Sự gần đúng của SU trong nghiên cứu hạt cơ bản
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (268.41 KB, 32 trang )
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, bằng trái tim chân thành nhất với lòng biết ơn sâu sắc, em xin
được cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan – người đã hướng dẫn và chỉ bảo
tận tình cho em trong suốt thời gian qua để em có thể hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp một cách tốt nhất.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Vật lý
– Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý
báu trong suốt thời gian em học tại trường.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên đã luôn động viên,
khích lệ, giúp em hoàn thành khóa luận đúng thời hạn
Xuân Hòa, ngày tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đặng Thị Út Trang
Đặng Thị Út Trang
Lý
Lớp K35D – Vật
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong đề tài: “Sự gần đúng của SU(3)
trong nghiên cứu hạt cơ bản” là trung thực và không trùng lặp với các đề tài
khác.
Xuân Hòa, ngày tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đặng Thị Út Trang
Đặng Thị Út Trang
Lý
Lớp K35D – Vật
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.................................................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài............................................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu......................................................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................................................1
4. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu...................................................................................................1
5. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................................................2
CHƯƠNG 1: ĐỐI XỨNG SU(n).................................................................................................................3
1.1. Định nghĩa nhóm đối xứng SU(n).................................................................................................3
1.2. Nhóm biến đổi SU(n)...................................................................................................................5
CHƯƠNG 2: ĐỐI XỨNG SU(3).................................................................................................................6
2.1. Định nghĩa đối xứng SU(3)..........................................................................................................6
2.2. Nhóm biến đổi SU(3).................................................................................................................13
2.3. Đa tuyến của nhóm SU(3)..........................................................................................................14
2.3.1. Biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng SU(3)..........................................................................15
..............................................................................................................................................................19
2.3.2. Biểu diễn chính quy của nhóm đối xứng SU(3)...................................................................20
CHƯƠNG 3: SỰ GẦN ĐÚNG CỦA SU(3) TRONG NGHIÊN......................................................................23
CỨU HẠT CƠ BẢN................................................................................................................................23
3.1. Sự gần đúng của SU(3)...............................................................................................................23
3.2. Khắc phục sự gần đúng của SU(3)..............................................................................................23
KẾT LUẬN..............................................................................................................................................27
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................................................29
...................................................................................................................................29
Đặng Thị Út Trang
Lý
Lớp K35D – Vật
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hạt cơ bản là những thực thể vi mô tồn tại như 1 hạt nguyên vẹn, đồng nhất,
không thể tách thành các phần nhỏ hơn; ví dụ như các hạt proton, e, positron,…
Đó chính là thành phần cấu tạo nên thế giới vật chất vô cùng phong phú của
chúng ta.
Hạt cơ bản có thể tìm hiểu thông qua các tương tác mà chúng tham gia; đó là:
-Tương tác mạnh
-Tương tác yếu
-Tương tác điện từ
-Tương tác hấp dẫn
Hằng số tương tác ở mỗi loại tương tác rất khác nhau. Chính sự khác nhau này
đòi hỏi phải có hướng tiếp cận, nghiên cứu hạt cơ bản cho phù hợp. Đối với
tương tác mạnh thì hằng số tương tác lớn nên khi nghiên cứu người ta không áp
dụng lý thuyết nhiễu loạn mà sử dụng phương pháp có hiệu quả cao hơn –
phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng. Phương pháp này đã cho kết quả chính
xác về các số lượng tử như siêu tích, bảo toàn điện tích, số lepton, số barion,…
nhưng lại không chính xác khi xét tới khối lượng các hạt, đối xứng SU(3) bị vi
phạm.
Để hiểu rõ hơn sự vi phạm đối xứng SU(3) và cũng để nâng cao trình độ hiểu
biết tôi đã quyết định chọn đề tài: “Sự gần đúng của SU(3) trong nghiên cứu hạt
cơ bản” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sự gần đúng của SU(3) trong nghiên cứu hạt cơ bản.
3. Đối tượng nghiên cứu
Ứng dụng lý thuyết nhóm đối xứng SU(3) để nghiên cứu các hạt cơ bản.
4. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu
- Lý thuyết nhóm đối xứng SU(3).
Đặng Thị Út Trang
1
Lớp K35D – Vật Lý
- Các đa tuyến của SU(3).
- Sự gần đúng của lý thuyết nhóm đối xứng SU(3).
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết.
- Phương pháp của lý thuyết nhóm đối xứng.
Đặng Thị Út Trang
2
Lớp K35D – Vật Lý
CHƯƠNG 1: ĐỐI XỨNG SU(n)
1.1. Định nghĩa nhóm đối xứng SU(n)
Nhóm đối xứng SU(n) là tập hợp các ma trận n × n, Unita, có định thức
bằng 1, thỏa mãn các tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(n).
Gọi g là phần tử của nhóm đối xứng SU(n) thì:
g∈ SU(n):
g.g+ = g+.g = I
Det g = 1
• Nhóm đối xứng SU(n) phụ thuộc vào bao nhiêu tham số thực?
(
Ký hiệu mỗi phần tử của nhóm đối xứng SU(n) là U ξ1,ξ 2 ,...,ξ m
)
với
ξ ,ξ ,...,ξ m là các tham số thực.
1 2
)
(
iξi χi
U ξ ,ξ ,...,ξ m = e
1 2
(
(i = 1, m)
)
Xét trường hợp ξi i = 1, m là các vô cùng bé, ta có thể viết như sau:
)
(
iξ χ
U ξ ,ξ ,...,ξ m = e i i = I + iξi χi + ...
1 2
Trong đó: I là ma trận đơn vị
χ i là ma trận vuông hạng n.
Theo tính chất Unita, ta có
Vì
U + .U = I
iξ χ
U = e i i = I + iξi χi + ...
−iξi χi
+
U =e
= I − iξi χi+ + ...
Do đó :
(
)(
)
U .U + = I + iξi χi + ... I − iξi χi+ + ... = I − iξi χi+ + iξi χi + ξi2 χi χi+ + ...
Ta chỉ xét đến gần đúng bậc một
Đặng Thị Út Trang
3
Lớp K35D – Vật Lý
(
)
⇒ U .U + = I + iξi χi − χ i+ = I
⇒ χ i = χ i+
(1)
)
(
Mặt khác : Det U ξ1,ξ 2 ,...,ξ m = 1
Ta có : Det A = e sp ln A
Spur (sp) là vết của ma trận, là tổng các phần tử trên đường chéo chính .
Mà :
)
(
iξ χ
U ξ ,ξ ,...,ξ m = e i i
1 2
Nên det
iξi χi
sp ln I +iξi χi
sp iξi χi iξ spχ
sp
ln
e
U =e
=e
=e
=e i i
iξ spχi
Vì det U = 1 nên e i
= 1 ⇒ spχi = 0 (2)
Ta thấy mỗi ma trận n × n có n2 phần tử ma trận phức, tức sẽ có 2n2 tham số thực.
+
Từ điều kiện (1) : χ i = χ i ta thấy có n2 phương trình ràng buộc. Ngoài ra, điều
kiện (2): spχi = 0 cho ta một phương trình ràng buộc .
Như vậy trong 2n2 tham số chỉ có (n2 + 1) tham số thực độc lập.
Do đó nhóm SU(n) phụ thuộc vào (n2 + 1) tham số thực độc lập.
Vậy có thể viết :
g(w)= exp{iωa χ a }
( a = 1, m )
Trong đó ωa (a = 1, m) là các tham số thực, χ a (a = 1, m) là các ma trận n × n phải
thỏa mãn :
χa = χa+
spχ a = 0
Đặng Thị Út Trang
4
Lớp K35D – Vật Lý
1.2. Nhóm biến đổi SU(n)
(
)
Giả sử có p hạt được mô tả bởi các hàm trường ψ i i = 1, p biến đổi như sau dưới
tác dụng của nhóm biến đổi SU(n) :
−iωa M a
i
ψ i ( x) →ψ i′ ( x) = U .ψ i ( x).U −1 = e
ψ ( x)
Trong đó M a là các ma trận p × p thỏa mãn các hệ thức giao hoán giống χ a :
[M a , M b ] = if abc M c
M a = M a+
,
Với f abc là hằng số cấu trúc của nhóm thì ta nói rằng p hạt này lập thành một
biểu diễn của nhóm đối xứng SU(n).
Nếu số chiều của ma trận M a bằng số chiều của nhóm thì p hạt lập thành biểu
diễn chính quy của SU(n).
Nếu số chiều của ma trận M a bằng chỉ số của nhóm thì p hạt lập thành biểu
diễn cơ sở của SU(n).
Đặng Thị Út Trang
5
Lớp K35D – Vật Lý
CHƯƠNG 2: ĐỐI XỨNG SU(3)
2.1. Định nghĩa đối xứng SU(3)
Tập hợp tất cả các ma trận 3 × 3, Unita, có định thức bằng 1 và thỏa mãn
tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(3).
Bất kỳ 1 phần tử nào của SU(3) đều có thể viết dưới dạng:
∀g ∈ SU (3) :
g .g + = I
(2.1)
det g = 1
(2.2)
λ
iωa a
2
g =e
Nếu ωa là vô cùng bé thì
( a = 1,8 )
Các ma trận λa phải thỏa mãn điều kiện :
λa+ = λa
(2.3)
spλa = 0
(2.4)
spλa là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận.
Thật vậy :
Điều kiện (2.3) : λa+ = λa có được do xuất phát từ tính chất Unita :
g .g + = I
Ta có:
λ
iωa a
2
g =e
;
g+ = e
λ
−iωa a
2
Xét với ωa là các vô cùng bé ta khai triển Furie hàm mũ đến hạng bậc nhất :
λ
g = I + iω a a
2
λa+
+
g = I − iω a
2
λa
λa+
λa+
λ
λ
+
I − iω a
g.g = I + iωa
= I − iω a
+ iωa a + ωa2 a
2
2
2
2
2
Đặng Thị Út Trang
6
λa+
2
Lớp K35D – Vật Lý
Vì ωa là các vô cùng bé nên ta có thể bỏ qua số hạng chứa ωa2 so với ωa :
λ
λa+
a
+
−
=I
g .g = I ⇔ I + iω a
2
2
λ
λ+
⇒ iω a a − a = 0
2
2
⇔ λa = λa+
Điều kiện (2.4) : spλa = 0 được suy ra từ tính chất det g = 1.
Ta có
det g = e sp ln g = e
Vì det g = 1
iωa λa
2
sp ln e
=e
λ
sp ln I +iωa a
2
λ
iωa sp a
2
=e
λ
λ
iωasp a
⇒ sp a = 0 ⇒ spλa = 0
2 =1
2
⇒e
• Lựa chọn ma trận λa :
Ta có thể chọn λa (a = 1,8) là các ma trận vuông 3 × 3 bất kỳ thỏa mãn 2 điều
λa+ = λa
kiện:
spλa = 0
Để đơn giản ta chọn λa (a = 1,8) là các ma trận Gell-Mann:
λ =
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
λ = 0
4
0
0
0
;
λ =
2
0
0
1
0 ; λ5 = 0
Đặng Thị Út Trang
i
-i
0
0
0
0
1
λ = 0
3
0 ; λ6 = 0
0
7
0
0
-i
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
Lớp K35D – Vật Lý
1
0
0
i
0
0
0
0
0
1
0
0
λ7 = 0
0
1
-i ; λ8 =
0
3
1
0
0
i
0
-2
0
0
0
1
0
Các ma trận λa phải thỏa mãn điều kiện giao hoán :
λ λ
λc
a , b = if
abc 2
2 2
(a, b, c = 1,8)
(2.5)
λ λ
λc 1
a , b=d
+ δ
abc
2
2
2
2 ab
(2.6)
Trong đó : f abc là hằng số cấu trúc nhóm SU(3) hoàn toàn phản đối xứng theo
3 chỉ số a, b, c .
d
abc là hằng số hoàn toàn đối xứng theo các chỉ số a, b, c .
d
ε
abc không đổi dấu khi hoán vị các chỉ số này khác với abc
f
abc đổi dấu khi hoán vị 2 trong 3 chỉ số a, b, c .
0 nếu a ≠ b
δ
ab
=
1 nếu a = b
Hằng số cấu trúc nhóm f abc , d abc và cách xác định.
)
(
Dùng tính chất : sp λa λb = 2δ ab ta tính được f abc , d abc .
Công thức tổng quát :
] )
1
d
= sp({λa , λ }λc )
abc 4
b
f
abc
=
Đặng Thị Út Trang
([
−i
sp λa , λ λc
b
4
(2.7)
(2.8)
8
Lớp K35D – Vật Lý
λ
Cụ thể : Để có (2.7) ta nhân 2 vế của (2.5) với c rồi sp 2 vế ta được :
2
λ λ λ
λc λc
a ; b c = if
.
abc 2 2
2 2 2
λ λ λ
λc λc
λ λ i
sp a , b c = sp if
. = if
sp c . c = f
abc 2 2 2 abc
2 2 2
abc 2 2
⇔
1 λa λb i
sp
,
λc = f
3
2
2
2 abc
2
([
] )
i
⇔ − sp λa , λ λc = f
b
abc
4
Tính toán cuối cùng ta được giá trị cụ thể của hằng số cấu trúc :
f
=1
123
1
f
=f
=f
=f
=f
=f
=
147
246
257
345
516
376 2
3
f
=f
=
458
678 2
Các hằng số khác thì bằng 0.
λ
Tương tự, ta tính d abc . Nhân (2.6) với c rồi sp lên ta có :
2
λ λ λ
λ λ 1
λ
a ; b . c = d
. c. c + δ . c
abc 2 2 2 ab 2
2 2 2
λ λ λ
λ λ
λ
1
sp a ; b . c = sp d
. c . c + sp δ . c
2 2 2
abc 2 2
2 ab 2
λ λ λ
λ
λ λ 1
sp a ; b . c = d
sp c . c + δ .sp c
abc 2 2 2 ab
2
2 2 2
({
} )
1
1
sp λa , λ λc = d
b
2 abc
23
Đặng Thị Út Trang
9
Lớp K35D – Vật Lý
→d
({
} )
1
= sp λa , λ λc
abc 4
b
Tính toán cuối cùng ta được các giá trị cụ thể :
1
d
=d
=d
= −d
=
118
228
338
888
3
1
d
=d
=d
=d
=−
448
558
668
778
2 3
1
d
=d
= −d
=d
=d
=d
= −d
= −d
=
146 157
247
256
344
355
366
377 2
Các hằng số khác thì bằng 0.
Ví dụ 1 : Tính f123
f
Áp dụng công thức :
Ta có
([ ] )
−i
f
= sp ([λ , λ ]λ )
123 4
1 2 3
abc
−i
sp λa , λ λc
b
4
=
Với
λ =
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
;
-i
0
λ = i
2
0
0
0
0
0
λ =
3
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
[λ1, λ2 ] = λ1λ2 − λ2λ1
=
0
1
0
0
-i
0
0
-i
0 0
1
0
1
0
0
i
0
0 -
i
0
0 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
i
0
Đặng Thị Út Trang
0
-i
0
0
10
2i
0
0
0
0
Lớp K35D – Vật Lý
=
([
0
-i
0 - 0
i
0 = 0
0
0
0
0
0
0
-2i
0
0
0
0
] )
⇒ sp λ , λ λ = 2i + 2i = 4i
1 2 3
i
⇒f
= − .4i = 1
123
4
Ví dụ 2 : Tính f147
Ta có : f147 =
Với λ1=
([
] )
−i
sp λ , λ λ
1 4 7
4
0
1
0
1
0
0
0
0
0
; λ4 =
0
0
1
0
0
0
0
0
0
; λ7 = 0
0
-i
1
0
0
0
i
0
0
1
[λ1, λ4 ] = λ1λ4 − λ4λ1
=
=
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0 -
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 - 0
0
0
= 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
-1
0
0
0
0
Đặng Thị Út Trang
0
0
11
0
0
0
0
0
0
0
Lớp K35D – Vật Lý
([λ1, λ4 ]λ7 ) =
([
0
0
1
0
0
-i = 0
0
-1
0
0
i
0
-i
0
1
0
0
0
0
; λ3 = 0
-1
0
0
0
0
0
i
0
0
i
] )
⇒ sp λ , λ λ = i + i = 2i
1 4 7
i
1
⇒f
= − .2i =
147
4
2
Ví dụ 3 : Tính d123
} )
({
1
d
= sp λ , λ λ
123 4
1 2 3
{λ1, λ2 } = λ1λ2 + λ2λ1
Với
0
1
λ =
1
1
0
0
0
0
0
{λ1, λ2 } = 1
0
0
0
; λ2 = i
0
1
0
0
0
0
0
-i
0
0
-i
0
0
1
0
0
0
i
0
0 + i
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Đặng Thị Út Trang
12
0
Lớp K35D – Vật Lý
{
0
0
0
= 0
0
0
0
0
0
}
({
} )
⇒ λ , λ λ = (0) ⇒ sp λ , λ λ = 0
1 2 3
1 2 3
⇒d
=0
123
Ví dụ 4 : Tính d888
} )
({
1
Ta có : d888 = sp λ8 , λ8 λ8
4
{λ8, λ8 } = 2λ8λ8 = 2. 13
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
3
1
-2
0
0
1
0
0
1
0
{λ8, λ8 }λ8 = 32 0
1
0
1
0
3
1
0 =
0
0
-2
0
({
0
4
1
0
0
0 =
1
2
3
-2
0
1
2
3 3
0
0
0
1
0
0
0
4
0
0
0
1
0
0
0
-8
} )
2
(1 + 1 − 8) = 2 ( − 6) = − 4
sp λ , λ λ =
8 8 8 3 3
3 3
3
1 −4
1
⇒d
= . = −
888 4 3
3
2.2. Nhóm biến đổi SU(3)
Đó là nhóm các toán tử Unita phụ thuộc vào 8 thông số:
iω M
U (ωa ) = e a a
( a = 1,8)
Trong đó M a là các vi tử của nhóm biến đổi thỏa mãn điều kiện tương tự τ a :
[M a , M b ] = if abc .M c
Đặng Thị Út Trang
13
Lớp K35D – Vật Lý
nên M a = M a+ thì nhóm biến đổi này gọi
U + .U = I
Theo tính chất Unita thì
là nhóm biến đổi SU(3).
2.3. Đa tuyến của nhóm SU(3)
Nếu ta có n hạt mà hàm trường tương ứng mô tả trạng thái các hạt là ψ i
(i = 1, n) sẽ biến đổi như sau dưới tác dụng của nhóm biến đổi SU(3) :
ψ i ( x) →ψ i′ ( x) = U .ψ i .U −1 = e
−iωaτ a
ψ ( x)
Trong đó τ a là các ma trận n × n
[τ a ,τ b ] = if abcτ c
(2.9)
i
thỏa mãn hệ thức giao hoán :
(a, b, c = 1,8)
τ a+ = τ a
spτ a = 0
Khi đó ta nói n hạt này lập thành 1 đa tuyến n chiều của SU(3).
Hay nói ψ i
(i = 1, n) là các hàm trường mô tả trạng thái của n hạt lập thành 1 đa
tuyến n chiều của SU(3).
Khi ωa vô cùng bé, khai triển Furier và lấy đến số hạng gần đúng bậc 1 ta được:
U (ω ) = exp{iωa M a } = I + iωa M a
U −1(ω ) = exp{− iωa M a } = I − iωa M a+
exp{− iωaτ a } = I − iωaτ a
Thế vào biểu thức (2.9) ta được:
U (ω ).ψ i .U −1(ω ) = ( exp{− iωaτ a }ψ ( x) ) i
⇒ ( I + iωa M a )ψ i I − iωa M a+ = ψ i − iωaτ a
(
)
⇔ ψ i − iωaψ i M a+ + iωa M aψ i + ωa2 M aψ i M a+ = ψ i − iωaτ aψ i
Vì ωa là các vô cùng bé nên ta bỏ qua ωa2 so với ωa
⇒ iωa M aψ i −ψ i M a+ = −iωaτ aψ i
(
Đặng Thị Út Trang
)
14
Lớp K35D – Vật Lý
(
)
⇒ iωa M aψ i −ψ i M a = −iωaτ aψ i (vì M a = M a+ )
[
]
⇒ iωa M a ,ψ i = −iωaτ aψ i
⇒ M a ,ψ i = −τ aψ i
[
]
⇒ [M a ,ψ i ] = −(τ a ,ψ ) i
⇒ [M a ,ψ i ] = −(τ a ) ijψ i
⇒ [M a ,ψ i+ ] = ψ + j (τ a ) ij
Lưu ý:
a) Các vi tử M1; M 2 ; M 3 liên hệ với nhau bởi hệ thức:
M , M = iε M
i
j
ijk k
= ε
i, j , k = 1,2,3; f
ijk
ijk
M ; M ; M là các vi tử của nhóm đối xứng SU(3), vì thế M ; M ; M được
1 2 3
1 2 3
đồng nhất với toán tử spin đồng vị.
b) M 8 giao hoán với M1; M 2 ; M 3 (thấy được từ giá trị của hằng số cấu trúc nhóm)
, từ đó cho phép ta đồng nhất M 8 với siêu tích Υ . ( Trong 1 đa tuyến SU(3) thì
giá trị siêu tích không đổi ⇔ toán tử siêu tích giao hoán với toán tử spin đồng
vị).
[M1; M 8 ] = if18c M c = 0
[M 2 ; M 8 ] = if 28c M c = 0
[M 3; M 8 ] = if38c M c = 0
Vì f18c = f 28c = f 38c = 0
[
]
Nên ta có công thức tổng quát: M i ; M 8 = 0
2.3.1. Biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng SU(3)
Có bao nhiêu khả năng của τ a thì sẽ có bấy nhiêu biểu diễn:
M , M = i.ε .M
i
j
ijk k
Đặng Thị Út Trang
( i, j, k = 1,2,3 ; f ijk = ε ijk )
15
Lớp K35D – Vật Lý
λ
Khi τ a = a , λa là các ma trận Gell-Mann. Lúc này 3 hạt lập thành biểu diễn
2
cơ sở của nhóm SU(3). Đó chính là 3 hạt quark: u; d ; s
M ,ψ + = ψ +
a i
j λa
2
i
j
Hàm trường qu = q1; qd = q2 ; qs = q3 biến đổi như sau dưới tác dụng của nhóm
biến đổi SU(3):
λ
(τ a = a )
2
qi → qi′ = U .qi .U −1 = ( exp{− iωaτ a }.q ) i
[
]
λ
M a ; qi = a
2
i
.q
j
j
M ; q + = q +
a i
j λa
2
i
j
Hạt u
Tìm I 3
[
1
λ
+
j
M , q + = q 3
3 1
2 j
]
1
1
1
λ
λ
λ
= q +1 3 + q + 2 3 + q + 3 3
2 1
2 2
2 3
1
1
1
1
= q + 1 λ + q + 2 λ + q + 3 λ
3 1
3 2
3 3
2
1
= q + .1 + q + .0 + q + .0
2
3
2 1
1
= q+
2 1
Đặng Thị Út Trang
16
Lớp K35D – Vật Lý
1
Hình chiếu của hạt quark u là
2
Tìm siêu tích
[
]
2
2 +
Υ; q + =
M ; q + =
.q
1
3 8 1
3
Với
1
0
0
λ = 1 0
8
3
1
0
0
0
-2
1
j λ8
2
j
1
1
1
λ
λ
2 + 1 λ8
+
2
+
3
+
8
8
Υ, q =
+q +q
q
1
3
2
1
2 2
2 3
[
]
=
1 + 1 1 + 2 1
+ 3 λ 1
q
λ
+
q
λ
+
q
8 1
8 2
8 3
3
=
1 +
+
+ 1 +
q1 .1 + q2 .0 + q3 .0 = q1
3
3
1
Siêu tích của hạt quark u là .
3
Số lạ là 0
1
1
Số Barion: Υ = S + B + L + ... → B = Υ − S − L = − 0 − 0 =
3
3
Điện tích: Q = I 3 +
Υ 1 1 2
= + =
2 2 6 3
Hạt d
Tìm I 3
Đặng Thị Út Trang
17
Lớp K35D – Vật Lý
λ =
3
[
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
λ
M , q + = q + j 3
3 2
2
]
2
j
2
2
2
λ
λ
λ
+
1
+
2
+
3
3
3
3
=q +q +q
2 1
2 2
2 3
1
= q + .0 + q + .(−1) + q + .0
2
3
2 1
1
= − q+
2 2
1
Hình chiếu spin đồng vị của hạt quark d là − .
2
Tính siêu tích
[
1
0
0
λ = 1 0
8
3
1
0
0
0
-2
]
2
2 +
Υ; q + =
M ; q + =
.q
2
3 8 2
3
j λ8
2
2
j
2
2
2
λ
λ
λ
2
+ 1 8 + q + 2 8 + q + 3 8
Υ, q + =
q
2
2
2
3
2 1
2
3
[
]
=
1 + 1 2
+ 2 λ 2 + q + 3 λ 2
q λ8 + q
1
8 2
8 3
3
Đặng Thị Út Trang
18
Lớp K35D – Vật Lý
=
1 +
+
+ 1 +
q1 .0 + q2 .1 + q3 .0 = q2
3
3
Siêu tích của hạt quark d là
1
3
Tính số lạ
Số lạ của hạt quark d là 0
Số Barion:
1
1
B = Υ −S − L = −0−0 =
3
3
Điện tích:
Υ
1 1
1
Q=I + =− + =−
3 2
2 6
3
Hạt quark s
Tính I 3 :
[
λ
M , q + = q + j 3
3 3
2
]
3
j
3
3
3
λ
λ
λ
= q +1 3 + q + 2 3 + q + 3 3
2 1
2 2
2 3
1
= q + .0 + q + .0 + q + .0
2
3
2 1
=0
Hình chiếu spin đồng vị của hạt quark s là 0 .
Tính siêu tích:
[
]
2
2 +
Υ; q + =
M ; q + =
.q
3
3 8 3
3
Đặng Thị Út Trang
j λ8
2
3
j
19
Lớp K35D – Vật Lý
3
3
3
λ
λ
2 + 1 λ8
+
2
+
3
+
Υ, q =
+ q 8 + q 8
q
3
3
2 1
2 2
2 3
[
]
=
1 + 1 3 + 2 3
+ 3 λ 3
λ + q
q λ8 + q
1
8 2
8 3
3
2 +
1 +
+
+
q1 .0 + q2 .1 + q3 .(−2) = − q3
3
3
=
2
Siêu tích của hạt quark s là −
3
Tính số lạ
Số lạ của hạt quark s là (-1)
Số Barion:
1
1
B = Υ − S − L = − − (−1) − 0 =
3
3
Điện tích:
Υ
1 2
1
Q = I + = 0 + − = −
3 2
2 3
3
Từ trên ta có bảng sau:
I
u
1
2
1
2
0
I
3
1
2
1
−
2
0
Υ
Q
B
S
1
3
1
3
2
3
1
2
1
3
1
3
0
1
3
s
2
1
−
−
3
3
2.3.2. Biểu diễn chính quy của nhóm đối xứng SU(3)
d
−
0
−1
Có bao nhiêu khả năng của τ a thì sẽ có bấy nhiêu biểu diễn:
( )
M ,ψ + = ψ + j τ i
i i
a j
Đặng Thị Út Trang
20
Lớp K35D – Vật Lý
Chọn τ a = Fa ( Fa là ma trận 8 × 8) , a = 1,8
Số chiều của ma trận bằng số chiều của nhóm đối xứng với
( Fa )bc = −if abc
Khi đó 8 hạt lập thành biểu diễn chính quy của SU(3).
Nếu:
( Fa )bc
[M a ;ψ i+ ] =ψ + j (Fa )ij
là phần tử ma trận ở dòng b cột c .
Từ thực nghiệm, ta thu được đa tuyến sau:
•
8 Barion:
Jp=
p
I
I
3
Υ
S
1
2
1
2
1
0
1+
2
n
1
2
1
2
1
0
Σ+
1
Σ0
1
Σ−
1
1
0
1
0
−1
0
−1
0
−1
π+
1
π0
1
π−
1
1
0
−1
0
0
0
0
0
0
Ξ0
1
2
1
2
−1
−2
Ξ−
1
2
1
−
2
−1
−2
λ
0
~
K0
1
2
1
2
−1
−1
K−
1
2
1
−
2
−1
−1
η
0
0
−1
• 8 Messon với J p = 0 −
I
I
3
Υ
S
K+
1
2
1
2
1
1
K0
1
2
1
2
1
1
Đặng Thị Út Trang
21
0
0
0
0
Lớp K35D – Vật Lý
Đối với các Messon do B=0 nên Υ = S .
Các đa tuyến trên chính là các biểu diễn khác nhau của nhóm đối xứng SU(3).
Đặng Thị Út Trang
22
Lớp K35D – Vật Lý
