SKKN: Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9

Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
MỤC LỤC
Nội dung
I. PHẦN MỞ ĐẦU

Trang

1. Lý do chọn đề tài
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
I. PHẦN NỘI DUNG

2
2
3
3
3

1. Cơ sở lí luận
2. Thực trạng

4

2.1 Thuận lợi – khó khăn

5

2.2 Thành công – hạn chế

5

2.3 Mặt mạnh – mặt yếu

6

2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động ...

7

2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra.
3. Giải pháp, biện pháp

7

3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp

8

3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp

8

3.3 Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp

26

3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề

26
27

nghiên cứu
I. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
2. Kiến nghị

28
29
I. PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:
Tri thức nhân loại nói chung và kiến thức toán học nói riêng là vô tận. Để
chiếm lĩnh, nắm bắt kiến thức toán học một cách hiệu quả, tích cực thì cần phải
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

1


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
có phương pháp nghiên cứu, học tập đúng đắn, phù hợp. Một trong những
phương pháp tích cực đó là khám phá, tìm tòi từ kết quả của các bài toán đã có.
Trong quá trình dạy học Toán nói chung, người giáo viên phải biết lựa chọn
phương pháp thích hợp để kích thích tính tích cực, tư duy sáng tạo ở học sinh.
Trong thực tế hiện nay, mỗi khi học xong bài học, giáo viên đưa ra các bài tập
trong sách giáo khoa và cho học sinh giải các bài tập đó, nếu chỉ dừng lại các bài
tập đơn lẻ sẽ gây cho học sinh sự nhàm chán trong học Toán đặc biệt là môn
Hình học. Nếu áp dụng cách học này sẽ không kích thích được tính tò mò, tư
duy sáng tạo cho học sinh. Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi

môn Toán 9, bản thân tôi nhận thấy việc suy luận, mở rộng và phát triển các bài
toán từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa sẽ kích thích cho học sinh tính
sáng tạo và phát triển tư duy, học sinh sẽ kết nối các kiến thức lại với nhau. Với
cách học và cách dạy như thế sẽ luôn tạo cho học sinh tình huống có vấn đề, bắt
buộc học sinh phải tìm tòi, suy nghĩ để giải quyết các vấn đề đặt ra.
Với những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Suy luận và phát triển
các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9” với mong muốn góp
phần nâng cao chất lượng bộ môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng ở
trường THCS, giúp học sinh lớp 9 biết suy luận và phát triển được các bài toán
từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời tôi cũng mong muốn được chia sẻ một vài kinh
nghiệm giảng dạy của mình để đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự đóng
góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản
Hình học lớp 9” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài toán, tạo cho
các em phong cách học tập chủ động và sáng tạo. Từ việc suy luận và phát triển
bài toán sẽ có nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làm cho kho tàng
toán học ngày càng phong phú.

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

2


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, chủ động trong học tập để các
em luôn có thể tự học và tự sáng tạo, tạo cho mình một thói quen là sau khi đã
tìm được lời giải bài toán Hình học, dù là đơn giản hay phức tạp, từ bài toán đã
có cần tiếp tục suy luận, đặc biệt hóa một số điều kiện hay thay đổi một số điều
kiện trong giả thiết và áp dụng kiến thức vốn có của mình để phát triển các bài

toán mới. Từng bước giúp các em học sinh chủ động sang tạo trong việc tiếp thu
kiến thức, làm chủ tình huống, từ đó càng yêu thích môn Hình học hơn.
Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy
giúp các em học sinh có được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng
tạo khi giải toán và niềm đam mê bộ môn.
Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và hiệu quả giảng dạy,chất lượng
bồi dưỡng học sinh giỏi và phụ đạo học sinh yếu kém; phát huy được tính tích
cực, chủ động và sáng tạo của giáo viên cũng như của học sinh trong quá trình
dạy - học môn Hình học cấp THCS.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Một số suy luận từ bài toán Hình học đã giải, phát triển thêm các bài toán
mới, từng bước hình thành cho học sinh sự tự tin và niềm đam mê bộ môn.
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu:
Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ suy luận và phát triển các
bài toán mới từ một bài toán Hình học cơ bản lớp 9.
Đối tượng khảo sát: học sinh lớp 9A3, 9A4 trường THCS Lê Đình Chinh,
xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk.
Thời gian: Năm học 2015 - 2016
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lí thuyết.
- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

3


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
- Thực nghiệm giảng dạy cho học sinh lớp 9A3, 9A4 trường THCS Lê Đình

Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana
- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy.
II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận:
Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán cấp THCS tôi nhận thấy đa số học
sinh sợ học môn Hình học, nhiều em chưa có phương pháp học phù hợp với đặc
thù bộ môn, những em khá, giỏi cũng ít hứng thú với môn Hình học. Có rất
nhiều nguyên nhân, trong đó có thể xem xét một số nguyên nhân cơ bản sau:
- Đặc thù của môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năng
này học sinh không chỉ phải nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năng
trình bày suy luận một cách logic, kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó.
Đứng trước một bài toán Hình học các em thường không biết bắt đầu từ đâu,
trình bày chứng minh như thế nào.
- Trong quá trình dạy học, giáo viên đôi khi còn xem nhẹ hoặc chưa chú
trọng việc nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở sách giáo khoa
hoặc chưa thực sự đầu tư vào lĩnh vực này. Vì thế, chưa tạo được hứng thú cho
học sinh qua việc phát triển vấn đề từ bài toán cơ bản.
Để giải quyết vấn đề trên, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chú
trọng các bài toán ở sách giáo khoa, biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp
để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển năng lực tư duy toán học vừa có điều
kiện để tăng khả năng nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn giản đã có, từ đó hình
thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này. Việc phát triển một bài toán phù
hợp với từng đối tượng học sinh là rất cần thiết và quan trọng, nó vừa đảm bảo
tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong việc giải toán vì nó không tạo
cho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có sự tự tin
trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn phát huy được khả năng sáng tạo, phát
triển khả năng tự học, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

4

Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, từ đó các em yêu
thích và đam mê bộ môn hơn.
2. Thực trạng:
2.1 Thuận lợi, khó khăn:
Thuận lợi:
Điều kiện kinh tế của địa phương ngày càng phát triển, nhiều cha mẹ học
sinh đã có sự đầu tư, quan tâm nhiều đến việc học của học sinh. Môn Toán là
một trong những môn học ngày càng được học sinh và cha mẹ học sinh quan
tâm nhiều hơn.
Nội dung ở sách giáo khoa Toán 9 được biên soạn khá công phu, hệ thống
kiến thức trình bày khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh. Đặc biệt hệ thống
bài tập trong sách giáo khoa phong phú và hết sức cơ bản, được chọn lọc kĩ, có
nhiều bài tập được viết dưới dạng mở chứa nhiều vấn đề để suy luận, khai thác
và phát triển, tạo điều kiện thuận lợi để học sinh và giáo viên khai thác, tìm tòi
thêm các bài toán mới nhằm phát huy sự sáng tạo trong giảng dạy và học tập.
Khó khăn:
Một số gia đình học sinh hoàn cảnh còn khó khăn, chưa thực sự quan tâm
đến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến việc đầu tư
thời gian, vật chất, tinh thần cho con em học tập.
Đa số học sinh chưa hứng thú khi học Hình học, bởi vì các bài toán trong
phân môn Hình học rất đa dạng và khá trừu tượng, mỗi bài toán có thể có nhiều
cách giải khác nhau, để chứng minh được bài toán Hình học thì học sinh phải
vận dụng các định lí, các tiên đề đã được học một cách linh hoạt. Thế nhưng, tất
cả kiển thức cơ bản đã học hầu như các em đã bị quên ngay từ ở lớp dưới.
2.2 Thành công, hạn chế:
Thành công:

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

5


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Chất lượng đại trà môn Toán tương đối tốt, tăng từng năm, có nhiều học
sinh tham gia thi học sinh giỏi văn hóa, thi giải toán qua mạng internet đạt kết
quả cao.
Công nghệ thông tin ngày một thịnh hành, thuận lợi cho học sinh tìm tòi,
nghiên cứu và mở rộng kiến thức.
Hạn chế:
Trước khi chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi nhận thấy đa số học sinh
còn bộc lộ hạn chế sau đây:
- Đa số học sinh chưa thực sự hứng thú học tập môn Hình học, sau khi tìm
được lời giải đúng cho một bài toán thì các em hài lòng và dừng lại mà không tư
duy tìm ra cách giải khác và cũng không khai thác thêm bài toán, không có sự
sáng tạo gì thêm trong quá trình học tập bộ môn Hình học. Do đó tính tích cực,
chủ động, sáng tạo của bản thân còn nhiều hạn chế và hiệu quả học tập chưa cao.
- Học sinh còn yếu về kỹ năng phân tích đa chiều một bài toán, chưa biết
khai thác và tổng quát hóa bài toán đã cho.
2.3 Mặt mạnh, mặt yếu:
Mặt mạnh:
Công nghệ thông tin ngày một phát triển, có nhiều phần mềm trình chiếu
phục vụ cho tiết dạy khiến tiết dạy sinh động hơn sẽ kích thích trí tò mò và tăng
hứng thú học tập cho học sinh.
Nhiều cuộc thi Toán học được tổ chức hàng năm như: cuộc thi học sinh
giỏi văn hoá môn Toán, giải toán trên máy tính cầm tay CasiO, giải toán trên
mạng Internet, ... là những sân chơi bổ ích góp phần rất lớn trong việc thu hút và
lôi cuốn học sinh đến với Toán học.

Mặt yếu:
Nhiều học sinh bị mất kiến thức ngay từ lớp dưới, chưa nắm được kiến thức cơ
bản của hình học nên rất khó khăn trong việc phân tích tìm lời giải, khả năng tư
duy, kỹ năng vẽ hình và trình bày bài giải chưa tốt
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

6


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Học sinh còn thụ động khi tiếp thu kiến thức, khả năng tư duy toán học ở
học sinh còn mờ nhạt, nhiều em học không đi đôi với hành, làm cho bản thân ít
được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp
thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.
2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:
- Học sinh còn yếu về khả năng phân tích bài toán để tìm lời giải.
- Học sinh không nhớ những kiến thức Hình học đã được lĩnh hội ở các
lớp dưới nên khả năng vận dụng kiến thức vào giải một bài toán còn hạn chế.
- Sự hứng thú, tính tích cực của học sinh với môn Hình học chưa cao.
- Đa số học sinh chưa có thói quen khai thác bài toán đã giải, chưa có tính
sáng tạo trong giải toán, khả năng vận dụng kiến thức còn chưa linh hoạt.
- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có
thời gian để ôn tập, giải bài tập nhiều.
2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Hình học là một môn học khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh trung
bình, yếu, kém. Đa số học sinh sợ học môn Hình học, khả năng tư duy, phân tích
tổng hợp của học sinh còn hạn chế, nhiều học sinh không xác định được bài
toán, không vẽ được hình hoặc vẽ hình không chính xác nên rất khó khăn trong
quá trình chứng minh. Với đặc thù của phân môn Hình học là mọi suy luận đều
phải có căn cứ, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng trình bày suy luận một cách

logic. Kĩ năng này đối với học sinh thì tương đối khó, vì mức độ ghi nhớ các
kiến thức Hình học từ những lớp dưới của nhiều học sinh còn hạn chế. Do đó
khi gặp một bài toán Hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, trình
bày chứng minh như thế nào. Chính vì thế mà việc giúp HS nắm vững kiến thức,
hiểu một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, vận dụng linh hoạt các kiến
thức vào làm bài tập, tạo niềm say mê, hứng thú học Toán nói chung và Hình
học nói riêng cho các em học sinh là rất quan trọng đối với người giáo viên.

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

7


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Để giúp học sinh học tập tốt môn Hình học, hãy bắt đầu bằng những bài
tập trong sách giáo khoa và đừng quên khai thác bài toán sau khi giải. Với đề tài
nghiên cứu: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình
học lớp 9” sẽ đáp ứng được phần nào yêu cầu này, bên cạnh đó còn góp phần
nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích và suy luận cho học sinh,
đồng thời khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn.
Mỗi bài toán đưa ra trong đề tài đều có phân tích cụ thể, định hướng
chứng minh, chỉ ra được kiến thức cần vận dụng để chứng minh bài toán, sau
khi trình bày lời giải đều có những nhận xét từ các kết quả có được của bài toán
và đề xuất các bài toán mới. Qua đó, củng cố, khắc sâu, mở rộng và nâng cao
kiến thức cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực,
chủ động, sáng tạo trong giải Toán, đồng thời giúp học sinh tự tin hơn, thích thú
hơn với phân môn Hình học
Đề tài này được lồng ghép vào các tiết luyện tập, ôn tập chương, các tiết
ôn tập học kì , các tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Sau khi áp dụng đề tài nhìn chung học sinh nắm vững kiến thức cơ bản,

các em đã hứng thú hơn trong học tập, nhìn nhận bài toán một cách rộng hơn,
yêu thích bộ môn hơn và đặc biệt nhiều em đã có phương pháp tự học tốt, biết
cách phát triển bài toán và tự tin hơn khi học Hình học.
3. Giải pháp, biện pháp:
3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán Hình học
cơ bản lớp 9” nhằm mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài
toán, tạo cho các em phong cách học tập chủ động và sáng tạo. Từ việc suy luận
và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làm
cho kho tàng toán học ngày càng phong phú.
3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
Việc suy luận và phát triển một bài toán Hình học có thể theo nhiều hướng
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

8


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
khác nhau. Tuy nhiên, trong phạm vi đề tài này tôi chỉ nghiên cứu việc khai thác
thêm các kết quả có thể có được của bài toán và đề xuất các bài toán mới nhằm
rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát
huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải toán, đồng thời giáo dục lòng
say mê học Toán cho học sinh. Đề tài này không đề cập nhiều đến việc hình
thành kĩ năng giải toán cho học sinh mà quan tâm đến hướng khai thác, suy luận
để phát triển bài toán. Bắt đầu từ bài toán cơ bản và quen thuộc sau:
a) Bài toán 1: ( Bài tập 11 trang 104 - SGK Toán 9 tập 1)
Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi
H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng
minh rằng: CH = DK. Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.
Giải:

H

GT Đường tròn (O) đường kính AB; dây CD;

C

M

CD ∩ AB = ∅ ;
AH ⊥ CD (H ∈ CD);

A

BK ⊥ CD (K∈ CD)
KL CH = DK
Hướng dẫn chứng minh: Kẻ OM

O

D

K
B

⊥ CD (M ∈ CD)

Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau: CH = DK
⇑

MH – MC = MK – MD

⇑

MH = MK ; MC = MD
Ta có: MH = MK vì AHKB là hình thang, hình thang này có O ∈ AB, OA = OB,
OM//AH//BK
Ta cũng có: MC = MD vì OM

⊥ CD (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và

dây).

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

9


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Chứng minh:
AH ⊥ CD và BK
Kẻ OM

⊥ CD (gt) ⇒ AH // BK ⇒ AHKB là hình thang

⊥ CD (M ∈ CD) ⇒ MC = MD (1) (Quan hệ giữa đường kính và dây)

Xét hình thang AHKB có O ∈ AB, OA = OB (Bán kính); OM//AH//BK (cùng
vuông góc với CD) ⇒ MH = MK (2)
Từ (1 ) và (2) ta có: MH – MC = MK – MD hay CH = DK
Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 1:
* Nhận xét 1.1: Từ việc vẽ OM

⊥ CD ta có MH = MK ta nhận thấy rằng:

S ∆OMH = S ∆OMA =S ∆OMK =S ∆OMB

H

C
M

⇒ S ∆OMH +S ∆OMK = S ∆OMA +S ∆OMB
Hay

S ∆HOK = S ∆AMB

Kẻ MM’

⊥ AB (M’ ∈ AB)

D
K
A

C'

O

M'

B

D'

Vì S ∆ HOK = S ∆ AMB nên HK.OM = AB.MM’ (1)
Mặt khác, ta có OM là đường trung bình của hình thang AHBK nên
OM =

AH + KB
AH + KB
⇒ HK.OM = HK.
= S AHKB (2)
2
2

Từ (1 ) và (2) ta có: SAHKB = AB.MM '
Vẽ thêm CC’ ⊥ AB, DD’ ⊥ AB (C’, D’ ∈ AB), ta có:
MM’ là đường trung bình của hình thang CDD’C’ ⇒ MM ' =
⇒ S AHKB = AB.

CC '+ DD '
2

CC '+ DD' 1
1
1
= AB ( CC '+ DD' ) = AB.CC '+ AB.DD' = S ∆ACB +S ∆ADB
2
2
2
2

Qua nhận xét 1.1, ta có bài toán khó hơn bài toán 1 như sau:
Bài toán 1.1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường
kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến
CD. Chứng minh rằng:

S AHKB = S ∆ACB + S ∆ADB

* Nhận xét 1.2:

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

10


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Từ bài toán 1, nếu giả thiết dây CD không

C
H

cắt đường kính AB được thay thế bằng giả
thiết dây CD cắt đường kính AB thì kết
luận CH = DK vẫn đúng.

I
A

B

O

Thật vậy, để chứng minh CH = DK ta chứng

F
K

minh CD và HK có chung trung điểm.

D

Qua O vẽ đường thẳng song song với BK và
AH, cắt CD và AK lần lượt tại I và F.
Vì OI // BK mà BK ⊥ CD nên OI ⊥ CD
⇒ IC = ID (1) (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

∆AKB có O ∈ AB, OA = OB và OF // BK ⇒ FK = FA
∆KAH có F ∈ KA, FK = FA (chứng minh trên) và FI // AH ⇒ IH = IK (2)
Từ (1 ) và (2) ta có: IC – IH = ID – IK hay CH = DK
Từ nhận xét 1.2 ta có bài toán 1.2 như sau:
Bài toán 1.2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt AB tại G. Gọi H
và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh: CH = DK.
* Nhận xét 1.3:
Từ bài toán 1, nếu sử dụng phương pháp phản

H

chứng ta sẽ chứng minh được H và K ở bên

C

H'
D

ngoài đường tròn (O). Thật vậy, giả sử chân
đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng CD

K
A

B

O

là H’, H’ là điểm nằm giữa 2 điểm C và D.
·
·
·
·
Xét ∆ACH ' ta có: ACH'
= ACB
+ BCD
= 900 +BCD

·
· 'C = 90 0 (theo giả sử)
⇒ ACH'
> 900 Mà AH
⇒ Tổng các góc trong của ∆ACH ' lớn hơn 1800 . Điều này vô lí.

Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn (O) ⇒ H nằm ngoài đường tròn (O)

Chứng minh tương tự đối với điểm K
Từ nhận xét 1.3 ta có bài toán 1.3 như sau:
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

11


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Bài toán 1.3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường
kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến
CD. Chứng minh rằng: H và K ở bên ngoài (O)
* Nhận xét 1.4: Ở bài toán 1, để chứng minh CH = DK ta chứng minh hai đoạn
thẳng CD và HK có chung trung điểm bằng cách vận dụng định lí : "Đường kính
vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy” và định lí : "Đường
thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy
thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai”. Với ý tưởng này, ta xây dựng một
bài toán mà cách giải hoàn toàn tương tự như cách giải của bài toán 1:
Bài toán 1.4: Cho đường tròn O đường kính AB, dây CD không cắt đường kính.
Qua C và D kẻ các đường vuông góc với CD lần lượt cắt AB tại H và K. Chứng
minh rằng AH = BK.
Giải:
GT Đường tròn (O) đường kính AB; dây

D

CD; CD ∩ AB = ∅ ;

I

C

CH ⊥ CD (H∈ AB);
DK ⊥ CD (K∈ AB)
KL AH = BK

A

H

O

B
K

Hướng dẫn chứng minh: Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau:
AH = BK
⇑

OA - OH = OB – OK
⇑

OA = OB; OH = OK
Ta có OA = OB (Bán kính)

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

12


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.

Để chứng minh OH = OK ta kẻ OI

⊥ CD(I ∈ CD) ⇒ IC = ID

(Quan hệ

vuông góc giữa đường kính và dây). Tiếp tục vận dụng định lí : "Đường thẳng đi
qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua
trung điểm của cạnh bên thứ hai” để có OH = OK.
Chứng minh: HC ⊥ CD và KD
Kẻ OI

⊥ CD (gt) ⇒ HC // KD ⇒ CDKH là hình thang

⊥ CD (I ∈ CD) ⇒ IC = ID (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

Xét hình thang CDKH có IC = ID (Chứng minh trên);
OI//HC//KD (cùng vuông góc với CD) ⇒ OH = OK (1)
Lại có : OA = OB (2) (Bán kính)
Từ (1 ) và (2) ta có OA - OH = OB – OK Hay AH = BK
b) Bài toán 2: ( Bài tập 30 trang 116 - SGK toán 9 tập 1)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với
AB (Ax, By và của đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm
M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó
cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:

·
a) COD
= 90 0

b) CD = AC + BD
c) AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
Giải:

GT

KL

nửa (O;R); AB = 2R ; Ax ⊥ AB; By

y

⊥ AB; M ∈ nửa(O;R); M ≠ A, B; Mz

D
x

∩ (O) = { M} ; Mz ∩ Ax= { C} ;

Mz ∩ By= { D}
·
a) COD
= 90 0
b) CD = AC + BD
c) AC.BD không đổi khi M di động

M
C

A

B
O

trên nửa đường tròn
Hướng dẫn chứng minh:

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

13


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
·
Ở câu a) để chứng minh COD
= 900 ta cần chứng minh OC và OD là các tia phân

giác của hai góc kề bù AOM và BOM
Ở câu b) ta nhận thấy rằng CD = CM + MD. Do đó để chứng minh CD = AC +
BD ta cần chứng minh CM = AC và MD = BD.
Ở câu c) ta có AC.BD = CM.MD (theo chứng minh trên).
Do đó để chứng minh AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn ta
cần chứng minh CM.MD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn
Chứng minh:
a) Ta có OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM (tính
·
chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó OC ⊥ OD ⇒ COD
= 900.

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CM = AC, DM = AD.

Do đó CD = CM + DM = AC + BD.
c) Ta có AC.BD = CM.MD
Xét ∆ COD vuông tại O và OM ⊥ CD nên CM.MD = OM2 = R2 (R là bán kính
của đường tròn O) ⇒ AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 2:
* Nhận xét 2.1:
Chu vi tứ giác ABDC nhỏ nhất ⇔ AC + AB + BD + CD nhỏ nhất
⇔ AC + BD + CD nhỏ nhất ⇔ 2CD nhỏ nhất ⇔ CD nhỏ nhất
⇔ CD // AB ⇔ M là giao điểm nửa đường tròn tâm O và trung trực của AB.

(hay M là điểm chính giữa của cung AB)
Vậy nếu M là điểm chính giữa của cung AB thì tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất.
Qua nhận xét 2.1, ta có bài toán 2.1:
Bài toán 2.1: Thêm vào bài toán 2 câu d: Xác định vị trí của điểm M để chu vi tứ
giác ABDC nhỏ nhất.
* Nhận xét 2.2:
Nếu gọi N là giao điểm của BC và AD, ta chứng minh được MN//AC (MN//BD)

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

14


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Thật vậy:
Ta có AC//BD (gt)

y

Xét ∆ANC có AC//BD

D

⇒

ND NB DB
=
=
(1) (Định lí Talet)
NA NC AC

Vì CA, CM là tiếp tuyến của nửa (O)

x
M
C

nên CM = CA (2)

N

Tương tự ta có DB = DM (3)
ND MD
⇒
=
Từ (1), (2) và (3) ⇒
NA MC

2
A

3

1

4

B

O

MN//AC (Theo định lí ta lét đảo)
⇒ MN//BD (AC//BD)

Qua nhận xét 2.2, ta có bài toán 2.2:
Bài toán 2.2: Thêm vào bài toán 2 câu e: Gọi N là giao điểm của BC và AD.
Chứng minh rằng: MN//AC (MN//BD)
* Nhận xét 2.3:
Sau khi c/m được MN//AC ta có thể có thêm yêu cầu đối với học sinh trung bình
là chứng minh CD.MN = CM.DB
Chứng minh: Theo chứng minh trên MN//AC
S

⇒ ∆CBD

∆ANC ⇒

CD DB
⇒ CD.MN = CM.DB
=

CM MN

Bài toán 2.3: Thêm vào bài toán 2 câu f: Chứng minh rằng: CD.MN = CM.DB
* Nhận xét 2.4:
Từ bài toán 2, nếu cải tiến một chút thì ta có bài toán mới như sau:
Bài toán 2.4: (Trích đề kiểm tra học kì I của phòng GD & ĐT Krông Ana năm
học 2011 - 2012)
Cho ∆ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp
tuyến BD, CE (D, E là các tiếp điểm).
a) BC có phải là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) hay không? Vì sao?
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

15


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
b) Chứng minh rằng ba điểm D, A, E thẳng hàng;
c) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Chứng minh:
B

a) BC là tiếp tuyến của đường tròn
(A; AH) vì H∈ BC; H ∈ (A; AH) và AH ⊥ BC (gt)
·
¶ +A
¶ +A
¶ +A
¶
=A
b) Ta có: DAE

1
2
3
4

I

¶ =A
¶ ; A
¶ =A
¶ (tính chất của hai tiếp tuyến
mà A
1
2
3
4

D

cắt nhau)

H

1
A

¶ =A
¶ = BAC
·
A

= 900 (gt)
2
3

2

3
4

· DAE = 2A
¶ + 2A
¶ = 2(A
¶ +A
¶ ) = 2.900 = 1800
⇒
2
3
2
3

C

E

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.
c) Vì D, A, E thẳng hàng nên A ∈ DE (1)
Gọi O là trung điểm của BC. Ta có AO =
trong tam giác vuông) ⇒ A ∈ (O;

1

BC (tính chất đường trung tuyến
2

BC
) (2)
2

Mặt khác, ta có: BD ⊥ DE; CE ⊥ DE (tính chất tiếp tuyến) ⇒ BCED là hình thang
Lại có: AD = AE; OB = OC ⇒ OA // BD mà BD ⊥ DE nên OA ⊥ DE (3)
Từ (1), (2), (3) ta có DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
c) Bài toán 3: ( Bài tập 39 trang 123 - SGK toán 9 tập 1)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC B ∈ ( O ) ,C ∈ ( O ' ) , tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung
ngoài BC tại I. Chứng minh rằng:
·
a) BAC
= 900

b) Tính số đo góc IOI’
c) Tính độ dài BC biết OA = 9cm; OA’ = 4cm
Giải:
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

16


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
O) tiếp xúc ngoài (O’) tại A; BC

B

I

là tiếp tuyến chung ngoài; B ∈ (O)
GT ; C∈ (O’); IA là tiếp tuyến chung
trong tại A; IA ∩ BC = { I} ;

O

9

C

A 4 O'

OA = 9cm, O’A = 4cm.
·
a) BAC
= 90°
·
KL b) OIO
'=?

c) BC = ?
·
Hướng dẫn chứng minh: Ở câu a) để chứng minh BAC
= 90° ta phân tích theo
sơ đồ:
·
BAC
= 90°

⇑
∆ ABC vuông tại A
⇑

AI = BI = CI
Ở câu b) vận dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất hai tia phân giác
của hai góc kề bù.
Ở câu c) Để tính BC trước hết ta tính IA vì BC = 2IA. Cách tính: IA2= OA.AO’
Chứng minh: a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: IB = IA và IA =
IC.
∆ ABC có trung tuyến AI bằng

1
·
BC nên ∆ ABC vuông tại A ⇒ BAC
= 90°
2

b) Ta có IO là tia phân giác góc BIA, IO’ là tia phân giác của góc AIC. (Tính
·
·
·
chất hai tiếp tuyến cắt nhau) mà BIA
và AIC
là hai góc kề bù nên OIO
' = 90°

c) Xét ∆ vuông OIO’ có IA ⊥ OO’ nên IA2= OA.AO’ (hệ thức lượng trong ∆
vuông)
Do đó IA2 = 9.4 = 36 ⇒ IA = 6cm. Khi đó BC = 2IA = 2.6 =12cm.

Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 3:
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

17


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
* Nhận xét 3.1: Nếu hai đường tròn (O) và (O’) không tiếp xúc ngoài tại A mà
·
hai đường tròn đó ở ngoài nhau thì có chứng minh được BAC
= 90° hay không?

Ta có:
1·
1·
·
·
ABC
= BOD
= CO'
E (góc
và ACB
2
2

B

tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
·
· ' E = 1800 (vì OB//O’C)

mà ABC
+ CO

C

O

·
·
⇒ ABC
+ ACB
= 180 0

D
A

E

·
·
·
∆ABC có ⇒ ABC
+ ACB
= 1800 ⇒ BAC
= 90 0

O'

Qua nhận xét trên, ta có bài toán sau:
Bài toán 3.1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung

ngoài BC, B ∈ ( O ) , C ∈ ( O' ) , đoạn nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) lần
lượt tại D và E, các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Chứng minh rằng:
·
a) BAC
= 900

b) AD. AC = AE . AC

c) Tứ giác BCED nội tiếp

Giải: a) Chứng minh như nhận xét 3.1
·
·
·
b) Ta có: ABC
(vì cùng phụ với ACB
)
= ACO'
·
·
(vì ∆EO 'C cân tại O’)
ACO'
= CEO'
·
·
Mà CEO'
(đối đỉnh)
= AED
·
·

Do đó : AED
= ABC
·
·
∆AED và ∆ABC có: AED
(chứng minh trên)
= ABC
µ chung
A
S

⇒ ∆AED

∆ABC (g.g) ⇒

AE AD
=
⇒ AE.AC=AB.AD
AB AC

·
·
·
·
c) Theo câu b) ta có: AED
= ABC
⇒ ABC
+ DEC
= 180 0 ⇒ Tứ giác BCED nội tiếp

* Nhận xét 3.2:
·
Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau thì kết luận BAC
= 90° có còn đúng

không?
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

18


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Ta có:
1·
1·
·
·
DBC
= BOD
= CO
'E
và ECB
2
2

B

(theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp
N

tuyến và dây cung)

O

·
· ' E = 180 (vì OB//O’C)
Mà ABC
+ CO

C

A

0

E

D O'

·
·
⇒ DBC
+ ECB
= 180 0 hay
N

·
·
ABC
+ ACB

= 180 0
·
·
·
∆ABC có ⇒ ABC
+ ACB
= 180 0 ⇒ BAC
= 90 0

Qua nhận xét trên, ta có bài toán 3.2:
Bài toán 3.2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm M và N. Kẻ
tiếp tuyến chung ngoài BC, B ∈ ( O ) ,C ∈ ( O ' ) , đoạn nối tâm OO’ cắt các đường tròn
(O) và (O’) lần lượt tại D và E, các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Chứng
minh rằng:
·
a) BAC
= 900

b) Tứ giác BCDE nội tiếp
c) AB.AD = AC.AE
Giải: a) Chứng minh như nhận xét 3.2
·
·
·
· 'CE = O'
· EC (vì ∆EO 'C cân tại O’)
b) DBC
(vì cùng phụ với BCE
) mà O
= O'CE

·
· ' EC hay DBC
·
·
⇒ DBC
=O
= DEC

Tứ giác BCDE có hai đỉnh B và E cùng nhìn cạnh CD dưới một góc bằng nhau
nên nội tiếp được trong một đường tròn.
·
·
c) ∆AED và ∆ABC có: AED
(theo chứng minh câu b)
= ABC
·
·
(đối đỉnh)
EAD
= BAC
S

⇒ ∆AED

∆ABC (g.g) ⇒

AE AD
=
⇒ AE.AC=AB.AD
AB AC

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

19


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
d) Bài toán 4: ( Bài tập 95 trang 105 - SGK toán 9 tập 2)
Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của ∆ABC cắt nhau tại H ( Cµ ≠ 900 ) và cắt
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE
b) ∆BHD cân
c) CD = CH
Giải:
A

µ ≠ 900 ; đường tròn
∆ABC ; C

E

(O) ngoại tiếp ∆ABC ;
N

GT AD ⊥ BC ; D ∈ (O);
H

BE ⊥ AC ; E ∈ (O);
a) CD = CE
KL b) ∆BHD cân

B

c) CD = CH
Chứng minh:

O

M

C

D

Gọi M là giao điểm của AD và BC, N là giao điểm của BE và AC
·
·
·
·
a) Ta có: DAC
+ AHN
= 900 và CBE
+ BHM
= 900
·
·
·
·
·
·

mà AHN
(đối đỉnh)
⇒ DAC
+ AHN
= CBE
+ BHM
= BHM
·
·
» = DC
» (các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)
⇒ DAC
= CBE
⇒ EC
⇒ CD = CE (liên hệ giữa cung và dây)
» = DC
» (chứng minh trên)
b) Ta có EC
·
·
(hệ quả góc nội tiếp)
⇒ EBC
= CBD
⇒ ∆BHD cân (vì có BM vừa là đường cao vừa là đường phân giác)

c) Ta có ∆BHD cân tại B ⇒ BC là đường trung trực của HD (vì BC chưa BM)
⇒ CD = CH (tính chất đường trung trực)

Suy luận và phát triển các bài toán mới từ bài toán 4:
* Nhận xét 4.1:

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

20


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
A

Ta có CH là đường cao của ∆ABC nên ta kẻ

E

đường cao CH cắt AB tại Q và cắt đường
tròn ngoại tiếp ∆ABC tại F.

F

N

Q

» = CE
» ⇒
Từ câu a) ta có CD = CE ⇒ CD

H

O

·
·
CFD
= CFE
·
⇒ FC là tia phân giác của EFD
.

Tương tự ta cũng có DA là tia phân giác của
·
·
⇒ H là
và EB là tia phân giác của DEF
EDF

B

M

C

D

tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF
Từ nhận xét 4.1 ta có bài toán sau:
Bài toán 4.1:
Các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C của ∆ABC cắt nhau tại H ( Cµ ≠ 900 ) và cắt
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng: H là tâm
đường tròn nội tiếp ∆DEF
* Nhận xét 4.2:

Từ câu b) và c) của bài toán 3 ta có BD = BH, CD = CH ⇒ ∆BDC=∆BHC ( c.c.c )
Tương tự ta cũng có ∆AFB=∆AHB , ∆AEC=∆AHC
⇒ Các đường tròn ngoại tiếp ∆AHB , ∆BHC , ∆AHC có bán kính bằng bán kính

của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
Từ nhận xét 4.2 ta có bài toán 4.2
Bài toán 4.2: Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và H
là trực tâm của ∆ABC . Chứng minh rằng: Các đường tròn ngoại tiếp ∆AHB ,
∆BHC , ∆AHC có bán kính bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .

* Nhận xét 4.3:
Từ câu a) của bài toán 3 ta có CD = CE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆ABC thì OC là đường trung trực của ED

Dễ dàng chứng minh được tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn đường kính AB

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

21


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.

A

·
·
(hai góc nội tiếp cùng chắn
⇒ BAM
= BNM

E

cung BM)
·
·
Mặt khác, ta có: BAD
(hai góc nội
= BED

F

N

Q
H

O

·
·
tiếp cùng chắn cung BD) ⇒ BNM
= BED
⇒ MN//DE

B

M

C

D

Từ nhận xét trên, ta có thêm bài toán sau:
Bài toán 4.3:
Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao
AM, BN, CQ cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC tại D,
E, F (M∈ BC, N∈ AC, Q∈ AB). Chứng minh rằng: MN//DE
* Nhận xét 4.4:
A

Từ bài toán 3, nếu gọi P là trung điểm của
BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Khi đó
tứ giác BHCT là hình bình hành ⇒ CT//BN

H

·
⇒ CT ⊥ AC (vì BN ⊥ AC) ⇒ ACT
= 900
·
Tương tự, ta chứng minh được ABT
= 900
·
·
Tứ giác ABTC có ACT
+ ABT
= 900 + 900 = 1800

N

Q
O

P
B

⇒ Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn (O)

M

C

T

Từ nhận xét trên, ta có thể khai thác thêm bài toán sau:
Bài toán 4.4:
Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường
cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H (M∈ BC, N∈ AC, Q∈ AB). Gọi P là trung
điểm của BC, T là điểm đối xứng với H qua P. Chứng minh rằng: Tứ giác
ABTC nội tiếp được trong một đường tròn
e) Một số bài toán tham khảo:
Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

22


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Bài 1 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2004 – 2005):
Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp trong một đường tròn (O). Trên cung

·
·
nhỏ AC lấy một điểm E sao cho CBE
= ACB

1) Chứng minh AE song song với BC
2) Kẻ đường cao AK ( K ∈ BC ) kéo dài AK cắt (O) tại D. Chứng minh:
a) Ba điểm E, O, D thẳng hàng.
·
·
·
b) OAD
= ABC
− ACB
·
3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, giả sử AH = BC. Tính BAC

Bài 2 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2005 – 2006):
Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn, M là trung điểm của BC, AD
là đường cao. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C
xuống đường kính AA’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
·
·
a) Chứng minh: EDC
= BAE

b) Chứng minh: DE vuông góc với AC và MN là đường trung trực của
DE (với N là trung điểm của AB)
c) Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆DEF
Bài 3 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2007 – 2008):

Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc
2
3

với nhau. Lấy điểm E trên đoạn AO sao cho OE = OA , đường thẳng CE cắt
đường tròn tâm O đã cho ở M.
1/ Chứng minh tứ giác OEMD nội tiếp được trong một đường tròn. Tính
bán kính đường tròn đó theo R.
2) Trên tia đối của MC lấy điểm F sao cho MF = MD. Chứng minh:
AM ⊥ DF .

3) Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt các đường thẳng OA và
OD lần lượt ở P và Q. Chứng minh: MP 2 + MQ 2 = 2R 2 .

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

23


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Bài 4 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2008 – 2009):
Cho đường tròn (O), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. M là một
điểm trên cung nhỏ AC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt tia DC tại S.
Gọi I là giao điểm của CD và MB.
1) Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp trong một đường tròn.
·
·
·
·
2 Chứng minh: MIC

và MSD
= MDB
= 2MBA

3) MD cắt AB tại K. Chứng minh DK.DM không phụ thuộc vị trí M trên
cung nhỏ AC
Bài 5 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2009 – 2010):
Cho tam giác vuông cân ADB (DA = DB) nội tiếp trong trong đường tròn
(O). Dựng hình bình hành ABCD, gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến
AC, K là giao điểm của AC với đường tròn (O). Chứng minh rằng:
1) HBCD là một tứ giác nội tiếp.
·
·
2) DOK
= 2BDH

3) CK.CA = 2BD 2
Bài 6 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2010 – 2011):
Cho nửa đường tròn (O) và đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa của
cung AB, P là một điểm thuộc cung MB (P không trùng với M và B), đường
thẳng AP cắt đường thẳng OM tại C, đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại D.
1) Chứng minh OBPC là một tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh hai tam giác BDO và CAO đồng dạng.
3) Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở P cất CD tại I. Chứng minh I là trung
điểm của đoạn thẳng CD.
Bài 7 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2011 – 2012):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao
BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng BD cắt đường
tròn (O) tại điểm thứ hai P; đường thẳng CE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

24


Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9.
Q. Chứng minh:
1) BEDC là tứ giác nội tiếp.
2) HQ. HC = HP. HB
3) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ.
4) Đường thẳng OA là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Bài 8 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2012 – 2013):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC).
Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai
D, E là trung điểm đoạn AD, EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng
minh rằng:
1) Tứ giác OEBM nội tiếp.
2) MB2 = MA.MD.
·
·
3) BFC
.
= MOC
4) BF // AM.
Bài 9 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2013 – 2014):
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của
đường tròn, M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của
đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại P, Q.
1) Chứng minh rằng: Tứ giác APMO nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AP + BQ = PQ.

3) Chứng minh rằng: AP.BQ = AO 2
4) Khi điểm M di động trên đường tròn (O), tìm vị trí của M sao cho diện
tích tứ giác APQB nhỏ nhất.
Bài 10 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đăklăk năm học 2014 – 2015):
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn HC (
M không trùng với H, C). Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AC lần
lượt là P và Q.

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh – Krông Ana

25