chuyên đề giải toán casio lớp 9 hay

Phần I: Các bài toán về đa thức
1. Tính giá trị của biểu thức:
Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( 1 3 )
4

H.Dẫn:
- Lập công thức P(x)
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng CALC
- Kết quả:

P(1,25)

=

P(-5,1289) =

; P(4,327) =
; P( 1 3 )
4

=

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10
tại x = -2,1345
H.Dẫn:
- áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 =

( x 1)(1 + x + x 2 + ... + x 9 ) x10 1
=
x 1
x 1

Từ đó tính P(0,53241) =
Tơng tự:
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) = x 2

x9 1
x 1

Từ đó tính Q(-2,1345) =
Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16;
P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
Bớc 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
Bớc 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:

a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + 1 = 0
16a + 8b + 4c + 2d + e + 4 = 0
1
1
1
1
1
a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1

81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + 9 = 0
256a + 64b + 16c + 4d + e + 16 = 0
1
1
1
1
1

625a1 + 125b1 + 25c1 + 5d1 + e1 + 25 = 0
Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2

1 Download
tai maytinhbotui.vn


Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số của x5
bằng 1 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2.
Từ đó tính đợc: P(6) =

; P(7) =

; P(8) =

; P(9) =

Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9;

P(4) = 11.

Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
- Giải tơng tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó tính đợc: P(5) =
; P(6) =

; P(7) =

; P(8) =

; P(9) =

Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6;
Tính A =

P(4) = 10.

P(5) 2 P(6)
=?
P(7)

H.Dẫn:
- Giải tơng tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) +
A=

x( x + 1)
. Từ đó tính đợc:
2

P (5) 2 P (6)
=

P (7)

Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k Z thoả mãn:
f(1999) = 2000; f(2000) = 2001
Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số.
H.Dẫn:
* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0
1999 a + b + 2000 = 0


2000 a + b + 2001 = 0

a = 1
g(x) = f(x) - x - 1

b = 1

* Tính giá trị của f(x):
- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho:
(x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)
f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1.
Từ đó tính đợc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số.

2 Download
tai maytinhbotui.vn


Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn:

- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0

a, b, c là

nghiệm của hệ phơng trình:

a + b + c + 3 = 0

9a + 3b + c + 11 = 0

25a + 5b + c + 27 = 0

a = 1

bằng MTBT ta giải đợc: b = 0
c = 2


g(x) = f(x) - x2 - 2
- Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy: g(x)
= (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2.
Ta tính đợc: A = f(-2) + 7f(6) =
Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức)
H.Dẫn:
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên:
d = 10
a + b + c + d = 12

8a + 4b + 2c + d = 4
27 a + 9b + 3c + d = 1
lấy 3 phơng trình cuối lần lợt trừ cho phơng trình đầu và giải hệ gồm 3 phơng trình ẩn a, b, c
5
25
trên MTBT cho ta kết quả: a = ; b = ; c = 12; d = 10
2
2

f ( x) =

5 3 25 2
x x + 12 x + 10 f (10) =
2
2

Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều đợc d là 6 và
f(-1) = -18. Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tơng tự nh bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x
Từ đó tính đợc f(2005) =

3 Download
tai maytinhbotui.vn


Bài 10: Cho đa thức P ( x) =

1 9 1 7 13 5 82 3 32

x x + x x + x
630
21
30
63
35

a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Giải:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên
P ( x) =

1
( x 4)( x 3)( x 2)( x 1) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4)
2.5.7.9

Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm đợc các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x nguyên thì
tích: ( x 4)( x 3)( x 2)( x 1) x( x +1)( x + 2)(x + 3(x + 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố
cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên.
4x
Bài 11: Cho hàm số f ( x) = x
. Hãy tính các tổng sau:
4 +2
a)

1
2
2001

S1 = f
+ f
+ ... + f

2002
2002
2002

b)



S 2 = f sin 2
2002


2


2
+ f sin
2002



1


2 2 0 0
+ ... + f sin

2002



H.Dẫn:
* Với hàm số f(x) đã cho trớc hết ta chứng minh bổ đề sau:
Nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1
* áp dụng bổ đề trên, ta có:
a)

1
S1 = f
2002

= 1 + ... + 1 +

10 00

20 01
+ f
+ ... + f

2002
2002


10 02
100 1
+ f

+ f


2002
2002

1 1
1
1
f + f = 10 00 + = 1 00 0, 5
2 2
2
2


b) Ta có sin 2

2002

= sin 2



S 2 = 2 f sin 2
2
0
02

2001
1000

1002

, ..., sin 2
= sin 2
2002
2002
2002

2


2
+ f sin
2002





= 2 f sin2
+
2002



. Do đó:

0
1



2 1 0 0
2 100
+ ... + f sin
+ f sin

2 0 0 2
2002




1000
2 500


f sin2
+ ... + f sin
+
2002
2002

501


f sin 2
+
2002



f sin 2
2










2
2 500
2 500
= 2 f sin 2
+ f cos
+ ... + f sin
+ f cos
+ f (1)
2002

2002
2002
2002









= 2 [1 + 1 + ... + 1] +

4
2
2
= 1000 + = 1000
6
3
3

4 Download
tai maytinhbotui.vn


2. Tìm thơng và d trong phép chia hai đa thức:
Bài toán 1: Tìm d trong phép chia đa thức P(x) cho (ax + b)
Cách giải:
b

b
b
- Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r P = 0.Q + r r = P
a
a
a

Bài 12: Tìm d trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)
Giải:
5
5
5
5
- Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r P = 0.Q + r r = P r = P
2
2
2
2
5
Tính trên máy ta đợc: r = P =
2

Bài toán 2: Tìm thơng và d trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)
Cách giải:
- Dùng lợc đồ Hoocner để tìm thơng và d trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)
Bài 13: Tìm thơng và d trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lợc đồ Hoocner, ta có:
1
0
-2

-5
1
-5
23
* Tính trên máy tính các giá trị trên nh sau:
() 5 SHIFT

STO

-3
-118

0
590

0
-2950

1
14751

-1
-73756

M

1 ì

ANPHA

M

+ 0 =

ì

ANPHA

M

+

ì

ANPHA

M

ì

ANPHA

ì

(-5) :

ghi ra giấy -5

(23) :

ghi ra giấy

- 3 =

(-118) :

ghi ra giấy -118

M

+ 0 =

(590) :

ghi ra giấy

ANPHA

M

+ 0 =

(-2950) :

ì

ANPHA

M

+ 1 =

(14751) : ghi ra giấy 14751

ì

ANPHA

M

-

- 2 =

1 =

23

590

ghi ra giấy -2950

(-73756) : ghi ra giấy -73756

x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756
Bài toán 3: Tìm thơng và d trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)

5 Download
tai maytinhbotui.vn

Cách giải:
- Để tìm d: ta giải nh bài toán 1
- Để tìm hệ số của đa thức thơng: dùng lợc đồ Hoocner để tìm thơng trong phép chia đa thức
P(x) cho (x +

b
1
) sau đó nhân vào thơng đó với ta đợc đa thức thơng cần tìm.
a
a

Bài 14: Tìm thơng và d trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
Giải:
1

- Thực hiện phép chia P(x) cho x , ta đợc:
2

1
5
7 1

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = x x 2 + x + . Từ đó ta phân tích:
2
2
4 8

1 1
5

7 1

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2. x . . x 2 + x +
2 2
2
4 8

5
7 1
1
= (2x - 1). x 2 + x +
4
8 8
2

Bài 15: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó:
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)
2
2
Ta có: P1 + m = 0 m = P1
3
3

Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại x =

2
ta đợc m =
3

Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. Tìm m, n để hai đa
thức trên có nghiệm chung x0 =

1
2

H.Dẫn:
x0 =

1
1
là nghiệm của P(x) thì m = P1 , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5
2
2

x0 =

1
1
là nghiệm của Q(x) thì n = Q1 , với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.
2
2

1
Tính trên máy ta đợc: m = P1 =
2

1
;n = Q1 =

2

6 Download
tai maytinhbotui.vn


Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có duy
nhất một nghiệm.
H.Dẫn:
a) Giải tơng tự bài 16, ta có: m =

;n =

b) P(x) (x - 2) và Q(x) (x - 2) R(x) (x - 2)
Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x) chỉ có một
nghiệm x = 2.
Bài 18: Chia x8 cho x + 0,5 đợc thơng q1(x) d r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 đợc thơng q2(x) d r2.
Tìm r2 ?
H.Dẫn:
- Ta phân tích:

x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1
q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2

- Dùng lợc đồ Hoocner, ta tính đợc hệ số của các đa thức q1(x), q2(x) và các số d r1, r2:
1

0

0

0

0

0

0

0



1
2

1



1
2

1
4

1
8

1
16



1
32

1
64





1
2

1

-1

3
4

1
2

5
16



3
16

7
64



Vậy: r2 =

1
128

0
1
256

1
16

1
16

7 Download
tai maytinhbotui.vn


Phần II: Các bài toán về Dãy số
Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm u việt hơn các MTBT khác. Sử dụng MTĐT
Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ. Nếu biết cách sử dụng
đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc MTBT giúp cho
việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự
đoán, ớc đoán về các tính chất của dãy số

(tính đơn điệu, bị chặn...), dự đoán công thức số hạng

tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy...từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách
giải bài toán một cách sáng tạo. Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn
hình thành cho học sinh những kỹ năng, t duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học.
Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy số thờng gặp trong chơng trình,
trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT:
I/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số:
1) D y số cho bởi công thức số hạng tổng quát:

un = f(n), n N*

trong đó f(n) là biểu thức của
n cho trớc.

Cách lập quy trình:
- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A :

1 SHIFT

- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ :
- Lặp dấu bằng:

A

STO A
=

A

+ 1

= ... = ...

Giải thích:
1 SHIFT
f(A)

:

STO A
A

=

A

: ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A

+ 1 : tính un = f(n) tại giá trị A (khi bấm dấu bằng thứ lần nhất) và thực

hiện gán giá trị ô nhớ A thêm 1 đơn vị: A = A + 1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai).
* Công thức đợc lặp lại mỗi khi ấn dấu =

8 Download
tai maytinhbotui.vn


Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
n
n
1 1 + 5 1 5

un =

; n= 1, 2,3...
5 2 2



Giải:
- Ta lập quy trình tính un nh sau:
1 SHIFT

STO A

( 1 ữ

5 )

(

5 )

ữ 2 )



A

(

( 1 +

ANPHA

A )

5 )

ữ 2 )

ANPHA

:



A

- (

( 1 -

ANPHA

=

ANPHA

ANPHA

ANPHA

A

+ 1=

- Lặp lại phím: = ... = ...
Ta đợc kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21,
u9 = 34, u10 = 55.
2) D y số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:

u1 = a

un+1 = f(un ) ; n N*

trong đó f(un) là biểu thức của
un cho trớc.

Cách lập quy trình:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a =
- Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta nhập bằng ANS )
- Lặp dấu bằng: =
Giải thích:
- Khi bấm: a = màn hình hiện u1 = a và lu kết quả này
- Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím ANS , bấm dấu = lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính u2 =
f(u1) và lại lu kết quả này.
- Tiếp tục bấm dấu = ta lần lợt đợc các số hạng của dãy số u3, u4...
Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

9 Download
tai maytinhbotui.vn


u1 = 1

un + 2

=
u
, n N *
1
n
+

un + 1

Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số nh sau:
1 =
(

(u1)
ữ

ANS + 2 )

(

ANS + 1 )

=

(u2)

= ... =

- Ta đợc các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy:
u1 = 1

u8 = 1,414215686

u2 = 1,5

u9 = 1,414213198

u3 = 1,4

u10 = 1,414213625

u4 = 1,416666667

u11 = 1,414213552

u5 = 1,413793103

u12 = 1,414213564

u6 = 1,414285714

u13 = 1,414213562

u7 = 1,414201183

u14 =...= u20 = 1,414213562

Ví dụ 2: Cho dãy số đợc xác định bởi:

u1 = 3 3

3
3
u n +1 = ( u n ) , n N *
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên.
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số nh sau:
3

SHIFT
ANS
=

=



3 =

(u1)

SHIFT

3

3 =

(u2)

(u4 = 3)

Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên.
3) D y số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:

u1 = a, u2 = b
10 Download

tai maytinhbotui.vn

un+2 = Au n+1+ Bu n + C ; n N*


Cách lập quy trình:
* Cách 1:
Bấm phím: b SHIFT

STO A

ì A + B ì a + C SHIFT

STO B

Và lặp lại dãy phím:
ì A +

ANPHA A

ì B + C SHIFT

STO A

ì A +

ANPHA B

ì B + C SHIFT

STO B

Giải thích: Sau khi thực hiện
b SHIFT

STO A

ì A + B ì a + C SHIFT

STO B

trong ô nhớ A là u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C và đẩy vào trong ô
nhớ B , trên màn hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C
Sau khi thực hiện: ì A +

ANPHA

A

ì B + C SHIFT

STO

A máy tính tổng u4 :=

Au3 + Bu2 + C và đa vào ô nhớ A . Nh vậy khi đó ta có u4 trên màn hình và trong ô nhớ A
(trong ô nhớ B vẫn là u3).
Sau khi thực hiện: ì A +

ANPHA

B

ì B + C SHIFT

STO

B máy tính tổng u5 :=

Au4 + Bu3 + C và đa vào ô nhớ B . Nh vậy khi đó ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ B
(trong ô nhớ A vẫn là u4).
Tiếp tục vòng lặp ta đợc dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C
*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức năng COPY để lập lại dãy lặp
bởi quy trình sau (giảm đợc 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy số), thực hiện quy
trình sau:
Bấm phím: b SHIFT



STO A

ì A + B ì a + C SHIFT

STO B

ì A +

ANPHA A

ì B + C SHIFT

STO A

ì A +

ANPHA B

ì B + C SHIFT

STO B

SHIFT

COPY

Lặp dấu bằng: = ... = ...
* Cách 2: Sử dụng cách lập công thức
Bấm phím:

a SHIFT

11 Download
tai maytinhbotui.vn


A b SHIFT

STO B

ANPHA C

ANPHA = A ANPHA B

+ B ANPHA A

ANPHA

:

ANPHA A

ANPHA =

ANPHA B

ANPHA

:

ANPHA B

ANPHA =

ANPHA C

+ C

Lặp dấu bằng: = ... = ...
Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi:

u 1 = 1, u 2 = 2

u n+2 = 3u n+1+ 4 u n + 5 ; n N*
Hãy lập quy trình tính un.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
2 SHIFT

STO A

ì 3 + 4 ì 1 + 5 SHIFT

STO B

ì 3 +

ANPHA A

ì 4 + 5 SHIFT

STO A

ì 3 +

ANPHA B

ì 4 + 5 SHIFT

STO B

SHIFT

COPY

= ... = ...

ta đợc dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671...
Hoặc có thể thực hiện quy trình:
1 SHIFT

STO A 2 SHIFT

STO B

ANPHA C

ANPHA = 3 ANPHA B

+ 4 ANPHA A

ANPHA

:

ANPHA A

ANPHA =

ANPHA B

ANPHA

:

ANPHA B

ANPHA =

ANPHA C

+ 5

= ... = ...

ta cũng đợc kết quả nh trên.

12 Download
tai maytinhbotui.vn


4) D y số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng:
Trong đó f ({ n, un } ) là kí
hiệu của biểu thức un+1 tính
theo un và n.

u1 = a

un+1 = f ( { n, un } ) ; n N*
* Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của d y:
- Sử dụng 3 ô nhớ:

A : chứa giá trị của n
B : chứa giá trị của un
C : chứa giá trị của un+1

- Lập công thức tính un+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số hạng tiếp theo của
dãy
- Lặp phím : =
Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi:

u1 = 0


n
u n+1 = n+1 ( u n +1 ) ; n N*
Hãy lập quy trình tính un.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
1 SHIFT

STO A

ANPHA C
ì

(

ANPHA =

ANPHA B

ANPHA A

0 SHIFT

+ 1 )

STO B

(

ữ

ANPHA A
ANPHA

+ 1 ANPHA

:

3
,
2

5
,
2

:

(

ANPHA A

ANPHA A

ANPHA B

+ 1 ) )

ANPHA =

ANPHA =

ANPHA C

= ... = ...

ta đợc dãy:

1
,
2

1,

2,

3,

7
,...
2

II/ Sử dụng MTBT trong việc giải một số dạng toán về dãy số:

13 Download
tai maytinhbotui.vn


1). Lập công thức số hạng tổng quát:
Phơng pháp giải:
- Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số
- Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát
- Chứng minh công thức tìm đợc bằng quy nạp
a1 = 0

n ( n + 1)

=
a
( a n + 1) ;
+
1
n

( n + 2)( n + 3)


Ví dụ 1: Tìm a2004 biết:

Giải:

n N *

- Trớc hết ta tính một số số hạng đầu của dãy (an), quy trình sau:
1

STO A 0 SHIFT

SHIFT

ANPHA C
ữ (

(

(

ANPHA =

B

ANPHA A

+ 2 )

ANPHA A

ANPHA

STO B

+1 )

ANPHA

(

ANPHA A

ANPHA A
:

ANPHA

ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA B

- Ta đợc dãy:

(

+ 3 )
A

+ 1 )
)

ì

ANPHA =

ANPHA = ANPHA C

1 7
27 11 13 9
,
,
,
,
, , ...
6 20 50 15 14 8

- Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên:
a1 = 0
a2 =

1 5
1.5
=
=
6 30 3.10

a3 =

7 2.7 2.7
=
=
20 40 4.10

a4 =

27 3.9
=
50 5.10

...
a2004 =



dự đoán công thức số hạng tổng quát:


( n 1)(2 n + 1)
a =

10( n + 1)

chứng minh công thức (1) đúng
* Dễ dàng
với mọi n N bằng quy nạp.

n

(1)

*

2003.4009

20050

14 Download
tai maytinhbotui.vn


a1 = 1, a2 = 3

*
an + 2 = 2 an a n + 1 ; n N

Ví dụ 2: Xét dãy số:

Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phơng.
Giải:
- Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình:
3 SHIFT

STO A

ì 2 - 1 + 1 SHIFT

STO B

ì 2 -

ANPHA A

+ 1 SHIFT

STO A

ì 2 -

ANPHA B

+ 1 SHIFT

STO B



SHIFT

COPY

= ... = ...

- Ta đợc dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...
- Tìm quy luật cho dãy số:
1(1 + 1)
2
2(2 + 1)
a2 = 3 =
2
3(3 + 1)
a3 = 6 =
2
4(4 + 1)
a4 = 10 =

2
5(5 + 1)
a5 = 15 =
2

a1 = 1 =

...



dự đoán công thức số hạng tổng quát:


n(n + 1)
a =
(1)

2

* Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1)

đúng với mọi n N

n

*

Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2.
A là một số chính phơng.

Cách giải khác: Từ kết quả tìm đợc một số số hạng đầu của dãy,ta thấy:
- Với n = 1 thì A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2
- Với n = 2 thì A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2
- Với n = 3 thì A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2
Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2

(*)

Bằng phơng pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh đợc (*).
2). Dự đoán giới hạn của d y số:

15 Download
tai maytinhbotui.vn


2.1. Xét tính hội tụ của dãy số:
Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính đợc nhiều số hạng của dãy số một cách nhanh chóng.
Biểu diễn dãy điểm các số hạng của dãy số sẽ giúp cho ta trực quan tốt về sự hội tụ của dãy số, từ
đó hình thành nên cách giải của bài toán.
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của dãy số (an):

an =
Giải:
- Thực hiện quy trình:
MODE 4 2
sin

(

1 SHIFT
ANPHA A

ANPHA

:

sin( n )
;
n +1

n N *

STO A
ữ

)

ANPHA A

(

ANPHA A

ANPHA =

+ 1 )

ANPHA A

+ 1

= ... = ...

ta đợc kết quả sau (độ chính xác 10-9):
n

an

n

an

n

an

n

an

1
2
3
4
5
6
7
8
9

10
11
12

0,420735492
0,303099142
0,035280002
-0,151360499
-0,159820712
-0,039916499
0,082123324
0,109928694
0,041211848
-0,049456464
-0,083332517
-0,041274839

13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

0,030011931
0,06604049
0,04064299
-0,016935489
-0,053410971
-0,039525644
0,00749386
0,043473583
0,038029801
-0,000384839
-0,035259183
-0,036223134

25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36

-0,005090451
0,028242905
0,034156283
0,009341578

-0,022121129
-0,031871987
-0,012626176
0,016709899
0,029409172
0,015116648
-0,011893963
-0,026804833

37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48

-0,016935214
0,007599194
0,024094884
0,018173491
-0,00377673
-0,021314454
-0,018903971
0,000393376

0,018497902
0,019186986
0,00257444
-0,015678666

- Biểu diễn điểm trên mặt phẳng toạ độ (n ; an):
an

n

Dựa vào sự biểu diễn trên giúp cho ta rút ra nhận xét khi n càng lớn thì an càng gần 0 (an 0) và đó
chính là bản chất của dãy hội tụ đến số 0.

16 Download
tai maytinhbotui.vn


2.2. Dự đoán giới hạn của dãy số:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số (un), (n = 1, 2, 3...) xác định bởi:

u1 = 2

un +1 = 2 + un ; n N *
có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
2 =
( 2 +

ANS

)

= ... = ...

ta đợc kết quả sau (độ chính xác 10-9):
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

un
1,414213562
1,847759065
1,961570561
1,990369453
1,997590912
1,999397637
1,999849404
1,999962351
1,999990588
1,999997647

n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

un
1,999999412
1,999999853
1,999999963
1,999999991
1,999999998
1,999999999
2,000000000
2,000000000
2,000000000
2,000000000

Dựa vào kết quả trên ta nhận xét đợc:
1) Dãy số (un) là dãy tăng
2) Dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2
Chứng minh nhận định trên:
+ Bằng phơng pháp quy nạp ta chứng minh đợc dãy số (un) tăng và bị chặn
giới hạn.

dãy (un) có

+ Gọi giới hạn đó là a: limun = a. Lấy giới hạn hai vế của công thức truy hồi xác định dãy số (un) ta
đợc:
a 0
limun = lim( 2 + un ) hay a = 2 + a 2
a=2
a
2
a
=
+

Vậy: lim un = 2

17 Download
tai maytinhbotui.vn


Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, 3...) xác định bởi:
x1 = x2 = 1


2 2
2
xn +1 = 5 xn +1 + 5 sin( xn ) , n N *
Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn của nó.

Giải:

- Thực hiện quy trình:
MODE 4 2

1 SHIFT STO A

+

( 2 SHIFT

x2

ì

ì

sin

x2

ì

ì

sin



ì

( 2 ữ 5 SHIFT

ì

sin

ữ 5 )

( 2 ữ 5 SHIFT
(

ANPHA A

)

)

SHIFT

( 2 ữ 5 SHIFT
(

ANPHA B

SHIFT

+

)

)

+

SHIFT

( 1 )

SHIFT

( 2 SHIFT

)
STO B
ữ 5 )

STO A
( 2 SHIFT

ữ 5 )

STO B

COPY

= ... = ...

ta tính các số hạng đầu của dãy số (xn) và rút ra những nhận xét sau:
1) Dãy số (xn) là dãy không giảm
2) x50 = x51 =... = 1,570796327 (với độ chính xác 10-9).
3) Nếu lấy xi (i = 50, 51,...) trừ cho

dự đoán giới hạn của dãy số bằng

2


2

ta đều nhận đợc kết quả là 0.
.

Chứng minh nhận định trên:
+ Bằng phơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đợc xn (0 ;


2

) và dãy (xn) không giảm

dãy (xn) có giới hạn.
+ Gọi giới hạn đó bằng a, ta có:

a=

2 2 2
a +
sin(a ) , (1).
5

5

+ Bằng phơng pháp giải tích (xét hàm số f ( x) =
=


2

2 2 2
sin( x) x ) ta có (1) có nghiệm là a
x +
5
5

.

Vậy: lim xn =


2

.

18 Download
tai maytinhbotui.vn


3). Một số dạng bài tập sử dụng trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT:
Bài 1: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2,...):

( 2 + 3 ) ( 2
=
n

un

3

)

n

2 3

a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên.
b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3.
Bài 2: Cho dãy số (an) đợc xác định bởi:
a o = 2

2
a n +1 = 4 a n + 15 a n 60 ,

n N *

a) Xác định công thức số hạng tổng quát an.
1
b) Chứng minh rằng số: A = ( a2 n + 8 ) biểu diễn đợc dới dạng tổng bình phơng của 3 số
5
nguyên liên tiếp với mọi n 1.
Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:

uo = 0, u1 = 1

un + 2 = 1999un+1 un , n N
Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố.
Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi:
a1 = 5, a 2 = 11

a n +1 = 2 a n 3a n 1 ,

n 2, n N

Chứng minh rằng:
a) Dãy số trên có vô số số dơng, số âm.
b) a2002 chia hết cho 11.
Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi:
a1 = a 2 = 1

a n21 + 2

,
a
=
n

an 2


n 3, n N

Chứng minh an nguyên với mọi n tự nhiên.
Bài 6: Dãy số (an) đợc xác định theo công thức:

(

)

n
n
n
an = 2 + 3 , n N * ; (kí hiệu ( 2 + 3 ) là phần nguyên của số ( 2 + 3 ) ).





Chứng minh rằng dãy (an) là dãy các số nguyên lẻ.

19 Download
tai maytinhbotui.vn


Phần III: Các bài toán về số
1. Tính toán trên máy kết hợp trên giấy:
Bài 1: a) Nêu một phơng pháp (kết hợp trên máy và trên giấy) tính chính xác kết quả của phép tính
sau: A = 12578963 x 14375
b) Tính chính xác A
c) Tính chính xác của số: B = 1234567892
d) Tính chính xác của số: C = 10234563
Giải:

a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm nh sau:
A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375
* Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750 12578.103.14375 = 180808750000
* Tính trên máy: 963.14375 = 13843125
Từ đó ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 (Tính trên máy)
Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 và cộng trên máy:
808750000 + 13843125 = 822593125 A = 180822593125
b) Giá trị chính xác của A là: 180822593125
c) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892
Tính trên máy: 123452

= 152399025

2x12345x6789 = 167620410
67892

=

46090521

Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521
= 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521= 15241578750190521
d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3
= 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563
Tính trên máy:
10233

= 1070599167
2

3.1023 .456
3.1023.456
456

3

2

= 1431651672
=

638155584

=

94818816

Vậy (tính trên giấy): C = 1070599167000000000 + 1431651672000000 +

+ 638155584000

+ 94818816 = 1072031456922402816

20 Download
tai maytinhbotui.vn


Bài 2 (Thi giải Toán trên MTBT khu vực - Năm học 2003-2004)
Tính kết quả đúng của các tích sau:
a) M = 2222255555 x 2222266666

b) N = 20032003 x 20042004
Đáp số: a) M = 4938444443209829630

b) N = 401481484254012

Bài 3: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Tính kết quả đúng của các phép tính sau:
a) A = 1,123456789 - 5,02122003
b) B = 4,546879231 + 107,3564177895
Đáp số: a) A =

b) B =

Bài 4: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Tính kết quả đúng của phép tính sau:
A = 52906279178,48 : 565,432
Đáp số:

A=

1012 + 2
Bài 5: Tính chính xác của số A =

3

2

Giải:
- Dùng máy tính, tính một số kết quả:
102 + 2

= 34
3

2

102 + 2

= 1156
3

và

2

103 + 2
= 334 và
3

103 + 2

= 111556
3
2

104 + 2
104 + 2
= 3334 và
= 11115556
3
3

Nhận xét:

10k + 2
là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số 4
3
2

10k + 2

là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng là 6
3

* Ta dễ dàng chứng minh đợc nhận xét trên là đúng và do đó:
A = 111111111111555555555556

21 Download
tai maytinhbotui.vn


2. Tìm số d trong phép chia số a cho số b:
Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao
cho:
a = bq + r và 0 r < |b|
* Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm d trong phép chia a cho b:
+ Bớc 1: Đa số a vào ô nhớ A , số b vào ô nhớ B
+ Bớc 2: Thực hiện phép chia A cho B
- q ì

+ Bớc 3: Thực hiện A

{ghi nhớ phần nguyên q}

B =r

Bài 5: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số d khi chia 18901969 cho 3041975
b) Tính số d
c) Viết quy trình ấn phím để tìm số d khi chia 3523127 cho 2047. Tìm số d đó.
Giải:
a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B
ANPHA A
SHIFT

A

ữ

ANPHA B

- 6 ì

B

=

=

(6,213716089)

(650119)

b) Số d là: r = 650119
c) Tơng tự quy trình ở câu a), ta đợc kết quả là: r = 240
Bài 6: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003)
Tìm thơng và số d trong phép chia: 123456789 cho 23456
Đáp số: q = 5263; r = 7861
Bài 7: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Tìm số d trong phép chia:
a) 987654321 cho 123456789
b) 815 cho 2004
H.Dẫn:
a) Số d là: r = 9
b) Ta phân tích: 815 = 88.87
- Thực hiện phép chia 88 cho 2004 đợc số d là r1 = 1732
- Thực hiện phép chia 87 cho 2004 đợc số d là r2 = 968
Số d trong phép chia 815 cho 2004 là số d trong phép chia 1732 x 968 cho 2004
Số d là: r = 1232

3. Tìm ớc chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN):

22 Download
tai maytinhbotui.vn


Bổ đề (cơ sở của thuật toán Euclide)
Nếu a = bq + r thì (a, b) = (b, r)
Từ bổ đề trên, ta có thuật toán Euclide nh sau (với hai số nguyên dơng a, b):
- Chia a cho b, ta đợc thơng q1 và d r1: a = bq1 + r1

- Chia b cho r1, ta đợc thơng q2 và d r2: b = r1q2 + r2
- Chia r1 cho r2, ta đợc thơng q3 và d r3: r1 = r2q3 + r3
....
Tiếp tục quá trình trên, ta đợc một dãy giảm: b, r1, r2, r3... dãy này dần đến 0, và đó là các số tự
nhiên nên ta se thực hiện không quá b phép chia. Thuật toán kết thúc sau một số hữu hạn bớc và bổ
đề trên cho ta:
(a, b) = (b, r1) = ... rn
Định lí: Nếu x, y là hai số nguyên khác 0, BCNN của chúng luôn luôn tồn tại và bằng:

xy
( x, y )
Bài 8: Tìm UCLN của hai số:
a = 24614205, b = 10719433
Giải:
* Thực hiện trên máy thuật toán tìm số d trong phép chia số a cho số b, ta đợc:
- Chia a cho b đợc:

24614205 = 10719433 x 2 + 3175339

- Chia 10719433 cho 3175339 đợc: 10719433 = 3175339 x 3 + 1193416
- Chia 3175339 cho 1193416 đợc:

3175339 = 1193416 x 2 + 788507

- Chia 1193416 cho 788507 đợc:

1193416 = 788507 x 1 + 404909

- Chia 788507 cho 404909 đợc:

788507 = 404909 x 1 + 383598

- Chia 404909 cho 383598 đợc:

404909 = 383598 x 1 + 21311

- Chia 383598 cho 21311 đợc:

383598 = 21311 x 18 + 0

UCLN(a, b) = 21311

Bài 9: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Tìm ớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của:
a = 75125232 và b = 175429800
Đáp số: UCLN(a, b) =

; BCNN(a, b) =

4. Một số bài toán sử dụng tính tuần hoàn của các số d khi nâng lên luỹ thừa:

23 Download
tai maytinhbotui.vn


Định lí: Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số d của phép chia a, a2, a3, a4... cho m lặp lại
một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu).
Chứng minh. Ta lấy m + 1 luỹ thừa đầu tiên:
a, a2, a3, a4..., am, am+1
và xét các số d của chúng khi chia cho m. Vì khi chia cho m chỉ có thể có các số d {0, 1, 2, ..., m

- 2, m - 1}, mà lại có m + 1 số, nên trong các số trên phải có hai số có cùng số d khi chia cho m.
Chẳng hạn hai số đó là ak và ak + l, trong đó l > 0.
Khi đó:
ak ak + l (mod m)

(1)

Với mọi n k nhân cả hai vế của phép đồng d (1) với an - k sẽ đợc:
an an + l (mod m)
Điều này chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí tơng ứng với ak các số d lặp lại tuần hoàn.
Số l đợc gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số d khi chia luỹ thừa của a cho m.
Sau đây ta xét một số dạng bài tập sử dụng định lí trên:
Bài toán: Xét các luỹ thừa liên tiếp của số 2:
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,...
Tìm xem khi chia các luỹ thừa này cho 5 nhận đợc các loại số d nào ?
Giải: Ta có:
21 = 2,

23 = 8 3 (mod 5),

22 = 4,

24 = 16 1 (mod 5)

(1)

5

Để tìm số d khi chia 2 cho 5 ta nhân cả hai vế phép đồng d (1) với 2 sẽ đợc:
25 = 24.2 1x2 2 (mod 5)

26 = 25.2 2x2 4 (mod 5)
27 = 26.2 4x2 3 (mod 5)
...
Ta viết kết quả vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng dới ghi số d tơng ứng khi chia các
luỹ thừa này cho 5:
21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

211

...

(2

4

3

1)

(2

4

3

1)

(2

4

3

...

hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số d lập lại một cách tuần hoàn: sau 4 số d (2, 4, 3, 1) lại lặp

lại theo đúng thứ tự trên.
Bài 10: Tìm số d khi chia 22005 cho 5
Giải:

24 Download

tai maytinhbotui.vn


* áp dụng kết quả trên: ta có 2005 1 (mod 4) số d khi chia 22005 cho 5 là 2
4

Bài 11: Tìm chữ số cuối cùng của số: 23
Giải:

- Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện
theo quy trình sau:
1 SHIFT STO A 2
ANPHA

:

ANPHA A

ANPHA A

ANPHA =

+ 1 =

ANPHA A

= ...)

ta đợc kết quả sau:
21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

211

...

(2

4

8

6)

(2

4

8

6)

(2

4

8

...

hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số d lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số (2, 4, 8, 6)

ta có 34 = 81 1 (mod 4) số d khi chia 23 cho 10 là 2
4

4

Vậy chữ số cuối cùng của số 23 là 2.
Bài 12: Tìm hai chữ số cuối cùng của số:
A = 21999 + 22000 + 22001
Giải: Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, thực
hiện theo quy trình nh bài 11), ta đợc kết quả sau:
21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

211

212

2

(4

8

16

32

64

28

56

12

24

48

96

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

92

84

68

36

72

44

88

76

52)

(4

8

16

các số d lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số 4 đến số 52). Ta có:

1999 19 (mod 20) số d khi chia 21999 cho 100 là 88
2000 0 (mod 20)
số d khi chia 22000 cho 100 là 76
2001 1 (mod 20)
số d khi chia 22001 cho 100 là 52
88 + 76 + 52 = 216 16 (mod 100)
số d của A = 21999 + 22000 + 22001 khi chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng của số A là 16.

25 Download
tai maytinhbotui.vn