luyện thi thpt quốc gia môn toán chuyên đề hình học không gian (moon vn)

Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng

Tài liệu tham khảo:

01. GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
I. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

1) Góc giữa hai véc tơ
 AB = u
Giả sử ta có 

→ u; v = AB; AC = BAC , với 0o ≤ BAC ≤ 180o.
 AC = v
2) Tích vơ hướng của hai véc tơ
 AB = u
Giả sử ta có 

→ u.v = AB. AC = AB . AC .cos AB. AC
 AC = v
Nhận xét:
u = 0
+ Khi 

→ u.v = 0
v = 0

( ) (

)

(

( )
+ Khi u ↑↓ v 
→ ( u; v ) = 180

)

→ u ; v = 00
+ Khi u ↑↑ v 

0

+ Khi u ⊥ v ←→ u.v = 0

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.

(

)

a) Tính góc giữa hai véc tơ AB; BC .

(

)

b) Gọi I là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai véc tơ CI ; AC .

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng cơng thức tính góc giữa hai véc tơ ta được
AB. BC
AB. BC AB. BC
cos AB; BC =
=
=
, (1) .
AB.BC
a2
AB . BC

(

)

(

)

Xét AB. BC = AB. BA + AC = AB.BA + AB. AC

(

)

AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a 2
Mà

(

)

AB. AC = AB. AC.cos AB. AC = a.a.cos 600 =

a2
2

a2
a2
=− .
2
2
a2
−
1
→ AB; BC = 1200.
(1) ⇔ cos AB; BC = 22 = − 
2
a
Vậy AB; BC = 120o.

→ AB. BC = −a 2 +

(

(

)

)

(

(

)

b) Ta có cos CI ; AC =

CI . AC
CI . AC

=

)

CI . AC
CI . AC

Tứ diện ABCD đều cạnh a, CI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên CI =

(

)

(

)

a 3
CI . AC

→ cos CI ; AC = 2
, ( 2).
2
a 3
2

Ta có CI . AC = CI . AI + IC = CI . AI + CI . IC
Do ∆ABC đều nên CI ⊥ AI ⇔ CI . AI = 0.

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng

(

)

a 3 a 3
3a 2
3a 2
3a 2
.

.cos1800 = −

→ CI . AC = 0 −
=−
.
2
2
4
4
4
3a 2
−
3

→ CI ; AC = 1500.
Thay vào (2) ta được ( 2 ) ⇔ cos CI ; AC = 2 4 = −
2
a 3
2
0
Vậy CI ; AC = 150 .

Đồng thời, CI . IC = CI . IC .cos CI ; IC =

(

(

)

(

)

)

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi một vng góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Biểu diễn các véc tơ SM và BC theo các véc tơ SA; SB; SC .

(

)

b) Tính góc SM ; BC .
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
1

 SA + SB = 2SM
 SM = SA + SB
2
được 
←
→
 BC = SC − SB
 BC = BS + SC


(

(

)

b) cos SM ; BC =

SM . BC
SM . BC

=

)

SM . BC
, (1) .
SM .BC

 SA.SB = 0

Mà SA, SB, SC đôi một vng góc nên  SA.SC = 0

 SB.SC = 0
Tam giác SAB và SBC vuông tại S nên theo định lý Pitago ta
 BC = a 2

được AB = BC = a 2 
→
1
a 2

 SM = AB =

2
2

1
1
1
a2
Theo câu a, SM .BC = SA + SB . SC − SB =  SA.SC − SA.SB + SB.SC − SB.SB  = − SB 2 = −
2
2 0
2
2
0
0

a2
−
SM . BC
1
2
Thay vào (1) ta được cos SM ; BC =
=
= − 
→ SM ; BC = 1200.
SM .BC a 2
2
.a 2
2

(

)(

(

)

)

(

)

II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng
Một véc tơ u ≠ 0 mà có phương song song hoặc trùng với d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
2) Góc giữa hai đường thẳng
Khái niệm:
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a′; b′ lần lượt song song với a; b. Kí hiệu ( a;b ).
a// a ′
Từ định nghĩa ta có sơ đồ 

→ ( a;b ) = ( a ′;b′ )
 b// b′
Nhận xét:

( )

+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là u; v và u; v = φ.
Khi đó,

( a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o
( a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180o

+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì ( a; b ) = 0o.

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
a ′// a
Tạo ra các đường 

→ ( a, b ) = ( a ′, b′ )
 b′// b

Phương án 2
- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường ∆ // b 
→ ( a, b ) = ( a, ∆ )

Chú ý:
Các phương pháp tính tốn góc giữa hai đường thẳng:
Nếu góc thuộc tam giác vng thì dùng các cơng thức tính tốn trong tam giác vng: sin, cosin, tan, cot.
Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A 
→ cos A =

b2 + c 2 − a 2
.
2bc

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết SA = a 3; AB = a; AD = 3a . Tính góc giữa các đường thẳng sau:
a) SD và BC.
b) SB và CD.
c) SC và BD.
Hướng dẫn giải:
a) Tính góc giữa SD và BC
Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng
phương án 2, tìm đường thẳng song song với một trong hai
đường thẳng SD, BC và song song với một đường còn lại.
Ta dễ nhận thấy AD // BC.
SDA
Khi đó ( SD; BC ) = ( SD; AD ) = 
o
180 − SDA
Xét ∆SAD: tan SDA =

SA

3
=

→ SDA = 30o.
AD
3

Vậy ( SD; BC ) = 30o.
b) Tính góc giữa SB và CD
SBA
Tương tự, CD//AB 
→ ( SB;CD ) = ( SB;AB ) = 
180o − SBA
SA
Xét ∆SAB: tanSBA =
= 3 
→ SDA = 60o.
AB

Vậy ( SB;CD ) = 60o.
c) Tính góc giữa SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
 IOB
Trong ∆SAC có OI // SC 
→ ( SC; BD ) = ( OI; BD ) = 
o
180 − IOB
2

a 3

a 7
2
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB = 
 + a =
2
 2 
2

2

ABCD là hình chữ nhật nên BD = AB2 + AD 2 = a 2 + 9a 2 = a 10 
→ OB =
2

a 10
= OA
2
2

 a 3   a 10 
a 13
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO = 
 + 
 =
2
 2   2 
2

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn!

2

www.moon.vn


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng

13a 2 10a 2 7a 2
+
−
OI + OB − IB
4
4 = 8
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được: cos IOB =
= 4
2.OI.OB
a 13 a 10
130
2.
.
2
2
 8 

→ IOB = arccos 
 = ( SC;BD ).
 130 
2

2

2

 8 
Vậy ( SC;BD ) = arccos 
.
 130 

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết AB = CD = 2a , MN = a 3 . Tính góc giữa
hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Do AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau,
để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các
đường thẳng tương ứng song song với AB, CD và chúng cắt
nhau.
Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP // AB, NP // CD
 MPN

→ ( AB,CD ) = ( MP, NP ) = 
180o − MPN
Do MP, NP là các đường trung bình nên ta có MP = NP = a.
Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆MPN ta được
MP 2 + NP 2 − MN 2 2a 2 − 3a 2
1
cos MPN =
=
=−
2MP.NP

2.a.a
2

→ MPN = 120o ⇔ ( MP, NP ) = 60o
Vậy ( AB,CD ) = 60o.
Nhận xét:
Ngồi việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là
trung điểm của BD, cách giải khi đó cũng tương tự.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vng góc với
2 3a
AB và AD, SA =
. Tính góc của 2 đường thẳng
3
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng
a) Do DC // AB 
→ ( DC,SB ) = ( AB,SB ) = α

2a 3

SA
3
= 3 =

→ α = 30o
Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó tan α =
AB
2a
3
Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30o.
b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vng nên ADCI là hình vng cạnh a 
→ DI = a 2.
mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI.
Khi đó, ( SD, BC ) = ( SD, DI ) = β .
2

 2a 3 
7a 2
2
Tam giác SAI vuông tại A nên SI = SA + AI = 
 + a =
3
 3 
2

2

2

2

 2a 3 
7a 2
2
Tam giác SAD vuông tại A nên SD = SA + AD = 
 + a =
3
 3 
2

2

2

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SDI ta được cosSDI =

SD 2 + DI 2 − SI2
=
2SD.DI

2a 2
3
=
a 21
42
2.
.a 2
3

 3 
Do cosSDI > 0 nên góc SDI là góc nhọn 
→ β = SDI = arccos 
.
 42 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CI.
 3
Đ/s: ( AB; CI ) = arccos 
 .
 6 
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC. Biết AB = 2a, CD = 2a 2, MN = a 5.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

(

)

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2. Tính góc giữa SC , AB , từ đó suy ra góc

giữa SC và AB.
III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

Hai đường thẳng a, b được gọi là vng góc với nhau nếu ( a; b ) = 90o ←
→ a ⊥ b.
Chú ý:
Các phương pháp chứng minh a ⊥ b:
Chứng minh ( a; b ) = 90o
Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vng góc với nhau, u.v = 0.

Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều...

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó AB = AC = AD = a, BAC = 60o , BAD = 60o , CAD = 90o . Gọi I và J lần lượt
là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với cả hai đường AB và CD.
b) Tính độ dài IJ.
Hướng dẫn giải:

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng

Chun đề Hình học khơng gian

a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,
∆ACD vuông cân tại A.
Từ đó BC = BD = a,CD = a 2 →∆BCD vng cân tại B.
Chứng minh IJ vng góc với AB
Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân tại A, B nên
1

AJ = 2 CD

→ AJ = BJ ⇔ IJ ⊥ AB.

BJ = 1 CD


2
Chứng minh IJ vng góc với CD
Do các ∆ACD, ∆BCD đều nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông tại I ta được
2

 a 2  a2 a
IJ = AJ − AI = 
=
 −
4 2
 2 
Vậy IJ = a/2.
2

2

Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA.
Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB.
Hướng dẫn giải:
Chứng minh: SA ⊥ BC.
Xét SA.BC = SA. SC − SB = SA.SC − SA.SB

(

)

(
)
SA.SB = SA.SB.cos( SA;SB ) 

→ SA.SC = SA.SB ⇔ SA.SC − SA.SB = 0 ←
→ SA.BC = 0 ⇔ SA ⊥ BC
SA.SC = SA.SC.cos SA;SC

Mà

SA = SB = SC
ASB = BSC = CSA
Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB
Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
a) Chứng minh AO vng góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa
BC và AM.
AC và BM.

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng phương pháp dùng tích vơ hướng
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có

(

)

AO.CD = AM + MO .CD = AM.CD + MO.CD
Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay
O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó
AM ⊥ CD
AM.CD = 0
⇔


→ AO.CD = 0 ⇔ AO ⊥ CD.

MO ⊥ CD
MO.CD = 0
b) Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM
Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
 AMI
Từ đó ( BC;AM ) = ( MI; AM ) = 
180 − AMI
Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆AMI ta được
AM 2 + MI 2 − AI2
cos AMI =
, (1) .
2.AM.MI
a 3
Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên AI = AM =
.
2

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn!

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng

Chun đề Hình học khơng gian

MI là đường trung bình nên MI = a/2.

2
2
2
a
3a
3a
+
−
 1 
 1 
4
4 = 1 
Từ đó (1) ⇔ cos AMI = 4
→ AMI = arccos 
 ⇔ ( BC; AM ) = arccos 
.
a a 3
2 3
2 3
2 3
2. .
2 2
Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi J là trung điểm của AD → MJ // AC.
 BMJ
Khi đó ( AC;BM ) = ( MJ; BM ) = 
180 − BMJ
a 3
Các tam giác ABD, BCD là các tam giác đều cạnh a, nên các trung tuyến tương ứng BJ = BM =
2

 1 
Do đó, ∆AIM = ∆BJM 
→ AMI = BMJ = arccos 
.
2 3
 1 
Vậy ( AC;BM ) = arccos 
.
2 3
Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Đặt AB = a, AD = b, AA′ = c.
a) Tính góc giữa các đường thẳng: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ).
b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sao cho OI = OA + OA′ + OB + OB′ +
+ OC + OC′ + OD + OD′. Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c. Từ đó, chứng tỏ rằng AC′′ và BD vng góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để làm tốt các bài tốn liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:
Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a 2 (nếu hình lập phương cạnh a).
Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương ln vng góc với nhau (dài, rộng, cao).

a) Tính góc giữa: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ).

Tính ( AB, B′C′ ) :
Do B′C′//BC 
→ ( AB, B′C′ ) = ( AB, BC ) = 90o.
Tính ( AC, B′C′ ) :

 ACB

Do B′C′//BC 
→ ( AC, B′C′ ) = ( AC,BC ) = 
o
180 − ACB

ABCD là hình vng nên ∆ABC là tam giác vuông cân tại B 
→ ACB = 45o ⇔ ( AC, B′C′ ) = 45o.
Tính ( A′C′, B′C ) :

 ACB′
Do A′C′//AC 
→ ( A′C′, B′C ) = ( AC, B′C ) = 
o
180 − ACB′
Xét trong tam giác ACB′ có AC = B′C = AB′ (do đều là các đường chéo ở các mặt hình vng của hình lập phương).
→ ACB′ = 60o ⇔ ( A′C′, B′C ) = 60o.
Do đó ∆ACB′ đều 
b) Tính độ dài OI theo a.

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng

OA + OC = 0
Với O là tâm của hình vng ABCD thì 


→ OA + OC + OB + OD = 0
OB + OD = 0
Khi đó OI = OA′ + OB′ + OC′ + OD′
OA′ + OC′ = 2OO′
Gọi O′ là tâm của đáy A′B′C′D′, theo quy tắc trung tuyến ta có 

→ OI = 4OO′
OB′ + OD′ = 2OO′
Khoảng cách từ O đến I chính là độ dài véc tơ OI, từ đó ta được OI = 4OO′ = 4a.
c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c.
a.b = 0

Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có a.c = 0

b.c = 0
AC′ = AB + BC + CC′ = a + b + c
Phân tích:
BD = BA + AD = b − a
Chứng minh AC′ vng góc với BD.

(

)(

)

2

2

2

2

Xét AC′.BD = a + b + c . b − a = a.b + b + c.b − a − a.b − c.a = b − a = AD2 − AB2 = 0 ⇔ AC′.BD ⇔ AC′ ⊥ BD.
0

0

0

0

d) Chứng minh rằng AC′ vng góc với MN.
MN = MC + CB + BN
Ta có phân tích:
AC′ = AB + BC + CC′

 


→ MN.AC′ = MC + CB + BN . AB + BC + CC′ =  MC.AB + MC.BC + MC.CC′  +  CB.AB + CB.BC + CB.CC′  +
0
0
0

  0




+  BN.AB + BN.BC + BN.CC′  = MC.AB + CB.BC + BN.CC′
0
 0


(

)(

)

MC.AB = MC.AB.cos0o = ( a − x ) a
Mà

CB.BC = CB.BC.cos180o = −a 2


→ MN.AC′ = ( a − x ) a − a 2 + ax = 0 ⇔ MN ⊥ AC′.

BN.CC′ = BN.CC′.cos0o = ax

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3 , SA = 2a và vng góc với đáy. Tính

góc giữa các đường thẳng sau:
a) SB và CD

b) SD và BC

c) SB và AC

d) SC và BD

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, hình chiếu vng góc của S xuống mặt đáy là

trung điểm H của AB, biết SH = a 3. Gọi I là trung điểm của SD. Tính góc giữa các đường thẳng:
a) SC và AB

b) SD và BC

c) CI và AB

d) BD và CI

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A, B với AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chiếu

vng góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là H thuộc AB với AH = 2HB, biết SH = 2a. Tính góc giữa
a) SB và CD
b) SB và AC

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn!

www.moon.vn


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng

Tài liệu bài giảng:

MẶT CẦU KHƠNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA = 2a 3 đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh 2a.
a) Chứng minh rằng: (SCD)⊥(SAD).
b) Tính khoảng cách từ O và từ A tới mặt phẳng (SCD).
c) Tính tan của góc giữa SB và (SAC).
d) Xác định tâm, bán kính, và tính diện diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC, có đường cao SA, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a; AC = a 3 .
Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

a 3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và thể tích khối
4

cầu ngoại tiếp khối chóp.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a; AD = 2a 3 .
Gọi O là tâm đáy, biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng

a 3
.
2

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Ví dụ 4: Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.

Ví dụ 5: Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 600.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ví dụ 6: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Ví dụ 7: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của
mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD ) và SA = a 3 . Gọi
O là tâm hình vng ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.

a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vng. Suy ra năm điểm S, D, A, K B
cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn – www.moon.vn

Facebook: LyHung95


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng

Chun đề Hình học khơng gian

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B và SA ⊥ (ABC ) .

a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm
trên mặt cầu tâm O bán kính R =

SC
.
2

b) Cho SA = BC = a và AB = a 2 . Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK lần lượt là các
đường cao của các tam giác SAB và SAC.
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh bằng a, SA = a 7 và SA ⊥ (ABCD). Một
mặt phẳng (P) qua A và vng góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.

a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn

Facebook: LyHung95


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN

Tài liệu bài giảng:

MẶT CẦU KHƠNG GIAN – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vng góc của đỉnh S trên
mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AB, đường trung tuyến AM của ∆ACD có độ dài

a 3
, góc giữa
2

hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC biết SA = SB = SC, ∆ABC có BAC = 600 , AB = 4, AC = 5. Góc giữa SA và
(ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.

Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xác định tâm và tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a) BAC = 900

b) BAC = 600 , b = c

c) BAC = 1200 , b = c.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a; AD = a 3 . Gọi O là tâm đáy,
biết hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABC; khoảng cách từ O

đến mặt phẳng (SAD) bằng

a
.

2

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)
vng góc với nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vng.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Đ/s: R =

a2
3a 2 − b 2

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a. Trên nửa
đường thẳng Ax vng góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng qua A vng góc với SB,
cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. tính diện tích của mặt
cầu đó.
b) Cho SA = a 3 . Tính diện tích của tứ giác APQR.

Ví dụ 7: Cho hình chp S.ABC có đáy là tam giác ABC biết AB =5a ; BC =4a và CA = 3a..Trên đương
vng góc với (ABC) dựng từ A lấy một điểm S sao cho (SBC) tạo với đáy góc 450 . Xác định tâm và
tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên.

Ví dụ 8: Cho ∆ ABC cân có BAC = 1200 và đường cao AH = a 2 . Trên đường thẳng ∆ ⊥ (ABC) tại
Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn – www.moon.vn

Facebook: LyHung95

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN

Chun đề Hình học khơng gian

A ta lấy 2 điểm I, J ở 2 bên điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vng cân.
a) Tính các cạnh của ∆ABC
b) Tính AI, AJ và CM các tam giác BIJ, CIJ là các tam giác vng cân
c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn – www.moon.vn

( R = 2a 3)

Facebook: LyHung95


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN

Tài liệu bài giảng:

MẶT CẦU KHƠNG GIAN – P3
Thầy Đặng Việt Hùng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = a;

AA ' = a 3; ABC = 600 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh ạ, góc BAD bằng 600 và SA = SB = SD. Xác

định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD biết BSD = 900.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD, AB = 2a; BC = CD = DA = a,
SA = SB = SC = SD; d ( AB; SC ) =

a 2
. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
2

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có các mặt phẳng (ABC) và (BCD) vng góc với nhau. Biết

BC = a; BAC = 600 ; BDC = 300 . Tính bán kính và thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCD.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (ABC) và (SBC) vng góc với nhau. Biết
AB = AC = SA = SB = a; SC = x . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho theo a và x.

Đ/s: R =

a2
3a 2 − x 2

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD =

2a 6
, mặt phẳng (SAB)
3

vng góc với đáy và SA = SB = a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối S.ABD theo a.

Đ/s: R = a
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 450. Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a.

Bài 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r; góc giữa BC’ và trục của hình
trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có ABC = 1200 . Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BC,
A’C và AB. Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 , góc BAD bằng 600,

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin
giữa hai đường thẳng SM và DN.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ; tam giác SAB vuông cân tại S. Gọi H là
trung điểm của đoạn thẳng AB, các mặt phẳng (SHC), (SHD), (ABCD) đơi một vng góc. Biết SC = a 3 ,
tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD) và (SDC).
Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn

Facebook: LyHung95 – Fanpage: Hungdv95


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN

Chun đề Hình học khơng gian

Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a , góc BAC = 1200 ,
cạnh bên BB ' = a . Gọi I là trung điểm của CC ' . Chứng minh tam giác AB ' I vng tại A và tính cơsin
của góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB ' I )

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, AB = BC = a 3 , khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 và SAB = SCB = 900 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa

đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC).

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn – www.moon.vn

Facebook: LyHung95 – Fanpage: Hungdv95


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng

Tài liệu bài giảng:

02. LUYỆN TẬP VỀ TÍNH GĨC
Thầy Đặng Việt Hùng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B. Biết SA vng góc với
(ABCD), AB = BC = a; AD = 2a, SA = a 3. Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (SC; AB)
c) (SD; BC)
d) (SB; CK), với K là điểm thuộc đoạn AB sao cho BK = 2KA.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vng góc của đỉnh S xuống
1
2

(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH = HB. Biết AB = 2a; AD = a 3; SH = a 2. Tính góc giữa
a) (SD; BC)
b) (SB; CD)
c) (SA; HC)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, SA vng góc với đáy. Biết SA = a; AB =
a; BC = a 2. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)
b) Gọi J là trung điểm của SB, N là điểm trên đoạn AB sao cho AN = 2NB. Tính góc giữa hai đường AC và
JN.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a; AD = a 3. Hình chiếu vng góc
của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a. Tính góc giữa

a) (SB; CD)
b) (AC; SD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 3 . Hình chiếu vng góc của đỉnh S
xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH =

1
AB; SH = a 2. Tính góc giữa
4

a) (SD; BC)
b) (SB; AC)
c) (SA; BD)
d) (SC; BD)

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn!

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng

Chun đề Hình học khơng gian

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC. Hình chiếu
vng góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AI với HI + 2 HA = 0 và SH = a 3.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC)
b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Hình chiếu vng góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với AH =

1
AC ; SH = 2a. Tính góc giữa
4

a) (SA; CD)
b) (SC; BD)
c) (SB; AD)
d) (SA; BD)
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, hình chiếu vng góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là trung điểm H của AB. Biết SH = a 3. Tính góc giữa

a) (SA; BC)
b) (SB; CD)
c) (SA; CD)
d) (SB; MN), với M và N là trung điểm của BC; CD.
e) (SC; MN), với M, N như trên.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của S xuống (ABC)
là điểm H thuộc AB sao cho AH =

1
a2 3
AB. Biết diện tích tam giác SAB bằng

. Tính góc giữa
3
2

a) (SA; BC)
b) (SB; AC)

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn!

www.moon.vn


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng

Tài liệu bài giảng:

MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ
Thầy Đặng Việt Hùng

Ví dụ 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Hướng dẫn giải:
a) * Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2π.R.2R = 4 π R2

B

* OA = R; AA’ = 2R

O
A

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4 π R2 + π R2 = 5 π R2
h

l

b) V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.R 2 .2R = 2πR 3
B'

O'
A'

Ví dụ 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3 cm. Hãy tính diện tích của thiết diện
được tạo nên
Hướng dẫn giải:
a) Ta có Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2 π .5.7 = 70π (cm2)
B
O
r

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70π + 50π = 120π (cm2)

I

b) V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.52.7 = 175π (cm3)

A
l

* OA = 5cm; AA’ = 7cm

c) Gọi I là trung điểm của AB ⇒ OI = 3 cm

h

* SABB′A′ = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)
O'

B'
A'

* AA’ = 7
* Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4 (cm) (do tam giác OAI vng tại I)

Ví dụ 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục
của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
Hướng dẫn giải:
Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn – www.moon.vn

facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng

a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .r. r 3 = 2 3 π r2
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 π r2 3 + 2 π r2 = 2 ( 3 + 1) π r2
b) * V = πR h = π.OA .OO′ = π.r .r 3 = πr
2

A
r

2

2

O

3

3

∧

c) * OO’//AA’ ⇒ BA A′ = 300
* Kẻ O’H ⊥ A’B ⇒ O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB
r3
A'

O'
H

và trục OO’ của hình trụ
* Tính: O’H =

r 3
(vì ∆ BA’O’ đều cạnh r)
2

* C/m: ∆ BA’O’ đều cạnh r

B

* Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r

* Tính: A’B = r (do tam giác AA’B vuông tại A’)
’

Cách khác: Tính O H =

O′A′2 − A′H 2 =

( ∆ ∨ A’O’H tại H). Tính: A’H =

r2 r 3
r − =
4
2
2

A′B
r
=
2
2

Tính: A’B = r (do tam giác AA’B vng tại A’)

Ví dụ 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường trịn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là

R 2.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
Hướng dẫn giải:
A

R

a) * Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2 π .R. R 2 = 2 2 π R2

O

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 2 π R2 + 2 π R2 = 2 ( 2 + 1) π R2
b) * V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.R 2 .R 2 = πR3 2
R2

A'

O'

Ví dụ 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy. Tính khoảng cách
từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ

Đ/s: a) Sxq = 2πRl = 5000 π (cm2)

Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000π + 5000π = 10000π (cm2)

b) * V = πR 2 h = 125000π (cm3)
c) * O’H = 25 (cm)
Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn

facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TON Thy Hựng

BI TP T LUYN
Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông.
a) Tính diện tích thiết diện qua trục.
b) Tính diện tích toàn phần và thĨ tÝch cđa trơ.
c) TÝnh diƯn tÝch vµ thĨ tÝch hình cầu ngoại tiếp hình trụ.
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy
lớn CD = 4a, cạnh bên bằng

5a
; chiều cao hình lăng trụ bằng h.
2

a) Chứng minh có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đà cho.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ đó.
Bài 3: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4 .
a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ.
c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ.
Bài 4: Cho hình trụ có trục O1O2. Một mặt phẳng ( ) song song với trục O1O2 cắt hình trụ theo
thiết diện là hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó. Tính góc O1OO2 biết bán kính
đờng tròn ngoại tiếp ABCD bằng bán kính đờng tròn đáy của hình trụ.

Tham gia khúa TON 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn

facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng

Chun đề Hình học khơng gian

Tài liệu bài giảng:

03. ĐƯỜNG THẲNG VNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng song song với mặt phẳng:

Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó
song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.
a ⊂ ( P )
Viết dạng mệnh đề: d // ( P ) ⇔ 
d //a

Tính chất giao tuyến song song:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b
song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt
phẳng phải song song với a và b.
Viết dạng mệnh đề:
a ⊂ ( P ) ; b ⊂ ( Q ) ; ( P ) ∩ ( Q ) = ∆

→ ∆ // a // b

a // b

Tính chất để dựng thiết diện song song:
Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một
mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến ∆ thì ∆
phải song song với a.
a // ( P )


→ ∆ // a
Viết dạng mệnh đề: a ⊂ ( Q )

( P ) ∩ ( Q ) = ∆

Đường thẳng vng góc với mặt phẳng:

+ Định nghĩa: Đường thẳng a vng góc với mặt phẳng
(P) khi nó vng góc với mọi đường thẳng a nằm trong
∀a ⊂ ( P )
(P). Viết dạng mệnh đề: d ⊥ ( P ) ⇔ 
d ⊥ a

+ Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vng góc
với (P) ta chỉ cần chứng minh d vng góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong (P).
+ Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt d1; d2 cùng
vng góc với (P) thì d1 // d2.
+ Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng (P1); (P2) cùng vng
góc với đường thẳng d thì (P1) // (P2).
+ Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một
đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó đường
thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong (P).

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng

Chun đề Hình học khơng gian

 a // ( P )
d ⊥ a
Viết dạng mệnh đề: 


→
d ⊥ ( P )
 a ⊂ ( P )

+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vng góc
xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P) vng góc
với d khi và chỉ khi a vng góc với d’.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy.
a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC)
b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Chứng minh MN ⊥ (SAD)
c) Cho SA = a 3. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN.
Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc. Kẻ OH ⊥ (ABC)
a) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
b) Chứng minh OA ⊥ BC; OB ⊥ AC; OC ⊥ AB
c) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
d) Chứng minh rằng

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB

OC 2

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có SB vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại A.
a) Chứng minh rằng tam giác SAC vng.
b) Tính SA, SB, SC biết ACB = α; ACS = β; BC = a.
Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A với AB = AC = a; BC =

6a
. Gọi M là
5

trung điểm của BC, kẻ AH ⊥ MD, với H thuộc MD.

a) Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD)
b) Cho AD =

4a
. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.
5

c) Gọi G1 ; G2 là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng G1G2 ⊥ (ABC).
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy. Gọi B1; C1; D1
là hình chiếu vng góc của A lên các cạnh SB, SC, SD.

a) Chứng minh rằng B1D1 // BD và SC ⊥ (AB1D1)
b) Chứng minh rằng các điểm A, B1, C1, D1 đồng phẳng và tứ giác AB1C1D1 nội tiếp đường tròn.
c) Cho SA = a 2. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AC1.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA vng góc với (ABC) và ∆ABC vng ở B. Chứng minh rằng
a) BC ⊥ (SAB).

b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh rằng AH ⊥ (SBC).

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng

Chun đề Hình học khơng gian

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Biết
SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng
a) SO ⊥ (ABCD).
b) IJ ⊥ (SBD).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần
lượt là hình chiếu vng góc của điểm A lên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC).
b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK).
c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
SC = a 2 . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD.

a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh rằng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD.
Bài 5. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vng cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác
vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH ⊥ AC.

c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a.
a a 3
.
2 2

Đ/s: a) a; ,

c)

a 5
.
2

Bài 6. Cho ∆MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vng góc với (P) tại A ta lấy 2
điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C′ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC′.
a) Chứng minh rằng CC′ ⊥ (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của ∆BCD.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a, đáy ABCD là hình thang vng có đường cao
AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD.

a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C.
b) Kẻ SN vuông CD tại N. Chứng minh rằng CD ⊥ (SAN).

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn!

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng

Chun đề Hình học khơng gian

Tài liệu bài giảng:

03. ĐƯỜNG THẲNG VNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1) Khái niệm
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vng góc của nó xuống mặt phẳng.
2) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Giả sử cần xác định góc giữa hai mặt phẳng d1 và d2, ta thực hiện theo các bước sau
- Tìm hình chiếu d′ của d lên (P)
- khi đó, ( d ,( P ) ) = ( d , d ′ ) , và bài toán quay về tìm
góc giữa hai đường thẳng.
Chú ý:
Thơng thường đường thẳng d cho dạng đoạn thẳng
(MN chẳng hạn), khi đó để tìm hình chiếu của MN ta
tìm hình chiếu của từng điểm M và N xuống (P), tức
là tìm các điểm H, K sao cho MH ⊥ (P), NK ⊥ (P)

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA = a 6.
Tính góc giữa
a) SB và CM, với M là trung điểm của AD.
b) SC và DN, với N là điểm trên đoạn BC sao cho BN = 2 NC.
c) SC và (ABCD)
d) SC và (SAB)
e) SB và (SAC)
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc của S xuống
mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, cho SG = 2a. Tính góc giữa

a) SA và BD.
b) SC và (ABCD)
c) AD và (SAC)
d) SD và (ABCD)
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A, B với AB = BC = a, AD = 2a.
Cạnh SA vng góc với đáy, SA = a 2. Tính góc giữa
a) SC và (SAB)
Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Tốn!

www.moon.vn


Chun đề Hình học khơng gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng

c) SD và (SAC)
d) AC và (SAD)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho hình vng ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vng góc. Gọi I là trung
điểm của AB.
a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Từ đó suy ra góc của SC với (SAD).
c) Gọi J là trung điểm CD, chứng minh (SIJ) ⊥ (ABCD).
d) Tính góc hợp bởi SI với (SDC).
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA
và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 600.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA = a 6 và vng góc với đáy. Tính góc giữa

a) SC với (ABCD).
b) SC với (SAB).
c) SB với (SAC).
Đ/s:

a) 300

b) tan α =

7
.
7

c) sin α =

14
.
14

Bài 4: Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ đáy là tam giác đều cạnh a; đỉnh A′ cách đều A; B; C; góc giữa AA′ và
(ABC) là 600
a) Xác định và tính đường cao của lăng trụ trên.
b) Xác định và tính góc giữa A′A với (ABC).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA vuông (ABC) tại A; SA = AC = a ; AB
= 2a. Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau
a) SA; SC ; SB với (ABC).
b) BC; BA; BS với (SAC).
c) CH; CA; CB; CS với (SAB) với CH là đường cao tam giác ABC.
d) Biết AK là đường cao tam giác SAC xác định và tính góc giữa AK; AS; AC với (SBC).

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng

Chun đề Hình học khơng gian

Tài liệu bài giảng:

03. ĐƯỜNG THẲNG VNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P3
Thầy Đặng Việt Hùng

DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (nâng cao)
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A, B với AB = BC = 2a, AD = 3a.
Hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH = 2HB, biết
SH = a 3. Tính góc giữa
a) SC và HD.

b) SD và (ABCD).

c) SC và (SHD)

d) SB và (SHD)

e) BC và (SHD)

f) SB và (SAD)

g) SC và (SAD)
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 1200. Gọi H là trung
điểm OA, biết các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vng góc với đáy, SH = a 2. Tính góc
a) SD và BH.

b) SB và (SAC)

c) SC và (SAD)

d) SA và (SBD)

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh a. Gọi M là trung điểm OA, điểm
N thuộc CD sao cho CN =

1
ND. Hình chiếu vng góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của MN, biết SH
2

= 2a. Tính góc giữa

a) SD và (ABCD).
b) SA và (ABCD)

Tham gia khóa TỐN 2014 để đạt 9 điểm Toán!

www.moon.vn