
viên bậc Đại học và trên Đại học thuộc các chuyên ngành khoa học cơ bản và công nghệ
trong tất cả các trường Đại học.
Ma trận là một phần vô cùng quan trọng trong Đại số tuyến tính.

Việc đưa Wolfram Alpha vào việc dạy và học toán về ma trận, sẽ rất hữu ích và
tiện lợi. Bởi vì, Wolfram Alpha chọn lọc những thông tin, hình ảnh chi tiết về ma trận để
có những câu trả lời nhanh và chính xác nhất các thông tin liên quan về ma trận đó. Đưa
website này vào việc dạy và học ma trận không chỉ giúp cho các bạn sinh viên có cái nhìn
khái quát và hiểu rõ hơn về ma trận, mà còn giúp đi sâu hơn vào việc nghiên cứu về ma
trận của sinh viên, giáo viên bậc Đại học và trên Đại học.
Tôi nghiên cứu về đề tài “Sử dụng website Wolfram Alpha trong việc tìm hiểu về
ma trận” này hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn sinh viên trong quá trình học tập và nâng
cao chất lượng giảng dạy của các giáo viên.


MỤC LỤC
I. GIỚI THIỆU VỀ WOLFRAM ALPHA ...................................................................... 2
II. ỨNG DỤNG CỦA WOLFRAM ALPHA TRONG TOÁN HỌC ............................ 5
III. TÌM HIỂU VỀ MA TRẬN THÔNG QUA WEBSITE WOLFRAM ALPHA ..... 7
1. KHAI NIỆM MA TRẬN. .................................................................................................. 7
2. GIỚI THIỆU VỀ MỘT SỐ LOẠI MA TRẬN ...................................................................... 8
a. Ma trận đơn vị .......................................................................................................... 8
b. Ma trận vuông ........................................................................................................... 9
c. Ma trận tam giác ..................................................................................................... 10
d. Ma trận đối xứng .................................................................................................... 11
e. Ma trận trực giao .................................................................................................... 12
f. Ma trận Hilbert........................................................................................................ 13
g. Ma trận Hankel ....................................................................................................... 14
3. CAC PHEP TOAN MA TRẬN ......................................................................................... 15
a. Cộng hai ma trận .................................................................................................... 15
b. Nhân vô hướng với ma trận .................................................................................... 16
c. Nhân hai ma trận .................................................................................................... 17
4. CHUYỂN VỊ CỦA MA TRẬN ......................................................................................... 18
5. MA TRẬN KHẢ NGHỊCH ............................................................................................. 19

6. MA TRẬN LIEN HỢP ................................................................................................... 21
7. VẾT CỦA MA TRẬN ..................................................................................................... 22
8. ĐỊNH THỨC................................................................................................................. 24
9. HẠNG CỦA MA TRẬN .................................................................................................. 26
10. XAC DỊNH HỆ DỘC LẬP TUYẾN TINH QUA MA TRẬN ............................................... 27
11. DUNG MA TRẬN DỂ TIM CƠ SỞ VA CHIỀU CỦA KHONG GIAN VECTƠ ..................... 28
a. Chiều của không gian vectơ.................................................................................... 28
b. Cơ sở của không gian vectơ .................................................................................... 28
12. GIA TRỊ RIENG, VECTƠ RIENG VA DA THỨC DẶC TRƯNG CỦA MA TRẬN............... 30
a. Giá trị riêng ............................................................................................................ 30
b. Vectơ riêng .............................................................................................................. 31
c. Đa thức đặc trưng ................................................................................................... 32
13. CHEO HOA ................................................................................................................ 33
14. MA TRẬN XAC DỊNH DƯƠNG .................................................................................... 34
KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 35
TAI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 36

1


I. Giới thiệu về Wolfram Alpha.
Wolfram Alpha là một máy trả lời do Wolfram Research phát triển. Đây là một
dịch vụ trực tuyến có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi nhập vào trực tiếp bằng cách tính toán
câu trả lời từ các dữ liệu có cấu trúc, chứ không chỉ cung cấp một danh sách các tài liệu
hoặc trang web có thể chứa câu trả lời như cách máy tìm kiếm thường làm. Website này
được Stephen Wolfram công bố vào tháng 3 năm 2009, và được phát hành cho công
chúng ngày 15 tháng 5 năm 2009. Wolfram Alpha được viết ra bằng 5 triệu dòng mã
Mathematica.

Stephen Wolfram

Wolfram Alpha là một bộ máy tìm kiếm thông minh, mang lại đáp án cụ thể, chính
xác nhất cho các câu hỏi của người dùng, đặc biệt trong lĩnh vực khoa học tự nhiên.
“Động cơ điện toán tri thức” là thuật ngữ chính xác mà Stephen Wolfram dùng để
gọi công cụ tìm kiếm trực tuyến này. Wolfram Research là một công ty rất nổi tiếng với

2


sản phẩm Mathematica - một ứng dụng điện toán được sử dụng rất phổ biến trong cộng
đồng các nhà toán học, khoa học cũng như các chuyên gia kỹ thuật khác.
Tận dụng lợi thế này Wolfram Research đã tập trung nghiên cứu, phát triển thành
công cụ tìm kiếm Wolfram Alpha. Mục tiêu của công cụ tìm kiếm này không chỉ đơn
giản dừng lại ở việc tìm kiếm mà còn cung cấp đường liên kết đến các trang web cho
người dùng.
Công cụ tìm kiếm này sẽ tiến hành phân tích từ khóa tìm kiếm mà người dùng
nhập vào, tìm kiếm tổng hợp thông tin và cuối cùng trình bày ra trước mắt người dùng
câu trả lời chứ không phải là những đường liên kết. Nói một cách khác thì Wolfram
Alpha sẽ làm thay cho người dùng nhiệm vụ phải truy cập đến từng đường liên kết thì
mới có được những thông tin cần thiết.
Trong cuộc trình diễn tại Trung tâm Internet và Xã hội Berkman thuộc Đại học
Harvard, Tiến sĩ Wolfram đã cho biết: “Mục tiêu của chúng tôi là làm cho những kiến
thức chuyên môn có thể truy cập được bởi bất cứ ai, bất cứ nơi đâu, bất cứ lúc nào”.
Công cụ web này sẽ tự động hóa việc trả lời các câu hỏi ngẫu nhiên nhờ lấy dữ liệu từ các
cơ sở dữ liệu công cộng hoặc những dữ liệu có bản quyền, và các nguồn cấp dữ liệu trực
tiếp. Người dùng có thể vào website để tìm kiếm những thông tin đơn giản - ví dụ như
chiều cao của núi Everest - hoặc những thông tin phức tạp đòi hỏi phải trộn lẫn nhiều dữ
liệu với nhau, chẳng hạn như GDP cập nhật của một quốc gia. Các chức năng khác nhau
của trang web cũng giúp giải quyết các bài toán phức tạp, số liệu khoa học hoặc vẽ biểu
đồ các sự kiện tự nhiên.
Tiến sĩ Wolfram cho biết “Cũng giống như tương tác với một chuyên gia, trang

web sẽ hiểu những gì bạn đang nói, thực hiện tính toán, và sau đó trình bày với bạn
những kết quả”. Nhưng điều này cũng dẫn đến kết quả là phần lớn các dữ liệu mang tính
khoa học, và có ít thông tin văn hóa như thông tin về các ngôi sao nhạc pop hoặc diễn
viên điện ảnh. Về tiến trình triển khai dự án mới này, Tiến sĩ Wolfram đã tiết lộ “hàng
nghìn tỉ mẫu dữ liệu” đã được lựa chọn và quản lí bởi một nhóm các chuyên gia tại
Trung tâm nghiên cứu Wolfram. Những chuyên gia này cũng đã tiến hành chuẩn hóa
thông tin để đảm bảo hệ thống có thể đọc và hiển thị được.
3


Không những thế câu trả lời mà Wolfram Alpha đưa ra được tổ chức theo cấu trúc
rõ ràng với hình ảnh biểu đồ, đồ họa… rất rõ ràng và dễ hiểu. Người dùng còn có thể tải
những câu trả lời này về dưới dạng tệp tin PDF để phục vụ cho mục đích riêng.
Có thể thấy đây là một tính năng rất tuyệt vời bởi thay vì lần mò đến từng đường
liên kết như trên trang kết quả tìm kiếm của Google thì với Wolfram Alpha người dùng
có thể thấy ngay được những thông tin cần thiết rất dễ đọc và theo dõi cũng như đối
chiếu.
Wolfram Alpha được cung cấp dưới dạng trang web tại địa chỉ
www.wolframalpha.com. Ngoài ra, bạn còn có thể tải về và sử dụng Wolfram Alpha như
add-ons trên trình duyệt hay gadget trên màn hình Desktop.

Slogan của Wolfram Alpha là bạn hãy nhập thứ mình muốn “biết hoặc tính toán” vào ô
tìm kiếm
Wolfram Alpha có cơ sở dữ liệu đồ sộ, đã qua hơn hai năm phát triển, nhưng hiện
tại vẫn mang mác Alpha. Khác với những bộ máy tìm kiếm đã xuất hiện (Google, Bing,
Yahoo!,…), Wolfram Alpha sẽ cho ra kết quả tìm kiếm cụ thể ngay trên màn hình chứ
không phải là các đường dẫn đến trang web của hãng thứ ba. Đặc biệt hơn cả là “trí
thông minh nhân tạo” của Wolfram Alpha còn giúp giải những bài toán cao cấp, là giải
pháp hữu hiệu cho giáo viên, học sinh, sinh viên trong học tập.

4


II. Ứng dụng của Wolfram Alpha trong toán học.
Tính đến thời điểm hiện tại Wolfram Alpha có trong tay hơn 10 nghìn tỉ dữ liệu
khác nhau, hơn 50.000 thuật toán và mô hình tổ chức thông tin, và khả năng ngôn ngữ có
thể xử lý thông tin ở hơn 1.000 lĩnh vực khác nhau. Ngoài ra công cụ tìm kiếm này còn
được tích hợp ứng dụng điện toán nổi tiếng Mathematica mà Wolfram Research đã phát
triển trong hơn 20 năm qua.
Nhờ được vận hành trên nền tảng cơ sở siêu máy tính bó (cluster) nên Wolfram
Alpha còn tận dụng được hết năng lực của những công nghệ thế hệ web và điện toán song
song mới nhất như webMathematica hay gridMathematica.
Wolfram Alpha có hầu hết các chức năng tính toán cơ bản của các bộ môn toán từ
sơ cấp đến cao cấp. Wolfram Alpha còn có thể được coi là một công cụ chuyên thực hiện
nhiều phép toán phức tạp mà Google đôi lúc phải bó tay.
Tìm đáp án cho một bài toán đạo hàm, tích phân, giải phương trình hay vẽ đồ
thị,…thì Wolfram Alpha sẽ là công cụ không thể thiếu. Wolfram Alpha có thể nhận biết
phép toán bạn nhập vào, thông qua các ký tự, từ ngữ được quy ước trước. Theo đó, có thể
gõ những phép toán đơn giản như trên ứng dụng Microsoft Office Excel thường dùng: +,
-, *, /, sqrt(x) - tính căn x, sqr(x) - tính bình phương của x,… và cả các công thức lượng
giác, chẳng hạn

,

. Với các phép toán đơn giản, bạn sẽ nhận được ngay kết

quả ở dưới khung nhập liệu, bên cạnh đó còn kèm theo một số thông tin liên quan.
Điểm đặc biệt của công cụ thông minh này là có thể suy luận logic và tìm ra quy
luật của một dãy số.
Tất cả những gì người dùng cần làm chỉ là truy cập vào địa chỉ

www.wolframalpha.com để sử dụng các công cụ tính toán mà thôi.
Các chức năng chính:
- Equation Solving (Giải phương trình, hệ phương trình).
- Polynomials (Tính toán các tính chất của đa thức nhiều biến, phân tích đa thức
thành nhân tử).
- Rational Functions (Tính toán các tính chất của hàm hữu tỉ).

5


- Vectors (Thực hiện các phép toán trên vector như tính độ dài, chuẩn hóa vector,
tích có hướng, chuyển đổi giữa các hệ tọa độ).
- Matrices & Linear Algebra (thực hiện các phép toán về ma trận, tính vết, hạng,
ma trận nghịch đảo, vector riêng, giá trị riêng, định thức, các phép biến đổi tuyến tính...).
- Finite Groups (tìm số nhóm hữu hạn với bậc cho trước, thông tin về một số nhóm
hữu hạn đặc biệt).
- Finite Fields (tính toán một số tính chất của trường hữu hạn).

Bảng tóm tắt các phép toán được sử dụng trong Wolfram Alpha

6


III. Tìm hiểu về ma trận thông qua website Wolfram Alpha.
1. Khái niệm ma trận.
Đầu tiên, ta tìm hiểu thế nào là ma trận. Như đã được học trong môn “ Đại số
tuyến tính ”, ma trận được định nghĩa như sau :
“ Ma trận cấp

trên

là hệ thống gồm m.n phần tử của

và được xếp bởi

m dòng, n cột :
[
và được kí hiệu là

]

”.

Vào địa chỉ website www.wolframalpha.com , nhập “ what is matrix? ” ta sẽ có
khái niệm về ma trận một cách rõ ràng và đầy đủ nhất.

Là con đường ngắn gọn và hữu ích của việc biểu diễn duy
nhất và làm việc với phép biến đổi tuyến tính. Đặc biệt, đối
với mỗi phép biến đổi tuyến tính, tồn tại chính xác một ma
trận tương ứng, và tất cả các ma trận tương ứng với duy nhất
một phép biến đổi tuyến tính. Ma trận là một khái niệm vô
cùng quan trọng trong đại số tuyến tính.

7


2. Giới thiệu về một số loại ma trận.
a. Ma trận đơn vị.

Ma trận đơn vị là một ma trận đường chéo không tầm thường

đơn giản nhất, được định nghĩa như sau: 𝐼 𝑋 ≡ 𝑋, với mọi
vectơ 𝑋. Ma trận đơn vị có thể được kí hiệu là 1, 𝑋 hoặc 𝐸
(sau này là chữ viết tắt của thuật ngữ Đức “ Einheitsmatrix”,
p.7). Ma trận đơn vị đôi khi còn được biết như ma trận unit.
Ma trận cấp 𝑛
𝛿𝑖𝑗 , với 𝑖, 𝑗

𝑛 được đưa ra một cách rõ ràng bởi 𝐼𝑖𝑗

1, ,

một cách rõ ràng, 𝐼

8

, 𝑛, trong đó 𝛿𝑖𝑗 là Kronecker delta. Viết
1 0
[0 1

⋯
⋯

0
0].

0 0

⋯

1

b. Ma trận vuông.

Là một ma trận mà kích thước ngang và dọc đều giống nhau (ví dụ, một 𝑛

𝑛

ma trận). Trong các phiên bản của Mathematica prior đến 6, một ma trận có thể
được đánh giá là vuông nếu sử dụng SquareMatrixQ[m] sau khi tải các gói
LinearAlgebra “MatrixManipulation”.
Xem xét các con số của 𝑛

𝑛 ma trận trên 𝑛 biểu tượng riêng biệt. Số lượng

ma trận phân biệt modulo quay và đối xứng với 𝑛

1, , . .. được đưa ra bởi

1, 3, 45360, . . . .
Hãy xem xét một ma trận 𝑛

𝑛 gồm các số nguyên từ 1 đến 𝑛 được sắp xếp

theo thứ tự bất kỳ. Sau đó, các yếu tố quyết định cực đại có thể cho 𝑛
1, , . .. là 1, 10, 41 , 40800, 6.839.49 , . . ..
Hãy xem xét một 𝑛

𝑛 ma trận với bản sao duy nhất của các chữ số

1, , . . . , 𝑑 và phần còn lại của các yếu tố không. Sau đó, hình tam giác của
𝑛

𝑛 ma trận với chữ số 𝑑

0, 1, . . . , 𝑛 có luân phiên và đối xứng là

1, 1, 1, 1, , 3, 3, 1, 3, 1 , 66, 378, 1890, 7560,

9

680, 45360, 45360; . . . .


c. Ma trận tam giác.

Một hình tam giác trên ma trận 𝑈 được xác định bởi:
𝑈𝑖𝑗

𝑎𝑖𝑗 𝑣ớ𝑖 𝑖 ≤ 𝑗
0 𝑣ớ𝑖 𝑖 > 𝑗

Viết một cách rõ ràng, 𝑈

𝑎
0
0

10

𝑎
𝑎
0

⋯ 𝑎
⋯ 𝑎

𝑛
𝑛

⋯ 𝑎𝑛𝑛


d. Ma trận đối xứng.

Một ma trận đối xứng là một ma trận vuông thỏa mãn
𝐴𝑇
𝑎𝑖𝑗

𝐴, trong đó 𝐴𝑇 biểu thị hoán vị, vì vậy
𝑎𝑗𝑖 . Điều này cũng có nghĩa 𝐴− . 𝐴𝑇

đó 𝐼 là ma trận đơn vị. Ví dụ, 𝐴
trận đối xứng.

11

4 1
1 −

𝐼, trong
là một ma


e. Ma trận trực giao.

Một 𝑛

𝑛 ma trận 𝐴 là một ma trận trực giao nếu 𝐴. 𝐴𝑇

𝐼,

trong đó 𝐴𝑇 là chuyển vị của 𝐴 và 𝐼 là ma trận đơn vị. Đặc
biệt, một ma trận trực giao luôn luôn là khả nghịch, và
𝐴−

𝐴𝑇 . Ở dạng thành phần, 𝑎−

𝑖𝑗

𝑎𝑗𝑖 . Mối quan hệ

này làm cho ma trận trực giao tính toán dễ dàng, kể từ khi tính
toán hoán vị là đơn giản hơn nhiều so với tính toán một
nghịch đảo.

12


f. Ma trận Hilbert.

13


g. Ma trận Hankel.

14


3. Các phép toán ma trận.
a. Cộng hai ma trận.
Ví dụ 1: Cộng hai ma trận sau:
1

−1

0
1

và

3
1

0
−5

4
1

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com.
B2: Nhập “ {{1,-1,0},{2,2,1}}+{{3,0,4},{1,-5,1}} ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

Ví dụ 2: Cộng hai ma trận sau:
1
[1
1

1
1
0

1
0]
0

và

15

1
[0
0

0
1
0

0
0]

1


b. Nhân vô hướng với ma trận.
Ví dụ 1: Cho ma trận

1

−1

0
và
1

− . Tính . .

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com.
B2: Nhập “(-2)*{{1,-1,0},{2,2,1}} ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

Ví dụ 2: Cho ma trận

1
[1
1

1
1
0

1

0] và
0

16

−1. Tính . .


c. Nhân hai ma trận.
Ví dụ 1: Nhân hai ma trận sau:
1

−1

0
1

và

3
[1
3

0
−5

4
1]
1

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com.
B2: Nhập “ {{1,-1,0},{2,2,1}}*{{3,0,4},{1,-5,1},{3,2,1}} ”, ta sẽ có được kết quả như hình
dưới:

Ví dụ 2: Nhân hai ma trận sau:
1
[1
1

1
1
0

1
0]
0

và

17

1
[0
0

0
1
0

0

0]
1


4. Chuyển vị của ma trận.
Ví dụ 1: Chuyển vị ma trận sau:
1

−1

0
1

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com.
B2: Nhập “ transpose {{1,-1,0},{2,2,1}} ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

Ví dụ 2: Chuyển vị ma trận sau:
3
[1
3

0
−5

18

4
1]
1

5. Ma trận khả nghịch.
Ví dụ: Tìm ma trận khả nghịch của ma trận sau:
3
[1
3

0
−5

4
1]
1

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com.
B2: Nhập “ inverse {{3,0,4},{1,-5,1},{3,2,1}} ” ( ta cũng có thể nhập vào web ngắn gọn
hơn là “ inv {{3,0,4},{1,-5,1},{3,2,1}} ” ) , ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

Ngoài ra, chúng ta cũng có thể nhập là “{{3,0,4},{1,-5,1},{3,2,1}}^(-1) ”, cũng có
được kết quả như hình trên.

19


Ta cũng có thể tìm được ma trận khả nghịch một cách tổng quát. Lấy ví dụ ma trận
vuông cấp 2 sau đây:

Hay ví dụ ma trận vuông cấp 3 sau:
[

]

20


6. Ma trận liên hợp.
Ví dụ 1: Tìm ma trận liên hợp của ma trận sau:
8
[6
−6

7
9
9

7

]

−

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com.
B2: Nhập “ adjugate {{8,7,7},{6,9,2},{-6,9,-2}} ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới:

Ví dụ 2: Tìm ma trận liên hợp của ma trận sau:
3
1

21

0
−5


7. Vết của ma trận.
Ví dụ: Tìm vết của ma trận sau:
9
[−9
−8

−6
4
−6

7
0]
4

B1: Vào trang web www.wolframalpha.com.
B2: Nhập “ trace {{9,-6,7},{-9,4,0},{-8,-6,4}} ”, hay ta cũng có thể nhập ngắn ngọn hơn là
“ tr {{9,-6,7},{-9,4,0},{-8,-6,4}}”, sẽ có được kết quả như hình dưới:

Ta có thể tìm được vết của một ma trận tổng quát, lấy ví dụ ma trận cấp 2 sau :

22


Wolfram Alpha còn vẽ cho chúng ta thấy một cách rõ ràng và chi tiết nhất về ma
trận tổng quát trên trong không gian.

23