Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (445.14 KB, 22 trang )
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
44
Phương trình lượng giác
Phương trình lượng giác
3
91/ sinx + sin2x = 3 (cosx + cos2x); 92/ tanx = cotx + 4cos 2x
93/ 3 – tanx.( tanx + 2sinx ) + 6.cosx = 0
94/ 3.cos4x – 8.cos6x + 2.cos2x + 3 = 0
3
cos 2x 1
=
− (sin 2x + cos 2x)
2 1 + tan x 2
7π ⎞
⎛
96/ tanx – cot ⎜ 2x − ⎟ = tan 3x
2 ⎠
⎝
3
97/ cos4 x + sin4 x – sin 2x + sin2 2x = 0
4
95/ cot x –
1
x
x⎞
⎠
2
103/ 2.sin22x + sin7x – 1 = sinx; 104/ ⎜ sin + cos ⎟ + 3.cos x = 2
2
2
105/
2.(cos6 x + sin 6 x) − sin x.cos x
x
= 0 ; 106/ cot x + sin x.(1 + tan x.tan ) = 4
2
2 − 2.sin x
107/ cos3x + cos2x – cosx – 1=0; 108/ cos23x.cos2x – cos2 x = 0
109/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
π
π
3
110/ cos 4 x + sin 4 x + cos⎛⎜ x − ⎞⎟. sin⎛⎜ 3x − ⎞⎟ − = 0
⎝
4⎠
⎝
sin x
;
cos x
b/ cot x =
cos x
;
sin x
c/ cos2x + sin2x = 1
d/ tanx.cotx = 1
1
e/ 1 + tan2x =
cos 2 x
f/ 1 + cot2x =
cos(− α) = cos α
sin(− α) = − sinα
tan(− α) = − tanα
cot(− α) = − cotα
101/ 2sinx (1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
102/ (1 + sin2x).cosx + (1 + cos2x).sinx = 1 + sin2x
⎛
⎝
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1/ Các hệ thức cơ bản:
1
sin 2 x
CHÚ Ý: sinx = cosx.tanx; cosx = sinx.cotx
2/ Cung (góc) liên kết:
a/ Hai cung đối nhau:
b/ Hai cung bù nhau:
⎛ 7π
⎞
= 4sin ⎜
− x⎟
π
3
⎛
⎞
⎝ 4
⎠
sin ⎜ x − ⎟
2 ⎠
⎝
3
100/ sin x – 3 cos3x = sinx.cos2x – 3 sin2x cosx
1
+
sin x
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
a/ tan x =
98/ cos3 4x = cos 3x .cos3 x + sin 3x .sin3 x
99/
1
4⎠ 2
111/ (2.cosx – 1).(2.sinx + cosx) = sin2x – sinx
cos 2x
1
+ sin 2 x − .sin 2x
1 + tan x
2
2
x
⎛ x π⎞
113 / cotx – tanx + 4sin2x =
; 114/ sin 2 ⎜ − ⎟ .tan 2 x − cos 2 = 0
2
sin 2 x
⎝2 4⎠
112/ cot x − 1 =
115/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
116/ Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0;2 π ) của phương trình :
cos3x + sin 3x ⎞
⎛
5 ⎜ sin x +
⎟ = cos 2x + 3
1 + 2sin 2x ⎠
⎝
117/ Tìm nghiệm x∈[0;14] của pt: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0
cos(π − α) = − cosα
sin(π − α) = sinα
tan(π − α) = − tanα
cot(π − α) = − cotα
c/ Hai cung phụ nhau:
d/ Hai cung hơn kénh nhau π:
π
π
sin(π + α ) = −sinα
cos( − α) = sinα; sin( − α) = cosα
2
2
cos(π + α ) = −cosα
π
π
tan(π + α ) = tanα
tan( − α) = cotα; cot( − α) = tanα
2
2
cot(π + α ) = cotα
CHÚ Ý: sin(α + k2π) = sinα; cos(α + k2π) = cosα;
tan(α + kπ) = tanα; cot(α + kπ) = cotα
3/ Công thức cộng:
tan a ± tan b
cos(a ± b) = cosa cosb ∓ sinasinb
tan(a ± b) =
1 ∓ tan a tan b
sin(a ± b) = sinacosb ± sinbcosa
4/ Công thức nhân:
a/ Công thức nhân đôi:
b/ Công thức nhân ba:
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − 1
= 1 − 2sin2a
tan2a =
2 tan a
1 − tan 2 a
sin3a = 3sina − 4sin3a
cos3a = 4cos3a − 3cosa
tan 3a =
3 tan a − tan 3 a
1 − 3 tan 2 a
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
5/ Công thức hạ bậc: cos2a =
2
1 + cos 2a
;
2
Phương trình lượng giác
sin2a =
2 tan x
6/ Công thức tính theo tanx: sin2x =
;
1 + tan 2 x
7/ Công thức biến đổi:
a/ tích thành tổng:
1
2
1
sinasinb= − [cos(a+b)−cos(a−b)]
2
1
sinacosb= [sin(a+b)+sin(a−b)]
2
cosacosb= [cos(a+b)+cos(a−b)]
1 − cos 2a
2
1 − tan 2 x
cos2x =
;
1 + tan 2 x
Phương trình lượng giác
66/
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
43
sin x + co s x 1
1
= cot 2 x −
;
5sin 2 x
2
8sin 2 x
4
4
68/ cos 2x + cos x ( 2 tan 2 x − 1) = 2
67/
s inx
3π ⎞
⎛
− tan ⎜ x − ⎟ = 2
cos x + 1
2 ⎠
⎝
b/ tổng thành tích:
1
1
−
= 2 cot 2 x
2sin x sin 2 x
70/ sin 3 x − 3sin 2 x − cos 2 x + 3sin x + 3cos x − 2 = 0 .
cosa+cosb = 2cos
π
71/ (1 + 2cos3x)sinx + sin2x = 2sin2 ⎛⎜ 2x + ⎞⎟
a+b
a −b
cos
2
2
a+b
a −b
cosa−cosb = −2sin
sin
2
2
a+b
a −b
sina+sinb = 2 sin
cos
2
2
a+b
a −b
sina−sinb = 2 cos
sin
2
2
sin(a ± b)
tana ± tanb =
cos acob
69/ sin 2 x + sin x −
⎝
4⎠
2
72/ 3 (2cos x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0
73/ ( 2sin x − 1)( 2cos 2x + 2sin x + 3) = 4sin 2 x − 1.
1
1
= 2 cot 2x
−
2 sin x sin 2 x
5x π ⎞
3x
⎛ x π ⎞
− ⎟ − cos⎜ − ⎟ = 2 cos
2
4 ⎠
2
⎝2 4 ⎠
74/ sin 2 x + sin x −
⎛
⎝
75/ sin ⎜
(2 − sin 2 2 x ) sin 3 x
76/ tan x + 1 =
; 77/ 1 − 1 = 2 2 cos( x + π )
4
cos x sin x
4
cos x
78/ 2sinx.cos2x + sin2x.cos2x = sin4x.cosx
79/ (2sin2x – 1).tan22x + 3.(2.cos2x – 1) = 0
80/ 2cos2x + 2 3 .sinxcosx + 1 = 3( sinx + 3 .cosx )
sin 2x
cos 2x
π ⎞
⎛
81/
+
= tan x − cot x ; 82/ 2 2 . sin ⎜ x −
⎟. cos x = 1
4
sin x
⎝
π⎞
⎛
83/ 2 2 . cos 3 ⎜ x − ⎟ − 3 cos x − sin x = 0
4⎠
⎝
84/ Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0 , π ) của pt:
3π ⎞
2 x
2⎛
cos x
12 ⎠
− 3 cos 2 x = 1 + 2. cos ⎜ x −
⎟
4 ⎠
2
⎝
π
cos 2x − 1
85/ tan ⎛⎜ x + ⎞⎟ − 3.tan 2 x =
2⎠
cos 2 x
⎝
4 sin
86/ sinx.cos2x + cos2x.(tan2x – 1) + 2.sin3x = 0
87/ sin2x + cos2x + 3.sinx – cosx – 2 = 0
⎛ 3π
⎞
sin x
88/ tan ⎜ − x ⎟ +
= 2;
89/ 1 − sin x + 1 − cos x = 1
⎝ 2
⎠ 1 + cos x
90/ (sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
42
37/ 2sinx + cosx = sin2x + 1
Phương trình lượng giác
38/ cos 2x − tan2 x =
1 + s inx 1
− sin 2x = cosx
cosx
2
7x
3x
x
5x
40/ sin cos + sin cos + sin 2 x cos 7 x = 0
2
2
2
2
2
3
cos x + cos x − 1
cos2 x
43/ sin2x + 2 2 cosx + 2sin(x +
π
4
⎠
⎝
⎠
⎝
cos x − sin 2 x
= 3
2 cos 2 x − sin x − 1
⎠
1
46/ 4(sin x + cos x) + sin4x − 2 = 0 ; 47/ cosx.cos2x.sin3x = sin2x
4
2
3
48/ 2(tgx − sin x) + 3(cot gx − cos x) + 5 =
+
cos x sin x
4
4
49/ Định m để pt sau có nghiệm
π⎞ ⎛
⎛
π⎞
π⎞
⎛
4sin3xsinx + 4cos ⎜ 3x - ⎟ cos ⎜ x + ⎟ − cos 2 ⎜ 2x + ⎟ + m = 0
4⎠
4⎠
4⎠
⎝
⎝
⎝
4
4
2 ( cos x − sin x )
sin x + cos x 1
1
=
; 51/
50/
= ( tan x + cot x )
tan x + cot 2 x
cot x − 1
sin 2 x
2
52/ (2 cos x − 1)(sin x + cos x ) = 1
53/ cos3 x − 4 sin 3 x − 3 cos x sin2 x + sin x = 0
x⎞
⎛
54/ cot x + sin x ⎜⎜1 + tan x. tan ⎟⎟ = 4
⎝
2⎠
3 (sin x + tan x )
11
− 2 cos x = 2
55/ tan2 x + cot2 x + cot2 2x = ; 56/
tan x − sin x
3
57/ 2 s in3x (1 − 4 sin2 x ) = 1
58/ (1 − tan x )(1 + s in2x ) = 1 + tan x
59/ cos 7x.cos 5x − 3 s in2x=1 − sin 7x s in5x
1
π⎞ 1
⎛
61/ sin 4 x + cos4 ⎜⎜x + ⎟⎟ =
⎝
sin2x
4⎠ 4
62/ 9 sin x + 6 cos x − 3 s in2x+cos2x = 8
3
π
63/ 1 + sin 3 x + cos3 x = s in2x 64/ 2 sin 2 ( x − ) = 2 sin 2 x − tan x .
2
4
3
65/ sin 2 x ( cos x + 3) − 2 3cos x − 3 3cos2 x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 = 0 .
60/ 2 tan x + cot2x = 2 s in2x+
(
4⎠
3 2
)
2
8
2 2
⎛ 1⎞
Ta có: cos a = 1 − sin a = 1 − ⎜ − ⎟ = ⇒ cosa = ±
9
3
⎝ 3⎠
π
3π
2 2
Vì nên cosa = −
2
3
2
1
2 2
2 2
)=
y sin2a = 2sina.cosa = − .(−
3
3
9
2
π⎞
π⎞
π⎞
π
⎛
⎛
⎛
45/ cos 2 ⎜ x + ⎟ + cos 2 ⎜ 2 x + ⎟ + cos 2 ⎜ 3x − ⎟ = 3 cos
2
2
2
6
⎝
Vấn đề 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
π⎞
1 π
3π
⎛
Ví dụ 1: Tính: cos a,sin 2a, cos 2a, tan ⎜ a + ⎟ biết sin a = − , < a <
Giải
42/ 4cos3x − cos2x − 4cosx + 1 = 0
) + 3 = 0 ; 44/
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
3
⎝
.39/ sin2 x +
41/ cos4x + sin4x = cos2x;
Phương trình lượng giác
2
2
⎛ 2 2⎞
7
y cos2a = 2cos a − 1 = 2 ⎜⎜ −
⎟⎟ − 1 =
3 ⎠
9
⎝
1
π
+1
tan a + tan
9+4 2
π
1
2
2
4
y tan(a + ) =
=
với tana =
=
π
1
7
4
2 2
1 − tan a tan
1−
4
2 2
3
π
tan α
Ví dụ 2: Cho sin α = và < α < π . Tính A =
.
2
5
1 + tan 2 α
2
Giải
⎛3⎞
2
16
4
Ta có: cos2α = 1 − sin2α = 1 − ⎜ ⎟ =
⇒ cosα = ±
25
5
⎝5⎠
π
3π
4
nên cos α = −
Vì <α <
2
2
5
3
12
sin α
3
4
⇒ tanα =
=− ⇒A=
=−
2
25
cos α
4
⎛ 3⎞
1+ ⎜ − ⎟
⎝ 4⎠
cos2a-cos4a
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức: A =
,
sin 4a + sin 2a
⎛π
⎞
⎛π
⎞
sin ⎜ − a ⎟ + cos ⎜ − a ⎟
2sin 2a − sin 4a
⎝4
⎠
⎝4
⎠;
B=
,
C=
2sin 2a + sin 4a
⎛π
⎞
⎛π
⎞
sin ⎜ − a ⎟ − cos ⎜ − a ⎟
⎝4
⎠
⎝4
⎠
−
2
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
4
Phương trình lượng giác
Giải
15/ 5 ⎛⎜ cos x −
Ta có:
cos2a - cos4a
2sin3asina
sina
=
=
= tana
yA=
sin 4a + sin 2a 2sin 3a cos a cos a
2sin 2a − sin 4a 2sin 2a − 2sin 2a cos 2a 2sin 2a(1 − cos 2a)
yB=
=
=
2sin 2a + sin 4a 2sin 2a + 2sin 2a cos 2a 2sin 2a(1 + cos 2a )
1 − cos 2a 2sin 2 a
=
= tan2a
=
2
1 + cos 2a 2 cos a
π⎞
⎛π
⎞
⎛π
⎞
⎛π
sin ⎜ − a ⎟ + cos ⎜ − a ⎟
2 sin ⎜ − a − ⎟
4
4 ⎠ − sin a
⎠
⎝4
⎠=
⎝4
=
= − tana
yC= ⎝
π⎞
cos a
⎛π
⎞
⎛π
⎞
⎛π
sin ⎜ − a ⎟ − cos ⎜ − a ⎟
2 sin ⎜ − a + ⎟
4⎠
⎝4
⎠
⎝4
⎠
⎝4
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/
sin 2 α − tan 2 α
b/ 2
= tan 6 α ,
2
cos α − cot α
sin α + 2 cos α − 1
= sin 2 α ,
2
cot α
sin 2 α − cos 2 α tan α − 1
c/
=
1 + 2sin α cos α tan α + 1
2
2
Giải
sin α + 2 cos α − 1 1 − cos 2 α + 2 cos 2 α − 1 cos 2 α
a/ Ta có:
= sin2α
=
=
cot 2 α
cot 2 α
cot 2 α
2
2
1 ⎞
⎛
sin 2 α ⎜ 1 −
2
⎟
2
sin α − tan α
⎝ cos α ⎠ = tan 2 α . − tan α = tan6α
b/ Ta có:
=
1 ⎞
− cot 2 α
cos 2 α − cot 2 α
⎛
cos 2 α ⎜1 − 2 ⎟
⎝ sin α ⎠
sin 2 α − cos 2 α sin 2 α − cos 2 α
tan 2 α − 1 tan α − 1
=
=
c/
=
1 + 2sin α cos α (sin α + cos α ) 2 (tan α + 1) 2 tan α + 1
1 + cos α − sin α
α
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/
= − cot ,
1 − cos α − sin α
2
3
3
sin 2α + sin α
sin α + cos α
b/
= tan α
= 1 − sin α cos α ; c/
sin α + cos α
1 + cos 2α + cos α
2
2
Giải
a/ Ta có:
α
α⎞
cos − sin ⎟
⎜
α
1 + cos α − sin α
2⎝
2
2⎠
2
2
2 =
=−cot
=
α
α
α
α⎛ α
α⎞
2
1 − cos α − sin α 2sin 2 − 2sin cos
2sin ⎜ sin − cos ⎟
2
2
2
2⎝
2
2⎠
2 cos 2
α
− 2sin
α
cos
α
Phương trình lượng giác
2 cos
α⎛
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
41
sin 3 x + cos3x ⎞
⎟ = 3 − cos 2 x
1 + 2sin 2 x ⎠
⎝
16/ 2sin 2 2 x − cos 7 x − 1 = cos x
17/ 2cos x (1 − cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2sin x
18/ 2cos x + 3 sin 2 x + 1 = 3(sin x + 3 cos x)
2
19/ Cho phương trình: (1 − m)sin x − cos x = m 1 + 2cos 2 x . Tìm m để pt có
⎡ π π⎤
nghiệm trên đoạn ⎢ − ; ⎥ .
⎣ 2 2⎦
π
20/ 2cos 2 x + 6 cos ⎛⎜ x − ⎞⎟ = 2 + sin 2 x .
4⎠
⎝
21/ sin x(2 − cos x) = (1 − cos x) 2 (1 + cos x ) .
cos 3 x + 1 + sin x.cos x
= 4 cos 2 x.sin x − 2sin 3 x .
s in2x
7π ⎞
⎛
23/ (sin x − 1)(1 + tan x) + 2 cos 2 x = 2 cos ⎜ x + ⎟ .
4 ⎠
⎝
24/ 6 cos x − 2 sin x + 1 = 3 sin 2 x + cos 2 x
(2 − sin 2 2 x)(2 cos 2 x − cos x)
25/ cot 4 x + 1 =
2sin 4 x
22/
π
26/ 2 cos 2 (2 x + ) = cot x − tan x − 2
4
28/ sin6 x + cos6 x = cos2 2x +
27/ 2 cos 2
1
16
9x
6x
= cos
−1
10
5
⎛
⎝
15π ⎞⎟
⎟
4 ⎠⎟
30/ 3. tgx + 1.(sin x + 2 cos x ) = 5(sin x + 3 cos x )
1
1
= 2 cos 3x +
31/ 2sin3x –
sin x
cos x
⎛π
⎞⎟
⎜
32/ 2cos2 ⎜⎝ 4 − 3x ⎟⎠ - 4cos4x – 15sin2x = 21
29/ (sin x −1)(1 + tan x) + 2 cos 2 x = 2 cos ⎜⎜⎜ x +
33/ 2cos3x +
34/tan2x + cot2x +
3 sinx + cosx = 0
35/ cos22x – cos2x = 4 sin22x.cos2x
⎛
π⎞
⎛
π⎞
⎛
1
=3
sin 2x
π⎞
36/ 4sin3xsinx + 4cos ⎜⎜3x - ⎟⎟cos ⎜⎜x + ⎟⎟ − cos2 ⎜⎜2x + ⎟⎟ + 1 = 0
⎝
⎝
4⎠ ⎝
4⎠
4⎠
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
40
Phương trình lượng giác
2 ( sin x − 2 cos x ) = 2 − sin 2 x
1/ (Dự bị 1 khối D 2006) : cos3 x + sin3 x + 2sin2 x = 1 .
2/ (Dự bị 2 khối B 2006) : 4x − 2x + 1 + 2 2x − 1 sin 2x + y − 1 + 2 = 0 .
40/ sin x + 4 cos x = 2 + s in2x (A−14) 41/
(
) (
)
3/ (Dự bị 2 khối B 2007) : cos 2x + (1 + 2 cos x )( sin x − cos x ) = 0 .
)
5/ (Dự bị 1 khối B 2006) : 2sin2 x − 1 tan2 2x + 3 cos2 x − 1 = 0 .
⎛
⎝
⎝
π⎞
6/ (Dự bị 2 khối A 2006) : 2sin ⎜ 2x − ⎟ + 4sin x + 1 = 0 .
6
2+3 2
.
8
x
3π ⎞
⎛
− 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 ⎜ x − ⎟
2
4 ⎠
⎝
π⎞
⎛
9/ (Dự bị 2 khối A 2005) : 2 2 cos3 ⎜ x − ⎟ − 3cos x − sin x = 0
4⎠
⎝
Bài 4: Tính P = sin 4 α + cos 4 α , biết sin 2α =
π
π
3/ sin ⎛⎜ 3x − ⎞⎟ = s in2x.sin ⎛⎜ x + ⎞⎟
4
4
⎝
⎠
⎝
⎠
2
4/ 3 (2cos x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx =
π
05/ 2sin ⎛⎜ 2 x + ⎞⎟ + 4cos x + 1 = 0 ; 6/ (1 + sin 3 x ) cos x + (1 + cos3 x ) sin x = 1 + sin 2 x
6⎠
⎝
3(sin 2 x − sin x )
7/ 2cos3x + cos2x + sinx = 0
8/
= 2 cos x + 3 .
cos x − 1
π
π
1
2
9/ cos2 ⎛⎜ x + ⎞⎟ + sin 2 ⎛⎜ x + ⎞⎟ = 2 sin x − ; 10/ tan x − cot x + 4sin 2 x =
sin
2x
3⎠
6⎠
2
⎝
⎝
3
2
11/ tan 2 x + sin 2 x = cot x
12/ cos x cos 2 x cos3x − sin x sin 2 x sin 3x =
π
13/ 2 sin ⎛⎜ 2 x + ⎞⎟ + 2 = 3cos x + sin x
⎝
4⎠
14/ sin 2 x + cos x −
1
1
−
+ 2cot 2 x = 0 .
2cos x sin 2 x
ĐS:
Bài 3: Tính P = ( 1 − 3 cos 2α )( 2 + 3 cos 2α ) biết sin α =
ĐỀ THI THỬ
2/ sin5x + sin9x + 2sin2x − 1 = 0
1/ cos x + sin x = cosx
11
5 2
(5 − 12 3)
26
π⎞
5 3π
⎛
Bài 2: Tính: cos a, tan a,sin ⎜ a − ⎟ , tan 2a biết sin a = − , < a < 2π
4⎠
3 2
⎝
4sin2
3
3⎠
b) cos ⎜
8/ (Dự bị 1_A05): Tìm nghiệm trên khoảng ( 0; π ) của pt:
3
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
2
⎛π
⎞
12 3π
− α ⎟ khi sin α = − ,
< α < 2π
13 2
⎝3
⎠
⎠
7/ (Dự bị 1 khối A 2006) : cos3x.cos3 x − sin 3x.sin3 x =
3
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
⎛
3 π
π⎞
38 − 25 3
a) tan ⎜ α + ⎟ khi sin α = , < α < π
ĐS:
)
(
5
sin α + cos α (sin α + cos α )(sin α − sin α cos α + cos 2 α )
=
=1−sinαcosα
sin α + cos α
sin α + cos α
sin 2α + sin α
2sin α cos α + sin α sin α (2 cos α + 1)
c/
=
=
= tanα
1 + cos 2α + cos α
2 cos 2 α + cos α
cos α (2 cos α + 1)
b/
3
BÀI TẬ ĐỀ NGHỊ
4/ (Dự bị 2 khối D 2006) : 4sin3 x + 4sin2 x + 3sin 2x + 6 cos x = 0 .
(
Phương trình lượng giác
1
2
2
(TNQG15)
3
2
(DB QG15)
3
π
3
và < α < π .Cho Tính cosα, tanα, cotα.
2
5
3π
Bài 6: Cho tanα = 2 và π < α <
. Tính sinα, cosα.
2
12 π
Bài 7: Cho cosα = − , < α < π . Tính: sin 2α , cos 2α , tan 2α , cot 2α
13 2
Bài 5: Cho sinα =
Bài 8: Cho cotα = 2 và 0 < α <
π
4
. Tính sin 2α , cos 2α , tan 2α , cot 2α .
1
. Tính sin 2α , cos 2α .
5
sin α + sin 3α + sin 5α
= tan 3α ,
Bài 10: Chứng minh rằng: a/
cos α + cos 3α + cos 5α
3 − 4 cos 2α + cos 4α
1 − cos x + cos2 x
= tan 4 α
= cotx
b/
b/
3 + 4 cos 2α + cos 4α
sin 2 x − s inx
⎛π
⎞
s in2x + sin x
2cos2 x − sin 4 x
= tan x
d/
= tan 2 ⎜ − x ⎟
c/
1 + cos 2 x + cos x
2cos2 x + sin 4 x
⎝4
⎠
Bài 9: Cho sin α − cos α =
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
6
Phương trình lượng giác
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Công thức nghiệm của các pt lượng giác cơ bản:
3 / tgu = tgv ⇔ u = v + kπ ;
⎡u = v + k 2π
2 / sin u = sin v ⇔ ⎢
⎣u = π − v + k 2π
4 / cot gu = cot gv ⇔ u = v + kπ
Các pt lượng giác đặc biệt:
π
a/ sinu = 1 ⇔ u = + k2π
b/ sinu = −1 ⇔ u = −
1/ cos u = cos v ⇔ u = ±v + k 2π ;
2
c/ sinu = 0 ⇔ u = kπ
π
2
+ k2π
e/ cosu = −1 ⇔ u = π + k2π
g/ sinu = ±1 ⇔ cosu = 0
π
i/ tanu = ±1 ⇔ u = ± + kπ
h/ cosu = ±1 ⇔ sinu = 0
π
k/ cotu = ±1 ⇔ u = ± + kπ
Ví dụ 1: Giải phương trình: a/ sin x =
2
4
π
3
b/ sin(3 x + ) =
1
;
4
4
2
Giải
a/ Ta có: sinx =
1
1
⇔ sinx = sinα (với sinα = )
4
4
⎡ x = α + k 2π
,k ∈
⎣ x = π − α + k 2π
⇔⎢
Vậy phương trình có nghiệm là: x = α + k 2π , x = π − α + k 2π , k ∈
1
⎡
⎢ x = arcsin 4 + k 2π
1
Cách khác: sin x = ⇔ ⎢
, k∈Z
4
⎢ x = π − arcsin 1 + k 2π
⎢⎣
4
π
3
π
π
⇔ sin(3x + ) = sin
b/ Ta có: sin(3x + ) =
4
2
4
3
π π
π π
π
2π
⎡
⎡
⎡
x
k
x
k
x
k
+
=
+
=
−
+
+
=
+
3
2
π
3
2
π
⎢
⎢
⎢
4 3
4 3
24
3
,k ∈
⇔⎢
⇔⎢
⇔⎢
⎢3 x + π = π − π + k 2π
⎢3 x = π − π − π + k 2π ⎢ x = 5π + k 2π
⎢⎣
⎢⎣
⎢⎣
4
3
3 4
24
3
π
2π
5π
2π
,k ∈
+k
Vậy phương trình có nghiệm là: x = + k , x =
24
3
24
3
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
39
14/ ( 2 cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x (D-04)
cos 2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + tan x
2
2
16/ cot x − tan x + 4sin 2 x =
(B-03)
sin 2 x
x
⎛x π⎞
17/ sin 2 ⎜ − ⎟ tan 2 x − cos 2 = 0 (D-03)
2
⎝2 4⎠
2
2
2
18/ sin 3 x − cos 4 x = sin 5 x − cos 2 6 x (B-02)
15/ cot x − 1 =
19/ cos 3 x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0 (D2);20/
d/ cosu = 1 ⇔ u = k2π
π
f/ cosu = 0 ⇔ u = + kπ
4
Phương trình lượng giác
(1 − 2sin x) cos x
= 3 (A09)
(1 + 2sin x)(1 − sin x)
21/ sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x (B−09)
22/ 3cos5x − 2sin 3xcos2x − sin x = 0 (D−09)
23/ (1 + 2sin x)2 cos x = 1 + sin x + cos x (CĐ−09)
π⎞
⎛
(1 + sin x + cos 2 x) sin ⎜ x + ⎟
1
4⎠
⎝
24/
=
cos x ( A - 10)
1 + tan x
2
25/ (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 (B−10)
26/ sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0 (D−10)
5x
3x
cos + 2(8sinx − 1)cosx = 5 (CĐ−10)
2
2
1 + sin 2 x + cos 2 x
= 2 sin x sin 2 x (A−11);
28/
1 + cot 2 x
27/ 4cos
29/ cos4x+12sin2x−1=0 (CĐ11)
30/ sin 2 x cos x + sin x cos x = cos 2 x + sin x + cos x (B−11)
s in2x + 2 cos x − sin x − 1
= 0 (D11); 32/ 3 s in2x+cos2x=2cosx-1 (A−12)
tan x + 3
33/ 2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1. (B−12)
31/
34/ sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x (D−12)
35/ 2cos2x + sinx = sin3x. (CĐ−12)
π
36/ 1 + tan x = 2 2 sin ⎛⎜ x + ⎞⎟ (A-13); 37/ sin 5 x + 2 cos 2 x = 1 (B-13)
⎝
4⎠
⎛π
⎞
− x ⎟ + sin 2 x = 0 (CĐ-13)
⎝2
⎠
38/ sin3x + cos2x – sinx = 0 (D-13); 39/ cos ⎜
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
38
Phương trình lượng giác
3
a/ 2sin x + 4cos x = 3s inx
π⎞
⎛
c/ sin 3 ⎜ x + ⎟ = 2 s inx
b/ 2sin x = cos3x
e/ sin 3 x + cos3 x = sin x − cos x
g/
2
⎝
3
1 − t anx
= 1 + sin 2 x
1+tanx
Bài 23: Giải pt: a/ cos5xcos3x = cosxcos7x;
b/ sin2x − cos5x = cosx
− sin6x
c/ cosx + cos11x = cos6x; d/ sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x +
cos3x
s inx+sin3x+sin5x
= tan 2 3x
cosx+cos3x+cos5x
b/ 8cos4x = 1 + cos4x
Bài 24: Giải pt: a/ sin 2 x + sin 2 5 x = 2sin 2 3 x ;
3
d/ sin4x + cos4x = cos4x
c/ cos 2 3x + cos 2 4 x + cos 2 5 x = ;
2
2
g/ sin3xcosx - sinxcos3x =
e/ 3cos22x - 3sin2x + cos2x
8
e/ tanx + tan2x = tan3x ;
g/
h/ (1 − tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx;
1
1/
+
sin x
1
i/ tanx + tan2x = sin3xcosx
ĐỀ THI ĐẠI HỌC
⎛ 7π
⎞
= 4sin ⎜
− x ⎟ (A-08)
1
π
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a/ cos x = − , b/ 3cos(2 x + ) = 1
Giải
2π
1
2
a/ Ta có cos x = − ⇔ cos x = cos
⇔x=±
3
Vậy phương trình có nghiệm là: x = ±
4/ (1 + sin 2 x ) cos x + (1 + cos 2 x ) sin x = 1 + sin 2 x (A-07)
2
x
x⎞
⎛
5/ 2sin 2 x + sin 7 x − 1 = sin x (B-07); 6/ ⎜ sin + cos ⎟ + 3 cos x = 2 (D-07)
2
2⎠
⎝
6
6
2 ( cos + sin x ) − sin x cos x
x⎞
⎛
= 0 (A06);8/ cot x + sin x ⎜ 1 + tan x tan ⎟ = 4 ;
7/
2⎠
2 − 2sin x
⎝
10/ cos 2 3x cos 2 x − cos 2 x = 0 (A-05)
9/ cos 3x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
11/ 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 (B-05)
π⎞ ⎛
π⎞ 3
⎛
12/ cos 4 x + sin 4 x + cos ⎜ x − ⎟ sin ⎜ 3x − ⎟ − = 0 (D-05)
4⎠ ⎝
4⎠ 2
⎝
2
13/ 5sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) tan x (B-04)
π
3
π
3
6
+ k 2π (k ∈ )
+ k 2π (k ∈ )
π
π
1
π
1
b/ 3cos(2 x + ) = 1 ⇔ cos(2 x + ) = ⇔ cos(2 x + ) = cosα (với cosα= )
⇔ 2x +
π
6
6
6
= ±α + k 2π ⇔ 2 x = −
3
π
6
6
± α + k 2π ⇔ x = −
Vậy phương trình có nghiệm là: x = −
π
12
±
α
2
a/ Ta có: tan x = 3 ⇔ tan x = tan
3
3
3
α
+ kπ ( k ∈ )
2
5
π
π
12
±
π
b/ tan( − x) = 2
Giải
π
⇔x=
π
3
+ kπ .
Ví dụ 3: Giải phương trình: a/ tan x = 3 ;
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
3π ⎞
⎛
⎝ 4
⎠
sin ⎜ x −
⎟
2 ⎠
⎝
3
3
2/ sin x − 3 cos x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x.cos x (B-08)
3/ 2sin x (1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x (D-08)
2
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
7
2
d/ 2sin3x = cosx
4⎠
Phương trình lượng giác
+ kπ , k ∈
+ kπ , k ∈
π
π
b/ Ta có: tan( − x) = 2 ⇔ tan( − x) = tan α (với tanα = 2)
⇔
π
5
5
5
− x = α + kπ ⇔ x =
π
5
− α − kπ
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
π
5
(k ∈ )
− α − kπ
(k ∈ )
π
π
π
Cách khác: tan( − x) = 2 ⇔ − x = arc tan 2 + kπ ⇔ x = −arctan2−kπ
5
5
5
π
1
Ví dụ 4: Giải pt sau: a/ cot( − x) =
;
4
c/ tan5x – cotx = 0
3
d/ tan3x − tanx = 0
Giải
π
π
π
1
a/ Ta có: cot( − x) =
⇔ cot( − x) = cot
4
3
b/ cot(4 x + 35o ) = −1
4
3
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
⇔
π
4
−x=
π
3
8
+ kπ ⇔ x = −
π
12
Phương trình lượng giác
π
⎣
⇔ 4 x + 35o = −45o + k180o ⇔ 4 x = −80o + k180o ⇔ x = −20o + k 45o , (k ∈ )
Vậy phương trình có nghiệm là: x = −20o + k 45o , (k ∈ )
c/ Đk: cos5x ≠ 0, sinx ≠ 0
π
Khi đó: tan5x − cotx = 0 ⇔ tan5x = cotx ⇔ tan5x = cot( − x)
⇔ 5x =
π
2
− x + kπ ⇔ x =
π
12
+k
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
π
6
π
12
2
(thỏa điều kiện)
+k
π
6
, k∈Z
d/ Đk: cos3x ≠ 0, cosx ≠ 0
Ta có: tan3x − tanx = 0 ⇔
sin 2 x
2sin x cos x
=0⇔
=0
cos 3x cos x
cos 3 x cos x
2sin x
= 0 ⇔ sinx = 0 ⇔ x = kπ (thỏa điều kiện)
⇔
cos 3x
Vậy phương trình có nghiệm là: x = kπ, k∈Z
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
a/ sin3x = cos2x;
b/ 1 − cos4x = sin2x
c/ 2cos22x =1
d/ sinx − 3 cosx = 2sin2x; e/ 3 sin4x − cos4x = 2cos3x
Giải
π
a/ Ta có: sin3x = cos2x ⇔ sin3x = sin( − 2x)
2
π
2
π
π
⎡
⎡
=
+
x
k
=
−
+
3
x
2
x
k
2
π
⎢
⎢
5
2
⇔ ⎢ 10
, k∈Z
⇔ ⎢
⎢ x = π + k 2π
⎢3x = π + 2 x + k 2π
⎢⎣
⎢⎣
2
2
π
2π
π
Vậy phương trình có nghiệm là: x = + k , x = + k 2π , k∈Z
10
5
2
b/ Ta có: 1 − cos4x = sin2x ⇔ 2sin22x − sin2x = 0
1
⇔ sin2x(2sin2x − 1) = 0 ⇔ sin2x = 0 ∨ sin2x =
2
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
37
Bài 12: Tìm nghiệm của các phương trình sau trên các khoảng đã cho:
⎡ 2π ⎞
a/ tan(2 x − 150 ) = 1 , x ∈(-1800,900); b/ s inx = 3cosx , với x ∈ ⎢ − ; π ⎟
− kπ , k ∈
− kπ , k ∈
12
b/ Ta có cot(4 x + 35o ) = −1 ⇔ cot(4 x + 35o ) = cot(−45o )
Vậy phương trình có nghiệm là: x = −
Phương trình lượng giác
3
⎠
⎡π
2
⎡π
⎤
⎛ π ⎞⎤
; b/ tan ⎢ ( cosx+sinx ) ⎥ = 1
Bài 13: Giải các pt: a/ cos ⎢ cos ⎜ x- ⎟ ⎥ =
⎣4
⎦
⎝ 4 ⎠⎦ 2
⎣2
c./ sin(πcos2x) = 1
d/ 3sinx + 4cosx = 5
Bài 14: Giải các pt: a/ 3 tan 3x − 3 = 0 ; b/ ( s inx+1) 2cos2x - 2 = 0
(
)
d/ 3 cot 2 x − 4 cot x + 3 = 0
c/ 3sin 2 2 x + 7cos2x - 3 = 0
b/ 2 tan 2 x + cot 2 x = 3
Bài 15: Giải các pt: a/ cos2x - sinx +2 =0 ;
2
c/ cos2x + sin x + 2cosx +1 = 0 ;
d/ 4sin 2 2 x + 8cos 2 x − 9 = 0
⎡ 2π 4π ⎤
Bài 16: Tìm các nghiệm của pt sin 2 3x + sin 3x = 0 thỏa x ∈ ⎢ ; ⎥
⎣ 3 3 ⎦
Bài 17: Giải pt sau: a/ 3cosx + 4sinx = −5
b/ 5sin 2 x − 6cos 2 x = 13
c/ 3cos2x - 2sinxcosx = 2sin7x ; d/ sin 8 x − cos 6 x = 3(sin 6 x + cos8 x)
π
e/ (3sin x + cos x)(cos x − 2sin x) = 1 ; g/ 2 cos x cos( x + ) + 4sin 2 x = 1
3
Bài 18: Giải pt: a/ cos x + 2 3 sin x cos x + 3sin x = 1 .
2
2
π
b/ 4sin 3 x cos 3x + 4 cos3 x sin 3x + 3 3 cos 4 x = 3 . c/ 4sin 2 ( x + ) + sin 2 x = 1
d/ cos 7 x − sin 5 x = 3(cos 5 x − sin 7 x) ;
6
π
e/ 2sin(2 x + ) + 4sin 2 x = 1
6
Bai 19: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a/ y =
sin x + 2 cos x + 1
.
sin x + cos x + 2
b/ y =
sin x
cos x + 3
c/ y =
4sin 2 x
π
.
2 + sin(2 x + )
6
Bài 20: Giải các phương trình:
a/ 6sin 2 x + s inxcosx - cos 2 x = 2
b/ 2sin 2 2 x − 3s in2xcos2x + cos 2 2 x = 2
c/ 2 3cos 2 x + 6s inxcosx = 3 + 3 d/ 4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2cos 2 x = 4
π⎞
⎛
⎛ 3π
⎞
e/ 4s inxcos ⎜ x - ⎟ + 4sin ( x + π ) cosx + 2sin ⎜ − x ⎟ cos ( x + π ) = 1
⎝
2⎠
⎝ 2
Bài 21: Giải các phương trình
(
)
a/ 3sin 2 x + 8s inxcosx + 8 3 − 9 cos 2 x = 0
Bài 22: Giải các phương trình
⎠
b/ sin 2 x + s in2x - 2cos 2 x =
1
2
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
36
Phương trình lượng giác
⇔ 2cos4xcosx = 2cos4xsin2x ⇔ 2cos4x(sin2x − cosx) = 0
⇔ 2cos4x(2sinxcosx − cosx) = 0 ⇔ 2cos4xcosx(2sinx − 1) = 0
1 + tan x
= 1 + sin2x (1)
Bài 7: Giải phương trình:
1 − tan x
HD: Điều kiện: cosx ≠ 0, tanx ≠ 1
1 + tan x
1 + tan x
2 tan x
= 1 + sin2x ⇔
=1+
1 − tan x
1 − tan x
1 + tan 2 x
1 + cos x
(1)
Bài 8: Giải phương trình: tan2x =
1 − sin x
sin 2 x 1 − cos 2 x (1 + cos x)(1 − cos x)
=
=
HD: Ta có tan2x =
cos 2 x 1 − sin 2 x (1 + sin x)(1 − sin x)
Khi đó:
Đk: sinx ≠ ±1 ⇔ cosx ≠ 0 ⇔ x ≠
π
+ kπ
2
1
HD: (1) ⇔ − (cos16x + cos4x) = cos10x ⇔ −cos10xcos6x = cos10x
2
⇔ cos10x(cos6x + 1) = 0
Bài 10: Giải phương trình: 2tanx + tan2x = tan4x (1)
HD: Đk: cosx ≠ 0, cos2x ≠ 0, cos4x ≠ 0
sin 3x
sin 3 x
=
cos 2 x cos x cos 4 x cos x
⇔ sin3x(cos4x − cos2x) = 0 ⇔ −2sin23x.sinx = 0
1
16
HD: x = kπ (sinx = 0) không là nghiệm của pt nên
1
sinx
16
1
1
⇔ sin2x.cos2x.cos4x.cos8x = sinx
2
16
1 1
1
1
1
⇔ . sin4x.cos4x.cos8x = sinx ⇔ sin8x.cos8x = sinx
2 2
16
8
16
PT ⇔ sinx.cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
9
y sin2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = k , k∈Z
2
π
π
⎡
⎡
⎢ 2 x = 6 + k 2π
⎢ x = 12 + kπ
1
⇔ ⎢
, k∈Z
y sin2x = ⇔ ⎢
2
⎢ 2 x = 5π + k 2π
⎢ x = 5π + kπ
⎢⎣
⎢⎣
6
12
c/ Ta có: 2cos22x =1 ⇔ 2cos22x − 1 = 0 ⇔ cos4x = 0
π
π
π
⇔ 4x = + kπ ⇔ x = + k , k∈Z
2
8
4
π
π
Vậy phương trình có nghiệm là: x = + k , k∈Z
8
⇔ sinxcos
⇔ (1 + cosx)(1 − cosx) = (1 + cosx)(1 + sinx)
⇔ (1+cosx)(1+sinx −1 + cosx) = 0 ⇔ (1+cosx)(sinx + cosx) = 0
17π
+ 10x) (1)
Bài 9: Giải phương trình: sin22x − cos28x = sin(
Bài 11: Giải các pt sau: cosx.cos2x.cos4x.cos8x=
π
d/ Ta có: sinx − 3 cosx = 2sin2x ⇔
2
(1 + cos x)(1 − cos x) 1 + cos x
Khi đó (1) ⇔
=
(1 + sin x)(1 − sin x) 1 − sin x
Khi đó (1) ⇔tan2x+tanx=tan4x−tanx ⇔
Phương trình lượng giác
π
−sin
3
π
3
4
1
3
sinx −
cosx = sin2x
2
2
π
cosx = sin2x ⇔ sin(x − ) = sin2x
3
π
⎡ π
⎡
⎢ x − 3 = 2 x + k 2π
⎢ x = − 3 − k 2π
⇔ ⎢
, k∈Z
⇔⎢
⎢ x − π = π − 2 x + k 2π
⎢ x = 4π + k 2π
⎢⎣
⎢⎣
3
9
3
e/ Ta có: 3 sin4x − cos4x = 2cos3x ⇔
⇔ sin4xcos
π
6
− sin
π
6
3
1
sin4x − cos4x = cos3x
2
2
π
π
cos4x = cos3x ⇔ sin(4x − ) = sin( − 3x)
π π
⎡
⎢ 4 x − 6 = 2 − 3x + k 2π
⇔
⇔ ⎢
⎢ 4 x − π = π + 3x + k 2π
⎢⎣
6 2
6
⎡
⎢x =
⎢
⎢x =
⎢⎣
6
2π
2π
+k
21
7
, k∈Z
2π
+ k 2π
3
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a/ cos4x + sin4x = cos4x;
b/ cos7x + sin22x = cos22x
c/ sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x);
Giải
d/ 2sin2x – sin2x = 0
3
4
1
4
a/ Ta có: cos4x + sin4x = cos4x ⇔ + cos 4 x = cos4x
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
10
⇔ cos4x = 1 ⇔ 4x = k2π ⇔ x = k
2
π
2
2
Phương trình lượng giác
b/ Ta có: cos7x + sin 2x = cos 2x ⇔ cos7x = cos22x − sin22x
2π
⎡
⎢x = k 3
⎡ 7 x = 4 x + k 2π
⇔ ⎢
, k∈Z
⇔ cos7x = cos4x ⇔ ⎢
2π
⎣ 7 x = −4 x + k 2π
⎢
x=k
11
c/ Ta có: sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x)
⇔ sin6x − 2sin8x = 2cos8x − cos6x
⇔ sin6x(1 − 2sin2x) = cos6x(2cos2x − 1)
⇔ sin6xcos2x − cos6xcos2x = 0 ⇔ cos2x(sin6x − cos6x) = 0
⇔ cos2x = 0 ∨ sin6x − cos6x = 0
π
π
π
y cos2x = 0 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k , k∈Z
2
4
2
y sin6x − cos6x = 0 ⇔ sin6x = cos6x
2
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
Ví dụ 5: Giải phương trình: sin x + cos x = 2 - sin4x (1)
HD: Ta có sin3x + cos3x ≤ sin2x + cos2x = 1; 2 - sin4x ≥ 1. Do đó:
⎧⎪sin 3 x + cos3 x = 1 ⎧sin 3 x + cos3 x = 1
π
(1)⇔ ⎨
⇔ sinx =1 ⇔ x= +k2π
⇔⎨
4
⎩⎪ 2 − sin x = 1
⎩
3
sin x = ±1
2
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) sin4x + cos17x = 1;
b) cos3x +
c) 5 + sin 2 2 x = sinx + 2cosx;
2
2 − cos 2 3 x = 2(1 + sin 2x)
1
d)
+ cosx = 2cosx
cos x
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Giải phương trình: cos3x − 2cos2x + cosx = 0 (1)
HD: (1)⇔ 2cos2xcosx − 2cos2x = 0 ⇔ 2cos2x(cosx − 1) = 0
1
(cos2x + cos4x) (2)
2
1
1
1
HD: (2) ⇔ (cos7x + cosx) − (cos7x − cos3x) = (cos2x + cos4x)
2
2
2
Bài 2: Giải pt: cos3xcos4x + sin2xsin5x =
π
⇔ tan6x = 1 ⇔ tanx = ±1 ⇔ x = ± + kπ, k∈Z
2
35
3
, k∈Z
⎢⎣
Phương trình lượng giác
4
d/ Ta có: 2sin x – sin2x = 0 ⇔ 2sin x – 2sinx.cosx = 0
⇔ 2sinx(sinx – cosx) = 0 ⇔ sinx = 0 ∨ sinx − cosx = 0
y sinx = 0 ⇔ x = kπ, k∈Z
π
y sinx − cosx = 0 ⇔ sinx = cosx ⇔ tanx = 1 ⇔ x = + kπ, k∈Z
⇔ cos3x + cosx = cos2x + cos4x ⇔ 2cos2xcosx = 2cos3xcosx
⇔ 2cosx(cos3x − cos2x) = 0
Bài 3: Giải pt: 4 3 sinxcosxcos2x = sin8x (3) (ĐHCT-D-2000)
HD: (3) ⇔2 3 sin2xcos2x = sin8x ⇔ 3 sin4x =2sin4xcos4x
⇔ sin4x(2cos4x − 3 ) = 0
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau:
a/ sin23x = cos22x (1);
b/ cos(πsinx) = cos(3πsinx) (2).
2
2
2
2
c/ sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x;
Giải
Bài 4: Giải phương trình sin2x + sin22x + sin23x =
4
1 − cos 6 x 1 + cos 4 x
=
⇔ cos6x = −cos4x
2
2
π
π
⎡
x = +k
⎢
⎡ 6 x = π − 4 x + k 2π
10
5
⇔⎢
⇔ cos6x = cos(π − 4x)⇔ ⎢
x
x
k
π
π
=
−
−
+
6
(
4
)
2
π
⎣
⎢ x = − + kπ
⎢⎣
2
a) Ta có (1) ⇔
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
π
10
+k
π
5
,x = −
π
2
+ kπ , k∈Z.
b) Ta có: cos(πsinx) = cos(3πsinx) ⇔ πsinx=±3πsinx+k2π
HD: (4) ⇔
3
(4)
2
1
1
1
3
(1 − cos2x) + (1 − cos4x) + (1 − cos6x) =
2
2
2
2
⇔ cos6x + cos2x + cos4x = 0 ⇔ 2cos4xcosx + cos4x = 0
⇔ cos4x(2cosx + 1) = 0
Bài 5: Giải pt: 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x (1) (ĐHNT-00)
HD:(1) ⇔ (1 −cos2x) + sinx = (cosx − cos3x) + sin2x
⇔ 2sin2x + sinx = 2sin2xsinx + sin2x
⇔ sinx(2sinx+1) = sin2x(2sinx+1) ⇔ (2sinx+1)(sin2x −sinx) = 0
Bài 6: Giải pt: 2cos2x + 2cos22x+2cos23x−3 = cos4x(2sin2x +1) (*)
HD: (*) ⇔ 1 + cos2x + 1 + cos4x + 1 + cos6x − 3 = cos4x(2sin2x + 1)
⇔ cos6x + cos2x = cos4x(2sin2x + 1) − cos4x
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
34
Phương trình lượng giác
Phương trình lượng giác
Vấn đề 5: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT:
⎡
⎡sin x = − k (3)
sin x = 3sin x + 2k
⎢
⇔
⇔⎢
⎢sin x = −3sin x + 2k
⎢ sin x = k (4)
⎢⎣
2
⎣
⎧A = 0
;
⎩B = 0
1/ Phương pháp tổng bình phương: Ta có A2 + B2 = 0 ⇔ ⎨
⎡ sin x = 0
⎣sin x = ±1
⎡sin x = 0 ∨ sin x = ±1
k
Xét pt (4): sinx=− . Do k nguyên nên (4) ⇔ ⎢
⎢sin x = ± 1
2
⎣
2
⎧ A= B
⎧A = M
⎪
2/ Phương pháp đối lập: Ta có ⎨ A ≤ M ⇔ ⎨
⎩B = M
⎪B ≥ M
⎩
Xét pt (3): sinx = −k. Do k∈Z nên (3) ⇔ ⎢
Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 + 2xsinxy + 1 = 0 (1)
HD: (1) ⇔ (x + sinxy)2 + 1 - sin2xy = 0 ⇔ (x + sinxy)2 + cos2xy = 0
• sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈Z
⎧ x =1
⎧ x = − sin xy ⎧ x = −1
∨⎨
⇔⎨
⇔⎨
⎩ sin xy = ±1 ⎩sin y = −1 ⎩sin y = −1
⎩ cos xy = 0
⎧ x + sin xy = 0
• sinx = ±1 ⇔ cosx = 0 ⇔ x =
⇔⎨
Ví dụ 4: Giải phương trình: (cos4x − cos2x) = 5 + sin3x (1)
HD: Ta có: ⎜cos4x −cos2x⎜≤ ⎜cos4x⎜+⎜cos2x⎜≤ 2
⇒ (cos4x − cos2x)2 ≤ 4
Ta lại có 5 + sin3x ≥ 4
⎧sin 3x sin x = ±1
⎧cos 4 x − cos 2 x = ±2
⇔⎨
Do đó (1) ⇔ ⎨
⎩ sin 3x = −1
⎩ 5 + sin 3x = 4
π
⎧
⎧ sin x = ±1
π
⎪ x = ± + k 2π
⇔⎨
⇔ x = + k2π
⇔⎨
2
⎩sin 3 x = −1
⎪⎩ sin 3x = −1
2
+ kπ, k ∈Z
π
π
⇔ 2x = ± + k2π ⇔ x = ± + kπ, k ∈Z
3
Ví dụ 3: Giải phương trình: sin2x + sin2y + sin2(x + y) =
2
π
2
1
1
1 − cos 2 x 1
1
• Pt sinx = ± ⇔ sin2x = ⇔
= ⇔ cos2x =
2
4
2
4
2
Ví dụ 2: Giải pt: 4cos2x + 3tg2x - 4 3 cosx + 2 3 tgx + 4 = 0 (2)
HD: (2) ⇔ (2cosx − 3 )2 + ( 3 tgx + 1)2 = 0
9
(3)
4
1 1
1 1
9
HD: (3) ⇔ − cos2x + − cos2y + 1−cos2(x + y) =
2 2
2 2
4
1
9
⇔ 2 − (cos2x + cos2y)− cos2(x + y) =
2
4
1
⇔ + cos(x + y)cos(x − y) + cos2( x + y) = 0
4
1
1
⇔ cos2(x−y) + cos(x−y)cos(x + y) + cos2(x + y) + sin2(x−y) = 0
4
4
1
1
⇔ [cos(x + y) + cos(x − y)]2 + sin2(x − y) = 0
2
4
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
11
6
Vậy pt đã cho có nghiệm x = kπ, x =
2
2
2
2
π
2
π
+ kπ, x = ± + kπ, (k∈ Z)
6
c/ Ta có: sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x
⇔
1 − cos 6 x 1 + cos8 x
1 − cos10 x 1 + cos12 x
−
=
−
2
2
2
2
⇔ 1 − cos6x − 1 − cos8x = 1 − cos10x − 1 − cos12x
⇔ cos8x + cos6x = cos12x + cos10x
⇔ 2cos7xcosx = 2cos11xcosx
⇔ 2osx(cos11x − cos7x) = 0 ⇔ cosx = 0 ∨ cos11x − cos7x = 0
π
• cosx = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈Z
2
• cos11x − cos7x = 0 ⇔ cos11x = cos7x
π
π
⇔ 11x = ±7x + k2π ⇔ x = k ∨ x = k
2
9
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:
a/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
b/ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) + 4cos2x = 3
Giải
a/ Ta có: 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
⇔ (1 − cos2x) + (cos3x − cosx) = sin2x − sinx
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
2
12
Phương trình lượng giác
⇔ 2sin x − 2sin2xsinx = 2sinxcosx − sinx
⇔ 2sin2x(1 − 2cosx) = sinx(2cosx − 1)
⇔ 2sin2x(1 − 2cosx) − sinx(1 − 2cosx) = 0
⇔ (1 − 2cosx)(2sin2x − sinx) = 0
⇔ cosx =
y cosx =
8.
y sinx = 0 ⇔ x = kπ, k∈Z
1
π
5π
+ k2π, k∈Z
y sinx = ⇔ x = + k2π ∨ x =
b/ Ta có: (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) + 4cos2x = 3
⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) + 4(1 − sin2x) = 3
⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) = 4sin2x − 1
⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) = (2sinx + 1)(2sinx − 1)
⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4 − 2sinx + 1) = 0
y sinx =
1
∨ cos4x = 1
2
1
π
5π
⇔ x = + k2π ∨ x =
+ k2π, k∈Z
2
6
6
y cos4x = 1 ⇔ 4x = k2π ⇔ x = k
π
2
, k∈Z
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
π
2
2
a/ cos(3x − )= −
b/ cos(x − 2) =
6
2
5
5π
d/ (1+ 2sinx)(3−cosx)= 0 e/ tan2x = tan
6
π
1
g/ cot(4x − )= 3
h/ sin(3x− 450) =
2
6
x
x
k/ (cot −1)(cot +1)= 0 l/ cos2x.cotx = 0
3
2
n/ cos3x – sin2x = 0
p/ sin3x + sin5x = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a/ sin(2x−1) = sin(x+3);
b/ sin3x = cos2x;
2 − 2 sin x
=0
[ĐH-khối A-2006]
Bài 9: Giải các phương trình sau:
1. 4sin 2 x − 4sin x cos x + 2 cos 2 x = 1
2. 2sin 2 x + sin x cos x − cos 2 x = 1
3. 2 cos 2 x − 3sin 2 x + sin 2 x = 1
4. 3cos 2 x + 2sin 2 x − 5sin x cos x = 0
5. 4 cos 2 x + 3sin x cos x − sin 2 x = 3
6. 3sin 2 x − 3sin x cos x + 4 cos 2 x = 2
7. 2sin 2 x − 3sin x cos x − 7 cos 2 x = −1
8. sin 2 x + 3 sin 2 x − cos 2 x = 1
9. 4sin 2 x − sin 2 x − 4 = 0
10. 4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2cos 2 x = 4
11. 3sin 2 x − 4sin x cos x + cos 2 x = 0
12. 2sin 2 x + (3 + 3) sin x cos x + ( 3 − 1)cos 2 x = −1
13. 2sin 2 x + 4sin x cos x − 4 cos 2 x − 1 = 0
14. sin 2 x + 2sin x cos x + 3cos 2 x − 3 = 0
6
⇔ (2sinx + 1)(3cos4x − 3) = 0 ⇔ sinx =
2(sin x + cos x ) − sin x cos x
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
33
6
2
[ĐH-khối B-2003]
sin 2x
[ĐH Hàng Hải-1999]
10. cos 2x + 5 = 2(2 − cos x )(sin x − cos x )
⎛
π⎞
(1 + sin x + cos 2x )sin ⎜⎜⎜x + ⎟⎟⎟
⎝
4 ⎠ = 1 cos x [ĐH-khối A-2010]
11.
1 + tan x
2
1
π
⇔ x = ± + k2π, k∈Z
3
2
6
6
9. cot x − tan x + 4 sin 2x =
1
1
∨ sinx = 0 ∨ sinx =
2
2
2
Phương trình lượng giác
1
c/ cos(2x + 50 ) =
2
0
3
f/ tan(3x−300) = −
3
i/ sin(2x +100)= sinx
m/ cot(
2x π
+ )= −1
3 5
c/ sin4x + cos5x = 0
5
2
15. 2sin 2 x − 4 3 sin x cos x − 4 cos 2 x + = 0
16.
17.
18.
19.
20.
5sin 2 x + sin x cos x − cos2 x − 2 = 0
sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0
3sin 2 x − 3 sin x cos x + cos 2 x − 3 = 0
cos 2 x + 2 sin 2 x + 1 = 0
2sin 2 x + (1 − 3) sin x cos x + (1 − 3)cos 2 x = 1
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
32
1. cos 2 x + sin x + 2 cos x + 1 = 0
3. cos 2 x + sin 2 x + 2 cos x + 1 = 0
5. 6sin 2 x + 2sin 2 2 x = 5
2
1
2
4
9. 8sin x = 1 + cos 4 x
11. 2 cos 3x cos x + 4 − 4sin 2 2 x = 0
7. sin 2 2 x − sin 2 x =
Phương trình lượng giác
2. 4sin 2 x + 6sin x − 3cos 2 x − 9 = 0
4. 4sin 2 2 x − 8cos 2 x + 3 = 0
6. 4 cos 2 x + 4sin 2 x + 4sin x = 1
2
2
3
4
2
10. cos 2 x − cos 2 x = 4sin 2 2 x.cos 2 x
12. 10 cos 2 x − 3cos 4 x − 4 = 0
8. sin 2 2 x − 2 cos 2 x + = 0
Bài 6: Giải các phương trình sau:
4
2. 2 cos 6 x + tan 3 x =
5
2
4. 2 cos 2 x + tan x = 5
6. sin 2 x + 2 tan x = 3
1. 2sin 2 x + 8 tan x = 9 3
3. (1 − tan x)(1 + sin 2 x) = 1 + tan x
5. 6 cos 2 x − tan 2 x − 1 = 0
7. cot x − tan x + 4sin 2 x =
2
sin 2 x
Bài 7: Giải các phương trình sau:
1. (3 + cot x)2 = 5(3 + cot x)
2.
1
3
+
=4
2
sin x cos x sin x cos x
2
Phương trình lượng giác
3
4. tan x +
=9
cos x
5
5. tan x −
+7 = 0
cos x
2
3
6. 2 tan x + 3 =
cos x
2
Bài 8: Giải các phương trình sau:
cos 2x + 3 cot2x + sin 4x
= 2 [ĐHKT TP.HCM-1990]
cot2x − cos 2x
4 sin2 2x + 6 sin2 x − 3 cos 2x − 9
2.
= 0 [ĐHBK Hà Nội-1994]
cos x
1.
cos x (cos x + 2 sin x ) + 3 sin x (sin x + 2)
= 1 [TS Nha Trang-01]
sin 2x − 1
⎛
cos 3x + sin 3x ⎟⎞
⎟ = 3 + cos 2x [ĐH-khối A-2002]
4. 5 ⎜⎜⎜sin x +
⎝
1 + 2 sin 2x ⎟⎠
3.
5. cos2 3x .cos 2x − cos2 x = 0
[ĐH-khối A-2005]
⎛
⎛
π⎞
π⎞ 3
6. cos4 x + sin 4 x + cos ⎜⎜⎜x − ⎟⎟⎟.sin ⎜⎜⎜3x − ⎟⎟⎟ − = 0 [ĐH-khối D-05]
⎝
⎝
4⎠
4⎠ 2
2
7. 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ) tan x [ĐH-khối B-2004]
2
d/ 2sinx + 2 sin2x = 0; e/ sin 2x + cos 3x = 1; f/ sin3x + sin5x = 0
h/ cos3x – sin4x = 0
g/ sin(2x+500) = cos(x +1200)
π
i/ tan(x− ) + cotx = 0
j/ tan5x = tan3x
5
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1) sin ( 3x + 1) = sin ( x − 2 )
2) sin ( x − 1200 ) + cos 2 x = 0
π⎞
π⎞
⎛
⎛
4) cos ⎜ x − ⎟ = cos ⎜ 2 x + ⎟
3
6
3) cos 3x = sin 2 x
⎝
π⎞
π⎞
⎛
⎛
5) cos ⎜ 2 x + ⎟ + cos ⎜ x − ⎟ = 0
3
3
⎝
⎠
⎝
⎠
π⎞
π⎞
⎛
⎛
7) tan ⎜ 3x − ⎟ = tan ⎜ x + ⎟
4⎠
6⎠
⎝
⎝
9) tan ( 2 x + 1) + cot x = 0
⎠
⎝
⎠
⎛π x ⎞
6) sin 3 x + sin ⎜ − ⎟ = 0
⎝ 4 2⎠
π⎞
π⎞
⎛
⎛
8) cot ⎜ 2 x − ⎟ = cot ⎜ x + ⎟
4⎠
3⎠
⎝
⎝
2
10) cos ( x + x ) = 0
11) sin ( x 2 − 2 x ) = 0
12) tan ( x 2 + 2 x + 3) = tan 2
13) cot 2 x = 1
14) sin 2 x =
3. tan 2 x + cot 2 x + 2(1 + tan x + cot x) = 0
2
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
13
2
15) cos x =
1
2
1
2
π⎞
⎛
16) sin 2 ⎜ x − ⎟ = cos 2 x
4
⎝
⎠
Bài 4. Giải các phương trình sau:
⎛17π
⎞
1. sin2 2x − cos2 8x = sin ⎜⎜⎜
+ 10x ⎟⎟⎟
⎝ 2
⎠
2. cos3 x cos 3x + sin 3 x sin 3x = cos3 4x
3. cos10x + 2 cos2 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos3 3x
4. 2 cos2 x + 2 cos2 2x + 2 cos2 3x − 3 = cos 4x (2 sin 2x + 1)
5. sin 4x + 3 sin 2x = tan x
6. sin 3x +
3
1
sin 5x + cos 5x = 0
2
2
7. sin 2x = 3 sin x
8. sin2 x − sin x = 0
9. (2 sin x − 1)(2 sin 2x + 1) = 3 − 4 cos2 x
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1/ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x [ĐH-khối D-2004]
[ĐH-khối B-2007]
2/ 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x
2
2
2
2
3/ sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x [ĐH-khối B-2002]
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
14
4/ sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0
Phương trình lượng giác
[ĐH-khối B-2005]
⎛x π ⎞
x
5/ sin2 ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ tan2 x − cos2 = 0
[ĐH-khối D-2003]
⎝2 4 ⎠
2
⎛
x⎞
6/ cot x + sin x ⎜⎜⎜1 + tan x tan ⎟⎟⎟ = 4
[ĐH-khối D-2005]
⎝
2⎠
⎛ 3π
⎞
sin x
[DBĐH-khối D-2005]
7/ tan ⎜⎜⎜ − x ⎟⎟⎟ +
=2
⎝2
⎠ 1 + cos x
[ĐH-khối D-2006]
8/ cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0
9/ cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0 [ĐH-khối D-2002]
⎛
x⎞
10/ cot x + sin x ⎜⎜⎜1 + tan x tan ⎟⎟⎟ = 4 [ĐH-khối B-2006]
⎝
2⎠
⎛ 7π
⎞
1
1
+
= 4 sin ⎜⎜⎜ − x ⎟⎟⎟
[ĐH-khối A-2008]
11/
⎝4
⎠
⎛
⎞⎟
sin x
3
π
sin ⎜⎜⎜x − ⎟⎟
⎝
2⎠
12/ 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x [ĐH-khối D-2008]
[CĐ-khối A,B,D-2009]
13/ (1 + 2 sin x )2 cos x = 1 + sin x + cos x
2
14/ (1 + 2sin x) cos x = 1 + sin x + cos x (CĐ−09)
π⎞
⎛
(1 + sin x + cos 2 x) sin ⎜ x + ⎟
1
4⎠
⎝
cos x ( A - 10)
15/
=
1 + tan x
2
16/ (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 (B−10)
17/ sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0 (D−10)
5x
3x
18/ 4cos cos + 2(8sinx − 1)cosx = 5 (CĐ−10)
2
2
1 + sin 2 x + cos 2 x
19/
= 2 sin x sin 2 x (A−11);
1 + cot 2 x
20/ cos4x + 12sin2x − 1 = 0 (CĐ11)
21/ sin 2 x cos x + sin x cos x = cos 2 x + sin x + cos x (B−11)
s in2x + 2 cos x − sin x − 1
= 0 (D11);
tan x + 3
23/ 3 s in2x+cos2x=2cosx-1 (A−12)
22/
24/ 2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1. (B−12)
25/ sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x (D−12)
26/ 2cos2x + sinx = sin3x. (CĐ−12)
Phương trình lượng giác
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
31
2
Ví dụ 12: Giải phương trình sin x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2.
Giải
Điều kiện: cosx ≠ 0. Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x)
⇔ tan3x – tan2x = 5tanx – 3 – 2 tan2x
⇔ tan3x + tan2x – 5tanx + 3 = 0 ⇔ tanx = 1 ∨ tanx = −3
y tanx = −3 ⇔ tanx = tanα (với tanα = −3) ⇔ x = α + kπ, k∈Z
π
y tanx = 1 ⇔ x = + kπ, k∈Z
4
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
2/ cos 2 x + 4 cos x − 5 = 0
1/ 2sin 2 x − s inx − 1=0
3/ 2 tan 2 x − 5 tan x + 3 = 0
4/ sin 2 x − 4sin x + 3 = 0
5/ cos 2 2 x + cos2 x − 2 = 0
6/ cot 2 x + 3cot x + 2 = 0
7/ 3 tan 2 x + 3 t anx = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1/ 6 cos 2 x + 5sin x − 2 = 0
3/ 2 cos 2 x + 5sin x − 4 = 0
5/ 6 − 4cos2x −9sinx = 0
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1/ cos2x = cosx
3/ cos2 x − 2sin x + 3 = 0
5/ sin2x – 2cos2x+cos2x=0
7/ cos2 x − 3cos x + 2 = 0
9/ 5cos 2 x + 7 sin x − 7 = 0
11/ cos2 x − 3sin x = 2
Bài 4: Giải các phương trình sau:
1. 2 cos 2 x + cos x = 1
3. cos 2 x + 3sin x − 2 = 0
5. cos 2 x − 2 cos x − 3 = 0
7. cos 2 x + 5sin x + 2 = 0
Bài 5: Giải các phương trình sau:
x
2
x
2
8/ 2sin 2 − 7 sin + 3 = 0
2/ 2 cos 2 x + 3sin x − 3 = 0
4/ cos2x + sinx + 1= 0
6/ 2sin2x+cos2x+sinx-1=0
2/ cos2x = sinx
4/ sin2x + cos2x + cosx = 0
6/ 2sin 2 x + 4sin x − cos2 x = −1
8/ 3cos 2 x + 8sin x − 5 = 0
10/ cos2 x + 9 cos x + 8 = 0
12/ cos2 x + cos x − 2 = 0
2. 4 cos 2 x + 4sin 2 x + 4sin x = 1
x
2
6. cos 2 x − sin x = 0
8. cos 2 x + 9 cos x + 5 = 0
4. cos x + 2 sin = 1
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
4
3
30
2
Phương trình lượng giác
⇔ tan x + tan x − 2tan x − 3tanx − 3 = 0
Đặt t = tanx, ta được pt: t4 + t3 − 2t2 − 3t − 3 = 0
⇔ (t − 3 )(t + 3 )(t2 + t + 1) = 0 ⇔ t =± 3 (do t2 + t + 1 > 0 ∀t)
π
⇔ tanx =± 3 ⇔ x = ± + kπ, k ∈Z
3
Ví dụ 9: Giải phươg trình: 2sin3x = cosx (1)
Giải
⇔ (tanx−1)(2tan2x +2tanx +1) = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x =
Ví dụ 10: Giải phươg trình: 3tan2x − 3tanx −
π
4
+ kπ, k∈Z
5
=0
2
5
sin 2 x
sin x 5
=0⇔3
−3
− =0
2
cos 2 x
cos x 2
⇔ 6(sin2xcosx − sinxcos2x) − 5cos2xcosx = 0
⇔ 6sinx − 5(2cos2x − 1)cosx = 0 ⇔ 6sinx + 5cosx − 10cos3x = 0
⇔ 6tanx(1 + tan2x) + 5(1 + tan2x) − 10 = 0
⇔ 6tan3x + 5tan2x + 6tanx − 5 = 0
1
⇔ tanx = = tanα ⇔ x = α + kπ, k∈Z
2
π
Ví dụ 11: Giải phương trình: sin (x − ) =
4
2 sinx
Giải
3
π
Ta có: sin (x − ) =
4
3
⎡
π ⎞⎤
⎛
2 sinx ⇔ ⎢ 2 sin ⎜ x − ⎟ ⎥ = 4sinx
4 ⎠⎦
⎝
⎣
⇔ (sinx − cosx)3 = 4sinx (*)
Nếu cosx = 0 thì pt (*) vô nghiệm ⇒ cosx ≠ 0
⇒ (*) ⇔ (tanx − 1)3 =4tanx(1 + tan2x)
⇔ 3tan3x + 3tan2x + tanx − 1 = 0
π
⇔ tanx = 1 ⇔ x = + kπ, k∈Z
4
π⎞
⎠
⎛π
⎞
− x ⎟ + sin 2 x = 0 (CĐ-13)
⎝2
⎠
2 ( sin x − 2 cos x ) = 2 − sin 2 x
29/ sin3x + cos2x – sinx = 0 (D-13); 30/ cos ⎜
31/ sin x + 4 cos x = 2 + s in2x (A−14) 32/
Bài 6. Giải các phương trình sau:
2/
sin 2x
+ 2 cos x = 0
1 + sin x
⎛
1
1
π⎞
−
= 2 2 cos ⎜⎜⎜x + ⎟⎟⎟
⎝
cos x sin x
4⎠
4/ (2 sin2 x − 1) tan2 2x + 3(2 cos2 x − 1) = 0
5/ 4 cos3 x cos 3x + 4 sin 3 x sin 3x = 2
⎛π
x⎞
6/ cot x +
sin x
=2
1 + cos x
7
7/ sin x .cos 4x − sin2 2x = 4 sin2 ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ −
⎝4 2⎠ 2
Đk: cos2x ≠ 0, cosx ≠ 0
3
⎛
⎝
27/ 1 + tan x = 2 2 sin ⎜ x + ⎟ (A-13); 28/ sin 5 x + 2 cos 2 x = 1 (B-13)
4
3/
Giải
Ta có: 3tan2x − 3tanx −
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
15
1/ sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x
sin 3 x
1
Vì cosx = 0 không thỏa (1) nên (1) ⇔ 2 3 =
cos x cos 2 x
⇔ 2tan3x = 1 + tan2x ⇔ 2tan3x − tan2x − 1 = 0
Phương trình lượng giác
8/ sin6 x + cos6 x = 2(sin 8 x + cos8 x ) ; 9/ cos x .cos 2x .cos 4x .cos 8x =
1
16
10/ sin 2x (cot x + tan 2x ) = 4 cos2 x ;
11/ 2 tan x + cot2x = 2 sin 2x +
1
sin 2x
⎛π
⎞
⎛π
⎞
13/ sin ⎜ + x ⎟ − cos ⎜ + 2 x ⎟ + 4 = 0
⎝6
⎠
⎝3
⎠
12/ sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = 2
3(sin x + tan x )
− 2(1 + cos x ) = 0
tan x − sin x
sin 4 x + cos4 x
1
= (tan x + cot2x )
16/
sin 2x
2
14/
15/ cos 3x . tan 5x = sin 7x
cos2 x (cos x − 1)
17/ sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) 18/
= 2(1 + sin x )
sin x + cos x
1 + cos x
(2 − sin2 2x )sin 3x
19/ tan2 x =
20/ tan 4 x + 1 =
1 − sin x
cos4 x
⎛
π⎞
1
1
2
+
; 22/ 2 tan x + cot2x = 3 +
21/ 2 2 sin ⎜⎜⎜x + ⎟⎟⎟ =
⎝
sin 2x
4 ⎠ sin x cos x
3
3
5
5
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
16
2
23/ 3 tan 3x + cot2x = 2 tan x +
sin 4x
24/ sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x
25/ (2 sin x + 1)(3 cos 4x + 2 sin x − 4) + 4 cos2 x = 3
Phương trình lượng giác
2+3 2
(CT x 3 ngược)
8
(1 − cos x )2 + (1 + cos x )2
1
27/
− tan2 x sin x = (1 + sin x ) + tan2 x
4(1 − sin x )
2
⎛π
⎞
28/ Tìm các nghiệm trên khoảng ⎜⎜⎜ ; 3π⎟⎟⎟ của phương trình
⎝3
⎠
⎛
⎛
5π ⎞
7π ⎞
sin ⎜⎜⎜2x + ⎟⎟⎟ − 3 cos ⎜⎜⎜x − ⎟⎟⎟ = 1 + 2 sin x
⎝
⎝
2⎠
2⎠
⎛ π⎞
29/ Tìm các nghiệm trên khoảng ⎜⎜⎜0; ⎟⎟⎟ của phương trình
⎝ 2⎠
26/ cos 3x .cos3 x − sin 3x .sin3 x =
sin2 4x − cos2 6x = sin(10, 5π + 10x )
Phương trình lượng giác
2
2
29
2
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
⇔ 4cos x + 3sinxcosx – sin x = 3(sin x + cos2x)
⇔ cos2x + 3sinxcosx – 4sin2x = 0 (*)
Nếu cosx = 0 thì (*) ⇔ −4sin2x = 0 ⇔ sinx = 0 (vô lí) ⇒ cosx ≠ 0
π
⎡ tan x = 1
⎡
x = + kπ
⎢
⇒ (*) ⇔ −4tan2x + 3tanx + 1 = 0 ⇔ ⎢
⇔
4
⎢ tan x = − 1 = tan α
⎢
4
⎣
⎣ x = α + kπ
Ví dụ 6: Giải phương trình: 2 3 cos 2 x + 6sin x.cos x = 3 + 3 (1)
Giải
Cách 1: (1) ⇔ 3(1 + cos 2 x) + 3sin 2 x = 3 + 3 ⇔ cos 2 x + 3 sin 2 x = 3
1
3
3
π
3
⇔
⇔ cos(2 x − ) =
cos 2 x +
sin 2 x =
2
2
2
3
2
π
π
π
⎡
⎡
⎢ 2 x − 3 = 6 + k 2π
⎢ x = 4 + kπ
,k ∈
⇔⎢
⇔⎢
⎢ 2 x − π = − π + k 2π
⎢ x = π + kπ
⎢⎣
⎢⎣
3
6
12
Cách 2: Nếu cosx = 0 thì (1) ⇔ 0 = 3 + 3 (vô nghiệm) ⇒ cosx ≠ 0
⇒ (1) ⇔ 2 3 + 6tanx = (3 + 3 )(1 + tan2x)
⇔ (3 + 3 )tan2x − 6tanx + 3 − 3 = 0
π
⎡
x
=
+ kπ
⎡ tan x = 1
⎢
4
⎢
,k ∈
⇔
⇔⎢
⎢ tan x = 2 − 3 = tan π
⎢ x = π + kπ
12
⎣
⎢⎣
12
Ví dụ 7: Giải phương trình: 9cos3x − 5cosx + sin3x = 0 (1)
Giải
Vì cosx = 0 không thỏa pt (1) nên chia cả 2 vế của (1) cho cos3x ta
được: tan3x − 5(1 + tan2x) + 9 = 0 ⇔ tan3x − 5tanx + 4 = 0
⇔ (tanx − 1)(tan2x − 4tanx − 4) = 0
Ví dụ 8: Giải phương trình:
5cos4x +3cos3xsinx +6cos2xsin2x −cosxsin3x + sin4x = 2 (1)
Giải
Vì cosx = 0 không thỏa pt (1) nên
(1) ⇔ tan4x - tan3x + 6tan2x + 3tanx + 5 = 2(1 + tan2x)2
⇔ tan4x - tan3x + 6tan2x + 3tanx + 5 = 2(1 + 2tan2x + tan4x)
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
28
Phương trình lượng giác
1
e/ Ta có: 1+ sin2x = 2(cos4x + sin4x) ⇔ 1+ sin2x = 2(1 − sin22x)
2
−1 + 5
−1 − 5
∨ sin2x =
(VN)
⇔ sin22x + sin2x − 1 = 0 ⇔ sin2x =
2
2
−1 + 5
⇔ sin2x = sinα, với sinα =
2
α
⎡
x = + kπ
⎢
⎡ 2 x = α + k 2π
2
⇔ ⎢
, k∈Z
⇔ ⎢
2
2
x
π
α
k
π
π
=
−
+
⎣
⎢ x = − α + k 2π
⎢⎣
2 2
2
Ví dụ 3: Giải phương trình: cot x − tan x + 4sin 2 x =
(2)
sin 2 x
Giải
Điều kiện: sin2x ≠ 0
cos x sin x
2
−
+ 4sin 2 x =
Ta có: (2) ⇔
sin x cos x
sin 2 x
2
2
2 cos 2 x
2
cos x − sin x
2
⇔
+ 4sin 2 x =
⇔
+ 4sin 2 x =
sin x.cos x
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
⇔ 2cos2x + 4sin22x = 2 ⇔ cos2x + 2(1 − cos22x) = 1
⇔ −2cos22x + cos2x + 1 = 0 ⇔ cos2x = −
2π
π
⇔ 2x = ± + k2π ⇔ x = ± + kπ, k∈Z
3
3
1
∨ cos2x = 1 (loại)
2
Ví dụ 4: Giải phương trình: 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1
Giải
Ta có: 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1
⇔ 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = sin2x + cos2x
⇔ sin2x + 4sinx.cosx – 5cos2x = 0 (1)
Nếu cosx = 0 thì (1) ⇔ sin2x = 0 ⇔ sinx = 0 (vô lí) ⇒ cosx ≠ 0
π
⎡
x = + kπ
⎡ tan x = 1
2
⎢
⇒ (1) ⇔ tan x + 4tanx − 5 = 0 ⇔ ⎢
⇔
,k∈Z
4
⎢
⎣ tan x = −5 = tan β
⎣ x = β + kπ
2
2
Ví dụ 5: Giải phương trình: 4cos x + 3sinxcosx – sin x = 3
Giải
2
2
Ta có: 4cos x + 3sinxcosx – sin x = 3
Phương trình lượng giác
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
17
Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH: asinx + bcosx = c (1) (a2 + b2 ≠ 0)
1. Cách giải: Chia cả 2 vế của pt cho
a
a 2 + b2
sinx +
b
a 2 + b2
⇔cosαsinx+sinαcosx=
⇔ sin(x + α) =
c
a 2 + b2
cosx =
c
a +b
2
2
a 2 + b 2 ta được:
c
a 2 + b2
a
(với cosα=
a +b
2
2
b
,sinα=
a + b2
2
)
(2)
2. Điều kiện để phương trình có nghiệm:
c
Pt (1) có nghiệm ⇔(2) có nghiệm ⇔
a +b
2
2
≤ 1 ⇔ a2 + b2 ≥ c2
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a/ cosx − sinx = −1
b/ sin2x − cos2x = −1
c/ sin2x + cos2x = 0
d/ sinx + 3 cosx = 1
e/ 3cos3x + 4cos3x = −3
f/ 3 sinx + cosx = −2
Giải
π
π
1
a/ Ta có: cosx − sinx = −1 ⇔ 2 cos(x + ) = −1 ⇔ cos(x + ) = −
4
4
2
⎡ π 3π
π
⎡
⎢ x + 4 = 4 + k 2π
x = + k 2π
π
3π
⎢
⇔⎢
⇔
, k∈Z
⇔ cos(x+ ) = cos
2
⎢
4
4
⎢ x + π = − 3π + k 2π
⎣ x = −π + k 2π
⎢⎣
4
4
π
π
1
b/ Ta có: sin2x −cos2x = −1 ⇔ 2 sin(2x− )=−1 ⇔sin(2x− ) = −
4
4
2
π
π
⎡
⎡ x = kπ
⎢ 2 x − 4 = − 4 + k 2π
⇔ ⎢ 3π
, k∈Z
⇔⎢
⎢
5
π
π
=
+
x
k
π
⎢2 x − =
+ k 2π
⎣
4
⎢⎣
4
4
Cácch khác: sin2x −cos2x = −1 ⇔ sin2x + 1 −cos2x = 0
⇔ 2sinxcosx + 2sin2x = 0 ⇔ 2sinx(cosx + sinx) = 0
⇔ sinx = 0 ∨ cosx + sinx = 0
y sinx = 0 ⇔ x = kπ, k∈Z
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
18
Phương trình lượng giác
π
y cosx + sinx = 0 ⇔ sinx = −cosx ⇔ tanx= −1 ⇔x = − +kπ, k∈Z
c/ Ta có: sin2x + cos2x = 0 ⇔
2 sin(2x +
π
π
π
⇔ 2x + = kπ ⇔ x = − + k , k∈Z
4
8
π
4
4
π
) = 0 ⇔ sin(2x + ) = 0
4
2
Cácch khác: sin2x + cos2x = 0 ⇔ sin2x = −cos2x
π
π
π
⇔ tan2x = −1 ⇔ 2x = − + kπ ⇔ x = − + k , k∈Z
4
8
2
1
3
1
cosx =
d/ Ta có: sinx + 3 cosx = 1 ⇔ sinx +
2
2
2
π
π
1
π
π
⇔ sinxcos + sin cosx = ⇔ sin(x + ) = sin
2
3
3
3
6
π
⎡ π π
⎡
⎢ x + 3 = 6 + k 2π
⎢ x = − 6 + k 2π
⇔ ⎢
, k∈Z
⇔⎢
⎢ x + π = 5π + k 2π
⎢ x = π + k 2π
⎢⎣
⎢⎣
3
6
2
3
4
3
e/ Ta có: 3cos3x + 4cos3x = −3 ⇔ cos3x + sin3x = −
5
5
5
3
4
⇔ cos3xcosα + sin3xsinα = −cosα, với cosα = , sinα =
5
5
⇔ cos(3x − α) = cos(π − α)
π
2π
⎡
x = +k
⎢
⎡3 x − α = π − α + k 2π
3
3
⇔ ⎢
, k∈Z
⇔ ⎢
⎣3 x − α = −π + α + k 2π
⎢ x = − π + 2α + k 2π
⎢⎣
3 3
3
f/ Ta có: 3 sinx + cosx = −2 ⇔
3
1
sinx + cosx = −1
2
2
π
π
π
⇔ sinxcos + sin cosx = −1 ⇔ sin(x + ) = −1
6
2π
⇔ x + = − + k2π ⇔ x = − + k2π, k∈Z
6
2
3
π
6
π
6
Ví dụ 2: Cho phương trình sinx + mcosx = 1
a/ Giải pt khi m = − 3 .
b/ Tìm m để phương trình vô nghiệm
Giải
Phương trình lượng giác
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
27
π
⎡
x = + k 2π
⎢
1
6
y sinx = ⇔ ⎢
(k ∈ Z )
2
⎢ x = 5π + k 2π
⎢⎣
6
d/ Ta có:tan4x + 4tan2x − 5 = 0 ⇔ tan2x = 1 ∨ tan2x = −5 (vô nghiệm)
π
⇔ tanx = ±1 ⇔ x = ± + kπ, k∈Z
4
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a/ 2cos2x − 3cosx + 1 = 0
b/ 5sin2x − 4sinx + 1 = 0
c/ cos2x − 3cosx − 4 = 0;
d/ cos4x + 3sin2x = 2
4
4
e/ 1+ sin2x = 2(cos x + sin x)
Giải
⎡ x = k 2π
⎡cos x = 1
2
⎢
a/ Ta có: 2cos x − 3cosx + 1 = 0 ⇔
⇔⎢
,k ∈
⎢ x = ± π + k 2π
⎢cos x = 1
⎣
⎣
3
1
b/ Ta có: 5sin2x − 4sinx + 1 = 0 ⇔ sinx = 1 ∨ sinx = −
5
y sinx = 1 ⇔ x =
y sinx = −
π
2
2
+ k2π, k∈Z
1
= sinα ⇔ x = α + k2π ∨ x = π − α + k2π, k∈Z
5
c/ Ta có: cos2x − 3cosx − 4 = 0 ⇔ 2cos2x − 3cosx − 5 = 0
⇔ cosx = −1 ∨ cosx =
5
(vô nghiệm)
2
cosx = −1 ⇔ x = π + k2π, k∈Z
d/ Ta có: cos4x + 3sin2x = 2 ⇔ 1 − 2sin22x + 3sin2x − 2 = 0
⇔ −2sin22x + 3sin2x − 1 = 0 ⇔ sin2x = 1 ∨ sin2x =
π
π
y sin2x = 1 ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ, k∈Z
2
4
π
π
⎡
⎡
2 x = + k 2π
x = + kπ
⎢
⎢
1
6
12
,k ∈
⇔⎢
y sin2x = ⇔ ⎢
2
⎢ 2 x = 5π + k 2π
⎢ x = 5π + kπ
⎢⎣
⎢⎣
6
12
1
2
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
26
Phương trình lượng giác
Vấn đề 4: ĐẠI SỐ HÓA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1/ Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác:
Dạng: af2(x) +bf(x) +c= 0 (a≠0); af3(x)+bf2(x) +cf(x) +d = 0 (a ≠0); …
Trong đó f(x) là một trong các hàm số sinx, cosx, tanx, cotx.
Cách giải: Đặt t=sinx, đk:|t| ≤1 hoặc t=cosx, đk:|t|≤1 hoặc t=tanx hoặc
t=cotx
2/ Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx:
Một pt chỉ chứa sinx và cosx gọi là pt đẳng cấp theo sinx và cosx
nếu các đơn thức chứa trong pt có cùng bậc chẵn hoặc cùng bậc lẻ. Khi
đó, ta xét cosx=0 (hoặc sinx = 0) có thỏa pt hay không, nếu thỏa thì ta
ghi nhận nghiệm này; sau đó xét cosx ≠ 0 (hoặc sinx ≠ 0), chia 2 vế của
phương trình cho coskx (hoặc sinkx) (với pt bậc k) và đưa pt đã cho về
pt theo tanx (hoặc cotx).
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a/ 2sin2x – 5sinx – 3 = 0
b/ cot22x – 4cot2x -3 = 0
c/ 2cos2x +3sinx - 3 = 0
d/ tan4x + 4tan2x - 5 = 0
Giải
1
a/ Ta có: 2sin x – 5sinx – 3 = 0 ⇔ sinx = − ∨ sinx = 3 (vô nghiệm)
2
1
π
7π
sinx = − ⇔ x = − + k2π ∨ x =
+ k2π, k∈Z
6
2
6
⎡ cot 2 x = 1
b/ Ta có: cot22x – 4cot2x − 3 = 0 ⇔ ⎢
⎣ cot 2 x = 3
2
⎡ cot 2 x = 1
⇔ ⎢
, với cotα = 3 ⇔
⎣ cot 2 x = cot α
π
π
⎡
π
⎡
⎢x = 8 + k 2
2
x
k
π
=
+
⎢
⇔ ⎢
, k∈Z
4
⎢
α
π
⎢x = + k
⎣ 2 x = α + kπ
⎢⎣
2
2
c/ Ta có: 2cos2x +3sinx − 3 = 0 ⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0
⇔ 2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0 ⇔ 2sin2x – 3sinx + 1 = 0
⇔ sinx = 1 ∨ sinx =
y sinx = 1 ⇔ x =
π
2
1
2
+ k 2π ( k ∈ Z )
Phương trình lượng giác
19
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
1
3
1
sinx −
cosx =
2
2
2
π
⎡
x = + k 2π
⎢
π
π
1
π
π
2
⇔ sinx.cos −sin .cosx = ⇔ sin(x − ) = sin ⇔ ⎢
7
3
3
3
6
2
⎢ x = π + k 2π
⎢⎣
6
a/ Khi m = − 3 , ta có pt sinx − 3 cosx = 1 ⇔
b/ Pt đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi m2 + 1 < 1 ⇔ m2 < 0 ⇔ m∈∅
Vậy không có giá trị nào của m để pt đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: a/ cos2x + 2 3 sinxcosx + 3sin2x = 1
b/ cos7x.cos5x – 3 sin2x = 1 – sin7x.sin5x
Giải
2
a/ Ta có: cos x + 2 3 sinxcosx + 3sin2x = 1
⇔ cos2x + 3 sin2x + 3sin2x = sin2x + cos2x
⇔ 3 sin2x +2sin2x =0 ⇔ 3 sìn2x −cos2x = −1
⇔
3
1
1
sin2x− cos2x =−
2
2
2
π
π
1
π
π
⇔ sin2xcos − sin cos2x = − ⇔ sin(2x − ) = sin(− )
6
6
2
6
π
π
⎡
⎡ x = kπ
⎢ 2 x − 6 = − 6 + k 2π
⇔ ⎢
, k∈Z
⇔⎢
⎢ x = 2π + kπ
π
π
7
⎢ 2x − =
+ k 2π
3
⎣
⎢⎣
6
6
b/ Ta có: cos7x.cos5x – 3 sin2x = 1 – sin7x.sin5x
⇔ cos7x.cos5x + sin7x.sin5x – 3 sin2x = 1
1
3
1
cos2x –
sin2x =
2
2
2
π
π
1
π
π
⇔ cos2xcos − sin sin2x = ⇔ cos(2x + ) = cos
3
3
3
3
2
π
π
⎡
⎡ x = kπ
⎢ 2 x + 3 = 3 + k 2π
⇔⎢
, k∈Z
⇔⎢
⎢ x = − π + kπ
⎢ 2 x + π = − π + k 2π
3
⎣
⎢⎣
3
3
⇔ cos2x – 3 sin2x = 1 ⇔
6
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
20
Phương trình lượng giác
⎛ 2π 6π ⎞
;
⎟ thỏa phương trình: cos7x − 3 sin7x = – 2
⎝ 5 7 ⎠
Ví dụ 4: Tìm x∈ ⎜
Giải
1
3
2
cos7x −
sin7x = −
2
2
2
π
π
2
π
3π
⇔ cos7x cos − sin sin7x = −
⇔ cos(7x + ) = cos
3
3
3
2
4
π 3π
5π
2π
⎡
⎡
⎢ 7 x + 3 = 4 + k 2π
⎢ x = 84 + k 7
⇔ ⎢
, k∈Z
⇔ ⎢
π
π
π
π
3
13
2
⎢7 x + = −
⎢x = −
+ k 2π
+k
⎢⎣
⎢⎣
3
4
84
7
53π
59π
5π
⎛ 2π 6π ⎞
, x2 =
, x3 = .
Do x∈ ⎜ ; ⎟ nên ta có các nghiệm là: x1 =
84
84
12
⎝ 5 7 ⎠
Ta có: cos7x − 3 sin7x = – 2 ⇔
Ví dụ 5: Giải pt: sin8x −cos6x = 3 (sin6x + cos8x) (1)
Giải
Ta có: (1) ⇔ sin8x − 3 cos8x = 3 sin6x + cos6x
⇔
1
3
3
1
sin8x −
cos8x =
sin6x + cos6x
2
2
2
2
π
⇔ sin8xcos
3
π
−sin
π
3
cos8x = sin6xcos
⇔ sin(8x − ) = sin(6x +
3
π
6
π
6
+ sin
π
6
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
2/ 3sin x + 3 cos x = − 3
1/ 2sin x − 2 cos x + 2 = 0
4/ cos7 x + 3 sin 7 x = 2
3 5 s inx + 2 cos x = 4
6/ 3sin 2 x + 4 cos 2 x = 5
5/ 2 s inx − cos x = 3
8/ sin 5 x + cos5 x = 2 s inx
7/ 5cos 2 x − 12sin 2 x = 13
10/ 3 cos x + sin x = 2
9/ sin 7 x + 3 cos 7 x = 2
11/ 5 cos 2x − 12 sin 2x = 13
12/ 2 sin x − 5 cos x = 4
Bài 2: Giải các phương trình sau:
⎛π
⎝2
⎞
⎠
2/ sin ⎜⎜⎜ + 2x ⎟⎟⎟ + 3 sin(π − 2x ) = 1
8/ 3 sin x = 3 − 3 cos x
7/ sin x + cos x = 2 2 sin x cos x
9/ sin 8x − cos 6x = 3(sin 6x + cos 8x )
π
π
π
⎡
⎡
⎢8 x − 3 = 6 x + 6 + k 2π
⎢ x = 4 + kπ
⇔⎢
, k∈Z
⇔ ⎢
⎢8 x − π = −6 x + 5π + k 2π
⎢x = π + k π
⎢⎣
⎢⎣
12
7
3
6
1 + sin x
Ví dụ 6: Tìm x sao cho y =
là số nguyên
2 + cos x
π
4
1
4
10/ cos 3x − sin x = 3(cos x − sin 3x ) ;
11/ sin 4 x + cos4 (x + ) =
11/ 3 sin 3x − 3 cos 9x = 1+ 4 sin 3 x ;
12/ 2 cos 2x = 6(cos x − sin x )
13/ (1 + 3)sin x + (1 − 3)cos x = 2 ; 14/ (2 cos x − 1)(sin x + cos x ) = 1
15/ 9 sin x + 6 cos x − 3 sin 2x + cos 2x = 8
⎛
π⎞
16/ (sin 2x + 3 cos 2x )2 − 5 = cos ⎜⎜⎜2x − ⎟⎟⎟
⎝
Giải
có nghiệm x∈R
π
π
π k 2π
⎡
⎡
5 x − = − + k 2π
x=− +
⎢
⎢
π⎞
⎛
6
3
30
5
⇔⎢
⇔ cos ⎜ 5x- ⎟ = cos2x ⇔ ⎢
(k ∈ Z )
6⎠
⎝
⎢5 x − π = π + k 2π
⎢ x = π + k 2π
⎢⎣
6 3
10
5
⎣⎢
3/ sin x = 2 sin 5x − cos x
4/ sin 2x + cos 2x = 2 sin 3x
4
4
5/ 2(cos x − sin x ) = cos x + sin x 6/ 2 sin2 x + 3 sin 2x = 3
)
Trước hết ta tìm miền giá trị của y, tức là tìm y sao cho pt
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
25
1/ (sin x − 1)(1 + cos x ) = cos2 x
cos6x
TXĐ: D = R
Phương trình lượng giác
1 + sin x
=y
2 + cos x
6⎠
1
2
17/ 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4x = 2 ; 18/ 1 + sin 3 x + cos3 x = sin 4x
19/ 2 2(sin x + cos x )cos x = 3 + cos 2x ; 20/ 2 cos 3x + 3 sin x + cos x = 0
⎛
⎝
⎞
4⎠
21/ Tìm nghiệm x∈(0;π) của pt 4 sin2 x − 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 ⎜⎜⎜x − 3π ⎟⎟⎟
2
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
24
Phương trình lượng giác
4
3
⇔ sin2xcosα + sinαcos2x = 1 với cosα = , sinα =
5
5
⇔ sin(2x + α) = 1 ⇔ 2x + α =
π
+ k2π ⇔ x =
π
−
α
2
4 2
3
3
5 3
b/ 1 + sin 4 x = cos6 x + sin 6 x ⇔ 1 + sin 4 x = + cos4x
8
8
8 8
π⎞
π⎞
2
⎛
⎛
⇔ cos4x-sin4x=1 ⇔ 2cos ⎜ 4x+ ⎟ = 1 ⇔ cos ⎜ 4x+ ⎟ =
4⎠ 2
4⎠
⎝
⎝
π
π π
⎡
⎡
⎢x = k 2
⎢ 4x+ 4 = 4 + k 2π
⇔⎢
⇔⎢
(k ∈ Z )
⎢x = − π + k π
⎢ 4x+ π = − π + k 2π
⎢⎣
8
2
4
4
⎣⎢
Ví dụ 10: Giải các phương trình sau :
a/ cos7x-sin5x= 3 ( cos5x-sin7x )
+ kπ, k∈Z
π
y Với y = 0 thì (2) ⇔ sinx = −1 ⇔ x = − + k2π
2
y Với y = 1 thì (2) ⇔ sinx − cosx = 1 ⇔
3
a/ cos7x-sin5x= 3 ( cos5x-sin7x ) ⇔ cos7x+ 3 sin 7 x = 3cos5x+sin5x
1
3
3
1
π⎞
π⎞
⎛
⎛
⇔ cos7x+
sin 7 x =
cos5x+ sin5x ⇔ cos ⎜ 7x+ ⎟ = cos ⎜ 5x- ⎟
2
2
2
2
3⎠
6⎠
⎝
⎝
π
π
π
π
⎡
⎡
⎡
⎢7 x + 3 = 5 x − 6 + k 2π
⎢ 2 x = − 2 + k 2π
⎢ x = − 4 + kπ
⇔⎢
⇔⎢
⇔⎢
(k ∈ Z )
⎢7 x + π = −5 x + π + k 2π
⎢12 x = − π + k 2π
⎢ x = − π + kπ
⎢⎣
⎢⎣
⎢⎣
6
72 6
3
6
3
3
b/ 3sin 3x − 3cos9x=1+4sin 3x ⇔ 3sin 3x − 4sin 3 x + 3cos9x=1
3
1
cos5x+ sin5x=cos2x
2
2
2 sin(x −
π
⎡
x = + k 2π
1
π
= sin ⇔ ⎢
2
⎢
4
2
⎣ x = π + k 2π
π
⇔ sin(x − ) =
b/ 3sin 3x − 3cos9x=1+4sin 3x
1
3
1
π⎞
π
⎛
sin 9 x +
cos9x= ⇔ cos ⎜ 9x- ⎟ =cos
2
2
2
6⎠
3
⎝
π
π k 2π
⎡
= k 2π
x= +
⎢
3
18
9
⇔⎢
(k ∈ Z )
π
π k 2π
⎢
= − + k 2π
x=− +
⎢⎣
3
27
9
4
3
⇒ y nhận giá trị nguyên là y = 0, y = 1
Giải
c/ 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 ⇔
⇔ sinx − ycosx = 2y −1 (2)
Pt (2) có nghiệm x∈R ⇔ 1 + (−y)2 ≥ (2y − 1)2
4
⇔ sin 9 x + 3cos9x=1 ⇔
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
21
1 + sin x
Ta có
= y ⇔ 1 + sinx = y(2 + cosx)
2 + cos x
⇔ 3y2 − 4y ≤ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤
c/. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0
⎡ π
⎢9x- 6
⇔ ⎢
⎢9x- π
⎢⎣
6
Phương trình lượng giác
π
4
)=1
π
1 + sin x
Tóm lại với x =± +k2π ∨ x =π +k2π thì y =
là số nguyên
2 + cos x
2
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau :
2
x
x⎞
⎛
a/ ⎜ sin + cos ⎟ + 3cosx=2
2
2⎠
⎝
b/
(1 − 2sin x ) cosx =
(1 + 2sin x )(1 − s inx )
3
c/ s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 ( cos4x+sin 3 x )
d/ 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0
Giải
⎛
x
x⎞
2
1
3
1
a/ ⎜ sin + cos ⎟ + 3cosx=2 ⇔ 1+sinx+ 3cosx=2 ⇔ sinx+ cosx=
2
2⎠
2
2
2
⎝
π
⎡ π π
⎡
x + = + k 2π
x = − + k 2π
⎢
⎢
π⎞
π
⎛
3 6
6
⇔ sin ⎜ x + ⎟ = sin ⇔ ⎢
⇔⎢
(k ∈ Z )
3⎠
6
⎝
⎢ x + π = 5π + k 2π
⎢ x = π + k 2π
⎢⎣
3
6
⎢⎣
2
1
(1 − 2sin x ) cosx = 3 . Điều kiện : ⎧⎪s inx ≠ b/
2
⎨
(1 + 2sin x )(1 − s inx )
⎪⎩s inx ≠ 1
Khi đó:
(1 − 2sin x ) cosx =
(1 + 2sin x )(1 − s inx )
3 ⇔ cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin 2 x
GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121
22
Phương trình lượng giác
π⎞
π⎞
⎛
⎛
⇔ cosx-sinx=sin2x+cos2x ⇔ 2cos ⎜ 2x- ⎟ = 2cos ⎜ x + ⎟
4⎠
4⎠
⎝
⎝
π
π
π
⎡
⎡
⎢ x = 2 + k 2π
⎢ 2 x − 4 = x + 4 + k 2π
⇔⎢
⇔⎢
(k ∈ Z )
⎢ x = k 2π
⎢ 2 x − π = − x − π + k 2π
⎢⎣
⎢⎣
3
4
4
c/ s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 ( cos4x+sin 3 x )
1
3
1
cos4x+
sin 4 x = −
2
2
2
π
π
1
π
2π
⇔ cos cos4x + sin sin4x = − ⇔ cos(4x − ) = cos
3
3
3
2
3
π 2π
π kπ
⎡
⎡
⎢ 4 x − 3 = 3 + k 2π
⎢x = 4 + 2
⇔⎢
⇔⎢
(k ∈ Z )
⎢ 4 x − π = − 2π + k 2π
⎢ x = − π + kπ
⎢⎣
3
3
12 2
⎣⎢
4
4
b/ sin x − cos x = 2 3 s inxcosx+1 ⇔ cos2x+ 3 sin 2 x = −1
6
π
π
sin3x + cos cos3x ⇔ cos4x = cos(3x − )
6
6
π
π
⎡
⎡
⎢ 4 x = 3x − 6 + k 2π
⎢ x = − 6 + k 2π
⇔⎢
⎢
(k ∈ Z )
⎢ 4 x = −3 x + π + k 2π
⎢ x = π + k 2π
⎢⎣
⎢⎣
6
42
7
d/ 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 ⇔ 3cos5x- ( sin5x+sinx ) − s inx=0
3
1
⇔ 3cos5x-sin5x=2sinx ⇔
cos5x- sin 5 x = s inx
2
2
π
π
π
π
⇔ cos cos5x − sin sin5x = sinx ⇔ cos(5x + ) = cos( − x)
6
6
6
2
π π
π kπ
⎡
⎡
⎢5 x + 6 = 2 − x + k 2π
⎢ x = 18 + 3
⇔⎢
⇒⎢
(k ∈ Z )
⎢5 x + π = x − π + k 2π
⎢ x = − π + kπ
⎢⎣
⎢⎣
6
2
6 2
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau :
a/ 4 ( sin 4 x + cos 4 x ) + 3 sin 4 x = 2 b/ sin 4 x − cos 4 x = 2 3 s inxcosx+1
c/ cos 2 x = 3 sin 2 x + 2 ( s inx+cosx )
Giải
3 1
a/ 4 ( sin x + cos x ) + 3 sin 4 x = 2 ⇔ 4( + cos 4 x) + 3 sin 4 x = 2
4 4
4
4
1
3
π⎞
⎛
cos2x+
sin 2 x = −1 ⇔ cos ⎜ 2x- ⎟ = −1
2
2
3⎠
⎝
π
2π
⇔ 2 x − = π + k 2π ⇒ x =
+ kπ , k∈Z
3
3
⇔
1
3
⇔ sin3x + 3 cos3x = 2cos4x ⇔ sin 3x +
cos3x=cos4x
2
2
π
GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183
23
⇔ cos4x + 3 sin4x = −1 ⇔
⇔ sinx(1 − 2sin2x) + sin2xcosx + 3 cos3x = 2cos4x
⇔ sinxcos2x + sin2xcosx + 3 cos3x = 2cos4x
⇔ cos4x = sin
Phương trình lượng giác
π⎞
⎛
c/ cos 2 x = 3 sin 2 x + 2 ( s inx+cosx ) ⇔ cos2x- 3 sin 2 x = 2sin ⎜ x + ⎟
4
⎝
⇔
⎠
1
3
π⎞
⎛
cos2xsin 2 x = sin ⎜ x + ⎟
2
2
4⎠
⎝
π
π
π
π
π
⇔ cos2xcos −sin sin2x = sin(x + ) ⇔cos(2x + ) = cos( −x)
3
3
4
π π
⎡
⎢ 2 x + 3 = 4 − x + k 2π
⇔
⇔ ⎢
⎢ 2 x + π = − π + x + k 2π
⎢⎣
3
4
3
4
π
2π
⎡
⎢ x = − 36 + k 3
, k∈Z
⎢
⎢ x = − 7π + k 2π
⎢⎣
12
Ví dụ 9: Giải các phương trình sau :
a/ 2sin 4 x + 16sin 3 x.cosx + 3cos 2 x = 5
3
8
b/ 1 + sin 4 x = cos6 x + sin 6 x
Giải
a/ 2sin 4 x + 16sin x.cosx + 3cos 2 x = 5 (1)
Ta có: 16sin3xcosx = 2sinxcosx.8sin2x = 4sin2x(1 − cos2x)
= 4sin2x − 2sin4x
2
sin
4
x
+ 4 sin 2 x − 2sin 4 x +3cos2x=5
Ta có (1): ⇔
3
⇔ 4sin2x.+3cos2x=5 ⇔
4
3
sin 2 x + cos2x=1
5
5
