Tóm tắt bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng

Mục lục
Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

4

Một số không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.4

Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1

Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

Tính lồi của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4

Một số định lý về điểm bất động và ánh xạ KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng

13

2.1

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2

Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Kết luận

23

Tài liệu tham khảo

24

1


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Từ rất xa xưa trong lịch sử toán học người ta đã quan tâm đến những bài toán tìm các giá trị
nhỏ nhất (cực tiểu) hay lớn nhất (cực đại), gọi là các bài toán tối ưu. Vào những năm 30-40 của thế kỷ
20 do nhu cầu của sự phát triển kinh tế, kỹ thuật và lý thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto người
ta đã xây dựng lên lý thuyết tối ưu véctơ. Sau đó nhiều công trình về lý thuyết tối ưu cũng như ứng
dụng của nó đã xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học và kỹ thuật, kinh
tế như: Lý thuyết trò chơi của Borel (1921), Von Neuman (1926); Lý thuyết lưu thông hàng hóa của
Koopman (1947).
Ta biết rằng các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu vô hướng bao gồm:
1) Bài toán tối ưu: Cho hàm số f : D → R. Tìm x ∈ D sao cho f (x) ≤ f (x), với mọi x thuộc D.
2) Bài toán bất đẳng thức biến phân: Gọi X ∗ là không gian đối ngẫu của X . Cho ánh xạ
T : D → X ∗ . Tìm x ∈ D sao cho T (x) , x − x ≥ 0, với mọi x thuộc D.

3) Bài toán cân bằng (Blum-Oettli đưa ra năm 1994): Cho f : D × D → R. Tìm x ∈ D sao cho
f (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ D.

Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ các công trình của Arrow-Debreu, Nash. Nó là sự mở
rộng của các bài toán như bất đẳng thức biến phân, tối ưu vô hướng đồng thời nó cũng bao gồm các
bài toán điểm bất động, bài toán bù, bất đẳng thức minimax như những trường hợp đặc biệt.
Do nhu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác, bài toán cân bằng
và các bài toán tối ưu kể trên cũng được phát triển và mở rộng cho trường hợp véctơ và đa trị như: Bài
toán tựa cân bằng với biến rằng buộc phụ thuộc vào tham số, tựa biến phân hoặc bao hàm thức tựa
biến phân của nhiều ánh xạ đa trị. Với mong muốn hiểu biết thêm về bài toán tựa cân bằng đa trị nên
tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng
dụng”.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sự mở rộng của bài toán cân bằng đối với ánh xạ đơn trị sang các bài toán tựa cân
bằng loại I, tựa cân bằng loại II và bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát đối với ánh xạ đa trị.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng
quát cũng như một số ứng dụng của nó trong lý thuyết tối ưu đa trị.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đọc các tài liệu liên quan tới các bài toán trong lý thuyết tối ưu véctơ và viết luận văn về sự tồn
tại nghiệm, một số ứng dụng của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp và mối liên quan giữa những bài toán
quen biết trong lý thuyết tối ưu.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

2


Các dạng khác nhau của những loại bài toán tựa cân bằng, một số bài toán liên quan khác trong
lý thuyết tối ưu véctơ liên quan tới ánh xạ đa trị và một số ứng dụng của chúng.
5. Những đóng góp mới của đề tài
Một cái nhìn cụ thể về bài toán tựa cân bằng, điều kiện để bài toán tựa cân bằng tổng quát có
nghiệm và các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu đa trị cũng như một số ứng dụng của nó.
6. Phương pháp nghiên cứu
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, chúng tôi sử
dụng phương pháp nghiên cứu chính là các định lý điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder và các
định lý dạng KKM.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số không gian thường dùng

1.1.1

Không gian metric

1.1.2

Không gian định chuẩn

1.1.3

Không gian Hilbert

1.1.4

Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff

Trong mục này, ta sẽ xét lớp không gian mà không cần metric nhưng vẫn có thể nói tới khoảng cách
giữa các điểm và từ đó nói tới sự hội tụ, sự liên tục, ..., đó là lớp không gian tôpô tuyến tính lồi địa
phương Hausdorff. Các khái niệm giới hạn, lân cận, tập đóng, tập mở đều sinh ra một cấu trúc tôpô.
Định nghĩa 1.1.4.1
1) Cho tập hợp X bất kì. Một họ G những tập con của X được gọi là là một tôpô trên X nếu:
(i) Hai tập ∅, X đều thuộc họ G ;
(ii) G kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập thuộc họ G thì cũng thuộc
họ G;
(iii) G kín đối với phép hợp bất kì, tức là hợp của một số hữu hạn hay vô hạn tập thuộc họ G thì
cũng thuộc họ G.
2) Tập X cùng với tôpô G trên X, được gọi là không gian tôpô (X, G) (hay không gian tôpô X );

3) Các tập thuộc họ G được gọi là tập mở ;
4) Khi có hai tôpô G, G trên X, nếu G ⊆ G , ta nói tôpô G yếu hơn (thô hơn) tôpô G hay tôpô G
mạnh hơn (mịn hơn) tôpô G. Trường hợp không có quan hệ đó, ta nói hai tôpô không so sánh được.
Định nghĩa 1.1.4.3 Cho không gian tôpô (X, G), A ⊆ X. Tập con U của không gian X gọi là lân cận
của A nếu U bao hàm một tập mở chứa A; Lân cận của phần tử x ∈ X là lân cận của tập con {x}; Họ
tất cả các lân cận của một điểm gọi là hệ lân cận của điểm đó.
Định nghĩa 1.1.4.4 Dãy {xn } ⊆ X hội tụ tới x ∈ X nếu và chỉ nếu xn − x → 0.
Định nghĩa 1.1.4.5 Cho X, Y là hai không gian tôpô
1) Một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của f (x) trong
Y, đều tồn tại lân cận V của x trong X thỏa mãn f (V ) ⊆ U ;

4


2) Ánh xạ f gọi là liên tục trên không gian tôpô X nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc X.
Từ một cơ sở tôpô ta có thể xác định các tôpô khác của không gian
Định nghĩa 1.1.4.6 Cho không gian tôpô (X, G):
1) Cho x ∈ X, họ Vx nào đó gồm các lân cận của điểm x được gọi là một cơ sở địa phương của tôpô
G tại điểm x (hay cơ sở lân cận tại x), nếu với bất kì lân cận U của điểm x luôn tồn tại tập V ∈ Vx

sao cho x ∈ V ⊆ U ;
2) Họ con V các phần tử của G được gọi là một cơ sở của tôpô G trên X nếu mọi phần tử của G đều
là hợp nào đó các phần tử thuộc V;
3) Họ con M các phần tử của G gọi là một tiền cơ sở của tôpô G trên X nếu họ các giao hữu hạn
có thể có các tập con thuộc M là một cơ sở của tôpô G.
Định nghĩa 1.1.4.8 Không gian tôpô (X, G) được gọi là không gian Hausdorff nếu đối với hai điểm
khác nhau tùy ý x, y ∈ X luôn tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U ∩ V = ∅.
Một không gian véctơ có thể đồng thời được trang bị một cấu trúc tôpô, một cấu trúc đại số, nếu
hai cấu trúc tôpô và đại số ấy có mối liên hệ nhất định sẽ làm nảy sinh nhiều tính chất mới trong không
gian.

Định nghĩa 1.1.4.9
1) Cho X là một không gian véctơ trên trường K, một tôpô τ trên X gọi là tương thích với cấu trúc
đại số của X nếu các ánh xạ
+ : X × X → X, (x, y) → x + y;
.:K×X →X
(λ, x) → λx,

liên tục;
2) Một không gian véctơ tôpô X trên trường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là một không gian
véctơ trên trường K, còn τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số (hay tôpô véctơ) của X;
3) Mọi lân cận của gốc 0 ∈ X gọi là 0−lân cận hay vắn tắt là lân cận.
Mệnh đề 1.1.4.10 Các phép tịnh tiến f (x) = x + a, a cố định tùy ý cho trước và các phép vị tự
g(x) = αx, α tùy ý cho trước, là những phép đồng phôi từ X lên X. Từ đó, V là 0−lân cận khi và chỉ

khi V + a là một lân cận của a; V là 0−lân cận thì ∀α = 0, αV là một 0−lân cận.
Dưới đây ta đưa ra các điều kiện đặc trưng cho một cơ sở lân cận của một không gian véctơ tôpô.
Định nghĩa 1.1.4.11 Trong mỗi không gian véctơ tôpô X bao giờ cũng có một cơ sở lân cận B của
gốc, sao cho:
1) Mỗi V ∈ B đều cân đối và hấp thu;
2) Mỗi V ∈ B thì αV ∈ B với mọi α = 0;
3) Mỗi V ∈ B bao hàm một tập W ∈ B sao cho W + W ⊆ V ;
4) Mỗi cặp V1 , V2 ∈ B tồn tại W ∈ B sao cho W ⊆ V1 ∩ V2 .

5


Ngược lại, nếu trong không gian véctơ X lấy một họ B(= ∅) các tập con của X thỏa mãn các điều
kiện trên thì có một tôpô duy nhất trên X tương hợp với cấu trúc đại số, nhận B làm cơ sở lân cận của
gốc.
Định lí 1.1.4.13 Cho B là một cơ sở lân cận trong không gian véctơ tôpô X. Không gian X là Hausdorff

khi và chỉ khi với mỗi x = 0 đều có một V ∈ B không chứa x, tức là

V = {0} .
V ∈B

Trong số các không gian véctơ tôpô, một lớp không gian đặc biệt quan trọng là không gian véctơ
tôpô lồi địa phương.
Định nghĩa 1.1.4.14 Một không gian véctơ tôpô X gọi là không gian véctơ tôpô lồi địa phương (và
tôpô của nó là tôpô lồi địa phương) nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi.
Định nghĩa 1.1.4.16 Một sơ chuẩn là một hàm số thực hữu hạn p(x) xác định trên một không gian
tuyến tính X thỏa mãn hai điều kiện sau:
1) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X;
2) p(αx) = |α|p(x), ∀x ∈ X, ∀ số α. (Nghĩa là một chuẩn là một sơ chuẩn p(x) mà p(x) > 0, ∀x = 0).

1.2

Nón

Để xác định thứ tự trong không gian và xét những bài toán liên quan đến ánh xạ có giá trị là véctơ,
người ta đưa ra khái niệm nón, từ đó mở rộng được các khái niệm đã biết của không gian số thực hoặc
số phức trong không gian tôpô tuyến tính. Mục này dành cho các khái niệm, tính chất của nón.
Định nghĩa 1.2.1 Cho Y là một không gian tuyến tính và C là một tập con của Y. C được gọi là nón
(hay nón có đỉnh tại gốc) trong Y nếu với mọi c ∈ C , mọi t ≥ 0 thì tc ∈ C .
Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y, ký hiệu clC, intC, convC theo thứ
tự lần lượt là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C.
Ký hiệu l(C) = C ∩ −C :
Nếu C là tập lồi thì C được gọi là nón lồi.
Nếu C là tập đóng thì C được gọi là nón đóng.
Nếu l(C) = {0} thì C được gọi là nón nhọn.
Nếu clC là nón nhọn thì C được gọi là nón sắc.

Nếu clC + C\l(C) ⊆ C thì C gọi là nón đúng.
Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, C là nón trong Y. Ta định nghĩa quan hệ như sau:
1) x, y ∈ Y, x

C

y nếu x − y ∈ C , ta có thể kí hiệu đơn giản x

2) Ký hiệu x

y nếu x − y ∈ C\l(C) và x

y.

y nếu x − y ∈ intC .

Nếu C là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và quan hệ đó là quan hệ thứ tự từng phần trên
Y. Nếu C là nón nhọn thì quan hệ trên là quan hệ có tính phản đối xứng, nghĩa là nếu x

y, y

x

thì x = y .
Định nghĩa 1.2.3 Cho C là một nón trong không gian tuyến tính Y, B ⊆ Y, B được gọi là tập sinh
của nón C, ký hiệu C = cone(B) nếu C = {tb|b ∈ B, t ≥ 0}.

6

Nếu B không chứa gốc và với mọi c ∈ C, c = 0 đều tồn tại b ∈ B sao cho c = tb, t ≥ 0 thì B được gọi là
cơ sở của nón C. Hơn nữa nếu B là tập hữu hạn phần tử thì tập C = cone(convB) gọi là nón đa diện.
Khi ta xây dựng một nón trên không gian tuyến tính tức là ta đã xây dựng một quan hệ thứ tự trên
nó, từ đó ta có các khái niệm về điểm hữu hiệu.
Định nghĩa 1.2.4 Cho Y là một không gian tôpô tuyến tính, C là một nón trong Y và A là một tập
con của Y. Khi đó:
(i) x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu lí tưởng của tập A đối với nón C nếu y − x ∈ C với mọi y ∈ A.
Tập tất cả các điểm hữu hiệu lí tưởng của tập A đối với nón C ký hiệu là IM in(A/C)
(ii) x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu pareto của tập A đối với nón C nếu không tồn tại điểm y ∈ A
sao cho x − y ∈ C\{0}. Tập các điểm hữu hiệu pareto của A ký hiệu là M in(A/C)
(iii) Giả sử intC = ∅, x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C nếu không tồn tại
y ∈ A sao cho x − y ∈ intC . Tập các điểm hữu hiệu yếu của A ký hiệu là W M in(A/C).

(iv) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với nón C, nếu tồn tại nón lồi C˜
˜ . Tập các điểm hữu
khác toàn không gian và chứa C\l(C) trong phần trong của nó để x ∈ P M in(A/C)
hiệu thực sự của tập A đối với nón C, ký hiệu là P rM in(A/C).

1.3

Ánh xạ đa trị

Như chúng ta đều biết, ánh xạ đơn trị cho ta với điểm cho trước tương ứng với duy nhất một giá
trị. Nhưng trong thực tế nói chung và trong toán học nói riêng, với mỗi điểm cho trước ta cần một tập
hợp tương ứng, phép tương ứng đó là ánh xạ đa trị.
Cho X là một tập hợp bất kỳ, ký hiệu 2X là tập tất cả các tập con của X
Định nghĩa 1.3.1 Với X, Y là các tập hợp nào đó. Một ánh xạ F từ X vào 2Y được gọi là ánh xạ đa
trị từ X vào Y. Ký hiệu F : X → 2Y
Như vậy mỗi x ∈ X, F (x) là một tập trong Y (F (x) có thể là tập rỗng). F là ánh xạ đơn trị từ
X vào Y nếu F (x) chỉ gồm một phần tử trong Y. Khi đó ta sử dụng ký hiệu F : X → Y thay cho

F : X → 2Y .

Với D ⊆ X, K ⊆ Y . Miền định nghĩa, đồ thị và miền ảnh của ánh xạ đa trị F được ký hiệu lần lượt
như sau:
domF = {x ∈ D|F (x) = ∅};
GrF = {(x, y) ∈ D × K|y ∈ F (x)};
rgeF = {y ∈ Y |∃x ∈ X để y ∈ F (x)}.
Định nghĩa 1.3.2 Cho X, Y, Z, W là các tập hợp bất kỳ, F, F1 , F2 : X → 2Y ; G : Y → 2Z là các ánh
xạ đa trị
(i) Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ F1 , F2 ; Ánh xạ bù của ánh xạ F từ X vào Y được xác định

7


như sau:
(F1 ∪ F2 )(x) = F1 (x) ∪ F2 (x);
(F1 ∩ F2 )(x) = F1 (x) ∩ F2 (x);
F c (x) = Y \F (x).

Hợp của ánh xạ F và G là ánh xạ G ◦ F : X → 2Z xác định bởi công thức
(G ◦ F )(x) =

G(F (x))
x∈X

Tích đề các của F : X → 2Y và G : W → 2Z là ánh xạ F × G : X × W → 2Y ×Z cho bởi công thức
(G × F )(x, y) = G(x) × F (y).

(ii) Khi Y là không gian tôpô tuyến tính. Tổng đại số của hai ánh xạ F1 , F2 và phép nhân một số
với ánh xạ F là ánh xạ đa trị từ X vào Y được xác định bởi:

(F1 + F2 )(x) = F1 (x) + F2 (x);
(λF )(x) = λF (x);

Định nghĩa 1.3.3 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, F : X → 2Y là ánh xạ đa trị, ký hiệu
F , F o theo thứ tự lần lượt là ánh xạ bao đóng, phần trong của ánh xạ F xác định bởi:
(F )(x) = F (x); (F o )(x) = (F (x))o

Nếu X, Y là các không gian tôpô tuyến tính, thì ánh xạ bao lồi và bao lồi đóng của ánh xạ F là
(coF )(x) = coF (x); (coF
˜ )(x) = coF
˜ (x)

1.3.1

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.4 Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X → 2Y là ánh xạ đa trị
(i) F gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu mọi tập mở V chứa trong Y thỏa mãn F (x) ⊂ V
đều tồn tại một lân cận U của x trong X sao cho F (x) ⊂ V với mọi x ∈ U .
(ii) F gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu mọi tập mở V chứa trong Y thỏa mãn F (x) ∩V = ∅
đều tồn tại một lân cận U của x trong X sao cho F (x) ∩ V = ∅ với mọi x ∈ U .
(iii) F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu nó vừa là nửa liên tục trên vừa là nửa liên tục dưới tại x.
F gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X .
Định nghĩa 1.3.6 Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X → 2Y là ánh xạ đa trị. F là ánh xạ đa trị
đóng nếu GrF là đóng trong X × Y .
Nếu F (x) là compact trong Y thì F là ánh xạ compact. Từ định nghĩa trên cho thấy, F là ánh xạ
đóng khi và chỉ khi với bất kỳ dãy {xα }, {yα }, xα → x, yα → y, yα ∈ F (xα ) thì y ∈ F (x). Nếu F (x) là
tập đóng với mọi x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.
Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên và nửa liên
tục dưới

Bổ đề 1.3.7 [7] Cho X, Y là các không gian tôpô, D chứa trong X, F : D → 2Y là ánh xạ đa trị. Nếu

8


F là nửa liên tục trên với giá trị đóng, thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại nếu F là ánh xạ đóng và Y là
compact, thì F là nửa liên tục trên.
Mệnh đề 1.3.8
(i) [6] Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị. F là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF khi và chỉ khi với bất
kỳ y ∈ F (x) và với bất kỳ dãy xα ∈ D, xα → x, tồn tại dãy {yβ }β∈Λ , yβ ∈ F (xβ ) sao cho yβ → y , trong
đó Λ là tập các chỉ số.
(ii) Nếu F có nghịch ảnh mở thì coF cũng có nghịch ảnh mở.
Mệnh đề 1.3.9 [10] Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên tục dưới. Ngược lại không
đúng.
Định nghĩa 1.3.11 F là C-liên tục trên(hay C-liên tục dưới) tại x ∈ domF nếu với bất kì lân cận V
của gốc trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong Y sao cho:
F (x) ⊂ F (x) + V + C(x)

(tương ứng F (x) ⊂ F (x) + V − C(x)) với mọi x ∈ U ∩ domF
Trong các phần sau, ta sử dụng khái niệm C -liên tục trên (dưới) với C là ánh xạ nón (ánh xạ có tập
giá trị là nón).
Định nghĩa 1.3.12 Cho F : K × D × D → 2Y , C : K × D → 2Y là ánh xạ nón. F được gọi là C - liên
tục trên (hoặc C - liên tục dưới) tại (y, x, z) ∈ domF nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn
tại lân cận U của (y, x, z) sao cho:
F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V + C(y, x),

(Hay F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V − C(y, x) tương ứng
với mọi (y, x, z) ∈ U ∩ domF
Các khái niệm C -liên tục tại điểm trên D cũng được định nghĩa như trường hợp C là nón hằng.
Mệnh đề 1.3.13 [5] Cho F : K × D × D → 2Y , C : K × D → 2Y là ánh xạ đa trị.

(i) Nếu C là nửa liên tục trên với giá trị nón lồi khác rỗng. F là C - liên tục trên tại (y0 , x0 , z0 ) ∈
domF với F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ) đóng, với dãy tùy ý (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ) +
C(yβ , xβ ), tβ → t0 kéo theo t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ).

Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với dãy tùy ý (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ) +
C(yβ , xβ ), tβ → t0 kéo theo t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ). Thì F là C - liên tục trên tại (y0 , x0 , z0 ).

(ii) Nếu F là ánh xạ compact và C - liên tục dưới tại (y0 , x0 , z0 ) ∈ domF thì với dãy tùy ý
(yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ) đều tồn tại dãy {tβ }, tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ) +
C(yβ , xβ ), sao cho có dãy con {tβγ }, tβγ − t0 → c ∈ C(y0 , x0 ) (nghĩa là tβγ → t0 + c ∈ t0 + C(y0 , x0 )

Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với dãy tùy ý (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) +
C(y0 , x0 ), tồn tại dãy {tβ }, tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ) sao cho có dãy con {tβγ }, tβγ − t0 → c ∈ C(y0 , x0 ) thì F

là C - liên tục dưới tại (y0 , x0 , z0 ).

9


1.3.2

Tính lồi của ánh xạ đa trị

Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị và C là nón trong Y . Trong các chương sau của luận văn, ta cần
tới các khái niệm sau:
Định nghĩa 1.3.14
1) F được gọi là C -lồi trên (dưới) trên D nếu với mọi x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1] , ta có
αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C
(tương ứng, F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) − C);

2) F được gọi là C -lõm trên (dưới) trên D nếu −F là C -lồi trên (dưới) trên D. Từ đó ta suy ra :
với mọi x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1] , ta có
αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) − C
(tương ứng, F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) + C).

Định nghĩa 1.3.15 F là C -giống như tựa lồi trên (dưới) trên D nếu với mọi x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1] thì
hoặc, F (x1 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C
hoặc, F (x2 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C
(tương ứng, hoặc, F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x1 ) − C

hoặc, F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x2 ) − C).
Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, khái niệm C -lồi trên (dưới) (hoặc, C -giống tựa lồi trên (dưới))
là như nhau và ta nói F là C -lồi (hoặc, C -giống tựa lồi).
Các khái niệm ánh xạ C -lồi trên (dưới) hay C -giống tựa lồi trên (dưới) là sự tổng quát các khái
niệm tương ứng đối với ánh xạ đơn trị. Có thể thấy rằng, ánh xạ C -lồi trên (dưới) không phải là ánh
xạ C -giống tựa lồi trên (dưới) và ngược lại.
Định nghĩa 1.3.17 Cho F : D × D → 2Y là ánh xạ đa trị:
1) F được gọi là C -lồi trên (dưới) theo đường chéo đối với biến thứ hai nếu với mọi tập hữu hạn
n

{x1 , ..., xn } ⊆ D, x ∈ co{x1 , ..., xn }, x =

n

αj xj , αj ≥ 0,
j=1

αj = 1, ta có
j=1

n

αj F (x, xj ) ⊆ F (x, x) + C
j=1
n

( tương ứng, F (x, x) ⊆

αj F (x, xj ) − C);
j=1

2) F được gọi là C -giống tựa lồi trên (dưới) theo đường chéo đối với biến thứ hai nếu với mọi tập hữu
n

hạn {x1 , ..., xn } ⊆ D, x ∈ co{x1 , ..., xn }, x =

n

αj xj , αj ≥ 0,
j=1

αj = 1, tồn tại chỉ số j ∈ {1, ..., n}
j=1

sao cho
F (x, xj ) ⊆ F (x, x) + C,

10

( tương ứng, F (x, x) ⊆ F (x, xj ) − C).

Định nghĩa 1.3.19 Cho các ánh xạ đa trị F : K ×D ×D → 2Y , Q : D ×D → 2K . Cho C : K ×D → 2Y
là ánh xạ nón đa trị:
1) F được gọi là (Q, C)-giống như tựa lồi trên theo đường chéo đối với biến thứ ba nếu với bất kì tập
hữu hạn {x1 , ..., xn } ⊆ D, x ∈ co{x1 , ..., xn } tồn tại chỉ số j ∈ {1, ..., n} sao cho
F (y, x, xj ) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x), với mọi y ∈ Q(x, xj );

2) F được gọi là (Q, C)-giống như tựa lồi dưới theo đường chéo đối với biến thứ ba nếu với bất kì tập
hữu hạn {x1 , ..., xn } ⊆ D, x ∈ co{x1 , ..., xn } tồn tại chỉ số j ∈ {1, ..., n} sao cho
F (y, x, x) ⊆ F (y, x, xj ) − C(y, x), với mọi y ∈ Q(x, xj ).

Định nghĩa 1.3.20
1) Cho R là một quan hệ hai ngôi trên K × D. Ta nói quan hệ R là quan hệ đóng nếu với mọi lưới
(yα , xα ) hội tụ tới (y, x) và R(yα , xα ) xảy ra với mọi α thì R(y, x) xảy ra;

2) Cho R là một quan hệ ba ngôi trên K × D × D. Ta nói R là quan hệ Q- KKM nếu với mọi tập
hữu hạn {t1 , ..., tn } ⊂ D và x ∈ co{t1 , ..., tn }, tồn tại tj ∈ {t1 , ..., tn } sao cho R(y, x, tj ) xảy ra, với mọi
y ∈ Q(x, tj ).

1.4

Một số định lý về điểm bất động và ánh xạ KKM

Mục này trình bày một số định lý về điểm bất động và ánh xa KKM, nó là công cụ chính để chứng
minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng chương 2.
Định lý 1.4.1(KyFan) [9] Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, K ⊂ X là tập con lồi
compact. F : K → 2K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị khác rỗng lồi, đóng. Khi đó tồn tại
x ∈ K sao cho x ∈ F (x).

Định lí 1.4.2(Fan-Browder ) Cho X là một không gian véctơ tôpô, K ⊂ X là một tập con khác rỗng
lồi, compact. F : K → 2K là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:
(i) Với mọi x ∈ K, F (x) là tập lồi;
(ii) Với mọi y ∈ K, F −1 (y) là tập mở trong K.
Thì tồn tại điểm x ∈ K sao cho x ∈ F (x).
Định lý sau là dạng khác của định lí Fan-Browder.
Định lí 1.4.3 Cho X là một không gian véctơ tôpô, K ⊂ X là một tập con khác rỗng lồi, compact.
F : K → 2K là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:

(i) Với mọi x ∈ K, x ∈
/ F (x) và F (x) là tập lồi;
(ii) Với mọi y ∈ K, F −1 (y) là tập mở trong K.
Thì tồn tại điểm x ∈ K sao cho F (x) = ∅.
Bổ đề 1.4.4 [5] Cho D, K lần lượt là các tập con khác rỗng, lồi, compact của không gian véctơ tôpô

11


lồi địa phương Hausdorff X, Y . Cho các ánh xạ đa trị S : D × K → 2D , H : D × K → 2K , M : D → 2D .
Ta giả sử rằng:
(i) S là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi và có nghịch ảnh mở;
(ii) H là ánh xạ nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng và tập A = {(x, y)|x ∈
S(x, y), y ∈ H(x, y)} là tập khác rỗng, đóng;

(iii) M có phần dưới mở với mọi x ∈ A, x ∈
/ coM (x)
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho x ∈ S(x, y), y ∈ H(x, y) và S(x, y) ∩ M (x) = ∅
Định nghĩa 1.4.5
1) Cho X là một không gian véctơ, D ⊆ X . Một ánh xạ F : D → 2X được gọi là ánh xạ KKM. Nếu
n

với bất kỳ tập {t1 , ..., tn } ⊂ D luôn có co{t1 , ..., tn } ⊆

F (tj ).
j=1

2) Cho X, Z là các không gian tôpô D ⊆ X, K ⊆ Z, F : K × D × D → 2X , Q : D × D → 2K là các
ánh xạ đa trị. F được gọi là Q-KKM nếu với bất kỳ tập hữu hạn {t1 , ..., tn } ⊂ D và x ∈ co{t1 , ..., tn },
tồn tại j ∈ {1, ..., n} sao cho 0 ∈ F (y, x, tj ) với mọi y ∈ Q(x, tj ). Xem trong [4].
Định nghĩa 1.4.6 Cho X, Z, W là các không gian tôpô D ⊆ X, K ⊆ Z, E ⊂ W, F : K × D × E →
2X , Q : D × E → 2K là các ánh xạ đa trị. F được gọi là Q-KKM suy rộng nếu với bất kỳ tập hữu hạn
{t1 , ..., tn } ⊂ E tồn tại tập hữu hạn {x1 , ..., xn } ⊆ D sao cho với bất kỳ x ∈ co{xi1 , ..., xik }, tồn tại
tij ∈ {ti1 , ..., tin } thỏa mãn 0 ∈ F (y, x, tij ) với mọi y ∈ Q(x, tij ).

Định lý 1.4.7 (Bổ đề Fan-KKM ) [8] Cho X là một không gian véctơ tôpô, D ⊂ X là một con khác
rỗng, lồi F : D → 2X là ánh xạ KKM. Nếu với mỗi x ∈ D, F (x) là một tập đóng, đồng thời có ít nhất
một điểm x ∈ D sao cho F (x) là tập compact, thì

F (x) = ∅
x∈D

12


Chương 2
Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng
quát và ứng dụng
Ta thấy rằng trong các bài toán tối ưu đơn trị có rằng buộc, nghiệm của chúng phụ thuộc vào nhiều
điều kiện khác nhau, điều này cũng có thể xảy ra với ánh xạ đa trị. Chương này ta sẽ nghiên cứu bài
toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, một số bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng hỗn hợp

tổng quát, định lí về sự tồn tại nghiệm và một số ứng dụng của nó. Kết quả của chương này được trình
bày trên cơ sở bài báo [5].

2.1

Giới thiệu bài toán

Phần này ta giới thiệu về bài toán tựa cân bằng hỗ hợp tổng quát
2.1.1 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa
phương Hausdorff. Giả sử rằng D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị
S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , và F : K × K × D × D → 2Y . Ta xét bài toán sau:

Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho:
1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y);
2) 0 ∈ F (y, y, x, t) với mọi t ∈ S(x, y).
Bài toán trên được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I.
Bài toán này đã được T.T.T. Dương và N.X. Tấn nghiên cứu khá chi tiết trong bài báo [4] đăng trên
tạp chí J.Global Optim.
2.1.2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi
địa phương Hausdorff. Giả sử rằng D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị
Pi : D → 2D (i = 1, 2), Q : D × D → 2K và F : K × D × D → 2Y

Bài toán tìm x ∈ D sao cho:
1) x ∈ P1 (x);
2) 0 ∈ F (y, x, t) với mọi t ∈ P2 (x), y ∈ Q(x, t).
Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.
Bài toán này đã được T.T.T. Dương và N.X. Tấn nghiên cứu khá chi tiết trong bài báo [4] đăng trên

13

tạp chí J.Global Optim.
2.1.3 Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát Cho X, Y1 , Y2 , Z là các không gian véctơ tôpô
lồi địa phương Hausdorff. Giả sử rằng D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị
S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , P : D → 2D , Q : D × D → 2K và F : K × K × D × D → 2Y1 , G :
K × D × D → 2Y2 . Ta xét bài toán sau

Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho:
1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y);
2) 0 ∈ F (y, y, x, t) với mọi t ∈ S(x, y);
3) 0 ∈ G(y, x, t) với mọi t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).
Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và được T.T.T. Dương và N.X.
Tấn công bố trong bài báo [5] đăng trên tạp chí J.Global Optim.

2.2

Một số bài toán liên quan

Mục này ta sẽ trình bày một số bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng
2.2.1 Bài toán tựa cân bằng vô hướng tổng quát Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô lồi địa
phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập con khác rỗng. S : D×K → 2D ; T : D×K → 2K ; Pi : D →
2D , i = 1, 2; Q : D × D → 2K .R(R+ ) là tập số thực (số thực không âm) và Φi : K × D × D → R, i = 1, 2

là hàm thỏa mãn Φi (y, x, x) = 0, i = 1, 2 với mọi y ∈ K, x ∈ D. Bài toán tìm (x, y) ∈ D × K sao cho:
1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y);
2) Φ1 (y, x, t) ≥ 0, ∀t ∈ S(x, y), x ∈ P1 (x);
3) Φ2 (y, x, t) ≥ 0, ∀t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t).
2.2.2 Bất đẳng thức tựa biến phân Minty tổng quát Cho ., . : X × Z → R là dạng song tuyến
tính. Bài toán tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
1) y, t − x ≥ 0, ∀t ∈ S(x, y), x ∈ P1 (x);

2) y, t − x ≥ 0, ∀t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t).
Đặt F (y, x, t) = y, t − x − R+ , Bài toán trở thành, tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
1) 0 ∈ F (y, x, t), ∀t ∈ S(x, y), x ∈ P1 (x);
2) 0 ∈ F (y, x, t), ∀t ∈ P2 (x); và y ∈ Q(x, t).
2.2.3 Bất đẳng thức tựa biến phân lý tưởng trên tổng quát Cho X, Y, D, K,
S, T, Pi , i = 1, 2 và Q như trên. C : K ×D → 2Y , Gi , Hi : K ×D ×D → 2Y . Bài toán tìm (x, y) ∈ D ×K

sao cho
1) G1 (y, x, t) ⊆ H1 (y, x, x) + C(y, x), x ∈ P1 (x), ∀t ∈ S(x, y)
2) G2 (y, x, t) ⊆ H2 (y, x, x) + C(y, x), ∀t ∈ P2 (x), ∀y ∈ Q(x, t)
Định nghĩa Mi : K × D → 2X ; Fi : K × D × D → 2Y , i = 1, 2 như sau:
Mi (y, x) = {t ∈ D|G(y, x, t) ⊆ Hi (y, x, x) + C(y, x)}, (y, x) ∈ K × D.

và Fi (y, x, t) = t − Mi (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D. thì
1) 0 ∈ F1 (y, x, t), x ∈ P1 (x) với mọi t ∈ S(x, y);

14


2) 0 ∈ F2 (y, x, t), với mọi t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t).
2.2.4 Bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên tổng quát Cho D, K, Y, S, T, Pi , i = 1, 2 và Q như
trên. Ánh xạ nón C : K × D → 2Y , Gi : K × D × D → 2Y . Bài toán tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
1) G1 (y, x, t) ⊆ C(y, x), x ∈ P1 (x), ∀t ∈ S(x, y);
2) G2 (y, x, t) ⊆ C(y, x) với mọi t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t).
2.2.5 Bài toán quan hệ tựa biến phân loại II Cho D, K, Pi , i = 1, 2 như trên và R(y, x, t) là quan
hệ giữa y ∈ K, x ∈ D và t ∈ E . Bài toán tìm x ∈ D sao cho
x ∈ P1 (x) và R(y, x, t) xảy ra với mọi t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t).

được gọi là bài toán quan hệ biến phân.
Định nghĩa M : K × D → 2X ; F : K × D × D → 2Y như sau

M (y, x) = {t ∈ D|R(y, x, t) xảy ra } và F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D.

Bài toán tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1 (x) và 0 ∈ F (y, x, t), ∀t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t)
bài toán trở thành t ∈ M (y, x), ∀t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t). hoặc tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1 (x) và
R(y, x, t) xảy ra với mọi t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t).

2.2.6 Bao hàm thức đạo hàm Cho C[a, b] và C 1 [a, b] là không gian của các hàm số liên tục và
đạo hàm liên tục trên đoạn [a.b], D ⊂ C 1 [a, b] là tập con khác rỗng. Giả sử P1 , P2 như trên. Cho
Ω = ∅ và U : D × D → 2Ω là ánh xạ đa trị, K = Ω × R và Q : D × D → 2Y được xác định bởi
Q(x, t) = U (x, t) × [a, b]; G : K × [a, b] × D × D → 2C[a,b] . Bài toán tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1 (x) và
x (t) ∈ G(y, ξ, x, t), ∀t ∈ P2 (x), ∀(y, ξ) ∈ Q(x, t).

được gọi là bao hàm thức đạo hàm.
2.2.7 Quan hệ biến phân hỗn hợp Cho R1 , R2 là các quan hệ giữa x ∈ X, t ∈ Z, y ∈ Y . Bài toán
quan hệ biến phân hỗn hợp là bài toán tìm (x, y) ∈ D × K sao cho:
1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)
2) R1 (y, x, t) xảy ra với mọi t ∈ S(x, y)
3) R2 (y, x, t) xảy ra với mọi t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t)
nó là dạng đơn giản của bài toán tìm (x, y) ∈ D × K sao cho:
1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)
2) 0 ∈ F (y, y, x, t) với mọi t ∈ S(x, y)
3) 0 ∈ G(y, x, t) với mọi t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t)
Ở đây các ánh xạ đa trị M : D × K → 2Z , F : K × K × D × D → 2Z , N : K × D → 2X , G :

15


K × D × D → 2X được xác định bởi
M (x, y) = {z ∈ T (x, y)|R1 (z, x, y) xảy ra với ∀t ∈ S(x, y)}
F (y, z, x, t) = z − M (x, y), (y, z, x, t) ∈ K × K × D × D;

N (y, x) = {t ∈ D|R2 (y, x, t) xảy ra};
G(y, x, t) = t − N (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D.

Khi đó bài toán trên được đưa về bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát
2.2.8 Bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng Cho C : K ×D → 2Y và H1 , H2 : K ×D ×D →
2Y là các ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng. Bài toán tìm (x, y) ∈ D × K sao cho:

1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y);
2) αi (H1 (y, x, t), C(y, x)), ∀t ∈ S(x, y);
3) αi (H2 (y, x, t), C(y, x)), ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t); với
α1 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A

B};

α2 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A ⊆ B};
α3 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A ∩ B = ∅};
α4 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A ∩ B = ∅}

được gọi là bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng.
Ta có thể phát biểu ngắn gọn bài toán này như sau:
Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho:
1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y);
2) 0 ∈ F (y, y, x, t) với mọi t ∈ S(x, y);
3) 0 ∈ G(y, x, t) với mọi t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).
Với các ánh xạ đa trị M : D×K → 2Z , F : K ×K ×D×D → 2Z , N : K ×D → 2X , G : K ×D×D → 2X
được xác định bởi
M (x, y) = {z ∈ T (x, y)|αi (H1 (z, x, t), C(y, x))∀t ∈ S(x, y)};
F (y, z, x, t) = z − M (x, y), (y, z, x, t) ∈ K × K × D × D;
N (y, x) = {t ∈ D|αi (H2 (z, x, t), C(y, x))};
G(y, x, t) = t − N (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D.

Khi đó bài toán trên được đưa về bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát

2.3

Sự tồn tại nghiệm

Cho D, K là các tập compact, Các ánh xạ đa trị S, T, P, F và G có tập giá trị khác rỗng như trên.
Trước hết ta chứng minh định lí sau về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát.

Định lí 2.2.1 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:

16


(i) S là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi và có nghịch ảnh mở;
(ii) T là nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng và tập A = {(x, y)|x ∈ S(x, y), y ∈
T (x, y)} đóng;

(iii)P có nghịch ảnh mở và P (x) ⊆ S(x, y) với mọi x ∈ D, y ∈ K ;
(iv) Với bất kì điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn tại z ∈ T (x, y) sao cho 0 ∈ F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y);
(va ) F là ánh xạ đa trị đóng;
(vb ) Với bất kì điểm cố định (x, y) ∈ D × K tập {z ∈ T (x, y)|0 ∈ F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y)} lồi;
(vii) Với bất kì điểm cố dịnh t ∈ D tập B = {x ∈ D|0 ∈
/ G(y, x, t) với một vài y ∈ Q(x, t)} là mở
trong D và G là ánh xạ Q-KKM
thì bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát có nghiệm.
Định lí 2.2.3 Ta giả sử tất cả các giả thiết trong định lí 2.2.1 được thỏa mãn, với (i), (ii) và (iii) được
thay bởi
(i’) S là liên tục với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng;

(ii’) T là nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
(iii’) P là nửa liên tục dưới và P (x) ⊆ S(x, y), ∀x ∈ D, y ∈ K
thì bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát có nghiệm.
Định lí 2.2.5 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) S là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi và có nghịch ảnh mở;
(ii) T là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng và tập A = {(x, y)|x ∈
S(x, y), y ∈ T (x, y)} đóng;

(iii) P là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và P (x) ⊆ S(x, y), ∀x ∈ D, y ∈ K ;
(iv) Với mỗi điểm cố định (x, y) ∈ D × K , tồn tại z ∈ T (x, y) sao cho 0 ∈ F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y);
(va ) F là ánh xạ đa trị đóng;
(vb ) Với mỗi điểm cố định (y, x) ∈ K × D tập {z ∈ T (x, y)|0 ∈ F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y)} lồi;
(vi) Q là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất, với mỗi điểm cố định t ∈ D, G(., ., t) là ánh xạ đa trị
đóng và G là Q-KKM
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho:
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);
0 ∈ F (y, y, x, t) với mọi t ∈ S(x, y);
0 ∈ G(y, x, t) với mọi t ∈ P (x) với một vài y ∈ Q(x, t),

Định lí 2.2.6 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) S là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi và có nghịch ảnh mở;
(ii) T là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng và tập A = {(x, y)|x ∈
S(x, y), y ∈ T (x, y)} đóng;

(iii) P là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và P (x) ⊆ S(x, y), ∀x ∈ D, y ∈ K ;
(iv) Với mỗi điểm cố định (x, y) ∈ D × K , tồn tại z ∈ T (x, y) sao cho 0 ∈
/ F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y);
(va ) F là ánh xạ đa trị đóng;
(vb ) Với mỗi điểm cố định (y, x) ∈ K × D tập {z ∈ T (x, y)|0 ∈
/ F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y)} lồi;

17


(vi) Với điểm cố định tùy ý t ∈ D tập B = {x ∈ D|0 ∈
/ G(y, x, t), với một vài y ∈ Q(x, y)} là tập
mở trong D và G là Q-KKM
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho:
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);
0∈
/ F (y, y, x, t) với mọi t ∈ S(x, y);
0 ∈ G(y, x, t) với mọi t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t),

Hệ quả 2.2.7 Cho S, T, P, Q giống như định lí 2.2.3. Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) C : D → 2Y là một ánh xạ nón với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng sao cho với mỗi x ∈ D ánh xạ
đa trị C˜ : D → 2Y được xác định bởi C˜ = Y \(−intC(x)) là ánh xạ đa trị đóng;
(ii) F là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi, compact;
(iiia ) với mỗi điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn tại z ∈ T (x, y) sao cho F (z, x, t)

−intC(x) với mọi

t ∈ S(x, y);

(iiib ) Với mọi (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) : K → 2Y là (−C(x)) - giống như tựa lồi trên;
(iva ) Với mọi t ∈ D, G(., ., t) là ánh xạ đa trị đóng, và G có tập giá trị khác rỗng, lồi, compact
G(y, x, x)

−intC(x) với mọi (x, y) ∈ D × K ;

(ivb ) G là (Q, C )- lồi dưới theo đường chéo (hoặc (Q, C )- giống như lồi dưới theo đường chéo) theo

biến thứ ba
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho:
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);
F (y, x, t)

−intC(x) với mọi t ∈ S(x, y);

G(y, x, t)

−intC(x) với mọi t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).

Hệ quả 2.2.8 Cho S, T, P, Q thỏa mãn các điều kiện như trong định lí 2.2.3. Giả sử rằng
(i) C : D → 2Y là ánh xạ đa trị nón đóng với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
(ii) F là ánh xạ đa trị đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact;
(iiia ) Với bất kì điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn tại z ∈ T (x, y) sao cho F (z, x, t) ∩ C(x) = ∅;
(iiib ) Với mọi (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) : K → 2Y là (−C(x)) - lồi trên;
(iva ) Với mọi t ∈ D, G(., ., t) là một ánh xạ đa trị đóng và G có tập giá trị khác rỗng lồi compact,
G(y, x, x) ∩ C(x) = ∅ với mọi (x, y) ∈ D × K ;

(ivb ) G là (Q, C ) - giống như tựa lồi dưới theo đường chéo, theo biến thứ ba
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);
F (y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y);
G(y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).

Hệ quả 2.2.9 Cho S, T, P, Q giống như trong hệ quả 2.2.7. Giả sử rằng
(i) C : D → 2Y là ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng và intC(x) = ∅. Với mỗi
˜
x ∈ D, C˜ : D → 2Y được xác định bởi C(x)
= Y \ − intC(x) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên;

(ii) F là ánh xạ đa trị (-C ) - liên tục dưới với tập giá trị khác rỗng lồi compact;
(iiia ) Với mỗi điểm cố định (x, y) ∈ D × K , tồn tại z ∈ T (x, y) sao cho F (z, x, t) ∩ −intC(x) =
∅, ∀t ∈ S(x, y);

18


(iiib ) Với mỗi điểm cố định (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) là (−C(x)) - giống như tựa lồi dưới;
(iva ) Với mỗi điểm cố định t ∈ D, G(., ., t) là ánh xạ đa trị (-C ) - liên tục dưới, G có tập giá trị khác
rỗng lồi compact và G(y, x, x) ∩ −intC(x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K ;
(ivb ) G là (Q, C ) - giống như tựa lồi trên theo đường chéo theo biến thứ ba
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);
F (y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y);
G(y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).

Hệ quả 2.2.10 Cho S, T, P, C giống như trong hệ quả 2.2.9. Nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Q : D → 2K là nửa liên tục dưới;
(ii) Ánh xạ đa trị F là (-C ) - liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact. Ánh xạ đa trị N :
K × D → 2Y được xác định như sau: N (y, x) = F (y, x, x) là (-C ) - liên tục dưới;

(iiia ) Với mỗi điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn tại z ∈ T (x, y) sao cho (F (z, x, t) − F (y, x, x)) ∩
−intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x; y);

(iiib ) Với mỗi điểm cố định (x, y) ∈ D × K tập {z ∈ T (x, y)|(F (z, x, t) − F (y, x, x)) ∩ −intC(x) =
∅, ∀t ∈ S(x; y)} là tập lồi;

(iva ) Với mỗi điểm cố định x, t ∈ D Ánh xạ đa trị G(., ., t) là (-C ) - liên tục, Ánh xạ đa trị G(., ., x)
là (-C ) - liên tục dưới. G có tập giá trị khác rỗng lồi compact và (G(y, x, t) − G(y, x, x)) ∩ −intC(x) =
∅, ∀(x, y) ∈ D × K ;

(ivb ) G là (Q, C ) - giống như tựa lồi trên theo đường chéo theo biến thứ ba
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);
(F (y, x, t) − F (y, x, x)) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y);
G(y, x, t) − G(y, x, x) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).

1) Trong hệ quả 2.2.7 khi ta thay (i) và (iv) bằng các điều kiện tương đương (i’) và (iv’) với
(i’) C1 , C : D → 2Y là các ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y là
˜
đóng và với mỗi x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y được xác định bởi C(x)
= Y \(−intC(x)) là đóng;
(iv a ) Ánh xạ đa trị G(., ., t) là đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact và G(y, x, x) ∩ C1 (x) =
∅, ∀(x, y) ∈ D × K ;

(iv b ) G là (Q, C1 ) - giống như tựa lồi dưới theo đường chéo theo biến thứ ba
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho:
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);
F (y, x, t)

−intC(x), ∀t ∈ S(x, y);

G(y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).

2) Trong hệ quả 2.2.7 khi ta thay (i), (ii) và (iii) bằng các điều kiện tương đương (i’), (ii’) và (iii’)
với
(i’) C1 , C : D → 2Y là ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y là đóng
˜
và với mỗi x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y được xác định bởi C(x)
= Y \(−intC(x)) là đóng;

(ii’) F là ánh xạ đa trị đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact;

19


(iiia ) Với mỗi điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn tại z ∈ T (x, y) sao cho F (z, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈
S(x, y);

(iiib ) Với mỗi (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) là (−C1 (x)) - lồi trên
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho:
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);
F (y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y);
G(y, x, t)

−intC(x), ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).

3) Trong hệ quả 2.2.8 khi ta thay (i), (ii) và (iii) bằng các điều kiện tương đương (i’), (ii’) và (iii’)
với
(i’) C1 , C : D → 2Y là ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y là đóng
˜
và với mỗi x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y được xác định bởi C(x)
= Y \(−intC(x)) là nửa liên tục
trên;
(ii’) Ánh xạ đa trị đóng F là (−C1 ) - liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact;
(iiia ) Với mỗi điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn tại z ∈ T (x, y) sao cho F (z, x, t) ∩ −intC1 (x) =
∅, ∀t ∈ S(x, y);

(iiib ) Với mỗi (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) là (−C1 (x)) - giống như lồi dưới
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho:
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);

F (y, x, t) ∩ −intC1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y);
G(y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).

4) Trong hệ quả 2.2.8 khi ta thay (i) và (iv) bằng các điều kiện tương đương (i’) và (iv’) với
(i’) C1 , C : D → 2Y là ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C : D → 2Y là đóng
˜
và với mỗi x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y được xác định bởi C(x)
= Y \(−intC1 (x)) là nửa liên tục
trên;
(iv a ) Với mỗi t ∈ D. Ánh xạ đa trị G(., ., t) là (−C1 ) - liên tục dưới với tập giá trị khác rỗng lồi
compact và G(y, x, x) ∩ −intC1 (x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K ;
(iv b ) G là (Q, C1 ) - giống như tựa lồi trên theo đường chéo theo biến thứ ba
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho:
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);
F (y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y);
G(y, x, t) ∩ −intC1 (x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).

5) Trong hệ quả 2.2.9 khi ta thay (i), (ii) và (iii) bằng các điều kiện tương đương (i’), (ii’) và (iii’)
với
(i’) C1 , C : D → 2Y là ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y là đóng
˜
và với mỗi x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y được xác định bởi C(x)
= Y \(−intC(x)) là nửa liên tục
trên;
(ii’) Ánh xạ đa trị đóng F là đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact;
(iiia ) Với mỗi điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn tại z ∈ T (x, y) sao cho F (z, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈
S(x, y);

(iiib ) Với mỗi (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) là (−C1 (x)) - lồi trên

20


Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho:
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);
F (y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y);
G(y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅?, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).

6) Trong hệ quả 2.2.9 khi ta thay (i) và (iv) bằng các điều kiện tương đương (i’) và (iv’) với
(i’) C1 , C : D → 2Y là ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y là đóng
˜
và với mỗi x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y được xác định bởi C(x)
= Y \(−intC1 (x)) là nửa liên tục
trên;
(iv a ) G là ánh xạ đa trị đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact và G(y, x, x)∩C1 (x) = ∅, ∀(x, y) ∈
D × K;

(iv b ) G là (Q, C1 ) - giống như tựa lồi dưới theo đường chéo theo biến thứ ba
Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho:
x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y);
F (y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y);
G(y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t).

2.4

Ứng dụng

Trong mục này ta giới thiệu một số bài toán có ứng dụng của bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn
hợp.
4.1 Bài toán điều khiển tối ưu Cho Ω là một tập mở, bị chặn trong Rn , n ≥ 2 với biên Γ thuộc C 1 .

Xét bài toán tìm hàm điều khiển u ∈ Lp (Ω), 1 < p < +∞ tương ứng với y ∈ W 1,p (Ω) hàm tiện ích
J(y, u) =

(1.1)

L(x, y(x), u(x))dx
Ω

tương ứng với phương trình sau:
n

−

(1.2)

(Dj (aij (x)) .Dj (y)) + h(x, y) = u, trong Ω, y = 0, trên Γ.
i,j=1

với một trong các ràng buộc sau:
1) Trường hợp 1: Ràng buộc hỗn hợp
gi (x, y(x), u(x)) ≤ 0 hầu khắp nơi, x ∈ Ω, i = 1, ..., n.

(1.3)

2) Trường hợp 2: Ràng buộc đồng nhất
(1.4)
g(x, y(x)) ≤ 0 với mọi x ∈ Ω.
u(x) ∈ U hầu khắp nơi, x ∈ Ω.
3) Trường hợp 3: Ràng buộc hỗn hợp
(1.5)

g(x, y(x)) ≤ 0 với mọi x ∈ Ω.
fi (x, y(x), u(x)) ≤ 0 hầu khắp nơi, x ∈ Ω, i = 1, ..., n.
1
1 1
1
(1.6) Giả sử > ≥ − , u ∈ W1,r (Ω) , y ∈ W01,r (Ω) là nghiệm của (1.2) nếu
n
r
p n


n


Ω

i,j=1

h(y, x)ϕdx = u, ϕ , ∀ϕ ∈ W01,r (Ω)

ai,j Di yDj ϕ dx +
Ω

Sử dụng bất đẳng thức (1.6) và định lý Sobolev và Rellich, ta kết luận Lp (Ω) → W 1,r (Ω). Do đó,
u ∈ Lp (Ω). Phương trình (1.2) cho ta nghiệm duy nhất y ∈ W01,r (Ω) → C(Ω). Ta định nghĩa

21


K(y, u) = Ay + h(., y) = u;

Gi (y, u) = gi (., y, u).

Nếu gi (., y, u) ∈ C(Ω), ta có thể định nghĩa
φi (y, u) = max gi (x, y(x), u(x)).
x∈Ω

Bài toán (1.1)-(1.3) có dạng
min(y, x), với rằng buộc K(y, u) = 0, và φ(y, u) ≤ 0

Đặt
F (y, u, z, w) = J(y, u) − J(z, w) + R+ ;
n

G(y, u, z, w) = (K(y, u), Π Φi (y, u) − R+ ).

Bài toán trên tương đương với bài toán tìm (y, u) ∈

i=1
W01,r (Ω)
n

× Lp (Ω) sao cho

0 ∈ F (y, u, z, w) × (K(y, u), Π Φi (y, u) − R+ ).
i=1

Điều này có nghĩa
J(y, u) ≤ J(z, w) với mọi z, w ∈ W01,r (Ω) × Lp (Ω);
K(y, u) = 0;
φ(y, u) ≤ 0, i = 1, ..., m.

4.2 Cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác Cho Xi , i ∈ I, Y là các không gian tôpô lồi địa
phương Hausdorff, I là tập hữu hạn các chỉ số (số lượng người chơi), C ⊆ Y là nón nhọn lồi. Với mỗi
i ∈ I, Di ⊆ Xi là tập khác rỗng (tập người chỉ huy của người chơi thứ i). Đặt
n

D = Π Di .
i=1

Với mỗi i ∈ I ánh xạ đa trị

Sij

: D → 2Di , j = 1, 2 là ràng buộc của người chơi thứ i. Hàm số

fi : D → Y là hàm tổn thất của người chơi thứ i. Hàm này phụ thuộc vào người chỉ huy toàn bộ trò

chơi. Với x = (xi )i∈I ∈ D. Ta ký hiệu xi = (xj )j∈I\{i} .
x = (xi )i∈I gọi là điểm cân bằng của trò chơi (Di , fi , Si1 , Si2 )i∈I khi và chỉ khi i ∈ I ta có xi ∈ Si1 và
fi (xi , yi ) − fi (x) ∈
/ −(C\{0}), ∀yi ∈ Si2 (x), i ∈ I.

Ta đặt
n

G(x, t) =

(fi (xi , ti ) − fi (x));

i=1

M (x) = {t ∈ D|G(x, t) ∈
/ −(C\{0})}
F (x, t) = t − M (x), (t, x) ∈ D × D.
n

Nếu x ∈ S 1 (x) = Π Si (x) sao cho 0 ∈ F (x, t) với mọi ti ∈ Si2 (x), i ∈ I . Ta có xi ∈ Si1 và G(x, t) ∈
/
i=1

−(C\{0}), ∀yi ∈ Si2 (x), i ∈ I.

Khi đó ta có
n

xi ∈ Si1 (x), ∀i = 1, ..., n;
fi (xi , ti ) − fi (x) ∈
/ −(C\{0}).

i=1

Lần lượt thay t = (xi , ti ) ∈ Si2 (x), ta suy ra
fi (xi , ti ) ∈
/ fi (x) − (C\{0}), với mọi ti ∈ Si2 (x).

Do đó x = (xi )i∈I là điểm cân bằng Pareto của trò chơi Nash.

22

Kết luận
Luận văn đã trình bày một cách có hệ thống các kết quả của bài báo Mixed generalized quasiequilibrium problems và ứng dụng của nó.
Cụ thể luận văn trình bày các vấn đề sau:
Các kiến thức cơ bản cần dùng cho bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát.
Các điều kiện đủ để bài toán tựa cân bằng tổng quát có nghiệm.
Tám bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát như: Bài toán tựa cân bằng
vô hướng tổng quát; Bất đẳng thức tựa biến phân Minty tổng quát; Bất đẳng thức tựa biến phân lý
tưởng trên tổng quát; Bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên tổng quát; Bài toán quan hệ tựa biến phân
loại II; Quan hệ biến phân hỗn hợp và Bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng.
Hai ứng dụng của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát là Bài toán điều khiển tối ưu và Cân
bằng Nash trong trò chơi không hợp tác.
Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắn, xong do khản năng kiến thức còn hạn chế nên luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được ý kiến đóng góp của Thầy, Cô giáo và bạn đọc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả

Trần Huy Mạnh

23


Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2005), Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu đa trị. NXB Giáo
dục.
[2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực & giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
[3] Nguyễn Đông Yên (2007), Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên và công nghệ.
[B] Tài liệu Tiếng Anh
[4] Truong Thi Thuy Duong - Nguyen Xuan Tan (2011), "On the existence of solutions to generalized
quasi-equilibrium problems", J. Global Optim. 52 (2012), no. 4, 711–728.

[5] Truong Thi Thuy Duong (2012), "Mixed generalized quasi-equilibrium problems",J. Global Optim.
56 (2013), no. 2, 647–667.
[6] Nguyen Xuan Tan (1985), "Quasi-variational inequa lities in topological linear locally convex Hausdorff space", Math. Nachrichten, 122, 231-245.
[7] Aubin,J.P., Cellina, A. (1994),"Differential Inclusion", Springer Verlag, Berlin, Gemany.
[8] Fan, K. (1972), "A Generalization of Tychonoffs Fixed Point Theorem", Mathematische Annalen,
142, 305-310.
[9] S. Park (2000), "Fixed Points and Quasi-Equilibrium Problems", Nonlinear Operator Theory. Mathematical Methods and Computer Modelling, 32, 1297-1304.
[10] Yannelis, N. C., and Prabhaker, N. D. (1983), "Existence of maximal elements and equilibria in
linear topological spaces", Jour. of Math. Eco., 12, 233-245.

24