10 đề bài tập lớn Đại số tuyến tính (HCMUT)

Trường ĐH Bách Khoa Tp HCM
Bộ môn Toán Ứng dụng.
Đề tài matlab. Đại số tuyến tính.
Người lập đề tài: TS Đặng Văn Vinh.
Đề tài số 1.
Đề tài gồm 5 câu cho một nhóm 5-10 sinh viên.
Thang điểm: mỗi câu 2 điểm.
Các câu 1-3 là các câu cơ bản. Được phép sử dụng tất cả các hàm có trong matlab.
Hai câu 4, 5. Yêu cầu lập trình. Chỉ cho phép sử dụng một số hàm đã ghi ra.

STT
1
2

3

4

5

Câu hỏi
Tìm hạng của ma trận A tùy ý.
Tạo ra ma trận thưa, lưu trữ ma
trận thưa.
Ma trận thưa là ma trận có một vài
phần tử khác không, đa số các
phần tử bằng 0.
Tìm ma trận nghịch đảo bằng biền
đổi sơ cấp.
Cho A là ma trận của ánh xạ tuyến
tính f trong cơ sở E. Tìm ma trận

của f trong cơ sở B.
Tìm trị riêng, vécto riêng của ma
trận vuông.

Yêu cầu, hướng dẫn
Cho phép sử dụng các hàm của matlab
để tính rank(A)
Sử dụng các hàm: S = sparse(A)
S = sparse(i,j,s,m,n,nzmax)
S = sparse(i,j,s,m,n)
S = sparse(i,j,s)
S = sparse(m,n)
Cho phép sử dụng các hàm của
matlab: m = size(A); I=eye(m); rref([A
I]).
Được dùng các hàm matlab: giải hệ
phương trình nếu cần, rank() để kiểm
tra tính độc lập tuyến tính.
Lập trình, không được sử dụng các
hàm của matlab để tìm TR, VTR.
Cho phép dùng hàm để tính định thức,
giải hệ pt để tìm VTR.

Đầu vào
Nhập ma trận A tùy ý.
Nhập các vécto i, j , s trong
trường hợp tạo ra ma trận
thưa.
Nhập ma trận A trong trường
hợp muốn lưu ma trận A.

Nhập ma trận vuông A.

Nhập cơ sở E, nhập ma trận A
của ánh xạ tuyến tính f;
Nhập cơ sở B.
Nhập ma trận vuông A.

Đầu ra
r(A).
Ma trận thưa.

Thông báo nếu A không vuông.
Nghịch đảo của A. Thông báo nếu A
không khả nghịch.
Thông báo nếu E, B không là cơ sở.
Xuất ra ma trận của ánh xạ tuyến
tính trong cơ sở B.
Trị riêng và cơ sở của các không
gian con riêng.
Thông báo nếu A không vuông.


Trường ĐH Bách Khoa Tp HCM
Bộ môn Toán Ứng dụng.
Đề tài matlab. Đại số tuyến tính.
Người lập đề tài: TS Đặng Văn Vinh.
Đề tài số 2.
Đề tài gồm 5 câu cho một nhóm 5-10 sinh viên.
Thang điểm: mỗi câu 2 điểm.
Các câu 1-3 là các câu cơ bản. Được phép sử dụng tất cả các hàm có trong matlab.

Hai câu 4, 5. Yêu cầu lập trình. Chỉ cho phép sử dụng một số hàm đã ghi ra.

STT
Câu hỏi
1
Tạo ma trận Hilbert.

1
Ma trận Hilbert: hij =
i + j −1
1

Yêu cầu, hướng dẫn
Sử dụng hàm matlab: hilb(n).
Đọc tài liệu về ma trận Hilbert:
/>rix.

Đầu vào
Nhập số tự nhiên n.

Đầu ra

Ma trận Hilbert.

hoặc hij = ∫ x i + j −2 dx
0

2

Tính trị riêng, vécto riêng của

ma trận.

Sử dụng các hàm của matlab:
[V,D] =e ig(A).

Nhập ma trận A vuông.

3

Tìm tọa độ của một vécto trong
một cơ sở cho trước.

Nhập cơ sở E và véctơ
x.

4

Lập chương trình tính ∞ − chuẩn
của ma trận tùy ý.

Nhập ma trận A tùy ý.

∞ − chuẩn của ma trận A.

5

Giải hệ phương trình bằng phép
biến đổi Gauss.

Cho phép sử dụng hàm matlab: giải hệ

phương trình X=A\b và hàm rank() để
kiểm tra tính độc lập tuyến tính.
Không được sử dụng các hàm của
matlab.
Đ/nghĩa: ∞ − chuẩn của ma trận A là số
lớn nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng
hàng.
Không được phép sử dụng các lệnh giải
hệ phương trình của matlab.

Trị riêng và cơ sở của các không gian con
riêng.
Thông báo nếu A không vuông.
Tọa độ của x trong cơ sở E.
Thông báo nếu E không là cơ sở.

Nhập ma trận A tùy ý
và ma trận cột b.
Thông báo nếu hệ
không tồn tại (nếu cở
của A và b không tương
thích).

Nghiệm của hệ trong các trường hợp: duy
nhất và vô số. Trong trường hợp vô số
nghiệm, xuất ra cơ sở của không gian
nghiệm của hệ: AX = 0 và một nghiệm
riêng của hệ AX = b.
Thông báo nếu hệ vô nghiệm.

Trường ĐH Bách Khoa Tp HCM
Bộ môn Toán Ứng dụng.
Đề tài matlab. Đại số tuyến tính.
Người lập đề tài: TS Đặng Văn Vinh.
Đề tài số 3.
Đề tài gồm 5 câu cho một nhóm 5-10 sinh viên.
Thang điểm: mỗi câu 2 điểm.
Các câu 1-3 là các câu cơ bản. Được phép sử dụng tất cả các hàm có trong matlab.
Hai câu 4, 5. Yêu cầu lập trình. Chỉ cho phép sử dụng một số hàm đã ghi ra.

STT
Câu hỏi
1
Tìm biến đổi Fourier (DFT hoặc
FFT) của một vécto x.

Yêu cầu, hướng dẫn
Sử dụng hàm fft(x).
Đọc tài liệu về biến đổi Fourier:
/>rm
Cho phép sử dụng hàm matlab: tính det(A).

2

Tính định thức của ma trận vuông.

3

Nhân hai ma trận với nhau.

cho phép sử dụng hàm của matlab: nhân hai
ma trận với nhau.

4

1− chuẩn của ma trận A là số lớn
nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng
cột. Lập chương trình tính 1− chuẩn
của ma trận tùy ý.
Ma trận A được gọi là ma trận xác
định dương nếu tất cả các định thức
con chính (định thức dọc theo đường
chéo chính đều dương). Viết chương
trình matlab kiểm tra tính xác định
dương của ma trận vuông cho trước.

Không được sử dụng các hàm của matlab.

5

Cho phép sử dụng hàm matlab: tính
det ( Aij ) .
Không được phép sử dụng hàm eig(A).

Đầu vào
Nhập vécto x.

Đầu ra
Xuất ra ảnh của x qua biến đổi Fourier.

Nhập ma trận vuông A. Thông báo nếu A không vuông.
Xuất ra det(A).
Nhập ma trận A, B tùy Tích AB của hai ma trận.
ý.
Thông báo nếu phép nhân không thực
hiện được.
Nhập ma trận A tùy ý. 1− chuẩn của ma trận A.

Nhập ma trận vuông A
tùy ý.

In ra tất cả n định thức con chính và kết
luận: A xác định dương hay không xác
định dương.
Thông báo nếu A không vuông.


Trường ĐH Bách Khoa Tp HCM
Bộ môn Toán Ứng dụng.
Đề tài matlab. Đại số tuyến tính.
Người lập đề tài: TS Đặng Văn Vinh.
Đề tài số 4.
Đề tài gồm 5 câu cho một nhóm 5-10 sinh viên.
Thang điểm: mỗi câu 2 điểm.
Các câu 1-3 là các câu cơ bản. Được phép sử dụng tất cả các hàm có trong matlab.
Hai câu 4, 5. Yêu cầu lập trình. Chỉ cho phép sử dụng một số hàm đã ghi ra.

STT
1

2

3

4

5

Câu hỏi
Chéo hóa ma trận vuông A.

Yêu cầu, hướng dẫn
Cho phép sử dụng hàm matlab:
[V,D]=eig(A).

Đầu vào
Nhập ma trận vuông A.

Cho vécto a và b: tính độ dài vécto
a; tích vô hướng; tích có hướng và
góc giữa hai vécto a và b.
Cho ánh xạ tuyến tính f biết ma
trận của f trong cơ sở E là A. Tìm
ảnh của vécto x.

Cho phép sử dụng các hàm của
matlab: norm(a); a’*b; cross(a,b);
acos((a*b’)/(norm(a)*norm(b))).
Cho phép sử dụng các hàm matlab:

giải hệ: X=A\b; rank() để kiểm tra
tính độc lập tuyến tính, nhân hai ma
trận với nhau.
Chỉ được phép sử dụng hàm matlab:
tính tích của hai ma trận AT và A .

Nhập các vécto a, b.
Sử dụng tích vô hướng
chính tắc.
Nhập cơ sở E.
Nhập ma trận A.
Nhập vécto x.

Tổng các phần tử trên đường chéo
Nhập ma trận A tùy ý.
của ma trận vuông được gọi là vết
của ma trận này. Cho A là ma trận
tùy ý. Vết của ma trận AT A được
gọi là chuẩn Frobenius của ma trận
A. Lập chương trình tính chuẩn
Frobenius của ma trận tùy ý.
Dùng biến đổi sơ cấp đối với hàng, Không được phép dùng các lệnh đưa Nhập ma trận A tùy ý.
đưa ma trận về dạng bậc thang.
về bậc thang và tìm hạng của matlab.

Đầu ra
Thông báo nếu A không vuông.
Thông báo nếu không chéo hóa được.
Ma trận chéo D và ma trận khả nghịch P.
độ dài, tích vô hướng, tích có hướng, góc,

khoảng cách.
Thông báo nếu E không là cơ sở.
Thông báo nếu E, A, x tương thích.
Xuất ra f(x).
Chuẩn Frobenius của ma trận A.

Dạng bậc thang của ma trận A.


Trường ĐH Bách Khoa Tp HCM
Bộ môn Toán Ứng dụng.
Đề tài matlab. Đại số tuyến tính.
Người lập đề tài: TS Đặng Văn Vinh.
Đề tài số 5.
Đề tài gồm 5 câu cho một nhóm 5-10 sinh viên.
Thang điểm: mỗi câu 2 điểm.
Các câu 1-3 là các câu cơ bản. Được phép sử dụng tất cả các hàm có trong matlab.
Hai câu 4, 5. Yêu cầu lập trình. Chỉ cho phép sử dụng một số hàm đã ghi ra.

STT
1

2

3

4

5

Câu hỏi
Yêu cầu, hướng dẫn
Tìm phương trình đặc trưng của A, Cho phép dùng hai hàm matlab:
giải phương trình đặc trưng để tính poly(A) và roots.
trị riêng.
Giải hệ Cramer AX = b.
Cho phép sử dụng hàm X= A/b, tính
det(A) để kiểm tra có phải là hệ
cramer.
Phân tích LU của ma trận vuông A Cho phép sử dụng hàm: [L,U]=lu(A)
Hoặc [L,U,P]=lu(A) trong trường
hợp PA=LU
Dùng quá trình trực giao hóa
Chỉ được phép dùng hàm a*b’ để
Gram-Schmidt để tìm họ trực giao tính tích vô hướng hai vécto và hàm
của họ vécto.
rank(A) để tính hạng.
Chỉ
được phép dùng hàm det để tính
Tìm ma trận phụ hợp PA của ma
các định thức con.
trận vuông.

Đầu vào
Nhập vào ma trận vuông
A.

Đầu ra
Thông báo nếu A không vuông.
Xuất ra đa thức đặc trưng và các trị riêng.

Nhập vào ma trận vuông
A, ma trận cột b.

Thông báo nếu ma trận không vuông.
Thông báo nếu không là hệ Cramer.
Xuất ra nghiệm X.
Thông báo nếu không phân tích LU được,
Xuất ra ma trận L, ma trận U trong trường
hợp LU được, xuất thêm ma trận P
Thông báo nếu họ vécto không độc lập tuyến
tính.
Xuất ra họ véc tơ trực giao.
Thông báo nếu ma trận không vuông.
Xuất ra ma trận PA .

Nhập vào ma trận tùy ý.

Nhập vào họ vécto độc
lập tuyến tính.
Nhập vào ma trận vuông
A.


Trường ĐH Bách Khoa Tp HCM
Bộ môn Toán Ứng dụng.
Đề tài matlab. Đại số tuyến tính.
Người lập đề tài: TS Đặng Văn Vinh.
Đề tài số 6.
Đề tài gồm 5 câu cho một nhóm 5-10 sinh viên.

Thang điểm: mỗi câu 2 điểm.
Các câu 1-3 là các câu cơ bản. Được phép sử dụng tất cả các hàm có trong matlab.
Hai câu 4, 5. Yêu cầu lập trình. Chỉ cho phép sử dụng một số hàm đã ghi ra.

STT
1
2
3

4

5

Câu hỏi
Tìm số chiều của không gian
nghiệm của hệ AX = 0.
Đưa ma trận về dạng bậc thang.
Phân tích QR của ma trận
vuông.

Tìm ma trận nghịch đảo bằng
1
công thức A−1 =
PA .
det( A)
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E
sang F.

Yêu cầu, hướng dẫn
Cho phép dùng hàm rank(A).

Đầu vào
Nhập ma trận tùy ý.

Cho phép dùng hàm rref(A).
Cho phép dùng [Q,R] = qr(A).
Cho dùng hàm rank để tìm hạng của
họ vécto cột, suy ra có ptich QR
không
Đọc tài liệu để hiểu quá trình QR.
Chỉ phép sử dụng các hàm của
matlab: tính det(A), det ( Aij )

Nhập ma trận tùy ý.
Nhập ma trận A tùy ý.

Nhập ma trận vuông A.

Chỉ được phép dùng các hàm matlab: Nhập cơ sở E.
giải hệ: X=A\b; kiểm tra tính độc lập Nhập cơ sở F.
tuyến tính: rank.

Đầu ra
Xuất ra số chiêu của không gian nghiệm của
hệ: dim = n –rank(A).
Xuất ra dạng bậc thang của ma trận.
Thông báo nếu không phân tích QR được.
(Nếu họ vecto cột của A không độc lập tt)
Xuất ra ma trận Q và ma trận R.

Thông báo nếu A không vuông.
Nghịch đảo của A. Thông báo nếu A không
khả nghịch.
Thông báo nếu E không là cơ sở.
Xuẩt ra tọa độ của x trong cơ sở E.


Trường ĐH Bách Khoa Tp HCM
Bộ môn Toán Ứng dụng.
Đề tài matlab. Đại số tuyến tính.
Người lập đề tài: TS Đặng Văn Vinh.
Đề tài số 7.
Đề tài gồm 5 câu cho một nhóm 5-10 sinh viên.
Thang điểm: mỗi câu 2 điểm.
Các câu 1-3 là các câu cơ bản. Được phép sử dụng tất cả các hàm có trong matlab.
Hai câu 4, 5. Yêu cầu lập trình. Chỉ cho phép sử dụng một số hàm đã ghi ra.

STT
1

2

3

Câu hỏi
Tìm vết của ma trận vuông A.
Vết của ma trận là tổng các
phần tử trên đường chéo chính.
Kiểm tra vécto x có là tổ hợp
tuyến tính của họ vécto.

Cho ma trận A. Xóa một số cột
của ma trận A.

4

Tính p(A), biết p(x) và A.

5

Tính định thức bằng biến đổi sơ
cấp.

Yêu cầu, hướng dẫn
Được dùng hàm trace(A).

Đầu vào
Nhập ma trận vuông A.

Đầu ra
Thông báo nếu A không vuông.
Xuất ra vết của ma trận A.

Cho phép sử dụng hàm rank().
Chỉ dẫn: vecto x là tổ hợp tuyến tính
của họ M nếu hạng của M trước và
sau khi thêm x bằng nhau.
Cho phép sử dụng hàm matlab.

Nhập họ vécto M.

Nhập vécto x.

Kết luận: x có là tổ hợp tuyến tính của M.

Nhập ma trận tùy ý.
Nhập thứ tự các cột cần
xóa.

Xuất ra ma trận còn lại sau khi xóa.

Nhập ma trận vuông A.
Nhập hàm đa thức p(x)
Nhập ma trận vuông A.

Thông báo nếu ma trận không vuông.
Xuất ra ma trận p(A).
Thông báo nếu A không vuông.
Xuất ra det(A).

A([1:k-1,k+1:n],[1:l1,l+1:n]);

A([1:k,l:n],1:p,s:m])
Chỉ cho phép dùng hàm tính tích hai
ma trận.
Không được dùng các hàm det(A).


Trường ĐH Bách Khoa Tp HCM
Bộ môn Toán Ứng dụng.
Đề tài matlab. Đại số tuyến tính.

Người lập đề tài: TS Đặng Văn Vinh.
Đề tài số 8.
Đề tài gồm 5 câu cho một nhóm 5-10 sinh viên.
Thang điểm: mỗi câu 2 điểm.
Các câu 1-3 là các câu cơ bản. Được phép sử dụng tất cả các hàm có trong matlab.
Hai câu 4, 5. Yêu cầu lập trình. Chỉ cho phép sử dụng một số hàm đã ghi ra.

STT
1
2

3

4

Câu hỏi
Tìm không gian nghiệm của hệ
AX = 0.
Kiểm tra tính đối xứng và xác
định dương của ma trận vuông.

Yêu cầu, hướng dẫn
Cho phép dùng hàm của matlab
null(A) và hàm rank(A)
Cho phép sử dụng các hàm matlab:
isequal(A,A’), eig(A).

Đầu vào
Nhập ma trận A tùy ý.

Đầu ra
Cơ sở của không gian nghiệm và số chiều.

Nhập ma trận vuông A.

Sắp xếp các phần tử của cột
(hoặc hàng) theo thứ tự tăng dần
hoặc giảm dần.
Tìm khoảng cách của một vécto
đến không gian con sinh ra bởi
họ vécto.
Xét trong không gian Pn [ x] với
tích vô hướng là

Cho phép dùng hàm sort(A,1)
sort(A,2,’descend’).

Nhập ma trận A tùy ý.

Thông báo nếu A không vuông.
Kết luận: đối xứng và xác định dương
không?
Xuất ra ma trận theo yêu cầu (sau khi sort).

Có thể tham khảo các đoạn code
trong Tcodes.
Được dùng các hàm rref, inv.

Nhập họ đa thức là tập
sinh của không gian con

F.
Nhập vécto f(x).

Khoảng cách từ vécto f(x) đến không gian
con F.

Không được phép dùng hàm inv(A).

Nhập ma trận vuông A.

Thông báo nếu A không vuông hoặc không
khả nghịch.
Xuất ra ma trận nghịch đảo.

b

( p, q ) = ∫ p ( x)q ( x)dx
a

5

Dùng biến đổi sơ cấp, tìm ma
trận nghịch đảo.


Trường ĐH Bách Khoa Tp HCM
Bộ môn Toán Ứng dụng.
Đề tài matlab. Đại số tuyến tính.
Người lập đề tài: TS Đặng Văn Vinh.
Đề tài số 9.

Đề tài gồm 5 câu cho một nhóm 5-10 sinh viên.
Thang điểm: mỗi câu 2 điểm.
Các câu 1-3 là các câu cơ bản. Được phép sử dụng tất cả các hàm có trong matlab.
Hai câu 4, 5. Yêu cầu lập trình. Chỉ cho phép sử dụng một số hàm đã ghi ra.

STT
1

Câu hỏi
Tìm cơ sở và số chiều của
không gian con sinh ra bởi
họ vécto.

2

Tạo ma trận ba đường chéo,
có các phần tử trên mỗi
đường chéo như nhau.

3

Tìm tổng của từng hàng
(từng cột trong ma trận A).

4

Viết chương trình matlab
kiểm tra tính xác định âm
của ma trận vuông cho
trước.

5

Chéo hóa ma trận vuông A.

Yêu cầu, hướng dẫn
Cho phép dùng các hàm của matlab:
[V, pivot] = rref(A);
r = length(pivot); cs = A(:,pivot);
ns = null(A,'r');
Cho phép dùng các hàm trong matlab.
T = b*diag(ones(n,1)) + c*diag(ones(n1,1),1) + a*diag(ones(n-1,1),-1)

Cho phép dùng hàm cumsum(A,1)
hoặc cumsum(A,2) hoặc đơn giản hàm
sum(A,1) hay sum(A,2).
So sánh hai hàm matlab: sum và
cumsum với nhau.
Cho phép sử dụng hàm matlab: tính
det ( Aij ) . Không được dùng hàm
eig(A). Ma trận A được gọi là ma trận
xác định âm nếu tất cả các định thức
con chính định thức dọc theo đường
chéo chính) cấp lẻ âm, cấp chẵn dương.
Không được phép sử dụng các hàm của
matlab để chéo hóa.
Có thể sử dụng các hàm tính det; giải
hệ ptrình.

Đầu vào

Nhập họ vécto.

Đầu ra
Cơ sở và số chiều của không gian con sinh ra
bởi họ vécto.

Nhập phần tử trên đường
chéo chính là a, phía trên
đường chéo chính là b,
phía dưới đường chéo
chính là c và nhập cấp n.
Nhập ma trận A tùy ý.

Xuất ra ma trận ba đường chéo.

Xuất ra một vécto hàng (ghi tổng của từng
cột), hoặc vécto cột (ghi tổng của từng hàng).
Chú ý chỉ xuất ra một hàng hoặc một cột.

Nhập ma trận vuông A
tùy ý.

In ra tất cả n định thức con chính và kết luận:
A xác định âm hay không xác định âm.
Thông báo nếu A không vuông.

Nhập ma trận vuông A.

Ma trận chéo D và ma trận P.
Thông báo nếu A không vuông và không chéo

hóa được.


Trường ĐH Bách Khoa Tp HCM
Bộ môn Toán Ứng dụng.
Đề tài matlab. Đại số tuyến tính.
Người lập đề tài: TS Đặng Văn Vinh.
Đề tài số 10.
Đề tài gồm 5 câu cho một nhóm 5-10 sinh viên.
Thang điểm: mỗi câu 2 điểm.
Các câu 1-3 là các câu cơ bản. Được phép sử dụng tất cả các hàm có trong matlab.
Hai câu 4, 5. Yêu cầu lập trình. Chỉ cho phép sử dụng một số hàm đã ghi ra.

STT
1

Câu hỏi
Phân tích cholesky của ma trận
đối xứng, xác định dương A.

Yêu cầu, hướng dẫn
Cho phép sử dụng các hàm: eig(A)
để kiểm tra tính xác định dương.
Đọc lý thuyết về phân tích cholesky.

2

Cho ma trận A vuông, lấy ra
phần trên đường chéo (dưới
đường chéo, hoặc đường chéo

chính của A)
Tìm ma trận nghịch đảo bằng
biến đổi sơ cấp.

Cho phép dùng hàm tril(A), tril(A,0), Nhập ma trận vuông A.
diag(diag(A)).

3

4

5

Tìm hình chiếu vuông góc của
một vécto xuống không gian
con sinh ra bởi họ vécto.
Cho dạng toàn phương
Q( X ) = X T AX . Phân loại dạng
toàn phương.

Cho phép dùng các hàm matlab:
m = size(A,1); E=eye(m); B =
rref([A E]); C= B(:,m+1:2*m) và
hàm det(A)
Có thể tham khảo các đoạn code
trong Tcodes.
Được dùng các hàm rref, inv.
Được dùng hàm eig(A);
isequal(A,A’).

Đầu vào
Nhập ma trận A vuông.

Đầu ra
Thông báo nếu A không vuông.
Thông báo nếu A không xác định dương.
Xuất ra ma trận R (trong phân tích A =
A = R ⋅ RT )
Thông báo nếu A không vuông.
Xuất ra ba ma trận theo yêu cầu.

Nhập ma trận vuông A.

Thông báo nếu A không vuông và nếu A
không khả nghịch (det A =0).
Xuất ra ma trận nghịch đảo.

Nhập họ vécto là tập sinh
của không gian con F.
Nhập vécto x.
Nhập ma trận của dạng
toàn phương.

Hình chiếu vuông góc của x xuống không
gian con F.
Thông báo nếu A không vuông hoặc không
đối xứng.
Kết luận: một trong 5 dạng.