nghiên cứu một số kiến thức trong dao động cơ

Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
-----------------------------------------------------------------------------------------

A.MỞ ĐẦU
Cơ học là một phần của Vật lý học nghiên cứu các định luật về sự chuyển động và đứng
yên của các vật. Trong chương trình Vật lý phổ thông trước đây cơ học được chia thành các
phần: Động học, Động lực học, Tĩnh học, Các định luật bảo toàn và Dao động cơ và Sóng cơ.
Như vậy phần cơ học trước đây chỉ đề cập đến chuyển động của chất điểm và cân bằng của
vật rắn mà chưa nghiên cứu chuyển động của vật rắn. Tiểu luận này không những trình
bày hiểu biết của chúng tôi với mục đích là phân tích, đào sâu để làm rõ và củng cố kiến
thức của hai phần động lực học vật rắn và dao động cơ trong chương trình vật lý phổ thông
lớp 12.

----------------------------------------------------------------------------------------- 11
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------KHÁI QUÁT PHẦN “DAO ĐỘNG CƠ”

Dao động là chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng. Những
quá trình dao động có thể có bản chất vật lý hoàn toàn khác nhau, nhưng
chúng có những đặc điểm chung và tuân theo cùng một quy luật biến đổi.
Một cách tiếp cận chung trong việc nghiên cứu dao động trong các hệ vật lý
khác nhau cho phép xem xét dao động cơ và dao động khác theo cùng một
quan điểm. Trong cơ học, dao động cơ là biến thiên tuần hoàn của vị trí và
vận tốc một vật dưới tác dụng của lực cơ học [7]. Một dao động được
nghiên cứu nhiều trong cơ học là dao động tuần hoàn, tức là dao động lặp đi
lặp lại như cũ quanh vị trí cân bằng sau những khoảng thời gian bằng nhau.
Ở đây chúng ta quan tâm đến vấn đề đại lượng vật lý trong dao động biến

thiên như thế nào, khi các đại lượng vât lý biến thiên theo thời gian theo
quy luật dạng sin hay cosin thì dao động đó là dao động điều hòa. Dựa vào
các định luật cơ học (động lực học) ta có thể thiết lập phương trình vi phân
để khảo sát dao động, đưa ra định nghĩa về dao động điều hòa và các đại
lượng đặc trưng cho dao động điều hòa, từ đó khảo sát các hệ dao động và
các dạng dao động.
Với cách tiếp cận dùng phương trình vi phân khảo sát sao dao động,
nhiều sách vật lý đã trình bày cùng một lúc nhiều loại dao động như dao
động cơ, dao động điện..Trong chương trình sách giáo khoa hiện nay trình
bày dao động cơ trước, sau đó trình bày dao động điện và cuối cùng nêu lên
đặc điểm chung của hai loại dao động.Trong phần dao động cơ dựa vào
cách kích thích hoặc theo động học ta có thể phân biệt các dạng dao động
như dao động tự do, dao động tắt dần, dao động cưỡng bức, dao động duy
trì.

Nhiệm vụ: Trong chương này chúng ta nghiên cứu những vấn đề
sau:
----------------------------------------------------------------------------------------- 22
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------o Dao động điều hòa, phương trình dao động điều hòa, các đại
lượng đặc trưng của dao động điều hòa
o

Các hệ dao động gồm con lắc lò xo, con lắc đơn, con lắc vật lý

o

Các dạng dao động gồm dao động tự do, dao động tắt dần, dao
động duy trì, dao động cưỡng bức

o

Sử dụng phương pháp giản đồ Fre-nen để tổng hợp hai dao
động điều hòa cùng phương cùng tần số

I. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Một số khái niệm
Dao động điều hòa
Dao động tắt dần
Dao động cưỡng bức


Con lắc lò xo



Con lắc đơn

2.Phương pháp giản đồ véc tơ quay
3. Hiện tượng cộng hưởng
3. Ứng dụng dao động trong kỹ thuật
II

PHÂN TÍCH KIẾN THỨC CHƯƠNG
1 Đại cương về dao động điều hòa

1.1 Hiện tượng tuần hoàn:
Trong thiên nhiên, đời sống và trong kỹ thuật, ta thường gặp nhiều hiện
tượng lặp đi lặp lại một cách tuần hoàn, nghĩa là cứ sau một khoảng thời
gian xác định, hiện tượng lại lặp lại như cũ. Đó là hiện tượng tuần hoàn.
Hiện tượng tuần hoàn là hiện tượng cứ sau một khoảng thời gian xác định
lại lặp lại đúng như cũ.[2]

----------------------------------------------------------------------------------------- 33
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------Khoảng thời gian T nhỏ nhất mà sau đó hiện tượng lặp lại như cũ gọi là
chu kỳ của hiện tượng tuần hoàn. Số chu kỳ trong một đơn vị thời gian (1
giây) gọi là tần số của hiện tượng. Ký hiệu tần số là f, thì:
f =

1
T

f: được đo bằng héc (Hz).
Ta gọi đại lượng biến thiên tuần hoàn là x, thì theo định nghĩa trên:
x = f(t) = f(t+nT)
trong đó n là số nguyên. Ta thấy hàm f hoàn toàn xác định nếu ta biết giá
trị của nó trong khoảng thời gian (0,T).
Dao động điều hòa là gì?
Các quan niệm về dao động điều hòa:
2

1

Quan niệm 1: Dùng hàm điều hòa

x = A cos( ωt + ϕ )

hoặc

x = A sin( ωt + ϕ )

để

định nghĩa:
“Dao động điều hòa là chuyển động của một vật mà li độ biến đổi theo
định luật dạng sin hay cosin theo theo thời gian, trong đó A, ω, φ là
những hằng số”.
Quan niệm 2: Dùng biểu thức của lực hồi phục

F = −kx

để định nghĩa:

“ Chuyển động điều hòa đơn giản là chuyển động thực hiện bởi một hạt
có khối lượng m, dưới tác dụng của một lực tỉ lệ với li độ của hạt nhưng
trái dấu”

Quan điểm 3: Dùng phương trình vi phân

a = −ω 2 x

hay

x '' +ω 2 x =0

để

định nghĩa dao động điều hòa:
----------------------------------------------------------------------------------------- 44
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------“ Dao động điều hòa của một vật là dao động trong đó gia tốc của vật:

2

+ Luôn hướng về vị trí cân bằng
+ Tỉ lệ với li độ từ vị trí cân bằng” [6]
Phương trình vi phân dao động điều hòa
Trong tất cả các tất cả các trường hợp: con lắc lò xo nằm ngang, con lắc
lò xo thẳng đứng, con lắc đơn dao động nhỏ, con lắc vật lý dao động nhỏ, thì
phương trình vi phân của chuyển động đều có dạng:
x '' +ω 2 x = 0

(1)

đó là phương trình vi phân tuyến tính hạng hai thuần nhất. Theo lý
thuyết phương trình vi phân thì nghiệm tổng quát của phương trình (1) có

dạng:
x = A sin ωt + A cosωt
1
2

(2)

trong đó A1 và A2 là hai hằng số tùy ý. Giả sử giá trị của hàm x và đạo hàm
theo thời gian x’ của nó tại thời điểm ban đầu :
t = 0, x = x( 0) , x' = x' ( 0)

(3)

thì có thể xác định A1 và A2. Biểu thức (3) gọi là điều kiện ban đầu của (1).
Từ điều kiện ban đầu và biểu thức (2) của nghiệm tổng quát ta xác định
được giá trị của các hằng số A1 và A2.
Cho t = 0, từ phương trình (2), ta có :
x = A = x( 0 )
2

(4)

Lấy đạo hàm của (2) theo thời gian :
x’ = ωA1cosωt - ωA2sinωt

(5)

----------------------------------------------------------------------------------------- 55
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23

Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------Cho t = 0 trong phương trình (5)
x' ( 0) = ωA
1

Α1 =

hay

1 '
x ( 0)
ω

Nghiệm (2) với các giá trị của A1 và A2 đã được xác định gọi là nghiệm
riêng của phương trình (1) với điều kiện ban đầu (3).
Nghiệm tổng quát của (2) có thể viết dưới dạng :
x = Acos(ωt + φ)

(6)

trong đó các hằng số tùy ý là A, φ. Hai biểu thức ở vế phải của (2) và (6) là
trùng nhau với mối liên hệ giữa các hằng số tùy ý như sau:
A=

A12 + A22

A
ϕ = arctan( 1 )

A2

(7)

(8)

Với điều kiện ban đầu ta cũng xác định giá trị của các hằng số tương tự
như trên. Cũng có thể tính A và φ theo (7) và (8):
A = x 2 ( 0) +

x '2
ω2

x ' ( 0)
ϕ = arctan(
)
ωx ( 0 )

(9)

(10)

Biểu thức ở vế phải của (6) với các hằng số A, φ đã xác định theo (9) và
10) với điều kiện ban đầu (3). Đó là biểu thức của một dao động điều hòa có
biên độ A và pha ban đầu φ , hai đại lượng này phụ thuộc vào cách kích

----------------------------------------------------------------------------------------- 66
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23

Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------thích ban đầu, tức là vào điều kiện ban đầu, tần số góc của dao động đã có
giá trị xác định trong (1).
Trong từng trường hợp cụ thể ω có biểu thức xác định, chỉ phụ thuộc vào
hệ dao động. Như vậy, các dao động của một hệ có cùng một tần số góc ω
và có biên độ A, pha ban đầu φ phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu.
Công thức độc lập ( liên hệ x, v, và A)

1.2.3 Các đại lượng trong dao động điều hòa:
a Li độ x (độ lệch ra khỏi vị trí cân bằng)
x có thể âm hoặc dương.
Tại vị trí cân bằng x=0, tại 2 biên x=

----------------------------------------------------------------------------------------- 77
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------b Biên độ của dao động: A
A= xmax (khoảng cách từ vị trí cân bằng tới vị trí biên, nó phụ thuộc vào

c

điều kiện kích thích, tức là phụ thuộc vào năng lượng làm vật dao động.
A là một số dương.
Pha của dao động :

Là đại lượng trung gian cho biết biết trạng thái

M

dao động (x, v, a) của vật ở thời điểm t.
d

Pha ban đầu của dao động :
P2
Là pha ở thời điểm t = 0
xác định trạng thái ban đầu (x0, v0, ao) của vật,
phụ thuộc vào gốc thời gian, chiều dương và

O

ωϕt
x

P

gốc tọa độ của trục (hệ quy chiếu).
1.2.4 Công thức vận tốc trong dao động điều hòa
 vận tốc tức thời của một vật chuyển động trên một trục là đạo


hàm bậc nhất của tọa độ (vị trí x) của vật theo thời gian v = x ’
vận tốc của vật dao động điều hòa có công thức



Vận tốc biến thiên điều hòa, cùng tần số với li độ x, nhưng sơm



pha hơn li độ x là
Khi qua vị trí cân bằng (x = 0) vận tốc của vật đạt giá trị cực đại ,
hoặc cực tiểu, độ lớn . Khi ở hai biên (x = ) vận tốc của vật v = 0



( vật dừng lại và đổi chiều chuyển động)
Khi vật chuyển động từ hai biên về vị trí cân bằng thì chuyển động
nhanh dần ( gia tốc và lực cùng chiều với ). Khi vật chuyển động
từ vị trí cân bằng ra hai biên thì chuyển động chậm dần (gia tốc
và lực ngược chiều với ).

1.2.5 Công thức gia tốc của vật dao động điều hòa :
 Gia tốc của vật chuyển động trên trục là đạo hàm bậc nhất của
vận tốc v theo thời gian, hay đạo hàm bậc hai của tọa độ x theo


thời gian: a = v’ = x’’
Công thức gia tốc của vật dao động điều hòa

----------------------------------------------------------------------------------------- 88
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23

P1
x

Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------

Tại vị trí cân bằng x = 0 nên a = 0. Tại hai biên (x = -A) gia tốc cực

đại, tại (x = +A) gia tốc cực tiểu, độ lớn
 Vecto gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng 0
Vận tốc, gia tốc luôn biến thiên điều hòa cùng tần số (chu kỳ) với li độ x,
gia tốc a ngược pha với li độ
x và sớm pha hơn vận tốc v
là

2. Một số hệ dao động
2.1 Con lắc lò xo
2.1.1 Con lắc lò xo là gì?
Con lắc lò xo đơn giản gồm một
vật kích thước không đáng kể
khối lượng m được gắn vào một
đầu của lò xo có khối lượng
không đáng kể và độ cứng k
(N/m), đầu còn lại của lò xo được giữ cố định.
2.1.2 Khảo sát dao động của con lắc lò xo về
mặt động lực học
2.2.2.1 Con lắc lò xo nằm ngang
Trong hệ này vật trượt không ma sát trên
mặt phẳng nằm ngang . Tại vị trí cân bằng lò

Hình 3a: Con lắc lò xo

xo không biến dạng Chọn trục tọa độ x x
’

trùng với mặt phảng ngang dọc theo chiều
----------------------------------------------------------------------------------------- 99
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------chuyển động của vật, chiều dương hướng sang phải, gốc tọa độ 0 tại vị trí
cân bằng.
Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn x =x 0 rồi thả tay ra, ta thấy nó dao
động quanh vị trí cân bằng.
Tại vị trí bất kỳ vật chịu tác dụng của: trọng lực , phản lực và lực đàn hồi
của lò xo. Vì và luôn cân bằng nên chỉ có lực làm vật dao động.
Theo định luật Húc

Ở đây x là tọa độ của vật được đo từ vị trí lò xo ở trạng thái tự nhiên,
tức là không co dãn. Loại lực này được gọi là lực hồi phục tuyến tính[3]. Nó
được gọi “tuyến tính” vì tỉ lệ tuyến tính với độ dịch chuyển x và được gọi là
“hồi phục” vì lực luôn ngược hướng với độ dịch chuyển.
Vì lực lò xo chính bằng lực tổng hợp tác dụng lên vật, nên theo định
luật hai Niu-tơn ta có:
− kx = ma

Độ lớn:
ax =

Mặt khác ta có:

x
d 2x
dt 2

, biến đổi các số hạng ta có:

d 2x
k
=− x
m
dt 2

(13)

Định luật hai Niu-tơn bây giờ trở thành một phương trình vi phân đối với
tọa độ x. Nghiệm của phương trình vi phân được viết dưới dạng:
x = A cos( ωt + ϕ )

(14)

-----------------------------------------------------------------------------------------1010
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------Như chúng ta đã thấy đạo hàm bậc hai của x đối với t là:
d 2x
= −ω 2 A cos(ωt + ϕ )

2
dt

Thay vào phương trình (13), ta được:
− ω 2 A cos(ωt + ϕ ) = −

k
x
m

ω2 =

Như vậy, phương trình (14) là nghiệm của phương trình (13) với

k
m

.

Điều này có ý nghĩa là vật thực hiện dao động điều hòa với tần số góc
ω=

k
m

.

Chu kỳ của con lắc lò xo:
Chu kỳ (tần số, tần số góc) của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc vào đặc tính của
hệ, không phụ thuộc vào các đặc tính bên ngoài nên dao động của nó là một

dao động tự do.
Lực đàn hồi của lò xo: nên Fmax = kA, Fmin = 0.
Phân biệt lực hồi phục và lực đàn hồi
-

Lực hồi phục là lực xuất hiện khi vật bị biến dạng, lực có xu hướng

-

đưa vật trở về vị trí cân bằng.
Lực đàn hồi là lực xuất hiện khi vật bị biến dạng , có xu hướng đưa

vật trở về vị trí có hình dạng ban đầu ( chiều dài tự nhiên).
1.2.2.2
Con lắc lò xo thẳng đứng
Tại vị trí cân bằng vật chịu tác dụng của trọng lực và lực đàn hồi ,hai lực
này cân bằng:
-----------------------------------------------------------------------------------------1111
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------Về độ lớn: P – Fđh =0
mg = k. l

Tại vị trí cân bằng lò xo đã biến dạng một lượng
•
•

Chu kỳ con lắc lò xo thẳng đứng:
Lực đàn hồi cực đại: Fmax = k( l + A)

•

Lực đàn hồi cực tiểu : Fmin = k( l – A), nếu l > A thì Fmin = 0.

•

Lực đàn hồi khi vật ở vị trí bất kỳ : F = k ( l

)

2.1.2.3 Con lắc lò xo khi đặt trên mặt phẳng nằm nghiêng
Về mặt chuyển động thì giống hai trường hợp trên, nhưng tại vị trí cân
bằng lò xo đã biến dạng , là góc hợp bởi mặt phẳng nghiêng và mặt phẳng
nằm ngang.
Chu kỳ con lắc lò xo trên mặt phẳng nghiêng:
2.1.2.4 Hệ gồm hai lò xo ghép song song
Giả sử tại vị trí cân bằng ta tác dụng vào vật một lực , vật dịch chuyển một
đoạn l. khi đó lò xo k1 chịu tác dụng của một lực , lò xo k2 chịu tác dụng

của một lực . Vì cả hai lò xo đều giãn đều ra một đoạn l nên :

F1 = k1 l , F2 = k2 l

F1 + F2 = (k1 + k2) l

-----------------------------------------------------------------------------------------1212
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên

LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------F = (k1 + k2) l

Gọi k là độ cứng tương đương của 2 lò xo : F = k l

Suy ra : k = k1 + k2
Hệ 2 lò xo ghép song song tương đương lò xo có độ cứng : k = k1 + k2
2.1.2.5 Hệ gồm hai lò xo ghép nối tiếp :
Giả sử tại vị trí cân bằng ta tác dụng vào vật một lực , vật dịch chuyển một
đoạn l. Vì hai lò xo ghép nối tiếp nhau nên tại mọi thời điểm cũng như tại
mọi vị trí, lực đàn hồi của hai lò xo như nhau :
Gọi , lần lượt là độ biến dạng của hai lò xo k 1, k2
Ta có :
Vậy hệ hai lò xo ghép nối tiếp tương đương một lò xo có độ cứng :

Nếu một con lắc lò xo được cắt thành nhiều đoạn thì độ cứng mỗi đoạn tỉ lệ
nghịch với chiều dài của nó : k0l0 = k1l1 = k2l2 = …
2.1.3 Khảo sát dao động con lắc lò xo về mặt năng lượng
 Khái niệm năng lượng:
Tất cả các dạng cụ thể của vật chất đều có năng lượng. Theo nghĩa
chung nhất, năng lượng là một thuộc tính cơ bản của vật chất, đặc trưng
cho mức độ vận động của vật chất.

-----------------------------------------------------------------------------------------1313
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23

Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------Mỗi hình thức vận động cụ thể của vật chất sẽ tương ứng với một dạng
năng lượng cụ thể. Ví dụ: trong vận động cơ ta có cơ năng; vận động nhiệt
ta có nhiệt năng, nội năng; vận động điện từ ta có năng lượng điện từ; …
Năng lượng thường kí hiệu là E (Energy). Trong hệ SI, đơn vi đo năng
lượng là Jun (J). Theo Einstein, năng lượng và khối lượng của vật quan hệ
với nhau bởi: E = mc2 với c = 3.108 m/s là vận tốc ánh sáng trong chân
không. [4]


Động năng
Xét một chất điểm khối lượng m chuyển dời từ vị trí (1) đến vị trí (2)

dưới tác dụng của lực


F

. Công của lực


F

trong quá trình đó là:



2  2  
dv  2 ds  2   2  mv 2 

A = ∫ Fds = ∫ mads = ∫ m ds = ∫ m dv = ∫ mv dv = ∫ d
dt
1
1
1 dt
1
1  2 

mv 2 mv 2
A= 2 − 1
2
2

Suy ra :

Trong đó

1
E = mv 2
đ 2

là động năng của vật.

Vậy: Động năng của một chất điểm là năng lượng tương ứng với sự chuyển
động của chất điểm đó, có giá trị bằng nửa tích khối lượng với bình
phương vận tốc của chất điểm.[4]


Thế năng
Ta biết, công của trường lực thế không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ

phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của đường đi. Để đặc trưng cho
-----------------------------------------------------------------------------------------1414
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------tính chất thế của trường lực, ta dùng hàm vô hướng E t(x,y,z) mô tả vị trí
các điểm trong trường lực, sao cho hiệu hai giá trị của hàm tại hai điểm M,
N bất kì bằng công của lực thế thực hiện giữa hai điểm đó. Hàm E t(x,y,z) có
tính chất như vậy được gọi là hàm thế, hay thế năng của trường lực thế đó.
Vậy: Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là hàm phụ thuộc vào vị
trí của chất điểm, sao cho hiệu các giá trị của hàm tại hai điểm M, N chính
bằng công của lực thế đã thực hiện trong quá trình chất điểm di chuyển từ
M đến N[4]
Et (M) – Et (N) = AMN

(15)

Trong hệ SI, thế năng có đơn vị là jun (J).
Với biểu thức (15), ta thấy có rất nhiều hàm thế, các hàm này sai khác nhau
một hằng số cộng C. Do đó, thế năng của vật không xác định đơn giá mà sai
khác nhau một hằng số cộng. Tuy nhiên, hiệu thế năng tại hai điểm luôn xác
định đơn giá.
Nếu chọn gốc thế năng ở vô cùng (Et(∞) = 0) thì thế năng tại điểm M sẽ xác
định đơn giá và có biểu thức tính:
∞ 
Et ( M ) = AM∞ = ∫ Fds
M

Tổng quát, thế năng tại điểm M(x,y,z) trong trường lực thế có biểu thức
tính:
 
Et ( M ) = ∫ Fds

với C là hằng số, phụ thuộc vào điểm chọn gốc thế năng.
 Thế năng của trọng lực:

Thế năng của trọng lực ở gần mặt đất là:
-----------------------------------------------------------------------------------------1515
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------Et = mgh + C
với h là độ cao của vật so với mặt đất.
Nếu chọn gốc thế năng tại mặt đất thì: Et = mgh


Thế năng của lực đàn hồi:

Xét biến dạng một chiều của lò xo. Lực đàn hồi của lò xo, có dạng:


F = −kx

Ta có công của lực đàn hồi là:
x

 
2
1
A = ∫ Fds = −k ∫ xdx = k ( x 2 − x 2 )
2
2 1
s
x
1

Thế năng của lực đàn hồi là:
1
Et = kx 2 + C
2

Nếu chọn gốc thế năng tại vị trí mà lò xo không biến dạng thì ta có:
1
Et = kx 2
2


Năng lượng dao động điều hòa con lắc lò xo

Cho vật dao động điều hòa với phương trình :
x = A cos( ωt + ϕ )

Dao động là một dạng chuyển động cơ, vì vậy năng lượng dao động cơ E
cho bởi:
E=E +E
đ

t

-----------------------------------------------------------------------------------------1616
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------Thế năng của con lắc lò xo tại thời điểm t:
1
1
Et = kx 2 = k [ A cos( ωt + ϕ ) ] 2
2
2

Động năng của con lắc lò xo tại thời điểm t:
2
1
1
E = mv 2 = m − ω 2 A sin( ωt + ϕ ) 
đ 2

2 

Giá trị cực đại của hàm sin, cosin bằng 1 nên động năng và thế năng được
viết lại như sau:
Et = Et max cos2 ( ωt + ϕ )
E =E
sin 2 ( ωt + ϕ )
đ

đ max

Với

1
Et max = kA2
2

và
E

1
E
= mω 2 A2
đ max 2

đ max

ω2 =

vì

k
m

nên

1
1
= mω 2 A2 = kA2

2
2

Et max = E
đ max

Hay:

Trong hệ dao động chỉ có lực đàn hồi của lò xo thực hiện công, do đó cơ
năng E của hệ bằng:
1
E = Et + E = kA2
đ 2

Như vậy, cơ năng của con lắc dao động điều hòa là không đổi.

-----------------------------------------------------------------------------------------1717
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------E
Et
đ
Đồ thị biểu diễn
và
theo thời gian được cho trên hình vẽ. Mỗi hàm
đều dao động giữa 0 và E. Năng lượng của dao động biến đổi liên tục từ thế
năng sang động năng, rồi lại trở về thế năng, và cứ như thế mãi mãi.

W

W
Eđ

Et

Hình : Thế năng và động năng của dao động điều hòa biến thiên theo thời gian t với φ=0.

2.2 Con lắc vật lý
2.2.1 Định nghĩa
Con lắc vật lý là một vật rắn khối lượng M có thể dao động quanh một trục
nằm ngang cố định (đi qua O) [3]
2.2.2 Khảo sát dao động của con vật lý về mặt động lực học
Xét con lắc vật lý: Gọi C là khối tâm của vật
rắn, C cách O một đoạn L.
+ Khi con lắc ở vị trí cân bằng, có hai
ngoại lực tác dụng: trọng lực và phản lực
đặt tại O do trục quay tác dụng lên vật rắn.
Tại vị trí này mômen của của hai lực trên

Hình : Con lắc vật lý

đối với trục quay đi qua O đều bằng 0 do đó gia tốc góc a z = 0.

-----------------------------------------------------------------------------------------1818
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23

Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------+ Dưới tác dụng của trọng lực con lắc dao động. Chọn góc lệch

θ

của OC so

với đường thẳng đứng làm tọa độ góc. Tại vị trí này thì tổng mômen các
lực đối với trục O là mô men của trọng lượng . Đối với giá trị dương của
θ

góc , mômen lực này có xu hướng làm quay theo chiều kim đồng hồ, tức là
có xu hướng kéo con lắc về vị trí cân bằng. Khoảng cách vuông góc từ trục
θ

O đến đường tác dụng của bằng Lsin . Với trục z được chọn đi ra phía
ngoài trang giấy thì thành phần z của mômen lực
M z = − Fe L sin θ = mgL sin θ

. Áp dụng định luật II Niu- tơn cho chuyển động

.

quay :
∑ M z = Iγ z

θ

hay : - mgLsin = I
γz =−

Gia tốc góc
γz =

Mặt khác

d 2θ
dt 2

mgL
sin θ
I

γ
z

đối với chuyển động quay
θ '' +

. Thay vào biểu thức trên ta có :

mgL
sin θ = 0
I

(16)

Xét dao động con lắc chỉ giới hạn những dịch chuyển nhỏ khỏi vị trí cân
bằng. Khi đó
θ '' +

mgL
θ =0
I

sin θ ≈ θ

θ

đo bằng radian, thay vào biểu thức (16) ta có:

biểu thức này hoàn toàn tương tự với biểu thức

ω2 =

nếu ta thay

với

mgL
I

. Vì

γz

ax + ω 2 x = 0

θ

tỉ lệ với - đối với những dịch chuyển nhỏ khỏi

-----------------------------------------------------------------------------------------1919
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------vị trí cân bằng, nên con lắc sẽ thực hiện dao động điều hòa. Tọa độ góc con
lắc vật lý đối với những dịch chuyển nhỏ là:
θ = A cos( ωt + θ )

Với

θ

ω=

với

mgL
I

(17)

là tọa độ góc, A biểu diễn tọa độ góc cực đại.
T = 2π

Chu kì con lắc vật lý:

I
mgL

2.2.3 Ứng dụng con lắc vật lý
Dùng con lắc vật lý đo gia tốc trọng trường g. Đặt con lắc tại một vị trí, đo
T = 2π

chu kì T của con lắc dao động. Dùng công thức

I
mgL

suy ra gia tốc g

của trọng trường tại vị trí đặt con lắc. Biết giá trị g tại các vị trí khác nhau
trong một vùng, có thể suy ra phân bố khối lượng khoáng vật ở dưới mặt
đất trong vùng đó giúp cho việc tìm mỏ dầu..
2.3 Con lắc đơn (con lắc toán học)
Con lắc đơn là trường hợp riêng của con lắc vật lý
1

Định nghĩa:

Con lắc đơn gồm vật nặng có kích thước nhỏ, có khối lượng m. Treo ở đầu
sợi dây mềm không giãn có độ dài L và có khối lượng không đáng kể [2].
Chuyển động tuần hoàn của con lắc đã được sử

O

dụng từ lâu trong đồng hồ quả lắc để điều chỉnh cơ

cấu làm cho các kim chuyển động trên mặt số. Đối
với những dịch chuyển nhỏ khỏi vị trí cân bằng và
không có ma sát con lắc đơn sẽ thực hiện dao động
điều hòa.
-----------------------------------------------------------------------------------------2020
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật
LýC: Con
_K23
Hình
lắc đơn.


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------2
Khảo sát dao động của con lắc đơn về mặt động lực học
Xét con lắc đơn có toàn bộ khối lượng tập trung vào một đầu và được treo
ở đầu kia.
Ở đây con lắc chuyển động trên một phần cung tròn, nên ta có thể dùng một
tọa độ góc và áp dụng động lực học cho chuyển động quay để phân tích
chuyển động của con lắc.Chọn trục O đi qua đầu trên của dây và vuông góc
với mặt phẳng hình vẽ.
+ Khi con lắc ở vị trí cân bằng, có hai ngoại lực tác dụng: trọng lực e và lực
s

do giá đỡ tác dụng lên đầu trên của dây. Tại vị trí này momen của của hai

lực trên đối với trục O đều bằng 0 do đó gia tốc góc a z = 0.
+ Nếu con lắc dịch khỏi vị trí cân bằng như hình vẽ thì tổng momen các
ngoại lực đối với trục O là momen của trọng lượng e. Đối với giá trị dương

của góc

θ

như trên hình vẽ, momen lực này có xu hướng làm quay theo

chiều kim đồng hồ, tức là có xu hướng kéo con lắc về vị trí cân bằng.
θ

Khoảng cách vuông góc từ trục O đến đường tác dụng của e bằng Lsin . Với
trục z được chọn đi từ trái sang phải thì thành phần z của momen lực
M z = − Fe L sin θ = mgL sin θ

. Vì khối lượng của dây có thể bỏ qua, nên

momen quán tính của con lắc đơn đối với trục O chỉ do khối lượng m cách
trục một đoạn L đóng góp, I = mL2.. Áp dụng định luật II Niu-tơn cho chuyển
động quay :

∑M

z

= Iγ z

Gia tốc góc

θ

hay : - mgLsin = mL

g
γ z = − sin θ
L

2

γ
z

đối với chuyển động quay

-----------------------------------------------------------------------------------------2121
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------γz =

Mặt khác

d 2θ
dt 2

θ '' +

. Thay vào biểu thức trên ta có :

g
sin θ = 0

L

(16)

Xét dao động con lắc chỉ giới hạn những dịch chuyển nhỏ khỏi vị trí cân
bằng. Khi đó
g
θ '' + θ = 0
L

với

θ

đo bằng radian, thay vào biểu thức (16) ta có:

biểu thức này hoàn toàn tương tự với biểu thức

ω2 =

ta thay

sin θ ≈ θ

g
L

. Vì

γz

x '' + ω 2 x = 0

nếu

θ

tỉ lệ với - đối với những dịch chuyển nhỏ khỏi vị trí

cân bằng, nên con lắc sẽ thực hiện dao động điều hòa. Tọa độ góc con lắc
đơn đối với những dịch chuyển nhỏ là:
θ = A cos( ωt + θ )

Với

θ

ω=

với

g
L

(17)

là tọa độ góc, A biểu diễn tọa độ góc cực đại.
T = 2π

Chu kì con lắc đơn:

Từ công thức

I
mgL

thay I = mL2 OC = L

Vậy

* Chú ý : Cũng tương tự như con lắc lò xo, với con lắc đơn ta cũng có hệ
thức liên hệ giữa li độ, biên độ, tốc độ và tần số góc như sau:

Trong đó: là hệ thức liên hệ giữa độ dài cung và bán kính cung.
2.3.3 Khảo sát dao động của con lắc đơn về mặt năng lượng
Động năng của con lắc đơn

-----------------------------------------------------------------------------------------2222
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------Thế năng của con lắc (Chọn gốc thế năng tại VTCB và con lắc có li độ góc

Cơ năng của con lắc

* Chú ý : Các công thức tính động năng, thế năng và cơ năng trên là những
công thức tính chính xác với mọi giá trị của góc lệch α. Khi α nhỏ (α < 10 0)
thì chúng ta có các công thức tính gần đúng giá trị của thế năng và cơ năng

của con lắc như sau:
Vì:
Khi đó:

Động năng của con lắc đơn :
Thế năng của con lắc đơn :

Do nên ta có

Cơ năng của con lắc đơn :
Đơn vị tính : W, Wđ, Wt (J); , (rad); m (kg); L(m).

3. Các dạng dao động
Dao động có thể được phân loại theo các dấu hiệu khác nhau như theo bản
chất vật lý của các quá trình ta có dao động cơ, dao động điện.
Dựa vào cách kích thích dao động thì có thể phân biệt :
o
o
o
o

Dao động tự do
Dao động tắt dần
Dao động cưỡng bức
Tự dao động

-----------------------------------------------------------------------------------------2323
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23

Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------Dựa vào động học thì có thể phân biệt :
o
o

Dao động tuần hoàn
Dao động không tuần hoàn.

3.1 Dao động tự do (dao động riêng)
”Dao động tự do xuất hiện trong trường hợp mà hệ vật lý được đưa
ra khỏi trạng thái cân bằng và sau đó tự biến đổi không có tác dụng
từ bên ngoài”.[5]
”Các dao động mà hệ thực hiện quanh vị trí cân bằng, sau khi hệ
được đưa ra khỏi vị trí cân bằng bền bằng một cách nào đó” [1]
3.2. Dao động tắt dần
3.2.1 Định nghĩa
Trong thực tế, khi khảo sát dao động của hệ, ta không
thể bỏ qua các lực ma sát. Do đó năng lượng của hệ
dao động không phải là hằng số mà giảm dần theo
thời gian.
”Dao động tắt dần là những dao động mà biên
độ chúng giảm dần theo thời gian. Quy luật
giảm của biên độ phụ thuộc vào tính chất của
các lực tác dụng lên vật”[1]
3.2.2 Phương trình vi phân dao động tắt dần
Trong các mục trước chúng ta xét một vật dao động điều hòa với biên độ
cực đại không thay đổi theo thời gian. Để cho đơn giản, trước đây chúng ta
đã bỏ qua lực cản của môi trường tác dụng lên vật. Trong mục này, chúng
ta xét đến ảnh hưởng của lực cản của môi trường lên dao động điều hòa

của con lắc lò xo. Thông thường, lực cản của môi trường lên chuyển động
của vật tỉ lệ với vận tốc chuyển động của vật, tức là :

-----------------------------------------------------------------------------------------2424
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23


Nghiên cứu chương trình vật lí phổ thông
----------------------------------------------------------------------------------------Fc = −ηv η
là hệ số cản môi trường
Vậy ta có thể biểu diễn độ lớn của lực cản :
dx
Fc = −ηv = −η
dt

Tổng hợp lực tác dụng lên vật :
F ' = F + Fc = −kx − ηv

Phương trình chuyển động của vật trong trường hợp này là :
ma = −kx − ηv

Hay

Hay

dx
d 2x
m
= −k

− ηv
2
dt
dt

d 2 x η dx k
+
+ x=0
2
m
dt
m
dt

ωo2 =

Ta đặt

k
m

và

η
= 2β
m

thì phương trình chuyển động của vật có thể viết dưới dạng :
d 2x
dx

+ 2β
+ ω 2x = 0
o
dt
dt 2

(18)

-----------------------------------------------------------------------------------------2525
Trịnh Thị Triều & Lê Thị Viên
LL và PPDH Vật Lý _K23