Hàm Số Liên Tục và Bài Tập Liên Quan

TIỂU LUẬN: HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ BÀI TẬP LIÊN QUAN
A. LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đê tài
Toán nói chung và toán giải tích nói riêng có những ứng dụng trong
nghành khoa học khác nhau, đặc biệt trong khoa học công nghệ thông tin. Các
nghiên cứu và phân tích về mặt định lượng được tiến hành thông qua quy mô
toán. Vì thế mà các nhà nghiên cứu ngành công nghệ thông tin có nhu cầu sử
dụng nhiều công cụ toán học, đặc biệt là công cụ giải tích như đạo hàm và các
phương pháp tối ưu.
Đề tài tiểu luận này đề cập đến những kiến thứchàm số liên và ứng dụng. Việc
tìm hiểu kiến thức này là hoàn toàn cần thiết và bổ ích giúp ta hiểu sau hơn về
hàm số nói chung và hàm số liên tục nói riêng. Đó cũng là lý do em chọn
“Hàm số liên tục và bài tập liên quan” làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu về hàm số liên tục và bài tập liên quan
3. Đối tượng nghiên cứu
- Hàm số liên tục : định nghĩa, tính chất.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp quan sát
- Phương pháp điều tra
- Phương pháp xử lí số liệu
- Phương pháp tổng hợp
- Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia
- Phương pháp thống kê
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đề tài gồm có hai chương
Chương 1: Lý thuyết hàm số liên tục


Chương 2: Bài tập liên quan

B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT HÀM SỐ LIÊN TỤC
1 . Hàm số liên tục
Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1: Liên tục tại một điểm
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và xo∈ (a;b). Hàm số f được gọi là
liên tục tại điểm xo nếu:
Hàm số không liên tục tại điểm xo được gọi là gián đoạn tại điểm xo.
Ví dụ 1:
a) Hàm số f(x)=x2 liên tục tại mọi điểm xo ∈R vì : (x) = xo2 =f (xo)
b) Hàm số
f(x)=
gián đoạn tại điểm x=0 vì không tồn tại (x)=
Định nghĩa 2: Liên tục tại một khoảng, đoạn.
a Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc
tập hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên
tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.
b Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu
nó liên tục trên khoảng (a;b) và = f(a), = f(b).
Ví dụ 2:Xét tính liên tục của hàm số f(x)=trên đoạn [−1;1].
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên đoạn [−1;1].
Vì với mọi xo∈(−1;1) ta có:
(x)= = = f(xo)
Nên hàm số f liên tục trên khoảng (−1;1). Ngoài ra, ta có:
= = 0 = f(-1),
Và
= = 0 = f(1).
Do đó, hàm số liên tục trên đoạn [−1;1].

Nhận xét:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm
số liên tục tại điểm đó (Trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó
phải khác 0).
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên
tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của
chúng).


Định lí 1: Các hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trên
tập xác định của chúng.
1.2. Hàm số liên tục trên đoạn, liên tục đều
1.2.1. Các tính chất của hàm sốliên tục trên đoạn
1.2.1.1. Tính chất 1
Định lí 2: (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục )
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu f(a)≠f(b) thì với mỗi số thực M
nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=M.
* Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và M là
một số thực nằm giữa f(a)và f(b) thì đường thẳng y=M cắt đồ thị của hàm
số y=f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c ∈(a;b).
* Hệ quả:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một
điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=0.
* Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b)<0 thì đồ thị hàm số y=f(x) cắt
trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c ∈(a;b).
Ví dụ 3:
Cho hàm số P(x)=+ x −1
Áp dụng hệ quả, chứng minh rằng phương trình P(x)=0 có it nhất một nghiệm
dương nhỏ hơn 1.

Giải:
Hàm số P liên tục trên đoạn [0;1], P(0) = -1, P(1) = 1.
Vì P(0) P(1) < 0 nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (0;1) sao cho P(c)
= 0.
x = c chính là 1 nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình P(x) = 0.
1.2.1.2. Tính chất 2 ( Tính bị chặn)
Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì f(x) bị chặn trên [a,b].
Tức là : ∃ M > 0 : ∀x∈ [a, b] : f(x) < M(cho ví dụ)
1.2.1.3. Tính chất 3
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên
[a,b]
Tức là ∃,∈ [a, b]: f() = ; f() =
1.2.1.4. Tính chất 4
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a,b]. Tức là:


Nếu m = ; M = ; Thì ∀µ: m ≤µ≤ M ∃∈[a,b]: f() =µ
3. Liên tục đều.
Định nghĩa 3:
Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu ∀ε > 0 , ∃δ > 0 sao cho
với mọi cặp M1, M2 ∈ D mà ρ(M1, M2) < δ ta đều có:
< ε.
Ví dụ 4: Xét hàm số z = trên R2
Với mọi cặp M1( , M2 ta có:
≤
Do ≥
Định lý 3 (Định lý Cantor): Nếu f:[a ,b ] → R liên tục thì nó liên tục đều trên
[a,b]
Ví dụ 5: Hàm x = liên tục trên khoảng (0,1) nhưng không liên tục đều trên

khoảng này.
Thật vậy, ∃ = 1, ∃= , = .
Khi đó = 0, nhưng
= =n≥1=ε.
CHƯƠNG 2: BÀI TẬP LIÊN QUAN
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = tại x = 1, x = 2
Tại x = 1: Ta có : f(1) = -2
(x)= = -2
(x)= f(1)
Vậy f(1) liên tục tại x =1.
Tại x = 2 thì f(x) không xác định
Vậy f(x) không liên tục tại x = 2.
Bài tập 2 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) = tại x = 1
Ta có : f(1) = 5
= =4
( 2x +3) = 5
Không tồn tại f(x)
Vậy f(x) không liên tục tại x = 1.
Bài tập 3: Xét tính liên tục hàm số f(x) = tại x = 2.
Ta có f(2) = 2
= =
f(x) = f(2)
Vậy f(x) liên tục tại x = 2.
Bài tập 4 : Cho hàm số f(x) = , gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x= 1


Ta có:
(x)= = = -1
Để f(x) liên tục tại x = 1 thì gán f(1) = -1
Vậy f(x) =

Bài tập 5 :Cho hàm số f(x) = , gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x = 1.
Ta có:
(x)= = +∞
(x)= = -∞
Vậy không thể gán giá trị cho f(1)để f(x) liên tục tại x=1
Bài tập 6: Định α để f(x) liên tục tại x =
F(x) =
Giải
Ta có:
F(0) = a + 2
(x)= )= a +2
(x)= = = -1
 f(x) liên tục tại x = 0, khi và chỉ khi:
F(x) = (x)=  α = -3
Vậy α = -3 thì f(x) liên tục tại x = 0.
Bài tập 7: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) =
F(x) xác định ∀x ∈ R\ { 1;2}
F(x) là hàm hửu tỉ  f(x) liên tục trên ∀x ∈ R\ { 1;2}
Khi x # 1 : Ta có f(x) = = =
 F(x) không xác đinh tại x = 2
 F(x) gián đoạn tại x = 2
Khi x = 1: Ta có f(1)= -2
(x)= = )= = -2
(x)= f(1)
 f(x) liên tục tại x = 1
Vậy f(x) chỉ gián đoạn tại x = 2.


Bài tập 8: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R:
a

f(x) =

Ta có : f(x) = là hàm số đa thức
b

Vậy f(x) liên tục trên R
f(x) =
TXĐ: D = R\(1)

Bài tập 9: Cho f,g : [0,1]  [0,1] là các hàm liên tục thỏa mãn f(g(x)) = g(f(x))
với mọi x [0,1]. Giả sử f là một hàm đơn điệu. Chứng minh rằng tồn tại [0,1]
sao cho f() = g() =
Giải:
Vì g liên tục nên tồn tại α [0,1] sao cho g(α) = α. Đặt = f (α),
= f(), ... = f() với mọi n N. Khi đó là một dãy đơn điệu và bị chặn. Vì vậy tồn
tại [0,1] sao cho = . Do hàm f liên tục nên ta cũng có f() =
Mặc khác g(=g (f())= f(g()) = f(g()) = .
Dể thấy rằng g () = = = f() = .
Bài tập 10: Cho f là hàm số liên tục trên R thỏa mãn
f(x +h) – 2f(x) + f(x-h) → 0 (h→∞) (*)
với mọi x R. Chứng minh rằng
a
b
c

Nếu f là hàm số lẻ thì f(x) = Ax với mọi x R
Nếu f là hàm số chẳn thì f là hàm hằng
Chứng minh rằng f(x) = Ax + B, A,B = const.

Giải:
a

Từ giả thiết ta có:
F(x) = , ∀x ∈ R
f(x +h) =
=
=
= f(x) + f(y)

Từ đó suy ra f(x) = Ax, A = const.


b
c

Tự giải
Đặt f(x) = + , ∀x ∈ R
g(x) =
h(x) =

Vì g là hàm số chẵn thỏa mãn điều kiện (*) , h là hàm số lẻ thỏa mãn điều kiện
(*) nên ta suy ra f(x) = Ax + B từ câu a,b.
Bài tập 11: Cho f, g là các hàm liên tục trên R thỏa mản:

Chứng minh rằng phương trình f(x) = x có nghiệm
Giải:
Chọn và đặt = f() , n ≥ 1.
Ta có ≤ g( – g(),
 ≤ g( – g(),

Do đó g() là một dãy giảm và bị chặn dưới. Đặt l =
Vì ≤ g( – g(),nên
≤ g( – g(),
Từ đó suy ra là một dãy Cauchy. Gọi c = . Ta dể thấy rằng f(c) =c.
Bài tập 12: Cho f : [0,1]  [0,1] là các hàm liên tục thỏa mãn f(0)= 0. Và
≥,
a
b

Chứng minh rằng f(x) = x với mọi x
Kết luận trên còn đúng không nếu thay bởi R?

Giải:
a

Từ giả thiết suy ra f đơn ánh, do đó f đơn điệu. Dể thấy rằng f(1) ≥ 1 nên
f đơn điệu tăng, và ta suy ra được f(1) = 1.
Ta thấy
f(x) = ≥ x, với mọi x
1 - f(x) = ≥ 1 - x, với mọi x .
Vì vậy f(x) = x với mọi x


b

Xét hàm f(x) = 2x.

Bài tập 13:Cho f : R  [0,+∞] có tính chất: với mọi ε > 0, tập { x R: f(x) ≥ ε}
là hữu hạn.
a

b

Chứng minh rằng với mỗi khoảng mở (a,b) ⊂ R, tồn tại (a,b) sao cho f()
= 0.
Hãy chứng minh f liên tục tại mọi thỏa mãn f() = 0.

Giải:
a

Với mỗi n N, đặt = { x R: f(x) ≥ }. Vì hữu hạn nên tồn tại , (a,b), <, < 1
và
[, ]∩ = Ø.

Bằng quy nạp, ta xây dựng được dãy đoạn đóng lồng nhau có tính chất < với
mọi n và ∩ = Ø.
Theo bổ đề Căng to, tồn tại . Dể thấy rằng 0 ≤ f() ≤ , từ đó suy ra f() = 0
b

Với mọi ε > 0, ta có tập = { x R: f(x) ≥ ε} là hữu hạn và không ∈.

Vì vậy tồn tại δ > 0, sao cho [- δ, + δ] ∩= Ø. Khi đó, 0 ≤ f() ≤ ε với < δ , tức
là f liên tục tại .
Bài tập 14: Cho f : R → R liên tục thỏa mản f(f(x)) = - với mọi x ∈ R. Chứng
minh f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ R.
Giải :
Với mọi x ≤0, gọi y ∈ R sao cho x = - . Khi đó
F(x) = f(-) = f(f(f(y))) = - [f(-≤ 0.
Ta sẽ chứng minh thêm rằng f(x) ≤ 0 với mọi x > 0. Thật vậy, từ giả thiết suy ra
f đơn ánh trên ( 0, + ∞), do đó đơn điệu trên khoảng này.
Giả sử tồn tại ∈( 0, + ∞) sao cho f() > 0. Gọi là 2 số thực thỏa mản 0 <<<.

Xét trường hợp f là đơn điệu tăng trên ( 0 , +∞). Khi đó ta có
0 <) ≤ f() ≤ f().
Nên - ≤ hay ≥ . Điều này là mâu thuẩn.
Lý luận tương tự cho trường hợp f đơn điệu giảm ta cũng có điều mâu thuẩn.


Từ đó suy ra f(x) ≤ 0 ,
Bài tập 15:Có tồn tại hay không hàm f liên tục trên R thỏa mản điều kiện:
f(x) Q khi và chỉ khi f(x +1) I
Giải:
Giả sử tồn tại hàm f liên tục trên R thỏa mản điều kiện f(x) Q khi và chỉ khi
f(x+1) I.
Xét hàm g(x) = f(x+1) – f(x). Khi đó g(x) I với mọi x R. Kết hợp với tính liên
tục của hàm g suy ra g(x) phải là hàm hằng tức là
f(x+1) – f(x) = g(x) = c với mọi x R.
Vì vậy c phải là số vô tỷ và ta có f(x+1) = c + f(x) , với mọi x R. Từ giả thiết, ta
suy ra tồn tại sao cho f() Q . Lúc đó ta có f( + 2) Q. Tuy nhiên ta lại có f( + 2)
= 2c + f( ) = 2c. Điều này mâu thuẩn vì c I .
Bài tập 16: Cho f là một hàm liên tục trên R và nhận những giá trị trái dấu.
Chứng minh tồn tại 3 số a, b, c lập thành cấp số cộng so cho f(a) + f(b) + f(c) =
0.
Giải
Theo giả thiết, tồn tại x sao cho f(x) > 0. Vì hàm f liên tục nên trong một lân cận
của x ta có f(x) > 0. Khi đó, ta tìm được một cấp số cộng , , sao cho f( + f( + f(>
0.
Tương tự, ta cũng tìm được cấp số cộng , ,mà f( + f( + f(< 0.
Với t [0, 1], xét cấp số cộng a(t), b(t), c(t) cho bởi
a(t) = ( 1 – t) + t.
Bài tập 17: Hàm y = liên tục trên khoảng (0,1) nhưng không liên tục đều trên
khoảng này.

Thật vậy, ∃= 1, ∃ = , = .
Khi đó = → 0, nhưng
= =n≥1=ε.


Bài tập 18:
1

2

Chứng minh rằng hàm f(x) = x liên tục trên toàn trục số. Thật vậy ∀ ε >
0 lấy δ = ε ta thấy ∀ x, ∈ R mà < δ thì
= =<ε
Hàm y = sinx, y = cosx liên tục đều trên R. Thật vậy, chẳng hạn ta xét
hàm y = cosx, ta thấy
= =2≤2=

Với ε> 0 cho ta bất kì ,ta chỉ cần chọn δ = ε thì khi ∀ x, ∈ R, < δ ta có< ε .
Bài tập 19:
Chứng minh rằng f(x) = liên tục đều trên khoảng (−1,1). Thật vậy, lấy hai điểm
bất kì ∀ x,∈ ( -1,1), khi đó
= =
=<2
Với ε > 0 nhỏ tùy ý, ta chỉ cần chọn δ = , khi đó ∀x, ∈ ( -1,1) mà = δ
< 2δ = 2 = ε
Nhận xét: Để chứng minh hàm f(x) không liên tục đều trên tập A ta chỉ cần
chứng minh mệnh đề sau: ∃ε > 0, ∃∈ A sao cho → 0 thì
≥ε

C. KẾT LUẬN
Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của giải tích toán học. Nói riêng,
hàm số liên tục được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa
học và kỹ thuật. Nhiều tính chất đáng quí của hàm số được khai thác triệt để và
là giả thiết không thể thiếu trong nhiều nghiên cứu: tính liên tục, tính khả vi và
tinh chất cực trị của hàm.
Luận văn này nhằm tập trung tìm hiểu những kiến thức giải tích và tối ưu hóa
cơ bản liên quan đến hàm số liên tục, cần dùng trong phân tích và nghiên cứu
kinh tế về mặt lượng(bổ sung cho các nghiên cứu định tính).
Chương 1: Trình bày khái quát về hàm số liên tục tại 1 điểm, hàm số liên
tục trên một khoảng, đoạn và liên tục đều.
Chương 2: Áp dụng với những bài tập liên quan đến hàm số liên tục.
Tác giả đã cố gắng sắp xếp và trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng và trực
quan nhất có thể, đưa ra các bài tập áp dụng cho nhiều khái niệm và sự kiện đề
cập tới trong tiểu luận.
Hi vọng bài tiểu luận này sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các đối
tượng không chuyên sâu về toán muốn tìm hiểu và vận dụng công cụ giải tích,
đặc biệt là các phương pháp tối ưu trong chuyên môn của mình.


D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. NgôThànhPhong - Giáotrìnhtoáncaocấp ĐHKHTN 2003
2. NguyễnĐìnhTrívànhiềutácgiảkhác
3 Trangwed Google.com