Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 5 hệ các phương trình cơ bản và các mô hình môi trường liên tục

®¹i häc

CƠ
CƠ SỞ
SỞ CƠ
CƠ HỌC
HỌC MÔI
MÔI TRƯỜNG
TRƯỜNG LIÊN
LIÊN TỤC
TỤC
VÀ
VÀ LÝ
LÝ THUYÊT
THUYÊT ĐÀN
ĐÀN HỒI
HỒI
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

1(39)


Chương 5

Hệ các phương trình cơ bản và
các mô hình môi trường liên tục

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

2(39)


NỘI DUNG
5.1.
5.1.Định
Địnhluật
luậtbảo
bảotoàn
toànkhối
khốilượng
lượng––Phương
Phươngtrình
trìnhliên
liêntục
tục
5.2.
5.2.Quá
Quátrình
trìnhnhiệt
nhiệtđộng

độnghọc
họccủa
củamôi
môitrường
trường
5.3.
5.3.Định
Địnhluật
luậtnhiệt
nhiệtđộng
độnglực
lựcthứ
thứnhất
nhất––Phương
Phươngtrình
trìnhtrạng
trạngthái
thái
5.4.
5.4.Định
Địnhluật
luậtnhiệt
nhiệtđộng
độnglực
lựcthứ
thứhai
hai
5.5.
5.5.Hệ
Hệcác

cácphương
phươngtrình
trìnhcơ
cơbản
bảncủa
củacơ
cơhọc
họcMTLT
MTLT
5.6.
5.6.Chất
Chấtlỏng
lỏnglýlýtưởng
tưởng
5.7.
5.7.Chất
Chấtlỏng
lỏngnhớt
nhớttuyến
tuyếntính
tínhNiutơn
Niutơn
5.8.
5.8.Chất
Chấtrắn
rắn
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

3(39)


5.1. Định luật bảo toàn khối lượng – Phương trình liên tục
5.1.
5.1.Định
Địnhluật
luậtbảo
bảotoàn
toànkhối
khốilượng
lượng––Phương
Phươngtrình
trìnhliên
liêntục
tục
Tổng khối lượng vật chất chứa trong thể tích V được khảo sát không
thay đổi trong quá trình chuyển động của môi trường

Biểu thức viết trong hệ tọa độ Euler:

∂vi
∂ρ
+ρ
=0
∂t
∂x i

Hoặc:

G
∂ρ
+ ρ divv = 0
∂t

Phương trình : Phương trình liên tục của khối lượng
Có ý nghĩa quan trọng với chất lỏng và khí, với chất rắn: tự động thỏa mãn
Trong môi trường không nén được (ρ’=0):

G
divv = 0

July 2009

G
G ∂a
∂a 2 ∂a 3
1
diva = ∇a =
+
+
∂x1 ∂x 2 ∂x 3

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

4(39)

5.2.
5.2.Định
Địnhluật
luậtđộng
độnglượng
lượngtuyến
tuyếntính
tính––Phương
Phươngtrình
trìnhchuyển
chuyểnđộng
động
Xét môi trường liên tục với thể tích V, diện tích bề mặt S, chịu tác dụng
của lực thể tích có cường độ f
Động lượng tuyến tính của khối lượng được định nghĩa bởi vec tơ:

Định luật động lượng tuyến tính: Biến thiên động lượng trên một đơn vị thời
gian của một khối lượng bằng hợp lực tác dụng lên khối lượng đó trong môi
trường liên tục

∂σ ji

∂ 2 ui
+ fi = ρ 2
dt
∂x j
∂σ ji
∂x j

July 2009

+ fi = 0

- Phương trình chuyển động

- Phương trình cân bằng

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

5(39)


5.2. Quá trình nhiệt động học của môi trường
5.2.
5.2.Quá
Quátrình
trìnhnhiệt
nhiệtđộng
độnghọc
họccủa
củamôi
môitrường
trường
Trong trường hợp tổng quát, trạng thái của môi trường được xác định
bởi các đặc trưng động lực học: chuyển vị, ứng suất, biến dạng,… và
các đặc trưng nhiệt động học: nhiệt độ, sự truyền nhiệt ,…
Các tham số đặc trưng của trạng thái môi trường gọi là tham số trạng
thái. Quan hệ giữa các tham số trạng thái – phương trình trạng thái
Nếu các tham số trạng thái không phụ thuộc vào thời gian: môi trường

ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực (cân bằng nhiệt, cân bằng cơ học,
…) - Nhiệt độ là tham số đặc trưng cho trạng thái cân bằng nhiệt.
Quá trình đẳng nhiệt: nhiệt độ không phụ thuộc vào thời gian
Quá trình đoạn nhiệt: không có sự trao đổi nhiệt giữa môi trường đang
xét với môi trường xung quanh
Quá trình nhiệt động lực có thể là thuận nghịch hoặc không thuận nghịch
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

6(39)


5.3. Định luật nhiệt động lực thứ nhất
5.3.
5.3.Định
Địnhluật
luậtnhiệt
nhiệtđộng
độnglực
lựcthứ
thứnhất
nhất––Phương
Phươngtrình
trìnhtrạng
trạngthái
thái
Khi vật chất chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác: sự biến thiên
năng lượng chuyển hoá theo qui luật nào ???

Cơ lý thuyết: Tổng động năng + thế năng = Công ngoại lực
Tổng quát:
Tốc độ biến thiên của động năng và của nội năng bằng công cơ học của
ngoại lực sinh ra cộng với toàn bộ năng lượng khác nhận được hay mất
đi trong đơn vị thời gian đó
Các dạng năng lượng nhận được hay mất đi bao gồm: nhiệt năng, hoá
năng hay năng lượng điện từ.
Nếu các dạng năng lượng trong môi trường liên tục chỉ gồm cơ năng và
nhiệt năng thì ta có định luật bảo toàn năng lượngdưới dạng định luật
thứ nhất của nhiệt động lực học
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

7(39)


5.3. Định luật nhiệt động lực thứ nhất
Tổng biến thiên động năng và biến thiên nội năng của môi trường giữa
hai trạng thái của quá trình sẽ bằng tổng công cơ học của ngoại lực và
công nhiệt năng mà môi trường nhận được giữa hai trạng thái đó

dK dE δA δQ
+
=
+
dt
dt dt dt

dK – biến thiên động năng

δA – công cơ năng

dE – biến thiên nội năng

δQ – công nhiệt năng

Biểu diễn tường minh các biểu thức biến thiên động năng và nội năng,
công cơ năng và nhiệt năng ta nhận được phương trình của định luật
nhiệt động lực thứ nhất

ρ - mật độ khối lượng
dvi
dci
de
ρ = σ ij
+ ρb −
dt
dx j
dx j

July 2009

e - nội năng riêng
c – vec tơ vận tốc truyền nhiệt qua 1 đơn
vị diện tích vuông góc với dòng nhiệt
b - hằng số bức xạ nhiệt

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi

Email:

8(39)


5.3. Định luật nhiệt động lực thứ nhất
Cách viết khác:
với

de 1
dq
•
= σ ij ε ij + ρ
dt ρ
dt

dq
1 ∂ci
=b−
dt
ρ ∂xi

dq – công nhiệt năng giữa hai trạng thái

Tốc độ biến thiên của nội năng riêng sẽ bằng tổng công suất của các
ứng suất và công suất của nguồn nhiệt đưa vào môi trường

• Định luật truyền nhiệt Fourier

∂T

ci = k
∂xi

July 2009

T - nhiệt độ tuyệt đối
k - hệ số truyền nhiệt môi trường

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

9(39)


5.4. Định luật nhiệt động lực thứ hai
5.4.
5.4.Định
Địnhluật
luậtnhiệt
nhiệtđộng
độnglực
lựcthứ
thứhai
hai
Mục đích: Để phân biệt quá trình là thuận nghịch hay không thuận nghịch
Định luật thứ nhất chưa giải quyết vấn đề về quá trình chuyển hoá năng lượng là
thuận nghịch hay không thuận nghịch. Thực tế các quá trình đều bất thuận nghịch
Nhưng quá trình thuận nghịch là một tiên đề hữu ích trong những trường hợp mà
sự tiêu hao năng lượng là không đáng kể.

Entropy là một đặc trưng của quá trình nhiệt động và được định nghĩa:
dQ
dQ – vi phân hiệt năng trong quá trình
T
Tốc độ thay đổi entropy toàn phần của một môi trường tồn tại trong thể tích V khô
ng bao giờ nhỏ hơn tổng nguồn entropy đưa vào qua biên giới của thể tích V và e
ntropy sinh ra ở bên trong thể tích V của nguồn bên ngoài.
S=∫

ds
1 ∂ ⎛ ci
−b+
ρ ∂xi ⎜⎝ T
dt
July 2009

⎞
⎟≥0
⎠

s - mật độ entropi

= : quá trình thuận nghịch
> quá trình bất thuận nghịch

Bất đẳng thức Clausius

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

10(39)


5.5. Hệ các phương trình cơ bản của cơ học MTLT
5.5.
5.5.Hệ
Hệcác
cácphương
phươngtrình
trìnhcơ
cơbản
bảncủa
củacơ
cơhọc
họcMTLT
MTLT
1. Phương trình liên tục của khối lượng
(1 phương trình )

∂vi
∂ρ
+ρ
=0
∂t
∂x j
∂σ ji

2. Phương trình chuyển động – 3pt
(Phương trình cân bằng Navier-Cauchy)
3. Phương trình năng lượng – 1pt

(định luật nhiệt động lực thứ nhất)

4. Phương trình truyền nhiệt ( 3pt)
July 2009

⎛ ∂ 2 ui ⎞
+ fi = 0 ⎜ ρ 2 ⎟
∂x j
⎝ dt ⎠

ρ

dv
dc
de
= σ ij i + ρ b − i
dt
dx j
dx j

∂T
ci = k
∂xi

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

11(39)

5.5. Hệ các phương trình cơ bản của cơ học MTLT
• Hệ 8 phương trình chứa 14 ẩn số vô hướng, là hàm của toạ độ và thời gian
Mật độ khối lượng ρ, nội năng riêng e, 3 thành phần vận tốc chuyển
vị ui (hoặc ui), 6 thành phần ứng suất σij, 3 thành phần vec tơ dòng
nhiệt ci
Khi kiểm tra tính thuận nghịch: thêm 2 ẩn số là entropi s và nhiệt độ tuyệt đối T
• Bài toán với 16 ẩn, chỉ có 8 phương trình => cần 8 phương trình bổ sung
- Nhóm các phương trình trạng thái nhiệt động
- Nhóm các phương trình vật lý (phụ thuộc vào loại môi trường)
CHẤT LỎNG
Các mô hình
CHẤT KHÍ
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

12(39)


5.6. Chất lỏng lý tưởng
5.6.
5.6.Chất
Chấtlỏng
lỏnglýlýtưởng
tưởng
5.6.1. Chất lỏng đứng yên, áp suất thủy tĩnh
- Các phần tử chỉ chèn ép nhau mà không trượt => ứng suất tiếp = 0,
ứng suất pháp có giá trị như nhau trên mọi mặt cắt, ký hiệu: - p0 (nén
) – áp suất thủy tĩnh p0>0

⎡ − p0
⎢
Tσ = ⎢ 0
⎢⎣ 0

July 2009

0
− p0
0

0 ⎤
⎥
0 ⎥
− p0 ⎥⎦

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

13(39)


5.6. Chất lỏng lý tưởng
5.6.2. Chất lỏng chuyển động
Các dòng vật chất chuyển động tương đối với nhau, xảy ra hiên tượng
trượt nên xuất hiện ứng suất tiếp

⎡σ 11 σ 12 σ 13 ⎤
⎢

⎥
Tσ = ⎢σ 21 σ 22 σ 23 ⎥
⎢⎣σ 31 σ 32 σ 33 ⎥⎦

Ten xơ ứng suất nhớt
July 2009

0 ⎤
⎡− p 0
⎢ 0 −p 0 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0
0 − p ⎥⎦

Áp suất nhiệt
động học
Phụ thuộc
bản chất từng
loại chất lỏng

σ12
σ13
⎡σ11 + p
⎢ σ
p
σ
+
σ
21

22
23
⎢
⎢⎣ σ31
σ32
σ33 +

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

⎤
⎥
⎥
p ⎥⎦

14(39)


5.6. Chất lỏng lý tưởng
5.6.3. Chất lỏng lý tưởng
Có ten xơ ứng suất nhới bằng không. Phương trình chuyển động:

∂ 2 ui
∂p
+ fi = ρ 2
∂x j
dt
Chất lỏng không nén được, mật độ vật chất = const => Phương trình liên tục:

∂vi

=0
∂xi i

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

15(39)


5.7. Chất lỏng nhớt tuyến tính Niutơn
5.7.
5.7.Chất
Chấtlỏng
lỏngnhớt
nhớttuyến
tuyếntính
tínhNiutơn
Niutơn
Chất lỏng chuyển động: tenxơ ứng suất nhớt khác không. Các thành
phần tenxơ ứng suất nhớt phụ thuộc vào vận tốc chuyển động hoặc
các thành phần của tenxơ vận tốc biến dạng
Các phụ thuộc biểu diễn bằng các phương trình xác định
• Các phương trình là tuyến tính theo các thành phần của tenxơ
vận tốc biến dạng : chất lỏng nhớt tuyến tính - chất lỏng Newton

• Các phương trình là phi tuyến theo các thành phần của tenxơ

vận tốc biến dạng : chất lỏng nhớt phi tuyến - chất lỏng phi Newton

Hệ các phương trình cơ bản của chất lỏng Newton (SGK)

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

16(39)


5.8. Chất rắn
5.8.
5.8.Chất
Chấtrắn
rắn
- Định luật bảo toàn khối lượng tự động thỏa mãn
- Biến dạng bé: không phân biệt cách mô tả chuyển động
- Ảnh hưởng của cơ năng và nhiệt năng xét riêng biệt theo
nguyên lý cộng tác dụng
LÝ
LÝTHUYẾT
THUYẾTĐÀN
ĐÀNHỒI
HỒI

NGHIÊN CỨU ???

CÁC LÝ THUYẾT

LÝ

LÝTHUYẾT
THUYẾTDẺO
DẺO
LÝ
LÝTHUYẾT
THUYẾTTỪ
TỪBIẾN
BIẾN

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

17(39)


5.8. Chất rắn
1. LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Là quá trình thuận nghịch
Quan hệ ứng suất – biến dạng : tuyến tính hoặc phi tuyến

σ

Linearelastic

σ

ε

ε
Tuyến tính
July 2009

Non-Linearelastic

Phi tuyến
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

18(39)


5.8. Chất rắn
2. LÝ THUYẾT DẺO
B

Là quá trình không thuận nghịch
A

σ
linear
elastic

linear
elastic

ε plastic

O

ε

C

OA - quan hệ bậc nhất

σ-ε

- giới hạn chảy
OC - biến dạng dư

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

19(39)


5.8. Chất rắn
3.
3.LÝ
LÝTHUYẾT
THUYẾTTỪ
TỪBiẾN
BiẾN
Hiện tượng thay đổi theo thời gian của ứng suất và biến dạng khi các
tác động bên ngoài lên vật thể đang xét không thay đổi
- Đường cong từ biến: ứng suất thay đổi, biến dạng thay đổi theo t

ε
ε0

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

20(39)


5.8. Chất rắn
- Đường cong chùng ứng suất:
biến dạng không thay đổi, ứng suất thay đổi (giảm) theo t

July 2009

ε

σ

ε0

σ0

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

21(39)

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

22(39)