luận văn thạc sỹ toán: Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh khá giỏi ở trường THPT qua chủ đề giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ trong hình học phẳng

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay ở Việt Nam, cũng như ở nhiều nước trên thế giới, giáo dục
được coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Với
nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát
triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng
được kiến thức trong tình huống công việc. Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện
và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở các trường phổ thông của những
người làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng.
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát
triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung
thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi
dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Luật giáo dục 1998, Chương I, điều 2).
Chúng ta đang trong giai đoạn đổi mới sách giáo khoa và phương pháp
giảng dạy chương trình phổ thông, nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học
tập của học sinh, để học sinh đáp ứng được yêu cầu của xã hội, đặc biệt là
trong xu thế hội nhập toàn cầu, cũng là nhằm đáp ứng được yêu cầu đó.
Theo điều 28 Luật Giáo dục: " Phương pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với
đặc điểm tâm lý của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học,
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Để làm được điều này, với lượng kiến thức và thời gian được phân phối
cho môn toán bậc THPT, mỗi giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy
phù hợp thì mới có thể truyền tải được tối đa kiến thức cho học sinh, mới phát
huy được tư duy sáng tạo của học sinh, không những đáp ứng cho môn học
mà còn áp dụng được kiến thức đã học vào các khoa học khác và chuyển tiếp
bậc học cao hơn sau này.
1
Véctơ là một trong những khái niệm nền tảng của toán học. Việc sử

dụng rộng rãi khái niệm véctơ và toạ độ trong các lĩnh vực khác nhau của
toán học, cơ học cũng như kỹ thuật đã làm cho khái niệm này ngày càng phát
triển. Cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX, phép tính vectơ đã được phát triển và
ứng dụng rộng rãi.
Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó công cụ vectơ tạo
điều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn ở trường phổ thông.
Phương pháp vectơ và toạ độ cho phép học sinh tiếp cận những kiến
thức hình học phổ thông một cách gọn gàng, sáng sủa và có hiệu quả một
cách nhanh chóng, tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ. Nó có tác dụng
tích cực trong việc phát triển tư duy sáng tạo, trừu tượng, năng lực phân tích,
tổng hợp
Khái niệm vectơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ phương pháp toạ
độ theo tinh thần toán học hiện đại, có thể xây dựng lý thuyết hình học và
cung cấp công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học.
Việc nghiên cứu vectơ góp phần mởi rộng nhãn quan toán học cho học
sinh, chẳng hạn như tạo cho học sinh khả năng làm quen với những phép toán
trên những đối tượng không phải là số, nhưng lại có tính chất tương tự. Điều
đó dẫn đến sự hiểu biết về tính thống nhất của toán học, về phép toán đại số,
cấu trúc đại số, đặc biệt là nhóm và không gian vectơ - hai khái niệm trong
số những khái niệm quan trọng của Toán học hiện đại.
Trong chương trình hình học ở bậc trung học phổ thông, học sinh được
học về vectơ, các phép toán về vectơ và dùng vectơ làm phương tiện trung
gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ giữa
những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số.
Với ý nghĩa như vậy, có thể coi phương pháp vectơ và toạ độ là phương
pháp toán học cơ bản được kết hợp cùng phương pháp tổng hợp để giải toán
hình học trong mặt phẳng và trong không gian ở bậc THPT.
2
Thực tế giảng dạy áp dụng vectơ và toạ độ để giải toán ở phổ thông
hiện nay đa số còn rất sơ sài, chưa có hệ thống các bài toán áp dụng. Sách

giáo khoa, với lý do sư phạm cũng chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản, do vậy học
sinh cũng chưa thực sự nắm được nhiều ứng dụng của phương pháp này.
Dạng bài tập ứng dụng vectơ và toạ độ ở THPT đòi hỏi học sinh phải
có năng lực nhất nhất định, phải có khả năng tư duy trừu tượng và khái quát
tốt mới có thể giải toán linh hoạt và sáng tạo. Do đó, dạy học chủ đề này có
tác dụng lớn trong việc bồi dưỡng, phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh
thông qua các thao tác tư duy, đồng thời giúp học sinh linh hoạt, hệ thống hoá
được kiến thức hình học cơ bản, tăng cường năng lực giải toán.
Với các lý do nêu trên, để góp phần bồi dưỡng học sinh khá giỏi bậc
THPT, đề tài được chọn là: "Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học
sinh khá giỏi ở trường THPT qua chủ đề giải toán bằng phương pháp
vectơ và toạ độ trong hình học phẳng"
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu quá trình rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo toán học ở
đối tượng học sinh phổ thông, đặc biệt là đối tượng học sinh khá giỏi bậc THPT.
- Trên cơ sở lý thuyết vectơ, toạ độ trên mặt phẳng trong chương trình
THPT, cùng với các kiến thức hình học tổng hợp khác, xây dựng một hệ
thống phân loại các dạng bài tập ứng dụng phương pháp vectơ và toạ độ trong
hình học phẳng, góp phần phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo, quá trình rèn luyện và
phát triển loại hình tư duy này ở bậc THPT.
- Nghiên cứu các phẩm chất, năng lực tiêu biểu của học sinh khá, giỏi toán.
- Đưa ra hệ thống các bài tập ứng dụng, hướng dẫn học sinh khai thác
và phát triển các bài toán đó theo hướng sáng tạo.
- Đưa ra một số biện pháp sư phạm nhằm thực hiện mục đích nghiên cứu.
3
- Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra các bài học thực tế, tính
khả thi để áp dụng vào giảng dạy.
4. Giả thuyết khoa học

Với nội dung toán học được lựa chọn và các biện pháp sư phạm đã đề
xuất trong luận văn, qua kiểm nghiệm bước đầu trong thực tiễn, có thể tin rằng
đề tài góp phần nâng cao trình độ nhận thức của học sinh, khơi dậy hứng thú
học tập, phát huy khả năng tư duy sáng tạo toán học, tính tích cực học tập của
học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi bậc THPT. Trang bị cho học sinh THPT
một phương pháp giải toán hình học hiệu quả bên cạnh các phương pháp khác.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu khai thác các tài liệu về tư duy biện chứng thông qua việc
giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông, đặc biệt ở khía cạnh tư duy sáng
tạo.
- Nghiên cứu khai thác các tài liệu liên quan đến hứng thú học tập,
động cơ học tập, phát huy tính tích cực học tập của học sinh qua môn Toán.
- Nghiên cứu chương trình và nội dung đổi mới sách giáo khoa và
phương pháp giảng dạy bậc THPT, đặc biệt là hình học lớp 10 bậc THPT.
5.2. Phương pháp quan sát điều tra
- Điều tra thực trạng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh
trước và sau thử nghiệm.
- Quan sát việc học tập của học sinh, khảo sát mức độ tích cực học tập,
tư duy sáng tạo trong giờ học để phát hiện nguyên nhân cần khắc phục và lựa
chọn nội dung thích hợp cho luận văn.
- Thu thập kết quả thực tế của học sinh làm cơ sở thực tiễn để đưa hệ
thống bài tập phù hợp có tính khả thi dưới dạng chuyên đề.
- Đánh giá kết quả thực nghiệm.
5.3. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
4
- Thống kê số liệu trước và sau thực nghiệm, giữa lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng.
- Lấy ý kiến đánh giá tham khảo của giáo viên trực tiếp giảng dạy để điều
chỉnh luận văn cho phù hợp thực tiễn dạy và học vectơ, toạ độ ở bậc THPT.

5.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Thực nghiệm ở một số cơ sở rồi đối chứng với giả thuyết khoa học đã
đề ra để điều chỉnh mức độ khả thi của luận văn.
6. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Trên cơ sở lý luận của tư duy sáng tạo, áp
dụng vào dạy nội dung toán hình học vectơ và toạ độ ở lớp 10 THPT. Từ đó
phân loại và phát triển hệ thống bài tập có thể dùng phương pháp vectơ, toạ
độ phẳng để giải ở THPT, đặc biệt đối với học sinh khá giỏi.
Đi sâu vào ứng dụng cơ sở lý luận phát triển tư duy sáng tạo toán học,
gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh qua nội dung luận văn.
- Khách thể và phạm vi nghiên cứu: Học sinh và giáo viên dạy toán
THPT thuộc các trường : THPT Chuyên Tuyên Quang
- Kiểm nghiệm và đối chứng 6 lớp.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II: Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh giỏi ở THPT
qua chủ đề giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ trong hình học phẳng.
Chương III: Biện pháp sư phạm và thực nghiệm sư phạm
* Kết luận
* Tài liệu tham khảo
* Phụ lục
5
Chương I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tư duy và tư duy sáng tạo
1.1.1. Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy
a. Khái niệm tư duy và một số yếu tố cơ bản của tư duy
Trong cuốn " Rèn luyện tư duy trong dạy học toán" , PGS.TS Trần
Thúc Trình có định nghĩa: " Tư duy là một quá nhận thức, phản ánh những

thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện
tượng mà trước đó chủ thể chưa biết".[13,tr1]
Theo Pap-lôp: Tư duy là " sản vật cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc
biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan
bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán Tư duy bao giờ cũng liên hệ với một
hình thức nhất định của sự vận động của vật chất- với sự hoạt động của
óc Khoa học hiện đại đã chứng minh rằng tư duy là đặc tính của vật chất".
Pap-lôp đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc là cơ
cấu vật chất của hoạt động tâm lý. Ông viết: " Hoạt động tâm lý là kết quả
của hoạt động sinh lý của một bộ phận nhất định của óc ". [16,tr873]
Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từ
nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có
vấn đề. Dù cho tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội dung
của tư duy cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính.
Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành
các thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tư duy. Ngôn ngữ được xem là
phương tiện của tư duy.
Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được
biểu đạt bằng những từ, ngữ, câu , ký hiệu, công thức, mô hình.
Tư duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tượng.
6
Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính đều nảy sinh từ thực tiễn và
lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Người ta dựa vào tư
duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng
những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình.
b) Quá trình tư duy
Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao gồm 4 bước cơ bản:
- Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách
khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp.

- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết
về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
- Xác minh giả thiết trong thực tiễn. Nếu giải thiết không đúng thì qua
bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
c) Các hình thức cơ bản của tư duy
- Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng
và do đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và nội
hàm. Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn
toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của
lớp đối tượng đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy
luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì
khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B
được gọi là một khái niệm loại của A.
Ví dụ: Ta định nghĩa phép vị tự từ phép biến hình: " Cho điểm O và một số k ≠0,
phép biến hình biến điểm M bất kỳ thành điểm M' sao cho
OM' kOM=
uuuur uuuur
gọi là
phép vị tự tâm O, tỉ số k". Như vậy ta được khái niệm phép vị tự là một phép
biến hình đặc biệt, là tập con thực sự của phép biến hình,
7
- Phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một dấu
hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng
hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.
Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu:
trực tiếp và gián tiếp. Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả
nghiên cứu của qua trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai
phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy

luận. Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các
phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai
của các luận điểm.
Ví dụ 1: Xét mệnh đề : "
∀
,
r r
a b
thì
| | | |a b a b− ≤ +
r r r r
" là một phán đoán và là phán
đoán sai, vì điều này chỉ đúng khi
¶
(a,b)
r r
không tù, do bình phương 2 vế bất đẳng
thức và thu gọn ta được:
¶
a.b 0 | a |.| b |.cos(a,b) 0≥ ⇔ ≥
r r r r r r
⇔
¶
cos(a,b) 0≥
r r
.
- Suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định (gọi
là các quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo những
quy luật, quy tắc ấy. Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp. Suy diễn
đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung.

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau. Quy
nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại
suy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp.
Ví dụ: Định lý côsin ở lớp 10: " Trong mọi tam giác ta có bình phương một
cạnh tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ hai lần tích của chúng
với côsin góc xen giữa".
Ta có thể suy luận qua một số trường hợp đặc biệt để kiểm chứng điều
đó, chẳng hạn hệ thức: a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA.
- Nếu ∆ABC vuông tại A thì cosA=0 ⇒ a
2
=b
2
+c
2
đúng (Định lý Pitago).
- Nếu ∆ABC đều thì a=b=c, cosA=1/2 ⇒ Đẳng thức đúng.
8
- Nếu ∆ABC cân tại B ⇒ b=2acosA ⇒ Đẳng thức đúng.
Vậy có thể kết luận là đẳng thức đúng cho ∀∆ABC. Đó là phép quy
nạp không hoàn toàn. Bằng suy luận, ta chứng minh như sau:
Ta có:
2 2 2
2
BC (AC AB) AC AB 2AB.AC

= − = + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
⇔ a
2
=b
2
+c
2
-
2bc.cosA.
Với hai đẳng thức còn lại tương tự. Ta có điều phải chứng minh.
d) Các thao tác tư duy
+ Phân tích-tổng hợp: Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng
nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau. Còn tổng
hợp là các thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần
đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là
hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất. Phân tích tiến hành theo hướng
tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích. Trong học tập môn
toán, phân tích-tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy
quan trọng nhất để giải quyết vấn đề.
+ So sánh-tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau
hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không
bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức. So sánh liên quan chặt chẽ với phân
tích-tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn
nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số
dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một
mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.

Ví dụ: Trong ∆ABC vuông tại A, ta có : a
2
=b
2
+c
2
,
2 2 2
a
1 1 1
h b c
= +
,
9
Trong tam diện vuông SABC, SA=a, SB=b, SC=c, đường cao mặt huyền
là h ta cũng có: S
2
(ABC)=S
2
(SAB)+S
2
(SBC)+S
2
(SCA),
2 2 2 2
1 1 1 1
h a b c
= +
,
+ Khái quát hoá- đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp

nhất nhiều đối trượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc
tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung
bản chất.
Theo G.S Nguyễn Bá Kim: " Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp
đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng
cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát".
[6,tr51].
Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc
biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát
hơn. Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố
của khái niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát.
Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hoá.
Ví dụ: Xét các bài toán sau:
Bài 1: Cho 2 điểm A,B phân biệt và 2 số thực α, β thoả mãn α+β≠0 thì: Tồn
tại duy nhất một điểm I sao cho:
IA IB 0α + β =
uur uur r
và với ∀M ta có:
MA MB ( )MIα +β = α + β
uuuur uuuur uuur
.
Bài 2: Cho 2 điểm phân biệt A,B, I trung điểm của AB thì ta có:
IA IB 0+ =
uur uur r
và ∀M thì:
MA MB 2MI+ =
uuuur uuuur uuur
.
Bài 3: Cho 2 điểm phân biệt A,B, I là điểm thoả mãn:
IA 2IB=

uur uur
thì với ∀M ta
có:
MA 2MB MI− = −
uuuur uuuur uuur
.
Từ bài toán 1, cho α=β=1 ta được bài toán 2, cho α=1, β=-2 được bài
toán 3. Như vậy, bài toán 1 là khái quát của bài toán 2 và bài toán 3, còn bài
toán 2 và bài toán 3 là đặc biệt hoá của bài toán 1.
10
+ Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt,
những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ
lại các yếu tố cần thiết cho tư duy. Sự phân biệt bản chất hay không bản chất
ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
Ví dụ: Trừu tượng hoá khái niệm tập số được khái niệm tập hợp với phần tử là
những đối tượng nào đó, trừu tượng hoá khái niệm hàm số được khái niệm
ánh xạ
1.1.2. Sáng tạo, quá trình sáng tạo
a) Khái niệm sáng tạo
Lecne cho rằng: " Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới về
chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống các thao
tác hoặc hành động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêm ngặt".
Solso R.L quan niệm: " Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó
đem lại một cách nhìn nhận hay cách giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề
hay tình huống".
GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói: " Người có óc sáng tạo là người
có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đã đặt ra".
Có hai mức độ sáng tạo:
- Mức độ 1: Cách mạng trong một lĩnh vực nào đó, làm thay đổi tận
gốc các quan niệm của một hệ thống, tri thức và sự vận dụng. Như sự phát

hiện ra hình học phi Ơclit của Lôbasepxki, lí thuyết nhóm của Galoa
- Mức độ 2: Phát triển liên tục cái đã biết, mở rộng lĩnh vực ứng dụng.
Như sự phát triển của máy tính, của lazer
Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu
họ tự đương đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc
lập những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết.
Như vậy một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu
các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối, tức là người
11
giải chưa biết thuật toán để giải và phải tiến hành tìm kiếm với những bước đi
chưa biết trước.
b) Quá trình sáng tạo
Như J.Adama đã "Nghiên cứu về tâm lí học sáng tạo trong lĩnh vực
toán học" đã chỉ ra quá trình lao động sáng tạo ấy trải qua bốn giai đoạn:
+ Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn đặt nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tài liệu
liên quan.
+ Giai đoạn ấp ủ: Quá trình tư duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý thức, tiềm
thức lại chiếm ưu thế, các hoạt động bổ sung cho vấn đề được quan tâm.
+ Giai đoạn bừng sáng: Đột nhiên tìm được lời giải đáp, đó là các bước nhảy
vọt về chất trong tri thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo.
+ Giai đoạn kiểm chứng: Xem xét, khái quát kết quả. Ý thức lại được tham
gia tích cực. Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgic để có thể
chứng tỏ tính chất đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sáng tạo
mới được khẳng định.
Đặc điểm của quá trình sáng tạo:
+ Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới.
+ Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc.
+ Nhìn ra các chức năng mới ở những đối tượng quen thuộc.
+ Nhận ra cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu.
+ Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm

được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau.
+ Năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo trong khi
đã biết được nhiều phương pháp giải quyết truyền thống.
Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái
hay tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên bừng sáng trong đầu óc con
người hoặc đặt con người trong trạng thái " hứng khởi" cao độ, khi đó các tư
tưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, giúp họ đi đến những
kết quả mới.
12
1.1.3. Khái niệm tư duy sáng tạo, thành phần của tư duy sáng tạo
a)Tư duy sáng tạo
Trong cuốn sách " Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh
qua môn toán ở trường THCS" của Nguyễn Bá Kim - Vương Dương Minh -
Tôn Thân , các tác giả cho rằng: " Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc
lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng
mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả
mới. Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen
thuộc hoặc duy nhất" [28,tr72].
Theo nhà tâm lý học G.Mehlhorn: " Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự
sáng tạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục".
Khi xem xét tư duy sáng tạo trên bình diện như một năng lực của một
con người thì J.Danton quan niệm: " Tư duy sáng tạo, đó là năng lực tìm thấy
những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng của
kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá ".
Tuỳ vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: tư duy tích cực, tư duy
độc lập, tư duy sáng tạo. Mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức
độ tư duy đi sau. Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực được đặc trưng
bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực. Còn tư duy độc lập thể hiện ở
khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả
đạt được. Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và tư

duy độc lập.
Mặt khác, có ý kiến cho rằng: " Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê
phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về
những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo". [27,tr33].
Mối quan hệ các loại hình tư duy có thể biểu thị mối liên hệ bởi sơ đồ sau:
13
Tư duy tích cực
Tư duy độc lập
Tư duy sáng tạo

Ví dụ về các loại hình tư duy:
- Tư duy tích cực: Học sinh chăm chú nghe giáo viên giảng cách chứng
minh định lý và cố gắng hiểu bài.
- Tư duy độc lập: Học sinh nghiên cứu tài liệu, tự mình tìm hiểu cách
chứng minh định lý.
- Tư duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá định lý, tự chứng minh định lý
đó.
Tư duy sáng tạo có tính chất tương đối vì cùng một chủ thể giải quyết
vấn đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo trong điều kiện khác,
hoặc cùng một vấn đề được giải quyết có thể mang tính sáng tạo đối với
người này nhưng không mang tính sáng tạo đối với người khác.
b) Thành phần của tư duy sáng tạo
Mang đặc thù của một quá trình sáng tạo, có thể nói tư duy sáng tạo là
sự kết hợp ở đỉnh cao của tư duy độc lập và tư duy tích cực, tư duy sáng tạo
gồm các thành phần sau:
+ Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ
thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác,
định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng
phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc
chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán. Tính

mềm dẻo gạt bỏ sự sơ cứng trong tư duy, mở rộng sự nhìn nhận vấn đề từ
nhiều khía cạnh khác nhau của chủ thể nhận thức.
+ Tính nhuần nhuyễn: Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp
giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý
14
A
I
J
M
N
P
Q
T
tưởng mới. Tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi khả
năng tạo ra số các ý tưởng mới khi nhận thức vấn đề.
+ Tính độc đáo: Là năng lực độc lập tư duy trong quá trình xác định mục đích
cũng như giải pháp, biểu hiện trong những giải pháp lạ, hiếm, tính hợp lý, tính
tối ưu của giải pháp.
+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành
động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện vấn đề, sự mâu
thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chưa tối ưu và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo
ra cái mới.
Ngoài ra tư duy sáng tạo còn có một số yếu tố quan khác như: Tính
chính xác, năng lực định giá, năng lực định nghĩa lại, khả năng phán đoán.
Sau đây là ví dụ minh hoạ sự thể hiện các thành phần của tư duy sáng tạo:
Bài toán: Trong mặt phẳng (Oxy) cho điểm A=(0,4) và hai đường tròn (I), (J)
đi qua A, với I=(-2,0), J=(4,0). Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A, cắt
(I) tại M, cắt (J) tại N sao cho AM=AN.
Đây là một bài toán trong hình học lớp 10. Thông thường nếu xét

đường thẳng (∆) qua A, cho cắt (I) và (J) tại M, N rồi cho AM=AN thì bài
toán trở lên rất khó khăn và phức tạp. Vì như vậy ta phải xét trường hợp
đường thẳng (∆) trong 2 trường hợp có hệ số góc và không có hệ số góc, rồi tìm
giao điểm M, N với (I) và (J) rất phức tạp. Tuy vậy, nhờ mềm dẻo trong trong
duy, ta có thể giải quyết gọn gàng hơn nhiều, nhờ tính chất của đường tròn.
Sau đây là một số lời giải thể hiện được các thành phần của tư duy sáng
tạo:
Cách 1: Gọi P và Q là trung điểm của AM và AN, theo tính chất của dây cung
⇒ IP⊥AM và JQ⊥AN và A cũng là trung điểm của PQ.
Ta có hình thang vuông IPQJ, đường trung bình của hình
thang này qua A và cắt IJ tại trung điểm
T=(1,0).
15
Vậy (∆) là đường thẳng qua A và có
vectơ pháp tuyến
AT
uuur
=(1,-4).
Vậy phương trình (∆) là:
1.(x-0)- 4.(y-4)= 0, hay: x- 4y+16=0.
Cách giải này, kết hợp được tính chất của dây cung trong đường tròn,
có tính mềm dẻo trong tư duy.
Cách 2: Nếu học sinh chú ý đến tính chất A là trung điểm MN, thì gợi nhớ đến
phép đối xứng tâm. Đối xứng đường tròn (I) qua A được đường tròn (I'). Do
M∈(I) nên N∈(I'). Do đó, (∆) chính là trục đẳng phương của (J) và (I'). Cụ thể:
Phương trình (I): (x+2)
2
+y
2
=IA

2
=20;
Phương trình (J): (x-4)
2
+y
2
=JA
2
=32;
Do A trung điểm II' nên
I' A I
I' A I
x 2x x 2.0 ( 2) 2
y 2y y 2.4 0 8
= − = − − =


= − = − =

. Vậy I'=(2,8)
⇒ (I'): (x-2)
2
+(y-8)
2
=20. Lấy (J) trừ (I') có phương trình trục đẳng
phương (∆) của chúng là: (∆): x-4y+16=0.
Như vậy dựa vào tính chất đối xứng, ta dùng kiến thức trục đẳng
phương của hai đường tròn, thể hiện tính chất nhuần nhuyễn của tư duy.
Cách 3: Nếu gọi M=(x
M

,y
M
)∈(I) thì ta có: (x
M
+2)
2
+y
2
M
=20 (1)
Do A trung điểm MN nên
N A M M M
N A M M M
x 2x x 2.0 x x
y 2y y 2.4 y 8 y
= − = − = −


= − = − = −

Vì N∈(J) nên: (-x
M
-4)
2
+(8-y
M
)
2
=32 (2).
Lấy (1)-(2) ta có: x

M
-4y
M
+16=0. Vậy phương trình (∆) là: x-4y+16=0.
Cách này chỉ dùng đến công thức trung điểm của đoạn thẳng, thể hiện
được tính độc đáo của tư duy.
Qua cách giải bài toán trên ta thấy, nếu sử dụng thành thạo các kiến
thức về vectơ và toạ độ trong chương trình có thể giải quyết được nhiều bài
toán hay và độc đáo. Với lối suy nghĩ như vậy, ta có thể giải quyết nhiều bài
16
toán vectơ và toạ độ bằng cách kết hợp chúng với tính chất của hình học.
Những bài toán như vậy, ta sẽ gặp trong những phần sau.
1.2. Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông
1.2.1. Vai trò của việc giải bài tập toán
- Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm
một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ
ràng nhưng không thể đạt được ngay. Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó.
- Tuy nhiên cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán. Để giải
bài tập, chỉ yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã
học. Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi, giữa các kiến thức có
thể sử dụng và việc áp dụng để xử lý tình huống còn có khoảng cách, vì các
kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp. Muốn sử
dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho
chúng thích hợp với tình huống.
- Hiện nay trong sách giáo khoa toán trên thế giới, sau mỗi bài học đều
có ba loại bài thực hành, bài tập và bài toán, trình bày tách biệt với nhau,
trong đó những bài toán thực tiễn chiếm một tỉ lệ cao.
- Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn
toán ở nhà trường phổ thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt
động toán học. Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạt

động như: Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc-
phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học.
- Vị trí bài tập toán: Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ
xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Chức năng của bài tập toán là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra.
- Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội
dung và phương pháp của quá trình dạy học. Cụ thể:
17
+ Về mặt mục đích dạy học, bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau
hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như:
. Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán
học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
. Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình
thành các phẩm chất trí tuệ.
. Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+ Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt nội
dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã
học ở phần lý thuyết.
+ Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để
học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các
mục đích dạy học khác. Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt
cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ
động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài
tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức,

khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh, cũng
như hiệu quả giảng dạy của giáo viên.
1.2.2. Phương pháp giải bài tập toán
Theo G.Pôlya, phương pháp chung giải một bài toán gồm 4 bước: Tìm
hiểu nội dung của bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương
trình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Cụ thể:
+ Bước 1: Hiểu rõ bài toán
18
- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thoả mãn được điều kiện hay
không? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, hay
thừa, hay có mâu thuẫn?
- Hình vẽ. Sử dụng một ký hiệu thích hợp.
- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều
kiện đó thành công thức không?
Qua bước 1 ở trên, ta thấy việc đánh giá được dữ kiện có thoả mãn hay
không, thừa hay thiếu đã bước đầu thể hiện tư duy sáng tạo. Nếu làm tốt
được khâu này thì việc giải bài toán đã có thể rất thuận lợi để tìm được lời
giải đúng.
+ Bước 2: Xây dựng một chương trình giải
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một
dạng hơi khác?
- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể
dùng được không?
- Xét kỹ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có
cùng ẩn hay ẩn tương tự.
- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng
nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương pháp?
Có cần phải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa?
Quay về định nghĩa.

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài
toán có liên quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn
không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán
tương tự? Bạn có thể giải được một phần bài toán không? Hãy giữ lại một
phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực
nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố
19
có ích không? Có thể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết,
sao cho ẩn và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không?
- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện
hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
Qua các phần dẫn dắt của bước 2, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã được
thể hiện ở mức độ cao hơn. Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan,
hay tổng quát hơn chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo.
+ Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Hãy kiểm tra lại từng bước. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng
chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?
Qua bước này ta thấy việc thực hiện được chương trình giải và chứng
minh được là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tư duy sáng
tạo đã được thể hiện đầy đủ.
+ Bước 4: Trở lại cách giải (Nghiên cứu cách giải đã tìm ra)
- Bạn có kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình
giải bài toán không?
- Có tìm ra được kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay trực
tiếp kết quả không?
- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho mọi bài toán nào
khác không?
Trong quá trình giải toán rất nên làm cho học sinh biết các nội dung của
lôgic hình thức một cách có ý thức, xem như vốn thường trực quan trọng để
làm việc với toán học cũng như để sử dụng trong quá trình học tập liên tục,

thường xuyên. Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần có
phần nhìn lại phương pháp đã sử dụng để giải. Dần dần những hiểu biết về
lôgic sẽ thâm nhập vào ý thức của học sinh.
Rất nên hệ thống hoá các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô
hình nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua các
20
B
C
A
N
M
chủ đề và mô hình đó (rất thích hợp khi tổng kết chương), cũng là cơ sở quan
trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Ví dụ: Cho ∆ABC, M ∈ BC. Chứng minh:
MC MB
AM AB AC
BC BC
= +
uuuur uuur uuur
.
1. Tìm hiểu nội dung bài tập:
Đây là một bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, hay phân tích một
vectơ theo 2 vectơ không cùng phương. Với giả thiết điểm M tuỳ ý trên BC.
Phải có các tỉ số MC:BC và MB:BC. Đó là một số chú ý trong đề bài toán.
2. Xây dựng chương trình giải:
Ta cần tìm mối liên hệ giữa các vectơ:
AM,AB,AC
uuuur uuur uuur
với điểm M.
Từ các tỉ số gợi ta dùng định lý Talet: Kẻ MN//AC, N∈AB, thì ta có:

AN CM
AB CB
=
và
MN BM
AC BC
=
.
Và đến đây ta đã có một lời giải.
3.Thực hiện chương trình giải:
Ta có:
AM AN NM= +
uuuur uuur uuuur
. Kẻ MN//AC, dùng phân tích vectơ và định lý
Talet ta được:
AN MC
AN AB AB
AB BC
NM MB
NM AC AC
AC BC

= =




= =



uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur
. Cộng lại có điều phải chứng minh.
4. Kiểm tra tính dúng đắn và nghiên cứu sâu lời giải:
+ Kiểm tra: Qua cách giải như trên ta thấy cách phân tích vectơ theo quy tắc
tam giác, đưa một vectơ về vectơ cùng phương với nó, sử dụng định lý Talet
đều chính xác. Có thể kiểm tra lại điều này khi cho M là trung điểm BC, M
chia BC theo tỉ số k bất kỳ.
+ Nghiên cứu sâu lời giải:
- Cách giải khác:
21
Ta có:
AM AB BM MC.AM MC.AB MC.BM
AM AC CM MB.AM MB.AC MB.CM
 
= + = +
 
⇒
 
= + = +
 
 
uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur
uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur
.
Cộng lại có:
(MC MB).AM MC.AB MB.AC (MC.BM MB.CM)+ = + + +
uuuur uuur uuur uuuur uuuur
⇔
BC.AM MC.AB MB.AC= +

uuuur uuur uuur
⇔
MC MB
AM AB AC
BC BC
= +
uuuur uuur uuur
.
- Sử dụng các thao tác tư duy:
a) Bài toán tương tự: Cho tứ giác ABCD. Các điểm M,N lần lượt thuộc các
đoạn AD, BC sao cho: MA:MD=NB:NC=m:n.
Chứng minh:
nAB mDC
MN
m n
+
=
+
uuur uuur
uuuur
. Khi cho A≡D, được bài toán trên.
b) Đặc biệt hoá bài toán:
- Khi M là trung điểm BC, có bài toán quen thuộc:
1
AM (AB AC)
2
= +
uuuur uuur uuur
- Khi cho M chia BC theo tỉ số k:
MB kMC=

uuuur uuuur
. Ta có bài toán:
AB kAC
AM
1 k
−
=
−
uuur uuur
uuuur
, k≠1. Với k≠1 tuỳ ý, thì M có thể ở ngoài đoạn BC.
Như vậy với k tuỳ ý ta có nhiều bài toán dạng tương tự.
c) Nghiên cứu tiếp ứng dụng của bài toán:
Bây giờ ta lấy 3 điểm trên 3 cạnh tam giác: Cho ∆ABC, lấy M, N, P
trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho:
MC 2MB,NA 2NC= = −
uuuur uuuur uuur uuur
và
PA PB= −
uuur uuur
. Chứng minh: M,N,P thẳng hàng.
Theo phương pháp trên, ta thấy mọi vectơ đều phân tích được 2 vectơ
không cùng phương (cơ sở của không gian vectơ hai chiều).
Ta cần chứng tỏ rằng:
MN kMP=
uuuur uuur
, vậy chỉ cần phân tích
MN,MP
uuuur uuur
theo một cơ sở, chẳng hạn

AB
uuur
và
AC
uuur
. Theo cách trên ta có:
1 1 4
MN MC CN CB CA AB AC AC AB AC
3 3 3
= + = + = − − = −
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(1)
22
1 1 3
MP MB BP 2CB BA 2(AB AC) AB AB 2AC
2 2 2
= + = + = − − = −
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(2)
Từ (1) và (2) ⇒
3
MP MN
2
=
uuur uuuur
. Vậy M,N,P thẳng hàng.
d) Nghiên cứu tiếp bài toán: Qua bài toán trên ta thấy có thể tổng quát hơn
việc phân tích vetơ vào bài toán sau:
Cho ∆ABC, 3 điểm M,N,P trên 3 cạnh BC, CA, AB chia 3 đoạn đó
theo tỉ lệ α, β, γ. Tìm điều kiện của α, β, γ để M, N, P thẳng hàng.

Theo giả thiết ta có:
MB MC, NC NA, PA PB= α = β = γ
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur
⇒
1
BC (1 )MC; CN AC; MB BC; BP AB
1 1 1
β α
= − α = = =
−β − α γ −
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
.
Ta có:
1 1
MN MC CN BC AC (AC AB) AC
1 1 1 1
β β
= + = + = − +
− α −β − α −β
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
1 1
AB ( )AC
1 1 1
β
= − + +
− α − α −β
uuur uuur
. Và
1

MP MB BP BC AB
1 1
α
= + = + =
− α γ −
uuur uuuur uuur uuur uuur
=
1
(AC AB) AB
1 1
α
− −
− α − γ
uuur uuur uuur
1
( )AB AC
1 1 1
α α
= − − +
− α − γ − α
uuur uuur
.
Để M, N, P thẳng hàng thì ta phải có:
1
1 1
1
1 1
1 1 1
α
α

− −
− α − γ
− α
=
β
− +
− α − α −β
⇔ αβγ =1.
Ta được kết quả định lý Mêlênaúyt, đây chỉ là một cách chứng minh
dựa vào phân tích vectơ.
e) Nghiên cứu bài toán khi thay đổi giả thiết: Ta đã chứng minh được bài toán
tổng quát trong trường hợp tam giác. Có thể thay đổi giả thiết cho tứ giác,
hoặc thay đổi một số giả thiết thích hợp ta có nhiều bài toán khác khá hay, đặc
biệt đối với hình không gian sau này.
1.3. Phát hiện và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường phổ thông
1.3.1. Mục tiêu của việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán
23
Hiện nay ở nước ta, những học sinh giỏi toán ở trường THPT thường
được tập hợp thành những lớp đặc biệt ở những lớp chuyên hay khối chuyên,
trường chuyên. Mục tiêu của những lớp này là phát hiện những học sinh có
năng lực toán học, bồi dưỡng các em phát triển tốt về mặt này trên cơ sở giáo
dục toàn diện, góp phần đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học kỹ thuật giỏi, trong
số đó một số có thể trở thành nhân tài của đất nước.
1.3.2.Những biểu hiện của học sinh giỏi toán
Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy học sinh giỏi toán thường có những biểu hiện sau:
- Rất yêu thích và say mê học toán.
- Có khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức nhanh.
- Linh hoạt trong quá trình tư duy, tìm tòi lời giải: Dễ dàng chuyển từ
hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, không bị gò ép bởi những
suy nghĩ rập khuôn có sẵn. Có khả năng nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía

cạnh khác nhau, kết hợp với sự liên tưởng tốt tìm ra cách giải quyết vấn đề
một cách sáng tạo. Biết nhìn nhận những khía cạnh khác biệt của vấn đề, lựa
chọn phương tiện thích hợp, cách thức tốt nhất để giải quyết vấn đề. Lý luận
chặt chẽ hợp lôgic, có thao tác tư duy nhanh.
- Biểu hiện ở cách ghi nhớ kiến thức toán học cô đọng, nhanh, chính
xác và bền vững. Đó cũng là một yếu tố quan trọng để học sinh giỏi toán nhớ
được nhiều kiến thức, không tốn nhiều sức lực trí tuệ khi giải toán.
Ví dụ: Cho đường tròn (C): x
2
+y
2
=1 và điểm M=(3,5), tiếp tuyến qua M tiếp
xúc với (C) tại A và B. Viết phương trình đường thẳng AB.
- Đối với học sinh chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, thường là viết tiếp
tuyến qua M, giải hệ với đường tròn tìm A, B, sau đó viết phương trình AB.
Cách làm này sẽ gặp khó khăn vì phải xét các trường hợp tiếp tuyến, thứ hai
sẽ phải giải các hệ phức tạp và nghiệm thường rất lẻ.
- Còn đối với học sinh khá giỏi, khi vấp phải khó khăn như vậy họ sẽ
rất linh hoạt tìm phương án khác, sau đây là một cách giải mà họ đã làm:
24
O
M
A
B
Đường tròn (C) có tâm O=(0,0), bán kính R=1. Gọi A=(x
1
,y
1
),
B=(x

2
,y
2
) thì ta có phương trình đường tròn là:
2 2 2 2
1 1 2 2
x y 1 0, x y 1 0+ − = + − =
.
Từ hệ
OA.MA 0
OB.MB 0

=

⇔

=


uuur uuuur
uuur uuuur
⇔
1 1 1 1
2 2 2 2
(x 0)(x 3) (y 0)(y 5) 0
(x 0)(x 3) (y 0)(y 5) 0
− − + − − =


− − + − − =


⇔
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
x 3x y 5y 0 (x y 1) 3x 5y 1 0
x 3x y 5y 0 (x y 1) 3x 5y 1 0
 
− + − = + − − − + =
 
⇔
 
− + − = + − − − + =
 
 
Vậy phương trình AB là: -3x-5y+1= 0 hay: 3x+5y-1=0.
Nhờ tư duy linh hoạt, ứng dụng được các kết quả toán sâu sắc nên rõ
ràng học sinh khá giỏi có cách giải ngắn gọn và hay, tiết kiệm được nhiều thời
gian. Cách giải này không cần tìm toạ độ A và B.
1.3.3. Năng khiếu toán học
Năng khiếu, theo định nghĩa của từ điển tiếng Việt là năng lực trội,
năng lực đặc biệt của con người xuất hiện từ khi còn nhỏ. Như vậy năng khiếu
toán học có thể coi như một tổ hợp những năng lực toán học, mà ở lứa tuổi
học sinh thể hiện rõ nhất ở năng lực học toán.
Nhà tâm lý học V.A.Kơrutecxki cho rằng: " Năng lực học tập toán học
là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí
tuệ), đáp ứng yêu cầu hoạt động học toán và giúp cho việc nắm giáo trình
toán một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ
xảo toán học" [51,tr13]

Viện sĩ toán học A.N.Kônmôgôrôp viết trong cuốn sách "Về nghề
nghiệp của nhà toán học": Để nắm vững toán học một cách có kết quả ở mức
độ cao thì đòi hỏi cần có những năng lực toán học được phát triển, năng lực
này mang ý nghĩa sáng tạo khoa học. Theo ông, thành phần cơ bản của năng
lực toán học gồm có:
25