Bài giảng đại số c chương 3 không gian vectơ

CHƯƠNG 3
KHÔNG GIAN VECTƠ
-----

1


Chương 3. Không gian vectơ

Nội dung
1. Không gian vectơ

2. Không gian con của không gian vectơ

3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính
4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT

5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay
ñổi. Ma trận chuyển cơ sở.
6. Không gian nghiệm.

7. Không gian dòng của ma trận.
2

Chương 3. Không gian vectơ
1. Không gian vectơ:
Định nghĩa 1: Cho V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2
phép toán:
i. Phép toán cộng (ký hiệu +) u, v ∈ V

u + v ∈V

(Phép hợp thành trong)
ii. Phép nhân vô hướng: u ∈ V , k ∈ R, ku ∈ V
(Phép hợp thành ngoài)

Các phần tử của V được gọi là các vectơ.
V được gọi là không gian vectơ (KGVT) trên trường số thực R nếu thỏa
mãn các tính chất sau đối với phép cộng và nhân vô hướng:

3


Chương 3. Không gian vectơ
i. Tính giao hoán của phép cộng

∀u, v ∈ V , u + v = v + u
ii. Tính kết hợp của phép cộng:

∀u, v, w ∈ V , (u + v ) + w = u + (v + w )
iii. Tồn tại một phần tử không, ký hiệu 0, thỏa mãn:

∀u ∈ V , u + 0 = u

iv.

∀u ∈ V tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là

−u , thỏa mãn:

u + (−u ) = 0

(

)

v.

∀u, v ∈ V , ∀k ∈ R, k u + v = ku + kv

vi.

∀u ∈ V , ∀k, h ∈ R, h + k u = hu + ku

vii.

∀u ∈ V , ∀k, h ∈ R, h (ku ) = (hk ) u

viii.

(

∀u ∈ V ,1.u = u

)

4


Chương 3. Không gian vectơ
Phép trừ trong KGVT được định nghĩa như sau:

u − v = u + (−v )
Tính chất:
i. Phần tử 0 trong (iii) và phần tử -u trong (iv) là duy nhất.
ii.

∀u ∈ V , 0.u = 0 (0 ở vế trái và vế phải khác nhau)

iii. ∀k ∈ R, 0 ∈ V

k .0 = 0 (0 ở hai vế giống nhau)

iv. Nếu ku = 0 thì hoặc k = 0 hoặc u = 0
v. −u = (−1) u

5

Chương 3. Không gian vectơ
• Ví dụ:
1. Không gian vectơ Rn:

k ∈ R; u, v ∈ R n , u = [u1 , u2 ,..., un ] , v = [ v1 , v2 ,..., vn ]

trong đó các ui và vi là các số thực và được gọi là các thành phần
của vec tơ u và v.

u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 ,..., un + vn ]
ku = [ ku1 , ku2 ,..., kun ]

0 = [ 0, 0,..., 0]

phần tử không.

6


Chương 3. Không gian vectơ
2. Cho X là tập khác rỗng, tập hợp các hàm số từ X và R ký hiệu:

F = { f : X → R}

Các phép toán cộng và nhân vô hướng được định nghĩa như sau:

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
∀f ∈ F ; k ∈ R : ( kf )( x ) = kf ( x )

∀f , g ∈ F :

∀x ∈ X

Phần tử không là các hàm đồng nhất không, tức là bằng không
với mọi

x∈ X

3. Pn là tập tất cả các đa thức hệ số thực cấp

Phép cộng: cộng đa thức
Phép nhân vô hướng: nhân số với đa thức

≤ n −1

Pn là một KGVT trên trường số thực
7

Chương 3. Không gian vectơ
4. Tập tất cả các ma trận cấp mxn:

Mm×n

Phép cộng: cộng ma trận
Phép nhân vô hướng: nhân vô hướng với một ma trận

Mm×n

là một KGVT trên trường số thực.

5. Trường số thực R là KGVT trên chính nó.

8


Chương 3. Không gian vectơ
1. Không gian vectơ

2. Không gian con của không gian vectơ

3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính

4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT
5.

Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay
ñổi. Ma trận chuyển cơ sở.

6. Không gian nghiệm.

7. Không gian dòng của ma trận.

9

Chương 3. Không gian vectơ
2. Không gian con của KGVT:
Định nghĩa 2:
Không gian con của KGVT V trên trường số thực R (gọi tắt là
không gian con) là một tập hợp W khác rỗng của V thỏa 2 tích
chất sau:
i. ∀u, v ∈ W , u + v ∈ W
ii. ∀u ∈ W , ∀k ∈ R, ku ∈ W
Nhận xét:

Hai tính chất trên có thể được thay bằng tính chất sau:

∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ku + v ∈ W

10


Chương 3. Không gian vectơ
Định lý:
Phần giao của một số bất kỳ các không gian con của KGVT V là
không gian con của KGVT V.

Định lý:

Tập hợp nghiệm của hệ phương trình thuần nhất trên R:
AX = 0
trong đó A ∈ Mm×n và X ∈ Mn×1
là không gian con của KGVT Rn.

Chứng minh: X, Y ∈ Mn×1; k ∈ R với X và Y là nghiệm của AX = 0
cần cm X + kY ∈ M
cũng là nghiệm của hệ AX = 0
n×1

A (X + kY) = AX + kAY = 0

Suy ra điều phải chứng minh.
0

0
11


Chương 3. Không gian vectơ
1. Không gian vectơ

2. Không gian con của không gian vectơ

3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính
4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT
5.

Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay
ñổi. Ma trận chuyển cơ sở.

6. Không gian nghiệm.

7. Không gian dòng của ma trận.

12

Chương 3. Không gian vectơ

3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính:
Định nghĩa 3:

V là KGVT trên R. Cho
dạng

v1, v2 ,..., vm ∈ V . Vectơ u ∈ V

có

u = α1v1 + α2v2 + ... + αmvm

trong đó αi ∈ R, i = 1, m , được gọi là tổ hợp tuyến tính của
các vectơ v1, v2 ,..., vm

Định nghĩa 4:

Hệ các vectơ v1, v2, …,vm của KGVT V được gọi là phụ thuộc
tuyến tính, nếu tồn tại các vô hướng (các số thực),α1, α2 ,..., αm
không đồng thời bằng không, sao cho:

α1v1 + α2v2 + ... + αmvm = 0

Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến
tính.

13


Chương 3. Không gian vectơ
Định lý:
Các vectơ v1, v 2 ,..., vm ∈ V phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

có ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
Chú ý:
i.

Các vectơ v1, v 2 ,..., vm
m
nếu

∈V

độc lập tuyến tính nếu và chỉ

α1,..., αm ∈ R, ∑ αivi = 0 ⇒ αi = 0, ∀i = 1,...m
i =1

ii.

Mọi hệ hữu hạn các vectơ, trong đó có vectơ 0 đều phụ thuộc
tuyến tính.

iii.

∀v ∈ V , một họ vectơ gồm 1 vectơ, ký hiệu {v } độc lập
tuyến tính khi và chỉ khi v ≠ 0.

14


Chương 3. Không gian vectơ
Phương pháp kiểm tra hệ các vectơ ĐLTT hay PTTT:
Bước 1:
Lập hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

AX = 0
trong đó A là ma trận có các cột là các vectơ v1, v2, …,vm.

vi = v1i



v 2i

A = v1 v2 ⋯ vm 


T

⋯ vni 
v


 11 v12
v
v22
21

A=
⋮
 ⋮
v
 n 1 ⋯

⋯ v1m 

⋯ v2m 
⋱ ⋮ 
⋯ vnm 


15


Chương 3. Không gian vectơ
và vectơ X có dạng:

X = α1 α2 ⋯ αm 



Bước 2:

Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên ta được:
i. Hệ có nghiệm tầm thường suy ra hệ các vectơ ĐLTT

ii. Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường) suy ra hệ
các vectơ PTTT

16

Chương 3. Không gian vectơ
Ví dụ: 27/156

u = 1 − 3t + 2t 2 − 3t 3 , v = −3 + 9t − 6t 2 + 9t 3

Xác định các đa thức u và v có ĐLTT?
Xét phương trình:

au + bv = 0

trong đó a và b là vô hướng.

i. Hệ có nghiệm tầm thường suy ra hệ các vectơ ĐLTT
ii. Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường) suy ra hệ
các vectơ PTTT

X = α1 α2 ⋯ αm 



17

Chương 3. Không gian vectơ
1. Không gian vectơ

2. Không gian con của không gian vectơ

3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính
4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT

5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay
ñổi. Ma trận chuyển cơ sở.
6. Không gian nghiệm.

7. Không gian dòng của ma trận.

18


Chương 3. Không gian vectơ

4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT Rn:

Tập gồm m vectơ B = {f1, f2 ,..., fm } của KGVT Rn lập thành một
hệ các phần tử sinh của Rn, nếu với mọi vectơ v bất kỳ trong Rn
là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ f1, f2 ,..., fm , tức là có thể

biểu diễn v dưới dạng:

v = α1 f1 + α2 f2 + ... + αm fm

trong đó α1, α2 ,..., αm là các vô hướng.

19


Chương 3. Không gian vectơ
Định nghĩa 5: (cơ sở của KGVT)
Cơ sở

B = {f1, f2,..., fn } của KGVT Rn là một hệ các phần tử

sinh độc lập tuyến tính, tức là B thỏa mãn hai tính chất sau:

i)

v ∈ R n được biểu diễn dưới dạng

v = α1 f1 + α2 f2 + ... + αn fn
(công thức khai triển vectơ v thành các thành phần)
ii) Phương trình λ1 f1 + λ2 f2 + ... + λn fn = 0 chỉ thỏa mãn khi

λ1 = λ2 = ... = λn = 0

20


Chương 3. Không gian vectơ
Các vô hướng α1, α2 ,..., αn được gọi là các tọa độ của vectơ v trong

{

}

cơ sở B = f1, f2,..., fn .
Ký hiệu:

 α 
 1 
α 
v  =  2 
  B  ⋮ 
 
α 
 n 

21


Chương 3. Không gian vectơ
Ví dụ:
1) Trong KGVT R2: mọi vectơ đều có thể biểu diễn thông qua 2 vectơ
không cùng phương. Và hai vectơ không cùng phương thì ĐLTT.
Vậy cơ sở của R2 là một hệ gồm 2 vectơ không cùng phương.

a = (1,2);b = (2, 0)
c = (4, 4) ⇒ c = 2a + b



2
vậy:  
 
c
=
  B 1
 

2) Trong KGVT R3: mọi vectơ đều có thể biểu diễn thông qua 3 vectơ
không đồng phẳng (không nằm trên cùng mặt phẳng). Và 3 vectơ

không đồng phẳng thì ĐLTT. Vậy cơ sở của R3 là một hệ gồm 3
vectơ không đồng phẳng.
22


Chương 3. Không gian vectơ
Chú ý:
i) Mỗi vectơ v trong Rn được khai triển thành các thành phần một cách
duy nhất

ii) Với mỗi cơ sở khác nhau, một vectơ được khai triển thành các thành
phần khác nhau (trừ vectơ 0)

iii) Cơ sở chính tắc trong Rn: ký hiệu B0 = {e1, e2,...,en } .

e1 = 1, 0, 0, …, 0 ,
e2 = 0,1, 0, …, 0 ,
e3 = 0, 0,1, …, 0 ,
⋮
en = 0, 0, 0, …,1 .
Ví dụ:

a = (1,2, 3) ⇒ a = e1 + 2e2 + 3e3

c 

  B0

 1
 
= 2
 
 3

23


Chương 3. Không gian vectơ

Định nghĩa 6: (chiều của của KGVT)
Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho KGVT V có một cơ sở gồm n
vectơ, số nguyên này là duy nhất và được gọi là số chiều của KGVT.

Ký hiệu: n = dimV.
Nhận xét:
i)

Số chiều của một KGVT chính là số vectơ của mọi cơ sở của V và

cũng là số tối đại các vectơ độc lập tuyến tính của KGVT V.

ii) KGVT có số chiều hữu hạn thì gọi là KGVT hữu hạn chiều. KGVT
trong đó có thể tìm được vô số vectơ độc lập tuyến tính được gọi là
KGVT vô hạn chiều.

24


Chương 3. Không gian vectơ
Định lý:

Trong KGVT Rn, một hệ bất kỳ gồm n vectơ độc tuyến tính thì
tạo thành một cơ sở

Định lý:

Hệ gồm n vectơ trong KGVT Rn độc lập tuyến tính khi và chỉ

khi định thức của ma trận tạo bởi các thành phần của vectơ đó
khác không.

25