10 phản xạ khi giải phương trình lượng giác thầy Nguyễn Thanh Tùng

GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan


10 PHẢN
XẠ HAY DÙNG KHI GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

GV: Nguyễn Thanh Tùng

Phản xạ 1:

Khi gặp các góc lớn (từ 3x trở lên) thì thƣờng có 3 hƣớng đi

Hƣớng 1 “Ghép bộ cùng tên” để giảm góc và tạo tích bằng việc dùng công thức tổng (hiệu) thành tích.



ab
a b
;
cos
2
2
ab
a b
;
sin a  sin b  2sin
cos

2
2

ab
a b
sin
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2cos
sin
2
2

cos a  cos b  2cos

cos a  cos b  2sin

(ưu tiên kết hợp các góc cùng chẵn hoặc cùng lẻ)

Giải các phương trình sau:
1. (D – 2013): sin 3x  cos 2 x  sin x  0
3. (B – 2007): 2sin 2 2 x  sin 7 x 1  sin x.
5. (D – 2002): cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0

2. (D – 2012): sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x
4. (D – 2006): cos3x  cos 2 x  cos x 1  0
6. (B – 2002) sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x .

Hướng dẫn giải:
1. (D – 2013): sin 3x  cos 2 x  sin x  0
 (sin 3x  sin x)  cos 2 x  0
 2cos 2 x sin x  cos 2 x  0  cos 2 x(2sin x  1)  0...
2. (D – 2012): sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x

 (sin 3x  sin x)  (cos3x  cos x)  2 cos 2 x

 2cos 2 x sin x  2cos 2 xcos x  2 cos 2 x
 2 cos 2 x  2(sin x  cos x) 1   0...
3. (B – 2007): 2sin 2 2 x  sin 7 x 1  sin x.
 (sin 7 x  sin x)  2 sin 2 2 x  1  0
 2cos 4 x sin 3x  cos 4 x  0  cos 4 x(2sin 3x 1)  0...
4. (D – 2006): cos3x  cos 2 x  cos x 1  0
 (cos3x  cos x) (1  cos 2 x)  0
 2sin 2 x sin x  2sin 2 x  0  4sin 2 x cos x  2sin 2 x  0  2sin 2 x(2cos x  1)  0...

5. (D – 2002): cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0
 (cos 3x  cos x)  4(1  cos 2 x)  2cos x  0
 2cos 2 x cos x  8cos2 x  2cos x  0

 2cos x(cos 2 x  4cos x  1)  0  2cos x(2cos2 x  4cos x)  0  4cos 2 x(cos x  2)  0...

6. (B – 2002) sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x 

1  cos 6 x 1  cos8 x 1  cos10 x 1  cos12 x



2

2
2
2

 cos6x  cos8x  cos10x  cos12x
 2cos7 x cos x  2cos11x cos x  cos x(cos11x  cos 7 x)  0
 2cos x sin 9 x sin 2 x  0  sin 9 x sin 2 x  0...
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
Hƣớng 2 Chuyển phương trình về dạng sin u  sin v (hoặc cos u  cos v )
hoặc dạng a sin x  b cos x  c (hoặc mở rộng)

facebook.com/ThayTungToan

Chú ý:




Cách khử dấu “–” của các hàm lượng giác:  sin u  sin(u) ;  cos u  cos(   u) .
 tan u  tan(u) ;  cot u  cot( u)









Cách đổi tên hàm: sin u  cos   u  ; cos u  sin   u  ; tan u  cot   u  ; cot u  tan   u  .
2

2

2

2


Giải các phương trình sau:
1. (B – 2013): sin 5x  2cos2 x  1
3.

2.

3 sin 6 x  2sin 5x  1  2cos 2 3x .



3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  4sin 2  x  
4

Hướng dẫn giải:



1. (B – 2013): sin 5x  2cos2 x  1  sin 5x  1  cos 2 x  1  cos 2 x   sin 5 x  sin   2 x   sin(5 x)...

2


2.

3 sin 6 x  2sin 5x  1  2cos 2 3x

 3 sin 6 x  2sin 5x  1  1  cos 6 x
 3 sin 6 x  cos 6 x  2sin 5 x 

3.

3
1


sin 6 x  cos 6 x  sin 5 x  sin  6 x    sin 5 x …
2
2
6




3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  4sin 2  x  
4


 


 3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  2 1  cos  2 x   
2 


 3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  2(1  sin 2 x)

 3 cos 4 x  2sin 2 x(1  2sin 2 x)  2

 3 cos 4 x  2sin 2 x cos 2 x  2 

3 cos 4 x  sin 4 x  2

3
1

 k

cos 4 x  sin 4 x  1  cos  4 x    1  x   
.
2
2
3
12 2

Hƣớng 3
Khử và giảm số lượng góc lớn bằng việc “sử dụng công thức cộng hoặc tạo tích thành tổng” hoặc “đánh giá”.


Giải các phương trình sau:
1. cos 4 x(2sin 3x  cos x)  sin x(sin 4 x 1)

2. sin 2 x(1  cos5x  cos x)  sin 3x  2sin 3x cos2 2 x  3 cos 2 x  3
Hướng dẫn giải:
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
1. cos 4 x(2sin 3x  cos x)  sin x(sin 4 x 1) .

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

 2 sin 3x cos 4x  sin x  cos 4x cos x  sin 4x sin x


 sin 7 x  sin x  sin x  cos 3x  sin 7 x  sin   3x  ...
2

2. sin 2 x(1  cos5x  cos x)  sin 3x  2sin 3x cos2 2 x  3 cos 2 x  3
 sin 2 x(1  2cos3x cos 2 x)  sin 3x(2cos2 2 x 1)  3 cos 2 x  3

 sin 2 x  cos3x sin 4 x  sin 3x cos 4 x  3 cos 2 x  3
 sin 2 x  3 cos 2 x  sin 3x cos 4 x  cos3x sin 4 x  3
1


3

 2  sin 2 x 
cos 2 x   sin 7 x  3  2sin  2 x    sin 7 x  3 (*)

3
2

2




 


2sin  2 x    2 (*) sin  2 x    1
Do 
  
3
3  ...

sin 7 x  3  2
sin 7 x  1



CHÚ Ý: Chương trình học chính khóa không có cthức sin 3x  3sin x  4sin 3 x ; cos3x  4cos3 x  3cos x vì vậy
nếu xuất hiện trong đề thi thì “ý đồ” của người ra đề không phải sử dụng chúng (nếu các bạn dùng thì phải chứng
minh) nghĩa là các bạn nên đi theo 3 hướng tư duy trên.

Phản xạ 2: Khi xuất hiện

3 thƣờng chuyển về dạng a sin x  b cos x  c hoặc dạng mở rộng .

Cách giải chung: a sin u  b cos u  c .
Chia cả hai vế phương trình cho
a
a 2  b2

sin u 

b
a 2  b2

a 2  b2 ta được:

cos u 

c
a 2  b2

(đưa về công thức nghiệm) với cos  

 sin(u   ) 
a

a 2  b2

và sin  

c
a 2  b2
b
a 2  b2

Chú ý 1:
 Điều kiện phương trình có nghiệm là a 2  b2  c2
 Ta có thể đưa phương trình về dạng công thức nghiệm với cos .
 Thường

a 2  b2  2 (để số liệu bài toán “đẹp”).

Chú ý 2: Ngoài dạng nguyên gốc trên, chúng ta có thể gặp 3 dạng mở rộng sau


a sin u  b cos u  a 2  b2 sin v



a sin u  b cos u  a 2  b2 cos v



a sin u  b cos u  a 'sin v  b 'cos v

Cách giải cũng tương tự, khi ta chia cả hai vế phương trình cho

a 2  b2 .

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

Giải các phương trình sau:
1. (A,A1 – 2012): 3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x  1 2. (B – 2012): 2(cos x  3 sin x) cos x  cos x  3 sin x  1
(1  2sin x) cos x
3. (A – 2009):
4. (B – 2009): sinx  cos x sin 2 x  3 cos3x  2(cos 4 x  sin 3 x)
 3.
(1  2sin x)(1  sin x)
2

x
x

5. (D – 2009): 3 cos5x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0
6. (D – 2007):  sin  cos   3 cos x  2.
2
2

6
6
3
3
2
2
7. (B – 2008): sin x  3 cos x  sin x cos x  3 sin x cos x. 8. 8  sin x  cos x   2  3 3 sin 4 x .

9.





10. 2sin 3x sin x  3 cos x  1  2cos 2 x  0

3 sin x  cos x(4sin x  1)  0

Hướng dẫn giải:
1. (A,A1 – 2012). 3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x  1
 2 3 sin x cos x  2cos 2 x 1  2cos x 1
cos x  0
...
 2cos x( 3 sin x  cos x  1)  0  
 3 sin x  cos x  1

2. (B – 2012): 2(cos x  3 sin x) cos x  cos x  3 sin x  1
 2cos2 x  1  2 3 sin x cos x  cos x  3 sin x
 cos 2 x  3 sin 2 x  cos x  3 sin x



1
3
1
3


 cos 2 x 

sin 2 x  cos x 
sin x  cos  2 x    cos  x   …
3
3
2
2
2
2


sin x  1

Điều kiện 
1 (*)
sin
x



2
Với điều kiện (*) thì phương trình tương đương:

(1  2sin x) cos x
 3.
3. (A – 2009):
(1  2sin x)(1  sin x)

(1  2sin x) cos x  3(1  2sin 2 x  sin x)
 cos x  sin 2 x  3(cos 2 x  sin x)

 cos x  3 sin x  3 cos 2 x  sin 2 x



1
3
3
1


 cos x 
sin x 
cos 2 x  sin 2 x  cos  x    cos  2 x   …
3
6
2
2
2
2


4. (B – 2009): sin x  cos x sin 2 x  3 cos3x  2(cos 4 x  sin 3 x)
 sin x (1 2sin2 x )  cos x sin 2x  3 cos 3x  2cos 4x

 sin x cos 2x  cos x sin 2x  3 cos 3x  2cos 4x

1
3



cos 3x  cos 4 x  cos  3x    cos 4 x …
 sin 3x  3 cos 3x  2cos 4x  sin 3x 
2
2
6

5. (D – 2009):

3 cos5x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0

 3 cos5x  (sin 5x  sin x)  sin x  0


1
3

cos 5 x   sin x  sin  5 x    sin( x) …
 sin 5x  3 cos5x  2sin x  sin 5 x 
3
2
2

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

2

x
x
x
x
x
x

6. (D – 2007):  sin  cos   3 cos x  2  sin 2  cos 2  2sin cos  3 cos x  2
2
2
2
2
2
2

1
3
1



cos x   sin  x    sin …
 1  sin x  3 cos x  2  sin x  3 cos x  1  sin x 
2
2
2
3

6

7. (B – 2008): sin3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3 sin 2 x cos x.
 sin x(cos2 x  sin 2 x)  3 cos x(cos2 x  sin 2 x)  0

cos 2 x  0
…
 sin x cos 2 x  3 cos x cos 2 x  0  cos 2 x(sin x  3 cos x)  0  
sin
x

3
co
s
x

0

 3

8. 8  sin 6 x  cos6 x   2  3 3 sin 4 x  8 1  sin 2 2 x   2  3 3 sin 4 x
 4


 3(1  cos 4 x) 
 8 1 
  2  3 3 sin 4 x  cos 4 x  3 sin 4 x  1
8


1
3
1

2

 cos 4 x 
sin 4 x 
 cos  4 x    cos
…
2
2
2
3
3

9.

3 sin x  cos x(4sin x  1)  0  3 sin x  cos x  2sin 2 x




3
1



sin x  cos x  sin 2 x  sin x cos  cos x sin  sin 2 x  sin  x    sin 2 x...
6

2
2
6
6



 2sin 3x  sin x 
 2sin 3x  sin x 
 2sin 3x  sin x 


3 cos x   sin x  cos x  2(cos x  sin x)  0
3 cos x   (sin x  3cos x)  0
3 cos x    sin x  3 cos x  sin x  3 cos x   0

10. 2sin 3x sin x  3 cos x  1  2cos 2 x  0
2

2

2

2

2

2

sin x  3 cos x  0

...
 sin x  3 cos x 2sin 3x  sin x  3 cos x  0  
sin x  3 cos x  2sin 3x







Phản xạ 3: Khi nhóm đƣợc các bộ “cùng tên, cùng góc” thì nghĩ tới việc phân tích thành tích.
( 2sin 2 x  sin x  1  (sin x  1)(2sin x  1) ; cos3 x  3cos2 x  4cos x  2  (cos x  1)(cos2 x  2cos x  2)…)
( hoặc nhẩm nghiệm hoặc các em dùng máy tính để trợ giúp và có thể sử dụng thêm lược đồ Horner – nếu phương
trình từ dạng bậc 3 trở lên trong đó có ít nhất một nghiệm “đẹp” để tạo tích).
Giải các phương trình sau:
1.(D – 2010): sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0
3. (2sin x  1)(cos x  1)  cos 2 x  2cos x  7sin x  5

2. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8
4. 2cos3 x  3cos 2 x  2sin 2 x  4cos x  4sin x  5

5. 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11
Hướng dẫn giải:
1.(D – 2010): sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0
 sin 2 x  (1  2sin 2 x)  3sin x  cos x 1

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN
2
  2sin x  3sin x  2   sin 2 x  cos x  0

facebook.com/ThayTungToan

 (2sin x 1)(sin x  2)  cos x(2sin x 1)  0  (2sin x 1)(sin x  cos x  2)  0...

2. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8

 9sin x  6cos x  6sin x cos x  1  2sin 2 x  8
 (6sin x cos x  6cos x)  (2sin 2 x  9sin x  7)  0
 6cos x(sin x 1)  (sin x 1)(2sin x  7)  0  (sin x 1)(6cos x  2sin x  7)  0

 sin x  1 hoặc 2sin x  6cos x  7 (vô nghiệm do 22  62  72 )  x   k 2 (k ) .
2
3. (2sin x  1)(cos x  1)  cos 2 x  2cos x  7sin x  5
 2sin x cos x  2sin x  cos x  1  1  2sin 2 x  2cos x  7sin x  5
 (2sin x cos x  cos x)  (2sin 2 x  9sin x  5)  0
 cos x(2sin x 1)  (2sin x 1)(sin x  5)  0  (2sin x 1)(sin x  cos x  5)  0...
4. 2cos3 x  3cos 2 x  2sin 2 x  4cos x  4sin x  5
 2cos3 x  3(2cos2 x  1)  2sin 2 x  4cos x  4sin x  5

 (cos3 x  3cos2 x  2cos x  4) (sin 2 x  2sin x)  0
 (cos x  1)(cos2 x  2cos x  4)  2sin x(cos x  1)
 (cos x  1)(cos2 x  2cos x  4  2sin x)  0

 cos x  1 (1) hoặc cos2 x  2(sin x  cos x)  4 (2)




Giải (1)  x    k2 . Giải (2)  cos 2 x 2 2 sin  x   4 . Ta có:
4




cos 2 x  2 2 sin  x    1  2 2  4 , suy ra (2) vô nghiệm.
4

Vậy phương trình có nghiệm x    k 2 (k ) .
5. 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11 .

3
Ta có: sin 6 x  cos6 x  (sin 2 x  cos2 x)3  3sin 2 x cos2 x(sin 2 x  cos2 x)  1  sin 2 2 x
4
Khi đó phương trình tương đương:
 3

8 1  sin 2 2 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11
 4

 ( 3 sin 4 x  3 cos 2 x)  (2sin 2 3x  3sin 2 x  1)  0

 3 cos 2 x(2sin 2 x 1)  (2sin 2 x 1)(sin 2 x 1)  0  (2sin 2 x  1)( 3 cos 2 x  sin 2 x  1)  0...

CHÚ Ý: Các Ví dụ 1,2,3,4,5 còn có một cách tiếp cận khác. Các em xem tiếp ở các phản xạ sau !

Phản xạ 4:

Khi phƣơng trình lƣợng giác có nhiều biểu thức cùng chứa nhân tử chung, chúng ta nghĩ

tới việc chuyển phƣơng trình về dạng tích (hoặc để giản ƣớc nếu nhân tử chung ở dƣới mẫu số). Sau đây thầy
giới thiệu tới các bạn bảng các biểu thức chứa nhân tử chung thƣờng gặp:

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

Bảng Tổng Kết Một Số Nhân Tử Chung Thƣờng Gặp
STT
1
2
3

Nhân tử
Chung
sin x
cos x
sin x  cos x

4

1  sin x

5

1  cos x

6
7

1  2sin x
1  2cos x

Biểu Thức Chứa Nhân Tử Chung
tan x ; sin 2x ; tan 2x ; 1  cos 2x ; sin 3x …
cot x ; sin 2x ; tan 2x ; 1  cos 2x ; cos3x …





cos 2x ; 1  tan x ; 1  cot x ; 1  tan 2 x ; 1  cot 2 x ; sin3 x  cos3 x ; sin  x   ; cos  x  
4
4


x 
x 
x 
x 
cos2 x ; cot 2 x ; sin 2    ; cos 2    ; tan 2    ; cot 2    ; 2cos x  sin 2 x …
2 4
2 4

2 4
2 4
x
x
x
x
sin 2 x ; tan 2 x ; sin 2 ; tan 2 ; cos 2 ; cot 2 ; 2sin x  sin 2 x …
2
2
2
2
2
2
cos x  sin 2 x ; 1  4sin x ; 3  4cos x ; 2cos 2 x 1 ; cot x  2cos x ; cos3x …
sin x  sin 2 x ; 1  4cos2 x ; 3  4sin 2 x ; 2cos 2 x  1; tan x  2sin x ; sin 3x …

Giải các phương trình sau:
1. (D – 2004): (2cos x 1)(2sin x  cos x)  sin 2 x  sin x
2. (B – 2004): 5sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x.
cos 2 x
1
x
x 
 sin 2 x  sin 2 x.
3. (A – 2003): cot x  1 
4. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos 2  0.
1  tan x
2
2
2 4

1  sin 2 x  cos 2 x
 2 sin x sin 2 x
5. (A – 2011):
6. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0
1  cot 2 x
sin 2 x  2cos x  sin x  1
7. (D – 2011) :
8. (D – 2010) : sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0.
 0.
tan x  3


9.(A – 2007): (1  sin 2 x) cos x  (1  cos2 x)sin x  1  sin 2 x. 10. (A,A1 – 2013): 1  tan x  2 2 sin  x  
4

11. (B – 2011): sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x. 12. (A,A1 – 2014): sin x  4cos x  2  sin 2 x
Hướng dẫn giải:
1. (D – 2004): (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin 2x  sin x
 (2cos x 1)(2sin x  cos x)  sin x(2 cos x 1)  (2cos x 1)(sin x  cos x)  0...
2. (B – 2004): 5sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x.
Điều kiện: cos x  0  x 


2

 n (n )

sin 2 x
Khi đó phương trình đương đương: 5sin x  2  3(1  sin x).
(1  sin x)(1  sin x)

 (1  sin x)(5sin x  2)  3sin 2 x  2sin 2 x  3sin x  2  0...

3. (A – 2003): cot x  1 

cos 2 x
1
 sin 2 x  sin 2 x
1  tan x
2

sin 2 x  0
Điều kiện: 
, khi đó phương trình tương đương:
 tan x  1
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
cos x
(cos x  sin x)(cos x  sin x)
1 
 sin 2 x  sin x cos x
sin x
sin x
1
cos x
cos x  sin x


 cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  cos x)  (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin 2 x)  0...
sin x
x
x 
4. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos 2  0.
2
2 4

Điều kiện: cos x  0  x   n (n )
2



1  cos  x  
2
2  sin x 1  cos x

Khi đó phương trình tương đương:
.

0
2
cos 2 x
2
1  sin x (1  cos x)(1  cos x) 1  cos x

.

0
2

(1  sin x)(1  sin x)
2
 1  cos x 
 (1  cos x) 
 1  0  (1  cos x)(sin x  cos x)  0...
 1  sin x 
1  sin 2 x  cos 2 x
 2 sin x sin 2 x
5. (A – 2011):
1  cot 2 x
Điều kiện: sin x  0  x  n (n ) .

Ta có 1  cot 2 x 

1
, do đó phương trình tương đương:
sin 2 x

sin 2 x(1  sin 2 x  2cos2 x 1)  2 2 sin 2 x cos x

cos x  0
…
 2 cos x(sin x  cos x)  2 2 cos x (vì sin x  0 )  2cos x(sin x  cos x  2)  0  
sin x  cos x  2
6. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0
 1  sin 2 x  sin x  cos x  cos2 x  sin 2 x  0

 (sin x  cos x )2  sin x  cos x  (cos x  sin x )(cosx  sinx ) 0
 (sin x  cos x)(sin x  cos x  1  cos x  sin x)  0  (sin x  cos x )(2cos x  1)  0…

7. (D – 2011) :

sin 2 x  2cos x  sin x  1
 0.
tan x  3


cos x  0
Điều kiện: 
(*)

 tan x   3
Khi đó phương trình tương đương: sin 2 x  2cos x  (sin x  1)  0
 2cos x(sin x  1)  (sin x  1)  0  (sin x  1)(2cos x 1)  0...

8. (D – 2010) : sin 2 x  cos2 x 3sin x cos x 1 0.
sin 2 x  cos x  cos x(2sin x  1)
Ta có 
2
 cos 2 x  3sin x  1  2sin x  3sin x  2  (2sin x  1)(sin x  2)
Khi đó phương trình tương đương:
cos x(2sin x 1)  (2sin x 1)(sin x  2)  0
 (2sin x  1)(sin x  cos x  2)  0...
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
2
2

9.(A – 2007): (1  sin x) cos x  (1  cos x)sin x  1  sin 2 x.

facebook.com/ThayTungToan

 sin x  cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2



 (sin x  cos x)(1  sin x cos x  sin x  cos x)  0  2 sin  x   (1  cos x)(1  sin x)  0...
4



10. (A,A1 – 2013): 1  tan x  2 2 sin  x  
4

Điều kiện: cos x  0
sin x  cos x
Phương trình tương đương:
 2(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(1  2cos x)  0...
cos x
11. (B – 2011): sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x.
 2sin x cos2 x  sin x cos x  cos x  1  2sin 2 x  sin x
 2sin x(1  sin x)(1  sin x)  cos x(1  sin x)  (1  sin x)(1  2sin x)
 (1  sin x)  2sin x(1  sin x)  cos x  1  2sin x)  0

 (1  sin x)  2sin 2 x  1  cos x   0  (1  sin x)(cos 2 x  cos x)  0...

12. (A,A1 – 2014): sin x  4cos x  2  sin 2 x  sin x  sin 2x  4cos x  2  0
 sin x(1  2cos x)  2(1  2cos x)  0  (1  2cos x)(sin x  2)  0...

Phản xạ 5: Khi phƣơng trình có mặt

cos 2x thì ta dựa vào các dấu hiệu đi kèm để biến đổi:

cos2x = cos2 x  sin 2 x  (cos x  sin x)(cos x  sin x) : Nếu có yếu tố sin x  cos x
= 2cos2 x 1: Nếu việc tạo ra “ –1” giúp ta khử số tự do.
= 1 2sin 2 x : Nếu việc tạo ra “ +1” giúp ta khử số tự do.
= cos2x (Giữ nguyên): Nếu có 2cos3 x  cos x ; sin x  2sin3 x ; sin 2x cos x  sin x ; cos x  sin x sin 2x
Giải các phương trình sau:
1. (ĐHY – 2000) sin3 x  cos3 x  cos 2x
2. (A,A1 – 2012) : 3 sin 2x  cos 2x  2cos x 1
3. (D – 2006): cos3x  cos 2x  cos x  1  0
4. (B – 2010): (sin 2x  cos 2x ) cos x  2 cos 2x  sin x  0
5. 2cos3 x  3 sin x cos 2x  4sin 2 x  cos x 2

6. (A – 2003): cot x  1 

cos 2 x
1
 sin 2 x  sin 2 x.
1  t anx
2

Hướng dẫn giải:
1. (ĐHY – 2000). sin3 x  cos3 x  cos 2x
 (sin x  cos x) (1  sin x cos x)  (cos x  sin x)(cos x  sin x)




 (sin x  cos x)(1  sin x cos x  sin x  cos x)  0  2 sin  x   (1  cos x)(1  sin x)  0...
4

2. (A,A1 – 2012) : 3 sin 2x  cos 2x  2cos x  1

 2 3 sin x cos x  2cos2 x  1  2cos x 1  2cos x( 3 sin x  cos x  1)  0...
3. (D – 2006): cos3x  cos 2x  cos x  1  0
 cos3x  1  2sin 2 x  cos x 1  0  2sin 2 x sin x  2sin 2 x  0

 4sin 2 x cos x  2sin 2 x  0  2sin 2 x(2cos x  1)  0...
4. (B – 2010): (sin 2x  cos 2x ) cos x  2 cos 2x  sin x  0
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
 sin 2 x cos x  sin x  cos 2 x cos x  2cos 2 x  0
 sin x(2cos2 x 1)  cos 2 x(cos x  2)  0  cos 2 x(sin x  cos x  2)  0...

facebook.com/ThayTungToan

5. 2cos3 x  3 sin x cos 2 x  4sin 2 x  cos x  2
 cos x(2cos2 x  1)  3 sin x cos 2 x  2(1  2sin 2 x)  0

 cos x cos 2 x  3 sin x cos 2 x  2 cos 2 x  0  cos 2 x(cos x  3 sin x  2)  0...

6. (A – 2003): cot x  1 

cos 2 x
1

 sin 2 x  sin 2 x.
1  tan x
2

sin 2 x  0
Điều kiện: 
, khi đó phương trình tương đương:
 tan x  1
cos x
(cos x  sin x)(cos x  sin x)
1 
 sin 2 x  sin x cos x
sin x
sin x
1
cos x
cos x  sin x

 cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  cos x)  (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin 2 x)  0...
sin x

Phản xạ 6: Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ tới việc nhóm để tạo tích và

gặp phƣơng trình

chứa sin 2 x; cos2 x; 1  sin 2x ; cos 2x hãy nghĩ tới các dạng tích của chúng :
+) sin 2 x  (1  cos x)(1  cos x)
+) cos2 x  (1  sin x)(1  sin x) ; 1  sin 2 x  (sin x  cos x)2
+) cos 2 x  (cos x  sin x)(cos x  sin x)
( Xem thêm Phản xạ 3 )

Chú ý: Với sin 2 x , cos2 x ngoài cách phân tích như trên ta có thể nghĩ tới việc hạ bậc theo công thức
1  cos 2 x
1  cos 2x
; cos2 x 
.
sin 2 x 
2
2
Giải các phương trình sau: 1. 2cos3 x  cos 2 x  sin x  0



2. sin 2 x  4cos 2 x  3  4 2 sin  x  
4




3. 1  2 sin  2 x    (1  tan x).sin x
4

Hướng dẫn giải:
1. 2cos3 x  cos 2 x  sin x  0

 2cos3 x  2cos2 x 1  sin x  0
 2 cos2 x(1  cos x)  (1  sin x)  0
 2(1  sin x)(1  sin x)(1  cos x)  (1  sin x)  0
 (1  sin x)  2(1  sin x)(1  cos x)  1  0

 (1  sin x)  2(sin x  cos x)  2sin x cos x  1  0

 (1  sin x) 2(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2   0
 (1  sin x)(sin x  cos x)(sin x  cos x  2)  0 …

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan



2. sin 2 x  4 cos 2 x  3  4 2 sin  x  
4

1  cos 2 x


 sin 2x  4.
 3  4 2 sin x  
2
4

 2 cos 2x  (1  sin 2x )  4



2 sin  x  

4




 2(cos x  sin x)(cos x  sin x )  (sin x  cos x)2  4( sin x  cos x)  (cos x  sin x)(3sin x  cos x  4)  0...



4. 1  2 sin  2 x    (1  tan x).sin x
4


Điều kiện : cos x  0  x   n (n )
2
Khi đó phương trình tương đương :
1  sin 2 x  cos 2 x  (1  tan x)sin x
 (sin x  cos x)2  (cos x  sin x)(cos x  sin x) 

sin x  cos x
sin x
cos x

sin x 



 (sin x  cos x)  2sin x 
  0  2 sin  x   (sin 2 x  sin x)  0 …
cos x 

4



Phản xạ 7: Khi phƣơng trình có dạng: a sin 2x  b cos 2x  c sin x  d cos x  e  0 ta nghĩ tới việc biến đổi
phƣơng trình về dạng tích bằng một trong hai kĩ thuật sau:
I. Nhóm, tách ghép để làm xuất hiện nhân tử chung ( xem lại kĩ thuật này qua các phản xạ 1, 3, 4, 5 và 6)
II. Đưa phương trình về dạng: A sin 2 x  B sin x  C  0 hoặc A cos2 x  B cos x  C  0 ( A, B, C có thể chứa hàm
lượng giác) , quan niệm là phương trình bậc 2 với sin x hoặc cos x (phương pháp hằng số biến thiên)

Giải các phương trình sau:

1.(D – 2010) sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0 2. 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11
3. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 4. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8
Hướng dẫn giải:
1.(D – 2010) sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  1 0
 2sin x cos x  (1  2sin 2 x)  3sin x  cos x 1  0

 2 sin 2 x (2cos x  3) sin x  cos x  2  0
sin x  (2cos x  3)2  8(cos x  2)  (2cos x  5)2
Suy ra: sin x 

(2cos x  3)  2cos x  5 1
(2cos x  3)  2cos x  5
 hoặc sin x 
  cos x  2
4
2
4

1

5
 k 2 (k ) .
 x   k 2 hoặc x 
2
6
6
+) Với sin x  cos x 2 sin x cos x  2 (vô nghiệm)

+) Với sin x 

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan


5

Vậy phương trình có nghiệm x    k 2 ;
 k 2 k    .
6
6

2. 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11

8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11

 3

 8 1  sin 2 2 x   6 3 sin 2 x cos 2 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11
 4


 2 sin 2 2x (2 3 cos 2 x  3) sin 2x  3 cos 2 x  1  0
sin 2 x  (2 3 cos 2 x  3)2  8( 3 cos 2 x  1)  (2 3 cos 2 x  1)2
sin 2 x 

2 3 cos 2 x  3  2 3 cos 2 x  1
2 3 cos 2 x  3  2 3 cos 2 x  1 1
 3 cos 2 x  1 (1) hoặc sin 2 x 

4
4
2

Giải (1) 

(2)

3
1
1

2


cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x   cos
…
2
2
2
6
3


1

5
 x   k  hoặc x 
 k .
2
12
12
3. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0

Giải (2)  sin 2 x 

 1  sin x  cos x  2sin x cos x  2cos2 x 1  0
 2 cos2 x (2sin x  1) cos x  sin x  0
cos x  (2sin x  1)2  8sin x  (2sin x 1)2

(2sin x  1)  2sin x  1
1
(2sin x  1)  2sin x 1

  sin x (2)

(1) hoặc cos x 
4
2
4
2
2
Giải (1)  cos x  cos
x
 k 2
3
3



Giải (2)  sin x  cos x  0  sin  x    0  x    k
4
4

Suy ra: cos x 

 2


Vậy phương trình có nghiệm x  
 k 2 ;   k k    .
4
 3

4. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8

 9sin x  6cos x  6sin x cos x  1  2sin 2 x  8
 2sin 2 x  (6cos x  9)sin x  6cos x  7  0
 2sin 2 x  (6cos x  9)sin x  6cos x  7  0
sin x  (6cos x  9)2  8(6cos x  7)  (6cos x  5) 2

Suy ra: sin x 

9  6cos x  6cos x  5
9  6cos x  6cos x  5 7  6cos x
 1 (1) hoặc sin x 

4
4
2

(2) …

CHÚ Ý:
+) Các Ví dụ 1, 2 các em xem lại cách giải khác ở phản xạ 4.
+) Cách giải ở Ví dụ 3 chỉ chứng tỏ một điều có một góc nhìn khác, nhưng hơi dài – khi đi theo I có thể nhìn thấy
luôn và khá ngắn gọn.
+) Cách tiếp cận thứ II chỉ làm được khi delta có “hình thức” là số chính phương (   u 2 ), nếu không được ta
chuyển phương trình bậc 2 với sin x sang cos x hoặc ngược lại. Nếu vẫn không ổn thì ta sẽ đi theo cách I (Cách I
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
“mạnh” hơn cách II).

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

k
k k
; ; k với k  Z ) thì khử nó bằng cách
( gồm cả
4
3 2
“dùng bảng công thức chuyển về góc nhọn và các công thức cộng, tích, hạ bậc” .

Phản xạ 8: Khi xuất hiện góc cộng thêm k6

;

Giải các phương trình sau:
1
1
 7


 4sin 
 x .
1. (A – 2008):
3 
sin x

 4

sin  x 


2 


 
 3

2. (D – 2005): cos4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0.
4 
4 2

x
x 
3. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos2  0
2
2 4

4. (ĐHXD – 1997):



5. 2sin  2 x    4sin x  1  0
6



 1
6. sin 4 x  cos 4   x  
4
 4

sin 4 2 x  cos 4 2 x
 cos 4 4 x

 

tan   x  tan   x 
4
 4


Hướng dẫn giải:

 7

 4sin 
 x .
3 

 4

sin  x 

2 



3 





Ta có: sin  x 
  sin  x   2   sin  x    cos x
2
2
2 




1.

1

sin x

1

1


 7




(sin x  cos x)
sin 
 x   sin  2   x    sin  x    

4
4
2



 4

sin x  0
 n
Khi đó ta có điều kiện: 
(n ) .
 sin 2 x  0  x  
2 2
cos x  0
Phương trình được viết lại:
1
1
sin x  cos x

 2 2(sin x  cos x) 
 2 2(sin x  cos x )
sin x cos x
sin x cos x
 sin x  cos x   2 sin 2 x(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(1  2 sin 2 x)  0

3
7
và
như trong bài trên các bạn có thể khử bằng việc sử dụng công thức tổng:

2
4
3 
3
3

sin  x 
 cos x
  sin x cos  cos x sin
2 
2
2

1
1
1
7
7
 7

cos x 
sin x  
(sin x  cos x)
sin 
 x   sin
cos x  cos
sin x  
4
4
2

2
2
 4


Chú ý: Ngoài cách khử lượng

 
 3
1 

 3

2. cos4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0.  1  2sin 2 x cos2 x  sin  4 x    sin 2 x    0
4 
4 2
2 
2

 2
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
2
2
 2  sin 2x  cos 4 x  sin 2 x 3  0   sin 2 x  (1  2sin 2 2 x)  sin 2 x 1  0
 sin 2 2 x  sin 2 x  2  0  sin 2 x  1 hoặc sin 2 x  2 (vô nghiệm)  x 


4

facebook.com/ThayTungToan

 k (k ) .

x
x 
3. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos2  0
2
2 4

Điều kiện: cos x  0  x   n (n )
2
Khi đó phương trình tương đương:



1  cos  x  
2
1  sin x (1  cos x)(1  cos x) 1  cos x
2  sin x 1  cos x

.

0
.

0 

2
2
(1  sin x)(1  sin x)
2
2
cos x
2
 1  cos x 
 (1  cos x) 
 1  0  (1  cos x)(sin x  cos x)  0...
 1  sin x 

4. (ĐHXD – 1997):

sin 4 2 x  cos 4 2 x
 cos 4 4 x



 

tan   x  tan   x 
4
 4







Ta sẽ chỉ ra tan   x  tan   x   1 theo các cách biến đổi sau:
4

4




 1  tan x 1  tan x
Cách 1: tan   x  tan   x  
.
1
4

4
 1  tan x 1  tan x

  







Cách 2: tan   x  tan     x    tan   x  .cot   x   1
4


4


4

2  4

1


 


sin   x  sin   x    cos  cos 2 x 
2
4
 4
  2
  cos 2 x  1
Cách 3:
1





 cos 2 x
cos   x  cos   x 
 cos  cos 2 x 
2
2
4


4


 n
Khi đó ta có điều kiện: cos 2 x  0  x  
(n ) (*)
4 2
Phương trình được viết lại thành:
1
sin4 2x  cos4 2x  cos4 4x  1  sin 2 4 x  cos 4 4 x
2
1
(loại)
2
k
k
, đối chiếu với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình là: x 
(k ) .
 sin 4 x  0  x 
4
2

 2  (1  cos2 4 x)  2cos4 4 x  2cos4 4 x  cos2 4 x 1  0  cos2 4 x  1 hoặc cos 2 4 x  







5. 2sin  2 x    4sin x  1  0  2 sin 2 x cos  cos 2 x sin   4sin x  1  0
6
6
6


 3 sin 2 x  cos 2 x  4sin x  1  0  2 3 sin x cos x  4sin x  2sin 2 x  0  2sin x





3 cos x  sin x  2  0...

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan
2


 

1  cos  2 x   
2
2


1
2
 1
 1  cos 2 x 
 1  cos 2 x   1  sin 2 x  1

4
4 
  
6. sin x  cos   x    
 
 
 
2
2
4
2
2
4

 

4
 4

 




2


2
2
2

...
 1  cos 2 x   1  sin 2 x   1  sin 2 x  cos 2 x  1  sin  2 x   
4 2


Phản xạ 9: Khi giải phƣơng trình lƣợng giác không quên việc cho điều kiện nếu phƣơng trình chứa ẩn
dƣới mẫu (không nhất thiết phải giải chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện. Vì vậy ta cần nắm đƣợc
phƣơng pháp loại nghiệm để giải quyết tốt 2 dạng toán sau
 Dạng 1: Phương trình chứa ẩn dưới mẫu
Phương pháp giải:
2l
(l , m) .
m
2k
 Bước 2: Giải phương trình được nghiệm x   
(k , n ) .
n
 Bước 3: Kiểm tra điều kiện bằng 2 cách sau:
+) Cách 1 (Phương pháp hình học):
2l
Biểu diễn x   
trên đường tròn đơn vị gồm m điểm
m

2k
C  {C1; C2 ;...; Cm } ; biểu diễn x   
trên đường tròn đơn vị gồm n điểm D  {D1; D2 ;...; Dn } . Xét
n
hiệu E  D \ C  E1; E2 ;...; Er 

 Bước 1: Cho điều kiện, ta được x   

Khi đó nghiệm của phương trình ban đầu là: x  Ei  k 2 (i  1; r , k )
+) Cách 2(Phương pháp đại số - cách này mang tính chất tham khảo):
2 k
2l
2 k
2l


( x chấp nhận khi  
)
x bị loại khi  
n
m
n
m

Ví dụ: Giải phương trình 1  cot 2 x 

1  cos 2 x
sin 2 2 x

Giải:

m
(m) (1)
2
sin 2 x  cos 2 x
1
cos 2 x
1  cos 2 x



Khi đó phương trình tương đương: 1 
sin 2 x (1  cos 2 x)(1  cos 2 x)
sin 2 x
1  cos 2 x
 sin 2 x  cos 2 x  (sin 2 x  cos 2 x)cos 2 x  sin 2 x
Điều kiện: sin 2 x  0  x 

cos 2 x  0
cos 2 x  0
 cos 2 x(sin 2 x  cos 2 x  1)  0  
 
  1
sin 2 x  cos 2 x  1 sin  2 x   
4
2
 

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !

GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN

 k


 2 x  2  k
x  4  2
 k



x 




4 2 (k ) (2)
  2 x     k 2   x    k  



4
4
4
 x   k





5


2
2 x  
 x   k
 k 2


4
4
2


x≠

mπ
2

=

m2π
4

π kπ π k2π
x= +
= +
;
4

2
4
4

facebook.com/ThayTungToan

π
π k2π
x = + kπ = +
2
2
2

k
(k )
4 2
Chú ý: Khi gặp dạng phương trình chứa ẩn dưới mẫu, ta không quên việc cho điều kiện (không nhất thiết phải giải
chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện. Trong quá trình giải có thể “linh hoạt” loại đi nghiệm không cần
thiết để rút ngắn lời giải.
Kết hợp (1) và (2) (biểu diễn trên đường tròn đơn vị), ta được nghiệm phương trình: x 





 Dạng 2: Tìm nghiệm thuộc một khoảng, một đoạn
Phương pháp giải:
 Bước 1: Giải phương trình được nghiệm x   
 Bước 2: Khai thác điều kiện x  D

2k
(k , n ) .
n

2k 
2k
k ,n
 D 

(k0 , n0 )  nghiệm x0    0 .
n
n0
l
(l , m)
+) Cách 2: Có thể dùng đường tròn đơn vị nếu các đầu mút của D có dạng
m

+) Cách 1 (Chặn điều kiện): x  D   

Ví dụ 1: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình: cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0
Giải:
Phương trình tương đương: cos3x  cos x  4(2cos 2 x 1)  2cos x  4  0

 2cos 2 x cos x  8cos2 x  2cos x  0  2cos x(cos 2 x  4cos x  1)  0  2cos x(2cos2 x  4cos x)  0
 4cos2 x(cos x  2)  0  cos x  0 hoặc cos x  2 (loại)  x 


2

 k ( k  )

28  
 3,96  k {0;1; 2;3}
2
2
  3 5 7 
Hay nghiệm của phương trình: x   ; ; ; 
2 2 2 2 

Với x  [0;14] 0 



 k 14  0,5  k 

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

cos3x  sin 3x 

Ví dụ 2 (A – 2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của phương trình: 5  s inx 
  cos 2 x  3
1  2sin 2 x 


Giải:
1

7
Điều kiện: sin 2 x    x    m và x 
 l (m, l )
2
12
12
Khi đó phương trình tương đương:

5sin x.(1  2sin 2 x)  cos3x  sin 3x  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)
 5(sin x  cos x  cos 3x  cos3x  sin 3x)  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)
 5(2sin 2 x cos x  cos x)  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)
 5cos x(2sin 2 x  1)  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)
1
 5cos x  cos 2 x  3 (vì sin 2 x   )  2cos2 x  5cos x  2  0
2
1

 cos x  2 (loại) hoặc cos x   x    k 2 (k )
2
3
Cách 1



1
5


 k 2  2    k   k  0  x 
3
3
6
6
3


1
7
5
+) Với x    2k (k ) , ta có: x  (0; 2 )  0    k 2  2   k   k  1  x 
3
3
6
6
3
Cách 2 : Sử dụng đường tròn đơn vị :
+) Với x 



 2k (k ) , ta có: x  (0; 2 )  0 

π
3
π

0

2π

0
5π
3

Vì x  (0;2 ) nên ta được x 


3

và x 

5
3

Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc một bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác trong kì thi
Đại Học – Cao Đẳng “Hãy

ghi nhớ 9 phản xạ đầu tiên”

(chi tiết xem lại các phản xạ trước)

Phản xạ 1: Khi gặp các góc lớn (từ 3x trở lên) thì thƣờng có 3 hƣớng đi……………………
Phản xạ 2: Khi xuất hiện 3 thƣờng chuyển về dạng a sin x  b cos x  c
hoặc dạng mở rộng của nó ……………………………………………………….....

Phản xạ 3: Khi nhóm đƣợc các bộ “cùng tên, cùng góc” thì nghĩ tới việc
phân tích nó thành tích………………………………………………………………

Phản xạ 4: Khi phƣơng trình lƣợng giác có nhiều biểu thức cùng chứa nhân tử chung,
chúng ta nghĩ tới việc chuyển phƣơng trình về dạng tích (hoặc để giản ƣớc
nếu nhân tử chung ở dƣới mẫu số)………………………………………………….
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan

Bảng Tổng Kết Một Số Nhân Tử Chung Thƣờng Gặp…….................
Phản xạ 5: Khi trong phƣơng trình có mặt cos 2x thì ta dựa vào các dấu hiệu
đi kèm để biến đổi…………………………………………………………………….

Phản xạ 6: Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ tới việc nhóm để tạo tích
và gặp phƣơng trình chứa sin 2 x; cos2 x; 1  sin 2x ; cos 2x hãy nghĩ tới
các dạng tích của chúng………………………………………………………………

Phản xạ 7: Khi phƣơng trình có dạng: a sin 2x  b cos 2x  c sin x  d cos x  e  0
Phản xạ

ta nghĩ tới việc biến đổi phƣơng trình về dạng tích bằng một trong hai kĩ thuật…
8: Khi xuất hiện góc cộng thêm k ; k ( gồm cả k ; k ; k với k  Z )
6
4
3 2
thì tìm cách khử chúng………………………………………………………………

Phản xạ 9: Nhớ cho điều kiện khi phƣơng trình chứa ẩn dƣới mẫu…………………………...
Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc một bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác trong kì thi
Đại Học – Cao Đẳng “Hãy ghi nhớ 9 phản xạ đầu tiên” ……………

CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ QUAN TÂM !

GV: Nguyễn Thanh Tùng

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !