Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập Con lắc đơn ( rất hay)

Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

BÀI 3: CON LẮC ĐƠN
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
I. Con lắc đơn
+ Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giản, vật nặng kích thước không đáng kể
so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng.
+ Khi dao động nhỏ (sin   (rad)), con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình:
S
s
s  S0 cos t    hoặc    0 cos t    với   ;0  0
l
l
l
1 g
g
+ Chu kỳ, tần số, tần số góc: T  2
;f 
; 
g
2 l
l
mg
s  mg
+ Lực kéo về khi biên độ góc nhỏ: Fkv  
l
4 2l
+ Xác định gia tốc rơi tự do nhờ con lắc đơn : g  2 .
T
+ Chu kì dao động của con lắc đơn phụ thuộc độ cao, độ sâu, vĩ độ địa lí và nhiệt độ môi trường.
II. Năng lượng của con lắc đơn

1
+ Động năng : Wd  mv 2
2
1
mgl 2 (  1rad,  (rad)).
+ Thế năng: Wt  mgl 1  cos  
2
1
mgl02
+ Cơ năng: W  Wd  Wt  mgl 1  cos 0 
2
Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát.
B.BÀI TẬP.
Dạng 1: Tính Tần số góc, chu kì, tần số khi biết độ dài l, gia tốc g.
I.Phương pháp.
g
1 
1 g
2
l

-Tần số góc:  
; chu kỳ: T 
; tần số: f  
 2
l
T 2 2 l

g
-Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và  0 1rad hay S0 l

-Các tỉ số:

T2
l
g
f

 2 1  1  1.
T1
l1
g2
f 2 2

t
N
-Trong cùng một khoảng thời gian t, hai con lắc thực hiện N1 và N2 dao động :
2
2
l2  N1 
N
g
2
 2 N 
2
f       2 f   

  
t
l
l1  N 2 

 t 
-Chu kì tính theo số dao động N: T 

2

2

   f  l
l  l
-Thay đổi chiều dài của con lắc:  1    1   2  1
l1
l1
 2   f 2 
-Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l1 có chu kỳ T1 , con lắc đơn chiều dài l2 có chu kỳ T2 ,
con lắc đơn chiều dài l1  l2 có chu kỳ T3 ,con lắc đơn chiều dài l1  l2 (l1  l2 ) có chu kỳ T4 . Thì ta có:

T32  T12  T22 và T42  T12  T22 .
II.Bài tập.
Bài 1. Con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì 2s tại nơi có gia tốc trọng trường 9,81m/s2. Chiều dài
con lắc là
A.0,994m
B.96,6cm
C.9,81m
D.0,2m
Trang 1


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Bài 2. Tại cùng một vị trí địa lý, nếu chiều dài của con lắc tăng 4 lần thì chu kì dao động của nó

A.tăng 2 lần
B.giảm 4 lần
C.tăng 4 lần
D.giảm 2 lần
Bài 3. Nêu tăng khối lượng vật nặng của con lắc đơn lên 2 lần thì chu kì dao động của con lắc sẽ
A.tăng 2 lần
B.giảm 2 lần
C.không thay đổi
D.tăng 2 lần
2
Bài 4. Mộ con lắc đơn dao động điều hòa tại nơi có g   m / s . Chiều dài của dây treo con lắc là 25cm
thì tần số dao động của vật nặng là
A.0,1Hz
B.100Hz
C.10Hz
D.1Hz
Bài 5. Hai con lắc đơn có chu kì T1  2s và T2  2,5s . Chu kì dao động của con lắc đơn có dây treo dài
bằng hiệu chiều dài dây treo của hai con lắc trên là
A.2,25s
B.1,5s
C.1,0s
D.0,5s
Bài 6. Một con lắc đơn có chiều dài l . Trong khoảng thời gian ∆t nó thực hiện được 12 dao động. Khi
giảm chiều dài đi 32cm thì cũng trong khoảng thời gian nói trên, con lắc thực hiện được 20 dao động.
Chiều dài ban đầu của con lắc là
A.30cm
B.40cm
C.50cm
D.60cm
Bài 7. Khi chiều dài dây treo tăng 20% thì chu kì dao động điều hòa của con lắc đơn:

A.giảm 9,54%
B.tăng 20%
C.tăng 9,54%
D.giảm 20%
Bài 8. Tại một nơi có hai con lắc đơn đang dao động với biên độ nhỏ. Trong cùng một khoảng thời gian
người ta thấy con lắc thứ nhất thực hiện được 3 dao động, con lắc thứ hai thực hiện được 2 dao động. Tìm
chiều dài của hai con lắc biết tổng chiều dài của hai con lắc là 130cm
A. l1  40m; l2  0,9cm
B. l1  0, 4m; l2  90cm
C. l1  50cm; l2  0,8m
D. l1  0,5cm; l2  80m
Bài 9 Một học sinh buộc hòn đá vào đầu một sợi dây nhẹ và cho nó dao động. Trong 10 phút nó thực hiện
được 299 dao động. Vì không xác định được chính xác độ dài của con lắc này, học sinh đó đã cắt ngắn sợi
dây bớt 40cm, rồi cho nó dao động lại. Trong 10 phút nó thực hiện được 386 dao động. Hãy dùng kết quả
đó để xác định gia tốc trọng trường ở nơi làm thí nghiệm.
A.9,80m/s2
B.9,81m/s2
C.9,82m/s2
D.9,83m/s2
Bài 10. Tại một nơi con lắc đơn có chiều dài l1 dao động điều hòa với tần số f1 , con lắc đơn có chiều dài
l2 dao động điều hòa với tần số f 2 . Cũng tại nơi đó con lắc đơn có chiều dài l  2l1  l2 dao động điều
hòa với tần số bằng bao nhiêu?
f1 f 2
f1 f 2
A. f  4 f12  f 22
B.
C. f  2 f12  f 22
D.
2
2

2
2 f1  f 2
f1  2 f 22
Bài 11. Tại cùng một nơi có gia tốc trọng trường g, hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là l1 và l2 , có
chu kì dao động riêng lần lượt là T1 và T2 , chu kì dao động riêng của con lắc thứ ba có chiều dài bằng tích
chiều dài của hai con lắc nói trên là
gT1T2
gT1
T
A. T  1
B. T 
C. T 
D. T  TT
1 2
2
T2
2 T2
Bài 12. Một con lắc đơn có độ dài l . Trong khoảng thời gian t nó thực hiện 12 dao động. Khi giảm độ
dài của nó bớt 16cm, trong cùng khoảng thời gian trên, con lắc thực hiện 20 dao động. Chiều dài ban đầu
của con lắc là
A.30cm
B.25cm
C.40cm
D.35cm
Bài 13. Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong khoảng thời gian t, con lắc
thực hiện 60 dao động. Thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44cm thì cũng trong khoảng thời gian ấy nó
thực hiện 50 dao động. Chiều dài ban đầu của con lắc là
A.144cm
B.60cm
C.80cm

D.100cm
Dạng 2: Lập phương trình dao động của con lắc đơn
I.Phương pháp.
1.Các phương trình của con lắc đơn.

Trang 2


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333
2

v   S0 sin t    
 S  S0 cos t    
a   S0 cos t   
;
;

2



cos

t


v




l
sin

t









0
0


a    0l cos t   

-Gia tốc toàn phần: a  an  at  a  an2  at2 trong đó:
+Gia tốc pháp tuyến (hướng tâm): an 

v 2 T  P cos 

 2 g  cos   cos  0 
l
m

P.sin 
 g sin 

m
+Ở vị trí cân bằng: a  an ; ở vị trí biên: a  at
+Gia tốc tiếp tuyến: at 

1 2

2
at  g
 cos   cos  0    0   
+Nếu 0  10 (0  1rad ) thì 
nên 
2
2
2
an  g  0   
sin   
a
g
+Gia tốc góc của quả nặng tại một điểm trên quỹ đạo:   t  
r
l
0


 S0   0l
2

v2
v
-Hệ thức độc lập với thời gian: S02  s 2  2 với  s   l   02   2 

gl


g
2
 
l

2.Viết phương trình dao động của con lắc đơn.
g
2
-Tính :  
 2 f 
l
T
v2
v2
-Tính S0: S0   0 .l ; S02  s 2  2 ;  02   2 

gl

 s  S0 cos t   
-Lập hệ 

v   S0 sin t   
 s  s0
 S0 cos   s0

  ?
-Lúc t  0  

v  v0
 S0 sin   v0
II.Bài tập.
Bài 1. Một con lắc đơn dao động nhỏ ở nơi có g  10m / s 2 với chu kì T  2s trên quỹ đạo dài 24cm. Tần
số góc và biên độ góc có giá trị
A.   2 rad / s; 0  0, 24rad
B.   2 rad / s; 0  0,12rad
C.    rad / s; 0  0, 24rad
D.    rad / s; 0  0,12rad
Bài 2. Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 0,1rad; tần số goác 10 rad/s và pha ban đầu
0,79rad. Phương trình dao động của con lắc là
A.   0,1cos  20 t  0, 79  ( rad )
B.   0,1cos  20 t  0,79 ( rad)
C.   0,1cos 10t  0, 79 (rad )

D.   0,1cos 10t  0, 79  ( rad )

Bài 3. Con lắc đơn có chiều dài 20cm. Tại thời điểm t  0 , từ vị trí cân bằng con lắc được truyền vận tốc
14cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g  9,8m / s 2 . Phương trình dao động của con lắc là



B. s  2cos  7t   (cm)
2



D. s  2 cos  7t   (cm)
2


A. s  20sin 7t(cm)



C. s  20sin  7t   (cm)
2

Trang 3


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Bài 4. Một con lắc đơn dao động diều hòa có chu kì T  2s . Lấy g  10m / s 2 . Tại thời điểm ban đầu vật
có li độ góc   0, 05rad và vận tốc v  5 cm / s . Phương trình dao động của vật là





A. s  5cos   t   (cm)
B. s  5 2 cos   t   (cm)
4
4







C. s  5 2 cos  2 t   (cm)
D. s  5cos   t   (cm)
4
4


Bài 5. Một con lắc đơn có dây treo dài 20cm. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 0,1rad rồi cung
cấp cho nó vận tốc 10 2cm / s hướng theo phương vuông góc với sợi dây. Bỏ qua mọi ma sát, lấy
g  10m / s 2 và  2  10 . Biên độ dài của con lắc là
A.2cm
B. 2 2cm
C.4cm
D. 4 2cm
Bài 6. Một con lắc đơn gồm một quả cầu bằng kim loại có khối lượng 100g treo vào điểm A cố định bằng
một sợi dây mảnh dài 1m. Đưa quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng đến khi dây treo nghiêng với phương thẳng
đứng một góc  0  90 rồi thả nhẹ cho dao động điều hòa. Lấy g  10m / s 2 và  2  10 . Chọn t  0 lúc
buông vật, chiều dương là chiều kéo vật ra lúc đầu. Phương trình dao động của con lắc là
1

A.   sin 2t (rad )
B.   cos  t ( rad )
20
20
1



C.   cos  t (rad )
D.   sin  2t   (rad )
20 

2
20
Bài 7. Một con lắc đơn có chu kì dao động là 3s. Thời gian để con lắc đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li
S
độ s  0 là:
2
A.0,25s
B.0,375s
C.0,75s
D.1,5s
Bài 8. Một con lắc đơn gồm sợi dây nhẹ, không dãn dài 20cm, treo tại một điểm cố định. Kéo con lắc
khỏi phương thẳng đứng một góc bằng 0,1rad về phía bên phải, rồi truyền cho con lắc một vận tốc có độ
lớn 14 3cm / s theo phương vuông góc với dây . Con lắc dao động điều hòa, lấy g  9,8m / s 2 . Biên độ
cong của con lắc là
A.3,2cm
B.2,8cm
C.4cm
D.6cm
Bài 9. Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 0,1rad ở một nơi có gia tốc trọng trường
g  10m / s 2 . Vào thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có li độ cong 8cm và có tốc độ 20 3cm / s . Tốc độ
dao động cực đại của vật
A.0,8m/s
B.0,2m/s
C.0,4m/s
D.1m/s
Bài 10. Vật treo của con lắc đơn dao động điều hòa theo cung tròn MN quanh vị trí cân bằng O. Gọi P
và Q lần lượt là trung điểm của MO và MP . Biết vật có tốc độ cực đại 8m/s, tìm tốc độ của vật khi qua
Q
A.6m/s
B.5,29m/s

C.3,46m/s
D.8m/s
Bài 11. Một con lắc đơn gồm quả cầu khối lượng 100g, dao động tại nơi có g  10m / s 2 . Kéo con lắc
lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 0,1rad rồi thả nhẹ. Khi vật qua vị trí có tốc độ bằng nửa tốc độ cực đại
thì lực kéo về có độ lớn là
A.0,087N
B.0,1N
C.0,025N
D.0,05N
Bài 12. Một con lắc đơn dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trong trường g  10m / s 2 . Góc lớn nhất mà
dây treo hợp với phương thẳng đứng là  0  0,1rad . Tại vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng góc
  0, 01rad thì gia tốc của vật nặng của con lắc đơn có độ lớn là
A.0,1m/s2
B.0,0989m/s2
C.0,14m/s2
D.0,17m/s2
Bài 13. Tại nơi có gia tốc trong trường g  10m / s 2 , một con lắc đơn có chiều dài 1m dao động với biên
độ góc 600. Trong quá trình dao động, cơ năng của con lắc được bảo toàn. Tại vị trí dây treo hợp với
phương thẳng đứng một góc 300, gia tốc của vật nặng của con lắc có độ lớn là
Trang 4


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

A.1232cm/s2
B.500cm/s2
C.732cm/s2
D.887cm/s2
Bài 14. Một con lắc đơn gồm một vật nhỏ được treo vào đầu dưới của một sợi dây không dãn, đầu trên
của sợi dây được buộc cố định. Bỏ qua ma sát và lực cản của không khí. Kéo con lắc lệch khỏi phương

thẳng đứng một góc  0 (rad ) rồ thả nhẹ. Tỉ số giữa độ lớn gia tốc của vật tại vị trí cân bằng và độ lớn gia
tốc của vật tại vị trí biên là
A.  0
B. 1,73 0
C. 10 0
D.0
Bài 15. Một con lắc đơn khối lượng m, dây mảnh l . Từ vị trí cân bằng kéo vật sao cho dây treo hợp với
phương thẳng đứng một góc  0  600 rồi thả nhẹ. Lấy g  10m / s 2 , bỏ qua mọi lực cản. Độ lớn gia tốc
có giá trị cực tiểu trong quá trình dao động là
2
3
10 5
m / s2
A. 10 m / s 2
B.0
C. 10 m / s 2
D.
3
3
2
Bài 16. Con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng 200g và dây dài 100cm đang dao động điều hòa. Biết
gia tốc của vật nặng ở vị trí biên có độ lớn gấp 10 lần độ lớn gia tốc của nó khi qua vị trí cân bằng. Biên
độ cong của vật là
A.10cm
B.5cm
C.10 2cm
D. 5 2cm
Bài 17. Một con lắc đơn gồm một vật nhỏ được treo vào đầu dưới của một sợi dây không dãn, đầu trên
của sợi dây được buộc cố định. Bỏ qua ma sát và lực cản của không khí. Kéo con lắc lệch khỏi phương
thẳng đứng một góc 0,1rad rồi thả nhẹ. Tỉ số giữa độ lớn gia tốc của vật tại vị trí cân bằng và độ lớn gia

tốc tại vị trí biên bằng
A.0,1
B.0
C.10
D.5,73
Dạng 3: Năng lượng của con lắc đơn.
I.Phương pháp.
1
-Động năng Wd  mv2  mgl  cos   cos 0 
2
-Thế năng Wt  mgh  mgl 1  cos   với h  l 1  cos   ( chọn mốc thế năng khi vật ở vị trí
cân bằng)
-Cơ năng W  Wd  Wt  mgl 1  cos  0   Wd max  Wt max
-Khi góc nhỏ 0  100 thì ta có thể viết:



mv 2
1 2

W


cho v  d
Wd  2 mv
2





W

W
 Wd

mgl 2

 t


Wt 
2
mgl 2



Wt 


1
1 mg 2 1
1

cho   
2 2
2
2 2 2
2
W  Wd  Wt  2 m S0  2 l S0  2 mgl 0  2 m l  0


Wd  W  Wt



n
n
n
W     0
 s   S0
Wt 
n 1
n 1
n 1

-Khi Wt  nWd  
1
W  1 W  v  v
d
max

n 1
n 1
II.Bài tập.
Bài 1. Một con lắc đơn có dây treo dài 1m và vật có khối lượng 1kg dao động với biên độ góc 5,730.
Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng của vật, lấy g = 10m/s2. Cơ năng của con lắc là
A.0,1J
B.0,01J
C.0,05J
D.0,5J
Bài 2. Hai con lắc đơn dao động điều hòa tại cùng một nơi trên Trái Đất,có năng lượng dao động bằng

nhau. Quả nặng của chúng có cùng khối lượng. Chiều dài dây treo con lắc thứ nhất dài gấp đôi chiều dài
con lắc thứ hai. Biên độ dài của con lắc thứ nhất là 2cm. Biên độ dài của con lắc thứ hai là
A.4cm
B. 4 2 cm
C. 2 2 cm
D. 2 cm
Trang 5


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Bài 3. Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc  0  50 . Với li độ góc α bằng bao nhiêu thì
động năng của con lắc gấp 2 lần thế năng?
A.   3, 450
B.   2,890
C.   2,890
D.   3, 450
Bài 4. Một con lắc đơn có chiều dài 1m, dao động điều hòa tại nơi có g = 10m/s2 và góc lệch cực đại là
900. Chọn gốc thế tại vị trí cân bằng. Giá trị của vận tốc con lắc tại vị trí động năng bằng thế năng là bao
nhiêu ?
Bài 5. Hai con lắc đơn cùng khối lượng vật nặng, tại một địa điểm trên mặt đất hai con lắc đơn dao động
với cùng cơ năng. Biên độ góc của chúng lần lượt là 1  50 và  2  80 . Tỉ số chiều dài của hai con lắc là
A.1,26
B.1,6
C.0,6
D.2,56
Bài 6. Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động với biên độ góc α0 nhỏ. Lấy mốc thế
năng ở vị trí cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng
thế năng thì li độ góc α của con lắc bằng
A. 

0

B.

0
2

C. 

0

D.

0

2
3
3
Bài 7. Hai con lắc đơn có cùng khối lượng vật nặng, chiều dài dây treo lần lượt là l1  81cm, l2  64cm
dao động với biên độ góc nhỏ tại cùng một nơi với cùng một năng lượng dao động. Biên độ góc của con
lắc thứ nhất là 01  50 . Biên độ góc  02 của con lắc thứ hai là
A.5,6250
B.3,9510
C.6,3280
D.4,4450
Bài 8. Một con lắc đơn dài 1m, vật nặng khối lượng 100g, dao động trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua
điểm treo tại nơi có g  10m / s 2 . Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng và bỏ qua mọi ma sát. Khi dây treo
hợp với phương thẳng đứng một góc 300 thì tốc độ của vật nặng là 0,3m/s. Cơ năng của con lắc là


3
A. 1 
B.0,13J
C.0,14J
D.0,5J
J

2 

Bài 9. Một con lắc đơn gồm quả cầu có khối lượng 400g và dây treo nhẹ, không dãn, dài 0,1m được treo
thẳng đứng ở điểm A. Biết con lắc đơn dao động điều hòa, tại vị trí có li độ góc 0,075rad thì vật có vận
tốc 0,075 3m / s . Lấy g  10m / s 2 . Năng lượng dao động của con lắc là
A.4,7mJ
B.4,4mJ
C.4,5mJ
D.4,8mJ
Bài 10. Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng 1kg, độ dài dây treo là 2m. Góc lệch cực đại của
dây so với đường thẳng đứng là 0,175rad. Chọn gốc thế năng là mặt phẳng nằm ngang qua vị trí thấp nhất
của vật nặng, lấy g  9,8m / s 2 . Cơ năng và tốc độ của vật khi nó ở vị trí thấp nhất là
A.2J và 2m/s
B.0,30J và 0,77m/s C.0,30J và 7,7m/s
D.3J và 7,7m/s
Bài 11. Một con lắc đơn có khối lượng 2kg và có độ dài 4m, dao động điều hòa ở nơi có g  9,8m / s 2 .
Cơ năng dao động của con lắc là 0,2205J. Biên độ góc của con lắc là
A.0,75rad
B.4,30
C.0,3rad
D.0,0750
Bài 12. Một con lắc đơn gồm viên bi nhỏ khối lượng 100g được treo ở đầu một sợi dây dài 1,57m tại nơi
có g  9,81m / s 2 . Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 0,1rad rồi thả nhẹ cho nó dao động. Tính

động năng của viên bi khi góc lệch của nó là 0,05rad.
A.0,00195J
B.0,00585J
C.0,00591J
D.0,00577J
Bài 13. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là 40cm, dao động với biên độ góc 0,1rad tại nơi có
g  10m / s 2 . Vận tốc của vật nặng ở vị trí thế năng bằng động năng là
A. 0,3m / s
B. 0,1m / s
C. 0,1m / s
D. 0, 4m / s
Bài 14. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 1m dao động điều hòa với biên độ góc


rad , tại nơi có
20

gia tốc trọng trường g  10m / s 2 . Lấy  2  10 . Thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí cân bằng đến vị
trí có li độ góc

 3
40

rad là
Trang 6


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

1

1
A. s
B. s
C.3s
D. 3 2s
3
2
Bài 15. Một con lắc đơn dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng trường g  9,86m / s 2 . Tốc độ của vật
khi qua vị trí cân bằng là 6,28cm/s và thời gian đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ góc bằng nửa biên
1
độ góc là s . Chiều dài dây treo con lắc và biên độ cong lần lượt là
6
A.0,8m và 0,1m
B.0,2m và 0,1m
C.1m và 2cm
D.1m và 1,5m
Dạng 4: Bài toán con lắc vướng đinh về một phía.
I.Phương pháp.
O
1.Vướng đinh ở vị trí cân bằng.
-Biện độ góc sau khi vướng đinh thay đổi:  2  1
-Độ cao cực đại của quả nặng trước và sau khi vướng đinh so với
I
vị trí cân bằng: h1  l1 1  cos 1  ; h2  l2 1  cos  2 
-Cơ năng trước và sau khi vướng đinh:

W  mgh1  mgl1 1  cos 1 
.

W

'

mgh

mgl
1

cos




2
2
2

l 1  cos 1
-Vì cơ năng không đổi nên: h1  h2  1 
l2 1  cos  2

 R  mg  3  2cos 1 
-Độ lớn lực căng sợi dây trước và sau khi vướng đinh lần lượt là 
 R '  mg  3  2cos  2 
T T
-Chu kì của con lắc vướng đinh: T  1 2 với T1 là chu kì của con lắc lớn ( l1 ), T2 là chu kì của
2
con lắc nhỏ ( l2 ).
2.Vướng đinh ở vị trí biên.
-Biên độ góc trước và sau khi vướng đinh không thay đổi:
O

 2  1   0
-Độ lớn lực căng sợi dây trước và sau khi vướng đinh:
 R  mg cos  o
I

 R '  mg cos  0
-Độ cao cực đại của quả nặng trước và sau khi vướng đinh:
h1  l1 1  cos  0 

h2  l2 1  cos  0 

W  mgh1  mgl1 1  cos  0 
-Cơ năng của con lắc không bảo toàn: 

W '  mgh2  mgl2 1  cos  0 
3.Sự trùng phùng của hai con lắc đơn.
-Hai con lắc dao động với chu kì khác nhau T1 và T2. Khi vật nặng của hai con lắc cùng qua vị trí
cân bằng và chuyển động cùng chiều thì ta nói xảy ra trùng phùng.
TT
-Khoảng thời gian t giữa hai lần trùng phùng liên tiếp được xác định:   1 2 hoặc
T1  T2

  nT1   n  1 T2 với n là số chu kì đến lúc trùng phùng mà con lắc lớn thực hiện, n  1 là số chu kì con

lắc nhỏ thực hiện để trùng phùng.
II.Bài tập.
Bài 1. Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T. Nếu tại điểm A là trung điểm của đoạn OB người
ta đóng một cái đinh để chặn một bên của dây thì chu kì dao động T’ mới của con lắc là
Trang 7

Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

 2 1 
T
T
B. T '  
C. T ' 
D. T ' 
 2 2  T
2
2


Bài 2. Một con lắc đơn có chiều dài l  1m dao động điều hòa với chu kỳ T tại nơi có gia tốc trọng
trường là g   2  10m / s 2 . Nhưng khi dao động khi đi qua vị trí cân bằng dây treo bị vướng đinh tại vị
trí l và con lắc tiếp tục dao động. Xác định chu kỳ của con lắc đơn khi này?
2
2 2
s
A.2s
B. 2s
C. (2  2)s
D.
2
Bài 3. Con lắc đơn có dây treo dài l , vật nặng có khối lượng m dao động tại nơi có gia tốc trọng trường
g  9,8m / s 2 , biên độ góc ban đầu là 300 . Khi qua vị trí cân bằng, dây treo của con lắc vướng vào đi tại
điểm chính giữa của dây treo. Sau khi vướng đinh, góc lệch lớn nhất giữa dây treo và phương thẳng đứng
bằng:
A. 400

B. 300
C. 420
D. 430
Bài 4. Con lắc đơn có dây treo dài l , vật nặng có khối lượng m, dao động trong mặt phẳng thẳng đứng .
Khi con lắc ở vị trí biên, người ta giữ điểm I trên dây sao cho chiều dài đoạn dây từ điểm I tới điểm treo
2
bằng
chiều dài dây treo. Sau khi giữ năng lượng của con lắc giảm:
5
A.70%
B.60%
C.50%
D.40%
Bài 5. Hai con lắc đơn chiều dài l1  64cm; l2  81cm , dao động nhỏ trong hai mặt phẳng song song. Hai
con lắc cùng qua vị trí cân bằng và cùng chiều lúc t = 0. Sau thời gian t, hai con lắc lại cùng qua vị trí cân
bằng và cùng chiều một lần nữa. Lấy g   2 m / s 2 . Chọn kết quả đúng về thời gian t trong các kết quả
dưới đây.
A.20s
B.12s
C.8s
D.14,4s
Bài 6. Một con lắc đơn có chu kì T chưa biết dao động trước mặt một con lắc đồng hồ có chu kì T0  2 s .
Con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc đồng hồ một chút nên có những lần hai con lắc chuyển động
cùng chiều và trùng nhau tại vị trí cân bằng của chúng (gọi là những lần trùng phùng). Quan sát cho thấy
khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp bằng 7 phút 30 giây. Hãy tính chu kì T của con lắc
đơn và độ dài con lắc đơn. Lấy g  9,8m / s 2 .
A.1,98s và 1m
B.2,009s và 1m
C.2,009s và 2m
D.1,98s và 2m

Dạng 5: Lực căng dây treo và vận tốc vật nặng.
I.Phương pháp.
A. T '  T

1.Vận tốc của vật nặng tại vị trí có li độ góc α: v   2 gl  cos   cos  0 



-Nếu 0  100 thì có thể tính gần đúng v   gl  02   2



-Khi vật qua vị trí cân bằng vVTCB  vmax  2 gl 1  cos  0  và nếu 0  100 thì

vmax   02 gl   S0

2.Lực căng của dây treo tại vị trí có li độ góc α: R  mg  3cos   2 cos  0 
-Khi qua vị trí cân bằng   0  cos   1  Rmax  mg  3  2 cos  0 
-Khi đến vị trí biên    0  cos   cos  0  Rmin  mg cos  0



2
2
-Nếu 0  100 thì có thể viết R  mg 1  1,5   0

3.Lực kéo về: Fkeove  m 2 s  m 2 l với  2 

g
l

Trang 8







 Rmax  mg 1   02


  02 
 Rmin  mg 1 

2 




Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333



-Lực kéo về cực đại: Fkeove



max

 m 2 S0  m 2 0l khi vật ở vị trí biên s   S0 ;   0

II.Bài tập.
Bài 1. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo l  100cm , vật có khối lượng 50g dao động ở noi có gia tốc
trọng trường g  9,81m / s 2 với biên độ góc 0  300 . Khi   80 thì tốc độ và lực căng sợi dây là
A.1,65m/s và 0,706N
B.1,56m/s và 0,607N
C.1,56m/s và 0,706N
D.1,65m/s và 0,067N
Bài 2. Một con lắc đơn có dây treo dài 1m và vật có khối lượng 100g. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân
bằng một góc 600 rồi thả nhẹ. Bỏ qua ma sát, lấy g  10m / s 2 . Lực căng dây khi vật đi qua vị trí cân bằng
là
A.0,5N
B.1N
C.2N
D.3N
Bài 3. Một con lắc đơn có dây treo dài 0,4m, vật nặng khối lượng 200g. lấy g = 10m/s2. Kéo con lắc để
dây treo lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 600 rồi buông nhẹ. Lúc lực căng của dây treo là 4N thì vận
tốc của vật bằng
A.2m/s
B.2,5m/s
C.3m/s
D.4m/s
Bài 4. một con lắc đơn có chiều dài l  50cm , khối lượng m  250 g . Tại vị trí cân bằng người ta truyền
cho vật nặng vận tốc v  1m / s theo phương ngang, lấy g  10m / s 2 . Lực căng của sợi dây khi vật ở vị trí
cao nhất là
A.2,25N
B.2,35N
C.3,15N
D.3,25N
Bài 5. Con lắc đơn dao động với phương trình li độ dài s  2cos 7t (cm) (t đo bằng giây), tại nơi có gia

tốc trọng trường 9,8m/s2. Tỉ số giữa lực căng sợi dây và trọng lực tác dụng lên quả cầu ở vị trí cân bằng là
A.1,08
B.0,98
C.1,01
D.1,05
Bài 6. Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc α0 tại nơi có gia tốc trọng trường là g.
Biết lực căng dây lớn nhất bằng 1,02 lần lực căng dây nhỏ nhất. Giá trị của α0 là
A.3,30
B.6,60
C.5,60
D.9,60
Bài 7. Một con lắc đơn có chiều dài l  43, 2cm , vật có khối lượng m dao động tại nơi có gia tốc trọng
trường coi gần đúng bằng 10m/s2 với biên độ góc α0 sao cho  max  4 min . Khi lực căng sợi dây   2 min
thì tốc độ của vật là
A.1m/s
B.1,2m/s
C.1,6m/s
D.2m/s
Bài 8. Con lắc đơn có chiều dài 1m dao động nhỏ với chu kì 1,5s và biên độ góc là 0,05rad. Độ lớn vận
tốc khi vật có li độ góc là 0,04rad là
4
cm / s
A. 9 cm / s
B. 3 cm / s
C. 4 cm / s
D.
3
Bài 9. Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ, khối lượng 50g treo vào đầu một sợi dây dài 1m, ở nơi có gia
tốc trọng trường g  9,81m / s 2 . Bỏ qua mọi ma sát. Con lắc dao động theo phương thẳng đứng với góc
lệch cực đại so với phương thẳng đứng là 300. Tốc độ và lực căng dây khi vật qua vị trí cân bằng là

A.1,62m/s và 0,62N
B.2,63m/s và 0,62N
C.4,12m/s và 1,34N
D.0,412m/s và 13,4N
Bài 10. Một con lắc đơn gồm quả cầu có khối lượng 400g, dao động tại nơi có g  9,8m / s 2 . Kích thích
cho con lắc dao động trong mặt phẳng thẳng đứng. Biết sức căng dây khi con lắc ở vị trí biên là 0,99N.
Lực căng dây ở vị trí cân bằng là
A.10,02N
B.9,78N
C.11,2N
D.8,888N
Bài 11. Treo một vật có trọng lượng 10N vào đầu một sợi dây nhẹ, không dãn rồi kéo vật khỏi phương
thẳng đứng một góc  max và thả nhẹ cho vật dao động. Biết dây chịu được lực kéo tối đa 20N. Để dây
không bị đứt thì giá trị của  max không vượt quá
A.150
B.300
C.450
D.600
Bài 12. Một con lắc đơn có chiều dài 1m được thả không vận tốc đầu từ vị trí có li độ góc 600. Li độ góc
của vật khi vận tốc của vật có độ lớn bằng nửa độ lớn vận tốc cực đại là
A.51,30
B.26,3rad
C.0,90
D.40,70
Trang 9


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Bài 13. Con lắc đơn dao động không ma sát, vật nặng 100g. Biết gia tốc trọng trường g  10m / s 2 . Khi

vật dao động qua vị trí cân bằng thì lực tổng hợp tác dụng lên vật cso giá trị 1,4N. Tính biên độ góc của
con lắc
A.0,64rad
B.36,86rad
C.1,27rad
D.72,54rad
Bài 14. Một con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng 100g, dao động điều hòa với chu kì 2s. Khi vật qua vị
trí cân bằng thì lực căng của dây treo là 1,0025N. Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng. Lấy
g  10m / s 2 ,  2  10 . Cơ năng dao động của vật là
A.25mJ
B.2,5mJ
C.1,25mJ
D.12,5mJ
Bài 15. Một con lắc đơn có chiều dài 1m, vật nặng có khối lượng 200g, được treo vào điểm Q và O là vị
trí cân bằng của con lắc. Kéo vật đến vị trí dây treo lệch so với vị trí cân bằng một góc 600 rồi thả không
vận tốc đầu, lấy g  10m / s 2 . Gắn một chiếc đinh vào điểm I trên đoạn OQ ( OI  2IQ ), sao cho khi qua
vị trí cân bằng dây bị vướng đinh. Lực căng của dây treo ngay trước và sau khi vướng đinh là
A.4N và 4N
B.6N và 8N
C.4N và 6N
D.4N và 5N
Bài 16. Một con lắc đơn có chiều dài l  100cm đang dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trong trường là
g  10m / s 2 . Cho biết lực căng dây nhỏ nhất bằng 0,97 lần lực căng dây lớn nhất. Vận tốc cực đại của
con lắc đơn trong quá trình dao động là
A.0,452m/s
B.0,358m/s
C.0,648m/s
D.0,854m/s
Bài 17. Một con lắc đơn dao động với biên độ  0 


, có mốc thế năng được chọn tại vị trí cân bằng của
2

vật nặng. Gọi độ lớn vận tốc của vật nặng khi động năng bằng thế năng là v1 , khi độ lớn của lực căng dây
v
treo bằng trong lực tác ngj lên vật là v2 . Tỉ số 1 là
v2

2
3
2
3
B.
C.
D.
3
2
3
2
Dạng 6: Biến thiên chu kì của con lắc đơn theo nhiệt độ (g không đổi).
I.Phương pháp.
-Gọi T1 là chu kì dao động của con lắc ứng với nhiệt độ t1, T2 là chu kì dao động của con lắc ứng
A.

với nhiệt độ t2. Ta có: T1  2

l1 1    t2  t1  
l1
với α là hệ số nở dài của dây treo.

; T2  2
g
g

1

T T2  T1 
T2
l2
T  T2  T1    t2  t1  T1

  t2  t1 
Vậy:
2
 

T
T
2
T1
l1
1
1
l  l2  l1   l1  t2  t1 

-Một đồng hồ quả lắc dùng con lắc nói trên thì: Nếu ∆T > 0: đồng hồ chạy chậm lại, nếu ∆T < 0:
đồng hồ chạy nhanh lên.
-Lượng sai lệch thời gian ∆t trong khoảng thời gian  là: t 



2

t2  t1

II.Bài tập.
0
Bài 1. Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T  2s ở nhiệt độ 15 C . Biết hệ số nở dài của dây
5
1
0
treo con lắc là   2.10 K . Chu kì dao động của con lắc ở cùng nơi đó khi nhiệt độ bằng 25 C là
A.2,0004s
B.2,0002s
C.2,002s
D.2,008s
Bài 2. Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất ở nhiệt độ 250C. Biệt hệ số nở dài của dây treo
con lắc là   2.105 K 1 . Khi nhiệt độ là 200C thì sau một ngày đêm đồng hồ chạy như thế nào?
A.chậm 8,64s
B.nhanh 8,64s
C.chậm 4,32s
D.nhanh 4,32s
Bài 3. Một đồng hồ quả lắc có chu kì T0 = 2s ở nhiệt độ 00C. Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là
  1, 2.105 K 1 , lấy g   2 m / s 2 . Khi nhiệt độ tăng lên 250C, thời gian đồng hồ chạy sai trong một giờ
và chiều dài dây treo của con lắc lúc đó là
A.nhanh 0,54s; 1,0003m
B.chậm 0,54s; 1,0003m
Trang 10


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

C.nhanh 12,96s; 1,0003m
D.chậm 0,54s; 1,03m
Bài 4. Một đồng hồ dùng con lắc đơn làm hệ đếm giây. Dây treo vật bằng kim loại có hệ số nở dài là
  1,8.105 K 1 . Biết đồng hồ chạy đúng ở 250C. Hỏi rằng nếu nhiệt độ giảm xuống còn 100C thì ngày
đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu?
A.nhanh 14,32s
B.chậm 11,66s
C.chậm 14,32s
D.nhanh 11,66s
Bài 5. Trong quá trình hoạt động của mình, nếu nhiệt độ của môi trường là t1, môi ngày đồng hồ quả lắc
sẽ chạy nhanh ∆, còn nếu nhiệt độ của môi trường là t2, mỗi ngày đồng hồ sẽ chạy chậm 3∆. Đồng hồ
trên đã được thiết kế chạy đúng giờ ở nhiệt độ
 3t  t 
t  t 
 2t1  t2 
A. 1 2
B. 1 2
C.
D. 2t2  t1
2
4
3
Dạng 7: Biến thiên chu kì của con lắc đơn theo độ cao và độ sâu.
I.Phương pháp.
1.Chiều dài và nhiệt độ không đổi.
a.Ảnh hưởng do độ cao:
l
l
-Gọi T1  2

là chu kì dao động của con lắc ở mặt đất, T2  2
là chu kì dao động của
g0
gh

GM
(M là khối lượng Trái Đất, R  6400km là bán kính Trái Đất),
R2
g0
T
h
T T2  T1 h
 T  T2  T1  T1 hay


. Ta có: 2 
T1
gh
R
T1
T1
R

con lắc ở độ cao h. Trong đó g0 

gh 

GM

 R  h

2

-Một đồng hồ quả lắc dùng con lắc nói trên thì: Nếu ∆T > 0: đồng hồ chạy chậm lại, nếu ∆T < 0:
đồng hồ chạy nhanh lên.
 .h
-Lượng sai lệch thời gian ∆t trong khoảng thời gian  là: t  cao
R
b.Ảnh hưởng của độ sâu:
l
l
-Gọi T1  2
là chu kì dao động của con lắc ở mặt đất, T2  2
là chu kì dao động của
g0
gh

GM
(M là khối lượng Trái Đất, R  6400km là bán kính Trái Đất),
R2
GM  R  h 
g0
T
h
T T2  T1
h
 T  T2  T1 
T1 hay



. Ta có: 2 
gh 
3
T1
gh
2R
T1
T1
2R
R
-Một đồng hồ quả lắc dùng con lắc nói trên thì: Nếu ∆T > 0: đồng hồ chạy chậm lại, nếu ∆T < 0:
đồng hồ chạy nhanh lên.
 .h
-Lượng sai lệch thời gian ∆t trong khoảng thời gian  là: t  sau
2R
2.Chiều dài và nhiệt độ thay đổi, g thay đổi.
-Nếu các yếu tố chiều dài, g, nhiệt độ hoặc độ cao (hay độ sâu) thay đổi thì ta áp dụng công thức:
l  l ' l
h
h
T2
1 l 1 g 1
 1

   t20  t10   cao  sau với 
T1
2 l 2 g 2
R
2R
g  g ' g

-Khi chỉ có nhiệt độ và độ cao thay đổi, muốn ở độ cao h đồng hồ vẫn đúng như khi ở mặt đất có

h
nhiệt độ t1 thì:  t2  t1  
2
R
T
l M R'
3.Con lắc đưa từ Trái Đất lên Thiên Thể khác: 2  2
trong đó M và R là khối lượng và bán
T1
l1 M ' R
kính Trái Đất; M’ và R’ là khối lượng và bán kính Thiên Thể.
4.Phần trăm độ giảm của chu kì theo l và g.
con lắc ở độ cao h. Trong đó g0 

Trang 11


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

T
1 l
(%) 
100
T
2 l
T
1 g
-Phụ thuộc vào g:

(%) 
100
T
2 g
T
1 l
1 g
-Phụ thuộc vào cả l và g:
(%) 
100 
100
T
2 l
2 g
5. Đồng hồ quả lắc.
Gọi T , T ' lầ lượt là chu kì của đồng hồ đúng và chu kì của đồng hồ sai. Giả sử hai đồng hồ bắt
đầu hoạt động cùng một lúc và đến thời điểm số chỉ của chúng lầ lượt là t và t ' . Theo nguyên tắc cấu tạo
đồng hồ thì t.T  t '.T ' .
T'
l'
g
-Khi đồng hồ chạy sai chỉ t '(s) thì đồng hồ chạy đúng chỉ: t  t '  t '

T
l
g'
-Phụ thuộc vào l:

-Khi đồng hồ chạy đúng chỉ t ( s ) thì đồng hồ chạy sai chỉ: t '  t 

T
l
g'
t

T'
l'
g

-Khi đồng hồ chạy đúng chỉ tdong hodung  t thì đồng hồ chạy sai chỉ thời gian: tdong ho sai 

tT
. Độ
T'

 T 
chênh lệch thời gian: t  tdong ho dung  tdong ho sai  t 1   . Nếu t  0 thì đồng hồ sai chạy chậm, còn nếu
 T '
t  0 thì đồng hồ sai chạy nhanh.
tT '
-Khi đồng hồ chạy sai chỉ tdong ho sai  t ' thì đồng hồ chạy đúng chỉ thời gian: tdong hodung 
. Độ
T
 T '
chênh lệch thời gian: t  tdong ho dung  tdong ho sai  t 1   . Nếu t  0 thì đồng hồ sai chạy chậm, còn nếu
 T 
t  0 thì đồng hồ sai chạy nhanh.
II.Bài tập.
Bài 1. Người ta đưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao h  10km . Hỏi lúc đó chu kì của con lắc là bao
nhiêu? Biết ban đầu con lắc có chu kì T  5s và bán kính Trái Đất là R  6400km .

A.4,9922s
B.4,9844s
C.5,0078s
D.5,0156s
Bài 2. Một con lắc đơn dao động điều hòa trên mặt đất với chu kì T  2s . Đưa con lắc xuống một giếng
mỏ sâu 750m thì chu kì của con lắc sẽ thay đổi như thế nào? Cho bán kính Trái Đất là R  6400km .
A.tăng 2,334.104 s B.tăng 1,172.104 s
C.giảm 2,334.104 s D.giảm 1,172.104 s
Bài 3. Người ta đưa một đồng hồ quả lắc từ mặt đất lên độ cao h = 0,5km, coi nhiệt độ không thay đổi.
Biết bán kính trái đất là 6400km. Mỗi ngày đêm đồng hồ chạy
A.nhanh 7,56s
B.chậm 7,56s
C.chậm 6,75s
D.nhanh 6,75s
Bài 4. Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ khi đặt trên mặt đất và ở nhiệt độ t1  250 C . Cho biết hệ số nở

dài của dây treo là   104 K 1 , bán kính trái đất là 6400km. Nếu đưa đồng hồ lên độ cao 6,4km so cới
mặt đất và ở đó nhiệt độ là -100C thì mỗi ngày đêm đồng hồ sẽ chạy
A.nhanh 237,6s
B.chậm 237,6s
C.nhanh 64,8s
D.chậm 64,8s
0
Bài 5. Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất ở nhiệt độ 17 C. Đưa đồng hồ lên đỉnh núi cao
640m thì đồng hồ vẫn chỉ đúng giờ. Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là   4.105 K 1 , bán kính trái
đất là 6400km. Nhiệt độ trên đỉnh núi là
A.17,50C
B.14,50C
C.120C
D.70C

Bài 6. Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất và ở nhiệt độ t1  250 C . Cho biết hệ số nở vì nhiệt
của dây treo là   104 K 1 , bán kính Trái Đất là 6400km. Nếu đưa con lắc xuống độ sâu 6,4km so với
mặt đất và nhiệt độ ở đó là 450C thì mỗi ngày đêm con lắc chạy
A.nhanh 129,6s
B.nhanh 43,2s
C.chậm 86,4s
D.chậm 129,6s
Trang 12


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Bài 7. Đem một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất ở nhiệt độ 200C xuống đáy một hầm mỏ ở độ
sâu 500m thì thấy nó vẫn chạy đúng giờ. Biết bán kính Trái Đất là 6400km, hệ số nở dài của dây treo con
lắc là   5.105 / 0 C . Nhiệt độ ở hầm mỏ này là
A.1,600C
B.18,40C
C.21,60C
D.23,20C
Bài 8. Một con lắc đơn dao động tại địa điểm A với chu kì 2s. Đưa con lắc tới địa điểm B thì thực hiện
100 dao động hết 201s. Coi nhiệt độ hai nơi này bằng nhau. So với gia tốc trọng trường tại A, gia tốc
trọng trường tại B
A.tăng 0,1%
B.giảm 0,1%
C.tăng 1%
D.giảm 1%
Bài 9. Một đồng hồ đếm giây đặt trên mặt đất, mỗi ngày đêm chậm 130s. Phải điều chỉnh độ dài của con
lắc thế nào so với độ dài hiện trạng để đồng hồ chạy đúng?
A.tăng 0,2%
B.tăng 0,3%

C.giảm 0,2%
D.giảm 0,3%
Bài 10. Một đồng hồ quả lắc có chu kì T  2s ở Hà Nội với g1  9,7926m / s 2 và nhiệt độ t1 = 100C. Bết
hệ số giãn nở của thanh treo là   2.105.K 1 . Chuyển đồng hồ vào Sài Gòn ở đó có g2  9,7867m / s 2
và nhiệt độ t2 = 330C. Muốn đồng hồ vẫn chạy đúng trong điều kiện mới thì phải tăng hay giảm độ dài
của con lắc một lượng bao nhiêu?
A.giảm 1,05mm
B.giảm 1,55mm
C.tăng 1,05mm
D.tăng 1,55mm
Bài 11. Ở mặt đất con lắc đơn có chu kì dao động T  2s . Biết khối lượng Trái Đất gấp 81 lần khối lượng
Mặt Trăng và bán kính Trái Đất gấp 3,7 lần bán kính Mặt Trăng. Đưa con lắc Mặt Trăng thì chu kì của
con lắc sẽ là
A.4,86s
B.2,43s
C.43,7s
D.2s
Bài 12. Gia tốc trọng trường trên Mặt trăng nhỏ hơn trên mặt đất 6 lần. Kim phút của đồng hồ quả lắc
chạy một vòng hết 1 giờ. Nếu đưa đồng hồ này lên Mặt trăng, chiều dài con lắc coi như không đổi thì kim
phút quay một vòng hết:
1
1
A. 6h
B. h
C.
D. 6h
h
6
6
Bài 13. Biết rằng gia tốc rơi tự do trên Trái Đất gấp 6 lần gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng. Giả sử nhiệt độ

trên Mặt Trăng và trên Trái Đất là như nhau. Hỏi nếu đem một đồng hồ quả lắc có chu kì dao động bằng
2s từ Trái Đất lên Mặt Trăng thì trong một ngày đêm (24 giờ) đồng hồ sẽ chạy nhanh hay chậm bao
nhiêu?
A.chậm đi 1200ph
B.nhanh lên 852ph C.chậm đi 852ph
D.nhanh lên 1200ph
Bài 14. Hai đồng hồ quả lắc, đồng hồ chạy đúng có chu kì T  2s và đồng hồ chạy sai có chu kì
T '  2,002s . Nếu đồng hồ chạy sai chỉ 24 giờ thì đồng hồ chạy đúng chỉ:
A.24 giờ 1 phút 26,4 giây
B.24 giờ 2 phút 26,4 giây
C.23 giờ 47 phút 19,4 giây
D.23 giờ 44 phút 05 giây
Bài 15. Hai đồng hồ quả lắc, đồng hồ chạy đúng có chu kì T  2s và đồng hồ chạy sai có chu kì
T '  2,002s . Nếu đồng hồ chạy đúng chỉ 24 giờ thì đồng hồ chạy sai chỉ:
A.23 giờ 48 phút 26,4 giây
B.23 giờ 49 phút 26,4 giây
C.23 giờ 47 phút 19,4 giây
D.23 giờ 44 phút 5 giây
Bài 16. Một đồng hồ quả lắc được điều khiển bởi con lắc đơn chạy đúng giờ khi chiều dài thanh treo là
43,29m. Nếu chiều dài thanh treo là 43,11m thì sau 1200 phút (theo đồng hồ chuẩn) nó chạy nhanh hay
chậm bao nhiêu?
A.chậm 2,5026 phút
B.nhanh 2,5026 phút
C.chậm 2,4974 phút
D.nhanh 2,4974 phút
Dạng 8: Chu kì của con lắc đơn khi chịu thêm ngoại lực.
I.Phương pháp.
Khi chưa có ngoại lực F tác dụng, dao động của con lắc đơn bị chi phối bởi trọng lực P :
-Tại vị trí cân bằng, phương của dây treo trùng với phương của P (hay g ).
-Chu kì dao động: T  2

l
.
g
Trang 13


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Khi con lắc đơn chịu thêm tác dụng của ngoại lực F như lực điện trường , lực từ, lực quán tính, lực
đẩy Ác-si-mét, . . . lúc này dao động con lắc đơn bị chi phối bởi trọng lực hiệu dụng (còn gọi là trọng lực
biểu kiến): Phd  mg  F
F
m
-Tại vị trí cân bằng, phương của dây treo trùng với phương của Phd (hay g hd ).

-Gia tốc trọng trường hiệu dụng (biểu kiến): g hd  g  a  g 

-Chu kì dao động mới: T  2

l
.
g hd

-Vì P (hay g ) có hướng thẳng đứng từ trên xuống nên để thực hiện các phép cộng các véctơ
F
ta cần phân biệt các trường hợp: F hướng thẳng đứng, hướng ngang và
m
hướng xiên góc. Cần lưu ý Phd (hay g hd ) có phương trùng với phương của sợi dây và
có chiều sao cho nó luôn có xu hướng kéo căng sợi dây.

Khi F hướng thẳng đứng:
F
-Nếu F hướng thẳng đứng xuống thì F
P g nên ghd  g 
m
F
-Nếu F hướng thẳng đứng lên thì F
P g nên ghd  g 
α
m
F

 tan   P

α
Khi F hướng ngang thì F  P g nên 
2
F
g


g  g 2 
  
 hd
cos 
m

Phd  mg  F hay g hd  g 

 

 

 

Khi F hướng xiên góc (dù hướng phía trên hay hướng xuống ta
α
α
2

F
F
β
β
 g hd  g 2     2 g cos 

m
m
 
đều có: 
α
α
F
F
 Phd
β
β
 sin   sin   sin   mg sin 
hd

1.Lực đẩy Acsimet.

-Lực đẩy Acsimet luôn thẳng đứng hướng lên, biểu thức F  DgV , với D là khối lượng riêng của
chất lỏng hay chất khí; V là thể tích của phần chất lỏng hay chất khí bị vật nặng chiếm chỗ.
-Nếu vật nặng có khối lượng riêng D2 , thể tích V thì nó cũng chiếm chỗ trong chất lỏng hoặc
chất khí là V . Khi đó nếu chất lỏng hoặc khí khối lượng riêng D1 thì:

g hd  g 

D gV
D gV
Dg
F
l
l
g 1
g 1
 g  1  T '  2
 2
DgV
Dg
m
m
D2V
D2
g
g 1
m
D2

-Chu kì của con lắc thay đổi do lực đẩy Acsimet:

D
T
 1
T
2 D2

2.Lực quán tính.
Lực quán tính khi con lắc đặt trong thang máy hoặc trên xe chuyển động có gia tốc a. ngoài trọng lực
P vật còn chịu thêm lực quán tính Fqt  ma .
-Chuyển động nhanh dần đều a
-Chuyển động chậm dần đều a

v ( v có hướng chuyển động).
v ( v có hướng chuyển động).
Trang 14


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

a.Con lắc đặt trong thang máy chuyển động với gia tốc a.
Nếu thang máy đi lên nhanh dần đều hoặc đi xuống chậm dần đều thì g hd  g  a  T '  2

l
ga

l
g a
Khi con lắc đang dao động mà thang máy bắt đầu chuyển động biến đổi đều theo phương thẳng đứng
g hd  g  a thì cơ năng thay đổi hay không còn phụ thuộc vào li độ lúc tác dụng:
-Nếu lúc tác động con lắc qua vị trí cân bằng (   0 ) thì không làm thay đổi tốc độ cực đại (

'
vmax  vmax ) nên không làm thay đổi động năng cực đại, tức là không làm thay đổi cơ năng dao động:
W'
'
 0
 1  vmax
 vmax
W
-Nếu lúc tác động con lắc qua vị trí biên (    max ) thì không làm thay đổi biên độ góc (

Nếu thang máy đi lên chậm dần đều hoặc đi xuống nhanh dần đều thì g hd  g  a  T '  2

'
max
  max ) nên tỉ số cơ năng bằng tỉ số thế năng cực đại và tỉ số gia tốc:

   max 

W ' ghd
'

  max
  max
W
g

-Nếu lúc tác động con lắc đi qua vị trí có li độ góc   

 max
n

thì độ biến thiên thế năng lúc này

đúng bằng độ biến thiên cơ năng:

m  g hd  g  l 2 m  g hd  g  l 2

1 g
 
 max  2  hd  1 W
   max  Wt 
2
2
2n
n  g



m  g hd  g  l 2
mg hd l ' 2 mgl 2

'
W
'

W


W






 max   max
?


t
max
max
2

2
2
2n
b.Con lắc đặt trong xe chuyển động theo phương ngang với gia tốc a.
-Khi con lắc treo trên xe chuyển động biến đổi đều với gia tốc a theo phương nằm ngang thì nó
chịu thêm tác dụng của lực quán tính: Fqt  ma nên gia tốc trọng trường hiệu dụng:

g hd  g 

Fqt

 g a.
m
-Khi ở vị trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một
góc β và độ lớn gia tốc trọng trường hiệu dụng g hd  g .

β


g
l
2
2
 T  2
 g hd  g  a 
cos 
g 2  a2

-Ta có: 
Fqt a

 tan   P  g

3.Lực điện trường.
-Lực điện trường do điện trường đều E tác vật nặng nhiễm điện q: F  qE .

β

+Nếu q là điện tích dương thì F cùng chiều E .
+Nếu q là điện tích âm thì F ngược chiều E .
a.Điện trường thẳng đứng:
Nếu F

2

T 
l

g
P
P : Phd  P  F  g hd  g 
 T  2
  

qE
m
g hd P  F
 T0 
g
m
qE

Trang 15


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333
2

T 
l
g
P
P : Phd  P  F  g hd  g 
 T  2
  

Nếu F
qE

m
g hd P  F
 T0 
g
m
Khi con lắc đơn đang dao động điều hòa mà lực F có phương thẳng đứng bắt đầu tác dụng thì cơ năng
thay đổi hay không còn phụ thuộc vào li độ lúc lực tác dụng:
-Nếu lúc tác động con lắc qua vị trí cân bằng (   0 ) thì không làm thay đổi tốc độ cực đại (
'
vmax  vmax ) nên không làm thay đổi động năng cực đại, tức là không làm thay đổi cơ năng dao động:
W'
'
 0
 1  vmax
 vmax
W
-Nếu lúc tác động con lắc đi qua vị trí biên (    max ) thì không làm thay đổi biên độ góc (
qE

'
max
  max ) nên tỉ số cơ năng bằng tỉ số thế năng cực đại và bằng tỉ số gia tốc:

   max 

W ' ghd
'

  max
  max

W
g

-Nếu lúc tác động con lắc con lắc đi qua li độ góc   

 max
n

thì độ biến thiên thế năng lúc này

đúng bằng độ biến thiên cơ năng:

m  g hd  g  l 2 m  g hd  g  l 2

 max
1 g
 Wt 
 
 max  2  hd  1 W
  
2
n
2
2n
n  g



m  g hd  g  l 2
mg hd l ' 2 mgl 2


'
 max   max
?
W '  W  Wt  2  max   2  max 
2
b.Điện trường nằm ngang: F  P  ghd

 T  2

l
 2
g hd

P
 hd 
m

l
 qE 
g 

 m 
2

2

 2

P2  F 2

 qE 
 g2  

m
 m

2

qE
l
F
 T0 cos  với tan  

g
mg mg
cos 

II.Bài tập.
1.Trường hợp lực F không đổi.
Bài 1. Một con lắc đơn có vật nhỏ bằng sắt nặng m  10 g đang dao động điều hòa. Đặt trên con lắc một
nam châm thì vị trí cân bằng của con lắc không thay đổi. Biết lực hút của nam châm tác dụng lên vật dao
động của con lắc là 0,02N. Lấy g  10m / s 2 . Chu kì dao động bé tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so
với lúc đầu?
A.tăng 11,8%
B.giảm 11,8%
C.tăng 8,7%
D.giảm 8,7%
Bài 2. Một con lắc đơn có vật nhỏ bằng sắt nặng m  10 g đang dao động điều hòa. Đặt dưới con lắc một
nam châm thì vị trí cân bằng của con lắc không thay đổi nhưng chu kì dao động bé của nó thay đổi 0,1%
so với khi không có nam châm. Lấy g  10m / s 2 . Lực hút của nam châm lên vật dao động của con lắc là:

A. 2.103 N
B. 2.10 4 N
C. 0, 2N
D. 0,02N
Bài 3. Một con lắc đơn dao động điều hòa tại một nơi nhất định với chu kì T. Nếu tại đó có thêm trường
ngoại lực không đổi có hướng thẳng đứng từ trên xuống thì chu kì dao động nhỏ của con lắc là T1  1,15s .
Nếu đổi chiều ngoại lực thì chu kì dao động lúc này là T2  1,99 s . Chu kì dao động T bằng
A.0,58s
B.1,41s
C.1,15s
D.1,99s
Bài 4. Một con lắc đơn gồm dây dài l  1m , vật nặng m  100 g dao động điều hòa tại nơi có thêm trường
ngoại lực có độ lớn 1N, có hướng hợp với hướng của trọng lực một góc 1200 . Lấy g  10m / s 2 . Khi ở vị
trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc bao nhiêu?
A. 300 và chu kì dao động của con lắc đơn là 1,99s.
Trang 16


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

B. 600 và chu kì dao động của con lắc đơn là 1,41s.
C. 300 và chu kì dao động của con lắc đơn là 1,41s.
D. 600 và chu kì dao động của con lắc đơn là 1,99s.
Bài 5. Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T tại nơi có thêm trường ngoại lục có độ lớn F có
hướng ngang. Nếu quay phương của ngoại lực một góc 300 thì chu kì dao động bằng 1,987s hoặc 1,147s.
Giá trị của T bằng
A.1,567s
B.1,405s
C.1,329s
D.1,510s

2.Lực đẩy Ác-si-mét.
Bài 1. Một con lắc đơn có chu kì T  1s khi đặt trong chân không. Quả nặng làm bằng một hợp kim có
khối lượng riêng D  8, 67 g / cm3 . Coi sức cản của không khí là không đáng kể. Hỏi chu kì của con lắc
thay đổi như thế nào khi dao động ngoài không khí, biết khối lượng riêng của không khí là d  1,3g / lit .
A.tăng 7,5.105 s
B.giảm 7,5.105 s
C.tăng 1,5.104 s
D.giảm 1,5.104 s
Bài 2. Một con lắc đơn, quả cầu làm bằng chất có khối lượng riêng D, dao động điều hòa trong chân
D
không. Nếu đưa ra ngoài không khí có khối lượng riêng D ' 
thì chu kì dao động điều hòa tăng hay
500
giảm bao nhiêu phần trăm? Bỏ qua mọi ma sát.
A.giảm 0,1%
B.tăng 0,1%
C.tăng 0,5%
D.giảm 0,5%
Bài 3. Một con lắc đơn với vật nặng có khối lượng riêng là D, dao động điều hòa trong nước với chu kì T.
D
Biết khối lượng riêng của nước là Dn  . Khi đưa ra ngoài không khí, chu kì dao động là
2
A. T
B. 0,5T
C. T 2
D. 0,5T 2
Bài 4. Một con lắc đơn treo ở đầu một sợi dây mảnh dài bằng kim loại, vật nặng làm bằng chất có khối
lượng riêng 8g/cm3. Khi dao động nhỏ trong bình chân không thì chu kì dao động là 2s. Cho con lắc đơn
dao động nhỏ trong bình chứa một chất khí thì thấy chu kì tăng một lượng 250µs. khối lượng riêng của
chất khí đó là

A. 0,004 g / cm3
B. 0,002 g / cm3
C. 0, 04 g / cm3
D. 0, 02 g / cm3
Bài 5. Cho một con lắc đơn treo ở đầu một sợi dây mảnh dài bằng kim loại, vật nặng làm bằng chất có
khối lượng riêng D  8 g / cm3 . Khi dao động nhỏ trong bình chân không đặtrtên mặt đất thì chu kì dao
động là T. Cho con lắc đơn dao động trong một bình chứa một chất khí có khối lượng riêng 0, 002 g / cm3 ,
đồng thời đưa bình lên độ cao h so với mặt đất. Ở trên đó nhiệt độ thấp hơn so với mặt đất là 200 C thì
thấy chu kì dao động vẫn là T. Biết hệ số nở dài của dây treo là   2,32.105 K 1 . Coi Trái Đất là hình
cầu có bán kính R  6400km . Độ cao h là
A.9,6km
B.0,96km
C.0,48km
D.0,68km
Bài 6. Hai con lắc đơn giống hệt nhau, sợi dây mảnh dài bằng kim loại, vật nặng có khối lượng riêng D.
Con lắc thứ nất dao động nhỏ trong bình chân không thì chu kì dao động nhỏ là T, con lắc thứ hai dao
động trong bình chứa một chất khí có khối lượng riêng rất nhỏ    D . Hai con lắc đơn bắt đầu dao động
cùng một thời điểm t  0 , đến thời điểm t0  0 thì con lắc thứ nhất thực hiện được hơn con lắc thứ hai
đúng một dao động toàn phần. Chọn phương án đúng:

 2

2
A. T 
B. T 
C. T   t0
D. T   t0
 t0
 t0
 2


2

Bài 7. Con lắc đơn dao động điều hòa trong chân không với chu kì T  2s . Khi đặt trong không khí,
muốn chu kì dao động không đổi thì phải điều chỉnh chiều dài của con lắc ra sao? Biết khối lượng riêng
của chất làm quả cầu là D  9 g / cm3 , khối lượng riêng của không khí là d  1, 2.103 g / cm3 , gia tốc
trọng trường là g   2  9,8m / s 2 .
A.tăng 0,0133cm
B.giảm 0,0133cm
C.tăng 0,0267cm
D.giảm 0,0267cm
Bài 8. Hai con lắc đơn giống hệt nhau, các quả cầu dao động có kích thước nhỏ làm bằng chất có khối
lượng riêng D  8450kg / m3 . Dùng các con lắc nói trên để điều khiển các đồng hồ quả lắc. Đồng hồ thứ
Trang 17


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

nhất đặt trong không khí và cái thứ hai đặt trong chân không. Biết khối lượng riêng của không khí là
d  1,3kg / m3 . Cho rằng các điều kiện khác là giống hệt nhau khi hai đồng hồ hoạt động. Nếu xem đồng
hồ thứ hai chạy đúng thì đồng hồ thứ nhất chạy nhanh hay chậm bao nhiêu sau 24 giờ?
A.nhanh 6,65s
B.chậm 6,65s
C.nhanh 13,29s
D.chậm 13,29s
3.Lực quán tính.
Bài 1. Con lắc đơn treo ở trần một thang máy. Khi thang máy đứng yên, con lắc dao động với chu kì T.
khi thang máy đi lên thẳng đứng, chậm dần đều với gia tốc a  g thì con lắc dao động với chu kì T’
2
T

T
A. T 2
B. T 3
C.
D.
2
2
Bài 2. Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy. Khi thang máy chuyển động thẳng đứng đi lên
nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn a thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 2,52s. Khi thang máy
chuyển động thẳng đứng đi lên chậm dần đều với gia tốc cũng có độ lớn a thì chu kì dao động điều hòa
của con lắc là 3,15s. Khi thang máy đứng yên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là
A.2,96s
B.2,84s
C.2,61s
D.2,78s
Bài 3. Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy. Khi thang máy chuyển động thẳng đứng đi lên
nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn a thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 2s. Khi thang máy
chuyển động thẳng đứng đi lên chậm dần đều với gia tốc cũng có độ lớn a thì chu kì dao động điều hòa
của con lắc là 3s. Khi thang máy đứng yên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là
A.2,35s
B.1,29s
C.4,60s
D.2,67s
Bài 4. Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy, khi thang máy có gia tốc không đổi thì chu kì
dao động điều hòa của con lắc tăng 8,46% so với chu kì của nó khi thang máy đứng yên. Lấy g  10m / s 2
. Xác định chiều chuyển động của thang máy và độ lớn gia tốc a.
A.Hướng lên trên và có độ lớn là 1,5m / s 2 .
B.Hướng lên trên và có độ lớn là 2m / s 2 .
C.Hướng xuống dưới và có độ lớn là 2m / s 2
D.Hướng xuống dưới và có độ lớn là 1,5m / s 2 .

Bài 5. Một con lắc đơn dao động điều hòa trong thang máy đứng yên tại nơi có gia tốc trọng trường
g  9,8m / s 2 với năng lượng dao động là 150mJ , gốc thế năng ở vị trí cân bằng của quả nặng. Đúng lúc
vận tốc của con lắc bằng không thì thang máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc 2,5m / s 2 .
Con lắc sẽ tiếp tục dao động điều hòa trong thang máy với năng lượng dao động bằng:
A. 1500mJ
B. 129,5mJ
C.111, 7mJ
D. 188,3mJ
Bài 6. Một con lắc đơn dao động điều hòa trong thang máy chuyển động thẳng đều đi lên tại nơi có gia
tốc trọng trường g  9,8m / s 2 với năng lượng dao động là 150mJ , gốc thế năng ở vị trí cân bằng của quả
nặng. Đúng lúc con lắc có li độ bằng nửa li độ cực đại thì thang máy bắt đầu chuyển động chậm dần đều
đi lên với gia tốc 2,5m / s 2 . Con lắc sẽ tiếp tục dao động điều hòa trong thang máy với năng lượng dao
động bằng:
A. 140, 4mJ
B. 188mJ
C.112mJ
D. 159, 6mJ
Bài 7. Con lắc đơn treo ở trần một ôtô. Khi ôtô đứng yên, con lắc dao động với chu kì T. khi ôtô chuyển
động nhanh dần đều theo phương ngang với gia tốc có độ lớn a  g thì con lắc dao động với chu kì T’
2
T
T
A.0,95T
B. T 3
C.
D.
2
2
Bài 8. Treo con lắc đơn vào trần một ôtô tại nơi có gia tốc trong trường g  9,8m / s 2 . Khi ô tô đứng yên
thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 2s. Nếu ô tô chuyển động thẳng nhanh dần đầu trên đường

nằm ngang với gia tốc 2m / s 2 thì chu kì dao động điều hòa của con lắc lúc này gần với giá trị nào nhất?
A.2,02s
B.1,82s
C.1,98s
D.2,00s

Trang 18


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Bài 9. Một ôtô bắt đầu khởi hành trên đường nằm ngang và đạt tốc độ 25m / s sau khi đi hết quãng
đường 125m. Trần ôtô treo một con lắc đơn dài 1,5m. Cho gia tốc trọng trường g  10m / s 2 . Chu kì dao
động nhỏ của con lắc đơn trên xe gần với giá trị nào nhất?
A.2,2s
B.2,3s
C.2,4s
D.2,5s
Bài 10. Một con lắc đơn có chu kì dao động 2s. Nếu treo con lắc vào trần một toa xe đang chuyển động
nhanh dần đều trên mặt đường nằm ngang thì thấy rằng ở vị trí cân bằng mới, dây treo con lắc hợp với
phương thẳng đứng một góc 300, cho g  10m / s 2 . Tìm chu kì dao động mới của con lắc trong toa xe và
gia tốc của toa xe?
A.1,86s; 5,77m/s2
B.1,86s; 10m/s2
C.2s; 5,77m/s2
D.2s; 10m/s2
4.Lực điện trường.
Bài 1. Đặt con lắc đơn trong điện trường đều có E thẳng đứng hướng xuống và có độ lớn 104V/m. Biết
khối lượng quả cầu là 20g, quả cầu được tích điện q  12.106 C , chiều đài dây treo là 1m, lấy

g   2  10m / s 2 . Chu kì dao động của con lắc là


A. s
B. s
C.  s
D. 2 s
4
2
Bài 2. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 50cm và cật nhỏ có khối lượng 10g mang điện tích
q  5.106 C được coi là điện tích điểm. Con lắc dao động điều hòa trong điện trường đều mà véctơ
cường độ điện trường có độ lớn E  104V / m và hướng thẳng đứng xuống dưới. Lấy
g  10m / s 2;   3,14 . Chu kì dao động điều hòa của con lắc là
A.0,58s
B.1,40s
C.1,15s
D.1,99s
Bài 3. Con lắc đơn được treo trong điện trường đều có cường độ không đổi và hướng thẳng đứng. Cho vật
tích điện Q thì thấy tỉ số giữa chu kì dao động nhỏ khi điện trường hướng lên hoặc hướng xuống là
T1 9
 . Điện tích Q là điện tích
T2 11
A.dương
B.âm
C.dương hoặc âm
D.có dấu không thế xác định
Bài 4. Con lắc đơn được treo trong điện trường đều có cường độ không đổi và hướng thẳng đứng. Cho vật
tích điện Q thì thấy tỉ số giữa chu kì dao động nhỏ khi điện trường hướng lên hoặc hướng xuống là
T1 7
 . Điện tích Q là điện tích

T2 6
A.dương
B.âm
C.dương hoặc âm
D.có dấu không thế xác định
Bài 5. Một con lắc đơn, vật nặng có khối lượng m  100 g được treo trong một điện trường đều mà véc tơ
cường độ điện trường hướng thẳng đứng xuống dưới, có độ lớn E  9800V / m . Khi chua tích điện cho
quả nặng thì chu kì dao động nhỏ của con lắc là 2s. Truyền cho quả nặng điện tích q  0 thì chu kì dao
động nhỏ của nó thay đổi 0,002s. Lấy g  9.8m / s 2 . Giá tị của q bằng:
A. 0, 2C
B. 3C
C. 0,3C
D. 2C
Bài 6. Hai con lắc đơn cùng chiều dài và cùng khối lượng, các vật nặng coi như chất điểm, chúng được
đặt ở cùng một nơi trong điện trường đều mà véctơ E có phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Gọi T0
là chu kì khi chua tích điện của mỗi con lắc. Các vật nặng được tích điện là q1 và q2 thì chu kì trong điện
q
trường tương ứng là T1  0,8T0 và T2  1, 2T0 . Tỉ số 1
là:
q2
44
81
44
81
A.
B. 
C. 
D.
81
44

81
44
Bài 7. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 50cm và vật nhỏ có khối lượng 0, 01kg mang điện tích
q  5C được coi là điện tích điểm. Ban đầu con lắc dao động chỉ dưới tác dụng của trọng trường. Khi
con lắc đi qua vị trí cân bằng người ta thiết lập một điện trường đều mà véctơ cường độ điện trường có độ
lớn E  104V / m và hướng thẳng đứng xuống dưới. Lấy g  10m / s 2 . Biên độ góc của con lắc sau khi
thiết lập điện trường thay đổi như thế nào?
Trang 19


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

A.giảm 33,3%
B.tăng 33,3%
C.tăng 50%
D.giảm 50%
Bài 8. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 50cm và vật nhỏ có khối lượng 0, 01kg mang điện tích
q  5C được coi là điện tích điểm. Ban đầu con lắc dao động chỉ dưới tác dụng của trọng trường. Khi
con lắc có vận tốc bằng 0 người ta thiết lập một điện trường đều mà véctơ cường độ điện trường có độ lớn
E  104V / m và hướng thẳng đứng xuống dưới. Lấy g  10m / s 2 . Cơ năng của con lắc sau khi thiết lập
điện trường thay đổi như thế nào?
A.giảm 20%
B.tăng 20%
C.tăng 50%
D.giảm 50%
Bài 9. Một con lắc đơn mà vật nhỏ có khối lượng m mang điện tích q  0 được coi là điện tích điểm.
Ban đầu con lắc dao động chỉ dưới tác dụng của trọng trường với biên độ góc  max . Khi con lắc đi qua vị
trí có li độ  

 max

người ta thiết lập một điện trường đều mà véctơ cường độ điện trường có độ lớn E
2
và hướng thẳng đứng xuống dưới. Biết qE  mg . Cơ năng của con lắc sau khi thiết lập điện trường thay
đổi như thế nào?
A.giảm 25%
B.tăng 25%
C.tăng 50%
D.giảm 50%
Bài 10. Một con lắc đơn gồm một quả cầu tích điện buộc vào một sợi dây mảnh cách điện dài 1,4m. Con
lắc được treo trong điện trường đều của một tụ điện phẳng có các bản đặt thẳng đứng, tại nơi có
g  9,8m / s 2 . Khi vật ở vị trí cân bằng sợi dây lệch 300 so với phương thẳng đứng. Bỏ qua mọi ma sát
và lực cản. Chu kì dao động bé của con lắc lúc này gần giá trị nào nhất?
A.2,24s
B.2,35s
C.2,21s
D.4,32s
Bài 11. Một con lắc đơn dài 25cm, hòn bi có khối lượng 10g và mang điện tích q  104 C . Treo con lắc
vào giữa hai bản kim loại thẳng đứng, song song, cách nhau 22cm. Đặt vào hai bản kim loại điện áp một
chiều 88V. Lấy g  10m / s 2 . Chu kì dao động điều hòa với biên độ góc nhỏ của nó là
A.0,983s
B.0,398s
C.0,659s
D.0,956s
Bài 12. Một con lắc đơn gồm dây treo có chiều dài 1m và vật nhỏ có khối lượng 100g mang điện tích
2.105 C . Treo con lắc đơn này vào trong điện trường đều với véctơ cường độ điện trường hướng theo
phương ngang và có độ lớn 5.104V / m . Trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm treo song song với
véctơ cường độ điện trường, kéo vật nhỏ theo chiều của véctơ cường độ điện trường sao cho dây treo hợp
với véctơ gia tốc trọng trường một góc 540 rồi buông nhẹ cho con lắc dao động điều hòa. Lấy
g  10m / s 2 . Trogn quá trình dao động tốc độ cực đại của vật nhỏ là

A.0,59m/s
B.3,41m/s
C.2,87m/s
D.0,50m/s
Bài 13. Một con lắc đơn gồm quả cầu có khối lượng m  250 g mang điện tích q  107 C được treo bằng
sợi dây không dãn cách điện, khối lượng không đáng kể, chiều dài 90cm trong điện trường đều có E
hướng theo phương ngang và có độ lớn E  2.106V / m . Ban đầu quả cầu đứng yên ở vị trí cân bằng.
người ta đột ngột đổi chiều đường sức điện trường nhưng vẫn giữ nguyên độ lớn của cường độ điện
trường. Lấy g  10m / s 2 . Chu kì và biên độ dao động của quả cầu là
A. 1,878s;14, 4cm
B. 1,877 s;7, 2 cm
C. 1,883s;7, 2cm
D. 1,881s;14, 4cm
Bài 14. Quả cầu khim loại của con lắc đơn có khối lượng m  100 g , tích điện q  107 C được troe bằng
một sợi dây mảnh không dãn, cách điện, chiều dài l tại nơi có gia tốc trọng trường g  9,8m / s 2 và được
đặt trong điện trường đề có các đường sức điện nằm ngang và có cường độ E  2.106V / m . Ban đầu
người ta giữ quả cầu để sợi dây có phương thẳng đứng vuông góc với phương của điện trường rồi buông
nhẹ với vận tốc ban đầu bằng 0. Lực căng của sợi dây khi vật qua vị trí cân bằng là
A.1,02N
B.1,04N
C.1,36N
D.1,39N
Bài 15. Một con lắc đơn gồm dây treo có chiều dài 45cm với vật nhỏ có khối lượng 102g, mang điện tích
2C . Khi con lắc đang đứng cân bằng thì đặt một điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường hướng
theo phương ngang và có độ lớn 3,5.104 V / m trong khoảng thời gian t  0,366s rồi tắt điện trường.
Lấy g  9,81m / s 2;   3,14 . Tốc độ cực đại của vật nhỏ trong quá trình dao động sau thời gian t trên
gần giá trị nào nhất trong các giá trị dưới đây?
Trang 20

Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

A.18,25cm/s
B.12,85cm/s
C.20,78cm/s
D.20,51cm/s
Dạng 9. Bài toán liên quan đến va chạm của con lắc đơn.
I.Phương pháp.
Vật m chuyển động với vận tốc v0 đến va chạm với vật M. Gọi v,V là vận tốc của m và M ngay sau va
chạm.
mv0
+Nếu va chạm mềm: v  V nên mv0   m  M V  V 
mM
2m

V
v0
mv0  mv  MV



mM

+Nếu va chạm đàn hồi:  1 2 1 2 1
2
 2 mv0  2 mv  2 MV
v  m  M v
0
mM


1.Vật va chạm với con lắc tại vị trí cân bằng.
Nếu con lắc đơn có khối lượng M đang đứng yên tại vị trí cân bằng thì vật m chuyển động với vận
tốc v0 đến va chạm vào nó.
mv0
-Nếu va chạm mềm thì tốc độ của con lắc ngay sau va chạm (tại VTCB) là V 
mM
2mv0
-Nếu va chạm đàn hồi thì tốc độ của con lắc ngay sau va chạm (tại VTCB) là V 
và V
mM
cũng chính là tốc độ cực đại của con lắc sau va chạm nên V  vmax với vmax tính bằng:

vmax  2 ghmax  2 gl 1  cos  max 
g 2

 2 f
trong đó  

l
T
vmax   Smax  l max (dao dong nho)
-Cơ năng sau va chạm:
m  M V 2

+Va chạm mềm: W '  Wd max 
2
MV 2
+Va chạm đàn hồi: W '  Wd max 
2
2.Con lắc va chạm với vật tại vị trí cân bằng.

Con lắc đơn có khối lượng m đang dao động, đúng lúc nó đi qua vị trí cân bằng (có tốc độ cực đại
v  2 ghmax  2 gl 1  cos  max 
v0  vmax ) thì nó va chạm với vật M đang đứng yên. Trong đó:  max
vmax   Smax  l max (dao dong nho)
mvmax
-Nếu va chạm mềm thì tốc độ của con lắc ngay sau va chạm (tại VTCB) là V 
cũng chính
mM
mvmax
'
 vmax
là tốc độ cực đại của con lắc sau va chạm: V 
với
mM
v 'max  2 gh 'max  2 gl 1  cos  'max 

v 'max   S 'max  l 'max (dao dong nho)
mM
vmax
-Nếu va chạm đàn hồi thì tốc độ của con lắc ngay sau va chạm (tại VTCB) là v 
mM
mM
vmax  v 'max với
cũng chính là tốc độ cực đại của con lắc sau va chạm: v 
mM
v 'max  2 gh 'max  2 gl 1  cos  'max 

v 'max   S 'max  l 'max (dao dong nho)
-Cơ năng sau va chạm:
Trang 21

Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

+Va chạm mềm: W '  Wd max 
+Va chạm đàn hồi: W '  Wd max

 m  M V 2
2
mv 2

2

II.Bài tập.
Bài 1. Một viên đạn khối lượng 1kg bay theo phương ngang với tốc độ 36km/h đến cắm vào một quả cầu
bằng gỗ khối lượng 1kg được treo bằng một sợi dây nhẹ, mềm và không dãn dài 2m. Kết quả là làm cho
sợi dây bị lệch đi một góc tối đa so với phương thẳng đứng  max . Lấy g  10m / s 2 , hãy xác định  max ?
A.630
B.300
C.680
D.600
Bài 2. Một con lắc đơn gồm quả cầu A nặng 200g. Con lắc đang đứng yên tại vị trí cân bằng thì bị một
viên đạn có khối lượng 300g bay ngang với tốc độ 400cm/s đến va chạm vào A, sau va chạm hai vật dính
vào nhau và cùng chuyển động. Lấy g  10m / s 2 , bỏ qua mọi ma sát. Tìm chiều cao cực đại của A so với
vị trí cân bằng?
A.28,8cm
B.10cm
C.12,5cm
D.7,5cm
Bài 3. Một con lắc đơn gồm vật nhỏ dao động có khối lượng 50g đang đứng yên ở vị trí cân bằng thì một

vật nhỏ có khối lượng gấp đôi nó chuyển động theo phương ngang với tốc độ v0 đến va chạm mềm với
nó. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao động điều hòa với biên độ cong là 2,5cm và chu kì
T   ( s) . Giá trị của v0 là
A.5cm/s
B.10cm/s
C.12cm/s
D.7,5cm/s
Bài 4. Một con lắc đơn gồm vật nhỏ có khối lượng M đang đứng yên ở vị trí cân bằng thì một vật nhỏ có
khối lượng bằng nó chuyển động theo phương ngang với tốc độ 20 cm / s đến va chạm đàn hồi với nó.
Sau va chạm con lắc dao động điều hòa với biên độ góc  0 và chu kì 1s. Lấy gia tốc trọng trường
g   2 m / s 2 . Giá trị của  0 là
A.0,05rad
B.0,4rad
C.0,1rad
D.0,12rad
Bài 5. Một con lắc đơn gồm một quả cầu khối lượng m1  500 g , được treo vào một sợi dây nhẹ, không

dãn có chiều dài 1m. Bỏ qua mọi ma sát. Cho g  10m / s 2 . Một vật nhỏ có khối lượng m2  500 g bay
với tốc độ v2  10m / s theo phương nằm ngang va chạm đàn hồi xuyên tâm vào quả cầu m1 đang đứng
yên ở vị trí cân bằng. Vận tốc qua vị trí cân bằng, độ cao và biên độ góc của m1 sau va chạm là
A. v  1m / s; h  0,5m; 0  600
B. v  2m / s; h  0, 2m; 0  37 0
C. v  10m / s; h  0,5m; 0  600
D. v  10m / s; h  0,5m;  0  450
Bài 6. Một con lắc đơn gồm vật nhỏ có khối lượng m đang dao động với biên độ góc  0 . Khi vật dao
động qua vị trí cân bằng nó va chạm với vật nhỏ có khối lượng 3kg đang nằm yên ở đó. Sau va chạm hai
vật dính vào nhau và cùng dao động với biên độ góc  '0 . Nếu cos  0  0, 2 và cos  '0  0,8 thì giá trị m
là
A.300g
B.9kg

C.1kg
D.3kg
Bài 7. Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ cong A. Khi vật dao động đi qua vị trí cân
bằng nó va chạm với vật nhỏ có khối lượng bằng nó đang nằm yên ở đó. Sau va chạm hai vật dính vào
nhau và cùng dao động với biên độ cong A’. Chọn kết luận đúng
A
A
A. A '  A 2
B. A ' 
C. A '  2 A
D. A ' 
2
2
Bài 8. Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với cơ năng W. Khi vật dao động đi qua vị trí cân bằng,
nó va chạm với vật nhỏ có khối lượng bằng nó đang nằm yên ở đó. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và
cùng dao động điều hòa với cơ năng W’. Chọn kêt luận đúng
W
W
A. W'  W 2
B. W ' 
C. W'  2W
D. W ' 
2
2

Trang 22


Con lắc đơn - biên soạn: Nguyễn Đình Vụ - email: - phone: 0948249333

Bài 9. Một con lắc đơn có chiều dài 90cm, vật nhỏ có khối lượng 200g, đang dao động với biên độ góc
600. Khi vật dao động đi qua vị trí cân bằng nó va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật nhỏ có khối lượng
100g đang nằm yên ở đó. Lấy g  10m / s 2 . Tốc độ dao động của con lắc ngay sau va chạm là
A.300cm/s
B.125cm/s
C.100cm/s
D.75cm/s
Bài 10. Một con lắc đơn có chiều dài 100cm, vật nhỏ có khối lượng 100g, đang dao động với biên độ góc
300. Khi vật dao động đi qua vị trí cân bằng nó va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật nhỏ có khối lượng 50g
đang nằm yên ở đó. Lấy g  9,8m / s 2 . Li độ góc cực đại của con lắc sau va chạm là
A.180
B.150
C.9,90
D.11,50
Bài 11. Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng 400g, dao động điều hòa với biên độ cong là 8cm.
Khi vật dao động đi qua vị trí cân bằng nó va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật nhỏ khối lượng 100g đang
nằm yên ở đó. Nếu sau va chạm con lắc vẫn dao động điều hòa thì biên độ cong bây giờ là
A.3,6cm
B.2,4cm
C.4,8cm
D.7,5cm

Trang 23