Một số hướng tư duy mới giải hệ phương trình

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trước khi trình bày mình xin đưa ra 2 phương pháp chủ yếu mà trong các đề thi thử và
các đề thi Đại Học ra đề.Đó là :
*Khảo sát hàm đặc trưng
*Rút nhân tử chung từ 1 phương trình thế vào pt còn lại.
Các dạng hpt thường giải được nhờ MTCT Casio là khá nhiều,và giúp định hướng được
nên tiếp cận 1 câu pt hpt như thế nào.Trừ một số trường hợp ngoại lệ,người ra đề muốn
khắc chế MTCT,họ sẽ ra những câu hệ mang 1 pt đánh giá AM GM (Cauchy),Cauchy
Schwarz (Bunhiacopxki) thường là mình sẽ thấy cái gì đó đặc biệt (giống giống nhau )
như x 1  y 2  y 1  x 2 ....
Dưới đây mình xin trình bày ngắn gọn một số kinh nghiệm nhỏ mình học được
A)Xử lí một trong 2 phương trình
1)Xét hàm đặc trưng

x x  y y  6
VD1 giải 
2

4 1  x  xy 4  y  0
*Quan sát : -Dùng Casio nhập pt (1),shift solve cho y=1 và 100,tìm x---Số
xấukhông giải quyết được.Dùng Casio nhập pt (2) shift solve cho y=0 tìm xSố
đẹp..Thử lần nữa cho y=100tìm xSố đẹp.
Có điều đặc biệtGiải pt (2)
-Pt 2 có 2 căn,có 2 số “4”Cứ tách x,y ra rồi đưa hết vô căn cho dễ tư duy
*Lời giải
4 1 x
2
2
(2) 
 y 4  y 2  4( ) 2  ( ) 4  4 y 2  y 4
x

x
x
Xét hàm đặc trưng dễ dàng
*Câu hỏi : Tại sao tách vế trái được như vậy ?  Đó là dựa theo vế phải
Vd2 Giải pt 3x(2  9 x 2  3)  (4 x  2)( 1  x  x 2  1)  0
*Quan sát: -Dùng Casio thử nghiệmx=-0,2
-pt 2 căncó thể ép tích.
-Nhưng hãy quan sát và cảm nhận phương trình trên.”3x” và "9 x 2 " .và

(4 y  2)( 1  x  x 2  1)  (2 x  1) (4 x 2  4 x  1)  3
-Những bài toán có “4‟‟ nhân căn… thường có kiểu giải đưa bớt số 2 vào căn như phân
tích trên.Đó là kinh nghiệm mình rút ra được.
*Lời giải
2.(3x)  3x (3x) 2  3  (2 x  1) [(2 x  1)]2  3  2(2 x  1)
Dựa vào 2 VD trên hãy giải hệ sau
2
2
2

 x y(2  2 4 y  1)  x  x  1
Vd3 
2
2
2

 x (4 y  1)  2( x  1) x  6
2)Rút nhân tử
Phương pháp chung là nhìn vào pt đa thức,nhập vào máy,Shift solve y=1 hoặc 100 hoặc
thử thêm vài nghiệm nữaTìm xQuan hệ x y

Hãy thử thực hành 1 vd đơn giản sau nhé:
 xy ( x  1)  x 3  y 2  x  y
VD1 
3 y (2  9 x 2  3 )  (4 y  2)( 1  x  x 2  1)  0
3)Đánh giá BĐT
2
2

x 2  y  y 2  x  2
 2 2

 x  y  2  ( x  3)(x  4)  x  3  16
*Quan sát: Như ở đầu đề,ta xử lí ngay pt 1.

*Gợi ý : BĐT Bunhiacopxki : | ax  by | (a 2  b 2 )(x 2  y 2 ) Dấu = xảy ra khi

a b

x y

4)PP xét đơn điệu

2 x 2 (4 x  1)  2 y 2 (2 y  1)  y  32

VD  2
1
2
x  y  x  y 
2


*Quan sát : Nhắc đến phạm vi sử dụng thường là bài toán :
-tìm được TXD x y (hay ra số đẹp ý )
-có sự tách biến trong 1 pt (Tức là có thế tách phần chứa x và y rời nhau,không có các số
như xy; x 2 y....
*Lời giải
3
1
x
1 2
1 2
 2
2
( 2)  ( x  )  ( y  )  1  

3
1
2
2


y

 2
2
3
2
3
2
(1)  (8 x  2 x )  (4 y  2 y  y  32 )  0

1 3
Xét hàm số f ( x)  8 x 3  2 x 2 x  [ ; ]
2 2
3
63
KSHS ta tìm được Maxf ( x)  f ( ) 
2
2
3 1
Xét hàm số g ( y )  4 y 3  2 y 2  y  32 y  [ ; ]
2 2
63
KSHS ta tìm được Maxg( y )  
2
 f ( x)  g ( y )  0


3

x  2


1
Dấu = xảy ra khi   y  
2


1
  y  2


Dựa theo đó,hãy làm thử VD sau
1
 3
4 x  3x  ( y  1) 2 y  1 
2

2
2 x  x   y (2 y  1)  0

B)Quan sát sự đồng bậc
Dạng này có thế coi như là cách để xét hàm đặc trưng cho những câu khó quan sát hơn.
VD1
9 x 3  2 x  ( y  1) 1  3 y  0
 2
9 x  y 2  5  6 x  6
*Quan sát: Dùng Casio shift solve cả 2 pt đều không ra đẹp.Đó không phải là hết
cách.Nghiệm xấu đó là do nhiễu nghiệm với các dấu căn.
Vậy ta hãy nhìn vào pt1 9x 3 là mũ 3,nếu đặt 1  3 y  t thì khi đó có phải

( y  1) 1  3 y cũng mũ 3 phải không ?
*Định hướng cách giải: Xét pt 1,đặt căn =t
Dựa theo đó hãy thử sức với câu sau
3
3
2

 x  3x  2  y  2 y

3
2

2

 x  2  x  3x  y  2  x  3 y

Bài tập tự luyện 1

 x  x( x  3x  3)  3 y  2  y  3  1
A)Xét hàm số 
2
3

3 x  1  x  6 x  6  y  2  1
2
2
2 x  y  3 xy  3 x  2 y  1  0
B)Rút nhân tử  2
4 x  y 2  x  4  2 x  y  x  4 y
2


C)Xử lí 2 phương trình
Đây cũng là dạng hệ khá rộng.Theo mình thực sự sẽ là rất khó nếu người ra đề muốn
đánh đố học sinh.Dưới đây mình xin trình bày các dạng cơ bản
1)Đặt ẩn phụ
Yêu cầu cơ bản của cách giải này là sự quan sát : về bậc,về sự lặp lại của các thừa số..
2
 x  1  y ( y  x)  4 y
Vd1 Giải  2
( x  1)( y  x  2)  y
*Quan sát : Nhận thấy sự lặp lại của " x 2  1" ;”y” và " y  x' ' .

Có thể định hướng giải ngay như sau
Y=0 không là nghiệm của hệ
x2 1
 a;
a  b  4
Đặt y
Hệ trở thành 
…. Rút thế giải bình thường
a(b  2)  1
yxb
4
3
2 2

x  x y  x y  1
Vd2 Giải  3
2

 x y  x  xy  1
*Quan sát : -Bậc của Vế trái pt1 là „4‟:Bậc vế trái của pt2 là „4‟.
Có 2 hướng xử lí.
1.Rút x 4 hoặc y 4 2 pt ra ngoài,có thể giải tiếp khi chia qua vế phải
2.Cộng vế theo vế,nhân chéo…Nhưng có thế thấy sau khi làm như vậy không được gì
cả(mình giới thiệu dạng khác dùng cách này )
Với hướng 1 ta thấy
(Lưu ý nhớ xét trường hợp x=0 nha)
 4
 y y2
y y2
1

x
(
1


)

1
1  2  4


2


x x
x
 x x

 x 4 ( y  1  y )  1  y  1  y   1


x x2 x3
x4

 x x2 x3
y
a
x
Đặt
1

b
x2
1  a  a 2  b 2
Hệ trở thành 
.Cộng vế theo vế 1  b  a 2  ab  0 không giải tiếp
2
a  b  ab  b
được
Nhưng nếu rút y 4 lời giải của mình như sau
(Lưu ý nhớ xét trường hợp y=0 nha)


 4 x4 x3 x2
y ( 4  3  2 )  1
y
y
y


3
2
 y 4 ( x  x  x )  1

y3 y4 y3
x
a
4
3
2
2


y
a  a  a  b
Đặt
hệ trở thành  3
2 2
2
1

a  a b  ab  b

b
y2
Cộng vế theo vế ta được
a 4  a 2  a 2 b 2  ab  0  a 2 (a 2  b 2 )  a(a  b)  0  (a  b)[ a 2 (a  b)  a]  0 …Rút
thế giải bình thường.

2)Nhân chéo 2 phương trình
 x 3  8 x  y 3  2 y
Vd  2
 x  3  3( y 2  1)
*Quan sát : Theo mình bài này có nhiều cách làm,có thế rút thế x theo y,rút
x 2  3( y 2  2) từ pt (2) thế vào (1)
Dưới đây mình trình bày lời giải theo cách khác,cho bạn đọc dễ thấy mối quan hệ về bậc
của hpt.
*Lời giải
 x 3  y 3  8 x  2 y
 2
 x  3 y 2  6
Nhân chéo 2 phương trình: 6( x 3  y 3 )  2(4 x  y )( x 2  3 y 2 )

Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3,lời giải tiếp theo xin dành cho bạn đọc.

Bài tập tự luyện 2

 x  y  xy  3
Giải 
2
2

 x 1  y 1  4
2

2

Bài tập tổng quát 1
2

 x 1  x  y  y 1
Giải 
2
2

( y  3)( y x  3 y )  6 xy  6  0

(Đề minh họa,thầy Nguyễn Văn Huy)
Mình xin trình bày bài giải của mình,các cách khác xin dành cho bạn đọc


Giải

x, y  0
(1) 

1
x2 1  x

 x2 1  x 



1
y  y 1

y  y 1

KSHS  x  y  1  y  x 2  1
Thế vào (2)Ta được
( x 2  1) 4 x  3( x 2  1) 3  3 x( x 2  1)  9( x 2  1)  6 x( x 2  1)  0


x [ x ( x 2  1) 4  3( x 2  1) 2 x  6 x 2  1]  3( x 2  1) 3  9( x 2  1)  6  0



x [ x ( x 2  1) 4  3( x 2  1) 2 x  6 x 2  1]  3x 4 ( x 2  3)  0



x [ x ( x 2  1) 4  3( x 2  1) 2 x  6 x 2  1  3x 3 x ( x 2  3)]  0

Ta CM [ x ( x 2  1) 4  3( x 2  1) 2 x  6 x 2  1  3x 3 x ( x 2  3)]  0
Thật vậy ta có 3 x 3 x ( x 2  3)  3 x ( x 2  3)  3 x ( x 2  1) (a)

x ( x 2  1) 4  6 x 2  1  3 x .(x 4  x 2 ) (b)
Ta chỉ cần CM

 ( x 2  1) 3 x( x 2  1)  6  3x 2 x( x 2  1)
 x( x 2  1)[(x 2  1) 3  3x 2 ]  6  0

 x( x 2  1)[ x 6  3x 4  1]  6  0 (đúng)
(a)+(b) vế theo vế ta có đpcm
 x  0  y 1

D)Các dạng hệ phương trình đặc biệt
…..