Bài giảng môn học đại số tuyến tính chương 2 định thức

Nội dung chương 2

Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Chương 2
ĐỊNH THỨC
Lê Văn Luyện

/>Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



1 / 84


Nội dung chương 2

Nội dung
Chương 2. ĐỊNH THỨC
1. Định nghĩa và các tính chất
2. Định thức và ma trận khả nghịch
3. Quy tắc Cramer

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức

2 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

1. Định nghĩa và các tính chất
1.1 Định nghĩa
1.2 Quy tắc Sarrus
1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột
1.4 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



3 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Định thức của A, được ký
hiệu là detA hay |A|, là một số thực được xác định bằng quy nạp theo
n như sau:

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



4 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Định thức của A, được ký
hiệu là detA hay |A|, là một số thực được xác định bằng quy nạp theo
n như sau:
• Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



4 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Định thức của A, được ký
hiệu là detA hay |A|, là một số thực được xác định bằng quy nạp theo
n như sau:
• Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a.
• Nếu n = 2, nghĩa là A =

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

a b
c d

, thì |A| = ad − bc.

Chương 2. Định thức



4 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Định thức của A, được ký
hiệu là detA hay |A|, là một số thực được xác định bằng quy nạp theo
n như sau:
• Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a.
a b
c d

• Nếu n = 2, nghĩa là A =

, thì |A| = ad − bc.




a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 

• Nếu n > 2, nghĩa là A = 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  , thì
an1 an2 . . . ann

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



4 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Định thức của A, được ký
hiệu là detA hay |A|, là một số thực được xác định bằng quy nạp theo
n như sau:
• Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a.
a b
c d

• Nếu n = 2, nghĩa là A =

, thì |A| = ad − bc.




a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 

• Nếu n > 2, nghĩa là A = 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  , thì
an1 an2 . . . ann
dòng 1

|A| ==== a11 A(1|1) − a12 A(1|2) + · · · + a1n (−1)1+n A(1|n) .
trong đó A(i|j) là ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng i
và cột j của A.
Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



4 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Ví dụ. Cho A =

4 −2
3
5

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

. Khi đó |A| = 4.5 − (−2).3 = 26.

Chương 2. Định thức



5 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Ví dụ. Cho A =

4 −2
3
5

. Khi đó |A| = 4.5 − (−2).3 = 26.

Ví dụ. Tính định thức của ma trận


1 2 −3
0 
A= 2 3
3 2
4

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



5 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Ví dụ. Cho A =

4 −2
3
5

. Khi đó |A| = 4.5 − (−2).3 = 26.

Ví dụ. Tính định thức của ma trận


1 2 −3
0 
A= 2 3
3 2
4
Giải.
|A| = 1(−1)1+1

3 0
2 4

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

+ 2(−1)1+2

2 0
3 4

Chương 2. Định thức

+ (−3)(−1)1+3

2 3
3 2



5 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Ví dụ. Cho A =

4 −2
3
5

. Khi đó |A| = 4.5 − (−2).3 = 26.

Ví dụ. Tính định thức của ma trận


1 2 −3
0 
A= 2 3
3 2
4
Giải.
|A| = 1(−1)1+1

3 0
2 4

+ 2(−1)1+2

2 0
3 4

+ (−3)(−1)1+3

2 3
3 2

= 12 − 16 + 15 = 11.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



5 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Quy tắc Sarrus
Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23  .
a31 a32 a33

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



6 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Quy tắc Sarrus

Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23  .
a31 a32 a33
|A| = a11

a22 a23
a32 a33

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

− a12

a21 a23
a31 a33

Chương 2. Định thức

+ a13

a21 a22
a31 a32



6 / 84

1. Định nghĩa và các tính chất

Quy tắc Sarrus
Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23  .
a31 a32 a33
|A| = a11

a22 a23
a32 a33

− a12

a21 a23
a31 a33

+ a13

a21 a22
a31 a32

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
− a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 .

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức

6 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

Quy tắc Sarrus
Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23  .
a31 a32 a33
|A| = a11

a22 a23
a32 a33

− a12

a21 a23
a31 a33

+ a13

a21 a22
a31 a32

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
− a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 .
Từ đây ta suy ra công thức Sarrus dựa vào sơ đồ sau:
cột1 cột2 cột3 cột1 cột2

❄
❄
❄
❄
❄
a❜
·❜ a··11
· a·12
11 a❜
12 ·a
13
··
·
·
·
·
··a❜ ····a·  .
·· a❜ ···❜
·❜
 a21❜❜
·
a
·
22
23

21
22
·
·
·
·· ❜ ····· ❜ ····· ❜
····a32
a·31
a31 ❜
a32
··❜a33·····❜
·
·
···· ·❜
·❜ ❜❜ ❜❜
··
·
·
·
·
·
−
−
− +
+
+



Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



6 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

cột1 cột2 cột3 cột1 cột2

❄
❄
❄
❄
❄
a❜
·❜ a··11
· a·12
11 a❜
12 ·a
13
·
·
··
·
·
·· a❜ ···❜
··a❜ ····a·  .

·❜
 a21❜❜
·
a
·
22
23
21
22
·
·
·
·· ❜ ····· ❜ ····· ❜
····a32
a·31
a31 ❜
a32
·
··❜a33·····❜
·
··
···· ·❜
·❜ ❜❜ ❜❜
·
·
·
·
·
−
−

− +
+
+
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
−(a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ).



(Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



7 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

cột1 cột2 cột3 cột1 cột2

❄
❄
❄
❄
❄
a❜
·❜ a··11

· a·12
11 a❜
12 ·a
13
·
·
··
·
·
·· a❜ ···❜
··a❜ ····a·  .
·❜
 a21❜❜
·
a
·
22
23
21
22
·
·
·
·· ❜ ····· ❜ ····· ❜
····a32
a·31
a31 ❜
a32
·
··❜a33·····❜

·
··
···· ·❜
·❜ ❜❜ ❜❜
·
·
·
·
·
−
−
− +
+
+
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
−(a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ).



(Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh)
Ví dụ.
1 2 3
4 2 1
3 1 5

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức

7 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

cột1 cột2 cột3 cột1 cột2

❄
❄
❄
❄
❄
a❜
·❜ a··11
· a·12
11 a❜
12 ·a
13
·
·
··
·
·
·· a❜ ···❜
··a❜ ····a·  .
·❜
 a21❜❜
·
a

·
22
23
21
22
·
·
·
·· ❜ ····· ❜ ····· ❜
····a32
a·31
a31 ❜
a32
·
··❜a33·····❜
·
··
···· ·❜
·❜ ❜❜ ❜❜
·
·
·
·
·
−
−
− +
+
+
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

−(a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ).



(Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh)
Ví dụ.
1 2 3
4 2 1
3 1 5

= 1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1 − 3.2.3 − 1.1.1 − 2.4.5 = −31.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



7 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức

8 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột
Định nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Với mỗi i, j, ta gọi
cij = (−1)i+j detA(i|j)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



8 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột
Định nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Với mỗi i, j, ta gọi
cij = (−1)i+j detA(i|j)
là phần bù đại số của hệ số aij , trong đó A(i|j) là ma trận vuông
cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức

8 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột
Định nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Với mỗi i, j, ta gọi
cij = (−1)i+j detA(i|j)
là phần bù đại số của hệ số aij , trong đó A(i|j) là ma trận vuông
cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j.



1 1 1
Ví dụ. Cho A =  2 3 1  . Khi đó
3 4 0
c11

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 2. Định thức



8 / 84

1. Định nghĩa và các tính chất

1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột
Định nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Với mỗi i, j, ta gọi
cij = (−1)i+j detA(i|j)
là phần bù đại số của hệ số aij , trong đó A(i|j) là ma trận vuông
cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j.


1
Ví dụ. Cho A =  2
3
3
c11 = (−1)1+1
4

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)


1 1
3 1  . Khi đó
4 0
1
= −4;
0

Chương 2. Định thức

8 / 84


1. Định nghĩa và các tính chất

1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột
Định nghĩa. Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R). Với mỗi i, j, ta gọi
cij = (−1)i+j detA(i|j)
là phần bù đại số của hệ số aij , trong đó A(i|j) là ma trận vuông
cấp (n − 1) có được từ A bằng cách xoá dòng i, cột j.


1
Ví dụ. Cho A =  2
3
3
c11 = (−1)1+1
4

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)


1 1
3 1  . Khi đó
4 0
1
= −4; c12
0

Chương 2. Định thức

8 / 84