Tiểu luận Phương trình hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ HỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN PHƯƠNG TRÌNH HÀM

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG
HÌNH HỌC

Học viên : Hoàng Đại Việt
Lớp : Cao Học Toán 2014 – 2016
Ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu


MỤC LỤC
1

Mở đầu............................................................................................

2

Chương 1. Phương trình hàm trong hình học

Hàm số chuyển đổi các tam giác
Chương 2. Một số bài tập áp dụng ………...........
Kết luận ……………………………………………………………........
Tài liệu tham khảo …………………………………………………......


MỞ ĐẦU
Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm số. Giải phương

trình hàm tức là đi tìm các hàm số chưa biết đó.
Phương trình hàm có rất nhiều ứng dụng trong đó phải kể đến ứng
dụng của phương trình hàm trong hình học.
Phương trình hàm cũng là một chuyên đề quan trọng bồi dưỡng học
sinh khá giỏi bậc trung học phổ thông. Các bài toán về phương trình hàm
thường có trong các đề thi học sinh giỏi toán trong và ngoài nước. Tuy
nhiên, cho đến nay, học sinh các trường chuyên lớp chọn nói riêng và người
giải toán nói chung còn biết rất ít các phương pháp chính thống để giải
phương trình hàm, thậm chí là lúng túng không biết định hướng khi tiếp cận
một phương trình hàm. Và đặc biệt là ứng dụng phương trình hàm trong hình
học.
Tiểu luận này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Tự Nhiên
Đại Học Quốc Gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Văn
Mậu. Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH
Nguyễn Văn Mậu, người thầy đã giảng dạy và giúp em hiểu sâu hơn các các
kiến thức về Phương trình hàm.
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạn chế
và thiếu sót. Em mong nhận được nhứng đóng góp ý kiến từ các thầy cô giáo
và các bạn để tiểu luận được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015


Chương 1
PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG HÌNH HỌC
1. Hàm số chuyển đổi các tam giác
Nhắc lại một số hệ thức đặc trưng đơn giản mô tả sự ràng buộc tự nhiên của các
yếu tố cạnh và góc trong tam giác
Tính chất 1.1. Điều kiện cần và đủ để ba số dương A, B, C là độ đo các góc
của một tam giác ABC là A + B + C = p
Tính chất 1.2. Điều kiện cần và đủ để ba số dương a, b, c (khi gắn với cùng

một đơn vị đo lường) lập thành độ dài các cạnh của một tam giác ABC là :
a + b > c,b + c > a,c + a > b
Nói cách khác, điều kiện cần và đủ để ba số dương a, b, c lập thành độ dài ba
cạnh một tam giác ABC là : |b – c| < a < |b + c|
Ta nghiên cứu tìm lời giải cho một số bài toán về xác định các hàm số thực hiện
phép chuyển tiếp các yếu tố hình học trong tam giác.
Bài toán I. Xác định các hàm số f(x) liên tục trong đoạn [0; p] sao cho f(A), f(B),
f(C) tạo thành độ đo các góc của một tam giác nào đó ứng với mọi tam giác
ABC cho trước.
Bài toán II. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R + sao cho f(a), f(b), f(c) tạo
thành độ đo các cạnh của một tam giác nào đố ứng với mọi tam giác ABC cho
trước.
Trướt hết ta khảo sát các đặc trưng hàm cơ bản của một hàm số sinh bởi các
phép biến hình sơ cấp dạng tịnh tiến, đồng dạng, phản xạ và nghịch đảo trên
đường thẳng thực

Chương II. CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG


Bài toán 1.1. Xác định a để hàm số f(x) = x + a có tính chất là f(a), f(b), f(c)
luôn lập thành độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC
cho trước.
Lời giải
+ Để f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết ta phải có :
f(a) > 0,f(b) > 0,f(c) > 0, "D ABC
+ Suy ra : a + a > 0,b + a > 0,c + a > 0, " D ABC
+ Hay : a > - a,b > - a,c > - a, " D ABC
+ Điều này tương đương với điều kiện : a > max { - a, - b,- c} , " D ABC
+ Do đó a ³ 0
+ Ngược lại, với a ³ 0 thì f(a), f(b), f(c) luôn là độ dài các cạnh của một tam

giác do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC.
+ Thật vậy, ta có :
ìï a + b > c ìï 2a + a + b > a + c ìï f(a) + f(b) > f(c)
ïï
ï
ï
ïí b + c > a Þ ïïí 2a + b + c > a + a Þ ïïí f(b) + f(c) > f(a)
ïï
ï
ï
ïï c + a > b ïïï 2a + c + a > a + b ïïï f(c) + f(a) > f(b)
î
î
î
+ Vậy với a ³ 0 thì hàm số f(x) = x + a có tính chất là f(a), f(b), f(c) luôn lập
thành độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
Bài toán 1.2. Xác định a để hàm số f(x) = ax có tính chất là f(a), f(b), f(c)
lập thành độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho
trước.
Lời giải
+ Để f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết ta phải có :
f(a) > 0,f(b) > 0,f(c) > 0, " D ABC
+ Suy ra : a a > 0, a b > 0, ac > 0, " D ABC Þ a > 0
+ Ngược lại, với a > 0 thì f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác do
a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác. Thậy vậy, ta có :
ìï a + b > c ìï a a + ab > a c ìï f(a) + f(b) > f(c)
ïï
ï
ï
ïí b + c > a Þ ïïí a b + a c > a a Þ ïïí f(b) + f(c) > f(a)

ïï
ï
ï
ïï c + a > b ïïï a c + a a > ab ïïï f(c) + f(a) > f(b)
î
î
î
+ Vậy a > 0 thì hàm số f(x) = ax có tính chất f(a), f(b), f(c) luôn lập thành
độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước.


Bài toán 1.3. Xác định cặp số a, b ga sao cho hàm số f(x) = ax + b có tính
chất là f(a), f(b), f(c) luôn lập thành độ dài các cạnh cảu một tam giác ứng với
mọi tam giác ABC cho trước.
Lời giải
+ Để f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết ta phải có :
f(a) > 0,f(b) > 0,f(c) > 0, " D ABC
+ Suy ra : a a + b > 0, a b + b > 0, a c + b > 0, " D ABC Þ a ³ 0. Thật vậy,
nếu a < 0 , thì ta có thể chọn tam giác ABC với cạnh a đủ lớn sao cho nhị thức
bậc nhất a a + b < 0.
+ Một cách tương tự ta cũng có b ³ 0, vì nếu b < 0, ta có thể chọn tam giác
ABC với cạnh a đủ nhỏ để nhị thức a a + b < 0.
+ Trường hợp a = b = 0 thì f º 0 không thỏa mãn bài toán.
+ Ngược lại, với a ³ 0, b ³ 0, a + b > 0 thì f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh
của một tam giác. Thật vậy, ta có :
ìï a + b > c ìï a a + ab + 2b > a c + b ìï f(a) + f(b) > f(c)
ïï
ï
ï
ïí b + c > a Þ ïïí a b + a c + 2b > a a + b Þ ïïí f(b) + f(c) > f(a)

ïï
ï
ï
ïï c + a > b ïïï a c + a a + 2b > a b + b ïïï f(c) + f(a) > f(b)
î
î
î
+ Vậy với a ³ 0, b ³ 0, a + b > 0 thì hàm số f(x) = ax + b có tính chất là f(a),
f(b), f(c) luôn lập thành độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác
ABC cho trước.
1
có tính chất f(a), f(b), f(c)
ax + b
là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
Lời giải
* Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết a ³ b ³ c . Thấy rằng phép nghịch
đảo g(x) = 1/x không có tính chất g(a), g(b), g(c) là độ dài các cạnh của một tam
giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước. Thật vậy, xét tam giác cân ABC có
a = b = 2, c = 1 thì :
1
1
g(a) = g(b) = ,g(c) = = 1 Þ g(a) + g(b) = g(c)
2
c
+ Để f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của tam giác, trước hết ta phải có :
f(a) > 0,f(b) > 0,f(c) > 0, " D ABC
Bài toán 1.4. Xác định

+ Suy ra :

a, b

để hàm số f(x) =

1
1
1
> 0,
> 0,
> 0. " D ABC
aa + b
ab + b
ac + b
hay a a + b > 0, a b + b > 0, ac + b> 0, "D ABC


+ Lập luận tương tự bài 3.9 ta được điều kiện a ³ 0, b ³ 0
* Nếu a = b = 0 thì f(x) không xác định,
1
* Nếu a = 0, b > 0 thì f(x) = là hàm hằng dương nên f(a) = f(b) = f(c) > 0
b
và đo đó f(a), f(b), f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác đều.
* Xét với a > 0, b > 0, khi đó với a ³ b ³ c ta có :
aa + b ³ ab + b ³ ac + b > 0
1
1
1
£
£
hay f(a) £ f(b) £ f(c)

aa + b ab + b ac + b
+ Ta cần xác định các số a > 0, b > 0 sao cho luôn có f(a) + f(b) > f(c) ứng với
mọi tam giác ABC thỏa mãn a ³ b ³ c , hay :
1
1
1
+
>
, "D ABC : a ³ b ³ c (*)
aa + b ab + b ac + b
+ Xét tam giác cân ABC đồng dạng với tam giác cân cạnh 3, 3, 1 tức là a = b =
3d, c = d với d > 0 tùy ý. Khi đó (*) có dạng :
1
1
1
2
1
+
>
,"d > 0 Û
>
,"d > 0
3da + b 3da + b da + b
3da + b da + b
+ Hay 2da + 2b> 3da + b, " d > 0, tức là : b> da, " d > 0. Điều này không
+ Suy ra

xảy ra với d đủ lớn.
1
có tính chất f(a), f(b),

ax + b
f(c) là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
+ Vậy chỉ với a = 0, b > 0 thì hàm số f(x) =

Bài toán 1.5. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;p],f(0) = 0và có
đạo hàm trong khoảng (0; p) sao cho f(A), f(B), f(C) tạo thành độ đo các góc
của một tam giác nào đó ứng với moi tam giác ABC cho trước.
Lời giải
ìï f(x) > 0, " x Î (0; p), f(0) = 0
ï
+ Ta cần xác định hàm khả vi f(x) sao cho : í
ïï f(A) + f(B) + f(C) = p
î
+ Theo giả thiết thì f(0) = 0 nên f(p) = p và C = p - (A + B) = p - A - B .
Suy ra :
f(A) + f(B) + f(p - A - B) = p, " A,B,A + B Î [0; p]
hay f(x) + f(y) + f(p - x - y) = p, " x, y, x + y Î [0; p]
+ Lấy đạo hàm trong khoảng (0; p) theo biến x, ta thu được :
f '(x) - f '(p - x - y) = 0, " x,y,x + y Î [0; p]


hay f '(x) = f '(p - x - y), " x, y, x + y Î [0; p]
+ Do đó f’(x) là hàm hằng trong khoảng (0; p) . Khi đó f(x) = px + q.
+ Do f(0) = 0 nên q = 0 và vì vậy f(x) = px. Lại có f(p) = p nên p = 1 và ta
được f(x) = x.
+ Vậy hàm số f(x) = x là hàm số liên tục trong đoạn [0;p] và có đạo hàm trong
khoảng (0; p) sao cho f(A), f(B), f(C) tạo thành độ đo các góc của một tam giác
nào đó ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
Bài toán 1.6. Xác định các hàm số f(x) liên tục trong đoạn [0;p] có f(0) = 0,
f(x) > 0, với moi x thuộc (0; p) và f(A), f(B), f(C) tạo thành đọ đo các góc của

một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
Lời giải
+ Ta phát biểu lại bài toán đã cho dưới dạng :
Xác định các hàm số f(x) liên tục trong đoạn [0; p] và :
ìï f(0) = 0, f(x) > 0, " x Î (0; p)
ï
í
(1)
ïï f(x) + f(y) + f(p - x - y) = p, " x, y Î (0; p), x + y < p
î
+ Do f(0) = 0 nên với y = 0, ta thu được :
f(x) + f(0) + f(p - x) = p, " x Î [0; p]
hay f(x) + f(p - x) = p, " x Î [0; p] (2)
+ Đặt f(x) = g(x) + x thì g(0) = 0 và g(x) là hàm liên tục trong đoạn
(2) trở thành :
x + g(x) + p - x + g(p - x) = p, " x Î [0;p]
hay

g(x) + g(p - x) = 0, " x Î [0; p]

và do đó

g(p - x) = - g(x), " x Î [0; p] (3)

[0; p].

Khi đó

+ Thế f(x) = x + g(x) vào (1) và sử dụng (3) ta thu được :
x + g(x) + y + g(y) + p - x - y + g(p - x - y) = p, " x, y Î [0; p],x + y £ p

hay

g(x) + g(y) + g(p - (x + y)) = 0, " x, y Î [0; p],x + y £ p

tức là

g(x) + g(y) - g(x + y) = 0, " x, y Î [0; p],x + y £ p

+ Suy ra : g(x) + g(y) = g(x + y), " x, y Î [0; p],x + y £ p (4)
+ Do g(x) là hàm liên tục trong đoạn [0;p] nên (4) là phương trình hàm Cauchy.
Khi đó, từ (4) suy ra g(x) = a x & f(x) = x + ax = (1+ a )x .
+ Để f(x) > 0, " x Î (0;p) ta cần có (1+ a )x > 0, " x Î (0; p) , hay 1+ a > 0 .
+ Để f(A) + f(B) + f(C) = p thì : (1+ a )A + (1+ a )B + (1+ a )C = p
hay (1+ a )(A + B + C) = p , tức là ta phải có

a =0


+ Vậy f(x) = x là hàm số duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài toán 1.7. Xác định các hàm số f(x) liên tục trong đoạn [0; p] sao cho f(A),
f(B), f(C) luôn tạo thành độ đo các góc của một tam giác nào đó ứng với mọi
tam giác ABC cho trước.
Lời giải
p
+ Ta thấy có hai hàm số hiển nhiên thỏa mãn bài toán, là f(x) = x và f(x) = .
3
+ Ta thay đổi cách phát biểu bài toán dưới dạng sau :
Xác định các hàm số f(x) liên tục trong đoạn [0; p] và :
f(x) > 0,f(x) + f(y) + f(p - x - y) = p, " x, y Î (0; p),x + y < p (1)
+ Cho

y® 0

ta thu được f(x) + f(0) + f(p - x) = p, " x Î (0; p)
f(p - x) = p - f(0) - f(x), " x Î (0; p)

hay

+ Thế vào (1) ta thu được :
f(x) + f(y) + [p - f(0) - f(x + y)] = p, " x,y Î (0; p), x + y £ p
hay

f(x) + f(y) = f(x + y) + f(0), " x, y Î [0; p],x + y £ p (2)

+ Đặt f(x) = f(0) + g(x). Khi đó g(x) liên tục trong đoạn [0; p] và (2) có dạng :
f(0) + g(x) + f(0) + g(y) = f(0) + g(x + y) + f(0), " x,y Î [0; p],x + y £ p
Û g(x) + g(y) = g(x + y), " x,y Î [0; p], x + y £ p (3)
+ Do g(x) liên tục trong đoạn [0; p] nên (3) là phương trình hàm Cauchy. Khi đó
(3) cho ta g(x) = a x Þ f(x) = ax + f(0) . Đặt f(0) = b ta được f(x) = ax + b
.
+ Ta cần xác định a, b để f(x) > 0, " x Î (0;p) và f(A) + f(B) + f(C) = p , hay
:
ïìï a x + b > 0, " x Î (0; p)
ïìï ax + b> 0, " x Î (0; p)
Û
í
í
ïï a A + b+ a B + b+ a C + b = p
ïï a(A + B + C) + 3b = p
î

î
ì
ï
ìï a x + b > 0, " x Î (0;p)
ïï ax + b > 0, " x Î (0; p)
ï
Û í
Û í
ïï ap + 3b = p
ïï b = 1- a p
î
ïî
3
1- a
p, " x Î (0; p) (4).
3
(1- a )p
+ Cho x ® 0, từ (4) suy ra :
³ 0 Û a £ 1.
3
1- a
1
+ Lại cho x ® p , từ (4) suy ra : ap +
p ³ 0Þ a ³ 3
2
+ Do đó, f(x) = ax +


1
£ a £ 1.

2
1
+ Với - < a < 1, hiển nhiên thỏa mãn. Ta xét các trường hợp còn lại :
2
1
1
p
+ Với a = - thì : f(x) = - x + thỏa mãn điều kiện bài ra vì
2
2
2
với 0 < x < p Þ f(x) > f(p) = 0 Þ f(x) > 0, " x Î (0;1)
+ Vậy -

+ Với a = 1 thì f(x) = x nên hiển nhiên thỏa điều kiện bài ra. Vậy các hàm số
cần tìm đều có dạng :
1- a
1
f(x) = ax +
p, - £ a £ 1
3
2
Bài toán 1.8. Xác định các hàm số f(x) liên tục trong đoạn [0; 1] sao cho f(a),
f(b), f(c) luôn là độ dài các cạnh của một tam giác nội tiếp trong đường tròn
đường kính 1 ứng với mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính 1 cho
trước.
Lời giải
+ Xét đường tròn O đường kính 1. Ký hiệu M(D) là tập hợp tất cả các tam giác
nội tiếp trong đường tròn O đó. Khi đó, điều kiện cần và đủ để ba số dương
a, b, g là ba góc của một tam giác thuộc M(D) là sin a,sin b,sin g tạo thành độ

đo các cạnh của một tam giác thuộc M(D) .
+ Thật vậy, khi a, b, g là ba góc của một tam giác thuộc M(D) thì theo định lý
hàm số sin, ta có 2R sin a,2R sin b,2R sin g lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam
giác đó tương ứng với 3 góc a, b, g .
+ Do 2R = 1 nên sin a,sin b,sin g là độ dài các cạnh của một tam giác nội tiếp
được trong đường tròn O đường kính 1.
+ Ngược lại, khi sin a,sin b,sin g là độ dài các cạnh tương ứng của tam giác
nội tiếp được trong đường tròn đường kính 1 thì do a, b, g là các góc dương nên
a, b, g là ba góc của một tam giác. Vậy, theo kết quả của bài toán 3.13. thì hàm
cần tìm có dạng :
æ
(1- a )pö
1
÷
÷
f(x) = arcsinç
ax +
,
£a£1
ç
÷
ç
÷ 2
3 ø
è
Bài toán 1.9. Xác định các hàm số f(x) liên tục trong R + sao cho f(a), f(b), f(c)
luôn tạo thành độ dài các cạnh của một tam giác nào đó ứng với mọi tam giác
ABC cho trước.
Lời giải
+ Theo kết quả của bài 3.14 thì f(a), f(b), f(c) xác định bởi :

æ
(1- a )pö
1
÷
÷
f(x) = arcsinç
,- £ a£ 1
ça x +
÷
÷ 2
ç
3 ø
è
sẽ tạo thành đọ đo các cạnh của một tam giác nội tiếp trong đường tròn đường
kính 1 ứng với mọi tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn đường kính 1 cho
trước. Vậy :
æ
(1- a )pö
1
÷
÷
f(x) = u.arcsinç
,- £ a£ 1
çax +
÷
÷ 2
ç
3 ø

è
ứng với u > 0 tùy ý, là hàm số thỏa mãn đề bài.

Tiếp theo, ta quan tâm đến bộ các hàm số thiết lập nên một dãy các tam giác
ứng với các giá trị tương ứng của đối số.
+ Trước hết, ta nhận thấy rằng nghiệm của phương trình vô định x 2 + y2 = z2
trong tập các số thực dương có thể mô tả dưới dạng tham số :
ïìï x = ucosv
æ pö
ïï
+
ç
÷
y
=
usinv
u
Î
R
,v
Î
0; ÷
ç
í
với
÷
ç
÷
ïï
è 2ø

z
=
u
ïï
î
æ pö
+
÷
ç0; ÷
Bài toán 1.10. Chứng minh rằng với mọi (u, v) trong đó u Î R ,v Î ç
đều
÷
÷
ç
è 2ø
tồn tại một tam giác mà số đo các cạnh là những số :
P1(u,v) = ucosv; P2(u, v) = usin v; P3(u,v) = u
æ pö
+
÷
ç0; ÷
và tam giác đó ứng với mọi (u, v) trong đó u Î R ,v Î ç
cho trước đều là
÷
÷
ç
è 2ø
tam giác vuông.
Lời giải
+

+ Dễ thấy rằng : P1(u, v) > 0,P2(u,v) > 0,P3(u,v) > 0, " u Î R , v Î

æ pö
ç
÷
0; ÷
ç
và
÷
ç
÷
è 2ø

luôn có :
[P1(u,v)]2 + [P2(u,v)]2 = [P3(u, v)]2
+ Từ đó suy ra P1(u, v) = ucosv; P2(u, v) = usinv; P3(u,v) = u là các cạnh
của một tam giác vuông có cạnh huyền P3(u, v).

Tiếp theo ta xét các bộ hàm số một biến trong lớp các đa thức tạo thành độ dài
các cạnh của một tam giác ứng với mọi đối số trong một miền cho trước.


Bài toán 1.11. Chứng minh rằng với mọi x > 1 đều tồn tại một tam giác mà số
đo các cạnh là những số :
P1(x) = x4 + x3 + 2x2 + x + 1; P2(x) = 2x3 + x2 + 2x + 1; P3(x) = x4 - 1
và các tam giác đó ứng với mọi x > 1 cho trước đều có góc lớn nhất như nhau.
Lời giải
+ Ta có :
P1(x) = (x2 + 1)(x2 + x + 1),P2(x) = (x2 + 1)(x2 + x + 1),P3(x) = (x2 + 1)(x2 - 1)
2

2
+ Đặt x + x + 1 = a,2x + 1 = b, x - 1 = c. Với mọi x > 1 thì hiển nhiên a >

0, b > 0, c > 0.
2
2
+ Khi đó : | b - c |=| x - 2x - 2|; b + c = x + 2x

+ Dễ thấy : | b - c |< a < b + c , tức là :
| x2 - 2x - 2|< x2 + x + 1 > x2 + 2x, " x > 1
+ Do đó : a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Suy ra :
P1(x) = a(x2 + 1),P2(x) = b(x2 + 1),P3(x) = c(x2 + 1)
cũng là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Cạnh có độ dài lớn nhất của tam giác
ứng với P1(x). Gọi a là góc lớn nhất của tam giác vừa nhận được. Khi đó, theo
định lý hàm số cosin ta có :
[P3(x)]2 = [P1(x)]2 + [P2(x)]2 - 2P1(x).P2(x)cosa
Û a2(x2 + 1)2 = b2(x2 + 1)2 + c2(x2 + 1)2 - 2bc(x2 + 1)2 cosa
b2 + c2 - a2
Û a = b + c - 2bccosa Û cosa =
2bc
1
2p
+ Thay a, b, c theo x ta được : cosa = - Þ a =
2
3
+ Vậy với mọi x > 1 thì P1(x), P2(x), P3(x) là số đo các cạnh của một tam giác
nào đó ứng với mọi x > 1 cho trước. Các tam giác nhận được đều có góc lớn nhất
2

là

2

2

2p
3

TÀI LIỆU THAM KHẢO


A. Tiếng việt.

[ 1]

Nguyễn Hữu Điển, Đa thức và ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục, 2003.

[ 2] Nguyễn văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ, Nhà xuất bản Giáo
dục, 2004.

[ 3] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, Nhà xuất bản Giáo dục, 1999.
[ 4] Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò, Tuyển tập các
bài dự tuyển Olimpic toán quốc tế, Nhà xuất bản Giáo dục, 2002.

[ 5] Nguyễn Văn Nho, Olimpic toán Châu Á – Thái Bình Dương, Nhà xuất
bản Giáo dục, 2003.
B.Tiếng anh.
B.J Venkatachala, functional equations a problem soving approach ( Problems
from mathematical Olympiads and other contests). Prism,2002
KẾT LUẬN

Như đã trình bày trong phần mở đầu, hiện nay, ở trường Phổ thông, nội dung về
phương trình hàm vẫn chưa được đề cập nhiều. Phần lớn các học sinh tiếp cận
với phương trình hàm là các học sinh lớp chuyên toán. Đa số các học sinh khi
tìm hiểu về phương trình hàm đều cảm thấy khó bởi vì đây là loại toán đòi hỏi ở
người làm toán phải vận dụng nhiều kiến thức khi giải, có khả năng tư duy tốt,
khả năng khái quát, phán đoán vấn đề….Vì vậy, việc nghiên cứu các phương
pháp giải phương trình hàm là rất cấp thiết, đặc biệt là ứng dụng trong hình
học, giúp người giải toán nói chung, và học sinh THPT nói rieng ngày càng tiếp
cận và yêu thích phương trình hàm hơn.