Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức ppsx

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Đại số tuyến tính
Chương 2: Định thức
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2010)
www.tanbachkhoa.edu.vn

NỘI DUNG

I – Định nghĩa định thức và ví dụ.
II – Tính chất của định thức.
III – Dùng định thức tìm ma trận nghịch đảo.
Tài liệu tham khảo: Anton Howard. Elementary linear algebra
with applications. Ninth edition.

I. Định nghĩa và ví dụ

Cho là ma trận vuông cấp n.
Định thức của A là một số ký hiệu bởi det
( )
nn
ij
aA
×
=
AaA
nn
ij
==

×
)(
Ký hiệu là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng
thứ i và cột thứ j của ma trận A;
ij
M
ij
( 1)
i j
ij
A M
+
= −
Bù đại số của phần tử a
ij
là đại lượng
Định nghĩa bù đại số của phần tử a
ij

I. Định nghĩa và ví dụ

-
b) k =2:
11 12
11 22 12 21 11 11 12 12
21 22
a a
A A a a a a a A a A
a a
 

= → = − = +
 
 
a) k =1:
[ ]
1111
aAaA =→=
c) k =3:
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13
31 32 33
a a a
A a a a A a A a A a A
a a a
 
 
= → = + +
 
 
 
d) k =n:
11 12 1
11 11 12 12 1 1
*
n
n n
a a a
A A a A a A a A
 
= → = + + +

 
 
L
L

Định nghĩa định thức bằng qui nạp

I. Định nghĩa và ví dụ

-
11 12 13
1 2 ( 3)A A A A= × + × + − ×
23
32
)1()3(
43
02
)1(2
42
03
)1(1
312111 +++
−⋅−+−⋅+−⋅=A
11151612 =+−=A
1 1 1 1
11
1 2 3
3 0
2 3 0 ( 1) 12
2 4

3
( )
2 4
1A
+ +
−
=−= − =
Tính det (A), với










−
=
423
032
321
A
Ví dụ
Giải

1
2
1 1 2 2

* *
j
j
j j j j nj nj
nj
a
a
A a A a A a A
a
= = + + +
L
L
II. Tính chất của định thức

1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ
hàng hoặc cột tùy ý nào đó
1 2 1 1 2 2
*
*
i i in i i i i in in
A a a a a A a A a A
= = + + +
L L

II. Tính chất của định thức

-
Tính định thức det (A), với











−
=
004
225
313
A
Ví dụ
Khai triển theo hàng thứ 3
32
22
31
)1(4
004
225
313
)1(4
004
225
313
1313
−=
−

−⋅=
−
−⋅=
−
=
++
A
Giải.

II. Tính chất của định thức

-
Tính định thức det (A), với
2 3 3 2
3 0 1 4
2 0 3 2
4 0 1 5
A
−
 
 ÷
 ÷
=
−
 ÷
 ÷
−
 
Ví dụ

II. Tính chất của định thức

-
Khai triển theo cột thứ hai
12 22 32 42 12
2 3 3 2
3 0 1 4
( 3) 0 0 0 3
2 0 3 2
4 0 1 5
A A A A A A
−
= = − × + × + × + × = −
−
−
3 1 4
3 2 3 2 87
4 1 5
A = − = =
−
L
Giải

II. Tính chất của định thức

-
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm
trên đường chéo.
120145)3(2
10000

94000
82500
17630
40312
−=⋅⋅⋅−⋅=
−
−
=A
Ví dụ

II. Tính chất của định thức

-
Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức
1.Nếu thì
i i
h h
A B
α
→
→
| | | |B A
α
=
2.Nếu thì
i i j
h h h
A B
β
→ +

→
| | | |B A=
3. Nếu thì
i j
h h
A B
↔
→
| | | |B A= −

II. Tính chất của định thức

-
Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý;
Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột)
ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác.
Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.
Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp

II. Tính chất của định thức

-
Ví dụ
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức















−
−
−
=
1312
2623
0532
1211
A

1504
101
211
||
−−
−=A
Khai triển theo cột đầu tiên
1730
1010
2110
1211
−

−
−
II. Tính chất của định thức

-
Giải
1312
2623
0532
1211
||
−
−
−
=A
2 2 1
2→ −h h h
3 3 1
3→ −h h h
4 4 1
2→ +h h h
|| A
173
101
211
)1(1
11
−
−−⋅
+

19
154
11
)1(1
21
−=
−−
−
−⋅=
+

II. Tính chất của định thức

-
Ví dụ
Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức















−−
−
−
=
1314
2413
0232
1123
A

2 3 2
| | 5 8 0
5 5 0
A
−
= −
411
253
232
)1(1
41
−
−
−⋅
+
0411
0253
0232
1123
−

−
−
1314
2413
0232
1123
||
−−
−
−
=A
II. Tính chất của định thức

-
Giải
3 3 1
2→ +h h h
4 4 1
→ −h h h
1 3
5 8
( 2) ( 1) 30
5 5
+
= − − × − = −
Khai triển theo cột số 4
|| A

II. Tính chất của định thức

-
det (A
T
) = det (A)
det(AB) = det(A) det(B)
Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0
Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0
Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B).
≠

II. Tính chất của định thức

Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma
trận khả nghịch A
-1
, sao cho AA
-1
= I. Suy ra
1
1
A
A P
A
−
=
, với
11 12 1
21 22 2
1 2
T

n
n
A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A
 
 
 
=
 
 
 
L
L
M M M
L
Chứng minh
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 0.
≠
Định lý
Giả sử det(A) 0. Khi đó
≠
det(AA
-1
) = det (I) det(A).det(A
-1
) = 1 det(A) 0

≠

II. Tính chất của định thức

-
















=
*
*
*
111
111
jjj
jjj

aaa
aaa
B
L
L
1 1 2 2
0
| |,
,
i j i j in jn
A i j
a A a A a A
i j
=

+ + + =

≠

L

















=
*
*
*
111
111
iii
jjj
aaa
aaa
A
L
L

II. Tính chất của định thức

-
Tính chất của ma trận nghịch đảo
1.
1
1
det( )
det( )
A

A
−
=
2. Nếu A khả nghịch, thì
1
det( ) (det( ))
n
A
P A
−
=
Chứng minh.

II. Tính chất của định thức

-
Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đó
1
1
A
A P
A
−
=
, với
11 12 1
21 22 2
1 2
T
n

n
A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A
 
 
 
=
 
 
 
L
L
M M M
L
Công thức tính ma trận nghịch đảo A
-1

II. Tính chất của định thức

-
Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của











=
043
132
111
A
Giải.
02)det( ≠−=A
A khả nghịch
Tính 9 bù đại số của các phần tử
1 1
11
3 1
( 1) 4;
4 0
A
+
= − = −
1 2
12
2 1
( 1) 3;
3 0
A
+
= − =

1 3
13
2 3
( 1) 1
3 4
A
+
= − = −
21 22 23 31 32 33
4; 3; 1; 2; 1; 1A A A A A A= = − = − = − = =
1
4 4 2
1
3 3 1
2
1 1 1
A
−
− −
 
 
= −
 
−
− −
 
 

Ví dụ. Viết ptrình đường thẳng qua hai điểm
( , ), ( , )

A A B B
A x y B x y
Giả sử phương trình đường thẳng (d):
0ax by c+ + =
A, B thuộc đường thẳng:
0; 0
A A B B
ax by c ax by c+ + = + + =
Ta có hệ:
0
0
0
A A
B B
ax by c
ax by c
ax by c
+ + =


+ + =


+ + =

a, b, c không đồng thời
bằng 0, hệ có khác không.
Định thức của ma trận hệ số bằng 0:
1
1 0

1
A A
B B
x y
x y
x y
=
Tính định thức, ta có phương trình đường thẳng.

Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2,3), B(-1,4).
Định thức của ma trận hệ số bằng 0:
1
2 3 1 0
1 4 1
x y
=
−
Phương trình đường thẳng: x + 3y – 11 = 0.
Vdụ. Viết ptrình đường tròn qua 3 điểm
( , ), ( , ), ( , )
A A B B C C
A x y B x y C x y
Giả sử ptrình đường tròn:
( )
2 2
0a x y bx cy d+ + + + =
Lập luận tương tự ví dụ trên ta có:
2 2
2 2
2 2

2 2
1
1
0
1
1
A A A A
B B B B
C C C C
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
+
+
=
+
+

Vdụ. Viết ptrình đường tròn qua 3 điểm
(1,7), (6,2), (4,6)A B C
Ta có định thức
2 2
1
50 1 7 1
0
40 6 2 1
52 4 6 1
x y x y+
=

Tính định thức ta có:
2 2
10( ) 20 40 200 0x y x y
+ − − − =
Phương trình đường tròn:
2 2
( 1) ( 2) 25x y
− + − =