PHƯƠNG PHÁP TƯ DUY GIẢI 205 BÀI HÌNH HỌC PHẲNG OXY

- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

PHƯƠNG PHÁP TƯ DUY GI I 205 BÀI HÌNH H C PH NG OXY

Website: sưu tầm và đăng tải
Tác giả: Hứa Lâm Phong

De

Câu 1. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có AD = 2AB, g i M, N l n l t là trung
đi m c a c nh AD, BC. Trên đ ng th ng MN l y đi m K sao cho N là trung đi m c a đo n th ng MK.
Tìm t a đ các đ nh A, B, C, D bi t K (5; 1) , ph ng trình đ ng th ng ch a c nh AC : 2 x  y  3  0 và
đi m A có tung đ d ng. .

(Trích đ thi th t nh B c Ninh n m 2014)
Nh n xét và ý t

ng :

iTh

Th


c 2)

et
u.N

Bài toán trên có th chia thành hai b c:
+ B c 1: ch ng minh AC  KD (dùng gi thi t quan tr ng này đ làm ti p b

+ B c 2: v n d ng AC  KD vào vi c gi i tìm t a đ c a 4 đ nh A, B, C, D.
B c 1: Nh n xét đ u tiên sau khi d ng hình xong đó là phát hi n KD  AC.
có r t nhi u cách trong đó có th k đ n:

ch ng minh KD  AC



Cách 1: Ch ng minh KDC  ACD  90 (ch ng minh t ng 2 góc trong


m t tam giác b ng 90o suy ra góc DHC  90  Ta đã có DAC  ACD  90 nên ta c n ch ng minh
DAC  MKD (2 góc này b ng nhau do 2 tam giác MKD  ACD )
Cách 2: V n v i ý t






ng nh cách 1, ta ch ng minh HDC  ACD  90 đ suy ra DHC  90 

Ta đã có DAC  ACD  90  DAC  HDC (2 góc này b ng nhau do tan DAC  tan HDC , đ d hi u h n
chúng ta có th m r ng hình ch nh t ABCD thành hình vuông ADEF (và b n đ c s không còn quá xa l
v i vi c ch ng minh AC  KD)
Cách 3: D ng h tr c t a đ Bxy nh hình v  t a đ hóa các đi m và đi u ph i ch ng minh
t ng đ ng v i AC.KD  0 . (B n đ c có th xem hình v đ hi u rõ h n)
Cách 4: D a trên ý t ng ch ng minh AC.KD  0  Ta s d ng tích vô h ng gi a hai véct

a .b | a | .| b | .cos(a , b) . C th trong bài này ta s g i M = BC  KD  chuy n bài toán ch ng minh

AC.KD  0 thành AC.MD  0 (Ta s dùng quy t c “chèn đi m” đ t o ra các tích vô h

ng b ng 0 ho c các

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
1


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
c nh có đ dài và h p góc c th ).
Cách 5: Ta c ng có th ch ng minh “đi m thu c đ ng tròn” d a trên cách ch ng minh t giác
n i ti p. C th trong bài này ta s ch ng minh “H nhìn AK d i m t góc vuông”  Xét th y “M c ng
đang nhìn AK d i m t góc vuông ”  Ta s ch ng minh AMHK là t giác n i ti p  ta c n ch ng

De

minh DAC  MKD (2 góc liên ti p cùng nhìn 1 c nh MH b ng nhau) (vi c ch ng minh này c ng t ng t
nh cách 1 và cách 2).
Cách 6: Ta có th v n d ng “đ nh lý đ o Pytago” đ ch ng minh HCD  H  AC  KD 
đ th c hi n đi u này b n c n tính s đo c a 3 c nh HC, HD, CD theo 1 c nh còn l i ho c m t c nh cho
tr c đ ng th i v n d ng “đ nh lý thu n Thales” do xét th y IC  KD = H và IK // CD).
Ngoài ra các b n còn có th ch ng minh b ng cách “gián ti p đ i đ ng” chuy n t bài toán
ch ng minh vuông góc sang song song, ho c ch ng minh trong tam giác vuông đ ng trung tuy n xu t phát
t đ nh có góc vuông b ng n a c nh huy n, v,v,…
B
+H



Th

c 2: Sau khi đã ch ng minh AC  KD. Ta có th đi ti p theo hai h ng sau:
ng th 1: (t o thêm ph ng trình đ ng th ng m i)

_ Vi t ph ng trình KD  H = KD  AC  t a đ H.
_ V n d ng đ nh lý thu n Thales cách 6)  Ta tìm đ c t s đ dài HK và HD  chuy n

KH  kKD  KH  kKD, (k  0)  t a đ đi m D.
_ Vi t ph

ng trình đ

và AD t o v i AC m t góc  v i cos  

n  (a ; b), (a 2  b 2  0)

pháp tuy n là

AD
AD
2


AC
5
AD 2  CD 2

_ Sau khi vi t đ c ph ng trình AD  tìm đ c t a đ đi m A  t a đ tâm M  t a đ tâm I
c a hình ch nh t ABCD (d a trên quan h MK = 3MI  MK  3MI ).
_ Có t a đ tâm I (là trung đi m AC và BD)  t a đ c a B và C.

ng th 2: (tìm t a đ đi m A thông qua đ dài AK)

_ Vi t ph ng trình KD  H = KD  AC  t a đ H.
_ Tham s hóa đi m A theo đ ng AC  1 n nên c n m t ph ng trình  đ dài AK = ?
_ D a vào đ nh lý thu n Thales cách 6 ta tính đ c đ dài

iTh

+H

ng th ng AD qua đi m D và có véct

AK.

4
AH  AC

2
CD  KI

5
3
_ Có t a đ đi m A 
 t a đ C  t a đ trung đi m I 
 t a đ D  t a đ B.

et
u.N

H

ng d n gi i ch ng minh AC  KD : G i H = AC  KD

* Cách 1: Ta có MKD = ACD (c-g-c)  DAC  MKD .






Ta có: DAC  ACD  90  MKD  ACD  90  HDC  ACD  90


Suy ra DHC  90  HCD  H  AC  KD t i H
* Cách 2: D ng hình vuông ADEF sao cho K là trung đi m EF.
CD 1


tan DAC 


AD
2
Ta có: 
 tan DAC  tan MKD  DAC  MKD
 tan MKD  MD  1


MK 2






Ta có: DAC  ACD  90  KDE  ACD  90  HDC  ACD  90


Suy ra DHC  90  HCD  H  AC  KD t i H
* Cách 3: D ng h tr c Bxy nh hình v , t c nh AB = a > 0  AD = 2AB = 2a
Ta có: A(0; a ), C (2a ; 0), D(2a ; a ), K (a ; a )

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
2


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!


 AC  (2a ; a )
 AC.KD  2a 2  2a 2  0  AC  KD t i H
M t khác 

 KD  (a ; 2a )
* Cách 4: G i M = KD  BC.
Xét: AC.MD   AD  DC  .  MC  CD   AD.MC  DC.MC  AD.CD  DC.CD

iTh

Th

De

a


2
 AD.MC  AD.MC.cos( AD; MC )  2a . 2 cos 0  a

DC.MC  0 (do CD  MC )
nên AC.MD  a 2  a 2  0
V i 


AD.CD  0 (do AD  CD)

2

DC.CD  CD  a 2


Suy ra AC  MD  AC  KD t i H
* Cách 5:

Suy ra HC 

et
u.N

CD 1



tan DAC 



2
AD
Ta có: 
 tan DAC  tan KDE  DAC  KDE
 tan KDE  KE  1

DE 2

Suy ra t giác AMHK là t c giác n i ti p (2 góc liên ti p cùng nhìn 1 c nh b ng nhau)
Mà M nhìn AK d i m t góc vuông  H nhìn AK d i m t góc vuông  HAK  H
Suy ra AC  KD t i H
* Cách 6: G i M = KD  BC.
IH
HD IK 3
Ta có KI // CD và IC  KD = H, theo đ nh lý thu n Thales ta có:



HC HK CD 2

2
2
2CD 5
2

2
AC CD 5
IH  IC 

và HD  HK  KD 
3
5
5
3
5
5
5


CD 2
2

HC

5
Xét 
 HC 2  HD 2  CD 2 (theo đ nh lý đ o Pytago)  HCD  H  AC  KD
2
 HD 2  4CD

5


H ng d n gi i h ng th 1:
* G i H = AC  KD. Do KD  AC: 2x + y - 3 = 0  KD: x - 2y + m = 0.

KD qua K(5; -1)  m = -7. V y KD: x - 2y - 7 = 0

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
3


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
13

x

x
y



2
3
0


 13 11 
5
* T a đ H là nghi m c a hê: 

H ;

5 5 
x  2 y  7  0
 y  11


5

IH
HD IK 3
2
2
* Ta có


 (theo đ nh lý thu n Thales)  HD  KH  HD  KH
HC HK CD 2
3
3

De


13 2  13 
 xD  5  3  5  5 
 x 1



Suy ra 
 D
 D(1; 3)
 y  11  2  11  1  yD  3

 D 5 3  5



2
2
* G i n  (a ; b), (a  b  0) là véct pháp tuy n c a AD.

ng th ng AD qua D có d ng là: a(x - 1) + b(y + 3) = 0

Ta có cos CAD 

AD
AD
2


2
2
AC
5
AD  CD

Th

M t khác cos CAD | cos( AD; AC ) |

| n.nAC |
| 2a  b |
2



2
2
| n | . | nAC |
5
5 a b

b  0  AD : x  1  0

Suy ra (2a  b) 2  4(a 2  b 2 )  
3b  4a  AD : 3x  4 y 9  0
* TH1: V i AD: 3x + 4y + 9 = 0.

et
u.N

iTh

21

x

 2x  y  3  0

 21 27 
5
Ta có A = AD  AC  T a đ A là nghi m c a h 

 A ;

 5 5 

3x  4 y  9  0
 y  27

5

Lo i vì A có tung đ d ng.

* TH2: V i AD: x - 1 = 0
2 x  y  3  0  x  1

 A1;1
Ta có A = AD  AC  T a đ A là nghi m c a h 
 x 1  0
y 1
Nh n vì A có tung đ d ng.
Do M là trung đi m AD  M(1; - 1).

G i I là tâm hình ch nh t ABCD, ta có MK  3MI  I (2; 1)

M t khác I là trung đi m AC và BD  B(3;1) và C(3; -3)
V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là A(1;1), B(3;1), C (3; 3), D(1; 3)

H ng d n gi i h ng th 2:
* G i H = AC  KD. Do KD  AC: 2x + y - 3 = 0  KD: x - 2y + m = 0.
KD qua K(5; -1)  m = -7. V y KD: x - 2y - 7 = 0
13

x

2x  y  3  0


 13 11 
5
* T a đ H là nghi m c a hê: 

H ;

5 5 
x  2 y  7  0
 y  11

5

* Ta có A  AC: 2x + y - 3 = 0  A(a; 3 - 2a).

Do A có tung đ d

ng nên 3 - 2a > 0  a 

3
và KA  (a  5; 4  2a )
2

M t khác AK  KD  5 KH  5 d [ K; AC ]  5 . | 5.2  1.1  3 |  2 5
3

3

3

4 1

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
4


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
 a  1(n)
3
Suy ra AK  20  (a  5)  (4  2a )  20  
a  . V y A(1;1) .
21
 a  (l )
2
5

AC 3IC
AC 3 AC


IH
HD IK 3
AH AI  IH
5  2
10  4
* L i có


 


 2
HC HK CD 2
5
AC
AC
AC
AC
2

2

2

De

5  13 


 xC  1  4  5  1
 xC  3
5



Suy ra AC  AH  

 C (3; 3)
4
 y  1  5  11  1  yC  3
C




4 5


* G i I là tâm hình ch nh t ABCD  I là trung đi m AC và BD và I(2;-1)

Ta có

2
IK 3
I (2; 1)
  CD  IK  D(1; 3) 
 B(3;1)
3
CD 2

Th

L i bình: Có th th y bài toán đã v n d ng linh ho t r t nhi u k thu t, ph ng pháp đ gi i quy t các
đ i t ng c n tìm. V ph n ch ng minh vuông góc, nh các b n đã th y, v i nhi u ph ng án ti p c n khác
nhau chúng ta có nhi u cách ch ng minh khác nhau. Và sau khi đã ch ng minh đ c AC  KD thì c 2
h ng gi i sau đó ta th y đ c s c m nh c a vi c “v n d ng đ nh lý Thales” c ng nh cách mà chúng ta
“chuy n đ ng th c đ dài v đ ng th c véct ”.

Câu 2. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(4; 0) , ph ng trình đ ng th ng ch a
trung tuy n k t B c a tam giác ABC là 7 x  4 y  5  0 và ph ng trình đ ng th ng ch a trung tr c c nh
BC : 2 x  8 y  5  0 . Tìm t a đ các đi m B, C, D.

iTh

(Trích đ thi th kh i A, THPT Chuyên Lý T Tr ng, C n Th , n m 2014)

Nh n xét và ý t ng :
_ D dàng nh n th y BD : 7 x  4 y  5  0 . D a vào tinh ch t c a đ

ng trung tr c BC thì d v a vuông BC

+H
gi i.
H

et
u.N

nên d vuông AD  vi t ph ng trinh AD  AD  BD  D nên ta tìm đ c t a đ đi m D.
_ n đây đ tìm t a đ tìm đi m B và C thì ta ch c n tìm t a đ c a I là giao đi m c a 2 đ ng cheo AC
và BD. D a vào công th c trung đi m ta bi u di n t a đ B và C theo t a đ c a đi m I.
_ Cu i cùng có hai h ng đi ti p:
+ H ng th 1: G i K là trung đi m BC và bi u di n t a đ K theo t a đ B và C. Khi đó K c ng
thu c đ ng th ng trung tr c c a BC.
ng th 2: Ta có BC.ud  0 . Gi i ph

ng d n gi i :

* T gi thi t ta có BD : 7 x  4 y  5  0 .

ng trinh trên đ tìm B và C. M i b n đ c cùng xem l i

AD đi qua A(4;0) và vuông góc v i d : 2 x  8 y  5  0 suy ra ph

ng trình AD : 4 x  y  16  0

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
5


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
7 x  4 y  5  0

x  3

 D(3; 4)
 y  4
 4 x  y  16  0

* T a đ D th a mãn h 

* G i I (a ; b) là giao đi m c a 2 đ

 C (2a  4; 2b)
ng chéo AC và BD  
 B(2a  3; 2b  4)

 4a  7


; 2b  2 
 2

 a 1
 J d
4a  7  8(2b  2)  5  0 


* M t khác 
1
7a  4b  5  0
 I  BD 
b  2
Khi đó t a đ trung đi m c a BC là J 

De

Do đó t a đ c a B(-1; 3) và C(-2; -1)
V y t a đ các đi m c n tìm là B(1;3), C (2; 1), D(3; 4)

Th

L i bình: Có th th y đ c ngay vai trò c a giao đi m 2 đ ng chéo hình binh hanh trong vi c gi i quy t
bài toan tìm đi m trên. Trong các bài t p ví d minh h a, tác gi c ng nh n m nh đ n vi c chuy n các quan
h ch a bi t gi a các đi m v các quan h v i giao đi m trên.

Câu 3. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình thang cân ABCD đáy l n CD. Các đ ng th ng AC, BD l n
l t có ph ng trinh 2 x  y  1  0 và x  2 y  1  0 . G i M là trung đi m c a AB. Xác đ nh t a đ các đ nh
A, B, C, D bi t đ ng DM có ph ng trinh 3x  8 y  11  0 và B có hoành đ âm.
(Trích đ thi th THPT Nguy n

Nh n xét và ý t

c M u, Ngh An, n m 2013)

ng :

et
u.N

iTh
_ D dàng tìm đ c t a đ D do D  DB  DM và đ ng th i đi m m i I v i I  AC  BD .
_ Do tính ch t c a hình thang cân nên AC = BD nên IA = IB suy ra tam giác IAB cân t i I. Vì v y MI
vuông góc AB.
_ Ta có th tham s A theo AC, B theo BD (2 n nên c n 2 ph ng trinh) và bi u di n t a đ M theo t a
đ A và B. Do M thu c DM nên ta đ c pt (1). M t khác MI vuông AB (pt (2)). T đây gi i (1) và (2) ta
tìm đ c t a đ A và B.
_ Khi đó C  CD  AC nên ta ch c n l p ph ng trinh đ ng th ng CD qua D và CD // AB.
H ng d n gi i :



 x  2 y 1  0
 x7

 D(7; 4)
* Ta có t a đ D th a mãn h 
3x  8 y  11  0  y  4
1


x

x  2 y 1  0

 1 1 
3
Và t a đ I th a mãn h 

 I ; 
 3 3
2 x  y  1  0
 y1

3


Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
6


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

De

 a  2b  1 2a  b  1 
 A AC  A(a ;1  2a )
;

* Ta có 
. Ta l i có M là trung đi m AB nên M 


2
2


 B  BD  B(1  2b; b)
13a  2b  11

  a b  0
 IM  AB
 a 1

suy ra A(1;3), B(3; 1)
* M t khác, 
   a  b  2  
3
 M  DM
b  1


1
b 

2

* Ph ng trình CD qua D và nh n IM làm vecto pháp tuy n và C là giao đi m gi a AC và CD nên ta
có t a đ C (4; 7)
V y t a đ các đi m th a yêu c u bài toán là: A(1;3), B(3; 1), C (4; 7), D(7; 4)

Câu 4. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác đ u ABC n i ti p đ ng tròn (C): x  y  4 y  4  0 và

c nh AB có trung đi m M thu c đ ng th ng d : 2 x  y  1  0 . Vi t ph ng trình đ ng th ng ch a c nh
AB và tìm t a đ đi m C.
(Trích đ thi th l n 4, THPT Qu Võ, B c Ninh, n m 2013)
2

Th

Nh n xét và ý t

2

ng :



et
u.N

iTh
_

vi t ph ng trình đ ng AB ta ch c ch n ph i s d ng gi thi t liên quan đ n trung đi m M mà c th
đây là tìm t a đ đi m M. Do M thu c d nên ta ch c n tìm thêm 1 ph ng trinh liên h v i M.
_ đây, ta ch có th liên h M v i I thông qua đ dài MI (s d ng d ki n tam giác ABC đ u).
_ M t khác C c ng là giao đi m gi a MI và đ ng tròn (C) nên ta ch c n vi t ph ng trinh MI.

H ng d n gi i :
* (C) có tâm I (0; 2) và bán kinh R = 2 2 . G i t a đ đi m M (m; 2m  1)
* Do tam giác ABC đ u n i ti p (C) nên
 m 1

R
2
2
2
IM   m  (2m  3)  2  5m  12m  7  0  
m  7
2
5


* V i m = 1 suy ra M(1; 1)

Khi đó, AB qua M và nh n IM  (1; 1) có ph

M t khác ph

ng trinh: x  y  0

ng trình MC là MC : x  y  2  0 .

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
7


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!


 x  2, y  0

 x  2, y  4

 x  y  4x  4  0

Do đó t a đ C th a mãn h 

x y  2

2

2

Vì C(2;0) cùng phía v i M so v i I nên không th a mãn. Ta nh n C (2; 4)
*V im=

7 9
7
suy ra M  ; 
5
5 5
 7 1 
 có ph
5 5 

De

Khi đó, AB qua M và nh n IM   ;

M t khác ph

ng trinh: 7 x  y  2  0

ng trình MC là MC : x  7 y  14  0 .


14
12

x
,y





x
y
7
14
5
5
Do đó t a đ C th a mãn h 

 2
2
 x  14 , y  8
x  y  4x  4  0


5
5


 14 8 
 14 12 
;  cùng phía v i M so v i I nên không th a mãn. Ta nh n C  ; 
 5 5
 5 5

Th

Vì C 

V y yêu c u bài toán t

ng đ

  14 8 
;
C (2; 4)
C
ng v i 
hay   5 5 
 AB : x  y  0
 AB : 7 x  y  2  0


iTh

Câu 5. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC. Bi t ph ng trình các đ ng th ng ch a đ ng
cao BH, phân giác trong AD l n l t là 3x + 4y + 10 = 0, x – y + 1 = 0; đi m M(0; 2) thu c đ ng th ng
AB và MC = 2 . Tìm t a đ các đ nh tam giác ABC bi t r ng C có hoành đ nguyên.

(Trích đ thi th THPT Tuy Ph c, Bình nh, n m 2013)

et
u.N

Nh n xét và ý t ng :
_ D a vào tinh ch t c a phân giác ta d dàng tìm đ c đi m m i N (b n đ c có th xem l i ch ng 2 đ
hi u rõ h n).
_ Khi đó ta d dàng vi t đ c ph ng trinh AC vuông góc BH và qua N. ng th i tìm đ c đi m A do A
là giao đi m gi a AC và AD.
_ T i đây thì vi c tìm t a đ B b ng cách t ng giao 2 đ ng AB và BH (vi t ph ng trinh AB qua A và
M). V i t a đ C thì ta có th tham s hóa C theo đ ng AC và s d ng gi thi t MC  2 đ gi i tìm t a
đ C. M i b n đ c xem l i gi i.

H ng d n gi i:

* G i N là đi m đ i x ng v i M qua AD, đ
trình là: x  y  2  0 .

ng th ng MN qua M(0; 2) và vuông góc AD có ph

ng

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
8


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

1 3

2 2

T a đ giao đi m K c a MN và AD là K  ;  suy ra t a đ N (1;1)
* Vì AD là phân giác trong góc A, M thu c AB nên N thu c AC. Do đó AC qua N và vuông góc BH
nên có ph ng trình: 4 x  3 y  1  0
4 x  3 y  1  0

x  4

 A(4;5)
1
0
5
x
y
y






ng th ng AB qua A và M có ph ng trình là 3x  4 y  8  0 .

Ta có t a đ A th a mãn h 
*

De



 x  3
1 
 3x  4 y  8  0


Ta có t a đ B th a mãn h 

1  B  3; 
4 
y

3 x  4 y  10  0

4


* Ta có MC  2 nên C thu c đ ng tròn (C) tâm M, bán kinh MC  2 . Ngoài ra C thu c AC nên
t a đ C là nghi m c a h :

Th

 x  1, y  1
 x2  ( y  2) 2  2


31
33 (do C có hoành đ nguyên ta nh n C(1;1)


x

y


,
x
y



4
3
1
0

25
25





V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là A(4;5), B  3;

1 
 , C (1;1)
4

iTh

Câu 6. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có A(5; 7) , đi m C thu c đ

ng th ng đi qua D và trung đi m c a đo n th ng AB có ph
th ng có ph ng trinh x  y  4  0 .
trình 3x  4 y  23  0 . Tìm t a đ đi m B và C, Bi t B có hoành đ d ng.

ng
ng

(Trích đ thi th THPT Chuyên V nh Phúc, n m 2014)

Nh n xét và ý t ng :
_ Ta liên h quan h gi a 4 đi m đ c bi t A, M, C, D b ng cách cho AC c t DM t i I.
_ V n d ng đ nh lý Thales thu n quen thu c ta có đ

c t s đ dài gi a các c nh

CD IC ID


 2. T
AM IA IM

et
u.N

đây ta có th tham s hóa C theo đ ng th ng x – y + 4 = 0 và đ ng th i bi u di n t a đ I theo A và C.
_ L i có I thu c đ ng th ng DM nên thay vào ta s tìm đ c t a đ c a đi m C.
_
xác đ nh t a đ đi m B ta liên h qua trung đi m M thu c DM và s d ng tính ch t c a hình ch nh t
ABCD là AB  BC đ gi i tìm t a đ đi m B.
H ng d n gi i:

* Ta có C  x  y  4  0  C (c; c  4) , M là trung đi m AB và I là giao đi m AC và DM.
* Theo đ nh lý Thales thu n ta có

CD IC ID
1
 c  10 c  10 


 2  AI  AC  I 
;

AM IA IM
3
3 
 3

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
9


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

M t khác I thu c DM nên ta có 3




* Ta có M thu c MD  M  m;

c  10
c  10
4
 23  0  c  1  C (1;5)
3
3

3m  23 
3m  9 

  B  2m  5;

4 
2 


De


3m  5 

 AB   2m  10; 2 
 3m  5  3m  19 



Và 
. L i có AB.CB  0  (2m  10)(2m  6)  

0

 2  2 
CB   2m  6; 3m  19 



2 



Suy ra m  1 hay m 

29
5

 33 21 
;  . Do B có hoành đ d
 5 5

* Do đó B(3; 3) hay B 

 33 21 
; 
 5 5 

ng nên ta nh n B 

 33 21 
;  , C (1;5)
 5 5

Th

V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là B 

Câu 7. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 12 . Tâm I là giao đi m c a
hai đ

ng th ng

đi m c a

d1 : x  y  3  0

và đ

ng th ng

d2 : x  y  6  0

. Trung đi m c a c nh AD là giao

d1 v i tr c hoành. Xác đ nh t a đ b n đ nh c a hình ch nh t.

iTh

(Trích đ thi th l n 2, THPT Thanh Ch

ng 3, Ngh An, n m 2013)

Nh n xét và ý t ng :

_ V i g i ý c a đ bài ta d dàng xác đ nh đ c t a đ c a trung đi m M và tâm I. i u này giúp ta d
dàng vi t ph ng trình đ ng th ng AD qua M và AD vuông góc v i MI.
_
i v i hình ch nh t thì luôn có m t đ ng tròn n minh chinh là đ ng tròn tâm I bán kinh IA. Nh
v y ta c n xác đ nh đ dài IA. đây ta d a vào quan h c a di n tích hình ch nh t đ tính đ dài IA.
_ Khi đó A và D là giao đi m đ ng tròn trên và đ ng th ng AD. Và đ ng th i t a đ B và D thì tìm
đ c d a vào tâm I c a hình ch nh t.

H ng d n gi i :

et
u.N

9 3
x  y  3  0
 I ;  .
* T a đ I là nghi m c a h : 
2 2
x  y  6  0

y  0
 M (3;0)
G i M là trung đi m c a AD, T a đ c a M là nghi m c a h 
x  y  3  0
Suy ra AB = 2 IM = 3 2 .

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
10

- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
* M t khác SABCD  AB. AD  AD  SABCD  12  2 2 .
AB

3 2

Vì M, I cùng thu c d1 suy ra AD  d1 .
V y AD đi qua đi m M và nh n n  (1;1) làm vtpt có ph
* L i có MA = MD =

AD

2

ng trình: x  3  y  0  x  y  3  0 .


x  y  3  0
.
2 . T a đ đi m A, D là nghi m c a h 
2
2
x
3
y
2









De

x  2
x  4
hay 

Ch n A(2;1); D(4; 1)
y 1
 y  1
* Các đi m C, B l n l t đ i x ng v i A, B qua I. Suy ra t a đ đi m C(7; 2); B(5;4)
V y t a đ các đi m c n tìm là A(2;1); B(5; 4), C (7; 2); D(4; 1)

Câu 8. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 22, bi t r ng các đ ng
th ng AB, BD l n l t có ph ng trinh là 3 x  4 y  1  0 và 2 x  y  3  0 . Tìm t a đ các đ nh A, B, C, D.

Th

(Trích đ thi th kh i A, THPT B m S n, Thanh Hóa, n m 2013)

Nh n xét và ý t

ng :

iTh

et
u.N

_ D dàng tìm đ c t a đ đi m B do B  BD  AB . Ngoài vi c s d ng các đ ng th ng tìm đi m m i ta
còn có th tính góc gi a các đ ng đ tìm quan h gi a các c nh t đó chuy n v quan h đ dài và di n
t ch. C th trong bài này là cos ABD  cos( AB; BD)  ?  tan ABD 

AD
và
AB

SABCD  AD. AB .

_ n đây ta có th tham s hóa D theo BD ho c A theo AB đ liên h đ dài AD ho c AB.
_ Khi đã có t a đ đi m D ta có th vi t ph ng trình AD qua D vuông góc AB đ t đó tìm d dàng t a
đ đi m A  AD  AB . n đây ta có th dùng quan h vecto đ tìm đi m C th a AB  DC
H ng d n gi i :



3x  4 y  1  0

x  1

 B(1; 1)
 y  1
 2x  y  3  0
| 3.2  4.1|
2

11 AD
(1)

 tan ABD  
2
2
2
2
2 AB
5 5
3  4 2  (1)

* T a đ B th a mãn h 
* Ta có cos ABD 

 AB  2
M t khác SABCD  AB. AD  22  
 AD  11

* Vì D  BD  D(d ;3  2d ) . Ta có AD  d [ D; AB] 

 d 6
|11d  11|
 11  
5
 d  4

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
11

- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
* V i d = 6 suy ra D(6; 9). Ph

ng trình AD đi qua A, vuông góc v i AB là 4 x  3 y  3  0

 3 1 
 38 39 
 A  AD  AB   ;   C  ; 
 5 5
 5 5 
* V i d = -4 suy ra D(-4; -11). Ph

ng trình AD đi qua A, vuông góc v i AB là 4 x  3 y  17  0

 13 11 
 28 49 
 A  AD  AB   ;
;
C

5 
5 5 
 5

De

  3 1 
 38 39 
 A 5 ; 5  , B 1; 1 , C  5 ; 5  , D(6;9)





V y t a đ đi m th a c n tìm là: 
  13 11 
 28 49 
;
 A ;
 , B 1; 1 , C 
 , D( 4; 11)
5 
 5
 5 5 

Th

Câu 9. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có ph ng trinh đ ng cao AH và trung tuy n AM
l n l t là: x  2 y  13  0 và 13x  6 y  9  0 . Bi t tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác tam giác ABC là
I ( 5;1) . Tìm t a đ các đ nh A, B, C

Nh n xét và ý t

(Trích đ thi th THPT Hà Trung, Thanh Hóa, n m 2013)

ng :

iTh

et
u.N

_ D dàng tìm đ c t a đ A (giao đi m AH và AM).
ng th i ta có th vi t ph ng trình IM // AH và
qua H (do tính ch t đ c bi t c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.
_ Khi đó M chinh là giao đi m c a IM và AM nên tìm đ c t a đ c a đi m M.
_ n đây ta đã có th vi t ph ng trình đ ng BC qua M và vuông AH.
_ T a đ B và C chinh là giao đi m gi a BC và đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.
H ng d n gi i :
 x  2 y  13  0

 x  3

 A(3; 8)
 y  8
13x  6 y  9  0
* Ta có IM qua I(-5;1) và song song AH. Ph ng trình IM là x  2 y  7  0 .

* T a đ A là nghi m c a h 

 x 2y  7  0

x  3

 M (3;5)
y  5
13x  6 y  9  0
ng th ng BC qua M và vuông góc AH. Ph ng trình BC là 2 x  y  11  0

T a đ M là nghi m c a h 
*

Do đó B  BC  B(b;11  2b)

b  2
L i có: IB  IA  (b  5) 2  (10  2b) 2  85  b 2  6b  8  0  
b  4
* V i b = 2 suy ra B(2; 7), C(4; 3)
* V i b = 4 suy ra B(4; 3), C(2; 7)

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
12


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là A(3; 8), B(2; 7), C (4;3) hay A( 3; 8), B(4;3), C (2; 7)
Câu 10. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ ng tròn (C ) : ( x  1)  ( y  2)  1 . Ch ng minh r ng t đi m
M b t k trên đ ng th ng d : x  y  3  0 luôn k đ c hai ti p tuy n đ n đ ng tròn (C). G i hai ti p
2

đi m A, B. Tìm t a đ đi m M đ kho ng cách t J (1;1) đ n đ

2

ng th ng AB b ng

3
2

Th

De

(Trích đ thi th kh i B, THPT Chuyên B c Ninh, n m 2013)
Nh n xét và ý t ng : ( hi u rõ cách gi i bài này b n nên tham kh o v m ng ki n th c tr c đ ng
ph ng gi a hai đ ng tròn ch đ 2.3, ch ng 2)

et
u.N

iTh

_
ch ng minh v i m i M ta đ u k đ c 2 ti p tuy n đ n đ ng tròn (C) ngh a là đ bài đang mu n
ki m tra ta có n m v ng ki n th c v xét v trí t ng đ i gi a đi m và đ ng tròn không. đây ta có th
ch ng minh theo 2 h ng nh sau
+ H ng th 1: tính đ dài IM và ch ng t IM > R suy ra đi u ph i ch ng minh. cách này b n
b t bu c ph i tham s hóa đi m M theo đ ng th ng d cho tr c.
+ H ng th 2: đó tính kho ng cách t tâm I đ n đ ng th ng d và ch ng t kho ng cách y l n
h n R.
_
xác đ nh t a đ đi m M ch c ch n ta ph i bi u di n ph ng trình đ ng th ng AB theo tham s c a
đi m M, nh đã đ c p tr c đó, AB chinh là tr c đ ng ph ng c a 2 đ ng tròn (C) và (C’) có tâm M bán
kinh AM.
_ Sau khi thi t l p ph ng trình AB ta s d ng gi thi t cu i cùng là kho ng cách t J đ n AB đ gi i tìm
t a đ đi m M.

H ng d n gi i :

* Ta có : (C) có tâm I(1; 2) và bán kinh R = 1 suy ra d [ I ; d ]  |1  2  3 |  2  1  R
2

Suy ra m i đi m M thu c đ
hai ti p tuy n đ n (C).

ng th ng d đ u n m ngoài đ

ng tròn (C) suy ra t M luôn k đ

c

* G i M (m; m  3)  IM  2m  2  MA  MI  R  2m  1
Do đó đ ng tròn (C’) có tâm M bán kinh MA có ph ng trình:
2

2

2

2

2

2

(C') : ( x  m)2  ( y  m  3)2  2m2  1
* Vì  A; B  (C) (C ') suy ra t a đ A, B đ u th a ph

ng trình:

( x  m) 2  ( y  m  3) 2   ( x  1) 2  ( y  2) 2   2m2  (1  m) x  (1  m) y  3m  2  0

Do đó ph

ng trình đ

ng AB là AB : (1  m) x  (1  m) y  3m  2  0

 m 1
3
| m 2 |
3
2
* Theo gi thi t ta có: d [ J ; AB]  
  7 m  8m  1  0  
m  1
2
2  2m2 2
7


Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
13


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

 1 22 


7 7 

V y t a đ đi m M th a yêu c u bài toán là: M (1; 4) hay M  ;

Câu 11. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC vuông t i A có AB = 2AC, ph

ng trinh đ

ng

 4
 3

th ng ch a c nh AC là 2 x  y  2  0 , đi m G  2;  là tr ng tâm tam giác ABC. Tìm t a đ các đ nh A, B,

De

C bi t A có hoành đ l n h n

Nh n xét và ý t



1
.
2

(Trích đ thi th kh i B, THPT Chuyên B c Ninh, n m 2013)

ng :

Th



iTh

et
u.N

_ Bài toán có th phân tích theo hai h ng sau:
+ H ng th 1: Tham s hóa t a đ A và C theo AC và thông qua tr ng tâm G ta bi u di n t a đ
B theo A và C. Khi đó ta có 2 n nên c n 2 ph ng trình g m có pt (1) là AB = 2AC, pt (2) là AB  AC
+ H ng th 2: Vi t ph ng trình AG qua G vào khuy t vecto pháp tuy n c a AG. Ta tìm vecto
pháp tuy n đó thông qua quan h góc AGC  BCA do đã có t l c nh AB = 2AC. Khi vi t đ c ph ng
trình AG ta d dàng tìm đ c t a đ đi m A  AC  AG . n đây ta có th l p ti p ph ng trình AB qua A
vuông góc AC. S d ng công th c tr ng tâm G (ng m n 2 ph ng trình) và tham s hóa B theo AB, C theo
AC đ gi i tìm t a đ đi m B và C.
H ng d n gi i:

* Ta có AB = 2AC nên cos GAC  cos ACB  1 .
5

2
2
ng th ng AG đi qua G có vecto pháp tuy n n  (a ; b), (a  b  0) nên có ph

ng trình:

4


AG : a ( x  2)  b  y    0
3

* M t khác cos GAC  cos(AG; AC) 
* V i a = 0, ta ch n b = 1  AG : y 

| 2a  b |

5 a 2  b2

4
 0.
3



 a 0
1
 3a 2  4ab  0  
5
3a  4b

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
14


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
1



4
x


1
 y  0

1 4
3
Khi đó t a đ A là nghi m c a h 

 A ;  (lo i do xA  )
3
2
3 3
2 x  y  2  0
y  4


3



* V i 3a = -4b, ta ch n b = -3 nên a = 4  AG : 4 x  3 y  4  0.
4 x  3 y  4  0.

1
x  1


 A1;0  (nh n do xA  )
2
y  0
 2x  y  2  0

Khi đó t a đ A là nghi m c a h 

De
* Ph

ng trình AB qua A và vuông góc AC nên có d ng: AB : x  2 y  1  0

 B  AB  B(2b  1; b)

.
Khi đó 
C  AC C (c; 2  2c)


2  2b  c  6 b  2  B(5; 2)


b  2  2c  4  c  0 C (0; 2)

M t khác G là tr ng tâm tam giác ABC nên ta có 

V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là A(1; 0), B(5; 2), C (0; 2)

Th

Câu 12. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC, đ ng phân giác trong c a góc A và đ ng cao k
ng th ng AC đi qua đi m M(0; -1), bi t
t đ nh C l n l t có ph ng trình x  y  0 , 2 x  y  3  0 .
AB  3AM . Tìm t a đ đ nh B.
(Trích đ thi th l n 1, THPT Chu V n An, Hà N i, n m 2014)

Nh n xét và ý t

ng :

et
u.N

iTh



_ D a vào tính ch t c a đ ng phân giác ta tìm thêm đ c đi m m i N là đi m đ i x ng c a M qua phân
giác AD.
_ Khi đó ta d dàng vi t đ c ph ng trình AB qua N và AB vuông góc HC. Và đ ng th i tìm đ c t a đ
c a đi m A th a A  AD  AB
_ D ki n còn l i mà ta ch a dùng đó là AB  3AM , ng m n c a d ki n này là đ dài vì v y ta tính c
th đ dài AM đ suy ra đ dài AB.
_ n đây ta có th mã hóa t a đ đi m B theo đ ng AB và liên h v i đ dài AB đ gi i tìm t a đ B.
H ng d n gi i :
* t AD : x  y  0, CH : 2 x  y  3  0 .
G i M ' là đi m đ i x ng v i M qua đ
*

ng phân giác AD  M ' AB . Ta tìm đ

c M ' (1;0) .

ng th ng AB qua M’ và vuông góc v i CH nên có pt AB : x  2 y  1  0

x  y  0
x  1

 A(1;1)
x  2 y 1  0
y 1

A  AB  AH nên t a đ A là nghi m c a h 
* Theo đ bài, ta có: AB  3 AM  AB  3 5

 B thu c đ ng tròn (C’) tâm A bán kính R  3 5

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
15


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
(C’): ( x  1)  ( y  1)  45 .
2

2

 x  5
x  7
ho

c



2
2
 y  2
y  4
( x  1)  ( y  1)  45
x  2 y  1  0

* B  AB  (C ' )  t a đ B là nghi m c a h 

V y t a đ đi m B c n tìm là : B(7; 4) hay B(5; 2)
Câu 13. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho elip (E): 4 x  9 y  36 có hai tiêu đi m F1 , F2 l n l
2

De

t n m phía

bên trái và bên ph i c a đi m O. Tìm t a đ đi m M thu c (E) sao cho MF1  2MF2 đ t giá tr nh nh t.
Tìm giá tr nh nh t đó.
(Trích đ thi th l n 1, THPT Chu V n An, Hà N i, n m 2014)
H

2

2

ng d n gi i :


a 2  9

x
y
2
 1  b 2  4
* (E): 4 x  9 y  36  
9 4
c 2  a 2  b 2  5

2

2

Th

2
2
5
* Gi s M ( x0 ; y0 )  ( E ) ,ta có x0  y0  1 ,v i  3  x0  3 , ta có e 

9

3

4

Ta đ t P  MF12  2MF22  a  ex0   2a  ex0   3a 2  2aex0  3e2 x02
Nên P  27  2.3.

2

2

5
5
5
3 2 81 
x0  3. x02   x02  2.
x0  
3
9
3
5
5

iTh

* Xét f ( x0 )  x02  2. 3 x0  81 trên đo n  3;3 có f ' ( x0 )  2 x0  6
5

5

f ' ( x0 )  0  x0 

3 . L p BBT c a hàm s
5

5

f ( x0 ) trên  3;3

5 108
 3  108
 min P  .
 36
* T b ng bi n thiên ta có: min f ( x0 )  f 

x0  3;3
3 5
5
 5
4 
 3
;
* V y min P  36 khi x  3 khi đó M 

5
5
 5
ng đ

et
u.N

V y yêu c u bài toán t

4 
 3
;
 , min P  36
5
 5

ng v i M 

Câu 14. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A(3; 4) , đ ng phân giác trong góc A có
ph ng trình x  y  1  0 và tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC là I (1; 7) . Vi t ph ng trình c nh BC,
bi t di n tích tam giác ABC g p 4 l n di n tích tam giác IBC.
(Trích đ thi th l n 1, THPT oàn Th ng, H i D ng, n m 2014)

Nh n xét và ý t

ng :

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
16


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

De

Th

_ V i tính ch t đ c bi t c a phân giác trong ta có giao đi m c a phân giác AD c t đ ng tròn (C) ngo i
ti p tam giác ABC chính là đi m gi a cung nh BC.
_ Khi đã tìm đ c t a đ D thì vi c g i d ng c a ph ng trình BC r t d dàng.
_ T quan h di n tích gi a 2 tam giác ABC và IBC ta chuy n v quan h kho ng cách t A và I đ n BC.
T đây tìm đ c đ ng BC. SABC  4SIBC  d[ A; BC ]  4d[ I ; BC ]
H ng d n gi i:
* Ta có: IA = 5. Ph

ng trình đ

ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có d ng:

(C ) : ( x  1)2  ( y  7)2  25

iTh

* G i D là giao đi m th hai c a đ

ng phân giác trong góc A v i đ

( x  1)  ( y  7)  25
 D(2;3)

x  y 1  0

2

ng tròn (C). T a đ D th a mãn:

2



* Vì AD là phân giác trong c a góc A nên D là đi m chính gi a cung nh BC. Do đó ID  BC hay
đ

ng th ng BC nh n DI  (3; 4) làm vecto pháp tuy n. Do đó ph

ng trình c nh BC là:

BC : 3 x  4 y  m  0

V y ph

et
u.N

* Do SABC  4SIBC

114

m

| 7  m | | 31  m |
3
 d [ A; BC ]  4d [ I ; BC ] 



5
5
 m  131

5

ng trình BC là 9 x  12 y  114  0 hay 15 x  20 y  131  0

Câu 15. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ
đi m A(3; 5), B(7; 3) . Tìm đi m M trên đ

ng tròn (C) có ph

ng trình x  y  x  4 y  2  0 và các
2

2

ng tròn (C) sao cho MA2  MB2 đ t giá tr nh nh t.

(Trích đ thi th l n 1, THPT Yên Thành 2, Ngh An, n m 2012)
Nh n xét và ý t

ng :



Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
17

- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

De

_ V i bài toán max – min thì trong ba h ng t duy ta có th v n d ng b ng cách chuy n bi u th c đang
c n tìm max – min sang m t bi u th c khác t ng d th c hi n h n.
2
đây MA2  MB2  2MH 2  AB . Nh v y yêu c u bài toán t

_

H
*

2

ng đ

ng v i MH đ t giá tr nh nh t.

ng d n gi i :

1
2




ng tròn (C) có tâm I  ; 2  , R 

Th

5
.
2

G i H là trung đi m AB suy ra H (5; 4)
2
* Xét tam giác MAB ta có: MA2  MB2  2MH 2  AB

2

Nh n xét A, B, H đ u là các đi m c đ nh. Vì v y  MA2  MB2    MH 2 
min
min

iTh

Hay M là giao đi m c a IH v i (C)
 x  5  3t
( t  R) , thay vào ph ng trình đ ng tròn ta đ c:
* IH : 
 y  4  4t
t  1  M (2;0)
t 2  3t  2  0  
.
t  2  M (1; 4)
Xét kho ng cách t ng đi m M tìm đ c đ n AB ta nh n M(2; 0)
V y t a đ đi m M c n tìm là M (2;0)

Câu 16. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có tr c tâm H. Bi t đ

ng tròn ngo i ti p tam

2

et
u.N

giác ABC là x  y  3x  5 y  6  0 , H thu c đ ng th ng d : 3x  y  4  0 , t a đ trung đi m AB là
M (2;3) . Xác đ nh t a đ các đ nh c a tam giác bi t hoành đ c a A l n h n 1.
2

(Trích đ thi th THPT Hàm R ng, Thanh Hóa, n m 2013)
Nh n xét và ý t

ng :

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
18


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

De

_ D a vào cách d ng tâm ngo i (giao đi m gi a các đ ng trung tr c các c nh tam giác) do đó ta có th

vi t ph ng trình AB qua M và AB vuông góc MI (v i I là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC).
_ Khi đó A, B chính là giao đi m gi a đ ng tròn (C) và đ ng th ng AB. V n đ còn l i tìm t a đ đi m
C nh th nào ?
_ V đ ng kinh AD theo b đ đã ch ng minh ch ng 1 ta có BHCD là hình bình hành và N là trung
đi m c a HD và BC. (d ki n cu i cùng ch a dùng là H thu c đ ng d). Ta đ t t a đ C(a; b) (2 n nên c n
2 ph ng trình)
+ Ph ng trình (1) là C thu c đ ng tròn (C)
+ Ph ng trình (2) là khi bi u di n t a đ N theo t a đ C và bi u di n t a đ H theo N. Cho H
thu c đ ng th ng d.
H ng d n gi i :

1 5
2 2

* Ta có tâm I  ;  . Do IM vuông góc AB nên AB nh n IM làm vecto pháp tuy n nên AB có d ng:
AB : x  y  5  0

Th

* T a đ A và B là nghi m c a h :

 x2  y2  3x  5 y  6  25
 A(3; 2), B(1; 4)

x y5  0


 a 1 b  4 
;


2 
 2

* G i C (a; b) , t a đ trung đi m N c a BC là N 



* Do đó H thu c đ

iTh

G i D là đi m đ i x ng v i A qua I suy ra BHCD là hình binh hanh nên N là trung đi m HD.
T a đ c a D(0; 3), ta có H (a  1; b 1)

ng th ng 3x – y – 4 = 0 nên 3(a  1)  (b 1)  4  0  3a  b  2  0
M t khác C thu c đ ng tròn (C) nên ta C th a h :

a 2  b 2  3a  5b  6  25


3a  b  2  0


C (1;1)
C (2; 4)


 A(3; 2), B(1; 4), C (1;1)
V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là: 
 A(3; 2), B(1; 4), C (2; 4)

et
u.N

Câu 17. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có đ nh C(3;-1). G i M là trung đi m c a
c nh BC, đ ng th ng DM có ph ng trình là y  1  0 . Bi t đ nh A thu c đ ng th ng 5 x  y  7  0 và D có

hoành đ âm. Tìm t a đ các đ nh A và D.
(Trích đ thi th l n 1, THPT H ng Quang, H i D ng, n m 2014)
Nh n xét và ý t ng : (b n đ c có th xem l i bài toán 6 – hình ch nh t, ch đ 2.1, ch ng 2 đ hi u
rõ h n)

H

ng d n gi i :

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
19


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
* Ta có DM : y  1  0 và d (C, DM )  1  1  2

d (C , DM ) IC MC 1
,
)  2d (C , DM )  4


  d ( ADM
d ( A, DM ) IA DA 2

* i m A thu c đ

ng th ng 5 x  y  7  0 nên A a ;5a  7 

De

2

a 
 5a  6  4

d ( A, DM )  4  5a  7  1  4  5a  6  4  

5

5a  6  4
 a  2

 2
 5

2
5




* V i a  2  A(2; 3) . V i a    A  ;5  .

i m A(2; 3) và C ( 3; 1) cùng phía so v i đ

 2
 5

ng th ng DM : y  1  0




Nên lo i đi m A(2; 3) . V y A  ;5 

Th


2


 AD   d  5 ; 4 
* D  DM  D(d;1)  


CD   d  3; 2 






2
5

2
Do AD  CD  AD.CD  0   d    d  3  8  0  d 

13
46
d 0
5
5

 d  2
 5d  13d  46  0  
 d  2 (Vì xD  0 ). V i d  2  D(2;1)
 d  23
5

2

iTh
 2
 5




V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là: A  ;5  , D( 2;1)

Câu 18. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC cân t i đ nh A. G i N là trung đi m c a AB. G i
E và F l n l t là chân đ ng cao h t các đ nh B, C c a tam giác ABC. Tìm t a đ A bi t t a đ các đi m
ng trình đ

ng th ng CN là 2 x  y  13  0

(Trích đ thi th l n 2, THPT L

Nh n xét và ý t

ng :



et
u.N

 11 13 
E (7;1), F  ;  và ph
5 5

ng Th Vinh, Hà N i, n m 2014)



Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
20


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

De

_ V i các d ki n đang có thì ta đ t m t câu h i có th “tìm đ c đi m m i ho c ph ng trình m i không
?”. đây ta có th vi t ph ng trình EF song song BC. Tuy nhiên trong các d ki n đó thì d ki n ph ng
trình đ ng trung tuy n NC g i cho ta nhi u suy ngh ?
_ Trên đ ng th ng hi n có 2 đi m N và C nh ng n u tham s hóa chúng thì l i không liên h đ c gì v i
E và F. N u g i G là tr ng tâm tam giác ABC thì do tính ch t c a tam giác ABC cân t i A thì GE = GF (gi i
ph ng trình trên giúp tìm đ c t a đ đi m G).
_ n đây ta có th vi t ph ng trình AG vuông EF và qua G (nh m m c đích tham s hóa đi m A). Cùng
lúc đó ta có th tham s C theo NC và dùng công th c tr ng tâm G đ bi u di n t a đ B theo A và C.
_ Nh v y, ta có 2 n ph thu c theo A và C vì v y, ta c n đ n 2 ph ng trình ? (đó là nh ng ph ng trình
nào ? )
+ Ph ng trình (1): AG vuông góc BC
+ Ph ng trình (2): EB vuông EC (ho c FC vuông BF).
H ng d n gi i :
* G i G là tr ng tâm c a tam giác ABC. Vì G thu c CN suy ra G (g;13  2 g)
Do tam giác ABC cân t i A nên ta có:
2

2

Th

11  
13 

GE 2  GF 2  ( g  7) 2  (13  2 g  1) 2   g    13  2 g    g  5  G (5;3)
5 
4


 x  5t

(t  R)
ng trình AG có d ng tham s là: 
 y  3  3t
Do đó A AG  A(5  a ;3  3a ) và C  CN  C (c;13  2c)
M t khác G là tr ng tâm tam giác ABC nên ta có:

* Ta có AG vuông góc EF suy ra ph

iTh

 xA  xB  xC  3xG
 B(10  a  c; 7  3a  2c)

 yA  yB  yC  3 yG

* Ta có BC  (a  2c  10;3a  4c  20) . L i có BC vuông góc AG nên

BC.uAG  0  1(a  2c 10)  3(3a  4c  20)  0  a  c  5
Suy ra B(15  2c;8  c) và EB  (8  2c;7  c), EC  (c  7;12  2c)
* Vì EB vuông góc EC nên ta có EB. EC  0  (8  2c)(c  7)  (12  2c)(7  c)  0  c  7  a  2

V y t a đ các đi m c n tìm là: A(7;9)



et
u.N

Câu 19. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình thang ABCD v i hai đáy là AB và CD bi t
B(3;3), C (5;3) . Giao đi m I c a hai đ ng chéo n m trên đ ng th ng  : 2 x  y  3  0 . Xác đ nh t a đ

các đ nh còn l i c a hình thang ABCD đ CI  2BI , tam giác ACB có di n tích b ng 12, đi m I có
hoành đ d ng và đi m A có hoành đ âm.
(Trích đ thi th l n 2, THPT Nguy n Quang Diêu, ng Tháp, n m 2013)

Nh n xét và ý t

ng :

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
21


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
u tiên, ta tham s I theo đ ng th ng  và s d ng gi thi t IC = 2BI đ gi i tìm t a đ đi m I.
bài v n còn 3 d ki n ch a s d ng đó là di n tích tam giác ACB (1), AB // CD (2), c ng nh s k t
h p gi a các đi m giúp ta tìm thêm đi m m i ho c đ ng th ng m i, đ ng tròn m i.
_ đây, ta th y d dàng vi t đ c ph ng trình 2 đ ng chéo AC và BD. Trong đó v n d ng công th c
_
_

di n tích tam giác ABC là: SABC 

1
AC.d ( B, AC ) suy ra đ dài c nh AC.
2

n đây, ta có th tìm đ

ng trình

De

đ A do A thu c AC và v n d ng đ dài AC.
_ Khi có t a đ A thì ta có th vi t ph ng trình CD qua C và song song AB. K t h p v i ph
đ ng chéo BD đ tìm t a đ D.
H ng d n gi i:
* Vì I    I ( t ;3  2t ), t  0

ct a

t  1
 t  1  I (1;1)
CI  2 BI  15t 2  10t  25  0  
t   5 (ktm)
3

* Ph ng trình đ ng th ng IC : x  y  2  0

Th

Mà S ABC 

1
AC.d ( B, AC )  12  AC  6 2
2

 a  11
2
 a  1  A(1;3)
* Vì A IC  A(a ;2  a ), a  0 nên ta có a  5  36  

 a  1
Ph ng trình đ ng th ng CD : y  3  0 , IB : x  y  0

iTh

x  y  0
 x  3

 D(3; 3)
* T a đ đi m D là nghi m c a h 
y3  0
 y  3
V y t a đ đi m A và D c n tìm là: A(1;3), D(3; 3)

Câu 20. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có đ

9 9
4 4

th ng x  y  0 và đi m I  ;  là tâm đ

ng th ng đi qua đ nh B có ph

ng tròn ngo i ti p , kho ng cách t I đ n đ

ng trình đ

ng

ng th ng BC b ng

ng trình x  5 y  14  0 . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC

bi t tung đ c a A và B đ u không l n h n 2.

et
u.N

3 2
,đ
4

ng cao h t đ nh A có ph

(Trích đ thi th THPT Qu nh L u 3, Ngh An, n m 2013)

Nh n xét và ý t

ng :

_ Do BC vuông AH nên ta suy ra d ng ph

ng trình c a BC: x + y + m = 0. S d ng d ki n kho ng cách

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
22


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

De

t I đ n BC ta gi i tìm đ c đ ng th ng BC.
_ Khi có ph ng trình BC ta k t h p v i đ ng th ng x + 5y – 14 = 0 đ gi i tìm t a đ đi m B.
_ c bi t ta có nh n xét I thu c đ ng cao H nên suy ra H là trung đi m BC , t đây ta có H là giao đi m
gi a H và BC và suy ra t a đ C.
_ Còn v i t a đ đi m A thì chính là giao đi m AH và đ ng tròn (C) ngo i ti p tam giác ABC.
H ng d n gi i :
*
ng th ng BC có ph ng trình x + y + m = 0.
9 9
 m
 m  6
3 2
9
3
4 4

 m   
Theo gi thi t ta có d  I, BC  
4
2
2
2
 m  3
1

x

 xy3


 1 11 
4
* V i m = -3, t a đ đ nh B th a mãn h 

 B  ;  (không tm)
4 4 
 x  5y  14
 y  11

4


Th

 xy6
x  4

 B  4; 2  ( tmbt)
* V i m=-6, t a đ đ nh B th a mãn h 
 x  5y  14  y  2
Khi đó ph ng trình BC: x + y – 6 = 0
* D th y AI là đ ng cao c a tam giác ABC nên chân đ ng cao c ng là trung đi m c a BC có t a đ
x  y  0
x  3

 H  3;3  C(2;4) .
là nghi m c a h 
x  y  6
y  3

* G i A(a;a) ta có

iTh


7
7 7
2
a   A  ;  (không t.m)
9  50
9 5


2
 a   
IA  IB  2  a   
2 2
2
4
2 2

a  1  A 1;1 (t.m)
V y t a đ các đi m th a yêu c u bài toán là: A(1;1), B(4; 2), C (2; 4)
Câu 21. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình vuông ABCD .

et
u.N

i m E (2;3) thu c đo n th ng BD , các
đi m H (2;3) và K (2; 4) l n l t là hình chi u vuông góc c a đi m E trên AB và AD . Xác đ nh to đ

các đ nh A, B, C , D c a hình vuông ABCD .

(Trích đ thi th l n 3, THPT Tr n H ng
Nh n xét và ý t

ng :

o, H ng Yên, n m 2014)

_ D th y AKEH là hình ch nh t nên ta có th tìm t a đ đi m A thông qua trung đi m HK. Ho c ta c ng
có th l p ph ng trình AB và AD và tìm giao đi m A.
Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
23


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!
_ n đây ta có th l p ph ng trình BD qua E và khuy t vecto pháp tuy n.
tìm vecto pháp tuy n trong
bài toán này kh d nh t là s d ng góc ABD b ng 45 đ .
_ Khi l p đ c ph ng trình BD ta có th tìm nhanh t a đ B và D và d dàng suy ra t a đ đi m C.
H ng d n gi i :
* Ta có EH: y – 3 = 0, EK: x – 2 = 0 suy ra AH: x + 2 = 0, AK: y – 4 = 0.
x 2  0
 A(2; 4)
Khi đó A là giao đi m c a AH và AK nên th a h : 
y 4  0

De

* Gi s n  a ; b  ,  a 2  b 2  0  là VTPT c a đ

ng th ng BD .

Có: ABD  45 nên:
0

a
a b
2

2



2
 a  b
2

* V i a  b , ch n b  1  a  1  BD : x  y  1  0
 EB   4; 4 

 B 2; 1 ; D  3;4  



 ED  1;1

 E n m trên đo n BD (th a mãn)

Th

Khi đó: C  3; 1

* V i a  b , ch n b  1  a  1  BD : x  y  5  0 .
 EB   4; 4 

 B 2;7  ; D 1;4  



 ED   1;1

 EB  4ED  E n m ngoài đo n BD (lo i)

V y t a đ đi m th a yêu c u bài toán là A 2; 4  ; B  2; 1 ; C  3; 1 ; D  3; 4 

iTh

Câu 22. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC, đ ng trung tuy n k t đ nh B và đ ng phân
ng th ng AB đi qua
giác trong c a góc ABC l n l t có ph ng trình là x  2 y  3  0, x  y  2  0 .
đi m M (1; 2) , đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có bán kinh b ng 5 . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác
ABC, bi t đ nh A có tung đ d ng.
(Trích đ thi th l n 3, THPT H ng Quang, H i D ng, n m 2013)

Nh n xét và ý t

ng :

et

u.N

_ D dàng tìm đ c t a đ đi m B (do là giao đi m c a BD và BI).
_ T ng t nh nh ng bài tr c, ta d a vào tính ch t c a đ ng phân giác trong đ tìm đ c đi m m i N.
ng th i khi đó ta d dàng vi t đ ng AB và BC.
_ Khi đó ta tham s hóa đi m A theo đ ng AB, C theo đ ng BC. (2 n nên c n 2 ph ng trình) v y đó
là ph ng trình nào ?

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
24


- Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

H

+ Ph

ng trình (1): Trung đi m I c a AC thu c đ

ng BI

+ Ph

ng trình (2): Phát hi n AB vuông góc BC nên nên ta có R 

AC
2

ng d n gi i:

* G i d1 : x  2 y  3  0, d 2 x  y  2  0 .

x  2 y  3  0
 B(1;1)
Ta có: B  d1  d 2  
 x y 2  0

De

* G i N là đi m đ i x ng c a M qua d 2 . i m M thu c AB suy ra N thu c AC.
MN vuông góc d 2 và MN qua M nên có d ng: x  y  1  0 .

x  y  2  0
1 3
I ;  .
Khi đó H  MN  d 2  
2 2
 x  y 1  0

Do M và N đ i x ng qua d 2 nên H là trung đi m MN suy ra N (0;1)  AC

Th

 AB : x  1  0
V i các đi m B(1;1), M (1; 2), N (0;1)  
 BC : y  1  0

 1 c a 1 
;

 .
2 
 2

* G i A(1; a), C(c; 1), t a đ trung đi m I c a đo n AC là I 

a 1
1 c
M t khác I thu c d1 
2
 3  0  c  2a  3  0 (1)
2

2

* Ta có: AB vuông góc BC suy ra tam giác ABC vuông t i B
ng tròn ngo i ti p tam giác ABC là R 

iTh

Suy ra bán kinh đ

AC
 (c  1) 2  (a  1) 2  20 (2) .
2

 a  1
ng trình ta có: 
 a 3
Và do A có tung đ d ng nên ta nh n a = 3 suy ra c = - 3

V y t a đ các đi m c n tìm là: A(1;3), B(1;1), C(3;1)
T (1), (2) gi i h ph

45
, đáy l n CD n m trên
2
ng chéo AC, BD vuông góc v i nhau t i I (2;3) . Vi t ph ng trình

đ
đ

et
u.N

Câu 23. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình thang cân ABCD có di n tích b ng

ng th ng x  3 y  3  0 . Bi t hai đ
ng th ng ch a c nh BC, bi t đi m C có hoành đ d ng.
(Trích đ thi th l n 2, THPT T ng Duy Tân, Thanh Hóa, n m 2014)
H

ng d n gi i :

* Do ABCD là hình thang cân v i đáy l n CD và hai đ
tam giác ICD vuông cân t i I.

ng chéo AC và BD vuông góc v i nhau nên

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : />
25