TUYỂN tập đề THI học SINH GIỎI lớp 8 có đáp án và BIỂU điểm CHI TIẾT

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CÓ ĐÁP ÁN VÀ
BIỂU ĐIỂM CHI TIẾT
Xin cho tất cả các bạn! mình xin giới thiệu với các bạn tuyển tập ĐỀ THI HỌC
TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8. Tập hợp đề thi có kèm đáp án và
biểu điểm chấm để các bạn tiện trong việc kiểm tra đánh giá năng lực bản thân. Hy vọng tài
liệu này sẽ giúp ích cho các bạn. Chúc các bạn luôn thành công!
ĐỀ 1
Câu1( 2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A   a  1 a  3 a  5 a  7   15

Câu 2( 2 đ): Với giá trị nào của a và b thì đa thức:

 x  a  x 10  1

phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên
Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4  3x3  ax  b chia hết cho đa
thức B( x)  x2  3x  4
Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác
Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy.
Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông
Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng
P

Câu
1
2đ

1 1 1
1
 2  4  ... 
1

2
2 3 4
1002

ĐÁP ÁN
Đáp án

A   a  1 a  3 a  5  a  7   15


 a
 a
 a







2



 8a  22 a 2  8a  120


 8a  12  a
  a  2  a  6   a
2

2đ

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ



 a 2  8a  7 a 2  8a  15  15
2

2

2

 8a  11  1

2

2
2


 8a  10 

 8a  10

Giả sử:  x  a  x  10  1   x  m  x  n  ;(m, n  Z )
 x   a  10  x  10a  1  x   m  n  x  mn

2





2

m  n  a 10
m.n 10 a 1

Khử a ta có :
mn = 10( m + n – 10) + 1
 mn  10m  10n  100  1
 m(n  10)  10n  10)  1

vì m,n nguyên ta có:  mn101011 v  mn101011
3
1đ

Biểu điểm

suy ra a = 12 hoặc a =8
Ta có:
A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
3
Để A( x) B( x) thì  ba3400   ba
4

0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ


4
3đ
0,25 đ

0,25 đ
Tứ giác ADHE là hình vuông
Hx là phân giác của góc AHB ; Hy phân giác của góc AHC mà 0,25 đ
0,25 đ
AHB và AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc
0,25 đ
Hay DHE = 900 mặt khác ADH  AEH = 900
0,5 đ
Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1)
AHD 

AHB 900

 450
2

2

0,5 đ

Do AHE 

AHC 900

 450
2
2

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

 AHD  AHE

Hay HA là phân giác DHE (2)
Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông
5
2đ

1 1 1
1
 2  4  ... 
2
2 3 4
1002
1

1
1
1



 ... 
2.2 3.3 4.4
100.100
1
1
1
1



 ... 
1.2 2.3 3.4
99.100
1 1 1
1
1
 1     ...  
2 2 3
99 100
1
99
 1

1

100 100
P

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ


2
Bài 1 (3 điểm)Tính giá trị biểu thức

1 4 1 4 1
4 1
1+ 3 5 .......... 29
4
4
4
4

A=
4 1 4 1 4 1
4 1
2 + 4 6 .......... 30
4
4
4
4

Bài 2 (4 điểm)
a/ Với mọi số a, b, c không đồng thời bằng nhau, hãy chứng minh
a2 + b2 + c2 ab ac bc 0
b/ Cho a + b + c = 2009. chứng minh rằng

a 3 + b3 + c3 - 3abc
= 2009
a 2 + b2 + c2 - ab - ac - bc
Bài 3 (4 điểm). Cho a 0, b 0 ; a và b thảo mãn 2a + 3b 6 và 2a + b 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức A = a2 2a b
Bài 4 (3 điểm). Giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình
Một ô tô đi từ A đến B . Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A vơí vận tốc bằng

2
vận tốc của ô tô
3

thứ nhất . Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đ-ờng AB thì mất bao lâu?
Bài 5 (6 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N thứ tự là trung điểm của BC và AC. Các
đ-ờng trung trực của BC và AC cắt nhau tại O . Qua A kẻ đ-ờng thẳng song song với OM, qua B kẻ đ-ờng
thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H
a) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác nào?
b) Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ?
c) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng?

P N
Nội dung

Điểm

Bài 1 (3 điểm)
2

1
1
1
1

Có a + = a 2 a 2 a 2 a a 2 a
4
2
2
2

Khi cho a các giá trị từ 1 đến 30 thì:
Tử thức viết đ-ợc thành
4

1,0
0,5


1 2
1
1
1
1
1
)(1 -1+ )(32+3+ )(32-3+ ).(292+29+ )(292-29+ )
2

2
2
2
2
2
Mẫu thức viết đ-ợc thành
1
1
1
1
1
1
(22+2+ )(22-2+ )(42+4+ )(42-4+ )(302+30+ )(302-30+ )
2
2
2
2
2
2
1
1
Mặt khác (k+1)2-(k+1)+ =.=k2+k+
2
2
1
12 1
2 1
Nên A=
1 1861
302 30

2
Bài 2: 4 điểm
ý a: 2 điểm
-Có ý t-ởng tách, thêm bớt hoặc thể hiện đ-ợc nh- vậyđể sử dụng b-ớc sau
-Viết đúng dạng bình ph-ơng của một hiệu
- Viết đúng bình ph-ơng của một hiệu
- Lập luận và kết luận đúng
ý b: 2 điểm
Phân tích đúng tủ thức thành nhân tử
Rút gọn và kết luận đúng
Bài 3 : 4 điểm
*Từ 2a + b 4 và b 0 ta có 2a 4 hay a 2
Do đó A=a2 - 2a - b 0
Nên giá trị lớn nhất của A là 0 khi a=2và b=0
2
* Từ 2a + 3b 6 suy ra b 2 - a
3
2
2
22
22
Do đó A a2 2a 2 + a = ( a )2 3
9
9
3
22
2
2
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là khi a =
và b =

9
3
3
Bài 4 : 3 điểm
- Chọn ẩn và đạt điều kiện đúng
- Biểu thị đ-ợc mỗi đại l-ợng theo ẩn và số liệu đã biết(4 đại l-ợng)
- Lập đ-ợc ph-ơng trình
- Giải đúng ph-ơng trình
- Đối chiếu và trả lời đúng thời gian của 1 ô tô
- Lập luận , tính và trả lời đúng thời gian của ô tô còn lại
Bài 5 : 6 điểm
ý a : 2 điểm
Chứng minh đ-ợc 1
1.0
cặp góc bằng nhau
Nêu đ-ợc cặp góc
0,5
bằng nhau còn lại
Chỉ ra đ-ợc hai tam
0,5
giác đồng dạng
ý b : 2 điểm
Từ hai tam giác đồng
0,5
dạng ở ý a suy ra đúng
tỉ số cặp cạnh AH /
OM
Tính đúng tỉ số cặp
0,5

(12+1+

0,5

0,5
0,5

0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
1,0
1,0
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5

0,25
0,25 x 4
0,25
0,5
0,5
0,5


cạnh AG / GM
Chỉ ra đ-ợc cặp góc

bằng nhau
Kết luận đúng 2 tam
giác đồng dạng
ý c : 2 điểm

A

0,5
0,5
H
N

G

O

C

B
M

- Từ hai tam giác đồng dạng ở
câu b suy ra góc AGH = góc
MGO (1)
- Mặt khác góc MGO + Góc
AGO = 1800(2)
- Từ (1) và (2) suy ra góc AGH
+ góc AGO = 1800
- Do đó H, G, O thẳng hàng

0,5
0,5
0,5
0,5

3
Bi 1 (4 im): Cho biu thc
A

4xy
y x2
2

1

1

: 2
2
2
2
y

x
y

2
xy

x

a) Tỡm iu kin ca x, y gi tr ca A c xc nh.
b) Rt gn A.
c) Nu x; y l cc s thc lm cho A xc nh v tho mn: 3x 2 + y2 + 2x 2y = 1, hy tỡm tt c
cc gi tr nguyn dng ca A?
Bi 2 (4 im):
a) Gii phng trỡnh :
x 11 x 22 x 33 x 44



115
104
93
82

b) Tỡm cc s x, y, z bit :
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
v x2009 y 2009 z 2009 32010
Bi 3 (3 im): Chng minh rng vi mi n N thỡ n5 v n lun c ch s tn cng ging nhau.
Bi 4 (7 im): Cho tam gic ABC vung ti A. Ly mt im M bt k trn cnh AC. T C v
mt ng thng vung gc vi tia BM, ng thng ny ct tia BM ti D, ct tia BA ti E.
a) Chng minh: EA.EB = ED.EC v EAD ECB
b) Cho BMC 1200 v S AED 36cm2 . Tớnh SEBC?
c) Chng minh rng khi im M di chuyn trn cnh AC thỡ tng BM.BD + CM.CA c gi
tr khng i.

d) Kẻ DH  BC  H  BC  . Gọi P, Q lần lượt l trung điểm của cc đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh CQ  PD .
Bi 5 (2 điểm):
a) Chứng minh bất đẳng thức sau:

x y
  2 (với x v y cng dấu)
y x

b) Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức P =

 x y
x2 y 2
 2  3    5
2
y
x
 y x

(với x  0, y  0 )

ĐÁP ÁN
Bi 1: (4 điểm)
a) Điều kiện: x   y; y  0
(1 điểm)
b) A = 2x(x+y)
(2 điểm)
c) Cần chỉ ra gi trị lớn nhất của A, từ đĩ tìm được tất cả cc gi trị nguyn dương của A
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1  2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1
 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2  A + (x – y + 1)2 = 2

 A = 2 – (x – y + 1)2  2 (do (x – y + 1)  0 (với mọi x ; y)  A  2. (0,5đ)
1

x  y  1  0
x



2
+ A = 2 khi 2x  x  y   2  
y  3

x   y;y  0

2
(x  y  1)2  1

+ A = 1 khi 2x  x  y   1 Từ đĩ, chỉ cần chỉ ra được một cặp gi trị của x v y, chẳng

x   y;y  0

2 1
x 

2
hạn: 
y  2  3

2
+ Vậy A chỉ cĩ thể cĩ 2 gi trị nguyn dương l: A = 1; A = 2

(0,5 điểm)
Bi 2: (4 điểm)
x  11 x  22 x  33 x  44
a)



115
104
93
82
(



x  11
x  22
x  33
x  44
 1)  (
 1)  (
1)  (
 1)
115
104
93
82

x  126 x  126 x  126 x  126




115
104
93
82
x  126 x  126 x  126 x  126




0
115
104
93
82

(1 điểm)

(0,5 điểm)


 ...
 x  126  0

 x  126
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0

(0,5 điểm)
(0,75 điểm)

x  y  0

 y  z  0
z  x  0


xyz
 x2009 = y2009 = z2009

(0,75 điểm)

Thay vo điều kiện (2) ta cĩ 3.z2009 = 32010
 z2009 = 32009
 z =3
Vậy x = y = z = 3
(0,5 điểm)
Bi 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n5 – n 10
- Chứng minh : n5 - n 2
n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (vì n(n – 1) l tích của hai số nguyn
lin tiếp)
(1 điểm)
5
- Chứng minh: n – n 5
n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trn chia hết cho 5

(1,25 điểm)
5
5
- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nn n – n 2.5 tức l n – n 10
Suy ra n5 v n cĩ chữ số tận cũng giống nhau.
(0,75 điểm)
Bµi 4: 6 ®iĨm
E

D

A
M
Q

B

P

I

H

C©u a: 2 ®iĨm
* Chng minh EA.EB = ED.EC

C

(1 ®iĨm)

- Chng minh  EBD ®ng d¹ng víi  ECA (gg)
EB ED

 EA.EB  ED.EC
- T ® suy ra
EC EA
* Chng minh EAD  ECB
- Chng minh  EAD ®ng d¹ng víi

0,5 ®iĨm
0,5 ®iĨm

(1 ®iĨm)
 ECB (cgc)

0,75 ®iĨm

- Suy ra EAD  ECB
C©u b: 1,5 ®iĨm

0,25 ®iĨm

- T BMC = 120o  AMB = 60o  ABM = 30o

0,5 ®iĨm

- XÐt

 EDB vu«ng t¹i D c B = 30o

1
ED 1

EB 
 ED =
2
EB 2

0,5 ®iĨm

2

S EAD  ED 

- Lý lun cho
 t ®  SECB = 144 cm2
S ECB  EB 

0,5 ®iĨm

C©u c: 1,5 ®iĨm
- Chng minh  BMI ®ng d¹ng víi  BCD (gg)
0,5 ®iĨm
- Chng minh CM.CA = CI.BC
0,5 ®iĨm
2
- Chng minh BM.BD + CM.CA = BC c gi¸ trÞ kh«ng ®ỉi
0,5 ®iĨm
2
2

2
C¸ch 2: C thĨ bin ®ỉi BM.BD + CM.CA = AB + AC = BC
C©u d: 2 ®iĨm
- Chng minh  BHD ®ng d¹ng víi  DHC (gg)
0,5 ®iĨm
BH BD
2 BP BD
BP BD






0,5 ®iĨm
DH DC
2 DQ DC
DQ DC
- Chng minh  DPB ®ng d¹ng víi  CQD (cgc)


  CQ  PD
ma`BDP  PDC  90o 

 BDP  DCQ

1 ®iĨm

Bi 5: (2 điểm)
x y

  2 (*)  x2  y2  2xy
y x
2
 (x  y)  0 (**). Bất đẳng thức (**) luơn đng, suy ra bđt (*) đng (đpcm) (0,75đ)

a) vì x, y cng dấu nn xy > 0, do đĩ

b) Đặt x  y  t
y

x

2

x
y2 2
 2  2 t 2
y
x

(0,25đ)

Biểu thức đ cho trở thnh P = t2 – 3t + 3
P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1
(0,25đ)
- Nếu x; y cng dấu, theo c/m cu a) suy ra t  2.  t – 2  0 ; t – 1 > 0   t  2  t  1  0
 P  1 . Đẳng thức xảy ra khi v chỉ khi t = 2  x = y (1) (0,25đ)
- Nếu x; y tri dấu thì x  0 v y  0  t < 0  t – 1 < 0 v t – 2 < 0
y

x


(2)
(0,25)
t 2 t 1 > 0 P > 1
- T (1) v (2) suy ra: Vi mi x 0 ; y 0 thỡ lun c P 1. ng thc xy ra khi v ch khi
x = y. Vy gi tr nh nht ca biu thc P l Pm=1 khi x=y
4
Bài 1: (4 điểm)

abc0
, tính A a 4 b 4 c4 .
2
2
2
a b c 2009


1, Cho ba số a, b, c thoả mãn

2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z 3 . Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx .
Bài 2: (2 điểm)
Cho đa thức f x x2 px q với p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để

f k f 2008 .f 2009 .
Bài 3: (4 điểm)
1, Tìm các số nguyên d-ơng x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 0 .

2, Cho số tự nhiên a 29

2009

, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là

tổng các chữ số của c. Tính d.
Bài 4: (3 điểm)
Cho ph-ơng trình

2x m x 1

3 , tìm m để ph-ơng trình có nghiệm d-ơng.
x2 x2

Bài 5: (3 điểm)
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ-ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E, đ-ờng thẳng
EB cắt đ-ờng thẳng DC tại F, CE cắt à tại O. Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính EOF .
Bài 6: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần l-ợt
các điểm E và F sao cho EAD FAD . Chứng minh rằng:

lấy

BE BF AB 2

.
CE CF AC 2

Bài 7: (2 điểm)
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ng-ời ta làm nh- sau lấy ra hai số bất kỳ và thay bằng
hiệu của chúng, cứ làm nh- vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có

thể làm để trên bảng chỉ

còn lại số 1 đ-ợc không? Giải thích.
..........................................Hết..............................................
Thí sinh không đ-ợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .............................................................. Số báo danh: ..........................


P N
Bài
1.1

Nội dung

Điểm

abc0
, tính A a 4 b 4 c4 .
2
2
2
a b c 2009

2,00

Ta có a 2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 2 ab bc ca

0,50



Cho ba số a, b, c thoả mãn

2

2

a 2 b 2 c2 20092
a b b c c a ab bc ca 2abc a b c

2
4


2
2
2009
A a 4 b 4 c 4 a 2 b 2 c2 2 a 2 b 2 b 2 c2 c2a 2
2
1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z 3 . Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx .
2

2

2 2

2

2 2

0,50

1,00
2,00

B xy z x y xy 3 x y x y
xy 3 x y x y x 2 y 2 xy 3x 3y
2

y 3 3y 2 6y 9
y 3 3
2


x
x

y 1 3 3
2
4
2
4


y 1 0

y 3

Dấu = xảy ra khi x
0 x y z 1
2

x y z 0
2

2

2

Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1
Cho đa thức f x x2 px q với p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để

1,25

0,50

0,25
2,00

f k f 2008 .f 2009 .
f f x x f x x p f x x q
2

f 2 x 2.x.f x x 2 p.f x p.x q
f x f x 2x p x 2 px q
f x x 2 px q 2x p 1

2
f x x 1 p x 1 q f x f x 1


Với x = 2008 chọn k f 2008 2008

Suy ra f k f 2008 .f 2009
3.1

1,25
0,50
0,25

Tìm các số nguyên d-ơng x, y thoả mãn 3xy x 15y 44 0 .

2,00

3xy x 15y 44 0 x 5 3y 1 49

0,75

x, y nghuyênd-ơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên d-ơng và lớn hơn 1.

0,50

Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là -ớc lớn hơn 1 của 49 nên có:


x5 7

x 2


3y 1 7
y 2

0,75

Vậy ph-ơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2.
3.2



Cho số tự nhiên a 29

2009

, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là

2,00

tổng các chữ số của c. Tính d.

a 29

2009

23

3.2009

23

6027

106027 b 9.6027 54243

c 5 4.9 41 d 4 1.9 13

1

23 1mod9 a 1mod9 mà a b c d mod9 d 1mod9
4

1,00

2

Từ (1) và (2) suy ra d = 8.

0,25

2x m x 1

3 , tìm m để ph-ơng trình có nghiệm d-ơng.
x2 x2
Điều kiện: x 2;x 2
2x m x 1

3 ... x 1 m 2m 14

x2 x2

3,00

Cho ph-ơng trình

0,25
0,75

m = 1ph-ơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm.

0,25

m 1 ph-ơng trình trở thành x

0,50

2m 14
1 m
2m 14
1 m 2

m4
2m 14
Ph-ơng trình có nghiệm d-ơng
2
1 m 7
1 m
2m 14
1 m 0

m4
Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi
.
1

m

7

5

0,75

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ-ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E,
đ-ờng thẳng EB cắt đ-ờng thẳng DC tại F. Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính

EOF .

1,00

0,25
3,00


AEB đồng dạng CBF (g-g)

E

AB 2 AE.CF AC 2 AE.CF

A

AE AC


AC CF
AEC đồng dạng CAF (c-g-c)
AEC đồng dạng CAF
AEC CAF mà
EOF AEC EAO ACF EAO

O
B
D

C

1,00

1,00

180 0 DAC 120 0
1,00
F

6

Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần
l-ợt lấy các điểm E và F sao cho EAD FAD . Chứng minh rằng:

3,00

BE BF AB 2
.

CE CF AC 2

Kẻ EH AB tại H, FK AC tại K

A

BAE CAF; BAF CAE
K

B

7

AE EH

AF FK
S ABE BE EH.AB AE.AB
BE AE.AB





S ACF CF FK.AC AF.AC

CF AF.AC
BF AF.AB

T-ơng tự
CE AE.AC
BE BF AB 2


(đpcm).
CE CF AC 2
HAE đồng dạng KAF (g-g)

H

E

D

F

C

Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ng-ời ta làm nh- sau lấy ra hai số bất kỳ và

1,00

1,25
0,50

0,25

2,00

thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh- vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể
làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đ-ợc không? Giải thích.
Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên bảng
không đổi.
Mà S 1 2 3 ... 2008

2008. 2008 1
2

vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1.

1004.2009 0 mod2 ; 1 1mod2 do

1,00

1,00


ĐỀ 5
Cu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;
b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Cu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2 x
4 x2
2 x

x 2  3x
A(


):(
)
2  x x2  4 2  x
2 x 2  x3
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm gi trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Cu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b)

Cho

x2 y 2 z 2
x y z
a b c
   1 v    0 . Chứng minh rằng : 2  2  2  1 .
a
b
c
a b c
x y z

Cu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hnh ABCD cĩ đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt

là hình chiếu của B v D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C
xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ gic BEDF l hình gì ? Hy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
ĐÁP ÁN
Nội dung đáp án
Điểm
Bi 1
a
2,0
2
2
3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 =
1,0
= 3x(x -2) – (x - 2)
0,5
= (x - 2)(3x - 1).
0,5
b
2,0
2
2
2
2
a(x + 1) – x(a + 1) = ax + a – a x – x =
1,0
= ax(x - a) – (x - a) =
0,5
= (x - a)(ax - 1).

0,5
Bi 2:
5,0
a
3,0
ĐKXĐ :
1,0


2  x  0
 2
x  0
x  4  0


  x  2
2  x  0
 x 2  3x  0

x  3

2 x 2  x3  0
2  x 4 x2
2 x
x 2  3x
(2  x) 2  4 x 2  (2  x) 2 x 2 (2  x)
A(
 2

):( 2 3) 

.

2  x x  4 2  x 2x  x
(2  x)(2  x)
x( x  3)



1,0

4 x2  8x
x(2  x)
.

(2  x)(2  x) x  3

0,5

4 x( x  2) x(2  x)
4x2

(2  x)(2  x)( x  3) x  3

0,25

Vậy với x  0, x  2, x  3 thì A 

4x 2
.
x 3

0,25

b

1,0
Với x  0, x  3, x  2 : A  0 

2

4x
0
x 3

 x 3  0
 x  3(TMDKXD)

Vậy với x > 3 thì A > 0.
c
x  7  4
x7  4  
 x  7  4
 x  11(TMDKXD)

 x  3( KTMDKXD)

Với x = 11 thì A =

121
2

0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
0,5
0,25
0,25

Bi 3
a

5,0
2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
2
2
2
 (9x – 18x + 9) + (y – 6y + 9) + 2(z + 2z + 1) = 0
2
2
2
 9(x - 1) + (y - 3) + 2 (z + 1) = 0 (*)
Do : ( x 1)2  0;( y  3)2  0;( z  1)2  0
Nn : (*)  x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

b
Từ :

Ta cĩ :

a b c
ayz+bxz+cxy
  0
0
x y z
xyz
 ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
   1  (   )2  1
a b c
a b c
2
2
2
x
y
z
xy xz yz
 2  2  2  2(   )  1
a
b
c
ab ac bc

1,0
0,5
0,5

0,25
0,25
2,5
0,5
0,25
0,5
0,5




x2 y 2 z 2
cxy  bxz  ayz
 2  2 2
1
2
a
b
c
abc
x2 y 2 z 2
 2  2  2  1(dfcm)
a
b
c

0,5
0,25

Bi 4

6,0
H

C

B

0,25

F
O
E
A
D

K

a
Ta cĩ : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : BEO  DFO( g  c  g )
=> BE = DF
Suy ra : Tứ gic : BEDF l hình bình hnh.
b
Ta cĩ: ABC  ADC  HBC  KDC
Chứng minh : CBH CDK ( g  g )


CH CK


 CH .CD  CK .CB
CB CD

b,

2,0
0,5
0,5
0,25
0,25
2,0
0,5
1,0
0,5
1,75
0,25

Chứng minh : AFD AKC( g  g )
AF AK

 AD. AK  AF . AC
AD AC
Chứng minh : CFD AHC( g  g )
CF AH


CD AC
CF AH

 AB. AH  CF . AC

M : CD = AB 
AB AC


Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2
(đfcm).

ĐỀ SỐ 6

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25


CÂU1.
a. Phn tích các đa thức sau ra thừa số:
x4  4
 x  2  x  3 x  4  x  5   24
b. Giải phương trình: x4  30x2  31x  30  0
a
b
c
a2
b2
c2
c. Cho



 1 . Chứng minh rằng:


0
bc ca ab
bc ca ab
2
1  
10  x 2 
 x
Câu2. Cho biểu thức:
A 2



:x  2 
x2 
x 4 2x x2 
a. Rút gọn biểu thức A.
1
b. Tính gi trị của A , Biết x = .
2
c. Tìm gi trị của x để A < 0.
d. Tìm cc gi trị nguyn của x để A cĩ gi trị nguyn.

Câu 3. Cho hình vuơng ABCD, M l một điểm tuỳ ý trn đường cho BD. Kẻ ME  AB,
MF  AD.
a. Chứng minh: DE  CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xc định vị trí của điểm M để diện tích tứ gic AEMF lớn nhất.

Câu 4.
a. Cho 3 số dương a, b, c cĩ tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

1 1 1
  9
a b c

b. Cho a, b d-¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011

Câu

Câu 1
(6 điểm)

ĐÁP ÁN
Đáp án
4
4
2
a. x + 4 = x + 4x + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
b. x4  30x2  31x  30  0 <=>

x2  x  1  x  5  x  6   0 (*)





Điểm

(2 điểm)

(2 điểm)


1 2 3
) + > 0 x
2
4
 (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0
x  5  0
x  5
 

x  6  0
x   6
a
b
c
c. Nhn cả 2 vế của:



1
bc ca ab
với a + b + c; rt gọn  đpcm
2
1  
10  x 2 
 x
Biểu thức: A   2



:x  2 
x2 
x 4 2x x2 
1
a. Rt gọn được kq: A 
x2
1
1
1
b. x   x  hoặc x 
2
2
2

Vì x2 - x + 1 = (x -

Câu 2
(6 điểm)

4
4
hoặc A 
3
5
c. A  0  x  2
1
 Z ...  x 1;3
d. A  Z 
x2
A

HV + GT + KL

A

(2 điểm)

(1.5 điểm)

(1.5 điểm)
(1.5 điểm)
(1.5 điểm)
E

B

(1 điểm)
F

D

Câu 3
(6 điểm)

M
C

a. Chứng minh:
AE  FM  DF
 AED  DFC  đpcm
b. DE, BF, CM l ba đường cao của EFC  đpcm
c. Cĩ Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi
 ME  MF  a khơng đổi
 S AEMF  ME.MF lớn nhất  ME  MF (AEMF l hình
vuơng)
 M l trung điểm của BD.

(2 điểm)
(2 điểm)

(1 điểm)


b c
1
 a  1 a  a

a c
1

a. Từ: a + b + c = 1    1  
b b
b
a b
1

1


c
c c


Câu 4:
(2 điểm)

(1 điểm)

1 1 1
a b a c b c
   3           
a b c
b a c a c b
32229
1
Dấu bằng xảy ra  a = b = c =
3
2001
2001
2000

b. (a
+ b ).(a+ b) - (a
+ b2000).ab = a2002 + b2002
 (a+ b) – ab = 1
 (a – 1).(b – 1) = 0
 a = 1 hoỈc b = 1
Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoỈc b = 0 (lo¹i)
Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoỈc a = 0 (lo¹i)
Vy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2


(1 điểm)

ĐỀ 7
Bi 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bi 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x  241 x  220 x  195 x  166



 10 .
17
19
21
23
Bi 3: (3 điểm)

Tìm x biết:
2
2
 2009  x    2009  x  x  2010    x  2010 

 2009  x    2009  x  x  2010    x  2010 
2

Bi 4: (3 điểm)
Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức A 

2010x  2680
.
x2  1

2



19
.
49

Bi 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vuơng gĩc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ gic AEDF l hình vuơng.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

Bi 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao
cho: AFE  BFD, BDF  CDE, CED  AEF .
a) Chứng minh rằng: BDF  BAC .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
ĐÁP ÁN
Bi 1:
a)

3
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 =  x  y  z   x 3    y3  z3 


2
=  y  z   x  y  z    x  y  z  x  x 2    y  z   y 2  yz  z 2 


2
=  y  z   3x  3xy  3yz  3zx  = 3  y  z   x  x  y   z  x  y 

= 3  x  y  y  z  z  x  .
b)

x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =  x 4  x    2010x 2  2010x  2010 

= x  x  1  x 2  x  1  2010  x 2  x  1 =  x 2  x  1 x 2  x  2010  .
Bi 2:

x  241 x  220 x  195 x  166




 10
17
19
21
23
x  241
x  220
x  195
x  166

1
2
3
40
17
19
21
23
x  258 x  258 x  258 x  258




0
17
19
21
23

1 1 1 1 
  x  258       0
 17 19 21 23 
 x  258

Bi 3:

 2009  x    2009  x  x  2010    x  2010   19 .
2
2
 2009  x    2009  x  x  2010    x  2010  49
2

2

ĐKXĐ: x  2009; x  2010 .
Đặt a = x – 2010
(a  0), ta cĩ hệ thức:
2
 a  1   a  1 a  a 2  19  a 2  a  1  19
2
 a  1   a  1 a  a 2 49 3a 2  3a  1 49
 49a 2  49a  49  57a 2  57a  19  8a 2  8a  30  0
3

a


2
2

  2a  1  42  0   2a  3 2a  5  0  
(thoả ĐK)
5
a  

2


4023
4015
hoặc x =
(thoả ĐK)
2
2
4023
4015
Vậy x =
vx=
l gi trị cần tìm.
2
2
Bi 4:
2010x  2680
A
x2  1
335x 2  335  335x 2  2010x  3015
335(x  3) 2
=
 335 
 335

x2  1
x2  1
Vậy gi trị nhỏ nhất của A l – 335 khi x = – 3.
Bi 5:
a) Tứ gic AEDF l hình chữ nhật (vì E  A  F  90o )
C
Để tứ giác AEDF là hình vuơng thì AD l tia phn
gic của BAC .
b) Do tứ gic AEDF l hình chữ nhật nn AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất  AD nhỏ nhất
F
 D l hình chiếu vuơng gĩc của A ln BC.
Bi 6:
a) Đặt AFE  BFD  , BDF  CDE  , CED  AEF   .

Suy ra x =

D

A
E
B
Ta cĩ BAC      1800 (*)
Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O.
Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.
A
 OFD  OED  ODF  90o (1)
 E
F 

o
Ta cĩ OFD    OED    ODF    270 (2)

 O
o
(1) & (2)        180 (**)

s

s

s

(*) & (**)  BAC    BDF .
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
B  , C  


 AEF DBF DEC ABC
B
D
C
5BF
5BF
5BF
 BD BA 5 





BD

BD

BD

 BF BC 8



8
8
8




7CE
7CE
7CE
 CD CA 7 




  CD 
 CD 
 CD 
8
8

8
 CE CB 8 


 AE AB 5
7AE  5AF 7(7  CE)  5(5  BF) 7CE  5BF  24
 AF  AC  7







 CD  BD  3 (3)
Ta lại cĩ CD + BD = 8 (4)
(3) & (4)  BD = 2,5


ĐỀ 8
Bi 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
x  17 x  21 x  1


4
b)
1990
1986 1004
c) 4x – 12.2x + 32 = 0

1 1 1
   0.
x y z
yz
xz
xy
 2
 2
Tính gi trị của biểu thức: A  2
x  2 yz y  2xz z  2xy

Bi 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và

Bi 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả cc số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị
vào chữ số hàng nghìn , thm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng
chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
Bi 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
HA' HB' HC'


a) Tính tổng
AA' BB' CC'
b) Gọi AI l phn gic của tam gic ABC; IM, IN thứ tự l phn gic của gĩc AIC v gĩc AIB. Chứng
minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
(AB  BC  CA) 2
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
AA' 2  BB' 2  CC' 2
ĐÁP ÁN
 Bi 1(3 điểm):

a) Tính đúng x = 7; x = -3
b) Tính đúng x = 2007
c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0
x x
x
x
x
 2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0  (2 – 8)(2 – 4) = 0
x
3
x
2
x
3
x
2
 (2 – 2 )(2 –2 ) = 0  2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0
x
3
x
2
 2 = 2 hoặc 2 = 2  x = 3; x = 2

( 1 điểm )
( 1 điểm )
( 0,25điểm )
( 0,25điểm )
( 0,25điểm )
( 0,25điểm )

 Bi 2(1,5 điểm):
xy  yz  xz
1 1 1
 0  xy  yz  xz  0  yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
  0
xyz
x y z
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)
( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)
Do đó: A 

yz
xz
xy


( x  y)(x  z) ( y  x )( y  z) (z  x )(z  y)

( 0,25điểm )
( 0,25điểm )


Tính đúng A = 1
 Bi 3(1,5 điểm):
Gọi abcd l số phải tìm a, b, c, d

( 0,5 điểm )

 N, 0  a, b, c, d  9, a  0

(0,25điểm)

2
Ta cĩ: abcd  k
với k, m  N, 31  k  m  100
(a  1)(b  3)(c  5)(d  3)  m 2
(0,25điểm)

abcd  k 2

abcd  1353  m 2

Do
đó: m2–k2 = 1353
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
m+k = 123
m+k = 41

m–k = 11 hoặc m–k = 33
m = 67
m = 37
hoặc
 k = 56
k= 4
Kết luận đúng abcd = 3136
Bi 4 (4 điểm):
Vẽ hình đúng
(0,25điểm)
a)

S HBC
S ABC

(0,25điểm)

1
.HA'.BC
HA'
2


;
1
AA'
.AA'.BC
2

Tương tự:

(0,25điểm)
(0,25điểm)

(0,25điểm)
(0,25điểm)

A

C’
H

N

x

B’
M

I

A’

C

B

S HAB HC' SHAC HB'


;
S ABC CC' SABC BB'

(0,25điểm)
HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC





1

AA' BB' CC' SABC SABC SABC
b) p dụng tính chất phn gic vo cc tam gic ABC, ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC

;

;

IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
.
.

. . 
. 1
IC NB MA AC BI AI AC BI
 BI .AN.CM  BN.IC.AM
c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD
-  BAD vuơng tại A nn: AB2+AD2 = BD2
2
2
2
 AB + AD  (BC+CD)
AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2
4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)

D

(0,25điểm)

(0,5điểm )
(0,5điểm )
(0,5điểm )

(0,25điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)


Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2
4BB’2  (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2
(AB  BC  CA) 2
 4 (0,25điểm)

AA'2  BB'2  CC'2
Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC
 AB = AC =BC   ABC đều
Kết luận đúng
(0,25điểm)
*Ch ý :Học sinh cĩ thể giải cch khc, nếu chính xc thì hưởng trọn số điểm câu đó
ĐỀ 9
Bi 1 (4 điểm)
 1  x3

1  x2
 x  :
Cho biểu thức A = 

2
3 với x khc -1 v 1.
 1 x
 1 x  x  x
a, Rt gọn biểu thức A.
2
3

b, Tính gi trị của biểu thức A tại x  1 .
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bi 2 (3 điểm)

2
2
2
Cho  a  b    b  c    c  a   4. a  b  c  ab  ac  bc  .
2

2

Chứng minh rằng

2

a  b  c.

Bi 3 (3 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4
đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đ cho. Tìm phn số đó.

Bi 4 (2 điểm)
Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4  2a3  3a2  4a  5 .
Bi 5 (3 điểm)
Cho tam gic ABC vuơng tại A cĩ gĩc ABC bằng 600, phn gic BD. Gọi M,N,I theo thứ
tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ gic AMNI l hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính cc cạnh của tứ gic AMNI.
Bi 6 (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) cĩ hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và
song song với đáy AB cắt cc cạnh bn AD, BC theo thứ tự ở M v N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng

1
1
2


.
AB CD MN

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.


ĐÁP ÁN
Bi 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khc -1 v 1 thì :
A=

0,5đ

1 x  x  x
(1  x)(1  x)
:
1 x
(1  x)(1  x  x 2 )  x(1  x)
3

2

0,5đ

(1  x)(1  x  x 2  x)
(1  x)(1  x)
:
1 x
(1  x)(1  2 x  x 2 )
1
= (1  x 2 ) :
(1  x)
2
= (1  x )(1  x)

=

0,5đ
0,5đ

b, (1 điểm)

2
3

Tại x =  1 = 

5
thì A =
3

0,25đ

5 2 
5 

1  ( 3 )   1  ( 3 )

0,25đ

25
5
)(1  )
9
3
34 8 272
2
 . 
 10
9 3 27
27

= (1 

0,5đ

c, (1điểm)
Với x khc -1 v 1 thì A<0 khi v chỉ khi (1  x 2 )(1  x)  0 (1)
Vì 1  x 2  0 với mọi x nn (1) xảy ra khi v chỉ khi 1  x  0  x  1
KL

0,25đ
0,5đ
0,25đ

Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được

0,5đ

a  b  2ab  b  c  2bc  c  a  2ac  4a  4b  4c  4ab  4ac  4bc
Biến đổi để có (a 2  b 2  2ac)  (b 2  c 2  2bc)  (a 2  c 2  2ac)  0
2

2

2

2

2

2

2

2

2

Biến đổi để có (a  b)  (b  c)  (a  c)  0 (*)
Vì (a  b) 2  0 ; (b  c) 2  0 ; (a  c) 2  0 ; với mọi a, b, c
nn (*) xảy ra khi v chỉ khi (a  b) 2  0 ; (b  c) 2  0 v (a  c) 2  0 ;
Từ đó suy ra a = b = c

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

Bài 3 (3 điểm)
Gọi tử số của phn số cần tìm l x thì mẫu số của phn số cần tìm l x+11. Phn số cần

0,5đ

2

2

2

x
tìm l
(x l số nguyn khc -11)
x  11

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
(x khc -15)
Theo bi ra ta cĩ phương trình

x
x  15
=
x  11 x  7

Giải phương trình v tìm được x= -5 (thoả mn)
Từ đó tìm được phân số 
Bài 4 (2 điểm)

5
6

x7
x  15

0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ

Biến đổi để có A= a 2 (a 2  2)  2a(a 2  2)  (a 2  2)  3
= (a 2  2)(a 2  2a  1)  3  (a 2  2)(a  1) 2  3
Vì a 2  2  0 a v (a  1) 2  0a nn (a 2  2)(a  1) 2  0a do đó (a 2  2)(a  1) 2  3  3a
Dấu = xảy ra khi v chỉ khi a  1  0  a  1
KL
Bài 5 (3 điểm)

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ

B

N

M

A
I

D

C

a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cn
b,(2điểm)

0,5đ
0,5đ
0,5đ

4 3
8 3
cm ; BD = 2AD =
cm
3
3
1
4 3
AM = BD 
cm
3
2
4 3
Tính được NI = AM =
cm
3
1
8 3
4 3
DC = BC =
cm
cm , MN = DC 
3
2
3

8 3
Tính được AI =
cm
3

Tính được AD =

0,5đ
0,5đ
0,5đ

B

A

Bài 6 (5 điểm)

O
M

a, (1,5 điểm)
OM OD
,

AB
BD
OD OC

Lập luận để có
DB AC

Lập luận để có

D

ON OC

AB AC

N

C

0,5đ
0,5đ