Bài tập về Đại số tuyến tính

I/ ÑÒNH THÖÙC:

⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
100 2-13
1. Cho A = 3 1 0 , B = 0 1 4
213 001
Tính : det(3AB)
a/ 162 b/ 18 c/ 6 d/ 20
12-13
01 01
2. Tính A =
0204
31 5 7
a/ -16 b/ 16
−
−
−
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
-1 T

c/ 32 d/ -32.
1123
02 1 0
3. Tính A =
31 0 1
01 10
a/ 30 b/ 30 c/ 15 d/ CCKÑS.
100
4. Cho A = 2 1 0 . Tính det[(3A) ]
3-12
a/ 6 b/ 54
∆∆
12
c/ 1/54 d/ 1/6
10 m
5. Cho ñònh thöùc B = 2 1 2m -2
10 2
Tìm taát caû m ñe å B > 0
a/ m < 2 b/ m > 0 c/ m < 1 d/ m > 2
6. Cho 2 ñònh thöùc
12 -3 4 2a2b-
ab -c d
=, =
36 -8 4
48-1217
−
−
−
∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆
21 21 21 21

2c 2d
12 34
. Kñnñ
612 168
4 8 12 17
a/ = 4 b/ = -2 c/ = -4 d/ = -
12-13
0104
7. Tính A =
0201
31 a b
a/ A = 7a+ 21 b/ A = 7a + 21b c/ A = 7a -2b d/ -7a -21



[]
2
2111
1311
8. Tính A =
1141
111b
a/ A = 17b -11 b/ A = 17b +11 c/ A = 7b -10 d/ CCKĐS.
9. Cho A 2, B 3, và A, B M R . Tính det(2AB)
a/ 16 b/ 8 c/ 32
== ∈
2
d/ CCKĐS.
11 11
2215

10. Cho A = . Tính detA
3420
11 0 3
a/ - 53 b/ 63 c/ - 63 d/ CCKĐS.
1x2xx
12 4 4
11. Các gia ùtrò nào sau đây là nghiệm của PT
1121
2
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
−−
0
31 1
a/ x = 2, x = -1 b/ x = 2, x = 3 c/ x = 3, x = -1 d/ CCKĐS.
12. Cho ma trận vuông A cấp 2 co ùcác phần tử là 2 hoặc -2 . Kđ nào sau đây đúng
a/ det(3A) = -72 b/
=
−
2
det(3A) = 41 c/ det(3A) = 30 d/ det(3A) = 27
1+i 3+2i
13.Tính A = với i 1
1-2i 4-i

a/ A = -2 + 7i b/ A = 2 + 7i c/ A = 7 - 2i d/ A = -7 + 2i
2006
6103
14. Cho A = . Biết rằng
90a4
5525
=−
các số 2006, 6103, 5525 chia hết cho 17 và 0 a 9 (a Z).
Với gia ùtrò nào của a thì detA chia hết cho 17 .
a/ a = 4 b/ a = 3 c/ a = 2 d/ a = 7
x111
1x11
15. Tính I =
11x1
111x
a/ I=0
≤≤ ∈
33 3
b/ I = (x -3)(x +1) c/ I = (x + 3)(x -1) d/ I = (x -3)(x - a)





23
23
23
23
1xx x
1aa a

16. Giải PT trong R : 0
1bb b
1cc c
Biết a, b,c là 3 số thực khác nhau từng đôi một.
a/ PTVN b/ PT co ù3 nghiệm a, b,c
=
2

c/ PT co ù3 nghiệm a + b, b + c, a + c d/ PT co ù1 nghiệm x = a
12-1x
342x
17. Cho f(x) = . Kđn đúng
2132x
1121
a/ f co ùbậc 3 b/ f co ùbậc 4 c/bậc của f nhỏ hơn hoa
−
−
2
2
ëc bằng 2 d/CCKĐS
1 x -1 -1
1 x -1 -1
18. Tìm số nghiệm phân biệt k của PT 0
0111
02 02
a/ k = 1 b/ k = 2 c/ k = 3 d/ k = 4
12x1
12x1
19. Giải PT : 0
2130

21 24
a/ x
=
−
−
=
−
= 0 b/ x = 0, x = 1 c/ x = 1, x = 2 d/ CCKĐS.
12x0
21 13
20. Giải PT 0
122xx
21 3 1
a/ x = 0, x = 1 b/ x = 0, x = 2 c/ x = 0 d/x = 0, x = 1, x = 2
1-1213
23-110
21. Tính
12 100
21 0
−
=
−
−
−
00
20000
a/ 6 b/ - 6 c/ 2 d/ CCKĐS.

2
4012
8034
22. Tính
6112
14135
a/ 1 b/ -2 c/ 2 d/ 4
111
23. Tính I = a b c
b+c c+a a+b
a/ I = 0 b/ I = abc c/ I = (a + b + c)abc d/ (a + b)(b + c)(a + c)
x+1 x 1 1
2x
24.Tính I =
−
−
−−−
LLL
322 22
11
10x1
x01x
a/ I = 0 b/ I = (x -1)(x +1) c/ I = x(x 1) d/ I = (x -1) (x +1)
1123
2130
25. Tính I =
22 4 6
3215
a/ I = 5 b/ I = -2 c/ I = 3 d/I = 0
111 1

122
26. Tính I =
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=−
LLL
LL
L
LLLLLLL
LL
2
1133 3
11144 4
111 1n
n(n -1)
a/ I = 0 b/ I = (n -1)! c/ I = n! d/ I =
2
123123
27. Tính A = 0 2 3 1 2 0
003100
a/ det A 36 b/detA = 12 c/det
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
A = 36 d/ detA = 18

121 23-1
28. Cho A = 0 2 -1 , B = 0 3 1 . Tính det(A + B)
003 00-1
a/ 0 b/ 30 c/ -36 d/ CCKÑS.




=
−
∨∀
23
1x x
29. Cho 1 2 a 0. Tìm a biết PT trên co ù3 nghiệm 0, 1
11 1
a/ a = -2 b/ a = -2 a = -1 c/ a d/ CCKĐS
21110
-1 0 1 1 1
30. Tính
-1 -1 4 1 2
-1 -1 -1 2 0
0-1-200
a/ 24 b/ 1 c/ 2 d/ 3

II/ MA TRẬN:
01
10
1. Cho 2 ma trận A = , B = 0 2 . Kđnđ
00
03

a/ AB = BA b/ AB xác đònh nhưng BA không xác đònh
00
00
c/ BA = 0 0 d/AB =
00
00
2. Ma trận
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎝⎠
nào sau đây khả nghòch
112 1 23 1 1-2 -21 2
a/ 2 2 4 b/ -3 0 0 c/ -2 0 2 d/ 4 3 -1
120 1 02 3 0-3 2 4 1
10 6
3. Tìm ma trận nghòch đảo của ma trận
14 7

⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
11
3
42
23 1 6 1 3 1 3
11 1 1
a/ b/ c/ d/
47 -214 27 2 7
13 13 13 13
111 1
23 14
4. Cho A = với gia ùtrò nào của m thì A khả nghòch ?
11 0 2
223m
a/ m
−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
−
⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−−−
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛⎞
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠
≠
3
12 12 2
b/ m = c/ m d/ m
777
5. Cho A M [R] , A = 3. Hỏi co ùthe å dùng phép BĐSC nào sau đây đưa A ve àma trận B co ùdet B = 0
a/ CCKĐS
≠∀
∈
4x5

b/ Nhân 1 hàng của A với 1 số 0.
c/ Cộng tương ứng 1 hàng của A với hàng khác đa õđược nhân với 0.
d/ Nhân ma trận A với số 0.
6. Cho A M [R], biết hạng A bằng 4.
Hỏi co ùthe
∈
å dùng phép BĐSC nào sau đây đe å đưa A ve àma trận B sao cho r(B) = 2 ?
a/ Nhân 2 hàng của A với 1 số = 0.

b/ Cộng 1 hàng của A với 1 hàng tương ứng đa õđược nhân với số = 1/2.
c/ Có
α
α
2
thể dùng hữu hạn các phép BĐSC đối với hàng và cột.
d/ CCKĐS.
11
7. Cho f(x) = x 2x 3, A = . Tính f(A)
-1 2
11 11 12
a/ b/ c/ d/ CCKĐS.
-1 1 -1 2 -1 3
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠



⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−

⎛⎞
⎜⎟
−+ +
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
2
1-112 4
22357
8. Tính hạng của ma trận A =
3-45210
5-67618
a/ r(A) = 4 b/ r(A) = 2 c/ r(A) = 3 d/ r(A) =1
11 2 1
9. Cho A = 2 2 m 5 m 1 . Với gia ùtrò nào của m th
11 2 m1
≠≠ ≠∧≠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
-1
ì r(A) = 3
a/ m 2 b/ m -2 c/ m -1 m 2 d/ Không tồn tại m
200
10. Cho A = 2 3 0 . Gọi M là tập tất cả các phần tử của A . Kđ nào sau đây đúng ?
311
a/ ∈∈ ∈ ∈

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
≥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
∀
2
-1, -1/6, 1/3 M b/ 6, 3,2 M c/ -1, 1/6, 1/3 M d/ 1/2, 1, 1/3 M
100 3
230 4
11. Cho A = với gia ùtrò nào của k thì r(A) 3
4-25 6
-1 k +1 4 k 2
a/ k b ≠≠
⎛⎞
−
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝⎠
⎛⎞ ⎛ ⎞
+
⎜⎟ ⎜ ⎟

⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
n
n
n
3
3333
33
/ k 5 c/ k -1 d/ Không tồn tại k
11 20 1 1 a0 a 0
12. Cho A = . Biết
01 03 0 1 0b
0b
Tính A
20 223
a/ b/ c/
03 0 3
⎛⎞⎛⎞
−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
−
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
+
⎝⎠⎝ ⎠
∀≠

333 3
33
232 2 1
d/
03 03
1211 1 2
13. Cho A = 2 4 2 2 3 m . Tìm m đe å A khả nghòch
3-1430m1
a/ Không tồn tại m b/ m c/ m = 5 d/ m 5
14. Ch
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
≠∀
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
−
⎛⎞ ⎛
==
⎜⎟ ⎜
−
⎝⎠ ⎝
13
13 13
11 1 1
23 4 1

o A = . Với gia ùtrò nào của m r(A) = 3
34 6 6
44m+4m+7
a/ m =1 b/ m 1 c/ m = 3 d/ m
2-1
15. Cho A = . Tìm A
3-2
10 21
a/ A b/ A
01 32
⎞⎛⎞
⎟⎜⎟
⎠⎝⎠
13
2-1
c/ A = d/ CCKĐS.
3-2





100
100 100 100 99 100 100
100 100 100
3
-1
21
16. Cho A = . Tính A
02

2 3.2 2 100.2 2 3
a/ b/ c/ d/ CCKĐS.
02 0 2 02
17. Cho A M [R],det(A) 0. Giải PT ma trận AX = B
a/ X = BA
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠
∈≠
-1
b/ X = B/A c/ X = A B d/ CCKĐS
11-1 11
18. Cho A = , B =
10 1 21
Tìm tất cả ma trận X sao cho AX = B
1-1
1-2 2 3
a/ X = b/ X = c/ X = 1 4
31 1-1
12
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛
⎛⎞ ⎛⎞
⎜

⎜⎟ ⎜⎟
⎜
⎝⎠ ⎝⎠
⎜
⎝
d/CCKĐS
k11
19. Với gia ùtrò nào của k thì r(A) = 1 với A = 1 k 1
11k
a/ k = 1 b/ k = 1, k = 1/2 c/ k = 1, k = -2 d/ CCKĐS
20. Cho A, B là ma trận khả nghòch.
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
-1 1 1 T 1 1 T
-1 -1 1
4
Kđnào sau đây SAI
a/ (AB) B A b/ (A ) (A )
1
c/ det(AB) d/ ( A) A 0
det(AB)
21. Cho A, B M [R]. A,

−− − −
−
==
=α=αα≠
∈
-1 -1 -1 -1
3x5 5x5
B khả nghòch. Kđnđ
a/ r(2AB) = 4 b/ r(AB) < 4 c/ r(AB) < r(2AB) d/CCKĐS
22. Cho A M [R] , B M [R] biết det(B) 0 và r(A) = 3. Kđnđ
a/ r(AB) = 5 b/ r(AB) = 4
∈∈ ≠
c/ r(AB) = 3 d/ CCKĐS
1-1 -11-3
23. Cho 2 ma trận A = và B = . Trong các ma trận X sau, ma trận nào thỏa AX = B
3-2 01-7
2-11 2-1-1
a/ X = b/ X =
3-2-2 3-2 2
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
23
c/ X = -1 -2 d/ Không co ùma trận
-1 2
111
24. Cho ma trận A = -1 -2 -3 . Kđ nào sau đây đúng

012
a/ A co ùhạng bằng 3 b/ A co ùhạng bằng 1 c/ det(A) = 0
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
d/ CCKĐS






A
1
AB AB AB A B 2A
25. Cho A, B là ma trận khả nghòch cấp 3, P là ma trận phụ hợp của A. Kđ nào sau đây SAI
a/ P khả nghòch b/ pr(P ) c/ P P .P d/ P 4 A .A
26. Tìm ma tra
−
== =
1
-1 -1
-1

10
102
än nghòch đảo của A = 1 1
010
01
10
102 -12
a/ A 1 1 b/ A
010 1-1
01
1-1
c/ A d/ Không t
-2 1
−
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟
==
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎜⎟

⎝⎠
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
-1 -1 -1 -1
ồn tại A
-1 2 1 1
27. Tìm ma trận nghòch đảo của ma trận A =
1-1 -31
12 1 0 10
a/ A b/ A c/ A d/ Không tồn tại A
01 -21 21
1-
28. Cho ma trận A =
⎛⎞⎛⎞
−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞
== =
⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠
23 1-11
1 -1 1 và B = 1 -1 -1 . Tính ma trận tích BA
1-11 1-11
2-26 2-26 1-23 1-23
a/ BA = 1 -1 3 b/ BA = 1 -1 3 c/ BA = -1 0 1 d/ BA = -1 0 1
002 004 1-23 1-24
⎛⎞⎛ ⎞

⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠
5
3
2
29. Cho A M [R] . Biết r(A) = 3 . Kđn sau đây đúng
a/ det(A) = 3 b/ det(A) = 0 c/ det(2A) = 6 d/ det(2A) = 2 .3
30. Cho A M [R] . Kđ nào sau đây LUÔN đúng
a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∈
∈
22
2
/ A 0 A 0 b/ A I A I A I
c/ A A A I d/ 2A = 0 A = 0
=⇒ = =⇒ =∨ =−
=⇒= ⇒

III/ KHÔNG GIAN VECTƠ (ĐLTT , THTT, PTTT, CS, CHIỀU, TẬP SINH)

(1)

Cho V là kgvt có chiều bằng 5. Khẳng đònh nào là đủ ?
a.

Các câu khác đều sai
b.

Mọi tập có 1 phần tử là ĐLTT
c.

Mọi tập có 5 phần tử là tập sinh
d.

Mọi tập có 6 phần tử là tập sinh

(2)

Tìm toạ độ của vectơ P(x) = x
2
+ 2x – 2 trong cơ sở E = { x
2
+ x + 1 , x , 1}
a.

( 1,1,-3 )

b.

( 1,1,3 )
c.

(-3,1,1 )
d.

Các câu khác đều sai

(3)

Trong R
2
cho 2 cơ sở E = { (1,1) , (2,3)} và F = {(1,-1) , (1,0)}. Biết rằng toạ độ của
x trong cơ sở E là (-1,2) . Tìm toạ độ của x trong cơ sở F
a.

(-5,8)
b.

( 8, -5)
c.

(-2,1)
d.

( 1,2)

(4)

Cho M = { (1,1,1,1) , (-1,0,2,-3), (3,3,1,0) }
N = { (-2,4,1,1), (0,0,0,0), (3,1,7,3) }
P = { (1,1,1,1) , (2,2,2,2) , (3,2,0,1)}
Có thể bổ sung vào hệ nào để được cơ sở của R
4

a.

Chỉ có hệ M
b.

Cả 3 hệ M, N, P
c.

Cả 2 hệ M và N
d.

Cả 2 hệ M và P

(5)

Khẳng đònh nào sau đây đúng:
a.

Dim ( M
2x3
[R]) = 6 và dim (C
2
[C])=2

b.

Dim (M
2x3
[R])= 4 và dim (P
3
[x])=4
c.

Dim P
3
(x)=3 và dim (C
2
[R])=4
d.

Các câu khác đều sai

(6)

Cho A thuộc M
5x6
[R]. Gọi M là họ vectơ hàng của A, N là họ vectơ cột của A. Biết
hạng của A bằng 5. Khẳng đònh nào là đúng:
a.

M ĐLTT, N PTTT
b.

M và N đều ĐLTT

c.

M và N đều PTTT
d.

Các câu khác đều sai


(7)

Cho P(x) =x
2
+x+1 ; P
2
(x)=x
2
+2x+3 ; P
3
(x)=2x
2
+3x+4 ; P
4
(x)=2x+m. Với giá trò nào
của m thì { P
1
, P
2
, P
3
, P

4
} không sinh ra P
2
[x]?
a.

m=2
b.

m khác 2
c.

với mọi m
d.

m=4

(8)

Cho M= < (1,1,1,1) , (2,3,2,3), (3,4,1,m) >. Với giá trò nào của m thì M có chiều lớn
nhất ?
a.

với mọi m
b.

m=4
c.

m khác 4

d.

các câu khác đều sai

(9)

Cho M={ x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
} là tập sinh của KGVT 3 chiều. Khẳng đònh nào luôn đúng?
a.

M chứa 1 tập con gồm 3 vectơ ĐLTT
b.

M chứa 1 tập con gồm 4 vecto ĐLTT
c.

Mọi tập ĐLTT của M đều gồm 3 vectơ
d.

Các câu khác đều sai

(10)

Trong R
3
cho V=< (1,1,1) ; (2,3,2) >; E={(1,0,0) , (2,2,m). Với giá trò nào của m thì E
là cơ sở của V
a.

Không tồn tại m
b.

m=2
c.

m=0
d.

Các câu trên đều sai

(11)

Cho M là tập hợp gồm 5 vectơ x
1
,x
2
,x
3
,x

4
,x
5
hạng của M=3, x
1
,x
2
ĐLTS , x
3
không là
THTT của x
1
,x
2
. Khẳng đònh nào luôn đúng?
a.

x
1
,x
2
,x
3
ĐLTT
b.

x
1
,x
2

,x
3
,x
4
ĐLTT
c.

Các câu khác đều sai
d.

X
1
,x
2
,x
3
PTTT

(12)

Trong R
4
cho 4 vectơ x,y,z,t PTTT . Khẳng đònh nào sau đây luôn đúng :
a.

Các câu khác đều sai
b.

{x,y,z,t} sinh ra R
3

c.

x là THTT của y,z ,t
d.

hạng của x,y,z,t luôn nhỏ hơn 3





(13)

Cho V = <(1,1,1), (0,0,0),(2,3,2)>, biết E = {(1,1,1),(0,1,0)}là cơ sở của V và x=(1,2,1)
thuộc V. Tìm toạ độ của x trong E
a.

Các câu khác đều sai
b.

(2,1,0)
c.

(1,1,0)
d.

(1,1,2)

(14)

Cho kgvt V = <(1,1,1),(2,3,1),(3,5,m)>. Với giá trò nào của m thì V có chiều là 2
a.

m = 1
b.

m
≠
2
c.

m = 4
d.
∀
m