Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh hà tĩnh năm học 2014 2015(có đáp án câu khó)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2014-2015

Môn : Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút
(Đề gồm 01 trang 5 câu)

Câu 1.
4
1 1
x + y = x + y

a) Giải hệ phương trình 
 xy = 4 y − 3

b) Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x + y=2. Chứng minh rằng
2 ≤ x 2 + y 2 + xy ≤ 6
Câu 2. Với n nguyên dương ( n ≥ 2) đặt
1 
1
1

 

Pn = 1 −

1 −
...1 −

 1 + 2  1 + 2 + 3   1 + 2 + ... + n 
1

Tìm tất cả các số nguyên dương n ( n ≥ 2) sao cho P là số nguyên
n
Câu 3. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 = z 2
a) Chứng minh A = xy chia hết cho 12
b) Chứng minh B = x3 y − xy 3 chia hết cho 7
Câu 4. Cho đường tròn (O). Lấy các điểm A, B, C thuộc (O) sao cho tam giác ABC nhọn
và AB > BC > CA. Đường tròn (C) bán kính CB cắt đường thẳng AB và (O) lần lượt tại
D và E (D,E khác B)
a) Chứng minh đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng AC
b) Giả sử đường thẳng DE cắt (O) tại F (khác E);các đường thẳng CO,AB cắt nhau tại G
và các đường thẳng BE,CF cắt nhau tại K. Chứng minh ∠CKG = ∠CBG
Câu 5. Bên trong hình chữ nhật kích thước 5x12 cho n điểm bất kỳ
a) Với n=11, chứng minh trong số các điểm đã cho luôn tồn tại 2 điểm mà khoảng cách
giữa 2 điểm đó không lớn hơn 13
b) Kết luận trên còn đúng không khi n = 10? Tại sao?
Hết.
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:………………………………………….Số báo danh:……………


Gợi ý lời giải một số câu khó
Câu 1,2, 4a đa số hs làm được

Câu 3. HD : a) xét z2 là số chính phương chia chia 4 dư 0 hoặc 1, chia 3 dư 0 hoặc 1. xét
tương tự với x, y là suy ra đpcm
b) xét z2 chia 7 dư 0; 1; 4 .nên trong hai số x và y có thể hai số chia hết cho 7 hoặc cố
một số chia hết cho 7 hoặc cả hai số chia 7 cùng số dư
Câu 4 b) góc ACB = góc KCB + góc KCA= góc FEB + gócDEA = góc FEB + góc EDB
mà góc KCB = góc FEB =1/2 sđFB. Suy ra góc KCA = góc EDB suy tứ giác DEIK nội
tiếp suy ra BD vuông góc CF
Từ đó cm tiếp dễ dàng
D

E
A
F
I

K

G

C

B

Câu 5a) chia hình chữ nhật thành 10 hình co kích thước 2x3 như hình 1. theo nguyên
tác Đrichle 11 điểm bổ vào 10 hình luôn tôn tại 1 hình có hai điểm có khoảng cách
không lớn hơn 22 + 32 = 13 ( hình 1,2 ở dưới)
b) vơi n = 10 . thì ta chia thành 9 hình như H2 theo nguyên tắc Đrichle luôn tôn tai một
hình có hai điểm có khoảng cách không lơn hơn 13 . Nên n= 10 vẫn đúng
Mong các bạn tìm nhiều lời giải hay chia sẻ với mọi người
Chúc các bạn thành công! GV NDHưng – THCS Nguyễn Tuấn Thiện

H1

H2