Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh nam định năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

NAM ĐỊNH

Môn: TOÁN – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1. (3,0 điểm)
1. Tính giá trị biểu thức P =

5+ 3 + 5− 3
5 + 22

+ 11 − 6 2 .

2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x + y + z = 2, x 2 + y 2 + z 2 = 18 và xyz = −1 .
Tính giá trị của S =

1
1
1
+
+
×
xy + z − 1 yz + x − 1 zx + y − 1

Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình 2 2 x − 1 + x + 3 − 5 x + 11 = 0 .

(

)

 y2 − y x −1 +1 + x −1 = 0

2. Giải hệ phương trình 
 x 2 + y − 7 x 2 − 3 = 0.
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x 2 + y 2 + xy − x − y = 1 .
2. Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có

2 3 4...

( n − 1)

n < 3.

Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC , nội tiếp đường tròn ( O ) và ngoại tiếp đường tròn

( I ) . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho

·ABD = ·ACB . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC

tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai là Q. Đường thẳng đi qua E và song song với AB
cắt BD tại P.

1. Chứng minh tam giác QBI cân;
2. Chứng minh BP.BI = BE.BQ ;
3. Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh PK / / JB .
Câu 5. (2,0 điểm) Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗi
học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia
cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh.
----------Hết---------Họ và tên thí sinh:………………………Họ, tên chữ ký GT1:…………………………………..
Số báo danh:…………………………… Họ, tên chữ ký GT2:…………………………………..


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2015-2016
Môn: TOÁN – Lớp 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu
1.1
(1,5)

Đáp án
Tính giá trị biểu thức P =
5+ 3 + 5− 3

Đặt M =

5 + 22

5+ 3 + 5− 3
5 + 22

Điểm

+ 11 − 6 2 .

10 + 2 22
=2
. Ta có M =
5 + 22
2

⇒ M = 2 (Do M > 0 )

(

11 − 6 2 =

1.2
(1,5)

3− 2

)

2

0,25
0,5

= 3− 2

Suy ra P = 3
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x + y + z = 2,
x 2 + y 2 + z 2 = 18 và xyz = −1 . Tính giá trị của S =

0,25

1
1
1
+
+
.
xy + z − 1 yz + x − 1 zx + y − 1

Ta có xy + z − 1 = xy − x − y + 1 = ( x − 1) ( y − 1)

0,5

Tương tự yz + x − 1 = ( y − 1) ( z − 1) và zx + y − 1 = ( z − 1) ( x − 1)

0,25

Suy ra S =
=

1

+

1

+

1

( x − 1) ( y − 1) ( y − 1) ( z − 1) ( z − 1) ( x − 1)

=

x+ y + z −3
( x − 1) ( y − 1) ( z − 1)

0,25

−1
1
=
xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) − 1 xy + yz + zx

Ta có ( x + y + z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) ⇒ xy + yz + zx = −7
2

Suy ra S = −
2.1
(2,0)

0,5

1
7

Giải phương trình 2 2 x − 1 + x + 3 − 5 x + 11 = 0 .
1
Điều kiện x ≥
2

0,25
0,25

0,5