Bài tập giới hạn dãy số và hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (143.46 KB, 3 trang )
BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM
SỐ
1
Khảo sát tính đơn điệu của các dãy số sau
1
1. xn = cos( √ ) + n
n
n
2. xn =
n−1
1
(2n − 1)!!
.
3. xn =
(2n)!! 2n + 1
2
1−
4. xn =
5.
x0 = 3
xn+1 =
1
2
1−
1
3
... 1 −
1
n
xn
+1
2
Chứng minh dãy số sau đơn điệu và vị chặn
x = 3
1
1.
2
x
=
x2n − 2xn + 2
n+1
2. xn =
2+
3. xn = 1 +
3
2+
2 + ... +
√
2
1
1
1
+ 2 + ... + 2
2
2
3
n
Tính giới hạn
3.1
Tính giới hạn các dãy số sau
√
9n
n→∞ n!
2. lim
n→∞
1
1
1
1 + √ + √ + ... + √
n
2
3
3. lim 1 −
n→∞
n→∞
2n + 3n
n→∞ 2n − 3n
8. lim
1 1
1
+ + ... + (−1)n n
2 4
2
n+1
n + (−2)n
(−1)n−1
n→∞ ln n − n
5. lim
3.2
n cos(nπ) + (n2 + 1) arctan n + n3 − 2
n→∞
2n3 + 1
2n3 + 3n2 − ln9 n
n→∞
3 ln7 n − n3
√
11. lim n 3n n2 − 2n
10. lim
n→∞
Tìm giá trị của α để các giới hạn sau là đúng
1. lim nα−2
n→∞
2. lim nα
nto∞
2 +1
√
n2 − 1 − 2n = 0
√
3
n→∞
9. lim
4. lim
3
n3 + 2n − 1 − 5n n 2 + 3n + 5
6. lim
n→∞
n+1
√
√
7. lim
n2 + 1 − 3 n3 + 1
1. lim
n2 + 1 − n = +∞
1
√
3
3. lim n2α+3
n→∞
3.3
n3 + 1 − n2
=0
3n − 2
Tính giới hạn các hàm số sau
xx − 1
x→1 ln x
15. lim
1. lim
x→+∞
2. limπ (1 + cos x)
x→+∞
17.
1
x→±∞
tan(4x − π)
x→ 4 ±0
2x − π2
lim
π
ln cos(−2x)
x→0 ln cos 3x
1
4. lim± x e x − 1
18. lim
x→0
√
m
x−1
, với m, n là các số tự nhiên.
5. lim √
n
x→1
x−1
√
√
x+ x−1−1
√
6. lim
x→1
x2 − 1
√
2 − 2 cos x
7. limπ
x→ 4
π − 4x
πx
x−a
sin
2a
2
5x − 3x
x→∞ 5x + 4x
1
19. lim+ (e x + x1 )x
x→0
2x − x2
x→2 x − 2
20. lim
tan(2x) − 3 arcsin(4x)
x→0 sin(5x) − 6 arctan(7x)
21. lim
1
22. lim (x + 2x ) x
x→+∞
23. lim+
x→0
9. lim
10. lim (cos)
√
x + 1 − sin x
1
3. lim x e x − 1
x→a
√
16. lim (2 + x) x
1
sin2 x
x→ 2
8. lim tan
sin
24. lim
1
x2
e
x→1
ex + ln(1 + 2 sin x) − 1
√
3
8 − x4 − 2
x−1
x
−1
x−1
x→0
2
ln (x + 2x + 3)
11. lim
x→∞ ln (3x4 + 12x + 1)
12. lim
x→0
13. lim
loga x(1 + x)
x
x→∞
x−3
x+2
x→0
−1
x−1
√
1 + x cos x − 1 + 2x
26. lim
x→0
ln(1 + x)
27. lim
1
x
28. lim
x→∞
x→0
4
x−1
x
etan x − ex
x→0 tan x − x
2x+1
14. lim (sin x + cos 2x)
25. lim±
e
2x2 + 3
2x2 − 1
x2
Vô cùng bé và vô cùng lớn
4.1
Tìm các tham số a, b để VCB α(x) ∼ axp khi x → 0
1. α(x) = (etan x − 1) sinh(x2 − 3x4 )
√
2. α(x) = ln(arcsin x + 1)( 3 x2 + 1 − 1)
√
√
3. α(x) = 3 cos 2x − cos x
5. α(x) = ex − sin 2x − cosh x
√
√
6. αx = 1 + 2x2 − 3 1 + x2
7. α(x) = (x + 1) tan x − sin x
4. α(x) = ex − cosh x
8. α(x) = (x2 + 1) tan x − sin x
2
4.2
1.
So sánh bậc các VCB
α(x) = esin x − etan x
β(x) = ln(1 + x sin x)
,x → 0
α(x) = cos x − cosh x
,x → 0
β(x) = x2 − 2 arcsin x
α(x) = arctan x
, x → +∞
3.
x2
β(x) = e−x
2.
4.
√
α(x) = ex(x+1) − 1 + 2x
β(x) = x2 − 2 sinh x
5.
α(x) = x arctan x + (x + 1) ln(1 − 2x)
√
3
β(x) = x2 + x3 + 4 x12 + x8
4.3
1.
,x → 0
, x → 0+
So sánh bậc các VCL
α(x) = x ln x
β(x) = ln2 x
x→∞
α(x) = x3 − 2 ln x
x→∞
β(x) = 3(x2 + 1) ln x
α(x) = 1
3.
x → 0+
x
β(x) = ln x
2.
4.
4.4
α(x) =
3
√
x12 + x4 x
x5 +
β(x) = sin2 x3 + 2x
x→∞
Tính giới hạn
ln(1 + x + ex )
1. lim
x→+∞
x + ex
√
3
x−1−1
2. lim
x
x→2
ln
2
3
x→±∞
5. lim
x→0
(1 + 4x)
e4
1
7. lim
x→0
(cos x)tan x − 1
3. lim
x→0
x3 − 3x4
sin x − cos 2x − 1
4. lim
x→0 cos x − sin 2x − 1
1
x
1
6. lim x2 (e− x2 − e x2 )
x. cot
πx
2
8. lim (x2 − 2) 1 − cos
x→±∞
1
x
9. lim x [ln(x + a) − ln x]
x→+∞
1
x
3x − 2x
x→0 x2 − 2x
10. lim
3
