Hệ thống bài tập hạng ma trận (giải chi tiết) Toán A3C3

BỘ CÔNG THƯƠNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM TP.HCM



_HCM, Tháng 2/2014_

Naêm hoïc 2011 - 2012


Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm
HCM
Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận

Lớp 04DHQT3

Hạng của ma trận, cách tính hạng của ma trận
Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp mxn khác không. Hạng của ma trận A là số tự nhiên
1 ≤ r ≤ min{m, n}

r,

thỏa mãn các điều kiện sau:



Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.



Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0.
A≠0

Nói cách khác hạng của ma trận
chính là cấp cao nhất của các định thức con khác
không của ma trận A. Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A) và rank(A).
Quy ước: Hạng của ma trận 0 bằng 0.
2. Ví dụ:
Tìm hạng của ma trận A sau:
1
3
A=
0
4

2
2
0
4

3
1
5
4

0
0
0
0

Ma trận A có duy nhất một định thức cấp 4 và nó bằng 0. Tồn tại một định thức con cấp
3 của A là
1 2 3
3 2 1 = −20 ≠ 0
0 0 5

. Vậy rank(A)=3
3. Các tính chất:
3.1 Tính chất 1: Hạng của ma trận không đổi qua các phép biến đổi sau:
rank ( A) = rank ( AT ).


Phép chuyển vị ma trận. Tức là



Các phép biến đổi sơ cấp dòng hoặc cột.



Bỏ đi các dòng hoặc các cột gồm toàn số 0.



Bỏ đi các dòng hoặc các cột là tổ hợp tuyến tính của các dòng hay các cột khác.
3.2 Tính chất 2: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì:
rank ( A) = n ⇔ det A ≠ 0



rank ( A) < n ⇔ det A = 0


Nếu xảy ra trường hợp đầu thì ta nói ma trận vuông A không suy biến.
Toán cao cấp C2

Trang 2


Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm
HCM
Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận

Lớp 04DHQT3

Nếu xảy ra trường hợp hai thì ta nói ma trận vuông A suy biến.
3.3 Tính chất 3:
rank ( A + B ) ≤ rankA + rankB


Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thì

.
rank ( AB ) ≤ min{rankA, rankB}



Cho A, B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB. Khi đó,



Nếu A tương đương dòng (cột) với B thì rank (A ) = rank (B )
4. Cách tính hạng của ma trận:
4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức
Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy ra thuật toán sau để tính hạng của ma
( A ≠ 0)

trận A cấp mxn

.

Bước 1:
Tìm một định thức con cấp k khác 0. Số k càng lớn càng tốt. Giả sử định thức con cấp k
Dk

khác không là

.

Bước 2:
Dk

Xét tất cả các định thức con cấp k+1 của A chứa định thức

. Xảy ra 3 khả năng sau:

1. Không có một định thức con cấp k+1 nào của A. Khả năng này xảy ra khi k =min{m,
n}. Khi đó rankA = k. Thuật toán kết thúc.
Dk

2. Tất cả các định thức con cấp k+ 1 chứa định thức
thuật toán kết thúc.

đều bằng 0 . Khi đó rankA = k và

Dk +1

3. Nếu tồn tại ,một định thức con cấp k+1 của A là
Dk +1

Ví dụ: Tính hạng của ma trận sau:
2
1
3
1

2
1
3
1

1
1
2
0

4
3 
2


1

Giải:
Toán cao cấp C2

chứa định thức con

khác 0.

Dk

Khi đó ta lập lại bước 2 với
thay cho vị trí của
trường hợp 1 hoặc 2 thì thuật toán kết thúc.
1
 −1
A=
1

2

Dk

Trang 3

. Tiếp tục như vậy đến khi xảy ra


Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm
HCM

Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận

Xét ma trận tạo bởi hai dòng đầu

Lớp 04DHQT3

 1 2
A=

 −1 1 

có định thức detA = 3.
 1 2 1
B =  −1 1 1 
 1 3 2 

Ta xét tiếp ma trận tạo bởi các cột 1, 2, 4 và dòng 1, 2, 3 ta có ma trận
chứa ma trận A và có detB = 1.
Tiếp tục xét các ma trận con cấp 4 chứa ma trận B thì có hai ma trận B1 và B2
1
 −1
B1 = 
1

2

2
1
3
1

2
1
3
1

1
1 
2

0

1
 −1
B2 = 
1

2

2
1
3
1

1
1
2
0

4

3 
2

1

Vậy detB1 và detB2 đều bằng 0. Cả hai định thức này đều bằng 0. Do đó rankA = 3.■
Nhận xét:
Việc tính hạng ma trận bằng sử dụng định thức khá phức tạp nên trong thực tế ta
thường ít sử dụng phương pháp này, mà người ta thường sử dụng phương pháp tìm
hạng ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương trên ma trận.
4.2 Tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (PP.
Gauss)
4.2.1 Nhận xét: Ma trận A cấp mxn khác không được gọi là ma trận bậc thang nếu tồn
1 ≤ r ≤ min{m, n}

tại một số tự nhiên r thỏa

thỏa các điều kiện sau:

(1) r dòng đầu khác 0. Các dòng thứ r +1 trở đi (nếu có) đều bằng 0.
(2) Xét dòng thứ k với

1≤ k ≤ r

akik

. Nếu

là phần tử đầu tiên bên trái (tính từ trái sang

phải) khác không của dòng k thì ta phải có

i1 < i2 < ... < ir

.

akik

Các phần tử

được gọi là các phần tử đánh dấu của ma trận A. Các cột chứa các
{i1 , i2 ,..., ir }

phần tử được đánh dấu

gọi là cột đánh dấu của ma trận A.

Điều kiện (2) có thể phát biểu lại: Nếu đi từ trên xuống thì các phần tử được đánh dấu
phải lùi dần về bên phải. Do đó, ma trận bậc thang có dạng như sau:

Toán cao cấp C2

Trang 4


Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm
HCM
Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận

Lớp 04DHQT3

...
....
...
.... 
0...0 a1i1


...
...
... 
0...0 0...0 a2i2
 ...
...
...
...
...
.... 


A =  ...
...
...
arir
...
... 


0...0 0..0 0...0 ... 0...0 0...0 
 ...

...
...
...
...
... 


0...0 0..0 0..0 0..0 0...0 0...0 

4.2.2 Nhận xét:
Nếu A là ma trận bậc thang thì số r các dòng khác 0 trong định nghĩa chính là rankA.
Hay rankA = r.
Dr

Thật vậy chỉ có định thức con cấp r của A khác 0 chính là định thức

tạo ra bởi r dòng

{i1 , i2 ,..., ir }

đầu và r cột đánh dấu bởi các cột

.

Ngoài ra, các định thức con cấp r +1 của A đều tạo bởi r + 1 dòng nào đó nên có ít nhất
một dòng bằng không. Do đó, chúng đều bằng 0.
4.2.3 Ví dụ: Các ma trận bậc thang
1
0
A=

0

0

3
3
0
0

1
0

B = 0

0
 0

1
1
0
0
0

2
8
0
0

8
0 

1

0

2 3
8 0
0 −3
0 0
0 0

Khi đó rankA = 3 (bằng số dòng khác 0 của A)
4
0
0
0
0

0
7 
6

7
0 

. Khi đó rank B = 4 (Bằng số dòng khác 0 của B).
4.2.4 Nhắc lại các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Ba phép biến đổi sau đây được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận:


Đổi chổ hai dòng cho nhau;



Nhân một dòng cho một số khác 0;



Nhân một dòng cho một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác.



Nếu thay từ dòng bằng từ cột, ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
Toán cao cấp C2

Trang 5


Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm
HCM
Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận

Lớp 04DHQT3

4.2. 5 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ
cấp
Nội dung của phương pháp này được dựa trên 2 nhận xét sau:


Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận;



Một ma trận khác ma trận 0 bất kỳ đều có thể đưa về dạng ma trận bậc thang sau một
số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
Vậy muốn tìm hạng của ma trận A, ta sẽ lung các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A
về dạng bậc thang, từ đó suy ra hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bậc thang
và bằng lung số dòng khác 0 của nó.
Tìm điều kiện của m để hạng ma trận sau bằng 1.
1 3 4 
A =  2 6 m 
 3 9 12 

Giải
Nhận thấy ma trận A có hai dòng 1 và 3 tỉ lệ với nhau, do đó để ma trận có hạng bằng 1
thì
m = 8.
rank ( A) = rank ( AT )

Nhận xét: Do
nên ta có thể thay thế các phép biến đổi trên dòng bởi
các phép biến đổi trên cột để đưa ma trận A về dạng bậc thang từ đó suy ra hạng của
ma trận A.

Toán cao cấp C2

Trang 6


Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm
HCM

Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận

Lớp 04DHQT3

Dạng 1: Tính hạng của ma trận dựa trên phép biến đổi sơ cấp
Nhận xét: Ma trận A cấp mxn khác không được gọi là ma trận bậc thang nếu tồn tại
1 ≤ r ≤ min{m, n}

một số tự nhiên r thỏa

thỏa các điều kiện sau:

(1) r dòng đầu khác 0. Các dòng thứ r +1 trở đi (nếu có) đều bằng 0.
(2) Xét dòng thứ k với

1≤ k ≤ r

akik

. Nếu

là phần tử đầu tiên bên trái (tính từ trái sang
i1 < i2 < ... < ir

phải) khác không của dòng k thì ta phải có

.

akik

Các phần tử

được gọi là các phần tử đánh dấu của ma trận A. Các cột chứa các
{i1 , i2 ,..., ir }

phần tử được đánh dấu

gọi là cột đánh dấu của ma trận A.

Điều kiện (2) có thể phát biểu lại: Nếu đi từ trên xuống thì các phần tử được đánh dấu
phải lùi dần về bên phải. Do đó, ma trận bậc thang có dạng như sau:
...
....
...
.... 
0...0 a1i1


...
...
... 
0...0 0...0 a2i2
 ...
...
...
...
...
.... 



A =  ...
...
...
arir
...
... 


0...0 0..0 0...0 ... 0...0 0...0 
 ...
...
...
...
...
... 


0...0 0..0 0..0 0..0 0...0 0...0 

4.2.2 Nhận xét:
Nếu A là ma trận bậc thang thì số r các dòng khác 0 trong định nghĩa chính là rankA.
Hay rankA = r.
Dr

Thật vậy chỉ có định thức con cấp r của A khác 0 chính là định thức

tạo ra bởi r dòng

{i1 , i2 ,..., ir }

đầu và r cột đánh dấu bởi các cột

.

Ngoài ra, các định thức con cấp r +1 của A đều tạo bởi r + 1 dòng nào đó nên có ít nhất
một dòng bằng không. Do đó, chúng đều bằng 0.
4.2.3 Ví dụ: Các ma trận bậc thang

Toán cao cấp C2

Trang 7


Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm
HCM
Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận
1
0
A=
0

0

3
3
0
0

1
0


B = 0

0
 0

1
1
0
0
0

2
8
0
0

8
0 
1

0

2 3
8 0
0 −3
0 0
0 0

Lớp 04DHQT3

Khi đó rankA = 3 (bằng số dòng khác 0 của A)
4
0
0
0
0

0
7 
6

7
0 

. Khi đó rank B = 4 (Bằng số dòng khác 0 của B).

Bài 1: Tính hạng của ma trận:
a)
b)

c)

A=
d)

D=

e)

E=

B=

C=
f)

F=

Bài Giải:
a)
A=

= A’


Ma trận bậc thang A’ có bốn dòng khác 0 nên rank (A) =4

b) B =
= B’
Toán cao cấp C2

Trang 8


Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm
HCM
Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận


Lớp 04DHQT3

Ma trận bậc thang B’ có hai dòng khác 0 nên rank (B) = 2

c) C =
= C’


Ma trận bậc thang C’ có hai dòng khác 0 nên rank C = 2

d) D =
= D’


Ma trận bậc thang D’ có bốn dòng khác 0 nên rank (D) =4

e) E =
= E’


g)

Ma trận bậc thang E’ có bốn dòng khác 0 nên rankE=4

F

= F’


Ma trận bậc thang F’ có bốn dòng khác 0 nên rank (F) =4

Toán cao cấp C2

Trang 9


Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm
HCM
Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận

Lớp 04DHQT3

Bài 2: Tính hạng của ma trận:

a)

b)

c)

A=
h)
i)
B=
j)
k)
C=
l)

m)

n)
e)
o)
p)
q)
r)
s)

d)

Toán cao cấp C2

Trang 10


t)
Giải:
A=
v)
w)
x)
y)
z)
u)


aa)

ab)
Ma trận bậc thang A’ có bốn dòng khác 0 nên rank (A) =4




ac)
B=
ad)
ae)
af)
ag)
ah)
Ma trận bậc thang B’ có ba dòng khác 0 nên rank (B) = 3



ai)
C=
ak)
aj)
al)

am)
Ma trận bậc thang C’ có hai dòng khác 0 nên rank € = 2



an)
ao)


D=

ap)
aq)
Ma trận bậc thang D’ có hai dòng khác 0 nên rank (D) = 2



ar)
as)
E=
at)
au)


av)


aw)
ax)
ay)
az)
ba)
bb)
bc)
bd)
be)
bf)

Ma trận bậc thang A’ có ba dòng khác 0 nên rank € = 3

cd)
ce)

+ Phương pháp:

cf)

Dùng các phép biến đổi sơ cấp, để đưa ma trận về dạng bậc thang.

cg)

+ Nhắc lại các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

ch)

Ba phép biến đổi sau đây được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận:

ci)

Đổi chổ hai dòng cho nhau;

cj)

● Nhân một dòng cho một số khác 0;

ck)

● Nhân một dòng cho một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác.

● Nếu thay từ dòng bằng từ cột, ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
cm)
cn) Bài tập:
co)
cp) Bài 1: Tìm m để hạng của A là 3: A =
cq)
cr)
Giải:
cs)
ct) A =
cu)
r(A) = 3  22 -2m ≠ 0  m ≠ 1
cv)
cw) Bài 2: Tìm hạng của B = tùy theo m.
cl)



bg)
bh)
bi)
bj)
bk)
bl)
bm)
bn)
bo)
bp)
bq)

br)
bs)
bt)
bu)
bv)
bw)
bx)
by)
bz)
ca)
cb)
cc)
Dạng 2: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận


cx)
cy)

Giải:

cz)
B=
db)
dc) Biện Luận:
r(B) = 2  4 -2m =0  m =2
r(B) = 3  4 -2m ≠ 0  m ≠ 2
dd)
de) Bài 3: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A =
df)
dg)

Giải:
dh)
di) A =
dj)
dk)
dl)
dm) Vậy r(A) = 3
dn)
do) Bài 4: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận B =
dp)
dq)
Giải:
dr)
ds) B =
dt)
du)
dv)
dw)
dx) Vậy:
Nếu m ≠ 1 thì r(A) = 4
Nếu m = 1 thì r(A) = 3
dy)
dz)
ea) Bài 5: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A =
eb)
ec)
Giải:
ed)
ee)
A=

ef)
eg)
eh)
ei)
r(A) =3
ej)
ek)
el) Bài 6: Cho ma trận A = .Tìm giá của m để hạng của ma trận là nhỏ nhất.
em)
en)
Giải:
da)








eo)
ep)

A=
eq)
er) Ta có :
 Nếu m ≠ 7 thì r(A) = 3
 Nếu m = 7 => r(A) = 2
es) Vậy để r(A) nhỏ nhất thì m= 7.
et)

eu) Bài 7: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A =
ev)
ew)
Giải:
ex)
ey) A =
ez)
fa)

fb)
fc)
  m - 5 =0  m =5
 m–5≠0m≠5

fd)
fe)

Bài 8: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận B =

ff)
Giải:

fg)

fh)
B=
fj)
fk)
fl)
Nếu  =>

fm)
Nếu ≠ 3  
fn)
fo) Bài 9: Tìm điều kiện của m để ma trận A= có hạng bằng 1.
fi)




fp) Giải:
fq) Theo suy luận:
fr) Ma trận trên có

hạng bằng 1 khi có duy nhất một dòng khác 0 sau khi thực hiện các
phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Suy ra hai dòng còn lại của ma trận phải tỉ lệ với
dòng thứ 1 suy ra m = 0.

fs)
ft)

Theo toán học:

fu)
fv)

A=

fw)
Để hạng ma trận r(A) = 1 thì –m = 0  m = 0
Vậy với m=0 thì ma trận A có hặng bằng 1.

fy)
fz) Bài 10: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận B =
fx)



Giải:

ga)

gb)
B=

gc)

gd)
ge)




gf)
gg)
gh) Biện luận:
gi)
Nếu m = 0 thì r(A) = 2
Nếu m + 80 = 0  m = -80 thì r(A) = 2.
gj)

gk)

gl) Bài 11:

Biện luận theo tham số m hạng của ma trận E =

gm)
gn) Giải:
go)
gp) Với E =
gq)
3
2
 DetE = -m + m + m -1
gr) Biện luận:
 Nếu detE 0  thì r(E) =3
 Nếu detE = 0 
gs)
Với m =1, E trở thành:

gt)

gu)
E=

gv)

gw)


Hạng ma trận r(E) =3

gx)
Với m = -1, E trở thành:

gy)

gz)
E=

ha)

hb)


Hạng ma trận r(E) = 2

hc)
hd) Bài 12:

Biện luận theo tham số m hạng của ma trận F =

he)
hf) Giải:
hg)
hh) F =
hi)
hj)

hk)
hl) Biện luận:
hm)

 Nếu r(F) = 2  m – 3 =0 => m = 3




Nếu r(F) = 3  m – 3 0 => m 3

hn)
ho) Bài 13: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A =
hp)
hq) Giải:
hr)
hs) A =
ht)
hu) Biện luận:
 Nếu r(A) = 3  
hv)
 Nếu r(A) = 4  
hw)
hx) Bài 14: Với giá trị nào của m thì ma trận A = có hạng nhỏ nhất
hy)
hz)
Giải:
ia)
ib)
A=
ic)
id)

ie)

if)
ig)

Để ma trận A có hạng nhỏ nhất, tương đương với:
r(A)min = 2  m + 38 =0  m = -38

ih)
ii)

Bài 15: Với giá trị nào của m thì ma trận C = có hạng nhỏ nhất

ij)
ik)

Giải:

il)
im)

C=

in)
io)

Vậy r(A)min = 1  m =15.

ip)
iq)

Bài 16: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A=

ir)
is)

Giải:

it)
iu)

A=

iv)
iw)
ix)
iy)
iz)
ja) Vậy:



jb)

Khi m+ 6 = 0  m = -6 thì r(A) = 2
Khi m+ 6 ≠ 0  m ≠ -6 thì r(A) ≠ 3


jc)

Bài 17: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A=

jd)
je)

Giải:

jf)
jg)

A=

jh)
ji)

jj)
jk)
jl)
jm)
jn)

Vậy :


Nếu m = 0 thì r(A) = 2



Nếu m

≠

0 thì r(A) = 3

jo)
jp)
jq)
jr)
js)
jt)

Dạng 3: Biện luận, tìm hạng của ma trận vuông cấp n

ju)
jv)

Bài 18: Biện luận theo tham số a hạng của ma trận B =

jw)
jx)

Giải:

jy)
B=
ka)
kb) = B’
kc)
kd) Nếu a (1 - n), a C là ma trận bậc thang. Khi đó, rankB = rankB’ =n
ke)
Nếu a =1 thì ma trận bậc thang. Khi đó rankB = rankB’ =1
Nếu a =1 –n thì, khi đó:

kf)
kg) B’ = . Khi đó C là ma trận bậc thang có định thức cấp n - 1
kh)
n-1
ki) khác 0, đó là định thức = (-n) 0 và detB’ = 0
kj)
kk) Do đó, rankB = rank B’ = n -1.
kl)
km) Bài 19:Biện luận theo tham số m hạng của ma trận C =
kn)
ko)
Giải:
kp)
kq)
C=
jz)







kr)
ks)
kt)
ku) Nếu a ≠ . Khi đó: 1 + na ≠ 0 và r(A) = n
kv)
A = . Khi đó: 1 = na = 0 và r(A) = n - 1
kw)

kx) Vì có định thức con cấp n -1 gồm n -1 dòng cuối, cột cuối.
ky)
kz) Dn-1 = 1 ≠ 0
la)
lb) Định thức cấp n bằng 0.
lc)
ld) Bài 20: Tìm hạng của ma trận ( n ≥ 2) A =
le)
lf)
Giải:
lg)
Nếu x ≠ 0
lh) A =
li)
lj)

lk)
Vậy r(A) = n
Nếu x =0 => A =
lm) Vậy:
r(A) = n nếu x ≠ 0
r(A) = 2 nếu x = 0
ll)




ln)
lo)

Bài 21: Tìm và biện luận hạng của ma trận theo tham số m,n: A = (m,n thuộc R)

lp)
lq)

Giải:

lr)



Trường hợp 1: nếu m = n = 0 => r (A) = 0
Trường hợp 2 : nếu n= 0, m ≠ 0 => A trở thành: A’ =

ls)
lt)

A là ma trận bậc thang có 4 hàng khác 0 nên hạng của ma trận này r(A) = 4
+ Nếu n khác 0. M=0 : Ma trận trở thành :

lu)

A’ =

lv)
lw)

Đổi hàng 1 xuống cuối, ma trận trở thành :
Tương tự như trên hạng của ma trận này là 4
+ Nếu n khác 0 và m khác 0 : Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa về dạng bậc

thang ta được ma trận cuối dạng bậc thang :

lx)


ly)

Vì n và m khác 0 nên các số hạng , , khác không nên hạng của ma trận này là 4 .
Kết luận :
lz)



Hạng của ma trận bằng 0 khi n và m đồng thời là 0
Hạng của ma trận bằng 4 trong các trường hợp còn lại.

ma)
mb) Bài 22: Tìm hạng của ma trận vuông cấp n: A =
mc)
md) Giải:
me)
mf) A =
mg)
mh)
mi)
 Nếu a ≠ ( 1 - n)b, a ≠ b thì rankA = n
 Nếu a = b ≠ 0 thì rank A =1
mj)
a = b = 0 thì rank A =0
 Nếu a = ( n-1)b =0 thì rankA = n -1

mk)
ml) Vì có định thức con cấp n – 1( bỏ dòng đầu, cột đầu)
mm)

mn)
mo) Định thức cấp n bằng 0
mp)