Luận án tiến sĩ phương pháp phổ tần số trong nghiên cứu dao động của dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải trọng di động

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

PHÍ THỊ HẰNG

PHƢƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ
VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT

HÀ NỘI – 2016


ii

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
……..….***…………

PHÍ THỊ HẰNG

PHƢƠNG PHÁP PHỔ TẦN SỐ TRONG
NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CÓ
VẾT NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ KỸ THUẬT
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm
2. TS. Phạm Xuân Khang

Hà Nội – 2016


i

LỜI CÁM ƠN
Tôi xin chân thành cám ơn các thầy hướng dẫn khoa học, GS.TSKH.
Nguyễn Tiến Khiêm và TS. Phạm Xuân Khang đã tận tâm hướng dẫn khoa học,
động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này.
Tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn tới sự quan tâm của Viện Cơ học, đặc biệt
là các đồng nghiệp trong Phòng Chẩn đoán kỹ thuật và sự ủng hộ của bạn bè đã
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm luận án.
Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn đến Trường Đại học Điện lực, Khoa
Công nghệ Năng lượng và gia đình đã động viên ủng hộ tôi trong thời gian làm
luận án.
Tác giả luận án

Phí Thị Hằng


ii

LỜI CAM ĐOAN
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin
xin cam

cam đoan
đoan đây
đây là
là công
công trình
trình nghiên
nghiên cứu
cứu của
của riêng
riêng tôi.
tôi. Các
Các số
số liệu,
liệu,
Tôi
kết
từng đƣợc
đƣợc ai
ai công
công bố
bốtrong
trongbất
bất
kếtquả
quảnêu
nêutrong
trongluận
luậnán
án là
là trung

trung thực
thực và
và chƣa
chƣa từng
kỳ
kỳcông
côngtrình
trìnhnào
nàokhác.
khác.
Tác giả luận án
Tác giả luận án

Phí Thị Hằng
Phí Thị Hằng


iii

MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN ...................................................................................................................i
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................... ii
MỤC LỤC ..................................................................................................................... iii
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ...............................................v
DANH MỤC HÌNH VẼ ............................................................................................... vii
DANH MỤC BẢNG .......................................................................................................x
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ........................................................................................... 5
1.1. Sơ lƣợc về lịch sử bài toán tải trọng di động ............................................................ 6
1.2. Nội dung cơ bản của bài toán tải trọng di động .......................................................7

1.3. Một số phƣơng pháp truyền thống giải bài toán tải trọng di động ......................... 11
1.3.1.Phƣơng pháp Bubnov-Galerkin .......................................................................11
1.3.2.Phƣơng pháp phần tử hữu hạn .........................................................................14
1.3.3.Phƣơng pháp độ cứng động .............................................................................15
1.4. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi ....................................................... 17
1.5. Một số nhận xét và định hƣớng nghiên cứu ........................................................... 20
CHƢƠNG 2. CƠ SỞ PHƢƠNG PHÁP LUẬN ............................................................ 23
2.1. Hàm đáp ứng tần số ................................................................................................ 23
2.1.1. Phép biến đổi Fourie ....................................................................................... 23
2.1.2. Các đặc trƣng tần số của hệ cơ học .................................................................24
2.1.3. Ứng dụng cho mô hình dầm đàn hồi ............................................................... 25
2.1.4. Khái niệm về đáp ứng tần số của dầm chịu tải trọng bất kỳ ........................... 27
2.2. Phƣơng pháp phổ tần số cho dầm chịu tải trọng di động .......................................27
2.2.1. Cơ sở phƣơng pháp [42]..................................................................................27
2.2.2. Ví dụ minh họa và kiểm chứng .......................................................................30
2.3. Phƣơng pháp điều chỉnh Tikhonov ........................................................................32
Kết luận chƣơng 2

36

CHƢƠNG 3. KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ DAO ĐỘNG CỦA DẦM ĐÀN HỒI CHỊU
TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ DI ĐỘNG ............................................................................38
3.1. Đáp ứng tần số của dầm chịu tác dụng của lực hằng số di động ............................ 38


iv
3.2. Đáp ứng tần số của dầm đàn hồi chịu tải trọng điều hòa .......................................43
Kết luận chƣơng 3

51

CHƢƠNG 4. DAO ĐỘNG CỦA DẦM BỊ NỨT CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG ......53
4.1. Dao động riêng của dầm có nhiều vết nứt .............................................................. 53
4.1.1. Mô hình dầm có nhiều vết nứt ........................................................................53
4.1.2. Bài toán dao động riêng ..................................................................................56
4.1.3. Dao động riêng của dầm liên tục có nhiều vết nứt..........................................60
4.2. Phƣơng pháp phổ tần số cho dầm có vết nứt chịu tải trọng di động ......................65
4.3. Ảnh hƣởng của vết nứt đến đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động ....................69
4.4. Nhận dạng vết nứt bằng đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động .......................... 76
4.4.1. Cơ sở phƣơng pháp nhận dạng ........................................................................76
4.4.2. Kết quả thử nghiệm số ....................................................................................78
Kết luận chƣơng 4

86

KẾT LUẬN CHUNG ....................................................................................................88
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƢỢC CÔNG BỐ ................................................90
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH ĐÃ GỬI ĐĂNG........................................................... 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 91


v

DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
E

mô đun đàn hồi (N/m2).



mật độ khối (kg/m3).



hệ số Poisson.

F

diện tích mặt cắt ngang (m2).

a

độ sâu vết nứt (m).

b, h
I
S(x,ω)
A  S  x0 ,  0 
A

wo 

A
wo

Po  3
48EI

v 

mô men quán tính hình học mặt cắt ngang (m4).
hàm đáp ứng tần số
biên độ dao động (m) tại mặt cắt x0 và tần số ω0
biên độ chuẩn hóa (không thứ nguyên)
chuyển vị tĩnh tại giữa dầm (m)

Po

biên độ lực kích động (tải trọng)

EI

độ cứng chống uốn.

M

mômen (Nm2)

ℓ



tƣơng ứng chiều rộng, chiều cao của dầm (m).

chiều dài dầm (m).



tần số dao động (rad/s)

1

tần số riêng cơ bản(rad/s)


1

tham số tần số (không thứ nguyên)

v



tần số lái(driving frequency, rad/s)
tần số lực di động

  A

hệ số cản.


21

tỷ số cản.

 

Ki

độ cứng lò xo xoắn thứ i (mô hình vết nứt).

vi

M, K và C

lần lƣợt là ma trận khối lƣợng, độ cứng và cản
tổng thể của dầm theo công thức phần tử hữu hạn
(nn).

v
vc 


1


v
v  v


v c 1 1
(x)

w( x, t )

 ( x,  ) hoặc


W( x,  )   w( x, t )e it dt

vận tốc của tải trọng (m/s).
vận tốc tới hạn (m/s)
tham số vận tốc (không thứ nguyên)
dạng dao động riêng
độ võng của dầm tại mặt cắt x và thời điểm t
hàm phổ tần số của độ võng hay hàm đáp ứng tần
số



S w ( x,  )  W( x,  )

, 
PTHH
SEM
Cr

Nnoise

Phổ biên độ đáp ứng (hàm số thực của tọa độ x và
tần số  )
hệ số cản Rayleigh.
phƣơng pháp phần tử hữu hạn.
phƣơng pháp phần tử phổ
hằng số chuẩn hóa đƣợc chọn cho từng dạng riêng.
véc tơ cột phân bố chuẩn với trung bình bằng 0 và
độ lệch chuẩn bằng 1.

Ep

mức nhiễu.



độ lệch chuẩn.

ynoise

là chuyển vị thẳng của thân xe kể đến nhiễu.


vii

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Mô hình bài toán tải trọng di động ..................................................................7
Hình 1.2. Mô hình dầm chịu tác dụng của lực di động ...................................................8
Hình 1.3. Mô hình dầm chịu tải trọng khối lƣợng di động .............................................9
Hình 2.1. So sánh chuyển vị của điểm giữa dầm: P0 = 100kN; v = 12m/s. ..................31
Hình 2.2. So sánh góc xoay của điểm giữa dầm: P0 = 100kN; v = 12m/s. ...................31
Hình 3.1. Mô hình dầm Euler-Bernoulli .......................................................................38
Hình 3.2. Phổ biên độ của độ võng tại điểm giữa dầm ứng với các vận tốc khác nhau 39
Hình 3.3. So sánh phổ biên độ chính xác và gần đúng (tính theo công thức (3.1.1)):
đƣờng liền – chính xác; đƣờng rời với các dấu tròn – gần đúng. ..................................40
Hình 3.4. Biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng ứng với các giá
trị khác nhau của hệ số cản. ........................................................................................... 41
Hình 3.5. Biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng ứng với các
giá trị khác nhau của hệ số cản. .....................................................................................41
Hình 3.6. Phổ biên độ của đáp ứng khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hƣởng. .........42
Hình 3.7. Phổ biên độ đáp ứng chịu tải trọng điều hòa với tần số   0.41 với các vận

tốc không phải là phản cộng hƣởng. ..............................................................................44
Hình 3.8. Phổ biên độ đáp ứng chịu tải trọng điều hòa với tần số   0.41 với các vận
tốc phản cộng hƣởng. ....................................................................................................45
Hình 3.9. Biểu đồ tốc độ phản cộng hƣởng và tần số tải trọng trong trƣờng hợp lực di
động là điều hòa đơn tần................................................................................................ 45
Hình 3.10. Biên độ dao động riêng khi tần số tải trọng bằng tần số lái (cộng hƣởng
ngoài) ............................................................................................................................. 46
Hình 3.11. Biên độ dao động cƣỡng bức phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng.....47
Hình 3.12. Biên độ dao động dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc và tần số tải trọng
.......................................................................................................................................47
Hình 3.13. Biên độ dao động kéo theo phụ thuộc vào vận tốc và tần số lực di động ...48
Hình 3.14. Biên độ dao động riêng dƣới tác dụng của hai lực điều hòa đối xứng. .......49
Hình 3.15. Biên độ dao động riêng dƣới tác dụng của tổ hợp lực hằng số và lực điều
hòa .................................................................................................................................50


viii
Hình 3.16. Phổ biên độ đáp ứng dƣới tác dụng của tổ hợp lực hằng số (   0 ) và lực
điều hòa (   0.51 ) khi vận tốc bằng vận tốc phản cộng hƣởng của lực điều hòa. .....51
Hình 4.1. Ba kiểu vết nứt cơ bản. ..................................................................................54
Hình 4.2. Mô hình vết nứt: a) dạng mô hình vết nứt cƣa, b) dạng mô hình vết nứt chữ
V, c) dạng mô hình vết nứt bằng lò xo xoắn. ................................................................ 54
Hình 4.3. Mô hình dầm có nhiều vết nứt. ......................................................................56
Hình 4.4. Mô hình dầm liên tục có vết nứt ....................................................................60
Hình 4.5. Mô hình dầm có 5 vết nứt ..............................................................................69
Hình 4.6. Sự thay đổi biên độ đáp ứng của dầm có 5 vết nứt ứng với các vận tốc tải
trọng khác nhau. ............................................................................................................70
Hình 4.7. Sự thay đổi biên độ đáp ứng của dầm có 5 vết nứt ứng với các tần số tải
trọng khác nhau. ............................................................................................................71
Hình 4.8. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số ứng với các vị trí vết nứt khác

nhau tại cộng hƣởng chính và vận tốc tải trọng bằng 0.5vc. .........................................72
Hình 4.9. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số dọc theo chiều dài dầm (ở tần số

  0.9861 ) tƣơng ứng với các vị trí vết nứt khác nhau ( e  1;   0.5 ). ..................73
Hình 4.10. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số   0.9861 ,   1 phụ
thuộc vào vị trí vết nứt ứng với các vận tốc tải trọng khác nhau. .................................73
Hình 4.11. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số tại tần số   0.9861 ( v  0.5v c ) phụ
thuộc vào vị trí vết nứt ứng với các tần số tải trọng khác nhau. ...................................74
Hình 4.12. Sự thay đổi của phổ biên độ đáp ứng tƣơng ứng với số lƣợng các vết nứt
(từ 1 đến 9) chạy từ vị trí 2.5 đến 22.5. .........................................................................74
Hình 4.13. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số ứng với số lƣợng vết nứt khác nhau (từ
1 đến 9) chạy từ vị trí 2.5 đến 22.5. ...............................................................................75
Hình 4.14. Sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số dọc theo chiều dài dầm (tại tần số

  0.9861 ) tƣơng ứng với số lƣợng vết nứt khác nhau (từ 1 đến 9); các tham số tải
trọng là e  1;   0.5 ..................................................................................................75
Hình 4.15. Kết quả nhận dạng vết nứt sử dụng đáp ứng tại các tần số 0.5ω 1, 0.8ω1,
0.9ω1, ω1, 1.5ω1. ............................................................................................................81
Hình 4.16. Ảnh hƣởng của tốc độ di chuyển của tải trọng (0,1vc ; 0.3vc ; 0.5vc; 0.8vc;
vc) đến kết quả nhận dạng vết nứt. ................................................................................82


ix
Hình 4.17. Kết quả nhận dạng vết nứt phụ thuộc vào tần số tải trọng(0; 0.8ω1 ; ω1;
1.2ω1 và 1.5ω1). .............................................................................................................83
Hình 4.18. Kết quả nhận dạng vết nứt phụ thuộc vào pha của tải trọng(0 ; π/4 ; π/2;
3π/4 và π). ......................................................................................................................84
Hình 4.19. Kết quả nhận dạng vết nứt tại 5; 10; 15; 20; 22.5m với độ sâu 5%; 10%.
15%; 20% ;30% phụ thuộc vào mức nhiễu 5% ; 10% ; 15%. ......................................85

x

DANH MỤC BẢNG
Bảng 4.1. Hàm dạng cho các điều kiện biên khác nhau ................................................58
Bảng 4.2. Giá trị của các tham số trong một số điều kiện biên lý tƣởng. .....................58
Bảng 4.3. Kết quả tính toán tần số của dầm liên tục có vết nứt ....................................64
Bảng 4.4. Kết quả nhận dạng độ sâu vết nứt phụ thuộc vào mức nhiễu đo đạc. ...........80


1

MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu đáp ứng động lực học của kết cấu chịu tải trọng di động
đóng vai trò rất quan trọng trong kỹ thuật, đặc biệt là giao thông vận tải. Việc
tính toán thiết kế, kiểm định cũng nhƣ chẩn đoán đánh giá khả năng làm việc
của các cầu giao thông không thể tiến hành đƣợc nếu không có lời giải của bài
toán dao động của kết cấu chịu tải trọng di động. Bài toán dao động dầm đơn
giản chịu tải trọng của lực di động đã đƣợc quan tâm giải quyết từ rất sớm (đầu
thế kỷ 19). Tuy nhiên, bài toán này đến nay vẫn còn đang đƣợc nghiên cứu vì
các lý do sau đây: (1) mô hình tải trọng cần phải đƣợc phát triển để mô tả chính
xác hơn các tải trọng di động trong thực tế; (2) phƣơng pháp giải bài toán động
lực học cũng cần phải cải thiện để nhận đƣợc các lời giải sát với thực tế; (3) kết
cấu công trình chịu tải trọng di động cũng ngày càng phức tạp làm phát sinh
nhiều bài toán mới về động lực học.
Công cụ phổ cập nhất để giải bài toán dao động của dầm chịu tải trọng di
động chính là phƣơng pháp Bubnov-Galerkin dựa trên các hàm cơ sở là các
dạng dao động riêng của dầm (phƣơng pháp chồng mode-mode superposition).
Tuy nhiên, phƣơng pháp này khó áp dụng cho kết cấu phức tạp khi mà các dạng
dao động riêng chƣa biết. Khi đó, ngƣời ta áp dụng phƣơng pháp phần tử hữu

hạn (PTHH), ở đó các hàm dạng có thể sử dụng các đa thức Hermitt. Mặc dù
phƣơng pháp PTHH đã mở rộng đáng kể phạm vi ứng dụng của bài toán tải
trọng di động, nhƣng nó chỉ có hiệu quả tốt trong miền tần số thấp. Hơn nữa, khi
ứng dụng phƣơng pháp PTHH cho bài toán tải trọng di dộng, ngƣời ta phải xây
dựng một thuật toán dò tìm vị trí của tải trọng theo thời gian, làm tăng đáng kể
thời gian tính toán. Gần đây, phƣơng pháp ma trận độ cứng động lực hay còn gọi
là phƣơng pháp phần tử phổ (spectral element method) đƣợc phát triển để cải
thiện độ chính xác của phƣơng pháp PTHH. Nhƣng nó vẫn gặp rắc rối khi thực
hiện phép biến đổi Fourie ngƣợc của một hàm có bƣớc nhảy nhƣ lực cắt tại vị trí
đặt lực.


2

Gần đây, các tác giả của công trình [42] đã đƣa ra một giải pháp khắc phục
đƣợc cả hạn chế của phƣơng pháp PTHH và phƣơng pháp phần tử phổ. Tuy
nhiên, cách tiếp cận phổ này mới chỉ dừng lại ở việc kiểm chứng độ chính xác
so với cách tiếp cận trong miền thời gian, mà chƣa đƣợc ứng dụng để phân tích
dao động của dầm chịu tải trọng di động trong miền tần số. Luận án này là ứng
dụng đầu tiên của phƣơng pháp phổ tần số nêu trên, do vậy tác giả của luận án
cũng chỉ hạn chế các nghiên cứu ở các mô hình dầm với tải trọng đơn giản. Nội
dung chính của phƣơng pháp phổ tần số là thiết lập bài toán dao động của dầm
đàn hồi chịu tải trọng di động hoàn toàn trong miền tần số, ở đó các phƣơng
trình chuyển động đều là các phƣơng trình vi phân thƣờng có thể giải đƣợc bằng
các phƣơng pháp thông thƣờng. Tải trọng tập trung đã đƣợc thay thế bằng tải
trọng phân bố không còn sự kỳ dị của hàm Dirac. Đây có thể coi là một sự phát
triển của phƣơng pháp phần tử phổ cho bài toán dao động của dầm chịu tải trọng
di động. Tuy nhiên, phƣơng pháp này mới chỉ đƣợc triển khai cho trƣờng hợp tải
trọng tập trung di động với tốc độ đều. Những bài toán phức tạp hơn sẽ đƣợc
nghiên cứu phát triển tiếp theo.

Mục tiêu của luận án này là phát triển ứng dụng phƣơng pháp phổ tần số
nêu trên để phân tích dao động trong miền tần số của dầm đàn hồi có vết nứt
chịu tải trọng di động. Thực chất, bài toán phân tích dao động trong miền tần số
hay còn gọi là phân tích phổ dao động là nghiên cứu sự biến thiên của biên độ
theo tần số để phát hiện ra các dao động có biên độ nổi trội (thƣờng đƣợc biểu
thị bằng các đỉnh cộng hƣởng trong biểu đồ của hàm đáp ứng tần số). Biên độ và
tần số đỉnh cho hai thông tin cơ bản về một dạng dao động cụ thể.
Đối tượng nghiên cứu trong luận án là kết cấu đơn giản dạng dầm EulerBernoulli không và có vết nứt chịu tải trọng tập trung điều hoà di động với vận
tốc không đổi. Mô hình vết nứt trong dầm đàn hồi đƣợc sử dụng trong luận án là
mô hình lò xo tƣơng đƣơng với độ cứng tính từ độ sâu vết nứt theo lý thuyết cơ
học phá hủy.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phƣơng pháp giải tích, các kết quả
giải tích đƣợc phân tích minh họa bằng phƣơng pháp số sử dụng các hàm có sẵn


3

trong MATLAB để thực hiện các phép tính nhƣ biến đổi Fourie nhanh, giải
phƣơng trình đại số phi tuyến và tuyến tính hay vẽ đồ thị các hàm,…
Trong luận án đặt ra và giải quyết các vấn đề sau: Một là, xây dựng các
biểu thức giải tích tƣờng minh cho hàm đáp ứng tần số của dầm đàn hồi có nhiều
vết nứt với các điều kiện biên khác nhau dƣới tác dụng của lực tập trung di động
với vận tốc không đổi; Hai là, phân tích phổ dao động của dầm đàn hồi (không
và có vết nứt) dƣới tác dụng của lực tập trung (hằng số và điều hòa) di động; Ba
là đề xuất một thuật toán nhận dạng vết nứt bằng hàm đáp ứng tần số dƣới tác
dụng của tải trọng di động.
Luận án bao gồm mở đầu và các chƣơng sau:
Chương 1 trình bày tổng quan và các phƣơng pháp cổ điển trong việc giải
bài toán tải trọng di động; bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm và một số kết
quả đã đạt đƣợc.

Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp đáp ứng tần số áp
dụng cho dầm đàn hồi chịu tải trọng di động.
Chương 3 đƣa ra lời giải chính xác trong miền tần số cho bài toán dao
động của dầm không vết nứt chịu tải trọng di động và phân tích phổ dao động
của dầm phụ thuộc vào vận tốc của tải trọng di động.
Chương 4 nghiên cứu dao động của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt sử dụng
phƣơng pháp phổ tần số và đề xuất một thuật toán thử nghiệm chẩn đoán vết nứt
trong dầm đàn hồi chịu tải trọng di động.
Kết luận chung trình bày những kết quả chính đã nhận đƣợc trong luận án
và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu.
Những đóng góp mới của luận án có thể tóm tắt như sau:
1. Đại đa số các công trình nghiên cứu đã công bố về bài toán tải trọng di động
đều phân tích đáp ứng của dầm trong miền thời gian, luận án này đã tiến
hành phân tích đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động trong miền tần số. Áp
dụng phƣơng pháp này, ta có thể nhận dạng đƣợc tất cả các dạng dao động
của dầm từ trạng thái chuyển tiếp (transient) đến chế độ bình ổn (steady)
cùng với cả thành phần dao động kéo theo do tải trọng di động gây nên (Đã
công bố tại Vietnam Journal of Mechanics, 2014).


4

2. Đối với dầm không nứt chịu tải trọng di động, đã phát hiện ra rằng nếu tải
trọng tập trung di động với vận tốc chậm (nhỏ hơn 1/10 vận tốc tới hạn) thì
dầm dao động với tần số của tải trọng. Nhƣng khi vận tốc của tải trọng lớn
hơn 1/3 vận tốc tới hạn thì dầm chỉ dao động với tần số riêng. Nếu vận tốc
của lực trong khoảng từ 1/10 đến 1/3 vận tốc tới hạn thì sự tƣơng tác của các
thành phần dao động trên là rất mạnh, có thể dẫn đến sự triệt tiêu dao động
của dầm ở tần số riêng (Đã gửi đăng tại Vietnam Journal of Mechanics,
2015).

3. Đã đƣa ra một phƣơng pháp tính toán tần số riêng của dầm liên tục có nhiều
vết nứt và đã chỉ ra rằng các gối cứng trung gian làm thay đổi đáng kể ảnh
hƣởng của vết nứt đến tần số riêng của cả dầm. Đây là sự phát triển của
phƣơng pháp ma trận truyền cho dầm liên tục có nhiều vết nứt (Đã công bố
trong Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Hà Nội 2014).
4. Đã phân tích sự thay đổi của hàm đáp ứng tần số của dầm có nhiều vết nứt
chịu tải trọng di động phụ thuộc vào vị trí vết nứt, số lƣợng vết nứt đồng thời
với các tham số nhƣ vận tốc, tần số và pha của tải trọng. Ở đây đã phát hiện
ra những giá trị của các tham số nêu trên làm cho hàm đáp ứng tần số là lớn
nhất, phục vụ cho việc chẩn đoán vết nứt một cách chính xác nhất (Đã công
bố trong Tuyển tập Báo cáo tại Hội Cơ học Kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng
2015).
5. Đã đề xuất một thuật toán nhận dạng vết nứt trong dầm bằng cách đo đạc đáp
ứng tần số của dầm chịu tải trọng điều hòa di động. Thử nghiệm bằng số cho
thấy thuật toán đƣợc đề xuất cho phép phát hiện chính xác 4 vết nứt ở xa biên
khi sai số đo đạc lên đến 15% (Đã công bố 01 công trình trên tạp chí ISI:
Nondestructive Testing and Evluation (First Online 15 Sep. 2015) và đã gửi
đăng 01 bài báo trên tạp chí ISI: Journal of Vibration and Control, 2015).


5

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
Đáp ứng động học của dầm chịu tải trọng động là một vấn đề quan trọng
trong việc thiết kế đƣờng sắt, cầu và các quá trình cơ khí. Đó là vấn đề thực sự
quan trọng vì nó tồn tại ở nhiều lĩnh vực nhƣ giao thông vận tải, cầu, đƣờng sắt,
đƣờng hầm… Các kết cấu này đều đƣợc thiết kế để chịu tác dụng của các tải
trọng di động.
Tải trọng di động là một vấn đề phức tạp nhƣng không thể tránh khỏi trong
động học kết cấu. Rất nhiều công trình đã công bố trong vòng 100 năm qua đối

với đáp ứng động của cầu đƣờng sắt và sau là với cầu cao tốc dƣới tác động của
tải trọng di động. Tƣơng tác xe-cầu là một lĩnh vực rộng lớn trong vấn đề tải
trọng di động. Trong trƣờng hợp tốc độ di chuyển của xe tƣơng đối thấp thì vấn
đề có thể đƣợc giải quyết thông thƣờng nhƣ đối với tải trọng không di chuyển.
Các hiệu ứng động lực học bắt đầu đƣợc quan tâm vào giữa thế kỷ 19 ở
Anh, khi cầu Stephenson bắc qua sông Dee Chester ở Anh sụp đổ vào năm
1847. Chính tai nạn này đã thúc đẩy các kỹ sƣ nghiên cứu về vấn đề tải trọng di
động. Trƣớc đó, các vấn đề tải trọng di động đƣợc xem xét cho cầu đƣờng sắt
chịu tải trọng di động của các toa tàu. Các loại điển hình của tải trọng di động
trên kết cấu là hằng số hay dạng điều hòa hoặc tải trọng gây ra do khối lƣợng di
động.
Ngày nay, sự phát triển của công nghệ giao thông vận tải và cơ khí ôtô đã
giúp các kết cấu xe-cầu có khả năng chịu rung động và áp lực cao hơn nhiều so
với trƣớc đây với tải di chuyển tốc độ cao và trọng lƣợng lớn. Vì vậy, bài toán
tải trọng di động cũng phức tạp hơn nhiều cả về tải trọng di động và bản thân kết
cấu chịu tải trọng di động. Chính sự phức tạp này đòi hỏi phải có những phƣơng
pháp mới để nâng cao độ chính xác của lời giải bài toán tải trọng di động gần
với thực tế hơn. Nhƣ vậy, vấn đề tải trọng di động mặc dù đƣợc quan tâm từ rất
lâu, nhƣng đến ngày hôm nay vẫn còn rất cấp thiết.


6

1.1. Sơ lƣợc về lịch sử bài toán tải trọng di động
Lịch sử nghiên cứu về tải trọng động di động đã đƣợc khởi đầu từ cuối thế
kỷ 19 bằng những nghiên cứu của R. Willis, G.G. Stokes, H. Zimmermann.
Những nghiên cứu đầu tiên này đã đƣa ra những lời giải gần đúng đầu tiên về
bài toán tải trọng hằng số di động. Bài toán phức tạp hơn về tải trọng di động
phụ thuộc thời gian đã đƣợc nghiên cứu bởi các nhà khoa học ngƣời Nga nhƣ
A.N. Krylov, S.P.Timoshenko, N.G. Bondar. Sau đó bài toán tải trọng di động

tính đến ảnh hƣởng của khối lƣợng đã đƣợc nghiên cứu bởi H. Saller, H.H.
Jaffcott, H. Standing. Các kết quả đầu tiên này đã đƣợc S.P. Timoshenko tổng
kết lại trong các cuốn sách [87, 88]. Những nghiên cứu mang tính ứng dụng hơn
về bài toán tải trọng di động đối với đƣờng ray hay các kết cấu phức tạp hơn đã
đƣợc tổng kết lại bởi V. Kolusek [48]. Đến năm 1972, L. Fryba đã xuất bản
cuốn sách tổng kết khá đầy đủ các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này một cách
bài bản, khoa học và nó đƣợc tái bản với sự cập nhật những kết quả mới hơn sau
đó gần 30 năm, vào năm 1999 [28].
Năm 2004, Y.B. Yang, J.D. Yau và Y.S. Wu đã tổng kết các kết quả nghiên
cứu bài toán tƣơng tác giữa cầu và xe ứng dụng trong việc thiết kế các đƣờng
cao tốc ở Nhật, Đài Loan và Hồng Kông trong tài liệu [94]. Những nghiên cứu
lý luận sâu sắc về bài toán tải trọng di động, đặc biệt là bài toán các vật di động
đã đƣợc công bố trong các công trình của A.V. Pesterev và cộng sự [71-73].
Ở Việt Nam, bài toán tải trọng di động đã đƣợc quan tâm nghiên cứu và đã
có những đóng góp đáng kể trong lĩnh vực này, trong đó cần phải kể đến các
công trình nghiên cứu của các tác giả Nguyễn Văn Khang và các công sự [4, 5],
Đỗ Xuân Thọ [14], Hoàng Hà và các cộng sự [2], Đỗ Kiến Quốc và các cộng sự
[13], Nguyễn Trọng Phƣớc và cộng sự [11], Nguyễn Thái Chung và Hoàng
Xuân Lƣợng [1] và một số luận án tiến sỹ [3, 6, 10, 12]. Hiện nay, vấn đề tải
trọng di động đang thu hút nhiều chuyên gia của Việt Nam và những hƣớng
nghiên cứu điển hình ở Việt Nam là nghiên cứu các kết cấu phức tạp hơn dầm
đàn hồi nhƣ: dầm FGM [31], tấm, vỏ hay các kết cấu phức tạp nhƣ đƣờng hầm
[25], v.v…


7

1.2. Nội dung cơ bản của bài toán tải trọng di động
Xét một dầm đàn hồi chịu tải trọng di động nhƣ trong Hình 1.1, trong đó
mô tả một vật có khối lƣợng m đặt trên một giảm chấn (k,c) di động trên một

dầm đàn hồi có các đặc trƣng cơ học nhƣ trong hình vẽ. Bỏ qua khối lƣợng của
con lăn và giả thiết rằng con lăn luôn tiếp xúc với bề mặt của dầm, phƣơng trình
chuyển động của hệ có thể thiết lập ở dạng [15, 67]:
 4 w( x, t )
w( x, t )
 2 w( x, t )
EI

 F
 P(t ) [ x  x 0 (t )] ;
t
x 4
t 2
P(t )  mg  cz(t )  kz(t )  m[ g  y(t )] ;

(1.2.1)
(1.2.2)

0 (t ); z(t )  [ y(t )  w0 (t )]; w0 (t )  w[ x0 (t ), t ] .
mz(t )  cz(t )  kz(t )  mw

(1.2.3)

Trong phƣơng trình trên w( x, t ) là độ võng của dầm, y(t ) là dịch chuyển thẳng
đứng tuyệt đối và z (t ) -dịch chuyển tƣơng đối của vật (so với dầm); x0 (t ) là vị trí
của con lăn trên dầm;  (t ) là hàm xung Dirac, có tính chất


 f (t ) (t  t 0 )dt  f (t 0 ) .



x0 (t )  v

m

y
c

k

E, I, , F

0
x0

w0

x
w(x,t)

x



Hình 1.1. Mô hình bài toán tải trọng di động
Từ bài toán tổng hợp này ta có thể nhận đƣợc các bài toán cụ thể nhƣ sau :
Bài toán lực di động : Trong số các vấn đề dao động của kết cấu và vật rắn
chịu tải trọng di động thì trƣờng hợp đơn giản nhất là dầm gối tựa đơn chịu một
lực không đổi di chuyển trên nó với vận tốc không đổi (Hình 1.2).

8

Hình 1.2. Mô hình dầm chịu tác dụng của lực di động
Trong trƣờng hợp này,
- Dầm có mặt cắt và mật độ khối lƣợng không đổi trên suốt chiều dài dầm;
- Tải trọng di động là một lực tập trung và di chuyển với vận tốc không đổi,
từ trái qua phải;
- Tính toán đƣợc áp dụng với dầm gối tựa đơn và các điều kiện đầu bằng 0.
Với các giả định đó, bài toán đƣợc miêu tả bởi phƣơng trình:
EI

 4 w( x, t )
 2 w( x, t )
w( x, t )


F

  ( x  vt ) P(t )
4
2
t
x
t

(1.2.4)

với điều kiện biên:

w(0, t )  0; w(, t )  0;

 2 w( x, t )
x 2

 0;
x 0

 2 w( x, t )
x 2

 0;

(1.2.5)

x 

và điều kiện ban đầu:
w( x,0)  0;

w( x, t )
0
t t 0

(1.2.6)

trong đó:
x - tọa độ lực tính từ điểm mút trái của dầm,
t - thời gian lực di chuyển tính bắt đầu tại thời điểm lực di chuyển lên dầm,
w(x,t) - chuyển vị của dầm tại điểm x và thời gian t, tính từ vị trí cân bằng khi

dầm chịu tải trọng lƣợng bản thân,
ρ - mật độ khối lƣợng không đổi dọc theo chiều dài dầm,
 - hệ số cản của dầm,
P- lực tập trung có giá trị hằng số hoặc phụ thuộc thời gian,


9
δ(x)=

𝑑𝐻 𝑥
𝑑𝑥

là hàm suy rộng và đƣợc định nghĩa nhƣ đạo hàm suy rộng của hàm Heaviside
H(x)
0, 𝑥 <0
1, 𝑥 ≥ 0

H(x)=

Trong cơ học, (x) có thể xem là một lực tập trung đơn vị tác động tại điểm
x=0. Các quan hệ của hàm Dirac (a, b,  là các hằng số; f(x) là hàm liên tục
trong khoảng (a,b)) nhƣ sau:
∞

∞

δ(x)dx = 1,
−∞

δ(x-a)f(x)dx = 𝑓(𝑎)

−∞

Nếu gia tốc của vật có thể tính toán hoặc đo đạc đƣợc thì tải trọng tác dụng
lên dầm sẽ bằng
P(t )  P0 [   (t )]

(1.2.7)

Lúc này lời giải của phƣơng trình (1.2.1), (1.2.7) cho đáp ứng động lực học
của dầm đàn hồi dƣới tác động của lực tập trung di động, trong đó bao hàm cả
lực hằng số, lực tuần hoàn,…
Bài toán khối lượng di động: Bài toán lần đầu đƣợc tính toán và giải gần
đúng bởi R. Willis [91]. Lời giải chính xác đƣợc đƣa ra bởi G. G. Stokes [83] và
sau đó là H. Zimmermann [100].
Khảo sát một dầm gối tựa đơn bỏ qua khối lƣợng với nhịp dài ℓ trên đó tải
trọng P có khối lƣợng m chuyển động ở tốc độ không đổi v, xem Hình 1.3. Tải
trọng tác dụng lên dầm là lực quán tính (-md2w(vt, t)/dt2) phụ thuộc vào gia tốc
thẳng đứng tại điểm x=vt tại đó xảy ra tƣơng tác giữa vật và dầm vào thời điểm
t.

Hình 1.3. Mô hình dầm chịu tải trọng khối lƣợng di động


10

Theo phƣơng pháp hàm Green với phân bố tải trọng :
p(x, t )   ( x  vt )[ P  md 2 wvt , t  / dt 2 ] ,

chuyển vị của dầm tại x và thời điểm t đƣợc miêu tả bởi phƣơng trình:
w(x, t )  [ P  m

d 2 wvt , t 
]G( x, vt )
dt 2

(1.2.8)

Cùng với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu (1.2.5), (1.2.6). Hàm G(x,vt)
đƣợc gọi là hàm ảnh hƣởng của tải trọng. Chuyển vị theo phƣơng thẳng đứng
w1(t) do tải có khối lƣợng m bằng chuyển vị tại điểm chịu tải trọng bằng:
w1(t)= w(vt,t),
khi đó ta có
w1 (t )  [ P  m

d 2 w1 t 
]G( vt , vt )
dt 2

(1.2.9)

với điều kiện ban đầu là:
w1 (t ) t 0  0;

dw1 (t )
0
dt t 0

(1.2.10)

vì vậy, bài toán dẫn đến việc giải phƣơng trình (1.2.9) với điều kiện (1.2.10).

Nếu chuyển vị tƣơng đối của vật so với dầm nhỏ có thể bỏ qua thì ta có
0 (t )]
P(t )  m[ g  w

(1.2.11)

Hệ các phƣơng trình (1.2.1), (1.2.11) là mô hình của bài toán dao động của
dầm dƣới tác dụng của khối lƣợng di động.
Bài toán vật thể di động: Trong trƣờng hợp tổng quát, hệ phƣơng trình hỗn
hợp (1.2.1) - (1.2.3) bao gồm cả phƣơng trình vi phân thƣờng và phƣơng trình vi
phân đạo hàm riêng là mô hình của bài toán vật thể di động. Lúc này, kết quả
giải hệ phƣơng trình này cho ta đồng thời đáp ứng động lực học của cả dầm và
vật.
Ngoài ra, ta có thể nghiên cứu các bài toán khác nhƣ sau: Nếu sự di chuyển
này có tốc độ không đổi ta có bài toán di động với vận tốc không đổi. Nhƣng có
thể khảo sát đáp ứng của dầm và vật khi chuyển động của vật trên dầm có vận
tốc thay đổi, tức là khi tăng tốc hoặc khi giảm tốc.


11

Mặt khác, những bài toán phức tạp hơn cũng đã đƣợc nghiên cứu nhƣ: hệ
lực cách đều di động với cùng vận tốc hay hệ nhiều vật cách đều di động, mô tả
chuyển động của đoàn tàu trên đƣờng ray.
Một số bài toán tải trọng di động có thể đặt ra khi kết cấu chịu lực là tấm,
khung hay vòm,… Hoặc kết cấu dầm bằng các loại vật liệu khác nhau nhƣ
composite, FGM v.v… Nói chung bài toán tải trọng di động thƣờng tập trung
vào đáp ứng động lực học của kết cấu nhiều hơn là của vật di động. Vì vậy, đối
tƣợng chính để nghiên cứu đó là phƣơng trình (1.2.1) với các lực khác nhau P(t).
Đây cũng là nội dung của luận án này.

1.3. Một số phƣơng pháp truyền thống giải bài toán tải trọng di động
1.3.1. Phương pháp Bubnov-Galerkin
Phƣơng pháp Bubnov-Galerkin là một phƣơng pháp gần đúng hữu hiệu để
giải phƣơng trình vi phân, tích phân. Vì thế đối với các đối tƣợng của Động lực
học công trình mà phƣơng trình chuyển động của nó có thể thiết lập đƣợc ở giải
tích thì ta có thể sử dụng phƣơng pháp Bubnov-Galerkin để tìm đáp ứng động. Ý
tƣởng của phƣơng pháp Bubnov-Galerkin thực ra là việc xấp xỉ lời giải của một
bài toán bằng một chuỗi hàm cơ sở đã biết thoả mãn các điều kiện biên, để nhận
đƣợc một hệ phƣơng trình vi phân thƣờng đối với các toạ độ suy rộng. Nếu các
hàm cơ sở này là các hàm riêng (eigefunctions) có tính trực giao của hệ đã cho
thì các phƣơng trình đối với tọa độ suy rộng đƣợc tách riêng cho từng tọa độ,
giải đƣợc một cách khá đơn giản. Khi đó ngƣời ta gọi phƣơng pháp BubnôvGalerkin là phƣơng pháp chồng mode (mode superposition). Bài toán dao động
của dầm chịu tải trọng di động ngay từ đầu và cho đến nay vẫn đang đƣợc
nghiên cứu bằng phƣơng pháp chồng mode.
J.B. Yang và các cộng sự [94] chỉ sử dụng số hạng đầu tiên (dạng dao động
chính) đã chỉ ra rằng đáp ứng của dầm chịu tải trọng di động bao gồm 3 thành
phần dao động chính là: dao động với tần số riêng (gọi là dao động riêng); dao
động với tần số của tải trọng (dao động cƣỡng bức) và dao động với tần số tỷ lệ
với vận tốc của tải trọng (driving frequency, v /  , tạm dịch là tần số lái). Dao


12

động với tần số này có thể gọi là dao động kéo theo (induced). Trong đó biên độ
dao động riêng là trội hơn cả và biên độ dao động với tần số lái có dạng sóng
biên độ nhỏ. Trong các nghiên cứu [54, 95] các tác giả đã phát hiện ra hiện
tƣợng cộng hƣởng (resonance) và phản cộng hƣởng (cancellation) khi khảo sát
biên độ dao động riêng phụ thuộc vào vận tốc di chuyển của tải trọng. Hiện
tƣợng phản cộng hƣởng là sự triệt tiêu của biên độ dao động riêng ở một số vận
tốc nào đó của tải trọng. P. Museros và cộng sự [62], C.P. Sudheesh-Kumar và

cộng sự [84] đã nghiên cứu chi tiết về hai hiện tƣợng này và đã tìm ra đƣợc các
vận tốc phản cộng hƣởng cho 2 dạng dao động đầu tiên trong khai triển nghiệm
theo phƣơng pháp chồng mode.
Hƣớng nghiên cứu khác về bài toán tải trọng tập trung di động là tính toán
hệ số động lực hay hệ số khuếch đại (amplification factor) của tải trọng di động
so với tải trọng tĩnh phục vụ thiết kế và đánh giá khả năng chịu lực của cầu.
A.V. Pesterev và các cộng sự [73] đã chứng minh đƣợc rằng tồn tại một hàm
giải tích của vận tốc tải trọng mô tả biên độ cực đại của đáp ứng động của dầm
và đã đƣa ra một số phƣơng pháp để xác định hàm số này. E. Savin [81] đã đƣa
ra các công thức và là ngƣời đầu tiên đƣa ra các công thức tƣờng minh để khảo
sát hệ số động lực nêu trên và đã vẽ đƣợc biểu đồ biên độ cực đại phụ thuộc vào
tỷ số giữa tần số riêng và tần số lái. Đây có thể coi là kết quả đầu tiên về hàm
phổ biên độ đáp ứng gần đúng, tuy rằng nó mới chỉ đƣợc tính toán ở miền vận
tốc tải trọng rất nhỏ. Bài toán dao động của dầm chịu tải trọng điều hoà đã đƣợc
nghiên cứu bởi A. Garinei [29]; F. Ricciardelli và C. Briatico [77], trong đó
Garinei đã nghiên cứu ảnh hƣởng của tần số và pha của tải trọng đến đáp ứng
trong miền thời gian và vẽ biểu đồ hệ số động lực phụ thuộc vào tần số tải trọng.
Các tác giả công trình [77] đã nhận đƣợc các công thức giải tích để tính toán
chuyển vị và gia tốc của dầm chịu tải trọng hình sin theo thời gian và cũng đã vẽ
đƣợc biểu đồ hàm đáp ứng tần số của quá trình chuyển tiếp (transient frequency
response) phụ thuộc vào tần số riêng của dầm (tƣơng tự nhƣ hàm phổ đáp ứng
tức thời trong tính toán động đất).


13

Phƣơng pháp Bubnov-Galerkin hay phƣơng pháp chồng mode cũng đã
đƣợc sử dụng để nghiên cứu kết cấu dầm có vết nứt chịu tải trọng di động [19,
56, 60, 82,93]. Trong tất cả các công bố trên, các tác giả đều sử dụng dạng dao
động riêng của dầm có vết nứt làm hệ hàm cơ sở để tính đáp ứng của dầm chịu

tải trọng di động. Do đó ảnh hƣởng của vết nứt đến đáp ứng của dầm thông qua
dạng dao động riêng của dầm có vết nứt và trƣớc khi giải bài toán tải trọng di
động cần giải bài toán dao động riêng của dầm có vết nứt. M.A. Mahmoud và
M.A. Abou-Zaid [60] đã chỉ ra rằng vết nứt làm tăng biên độ dao động của dầm
chịu tải trọng di động, đồng thời cũng làm thay đổi chu kỳ dao động riêng của
dầm. Vì vậy, ảnh hƣởng của vết nứt không đơn điệu làm tăng độ võng của dầm.
Các tác giả C. Bilello (Italia) và L.A. Bergman (USA) của công trình [19] đã
kiểm chứng bằng thực nghiệm rất bài bản về dầm Euler-Bernoulli chịu tải trọng
khối lƣợng di động. M. Shafiei và N. Khaji [82] đã giải bài toán dầm
Timoshenko có nhiều vết nứt chịu tải trọng di động. Dầm FGM (vật liệu có cơ
lý tính biến thiên) chịu tải trọng di động đã đƣợc nghiên cứu trong [31, 93].
Bài toán dao động của dầm chịu tải trọng khối lƣợng di động đã đƣợc
nghiên cứu trong [75, 97]. G.V. Rao, tác giả công trình [75] với giả thiết là khối
lƣợng di động nhỏ, đã sử dụng phƣơng pháp tiệm cận để giải hệ phƣơng trình vi
phân với hệ số biến thiên và đã nhận đƣợc biểu đồ biên độ dao động đối với vận
tốc của tải trọng. Tác giả đã so sánh kết quả tính theo hai mô hình: tải trọng di
động và khối lƣợng di động đã cho thấy khối lƣợng di động làm tăng đáng kể
biên độ dao động của dầm. R. Zarfram và cộng sự đã nghiên cứu dao động của
dầm chịu tải trọng khối lƣợng di động và kích động ở gối đỡ (biên) trong [97]. Ở
đây, các tác giả phát hiện ra rằng cả khối lƣợng, vận tốc và vị trí của khối lƣợng
đều ảnh hƣởng, nói cách khác làm thay đổi tần số riêng của dầm và do đó làm
thay đổi bức tranh dao động của dầm (cả về biên độ, tần số và chu kỳ dao động
cƣỡng bức liên quan đến thời gian đi qua của tải trọng).
Rõ ràng là bài toán trở nên phức tạp hơn nhiều khi tải trọng là phƣơng tiện
giao thông nhƣ ô-tô hay đoàn tầu di động trên dầm [22, 38, 73, 96]. Phƣơng
pháp chồng mode vẫn áp dụng đƣợc, nhƣng các toạ độ suy rộng trong phƣơng